2021考研数学三测试卷

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞=n n x a ,则221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(B) 若221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a , 则lim →∞=n n x a(C)若lim →∞=n n x a ,则331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(D) 若331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a ,则lim →∞=n n x a(2) 设函数()f x 在(),-∞+∞内持续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3 (3) 设(){}2222,2,2=+≤+≤D x y xy x x y y ,函数(),f x y 在D 上持续,则(),d d Df x y x y =⎰⎰ ( )(A)()()2cos 2sin 4204d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰ (B)()()2sin 2cos 420004d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰(C)()112d ,d xx f x y y ⎰⎰(D) ()102d ,d xxf x y y ⎰(4) 下列级数中发散的是( )(A) 13n n n∞=∑ (B)1)n n ∞=+∑(C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑(D)1!n n n n∞=∑(5)设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω(D) ,a d ∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C)2221232y y y --(D) 2221232y y y ++(7) 若,A B 为任意两个随机事件,则: ( )(A)()()()≤P AB P A P B (B)()()()≥P AB P A P B (C)()()()2+≤P A P B P AB (D) ()()()2+≥P A P B P AB(8) 设整体()~,,X B m θ12,,,n X X X 为来自该整体的简单随机样本,X 为样本均值,则()21ni i E X X=⎡⎤∑-=⎢⎥⎣⎦( ) (A) ()()11θθ--m n (B)()()11θθ--m n (C)()()()111θθ---m n (D)()1θθ-mn二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln(cos )lim__________.x x x →=(10)设函数()f x 持续，2()()d ,x x xf t t ϕ=⎰若(1)1,(1)5,ϕϕ'==则(1)________.f =(11)若函数(,)z z x y =由方程23e1x y zxyz +++=肯定，则(0,0)d _________.z=(12)设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处取得极值3，则()________.y x =(13)设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵，则行列式________.=B(14)设二维随机变量(,)X Y 服从正态散布(1,0;1,1;0)N ，则{0}_________.P XY Y -<=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.(15)(本题满分10 分)设函数3()ln(1)sin ,()f x x a x bx x g x c kx =+++==.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.(16)(本题满分10 分) 计算二重积分()d d Dx x y x y +⎰⎰，其中222{(,)2,}.D x y x y y x =+≤≥(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品肯定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价钱，MC 为边际本钱，η为需求弹性(0)η>.(I) 证明定价模型为11MCP η=-； (II) 若该商品的本钱函数为2()1600C Q Q =+，需求函数为40Q P =-，试由（I ）中的定价模型肯定此商品的价钱.(18)(本题满分10 分)设函数()f x 在概念域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f =，求()f x表达式.(19)(本题满分 10分)（I ）设函数(),()u x v x 可导，利用导数概念证明[()()]()()()();u x v x u x v x u x v x '''=+ （II ）设函数12(),(),,()n u x u x u x 可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式.(20) (本题满分 11分)设矩阵101101a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A =，且3=A O .(I) 求a 的值；(II)若矩阵X 知足22--+=X XA AX AXA E ，其中E 为3阶单位矩阵，求X .(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵.(22) (本题满分11 分)设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,00,0xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩,对X 进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数(I)求Y 的概率散布；(II)求()E Y.(23) (本题满分11 分)设整体X的概率密度为,1,(,),xf xθθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩110其他,其中θ为未知参数，12nX,X,,X为来自该整体的简单随机样本.(I)求θ的矩估量量；(II)求θ的最大似然估量量.。

2023年全国硕士研究生招生考试考研（数学三）真题及详解1．已知函数f 一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。

A ．∂∂x f0,1)(不存在，∂∂y f 0,1)(存在B ．∂∂x f0,1)(存在，∂∂y f 0,1)(不存在C ．∂∂x f0,1)(，∂∂y f 0,1)(均存在D ．∂∂x f0,1)(，∂∂yf 0,1)(均不存在2．函数x ≤0)⎩(x +1cos x ,x >0f (x )=的原函数为（）。

A． ⎪≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln ,0B．⎪+≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln 1,0C．⎪+≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln ,0D．⎪++≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln 1,0）。

3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（A ．a ＜0，b ＞0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＝0，b ＞0D ．a ＝0，b ＜0n ＝1，2，…），若级数∑∞n =1a n 与∑∞n =1bn均收敛，则“级数∑∞n =1an绝对收敛”是“∑∞bnn =14．已知a n ＜b n（绝对收敛”的（）。

A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则⎝⎭⎪⎛⎫O B A E *＝（）。

A ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A B B A OB A ****B ．⎝⎭⎪⎪-⎛⎫B A A B O A B ****C ． ⎝⎭ ⎪ ⎪-⎛⎫B A B A OA B ****D ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A BA B OB A ****x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（）。

2021考研数学三考试历年真题及答案详解一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）1.当x→0时，是x7的（）。

A．低阶无穷小B．等价无穷小C．高阶无穷小D．同阶但非等价无穷小【答案】C【考点】常用等价无穷小；【解析】因为当x→0时，，所以是x7的高阶无穷小，故选C项。

2.函数，在x＝0处（）。

A．连续且取极大值B．连续且取极小值C．可导且导数为0D．可导且导数不为0【答案】D【考点】连续和可导的定义；【解析】因为故f（x）在x＝0处连续。

因为即f′（0）＝1/2，故选D项。

3.设函数f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2个零点，则b/a的取值范围为（）。

A．（e，＋∞）B．（0，e）C．（0，1/e）D．（1/e，＋∞）【答案】A【考点】函数单调性及极值；【解析】函数求导得f′（x）＝a－b/x，令f′（x）＝0，则有驻点x＝b/a，得在区间（b/a，＋∞）上，f′（x）＞0，f（x）单增；在区间（－∞，b/a）上，f′（x）＜0，f（x）单减。

即f（b/a）为函数f（x）的极小值，若f（x）有2个零点，则f（b/a）＝a·b/a －bln（b/a）＜0，从而ln（b/a）＞1，可得b/a＞e，故选A项。

4.设函数f（x，y）可微，且f（x＋1，ex）＝x（x＋1）2，f（x，x2）＝2x2lnx，则df（1，1）＝（）。

A．dx＋dyB．dx－dyC．dyD．－dy【答案】C【考点】多元函数可微；【解析】记∂f/∂x＝f1′，记∂f/∂y＝f2′，则题给两式对x求导得将分别代入（1）（2）式有联立可得f1′（1，1）＝0，f2′（1，1）＝1，df（1，1）＝f1′（1，1）dx＋f2′（1，1）dy＝dy，故选C项。

5.二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2的正惯性指数和负惯性指数依次为（）。

2021考研数学三真题试卷(Word版)2021年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题一、选择题（1-10小题，每小题5分，共50分）1) 当x趋近于无穷大时，∫x2(et-1)dt是x7的（）A) 低阶无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 同阶但非等价无穷小2) 函数f(x)={ex-1.x≠0.x。

x=0}，在x=0处（）A) 连续且取得极大值 (B) 连续且取得极小值 (C) 可导且导数等于零 (D) 可导且导数不为零3) 设函数f(x)=ax-blngx(a>0)有2个零点，则b/a的取值范围（）A) (e。

+∞) (B) (0.e) (C) (0.1/e) (D) (-∞。

0)∪(1/e。

+∞)4) 设函数f(x,y)可微，且f(x+1,e)=x(x+1)，f(x,x)=2xlnx，则df(1,1)为()A) dx+dy (B) dx-dy (C) dy (D) -dy5) 二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为()A) 2,0 (B) 1,1 (C) 2,1 (D) 1,26) 设A=(α1,α2,α3,α4)的4阶正交矩阵，若矩阵B=[α2;1 α3]，β=1，k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=()A) α2+α3+α4+kα1 (B) α1+α3+α4+kα2 (C) α1+α2+α4+kα3 (D) α1+α2+α3+kα47) 已知矩阵A=[2 -1;1 1]，使得PAQ为对角矩阵，则下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，分别取()A) P=1，Q=[1 1;3 2] (B) P=2-1，Q=[1 1;3 2] (C) P=2-1，Q=[1 1;-3 1] (D) P=1，Q=[-3 1;1 1]8) 设A,B为随机事件，且0<P(B)<1，下列为假命题的是()A) 若P(A|B)=P(A)，则P(A∩B)=P(A)P(B)B) 若A,B互不相容，则P(A∪B)=P(A)+P(B)C) 若P(A|B)>P(A)，则P(B|A)>P(B)D) 若P(A|B)<P(A)，则P(B|A)<P(B)一、改错题B) 若 $P(A|B)>P(A)$，则 $P(A|B)>P(A)$。

21考研数学三真题试题2021考研数学三真题试题（正文部分省略）注：以上内容仅为展示该标题所需的格式，实际文章内容应根据提供的真题试题进行撰写。

为了满足您的要求，以下将按照作文的格式，针对2021考研数学三真题试题进行撰写。

------21考研数学三真题试题（正文部分以真题试题为例进行展示）1. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_0^1 f(x) dx = 1$，求$\int_0^1 f(x)f(1-x) dx$。

解析：首先，设 $F(t)=\int_0^t f(x)dx$，则根据定义，我们有$F(1)=\int_0^1 f(x)dx=1$。

又根据分部积分公式，我们有：$$\int_0^1 f(x)f(1-x)dx=F(1)f(1)-\int_0^1 F(t)f'(1-t)dt$$因为 $F(1)=1$，所以上式可以简化为：$$\int_0^1 f(x)f(1-x)dx=1-\int_0^1 F(t)f'(1-t)dt$$由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，所以 $F(t)$ 在 $[0,1]$ 上可导。

根据Lagrange 中值定理，存在 $\xi\in(0,1)$，使得：$$\int_0^1 F(t)f'(1-t)dt=F(\xi)\int_0^1f'(1-t)dt$$由于 $F(t)$ 在 $[0,1]$ 上可导，所以根据 Newton-Leibniz 公式，我们有：$$F(\xi)\int_0^1f'(1-t)dt=F(\xi)(f(0)-f(1))$$因为 $F(1)=1$，所以 $F(\xi)\in[0,1]$。

又因为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，所以根据介值定理，存在 $c\in[0,1]$，使得 $F(c)=F(\xi)$。

综上所述，我们得到：$$\int_0^1 f(x)f(1-x)dx=1-F(c)(f(0)-f(1))$$接下来需要利用已知的 $\int_0^1 f(x)dx = 1$ 条件来具体求解该题目。

2021 年全国硕士研究生入学一致考试真题试卷?数学三?试题一、选择题 :1 —8 小题．每题 4 分，共 32 分．1．假设函数 f ( x)1cos x, x在 x 0 处连续，那么axb,x0〔 A〕ab 1〔〕ab1〔〕ab 0〔〕2B2C D ab 22．二元函数z xy(3x y) 的极值点是〔〕〔 A〕(0,0)〔B〕(0, 3)〔C〕(3, 0)〔D〕(1,1)3．设函数 f ( x)是可导函数，且满足 f ( x) f (x)0 ，那么〔 A〕f (1) f (1)〔B〕f (1) f ( 1)〔 C〕f (1) f ( 1)〔D〕f (1) f (1)4．假设级数1k ln(11收敛，那么k〔〕sin)n 2n n〔A〕 1〔B〕 2〔C〕 1〔D〕 2 5．设为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，那么〔 A〕E T不可以逆〔〕T 不可以逆B E〔 C〕E 2T不可以逆〔〕E 2T不可以逆D2002101006．矩阵A 021， B020 ， C020，那么001001002〔A〕A,C相似，B,C相似〔B〕A, C相似，B,C不相似〔C〕A,C不相似，B,C相似〔D〕A,C不相似，B,C不相似B与C相第1页共16页〔 A〕A, B相互独立〔B〕A, B互不相容〔C〕AB,C相互独立〔D〕AB,C互不相容8．设X1, X2,, X n (n 2) 为来自正态整体 N ( ,1) 的简单随机样本，假设1 n X i，那么Xn i1以下结论中不正确的选项是〔〕n)2遵从 2 分布22 分布〔 A〕( X i〔B〕 2 X n X1遵从i1nX)2遵从2分布) 2遵从 2 分布〔 C〕( X i〔 D〕n( Xi1二、填空题〔此题共 6 小题，每题 4 分，总分值 24 分.把答案填在题中横线上〕9．(sin 3 x2x2 ) dx．10．差分方程y t 1 2 y t2t的通解为．11．设生产某产品的平均本钱 C (Q ) 1 e Q，其中产量为 Q ，那么边缘本钱为.12．设函数 f ( x, y) 拥有一阶连续的偏导数，且df ( x, y) ye y dx x(1y)e y dy ，f (0,0) 0 ，那么 f ( x, y)1 0113．设矩阵A 112，1 ,2 , 3为线性没关的三维列向量，那么向量组 A 1, A 2, A 3011的秩为．14．设随机变量 X 的概率分布为P X21，PX 1 a ，P X 3b ，假设EX0 ，2那么 DX．三、解答题15．〔此题总分值 10 分〕x求极限 limx te tdt3x 0x16．〔此题总分值 10 分〕计算积分y 32 dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 yx 与 x 轴为界线的无界x 24)D (1y地域．17．〔此题总分值 10 分〕求 limn k2 ln 1k nk 1 nn18．〔此题总分值 10 分〕方程11内有实根，确定常数 k 的取值范围．ln(1 x)k 在区间 (0,1)x19．〔此题总分值 10 分〕设 a01,a10, a n 11(na n a n 1 )(n 1,2,3 ), ， S( x) 为幂级数a n x n的和函数n1n 0〔 1〕证明a n x n的收敛半径不小于1．n0（2〕证明(1 x)S (x) xS(x) 0( x ( 1,1))，并求出和函数的表达式．20．〔此题总分值 11 分〕设三阶矩阵 A 1 ,2 , 3有三个不同样的特色值，且 3 12 2.〔 1〕证明：r ( A)2；〔2〕假设1 2 ,3，求方程组 Ax的通解．21．〔此题总分值 11 分〕设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x12x22ax322x1x28x1x32x2x3在正交变换 x Qy 下的标准形为 1 y12 2 y22，求a的值及一个正交矩阵Q．22．〔此题总分值 11 分〕设随机变量 X , Y 相互独立，且X的概率分布为 P X 0P{ X 2}1，Y的概率密度22 y,0 y1为 f ( y)．0,其他（1〕求概率P〔Y EY〕；（2〕求 Z X Y 的概率密度．23．〔此题总分值 11 分〕某工程师为认识一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量是的，设 n 次测量结果 X1, X2 ,, X n相互独立且均遵从正态分布 N (, 2). 该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2, , ) ，利用估计参数Z i X i i n Z1, Z2 , , Z n．（1〕求Z i的概率密度；（2〕利用一阶矩求的矩估计量；（3〕求参数最大似然估计量．2021 年全国硕士研究生入学一致考试真题试卷?数学三?试题答案一、选择题 :1 —8 小题．每题4 分，共 32 分．1 cos x1 x 1， lim1．解： lim f ( x) limlim 2 f ( x)bf (0) ，要使函数在 x 0x 0 x 0 ax x 0 ax2ax 0处连续，必定满足1 bab1．所以应入选〔 A 〕2a22．解：zy(3 x y)xy 3y2xyy 2 ， z3x x 2 2xy ，xy2z2 y,2z2x,2z2z3 2xx2y2x y y xz 3y 2xy y 2 0解方程组x，得四个驻点． 对每个驻点考据 AC B 2 ，发现只有在点 z 3x x 2 2xy 0y(1,1) 处满足 AC B 23 0，且AC2 0 ，所以 (1,1) 为函数的极大值点，所以应该选〔 D 〕3．解：设 g(x)( f ( x))2 ，那么 g( x)2 f ( x) f (x)2是单调增加函数．也0 ，也就是 f ( x)2f (2f (1)f ( 1) ，所以应入选〔 C 〕就获取 f (1)1)4．11 1211 k 11解： iv nk ln(11 1 1o(1时 sin nn )n kn2nn 2k) n2 n 2 on 2显然当且仅当 (1k) 0 ，也就是 k1 时，级数的一般项是关于 1的二阶无量小，级数n收敛，从而选择〔 C 〕．5．解：矩阵T的特色值为 1和 n 1个0，从而 ET, ET,E 2T,E 2T的特色值分别为 0,1,1,1； 2,1,1, ,1 ； 1,1,1, ,1 ； 3,1,1, ,1 ．显然只有 ET存在零特6．解：矩阵A, B的特色值都是12 2,31．可否可对解化，只需要关心 2 的情况．000关于矩阵 A ，2E A001，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特色值 2 存在两001个线性没关的特色向量，也就是可以对角化，也就是A~C．010关于矩阵 B ，2E B000，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特色值 2 只有一001个线性没关的特色向量，也就是不可以对角化，自然B, C 不相似应选择〔B〕．7．解：P(( A B)C ) P( AC AB )P(AC)P( BC)P( ABC )P( A) P(C) P( B)P(C)P( ABC ) P(A B) P(C) (P( A)P(B)P( AB )) P(C)P(A) P(C)P( B)P(C ) P(AB) P(C )显然， A B与 C 相互独立的充分必要条件是P( ABC)P( AB)P(C) ，所以选择〔C〕．8．解：〔 1 〕显然( X i) ~ N (0,1)( X i) 2~2 (1),i 1,2,n 且相互独立，所以n)22 (n) 分布，也就是〔A〕结论是正确的；( X i遵从i 1n22(n 22〔 2〕( X i X )(n1)S1)S(n1)，所以〔 C〕结论也是正确的；2~i1〔 3〕注意1n( X) ~ N (0,1)n( X2~2〕结论也是X~N( , ))(1) ，所以〔Dn正确的；〔 4〕关于选项〔 B〕：( X n X1) ~ N (0,2)X nX1 ~ N (0,1)1( X n X1 )2 ~2 (1)，所22以〔 B〕结论是错误的，应入选择〔B〕第 10页共16页二、填空题〔此题共 6 小题，每题4 分，总分值 24 分. 把答案填在题中横线上〕(sin 3 x2x 2 )dx2x 2 dx39．解：由对称性知2．210．解：齐次差分方程 y t 1 2 y t 0 的通解为 yC 2x ；设 y t 1 2 y t 2t 的特解为 y t at 2t ，代入方程，得 a1 ；12所以差分方程 y t12 y t2t 的通解为 yC 2tt 2t .211．解：答案为 1 (1 Q) e Q ．平均本钱 C(Q)1 e Q ，那么总本钱为 C (Q) QC (Q) Q Qe Q ，从而边缘本钱为C (Q ) 1 (1 Q )e Q .12．解： df (x, y)ye y dx x(1 y)e y dyd( xye y ) ，所以 f (x, y) xye yC ，由 f (0,0)0 ，得 C 0 ，所以 f (x, y)xye y ．1 0 1 1 0 1 1 0 113．解：对矩阵进行初等变换 A1 12 0 1 1 0 1 1 ，知矩阵 A 的秩0 1 10 1 10 0 0为 2，由于 1,2 ,3 为线性没关，所以向量组 A 1, A 2, A 3的秩为 2．14．解：显然由概率分布的性质，知a b1 1211 1 EXa 3b a 3b 10 ，解得 a21,b429，DX EX 29 ． 4EX22 a 9bE 2(X )22三、解答题15．〔此题总分值 10 分〕解：令 x tu ，那么 t xu , dtdu ，x te t dtx ue x u dux 0xtx xuxuxx te dt eueduueduxe 2 limlimlimlimx 0x3x 0x 3x 0x 3x 03 x 3216．〔此题总分值 10 分〕解：y 3xy3y 4 ) 2dxdydxy 4 )2dyD (1 x 2(1 x21xd (1 x 2 y 4 )4 0 dx(1 x 2y 4 )2111 dx1 24 01 x 21 2x 28 217．〔此题总分值 10 分〕解：由定积分的定义nklnk lim 1 n k lim21ln 1n1 nnnn k 1 nk1 1x)dx 22ln(1k1 n x ln(1 x)dx1418．〔此题总分值 10 分〕解：设 f ( x) 11 (0,1) ，那么ln(1 x), xxf (x)11(1 x) ln 2 (1 x) x 2(1 x) ln 2(1 x) x 2x 2(1 x) ln 2(1 x)令 g (x) (1x)ln 2 (1 x)x 2 ，那么 g(0) 0, g(1) 2ln 2 21g (x) ln 2 (1 x)2ln(1 x) 2x, g (0)g (x)2(ln(1 x) x)0, x (0,1) ，所以 g ( x) 在 (0,1) 上单调减少，1 x由于 g (0) 0 ，所以当 x (0,1) 时， g (x) g0) 0 ，也就是 g( x) g ( x) 在 (0,1) 上单调减少，当 x (0,1) 时， g( x)g(0)0 ，进一步获适当 x (0,1) 时， f (x) 0 ，也就是 f (x) 在(0,1) 上单调减少．lim f ( x) lim11 lim x ln(1 x)1 ， f (1)1 1，也就是获取 x 0x 0ln(1 x)x x 0x ln(1 x) 2ln 21 1 k 1 ． ln 2219．〔此题总分值 10 分〕解：〔1〕由条件 a n 11a n 1 )(n 1)a n 1na n a n 1(na nn 1也就获取 (n1)(a n 1 a n )( a n a n 1 ) ，也就获取a n 1a n 1 , n 1,2,a nan 1n 1a n 1 a n a n 1 a n a n a n 1a 2 a 1 ( 1)n 1a 1 a 0 a nan 1an 1an 2a 1 a 0(n 1)!也就获取 a n1a n( 1)n 1 1 , n 1,2,(n 1)!n( 1)k 1 1a n 1(an 1a n ) (a n a n 1 )(a 2 a 1) a 1k 2k!lim na nn111n1limlime 1，所以收敛半径 Rnn2! 3!n!n〔 2〕所以关于幂级数a n x n ， 由和函数的性质，可得 S ( x)na n x n 1 ，所以n 0n 1(1 x)S ( x) (1 x)na n x n 1na n x n 1na n x nn 1n 1n 1( n 1)a n 1x nna n x nn 0n 1a(( n 1)a1 na ) x n1n 1nna n 1 x na n x n 1xa n x n xS( x)n 1n 0n 0也就是有 (1 x) S (x) xS( x) 0( x ( 1,1)) ．解微分方程 (1 x)S ( x) xS( x) 0 ，得 S(x)CexS(0)a 01，得C 11，由于x所以 S(x)e x．1 x20．〔此题总分值 11 分〕解：〔1〕证明：由于矩阵有三个不同样的特色值，所以 A 是非零矩阵，也就是 r ( A) 1．假假设 r(A)1 时，那么 r0 是矩阵的二重特色值，与条件不吻合，所以有r (A) 2 ，又由于31220 ，也就是 1, 2,3 线性相关， r ( A) 3 ，也就只有 r ( A)2 ．〔 2〕由于 r ( A) 2 ，所以 Ax0 的基础解系中只有一个线性没关的解向量．由于1312 2，所以基础解系为 x2；11又由12 ,3 ，得非齐次方程组 Ax的特解可取为1 ；11 1方程组 Ax的通解为 x k 21 ，其中 k 为任意常数．1121．〔此题总分值 11 分〕2 1 4 解：二次型矩阵 A11 141a由于二次型的标准形为1 y 122 y 22．也就说明矩阵 A 有零特色值，所以 A0 ，故 a 2.11 4E A1 1 1(3)( 6)41 2令 E A0 得矩阵的特色值为13,26, 3 0 ．1经过分别解方程组 ( i EA) x 0 得矩阵的属于特色值3 的特色向量1，111 311 111 属于特色值特色值26 的特色向量20 ， 3 0 的特色向量 32 ，26111113 26所以 Q1,2,31 02为所求正交矩阵．3611 132622．〔此题总分值 11分〕解：〔1〕 EYyf Y ( y) dy12dy2 . 2y3224 .所以P Y EY P Y3 2 ydy309〔2〕 Z X Y 的分布函数为F Z (z) P Z z P X Y z P X Y z, X 0 P X Y z, X 2P X0,Y z P X2,Y z21z}1z2P{ Y P Y221F Y (z2)F Y ( z)2故 Z X Y 的概率密度为f Z ( z)F Z( z)1f (z) f ( z 2) 2z,0z1 z2,2z3 0,其他23．〔此题总分值 11 分〕解：〔1〕先求Z i的分布函数为F Z (z)P Z i z P X iX i z z P当 z0 时，显然F Z( z)0 ；当 z0 时， F Z ( z) P Z i z P X iX i z z；z P21 2z2e 2 2所以 Z i的概率密度为 f Z ( z) F Z (z)20,,z 0 ．z 02z22〔 2〕数学希望 EZ i zf (z)dz ze 22dz，0022令EZ Z 1n，解得的矩估计量2Z2n．n iZ i22nZ i 1i 1〔3〕设Z1, Z2,, Z n的察看值为 z1, z2 ,, z n．当 z i0, i1,2,n 时1nn2n z i2似然函数为L( ) f ( z i , )22i 1，i 1( 2)n e第 15页共16页nln(2 ) nln1n取对数得： ln L( )n ln 2z i22 2 2i 1令d ln L ( )n 1 n20 ，得参数最大似然估计量为1 n2．d3z in i 1z ii1第 16页共16页。

2021―2021年考研数三真题（word版）04――13数三真题2021年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.．．．（1）档x?0时，用o(x)则表示比x的高阶无穷小，则以下式子中错误的就是（）a、x?o(x)?o(x)b、o(x)?o(x)?o(x)c、o(x)?o(x)?o(x)d、o(x)?o(x)?o(x)（2）设函数f(x)?222222323x?1x(x?1)lnxx的可去间断点个数为()a.0b.1c.2d.322（3）设dk是圆域d?(x,y)x?y?1??位于第k象限的部分,记ik(y?x)dxdy(k?1,2,3,4),则()dka.i1?0b.i2?0c.i3?0d.i4?0（4）设?an?为正项数列,下列选项正确的是()a.若an?an?1，则(?1)n?1?n?1an收敛b.若?(?1)n?1an收敛，则an?an?1n?1?c.若an1n收敛，则存在常数p?1,使limnpan存在n??d.若存有常数p?1,并使limnan存有,则n??p?an?1?n收敛（5）设立矩阵a.b.c均为n阶矩阵，若ab=c,则b对称，则（）a.矩阵c的行向量组与矩阵a的行向量组等价b.矩阵c的列向量组与矩阵a的列向量组等价c.矩阵c的行向量组与矩阵b的行向量组等价d.矩阵c的列向量组与矩阵b的列向量组等价1a1200（6）若矩阵?aba?和?0b0?相近的充份必要条件为（）1a1000a.a0,b2b.a0,b为任意数c.a?2,b?0d.a?2，b为任意数（7）设x1,x2,x3就是随机变量，且x1~n(0,1),x2~n(0,2),x3~n(5,3),则pj?p?2?xj?2?j?1,2,3?,则（）a.p1?p2>p3b.p2>p1>p3c.p3>p1>p2d.p1>p3>p2(8)设随机变量x和y相互独立，则x和y的概率分布分别为：x-10x0123111111pp332488则p?x?y?2??()22??1131111b.c.d.12862二、填空题：9?14小题，每小题4分后，共24分后，恳请将答案写下在答题纸选定边线．．．a.上.（9）设曲线y?f(x)和y?x?x在点（0,1）处有公共的切线，则limnf(n??2n)=______.n?2(10)设函数z?z?x,y?由方程(z?y)?xy确定，则x?z=________.?x(1,2)(11)谋1lnxdx=_2(1?x)(12)微分方程yy??1y?0的吉龙德为y?_____4（13）设a=（aij）就是三阶非零矩阵，a为a的行列式，aij为aij的代数余子势，若aij+aij=0aij?aij?0(i,j?1,2,3)，则a=_________.(14)设立随机变量x顺从标准正态分布x~n(0,1),则e(xe2x)?____。

21数三真题及答案解析在考试季节的到来之际，许多学生都会面临各科目的考试挑战。

其中，数学一直是许多学生视为难题的科目。

为了帮助学生更好地备考21数三考试，今天我将分享一些关于21数三真题及其答案解析的信息。

希望这些信息对所有备考的学生有所帮助。

一、选择题1. 设数列{an}符合an+2 = an+1 + an（n∈N*），且a1 = 3,a2 = 5，则a3 = ?A. 3B. 5C. 8D. 13解析：首先，根据题目的a1和a2，我们可以求得a3。

根据数列的定义式，我们知道a3 = a2 + a1。

所以a3 = 5 + 3 = 8。

因此，答案是C选项。

2. 若x是某个实数的平方根，y是某个实数的立方根，且x + y = 0，那么xy等于多少？A. -1B. 0C. 1D. 无法确定解析：根据题目信息，我们可以写出方程式x + y = 0，并进一步化简为y = -x。

由于x是某个实数的平方根，所以x必须是非负实数。

因此，我们可以得出y的取值范围为所有非正实数。

根据这个范围，我们可以得出xy = -x * x = -x^2。

由于无法确定具体x的值，所以无法确定xy的值。

因此，答案是D选项。

二、填空题1. 若f(x) = |x - 2|，则f(1) + f(3)的值为______。

解析：根据函数f(x)的定义式，我们可以得到f(1) = |1 - 2|= 1和f(3) = |3 - 2| = 1。

因此，f(1) + f(3) = 1 + 1 = 2。

因此，填空为2。

2. 若a是正整数，且方程ax^2 + 7x + 9 = 0有两个不等实根，则a的取值范围为________。

解析：根据方程ax^2 + 7x + 9 = 0有两个不等实根的条件，我们可以利用判别式D = b^2 - 4ac来求解。

根据题目信息，我们知道b = 7，a = a，c = 9。

所以D = 7^2 - 4a * 9 > 0。