浙教版平行线知识点整理

2023年浙教版七下数学第一章平行线章节复习（教师版）一、知识梳理知识点1：平行线的定义1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a ∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．知识点2：同位角、内错角和同旁内角两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。

（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。

图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。

（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线l的两旁，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是内错角。

图中的内错角还有∠4与∠6。

（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。

图中的同旁内角还有∠3与∠6。

知识点3：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性知识点4：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。

几何语言：∵∠1＝∠2∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。

（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．三、平行线1. 平行线的概念：【在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记住a∥b.2. 平行公理——平行线的存在性与唯一性：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

4. 同位角、内错角、同旁内角的判断（三线八角）：5.平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

（同位角相等，两直线平行。

）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

（内错角相等，两直线平行。

）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

（同旁内角互补，两直线平行。

）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

6. 平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

（两直线平行，同位角相等。

）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

（两直线平行，内错角相等。

）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

（两直线平行，同旁内角互补。

）7. 图形的平移一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。

8. 图形平移的性质：平移不改变图形的形状和大小。

一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。

【例题解析】 1. 正误判断（1）不相交的两条直线必定平行。

（ ）（2）在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。

【第一章《平行线》复习】1.1、同位角、内错角、同旁内角：1、先看图中∠1和∠5，这两个角分别在直线AB、CD的上方，并且都在直线EF的右侧像这样位置相同的一对角叫做同位角。

在图(1)中，像这样具有类似位置关系的角还有吗？如果你仔细观察，会发现∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8也是同位角。

变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角。

图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角。

2、再看∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，且3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧，像这样的一对角叫做内错角。

同样，∠4与∠6也具有类似位置特征，∠4与∠6也是内错角。

变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角。

图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角。

3、在图(1)中，∠3和∠6也在直线AB、CD之间，但它们在直线EF的同一旁像这样的一对角，我们称它为同旁内角。

具有类似的位置特征的还有∠4与∠5，因此它们也是同旁内角。

变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角。

图形特征：在形如“n”的图形中有同旁内角。

与两直线的位置关系与截线的位置关系同位角两直线同侧截线的同旁内错角两直线之间截线异侧同旁内角两直线之间截线同侧1.2、平行线的性质：性质1：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。

几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠PMA=∠MNC性质2：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。

几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠BMN=∠CNM性质3：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠AMN+∠CNM=180°1.3、平行线的判定： 几何符号语言：（1）∵ ∠3＝∠2 ∴ AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） （2）∵ ∠1＝∠2 ∴ AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）（3）∵ ∠4＋∠2＝180° ∴ AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）1.4、两条平行线的距离如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。

专题02 平行线的性质与平移【考点剖析】1、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.2. 平移平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．①图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．②图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.平移的性质：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.平移的作图：(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图形顺次连接对应点．【典例】例1．已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；（2）求证：CE平分∠OCA；（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）∵AB∥ON，∴∠O＝∠MCB（两直线平行，同位角相等）∵∠O＝50°，∴∠MCB＝50°，∵∠ACM+∠MCB＝180°（平角定义），∴∠ACM＝180°﹣50°＝130°，又∵CD平分∠ACM，∴∠DCM＝65°（角平分线定义），∴∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝65°+50°＝115°（2）证明：∵CE⊥CD，∴∠DCE＝90°，∴∠ACE+∠DCA＝90°又∵∠MCO＝180°（平角定义）∴∠ECO+∠DCM＝90°，∵∠DCA＝∠DCM，∴∠ACE＝∠ECO（等角的余角相等）即CE平分∠OCA，（3）结论：当∠O＝36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分①当∠O＝36°时∵AB∥ON∴∠ACO＝∠O＝36°∴∠ACM＝144°又∵CD平分∠ACM∴∠ACD＝72°∴∠ACO∠ACD即CA分∠OCD成1：2两部分．②当∠O＝90°时∵AB∥ON∴∠ACO＝∠O＝90°∴∠ACM＝90°又∵CD平分∠ACM∴∠ACD＝45°∴∠ACD∠ACO即CA分∠OCD成1：2两部分．【点睛】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．例2．探究：如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠BAE+∠DCE＝∠AEC，下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程，并填空（理由或数学式）．解：如图①，过点E作EF∥AB，∴∠BAE＝∠1（________________________）．∵AB∥CD（________）∴CD∥EF．∴∠2＝∠DCE；∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2．∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC．拓展：当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试探索∠AEC、∠BAE、∠DCE之间的关系，并说明理由；应用：点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG ＝40°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG＝__________度．【答案】见解析【解析】探究：证明：如图1中，如图①，过点E作EF∥AB，∴∠BAE＝∠1（两直线平行内错角相等）．∵AB∥CD（已知）∴CD∥EF．∴∠2＝∠DCE；∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2．∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC．拓展：解：如图2中，结论：∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．理由：作EH∥AB．∵AB∥CD，AB∥EH，∴EH∥CD，∴∠BAE+∠AEH＝180°，∠HEC+∠ECD＝180°，∴∠BAE+∠AEH+∠HEC+∠ECD＝360°，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．应用：解：如图3中，作FH∥AB．∵AB∥CD，FH∥AB，∴FH∥CD，由拓展可知：∠BAE+∠AEF+∠EFH＝360°①∠HFG+∠FGC+∠GCD＝360°②，①+②得到，∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠GCD＝720°﹣（∠EFH+∠HFG），∴∠EFH+∠HFG＝360°﹣∠EFG＝320°，∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠GCD＝720°﹣320°＝400°，故答案分别为：两直线平行内错角相等，已知，400．【点睛】本题考查平行线的判定和性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．例3．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系______________________；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．【答案】见解析【解析】解：（1）如图1，∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB＝90°，∴∠A+∠C＝90°，故答案为：∠A+∠C＝90°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）可得∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，②由①②联立方程组，解得α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．例4．如图所示，直角三角形ABO的周长为100，在其内部的n个小直角三角形周长之和为_______．【答案】100【解析】解：由平移的性质可得，n个小直角三角形较长的直角边平移后等于AO边，较短的直角边平移后等于BO边，斜边之和等于AB边长，∴n个小直角三角形的周长之和＝Rt△AOB的周长，∵直角三角形AOB的周长为100，∴这n个小直角三角形的周长之和＝100．故答案为：100．【点睛】本题主要考查了平移和矩形的性质，正确理解小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长是解题的关键．【巩固练习】1．如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少？【答案】见解析【解析】解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，种植花草的面积＝（50﹣1）（30﹣1）＝1421m2．故答案为：1421m2．2．如图，已知：AB∥CD，E在直线AB上，且EF⊥EG，EF交直线CD于点M．EG交直线CD于点N．（1）若∠1＝34°，求∠2的度数；（2）若∠2＝2∠1，直接写出图中等于4∠1的角．【答案】见解析【解析】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1＝∠GEB＝34°，∵EF⊥EG，∴∠2＝180°﹣90°﹣34°＝56°；（2）∵∠2＝2∠1，∠1＝∠GEB，∴∠2＝2∠GEB，又∵∠2+∠GEB＝90°，∴∠GEB＝30°＝∠1，∴4∠1＝120°，∠2＝60°，∴∠FMN＝∠CME＝∠MEB＝120°，即图中等于4∠1的角为∠FMN，∠CME，∠MEB．3．如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，点E、G在AB上，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，求∠F的度数．【答案】见解析【解析】解：∵AB∥CD，∠CDE＝119°，∴∠AED＝180°﹣119°＝61°，∠DEB＝119°．∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，∴∠DEF119°°，∴∠GEF＝61°°°．∵∠AGF＝130°，∴∠F＝∠AGF﹣∠GEF＝130°﹣°°．4．如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝30°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．（1）说明：DC∥AB；（2）求∠PFH的度数．【答案】见解析【解析】解：（1）∵DC∥FP，∴∠3＝∠2，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠1，∴DC∥AB；（2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF＝30°，∴∠DEF＝∠EFP＝30°，AB∥FP，又∵∠AGF＝80°，∴∠AGF＝∠GFP＝80°，∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+30°＝110°，又∵FH平分∠EFG，∴∠GFH∠GFE＝55°，∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣55°＝25°．5．已知：下列各图中都有AB∥CD，分别探究图（1）图（2）图（3）中∠D，∠E，∠B之间的数量关系，并填在相应的横线上．（1）图1中∠D，∠E，∠B之间的关系是______________________________．（2）图2中∠D，∠E，∠B之间的关系是____________________．（3）图3中∠D，∠E，∠B之间的关系是____________________．（4）请你从（1）（2）（3）中选择一个进行证明．【答案】见解析【解析】解：（1）图1中∠D，∠E，∠B之间的关系是∠D+∠E+∠B＝360°；（2）图2中∠D，∠E，∠B之间的关系是∠D+∠B＝∠E；（3）图3中∠D，∠E，∠B之间的关系是∠D﹣∠B＝∠E；（4）选（1）进行证明：如图，过E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，∴∠D+∠DEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，∴∠D+∠DEB+∠B＝360°；选（2）进行证明：如图，过E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，∴∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF，∴∠D+∠B＝∠DEF+∠BEF＝∠DEB；选（3）进行证明：如图，过E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，∴∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF，∴∠D﹣∠B＝∠DEF﹣∠BEF＝∠DEB．6．已知：AB∥DE．（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，例如（i）过点C作AB的平行线；（ii）过点C作DE的平行线；（iii）联结AD；（iv）延长AC、DE相交于一点．请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝__________度，并说明理由．（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠C n+1+∠D＝____________________度．（不必说明理由）【答案】见解析【解析】解：（1）如图1，过点C作AB的平行线CF，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°，∴∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，又∵AC⊥CD，∴∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；（2）如图2，过C1作C1F∥AB，过C2作C2G∥DE，∵AB∥DE，∴C1F∥AB∥C2G∥DE，∴∠A+∠AC1F＝180°，∠FC1C2+∠C1C2G＝180°，∠GC2D+∠D＝180°，∴∠A+∠AC1C2+∠C1C2D+∠D＝180°×3＝540°，故答案为：540；（3）如图3，∠A+∠C1+∠C2+……+∠C n+1+∠D＝180°×（n+2），故答案为：180（n+2）．7．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P 在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）∠3+∠1＝∠2成立，理由如下：如图①，过点P作PE∥l1，∴∠1＝∠AEP，∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠3＝∠BPE，∵∠BPE+∠APE＝∠2，∴∠3+∠1＝∠2；（2）∠3+∠1＝∠2不成立，新的结论为∠3﹣∠1＝∠2，理由为：如图②，过P作PE∥l1，∴∠1＝∠APE，∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠3＝∠BPE，∵∠BPE﹣∠APE＝∠2，∴∠3﹣∠1＝∠2．。

平行线及其判定（提高）知识讲解【学习目标】1.熟练掌握平行线定义及画法；2.掌握平行公理及其推论；3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.【要点梳理】要点一、平行线及平行公理1.平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.要点诠释：（1）同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.（2）互相重合的直线通常看作一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.2.平行线的画法用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.3.平行公理及推论平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.4. 两条平行线间的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线间的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即两条平行线之间的距离处处相等．要点二、平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：（1）平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.（2）今后我们用符号“∵”表示“因为”，用“∴”表示“所以”.【典型例题】类型一、平行公理及推论1．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的个数为：( ) .A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】正确的是：（1）(3).【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别．举一反三：【变式】下列说法正确的个数是() .（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．A．1个 B .2个C．3个D．4个【答案】B2.下面两条平行线之间的三个图形，图的面积最大，图的面积最小．【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小.【答案】图3，图2【解析】解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2=4.5；5＞4.5＞4；所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.举一反三：【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是厘米.【答案】35类型二、平行线的判定3. 如图，给出下列四个条件：（1）AC＝BD；（2）∠DAC＝∠BCA；（3）∠ABD＝∠CDB；（4）∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有（）.A．（1）（2）B．（3）（4）C．（2）（4）D．（1）（3）（4）【思路点拨】欲证AD∥BC，在图中发现AD、BC被一直线所截，故可按同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行补充条件．【答案】C【解析】从分解图形入手，即寻找AD、BC的截线.【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看这些条件成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止．举一反三：【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°【答案】A提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．图B显然不同向，因为路线不平行．图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．只有图A路线平行且同向，故应选A．4.如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来．【答案与解析】解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．∴AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)．又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．∴∠DCM＝∠CDN(等量代换)．∴CM∥DN(内错角相等，两直线平行)．∵AB∥CM，EF∥DN(已证)，∴AB∥EF(平行线的传递性)．解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°，∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°，∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)．又∵∠CDE＝30°，∴∠EDM＝150°．又∵∠E＝10°，∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)．∴∠CNB＝∠EMD(等量代换)．所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取．举一反三：【：平行线及判定403102经典例题2】【变式】已知，如图，BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1与∠2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．【答案】解：AB∥CD，理由如下：∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，∴∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．又∵∠1+∠2＝90°，∴∠ABD+∠CDB＝180°．∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．。

浙教版教材数学八年级知识点总结一、平行线同位角内错角同旁内角平行线判定方法：1.同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性）2.两条直线被第三条直线所截，若果同位角相等，那么这两条直线平行。

简单地说，同位角相等，两直线平行。

3.两条直线被第三条直线所截，若果内错角相等，那么这两条直线平行。

简单地说，内错角相等，两直线平行。

4.两条直线被第三条直线所截，若果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

简单地说，同旁内角互补，两直线平行。

5.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单地说，两直线平行，同位角相等。

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单地说，两直线平行，内错角相等。

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单地说，两直线平行，同旁内角互补。

两条直线平行，一条直线上的点到另一条直线的距离处处相等。

二、特殊三角形两边相等的三角形叫等腰三角形。

等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等。

也就是说，在同一个三角形中，等边对等角。

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合，简称等腰三角形三线合一。

等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

简单地说，在同一个三角形中，等角对等边。

三边都相等的三角形是等边三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形，也叫正三角形。

等边三角形的性质：等边三角形的内角都相等，且等于60°；反过来，三个内角都等于60°的三角形一定是等边三角形。

等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都三线合一，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。

有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形。

两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。