解析几何里面的对称性问题

平面解析几何中的对称问题李新林汕头市第一中学 515031对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。

在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。

深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。

在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。

平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。

本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。

平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称。

一、点点对称定理1 平面上一点),(y x M 关于点),(00y x P 的对称点为)2,2(00'y y x x M --，特别地，点),(y x M 关于点)0,0(P 的对称点为),('y x M --。

证明：显然),(00y x P 为线段'MM 的中点，设),('''y x M ，由中点坐标公式有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22'0'0y y y x x x ，即⎩⎨⎧-=-=yy y x x x 0'0'22 ，故)2,2(00'y y x x M --。

例１ 若点A 关于点)1,2(-B 的对称点为)2,4(C ，求点A 的坐标。

解：设),(y x A ，由定理１有)212,4)2(2(-⨯--⨯A ，即)0,8(-A 。

二、点线对称定理1 平面上一点),(00y x M 关于直线)0(,0:22≠+=++B A C By Ax l 的对称点为：-+++-22000',)(2(y B A C By Ax A x M ))(22200B A C By Ax A +++。

大共享论文网 专题：探究解析几何中点、线对称问题（一）（导学案）一、学习目标（1）从数和形两个角度来理解图形中对称问题，并能用其解决实际问题。

（2）在探究中进一步让学生体会数形结合和转化的数学思想。

二、课前篇自学支持条件1、轴对称的性质：①对称轴是____ ___ ②对称轴是对应点连线的_______ 线；2、中心对称的性质：①对称中心是_____ ②对称轴的连线都经过对称中心，并且被对称中心_______ ；3、几种特殊的对称（1）点p （x,y ）关于下列点或线的对称点分别为点p （x,y ）关于x 轴对称点是__ _ ； 点p （x,y ）关于y 轴对称点是_____ ； 点p （x,y ）关于原点对称点是_____ ； 点p （x,y ）关于y=x 对称点是___ ；（2）设直线l ：0=++C By Ax ，则l 关于x 轴对称的直线方程是__ ___ ；l 关于y 轴对称的直线方程是__ ___ ；l 关于y=x 轴对称的直线方程是__ _ ；三、课上篇新知探究引例探究一：点关于点对称例1、 已知点A(5,8) , B(4,1), 试求A 点关于B 的对称点C 的坐标。

解题要点：中点坐标公式的运用规律技巧总结：一般的，点A （00,y x ）关于点P （m ，n ）的对称点是______ _ ； 探究二：直线关于点对称例2、求直线1l :043=--y x 关于点p(2,-1)对称的直线2l 的方程。

解题要点：方法一：2l 上的任意一点的对称点在1l 上；方法二：1l ∥2l 且点p 到两直线等距。

规律技巧总结：一般的，直线Ax+By+C=0关于点P （m ，n ）的对称的直线方程是 。

探究三：点关于直线对称例3.已知点M 的坐标为（-4,4），直线L 的方程为3x+y-2=0,求点A 关于直线l 的对称点/M 的坐标。

解题要点：⎩⎨⎧-=•1/MM k k探究四：直线关于直线对称例4、试求直线1l ：01=--y x 关于直线2l ：032=+-y x 对称的直线l 的方程。

解析几何中的对称问题武汉市第二十三中学 黄琼艳学生初学解析几何时，在直线这一章会遇到对称问题。

图形的对称，说到底是点的对称和直线的对称。

只有将各种对称给学生罗列并梳理，才能让学生心中里有底，遇题不慌。

关于对称，无非有如下四种情况：⑴已知点A 关于直线L 0对称的点为A ′，求点A ′的坐标（简称为点点线,图1-1）； ⑵已知直线L 关于点A 0对称的直线为L ′，求直线L ′的方程（简称为线线点,图1-2）； ⑶已知点A 关于点A 0对称的点为A ′，求点A ′的坐标（简称为点点点, 图1-3）； ⑷已知直线L 关于直线L 0对称的直线为L ′，求直线L ′的方程（简称为线线线,图1-4）。

难点在第⑴⑷种类型。

关于第⑴种类型，它最为常见。

因为对称轴是连接两对称点的线段AA ′的中垂线，在设出对称点A ′的坐标后，则AA ′的中点在对称轴上（利用“中”），直线AA ′与对称轴互相垂直（利用“垂”），列出两个方程，就能求得A ′的坐标。

例 求点A(2,3)关于直线012=+-y x 的对称点A ′的坐标。

解：设对称点A ′的坐标为（x 0,y 0），由题意可得)2()1(012322212230000⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+⋅-=⋅--y x x y ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==5195200y x ，即A ′的坐标为（519,52）。

掌握了这些还不够，换一个场景，换成“意想不到”的环境，你会做吗？下面就是一个例子，颇为有趣。

问题：△ABC 中，A(3,2)，B 在直线x y =上，C 在x 轴上，求△ABC 的周长的最小值。

解：设A 点关于x y =的对称点M(2,3), A 关于直线x 轴的对称点N(3,－2)，连接 MN 分别交直线x y =及x 轴于B,C (图2) ，那么，这时△ABC 的周长为线段MN 的长度，因为两点间线段最短，所以此时△ABC 的周长最小，最小值为| MN|=26.L 0A A ′L ′ L L ′ L 0 图1-3 图1-4 图1-2 图1-1评论：一般学生不会想到，这里的最小值竟成为点点线对称的问题！事实上，按本例的方法，可以推导出对称点坐标公式，结果如下：已知点M(x0,y0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则22000),(2B A y x f A x x +⋅-=22000),(2B A y x f B y y +⋅-=.其中f(x,y)=Ax+By+C关于第⑷种类型，先确定L 与L 0的关系。

高中数学专题--- 对称问题基本方法：对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：1. 点关于点成中心对称问题（即线段中点坐标公式的应用问题）设点()000,P x y ，对称中心为(),A a b ，则点()000,P x y 关于(),A a b 的对称点为()002,2P a x b y '--.2. 点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：设点()000,P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(),P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求得(),P x y '''.特殊情形：①点()000,P x y 关于直线x a =对称的点为()002,P a x y '-；②点()000,P x y 关于直线y b =对称的点为()00,2P x b y '-；③若对称轴的斜率为1±，则可把()000,P x y 直接代入对称轴方程求得对称点P '的坐标.一、典型例题1．已知椭圆C ：2214x y +=，A 为椭圆左顶点，设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线AD ，AE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．2．已知椭圆22143x y +=与直线y kx m =+相交于不同的两点,M N ，如果存在过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l ,使得点M N ,关于l 对称，求实数m 的取值范围.二、课堂练习1．已知椭圆22184x y +=，上顶点为,P O 为坐标原点，设线段PO 的中点为M ，经过M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，()3,0C -，若点A 关于x 轴的对称点在直线BC 上，求直线l 方程.2．已知椭圆22:194x y C +=. 点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点.设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.三、课后作业1．已知椭圆:Γ221106x y+=.ABC∆的顶点都在椭圆Γ上，其中,A B关于原点对称，试问ABC∆能否为正三角形？并说明理由.2．已知椭圆2212yx+=，记椭圆的右顶点为C，点(),D m n（0n≠）在椭圆上，直线CD交y轴于点M，点E与点D关于y轴对称，直线CE交y轴于点N．问：x轴上是否存在点Q，使得OQM ONQ∠=∠（O为坐标原点）？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．3．已知椭圆22413yx+=，右顶点为A，设直线l：1x=-上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D. 若APD线AP 的方程.。

浅谈解析几何中的对称问题解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。

对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称：线（直线或曲线）关于点成中心对称：点关于线成轴对称：线（直线或曲线）关于线成轴对称。

无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。

这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。

本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。

一、中心对称：即关于点的对称问题泄义：把一个图形绕某个点旋转180。

后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。

这个点叫做对称中心。

性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。

1.点关于点对称例1. 求P （3, 2）关于M （2, 1）的对称点P'的坐标。

分析：由中心对称的性质得M点是PP，的中点，可求P‘（1, 0）。

小结：P （x°,yo）戻WbM称点：》p,（2a—x°,2b-y。

）（依据中点坐标公式）。

特例P （xo,y o）一「辿辿-■> p，（一X。

，一％）。

2.直线关于点对称例2. 求直线L：x+y-l=0关于M （3. 0）的对称直线1=的方程。

分析：思路一：在直线L上任取一点P （x, y）,则它关于何的对称点Q （6-x, 一y）,因为Q 点在h上，把Q点坐标代入直线1冲，便得到12的方程：x+y—5二0。

思路二：在h上取一点P （1, 0）,求岀P关于M点的对称点Q的坐标（5, 0）。

再由kn=k i=,可求岀直线h的方程x+y—5二0。

思路三：由k”二血,可设h Ax+By+C二0关于点M（x o,yo）的对称直线为Ax+By+C' =0|Axo + Byo + C I lAxo + Byo + C*且一二一，求出C及对称直线1）的方程x+y-5二0。

常见几何图形的对称性解析对称是几何学中一个重要的概念，它描述了一个图形在某种变换下保持不变的性质。

在日常生活中，我们经常会遇到一些常见的几何图形，它们具有不同的对称性。

本文将对常见几何图形的对称性进行解析，以帮助读者更好地理解和应用这些图形。

一、点对称点对称是最简单的一种对称性，它描述了一个图形关于某个点对称时保持不变。

例如，圆是一个具有点对称的图形。

无论我们如何选择圆上的一个点作为对称中心，圆都能够在这个点处保持不变。

此外，正方形也具有点对称性。

如果我们选择正方形的中心作为对称中心，正方形将在这个点处保持不变。

二、轴对称轴对称是另一种常见的对称性，它描述了一个图形关于某条轴对称时保持不变。

矩形是一个具有轴对称性的图形。

无论我们选择矩形的哪一条边作为对称轴，矩形都能够在这条轴上保持不变。

此外，椭圆也具有轴对称性。

如果我们选择椭圆的长轴作为对称轴，椭圆将在这条轴上保持不变。

三、中心对称中心对称是一种特殊的对称性，它描述了一个图形关于某个中心对称时保持不变。

正五边形是一个具有中心对称性的图形。

无论我们选择正五边形的哪个顶点作为中心，正五边形都能够在这个中心处保持不变。

此外，正六边形也具有中心对称性。

如果我们选择正六边形的中心作为中心对称中心，正六边形将在这个中心处保持不变。

四、多重对称除了上述的点对称、轴对称和中心对称外，还存在一些具有多重对称性的图形。

多重对称是指一个图形具有两种或更多种对称性。

例如，正十二边形具有点对称和轴对称两种对称性。

无论我们选择正十二边形的哪个顶点作为对称中心，正十二边形都能够在这个点处保持不变。

此外，如果我们选择正十二边形的任意一条边作为对称轴，正十二边形也能够在这条轴上保持不变。

五、应用与拓展对称性在几何学中具有重要的应用价值。

首先，对称性可以帮助我们简化问题，减少计算量。

例如，在计算一个图形的面积时，如果该图形具有对称性，我们可以只计算一部分，然后通过对称性推导出整个图形的面积。

解析几何中的对称问题关键词：对称点、对称直线一、中心对称问题 1、点关于点对称 ①点(,)P a b 关于点00(,)M x y 的对称点1P 的坐标是 。

例1、点(3,A 关于点(2,7)M -对称点1A 的坐标是变式 点(13,2)A --关于点(3,5)M 对称点1A 的坐标是②直线0Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线方程是 。

例2、直线:3520l x y -+=关于点(2,7)M -对称的直线方程是变式直线20l y -+=关于点(1,3)M -对称的直线方程是二、轴对称问题1、点关于直线对称 ⑴点(,)P a b 关于直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标是 。

解法（一）：由'PP ⊥L 知，'PP BK A=⇒直线'PP 的方程→()By b x a A -=-由0()Ax By C B y b x a A++=⎧⎪⎨-=-⎪⎩可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P 的坐标。

解法（二）：设对称点'(,)P x y 由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22a x b y ++把中点坐标代入L 中得到022a x b y A B C ++⋅+⋅+=；① 再由'PP B K A =得b y Ba x A -=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。

对称轴:0L x y C ++=点(,)P a b 关于直线:0L x y C ++=的对称点'P 的坐标是 。

例3、点(2,7)M -关于直线:20L x y +-=点N的坐标是变式 3 点(3,5)P -关于直线:10L x y +-=的对称点'P 的坐标是 。

对称轴:0L x y C -+=点(,)P a b 关于直线:0L x y C -+=的对称点'P 的坐标是 。

例4、点(2,7)M -关于直线:20L x y --=点N的坐标是变式 4 点2(3,)P m-关于直线:30L x y -+=的对称点'P 的坐标是 。

解析几何中关于对称问题的一点探讨解析几何是一门数学分支学科，它是采用数学方法分析和研究中一些基本问题，而其中最重要的一个问题就是对称。

“对称”是一种形式上存在的均衡性现象，也是一种特殊的逻辑性现象，在多种自然界的现象中都能看到类似的现象，而且它也是解析几何中重要的一个概念。

在解析几何学中，“对称”这一概念可以说是最重要的概念之一，它可以被用来描述一个几何体所具有的某些特质。

关于对称的定义可以有多种，一般来说，它指的是一个几何体中的一些特性，比如说它的面积、边角度、关系等，只要有些特性在指定的空间范围内展示出的一种对称性，就可以说它是一个对称的几何体或图形。

而且，对称也可以指特定空间体系中的一种两元关系，比如在二维空间中，两个相邻的点可以构成一条直线，使得这条直线上任意两个点实际上都是对称的。

在解析几何学中，对称有多种不同的类型。

比如说，水平对称，即X轴对称；垂直对称，即Y轴对称；中心对称，即坐标原点对称；曲线对称，即沿着一条曲线进行对称；旋转对称，即沿着某条轴线旋转对称。

此外，还有轴对称、型对称以及投影对称等等。

在解析几何学中，对称可以被用来描述一个几何体所具有的特质，也可以被用来求解一些问题，比如在解决投影问题中，可以利用投影对称的性质来求解测量问题。

同时，对称也可以被运用来求解满足一定条件下的几何体的体积问题。

例如，如果几何体是一个对称的球体，则可以应用关于对称的概念，从而求出球体的体积；而如果几何体是一个对称的六面体，则可以利用关于六面体的对称特性，来求出它的体积。

在解析几何学中，可以将对称分为几种层次来进行分析，其中最基本的就是“轴对称”，即一个几何体可以被沿着一个轴线或轴向旋转，使其在同一个象限或不同象限以达到一定的对称效果。

而在表面上的对称关系则被称为“型对称”，即一个几何体可以被沿着一个由两个点确定的轴对称地变换，以使其同一部分的形状平行地移动或旋转，而全体的形状不发生变化的状态称为“型对称”状态。

解析几何中的对称问题一、基础知识1、 点关于点的对称点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。

2、点关于直线的对称点由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点(x 0,y 0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x ’,y’)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y 3、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。

（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0 （2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P 0(x 0,y 0)，在已知曲线f(x,y)=0上，满足f(x 0,y 0)=0，利用方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y ，解得x 0,y 0，代入f(x 0,y 0)=0，从而得对称曲线方程。

4、常用的对称关系点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)，关于y 轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)，关于直线y=-x 的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m 的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m 的对称点(m-b,m-a). 二、题型剖析例1．（1）直线032=+-y x 关于定点)2,1(-M 对称的直线方程是（ ）A 。

常见的解析几何中对称问题教学目标理解四种对称.教学重点直线与圆的位置关系的判断．教学难点直线与圆的位置关系的判断．教学方法：启发式，讲授法教学过程1.点关于点对称⑴点(,)P a b 关于原点的对称点坐标是(,)a b --；⑵点(,)P a b 关于某一点00(,)M x y 的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为00(2,2)x a y b --。

例1 已知点A(5,8) ，B(4 ，1) ，试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标。

2.直线关于点对称⑴直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。

设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；⑵直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。

①当00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。

②当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线为'0Ax By C ++=='C 从而可求的及对称直线方程。

例2 求直线l 1 : 3x -y -4=0关于点P(2,-1)对称的直线l 2的方程。

3.点关于直线对称⑴ 点(,)P a b 关于x 轴、y 轴，直线x y =，x y =-的对称点坐标可利用图像分别求设为(,),(,),(,),(,)a b a b b a b a ----。

⑵ 点(,)P a b 关于某直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标。

解法：设对称点'(,)P x y 由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22a xb y ++把中点坐标代入L 中得到022a xb y A B C ++⋅+⋅+=；① 再由'PP B K A =得b y B a x A-=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。

对高中数学解析几何中对称问题浅析摘要：伴随着人们对教育的越来越重视，教育行业也开始了飞速的发展。

在这种背景影响下，高中数学中的解析几何对称问题逐渐受到了高中数学教师的重视。

众所周知，对称问题是高中数学解析集合中的基础部分。

不管是点对点间的对称还是线对线间的对称，都是高中学生学习数学的重要内容。

本文主要针对目前的高中数学解析几何中的对称问题进行了探究，希望能为高中阶段的数学教育提供帮助。

关键词：高中数学；解析几何；对称问题随着新课改的逐渐实行，我国的教育事业也在持续不断地发展。

数学是一门贯穿于学生整个教育生涯的学科，其重要性不言而喻。

而高中数学无论是从高考占比上还是知识面上都是非常重要的。

高中数学相较于基础数学而言具有了一定的难度。

尤其是高中数学解析几何部分的对称问题，不仅是整个高中数学中的基础部分，也是一大重点内容。

一、解析几何的基本概念几何是高中数学学习过程中非常重要的一部分内容。

几何原本叫欧几里得几何，由著名数学家欧几里得命名，简称为“欧氏几何”。

是整个几何学部分的一个分支学科。

其最早来源于公元前3世纪。

由古希腊数学家欧几里得总结得出。

欧几里得将一些流传于民间的几何知识点进行总结和编撰，同时还做出了一系列的延伸推理，最后写出了文明一时的《几何原本》，后又逐渐形成了欧氏几何[1]。

在整个欧氏几何的体系中，最主要的内容当属平行公理。

但是后期由于一部分不同公理的出现，导致了非欧几何的出现。

如果按照图形的平面与空间来划分，可以称之为“平面几何”和“立体几何”。

而对于解析几何，其核心部分其实是笛卡尔坐标系。

解析几何也主要分为两部分，平面解析几何和立体解析几何。

平面解析几何主要是通过平面直角坐标系来展现的，主要就是通过平面直角坐标系来建立点和实数之间的对应关系，以及曲线和方程之间的对应关系。

通过几何法去解决代数问题，同时也可以应用代数法去解决几何问题。

从17世纪开始，各个先进技术开始了飞速的发展，几何与代数也开始了不断地发展。

解析几何里面的对称性问题1. 点关于点对称的求法直线关于点对称的求法（可转化为点关于点对称求解；注意判断点是否在直线上）点关于直线对称的的求法直线关于直线对称的求法（分平行和相交2种情况讨论）点关于点的对称点A′的坐标是变式1-1点关于点的对称点A′的坐标是变式1-2过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y ＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．求直线关于点对称的直线方程.变式2-1求直线l：2x－3y＋1＝0关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．求点关于直线：的对称点的坐标.变式3-1求点关于直线：的对称点的坐标.已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A． x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0 变式4-1已知直线，直线，直线与直线关于直线对称，求直线的方程.能力提高已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：（1） 点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2） 直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；（3） 直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．变式 光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．2．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为 ( )A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝03.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 ( )A．2 B．6C．3 D．24.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.。

解析几何中对称问题的常见求解方法知识整理（一）、关于点对称。

1、点关于点对称。

2、直线关于点对称。

3、曲线关于点对称。

（二）、关于直线对称1、点关于直线对称。

2、直线1l关于直线l的对称直线2l。

3、曲线关于直线对称。

综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。

求对称问题的P x y，再利用中点坐标公式或垂通法是：⑴求对称点一般采用，先设对称点(,)直、平分等条件，列出,x y的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标，⑵P x y，再利用求对称点的方程求求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点(,)出P点的对称点Q点坐标，将Q点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于,x y的关系式，就是所求对称曲线的方程。

称问题带来很大的方便。

例题选讲： 【例1】(1)下列方程所表示的曲线关于直线x ＋y ＝0不对称的是 ( )A ．x 2－3xy ＋y 2＝3B ．x 2＋3xy －y 2＝3C ．x 3－y 3＝3D ．x 3－y 3＝－3(2)曲线2x 2－5xy ＋2y 2＝3关于 ( )A ．点(1，1)对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．两直线y ＝±x 对称 (3)已知平行四边形ABCD 的两个定顶点A(15，－1)和C(10，14)，点B 在直线2x －y ＋31＝0上移动，则点D 的轨迹方程是(4)椭圆42x ＋y 2＝1关于点A(2，3)对称的椭圆的方程是【例2】 已知△ABC 的一个顶点A(2，－4)，且∠B ，∠C 的内角平分线所在直线的方程依次是x ＋y －2＝0，x －3y －6＝0，求△ABC的三边所在直线的方程．【例3】设曲线C 的方程是y ＝x 3－x ，将曲线C 按向量 a ＝(t ，s)平移后得曲线C1，(1)写出曲线C1的方程； (2)证明曲线C 和曲线C1关于点A(2t ，2s)对称；(3)如果曲线C 和C1有且仅有一个公共点，证明：s ＝43t －t 且t ≠0【例4】知椭圆方程为13422=+y x ，试确定实数m 的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线m x y +=4对称。

解析几何中的对称问题及其应用点关于点的对称：理论基础：点(,)A a b 关于00(,)M x y 的对称点为00(2,2)B x a y b --，即M 是,A B 的中点，特别是中点的应用比较广泛，中点也就是对称的另一种说法而已。

例 1 已知平行四边形A B C D 的四个顶点坐标分别为135153(,),(,),4444A B -- 1119(,),(,)44C D m n -，求,m n 的值。

方法一：利用斜率相等，方法二：利用对角线互相平分，方法三：利用向量相等。

答案：2935,44m n ==练习 1 已知矩形A B C D 的两个顶点(1,3),(2,4)A B --,且它的对角线的交点在x 轴上，求,C D 的坐标。

方法一：设对角线中点，利用邻边垂直；方法二：设对角线中点，利用对角线相等且互相平分；方法三：答案：(9,3),(8,4)C D ----直线关于点的对称：理论基础：就本质而言，直线关于点的对称即点关于点的对称，结合几何特性，直线关于点的对称直线与已知直线平行（对称点不在直线上），应用几何特性就可以降低解题运算量，提高解题效率。

例 2 求直线340x y --=关于点(2,1)P -对称的直线l 的方程。

方法一：取两点，求对称点，求方程。

方法二：因为所求直线与已知直线平行，可设平行直线，然后取一点对称后代入。

方法三：根据平行设方程，再利用距离相等求参数。

答案：3100x y --=结论：直线0Ax By C ++=关于点(,)M a b 的对称直线为(2)(2)0A a x B b y C -+-+=练习2：圆关于点的对称：首先圆是关于自己圆心自对称的图形。

其次圆关于点的对称图形仍然为圆，且半径不变，所以圆关于点的对称即为点关于点的对称。

曲线关于点的对称：（以后讲解）曲线本身关于点的对称：（以后讲解）点关于直线的对称：理论基础：点(,)A a b 关于直线:0l Ax By C ++=的对称点为(,)B c d ，则A ，B 的中点在直线l 上，且AB 与l 垂直。

2012-11课堂内外“对称”是解析几何中的常见问题，也是一种重要的思想方法，本文对解析几何中的点的对称、直线的对称问题进行了整理，以供学生参考。

一、关于点的对称1.点关于点的对称问题通常我们是将点关于点的对称问题化为中点问题来解决的。

例如，求点p （x ，y ）关于点M （x 0，y 0）的对称点P ′的坐标。

设P ′（x ′，y ′），由M 为PP ′的中点，得x 0=x+x ′2y 0=y+y ′2⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐∴x ′=2x 0-xy ′=2y 0-y{即所求对称点的坐标P ′（2x 0-x ，2y 0-y ）。

2.曲线关于点的对称问题利用对称定义，结合求轨迹方程的代入法即可解决曲线关于点的对称问题。

例如，求曲线C ：f （x ，y ）=0关于M （x 0，y 0）对称的曲线C ′的方程。

设P （x ,y ）为曲线C 上任意一点，P 点关于点M 的对称点为P ′（x ′，y ′）则有：x ′=2x 0-x y ′=2y 0-y因P ′在曲线C ′上，显然有f （2x 0-x ，2y 0-y ）=0，此即为所求的对称曲线C ′的方程3.圆锥曲线弦的中点问题若M （x 0，y 0）是圆锥曲线C ：f （x ，y ）=0的一条弦AB 的中点，则弦AB 所在的直线方程为：F （x,y ）-f （2x 0-x ，2y 0-y ）=0由M （x 0，y 0）是弦AB 的中点，故可设A （x ,y ），则B （2x 0-x ，2y 0-y ），因A ，B 在圆锥曲线C 上，所以有：F （x ，y ）=0，f （2x 0-x ，2y 0-y ）=0又由2可知，f （x ,y ）=0与f （2x 0-x ，2y 0-y ）=0是关于点M （x 0，y 0）对称的一对曲线，所以点B 又在与曲线C ：f （x ，y ）=0关于点M 对称的曲线C ′：f （2x 0-x ，2y 0-y ）=0上。

同理，点A 也在曲线C ′上，故AB 是曲线C 与曲线C ′的公共弦，所以其所在直线方程为f （x,y ）-f （2x 0-x ，2y 0-y ）=0例1.设抛物线y 2=12x 有一弦AB 被点M （1，2）平分，求这条弦所在的直线方程。

直线中的几类对称问题申老师
一、点关于点的对称问题
点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.
例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.
二、点关于直线的对称问题
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.
三、直线关于某点对称的问题
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.
四、直线关于直线的对称问题
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.
分析两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.
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解析几何中的对称问题1、 中心对称：关于点的对称问题：<1>点关于点的对称：如果点P 与P '关于点M 对称，则M 是线段P P '的__点，P )(00y x ，−−−−−−−→−）的对称点，（关于点b a M P '()2200y b x a --，( 依据中点坐标公式) 特别的P )(00y x ，−−−−−→−关于坐标原点对称P '(00y x --，) <2>曲线关于点的对称C ：−−−−−−−−→−=）的对称曲线，（关于点，b a M y x f 0)(C '：（f ）=0 解题步骤：设P )(00y x ，是曲线C '上的任意一点P )(00y x ，关于M （a ，b ）的对称点为P '()2200y b x a --，因为P '在曲线C 上，所以f ()2200y b x a --，=0 [ 即P '的坐标是方程f （x ，y ）=0的解]解题方法：代入法求轨迹特别地：曲线C ：f （x ，y ）=0−−−−−→−关于坐标原点对称曲线C '：（f ）=0 2、 轴对称问题：关于直线的对称问题<1>点P 关于直线l 的对称点：过点P 做l 的垂线，垂足为N ，延长PN 到P '，使|PN|=|N P '|，则N 是线段P P '的中点，P P '⊥l ,N 在直线l 上。

设P )(00y x ，关于直线l ：0=++C By x A 的对称点为P '(y x ''，)，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⊥'-=∙-'-'=+'+∙+'+∙）因为上）在直线因为l P P k x x y y l N C y y B x x A l (1(0220000 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++-='+++-='2200022000)(2)(2B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x <2>曲线关于直线l 的对称C ：f （x ，y ）=0关于直线l ：0=++C By x A 的对称曲线C '的方程解题步骤：设P )(00y x ，是曲线C '上任意一点，求点P )(00y x ，关于直线l 的对称点P '的坐标。