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关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。
由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。
电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。
静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。
静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。
英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。
这个假设后来被实验证实了。
正因为这个原因，数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。
由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。
in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。
对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。
高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。
高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。
其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。
高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。
但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε∇⋅= 。
高斯定理概念
高斯定理是电磁学中的一个重要定理，它描述了电场与电荷分布之间的关系。
根据高斯定理，电场通过一个封闭曲面的总通量等于该曲面内的电荷总量除以真空介电常数。
具体来说，高斯定理可以表述为：一个封闭曲面S内的电场E 的通量Φ等于该曲面内的电荷量Q除以真空介电常数ε0。
数学公式为：∮S E·dS = Q/ε0，其中∮表示对曲面S上所有微元面积求积分，E表示电场强度矢量，dS表示微元面积的矢量法向量，Q表示曲面S内的总电荷量，ε0表示真空介电常数。
高斯定理的应用十分广泛，可用于计算电场强度、电荷分布、电容等问题。
同时，高斯定理还为静电场的理论研究提供了一个重要工具，它将复杂的空间分布电荷问题转化为简单的电荷量问题。
电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理，也称为高斯电场定理，是电磁学中的基本定律之一。
它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。
这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。
高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下：对于任意闭合曲面S，电场通过S的电通量（记作ΦE）与曲面S内部的总电荷（记作q）之间存在以下关系：ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中，E是电场强度，dA是曲面元素的面积向量，ε₀是真空的电介质常数（也称为电常数），其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。
3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解：（1）电场线与闭合曲面的关系：高斯定理说明，对于任意闭合曲面S，电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。
这意味着，无论曲面S如何选择，只要它是闭合的，电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关，而与曲面的形状和位置无关。
（2）电场的分布与电荷的关系：高斯定理表明，电场是通过闭合曲面的电通量的度量，而电通量与曲面内部的总电荷成正比。
这意味着，电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关，而与曲面的具体形状和位置无关。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子：（1）计算静电场中的电荷分布：通过高斯定理，可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。
只需测量通过该曲面的电通量，然后根据电通量与电荷的关系，可以确定曲面内部的电荷量。
（2）设计电容器和绝缘材料：在电容器和绝缘材料的设计中，高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。
通过合理选择闭合曲面的形状和位置，可以优化电场分布，提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。
（3）研究电磁波的传播：在研究电磁波的传播过程中，高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。
真空中静电场的高斯定理名词解释静电场是指在没有电荷移动的情况下，由电荷带来的电场。
在真空中，我们可以利用高斯定理来描述静电场的特性和行为。
高斯定理是由德国数学家Carl Friedrich Gauss在19世纪提出的，通过对电场的流量进行积分，可以得到与该电场相关的电荷分布信息。
首先，我们需要理解什么是高斯曲面。
高斯曲面是一种形状任意的封闭曲面，可以包围电荷分布区域。
在真空中，高斯曲面可以是球面、柱面、平面等等，具体形状取决于特定的问题。
根据高斯定理，我们可以推导出一个重要的结果：电场的流量等于该曲面内的电荷总量除以真空介质的电容率。
即，电场的流量等于电荷总量除以介质的电容率。
这个结果可以用公式表示为：Φ = Q/ε₀其中，Φ表示电场的流量，Q表示曲面内的电荷总量，ε₀表示真空的电容率。
这个公式是描述静电场中电荷分布和电场性质的重要工具。
高斯定理的应用不仅限于求解电场流量，它还可以帮助我们了解电场的分布情况。
通过在高斯曲面上选取不同的区域，我们可以得到与该区域内电荷分布相关的电场强度。
在解决一些对称性问题时，高斯定理非常有用。
举例来说，假设我们有一个点电荷，希望求解距离电荷一定距离处的电场强度。
我们可以选择以这个点电荷为球心的一个球面作为高斯曲面，然后应用高斯定理计算该曲面的电场流量。
由于球面的对称性，我们可以得到一个简化的公式，即：Φ = 4πr²E其中，r表示距离电荷的距离，E表示所求的电场强度。
通过这个公式，我们可以直接求解电场强度。
除了点电荷外，高斯定理可以应用在不同的电荷分布问题中。
例如，对于均匀带电球体，我们可以选择以球心为球心的一个球面作为高斯曲面，利用高斯定理求解球内外的电场强度。
对于无限长的带电线或平面，我们可以选择柱面或平面作为高斯曲面，通过高斯定理求解电场强度。
总而言之，真空中静电场的高斯定理是描述电场特性和行为的重要工具。
通过选择合适的高斯曲面，并利用高斯定理，我们可以求解电场的流量、电场强度以及其他与电荷分布相关的问题。
高斯定理，也称为高斯通量理论或散度定理，是矢量分析中的重要恒等式，也是研究场的重要公式之一。
它表明穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
具体来说，高斯定理指出电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
当所涉体积内电荷连续分布时，上式右端的求和应变为积分。
高斯定理在静电学中表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
高斯定理是电磁学中一个非常基础且重要的定理，对于理解电荷分布和电场之间的关系以及电磁场的性质有着重要的意义。
§11-3 静电场的高斯定理一、 电场线电场线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。
1、E用电场线描述规定：E 方向：电力线切线方向大小：E 的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数=dsdN即 ds dNE（即：某点场强大小=过该点并垂直于E的面元上的电力线密度。
）2、静电场中电场线性质⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。
⑵任意两条电场线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。
二、 电通量定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用e 表示。
下面分几种情况讨论。
1、匀强电场⑴平面S 与E 垂直。
如图所示，由E的 大小描述可知：⑵平面S 与E 夹角为 ，如图所示，由E的大小描述知：S E ES ES ecos )(n S S式中n 为S的单位法线向量。
2、在任意电场中通过任意曲面S 的电通量如图所示，在S 上取面元dS ，dS 可看成平面，dS 上E 可视为均匀，设n为S d 单位法向向量，S d 与该处E 夹角E 为 ，则通过dS 电场强度通量为：S d E d e通过曲面S 的电场强度通量为：se e S d E d在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量e sE dS vv Ñ注意：通常取面元外法向为正。
三、高斯定理高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量的定理，现在从一简单例子讲起。
1、如图所示，q 为正点电荷，S 为以q 为中心以任意r 为半径的球面，S 上任一点p 处E为：r e r q E 2042、通过闭合曲面S 的电场强度通量为：ssr se dS rq e S d rq S d E 202044（r、ds v同向）202044 qdS r q dS r q ss结论：e 与r 无关，仅与q 有关)(0const 2、点电荷电场中任意闭合曲面S 的电场强度通量⑴q 在S 内情形如图所示，在S 内做一个以q 为中心， 任意半径r 的闭合球面S 1，由1知，通过S 1 的电场强度通量为q。
∵通过S 1的电力线必通过S ，即此时es es 1，∴通过S 的电场强度通量为00e sq E dS v v Ñ ⑵q 在S 外情形。
此时，进入S 面内的电力线必穿出S 面，即 穿入与穿出S 面的电力线数相等，∴0e sE dS vv Ñ结论：S 外电荷对e 无贡献e0 qq 在S 内 0 q 在S 外3、点电荷系情况在点电荷n q q q q ,,,321电场中，任一点场强为n E E E E E 321通过某一闭合曲面电场强度通量为：sn se S d E E E E S d E321内S sn sssq S d E S d E S d E S d E 03211即01e S sE dS qv v Ñ内上式表示：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电荷的代数和除以0 。
这就是真空中的高斯定理。
上式为高斯定理数学表达式，高斯定理中闭合曲面称为高斯面。
说明：⑴以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明⑵高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围比后者更广泛。
后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
⑶高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只与闭合面内的自由电荷代数和有关，而与闭合曲面外的电荷无关。
>0时，不能说S 内只有正电荷 当内S se q S d E 01<0时，不能说S 内只有负电荷 =0时，不能说S 内无电荷注意：这些都是S 内电荷代数和的结果和表现。
⑷高斯定理说明内S se q S d E 01与S 内电荷有关而与S 外电荷无关，这并不是说E 只与S 内电荷有关而与S 外电荷无关。
实际上，E是由S 内、外所有电荷产生的结果。
⑸高斯面可由我们任选。
四、应用高斯定理求场强下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。
可以看到，应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单。
1. 一均匀带电球面，半径为R ，电荷为q ，求：球面内外任一点场强。
解：由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半径向外，以O 为球心任意球面上的各点E值相等。
⑴球面内任一点1P 的场强以O 为圆心，通过P 1点做半径为1r 的球面1S 为高斯面，高斯定理为：内111S s q S d E∵E 与S d 同向，且1S 上E值不变∴214111r E dS E dS E S d E s s s0110内S q0421 r E∴0 E即均匀带电球面内任一点P 1场强为零。
注意：1）不是每个面元上电荷在球面内产生的场强为零，而是所有面元上电荷在球面内产生场强的矢量和=0。
2）非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。
（在个别点有可能为零）⑵球面外任一点的场强以O 为圆心，通过P 2点以半径2r 做一球面2S 作为高斯面，由高斯定理有：q r E 02214204rq E方向：沿2OP 方向（若0 q ，则沿PO 方向）结论：均匀带电球面外任一点的场强，如图电荷全部集中在球心处的点电荷在该点产生的场强一样。
E 0 )(R r204rq )(R r2．有均匀带电的球体，半径为R ，电量为q ，求球内外场强（8-13）。
解：由题意知，电荷分布具有球对称性，∴电场也具有对称性，场强方向由球心向外辐射，在以O 为圆心的任意球面上各点的E相同。
（1）球内任一点P 1的? E以O 为球心，过P 1点做半径为1r 的高斯球面S 1，高斯定理为：∵E 与S d 同向，且S 1上各点E值相等，∴214111r E dS E dS E S d E s s s313031300343411r R q r R q q S内3130214r R q r E∴1304r R qEE 沿OP 方向。
（若0 q ，则E沿O P 1方向） 结论：1r E注意：不要认为S 1外任一电荷元在P 1处产生的场强为0，而是S 1外所有电荷元在P 1点产生的场强的叠加为0。
（2）球外任一点P 2的? E内111S s qS d E以O 为球心，过P 2点做半径为2r 的球形高斯面S 2，高斯定理为：内221S s q S d E由此有：q r E 022142204r qEE沿2OP 方向结论：均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。
E 1304r R q)(1R r 204r q)(R rr E 曲线如左图。
3．无限长均匀带电圆柱面，半径为R ，电荷面密度为0 ，求柱面内外任一点场强。
解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射，并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点E值相等。
1）带电圆柱面内任一点P 1的? E以OO’为轴，过P 1点做以1r 为半径高为h 的圆柱高斯面，上底为S 1，下底为S 2，侧面为S 3。
高斯定理为：内S sq S d E 01在此，有：321s s s sS d E S d E S d E S d E∵在S 1、S 2上各面元E S d1，∴上式前二项积分=0，又在S 3上S d 与E同向，且E =常数，∴h r E dS E EdS S d E s s s123301内S q021 h r E∴0 E结论：无限长均匀带电圆筒内任一点场强=02）带电柱面外任一点场强? E以'OO 为轴，过P 2点做半径为2r 高为h 的圆柱形高斯面，上底为S 1’，下底为S 2’，侧面为S 3’。
由高斯定理有：Rh h r E 212012022r RE∵ 122 R R =单位长柱面的电荷（电荷线密度）=∴202r E，E 由轴线指向P 2。
0 时，E 沿P 2指向轴线结论：无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强，如全部电荷都集中在带电柱面的轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强一样。
4.无限大均匀带电平面，电荷面密度为 ，求平面外任一点场强。
解：由题意知，平面产生的电场是关于平面二侧对称的，场强方向垂直平面，距平面相同的任意二点处的E值相等。
设P 为考察点，过P 点做一底面平行于平面的关于平面又对称的圆柱形高斯面，右端面为S 1，左端面为S 2，侧面为S 3，高斯定理为：内S sq S d E 01在此，有：321s s s sS d E S d E S d E S d E∵在S 3上的各面元E S d，∴第三项积分=0又 ∵在S 1、S 2上各面元S d 与E 同向，且在S 1、S 2上E=常数，∴有： 12122121ES ES ES dS E dS E EdS EdS S d E s s s s s1011S q S内10112S S E即： 02E （均匀电场） E 垂直平面指向考察点（若0 ，则E由考察点指向平面）。
5.有二平行无限大均匀带电平板A 、B ，电荷面密度分别为1） ,；2） ,。
求：板内、外场强。
解：设P 3为二板内任一点，B A E E E即 00022B A E E E 设P 4为B 右侧任一点（也可取在A 左侧）B A E E E 即： 0220B A E E E 上面，我们应用高斯定理求出了几种带电体产生的场强，从这几个例子看出，用高斯定理求场强是比较简单的。
但是，我们应该明确，虽然高斯定理是普遍成立的，但是任何带电体产生的场强 不是都能由它计算出，因为这样的计算是有条件的，它要求电场分布具有一定的对称性，在具有某种对称性时，才能适选高斯面，从而很方便的计算出值。
应用高斯定理时，要注意下面环节：1）分析对称性；2）适选高斯面；3）计算? s S d E?10 内S q 4）由高斯定理内S sqS d E 01求出E 。
