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13.下列关于冲激响应不变法描述错误的是 ( C A.S 平面的每一个单极点 s=sk 变换到 Z 平面上 z= e skT 处的单极点 B.如果模拟滤波器是因果稳定的，则其数字滤波器也是因果稳定的 C.Ha(s和 H(z的部分分式的系数是相同的 D.S 平面极点与Z 平面极点都有 z= e s kT 的对应关系 14．下面关于 IIR 滤波器设计说法正确的是( C A. 双线性变换法的优点是数字频率和模拟频率成线性关系 B. 冲激响应不变法无频率混叠现象 C. 冲激响应不变法不适合设计高通滤波器 D. 双线性变换法只适合设计低通、带通滤波器 15.以下关于用双线性变换法设计 IIR 滤波器的论述中正确的是( B 。
A.数字频率与模拟频率之间呈线性关系 B.总是将稳定的模拟滤波器映射为一个稳定的数字滤波器 C.使用的变换是 s 平面到 z 平面的多值映射 D.不宜用来设计高通和带阻滤波器 16.以下对双线性变换的描述中不正确的是 ( D 。
A.双线性变换是一种非线性变换 B.双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换C.双线性变换把 s 平面的左半平面单值映射到 z 平面的单位圆内 D.以上说法都不对17．以下对双线性变换的描述中正确的是 ( B 。
A．双线性变换是一种线性变换B．双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换 C．双线性变换是一种分段线性变换 D．以上说法都不对 18．双线性变换法的最重要优点是：；主要缺点是 A 。
A. 无频率混叠现象；模拟域频率与数字域频率间为非线性关系 B. 无频率混叠现象；二次转换造成较大幅度失真 C. 无频率失真；模拟域频率与数字域频率间为非线性关系 D. 无频率失真；二次转换造成较大幅度失真 19．利用模拟滤波器设计法设计 IIR 数字滤波器的方法是先设计满足相应指标的模拟滤波器，再按某种方法将模拟滤波器转换成数字滤波器。
双线性变换法是一种二次变换方法，即它 C 。
滤波器的相位响应和群延迟分析一、引言滤波器是信号处理中的重要组成部分，用于对信号进行去噪、增强、分离等处理。
相位响应和群延迟是滤波器性能的两个重要指标，对于滤波器的性能分析和设计具有重要意义。
本文将深入探讨滤波器的相位响应和群延迟，以及它们在实际应用中的作用。
二、相位响应的定义和分析1. 相位响应的定义滤波器的相位响应是指滤波器在不同频率下输出信号相对于输入信号的相位差。
它反映了滤波器对不同频率分量的相位特性，是衡量滤波器频率特性的重要指标。
2. 相位响应的分析方法常见的分析相位响应的方法有Bode图法、极坐标图法等。
Bode图法通过绘制滤波器的幅频响应和相频响应曲线，直观地展示不同频率下的相位响应。
极坐标图法则将滤波器的相位响应表示为复平面上的点的轨迹，便于分析不同频率下信号的相位差。
三、群延迟的定义和分析1. 群延迟的定义群延迟是指滤波器对信号不同频率分量的传输延迟。
它是滤波器频率响应的重要指标，反映了滤波器对信号的非线性失真程度。
2. 群延迟的计算方法群延迟可以通过滤波器的相频响应曲线来计算。
在频域上求解相位响应曲线的一阶导数即可得到群延迟。
此外，也可以通过频域采样和离散傅里叶变换来计算滤波器的群延迟。
四、相位响应和群延迟的影响1. 相位响应对信号的影响滤波器的相位响应会引起信号在时域上的相位延迟或提前。
这对于需要保持信号相位准确性的应用具有重要意义，如音频处理、通信系统等。
例如，在音频处理中，相位失真会导致音频信号的波形畸变，降低音频质量。
2. 群延迟对信号的影响群延迟的存在会导致信号的不同频率成分到达输出端的时间不一致，进而引起信号的失真和畸变。
这在需要保持信号波形的时间准确性的应用中十分重要，如雷达信号处理、音频处理等。
五、优化滤波器的相位响应和群延迟1. 相位响应和群延迟的平衡在设计滤波器时，相位响应和群延迟通常是相互制约的。
改善群延迟可能会导致相位响应出现较大变化，反之亦然。
因此，在设计滤波器时需要在相位响应和群延迟之间进行平衡，根据具体的应用需求选择合适的滤波器结构和参数。
电路基础原理电路的频率响应与幅频特性电路频率响应与幅频特性是电路基础原理中的重要内容，它们描述了电路对不同频率的信号的响应和传输特性。
频率响应和幅频特性的理解对于实际电路设计和调试非常关键。
1. 频率响应的基本概念频率响应是指电路输出信号幅度对输入信号频率变化的响应情况。
在电路中，信号的频率往往对电路的性能和传输特性产生重要影响。
频率响应可以通过绘制电路的幅频特性曲线来表示。
幅频特性曲线描述了电路在不同频率下的增益和相位变化情况。
2. 传递函数与频率响应电路的频率响应可以通过其传递函数来描述。
传递函数是指电路输入和输出之间的关系，通常用H(jω)来表示，其中H是传递函数，j是虚数单位，ω是角频率。
传递函数可以用来计算电路的增益和相位。
3. 低通滤波器的频率响应低通滤波器是一种常见的电路，用于滤除输入信号中的高频成分。
低通滤波器的频率响应可以用来描述它对不同频率信号的抑制程度。
在低通滤波器的幅频特性曲线上，可以观察到高频信号的幅度被抑制，而低频信号保持较好的传输。
4. 高通滤波器的频率响应与低通滤波器相反，高通滤波器用于滤除输入信号中的低频成分。
高通滤波器的频率响应可以用来描述它对不同频率信号的传输情况。
在高通滤波器的幅频特性曲线上，可以观察到低频信号的幅度被抑制，而高频信号保持较好的传输。
5. 带通滤波器的频率响应带通滤波器是一种常用的电路，用于选择特定频率范围内的信号。
带通滤波器的频率响应可以用来描述它对不同频率信号的选择性。
在带通滤波器的幅频特性曲线上，可以观察到通带内的信号传输保持较好，而通带外的信号被抑制。
6. 带阻滤波器的频率响应带阻滤波器是一种常见的电路，用于剔除特定频率范围内的信号。
带阻滤波器的频率响应可以用来描述它对不同频率信号的抑制情况。
在带阻滤波器的幅频特性曲线上，可以观察到阻带内的信号被抑制，而阻带外的信号传输保持较好。
7. 频率响应对于电路设计的重要性频率响应的理解对于实际电路设计和调试非常关键。
滤波器的频率响应与幅频特性频率响应是对滤波器在不同频率下的响应能力进行描述的指标。
幅频特性则是指滤波器在不同频率下对信号幅度的影响程度。
1. 引言滤波器在电子工程中起着至关重要的作用。
它可以用来去除噪声、滤波信号以及频率选择等功能。
为了确保滤波器的设计和使用能够满足实际需求，了解滤波器的频率响应与幅频特性是非常关键的。
2. 频率响应滤波器的频率响应是指在不同频率下，滤波器对输入信号的响应情况。
通常情况下，频率响应是以频率为横坐标，增益为纵坐标进行绘制的。
不同类型的滤波器对频率的响应特性各不相同，如低通滤波器会对低频信号通过较好，而对高频信号进行衰减。
3. 幅频特性幅频特性是指在不同频率下，滤波器对信号幅度的影响程度。
它是通过绘制滤波器的增益-频率曲线来表示的。
由于滤波器对不同频率下的信号具有不同的增益，因此幅频特性是描述滤波器对信号增益的变化情况。
4. 不同类型滤波器的幅频特性4.1 低通滤波器低通滤波器的幅频特性表现为在低频范围内通过信号，并对高频信号进行衰减。
这种滤波器适用于需要去除高频噪声或只关注低频信号的应用场景。
4.2 高通滤波器高通滤波器的幅频特性表现为在高频范围内通过信号，并对低频信号进行衰减。
这种滤波器适用于需要去除低频噪声或只关注高频信号的应用场景。
4.3 带通滤波器带通滤波器的幅频特性表现为在某个频率范围内通过信号，并对其他频率的信号进行衰减。
这种滤波器适用于需要选择性地通过一定范围内的信号的应用场景。
4.4 带阻滤波器带阻滤波器的幅频特性表现为在某个频率范围内衰减信号，并对其他频率的信号进行通过。
这种滤波器适用于需要选择性地阻止一定范围内的信号的应用场景。
5. 影响滤波器频率响应与幅频特性的因素5.1 滤波器类型不同类型的滤波器由于其具体结构和设计参数的不同，其频率响应和幅频特性也会有所不同。
5.2 截止频率截止频率是影响滤波器频率响应和幅频特性的一个重要参数。
它表示滤波器在该频率下信号衰减或增益到一定程度的情况。
巴特沃兹滤波器是一种常见的电子滤波器，用于调节信号的幅频响应和相频响应。
在电子工程领域，滤波器是一种用来改变信号频率特性的电路或设备。
而在滤波器的设计中，巴特沃兹滤波器是一种经典的滤波器类型，其具有良好的频率特性和稳定性，被广泛应用于通信、音频处理和信号处理等领域。
本文将着重介绍巴特沃兹滤波器的幅频响应和相频响应两个重要概念，并通过具体的案例分析和数学推导来阐述其原理和特点。
一、巴特沃兹滤波器的幅频响应1.1 幅频响应的概念幅频响应是指滤波器对不同频率信号的幅度变化情况。
在巴特沃兹滤波器中，通常会有一个截止频率，低于这个频率的信号会被放大，而高于这个频率的信号会被压制。
幅频响应可以直观地反映出滤波器对不同频率信号的响应特性。
1.2 巴特沃兹滤波器的幅频响应特点巴特沃兹滤波器的幅频响应特点主要有以下几点：(1) 平坦度良好：在通带内，巴特沃兹滤波器的幅频响应相对平坦，能够较好地保持信号的幅度特性。
(2) 过渡带宽度可调：巴特沃兹滤波器的过渡带宽度可通过设计参数进行调节，以满足不同的应用需求。
(3) 截止频率清晰：巴特沃兹滤波器的截止频率明确，能够准确地对信号进行分频处理。
1.3 幅频响应的数学表达式巴特沃兹滤波器的幅频响应通常可以通过数学表达式来描述，其中包括通带增益、截止频率和衰减特性等参数。
常见的巴特沃兹滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器，它们的幅频响应表达式各有不同，但都能够清晰地反映出滤波器的频率特性。
二、巴特沃兹滤波器的相频响应2.1 相频响应的概念相频响应是指滤波器对不同频率信号的相位变化情况。
在信号处理领域中，相频响应是至关重要的，因为不同频率的信号在传输和处理过程中往往会引起相位延迟和相位失真，而良好的相频响应则能够有效地补偿这些相位变化，使信号保持良好的时域特性。
2.2 巴特沃兹滤波器的相频响应特点巴特沃兹滤波器的相频响应特点主要有以下几点：(1) 线性相位特性：在通带范围内，巴特沃兹滤波器的相频响应一般能够保持线性，不会引起相位失真。
设计题目：等波纹数字FIR低通滤波器2．对课程设计成果的要求〔包括图表（或实物）等硬件要求〕：滤波器的初始设计通过手工计算完成；在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析）；在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响；以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表；课程设计结束时提交设计说明书。
3．主要参考文献：[1]高息全丁美玉.《数字信号处理》[M].西安：西安电子科技大学出版社，2008.8[2]陈怀琛.《数字信号处理教程——MATLAB释义与实现》[M].北京：电子工业出版社，2004.12[3]张德丰.《详解MATLAB数字信号处理》[M].北京：电子工业出版社，2010.6[4]飞思科技产品研发中心.《MATLAB7辅助信号处理技术与应用》[M].北京：电子工业出版社，2005.34．课程设计工作进度计划：序号起迄日期工作内容接到题目，搜集资料1 2016.12.26-2016.12.31整理资料，构思设计方案2 2016.12.31-2016.1.3手工计算进行滤波器的初步设计3 2016.1.3-2016.1.5完善初步设计，学习Matlab软件操作4 2016.1.5-2016.1.7通过Matlab软件分析设计内容，逐步落实课题目标5 2016.1.8-2016.1.9上交课程设计，并做细节修改并完成设计6 2016.1.10-2016.1.13主指导教师日期：年月日1.前言数字滤波器(digital filter)是由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种装置，在通信、图像、语音、雷达等许多领域都有着十分广泛的应用。
在数字信号处理中，数字滤波占有极其重要的地位。
目前对数字滤波器的设计有多种方法。
其中Matlab软件已成为设计数字滤波器的强有力工具。
传统的数字滤波器设计过程复杂、计算工作量大、滤波特性调整困难，但利用Matlab信号处理工具箱可以快速有效地实现由软件组成的常规数字滤波器的设计、分析和仿真，极大地减轻了工作量，有利于滤波器设计的最优化。
一、 填空题（20分，每空1分）1.测试技术是测量和实验技术的统称。
工程测量可分为 静态测量 和 动态测量 。
2.测量结果与 被测真值 之差称为 测量误差 。
3.将电桥接成差动方式习以提高 灵敏度 ，改善非线性，进行 温度 补偿。
4.为了 补偿 温度变化给应变测量带来的误差，工作应变片与温度补偿应变片应接在 相邻 桥臂上。
5．调幅信号由载波的 幅值携带信号的信息，而调频信号则由载波的 频率 携带信号的信息。
6．绘制周期信号()x t 的单边频谱图，依据的数学表达式是 傅氏三角级数中的各项系数 ，而双边频谱图的依据数学表达式是 傅氏复指数级数中的各项系数 。
7．信号的有效值又称为均方根值，有效值的平方称为 均方值2ψ，它描述测试信号的强度(信号的平均功率)。
8．确定性信号可分为周期信号和非周期信号两类，前者频谱特点是离散的，后者频谱特点是连续的。
9.为了求取测试装置本身的动态特性，常用的实验方法是频率响应法和 阶跃响应法。
10.连续信号()x t 与0()t t δ-进行卷积其结果是：0()()x t t t δ*-= 0()x t t -。
其几何意义是 把原函数图像平移至0t 位置处 。
二、 选择题（20分，每题2分）1．直流电桥同一桥臂增加应变片数时，电桥灵敏度将(C)。
A ．增大 B ．减少 C.不变 D.变化不定 2．调制可以看成是调制信号与载波信号(A)。
A 相乘 B ．相加 C ．相减 D.相除 3．描述周期信号的数学工具是(D)。
A ．相关函数B ．拉氏变换C ．傅氏变换 D.傅氏级数 4．下列函数表达式中，(B)是周期信号。
A ．5cos100()0tt x t t π⎧≥⎪=⎨⎪<⎩当当B ．()20cos20()atx t et t π-=-∞<<+∞C ．()5sin 2010cos10()x t t tt ππ=+-∞<<+∞5．时域信号的时间尺度压缩时，则其频带的变化为(B)。
simulink里级联滤波器的幅频响应级联滤波器是一种常用的信号处理方法，用于改变信号的频率响应。
在Simulink中，我们可以通过级联多个滤波器来实现更复杂的滤波效果。
幅频响应是描述滤波器对信号不同频率分量的衰减或增益程度的一种指标。
在Simulink中，我们可以通过观察级联滤波器的幅频响应来了解滤波器对信号频谱的影响。
我们需要明确级联滤波器的概念。
级联滤波器是指将多个滤波器按照一定的顺序连接在一起，将输入信号依次经过每个滤波器进行处理，最终得到输出信号。
级联滤波器的输入信号首先经过第一个滤波器，然后将其输出作为第二个滤波器的输入，以此类推，直到最后一个滤波器。
这种级联的方式可以实现对信号的多次滤波，从而得到更复杂的频率响应。
在Simulink中，我们可以使用多个滤波器模块进行级联滤波器的搭建。
滤波器模块可以是一阶低通滤波器、一阶高通滤波器、二阶低通滤波器等等。
通过将这些滤波器模块按照一定的顺序连接在一起，我们就可以实现级联滤波器。
在搭建级联滤波器时，我们需要考虑滤波器的参数设置。
这些参数包括滤波器的阶数、截止频率、通带增益等。
这些参数会直接影响到滤波器的幅频响应。
通过调整这些参数，我们可以实现不同的滤波效果。
在Simulink中，我们可以使用Bode图来观察级联滤波器的幅频响应。
Bode图是一种常用的频率响应图，用于表示滤波器对不同频率分量的增益或衰减程度。
在Bode图中，横轴表示频率，纵轴表示增益或衰减程度。
通过观察Bode图，我们可以了解滤波器在不同频率下的响应情况。
在Simulink中，我们可以通过添加Bode图模块来绘制级联滤波器的幅频响应。
在添加Bode图模块后，我们需要将级联滤波器的输出信号连接到该模块的输入端口。
然后，我们就可以运行Simulink 模型，并观察Bode图来了解级联滤波器的幅频响应。
除了观察Bode图，我们还可以通过模拟不同输入信号来了解级联滤波器的效果。
在Simulink中，我们可以添加一个信号源模块来生成不同的输入信号，例如正弦波、方波等。
第二章 测量结果的数据处理及误差分析√2-3 用标准测力机检定材料试验机，若材料试验机的示值为5.000MN ，标准测力仪输出力值为4.980MN ，试问材料机在5.000MN 检定点的示值误差、示值的相对误差各为多少?解：示值误差=，020.0000.5980.4−=−示值的相对误差=%04.0000.5020.0−=−√2-8 设间接测量量z x y =+，在测量x 和时是一对一对同时读数的。
测量数据如下表。
试求的标准测量序号y z 偏差。
1 2 3 4 5 6 78 9 10 x 读数100 104 1029810310199101105102 y 读数51 51 5450515250505351解：101.5x =，51.3y =，0.42y σ=，0.687x σ=152.8z x y =+=z x y =+，1,1z z x y∂∂∴==∂∂ 由于10(,)()(0.55iix y x x y y ρ−−∴==∑0.98z σ∴=。
1m 距离的标准偏差为0.2mm 。
如何表示间的函数式？求测此10m 距离的标准差。
见书P27-28页的内容。
5.033，25.039，25.034mm 。
如不计其他不确定度来源，最佳值及其标准不确定度。
见书P36页例题2.8√2-9 用米尺逐段丈量一段10m 的距离，设丈量接测量解：参√2-14 用千分尺重复测量某小轴工件直径10次，得到的测量数据为25.031，25.037，25.034，25.036，25.038，25.037，25.036，2试估计解：参答案网 w w w .h k s h p .c n第三章 信号描述与分析-3 求指数函数的频谱。
√解：()e (00)atx t A a t −=>≥，3dt e Ae dt e t x X t j at t j ∫∫+∞−−+∞∞−−==0)()(ωωω220)()ωωωωω+−=+=+−=+∞+−a j a A j a A e j a Ata j （3-4 求被截断的余弦函数0cos t ω0cos ||()0 ||t t x t t Tω<⎧=⎨≥T解：⎩(题图3-4 )的傅里叶变换。
165图6.3.6 半带滤波器的幅频响应（a ）()j g H e ω，（b ）()()j g H eωπ-，（c ）()()()j j g g H e H e ωωπ-+我们在6.3.2节介绍了QMFB ，若)(0ωj eH 和)(1ωj e H 满足（6.3.2）式，即)(1ωj e H 和)(0ωj e H 以2π为对称，则称0H 和1H 镜像对称，但并没有要求1)()(10=+ωωj j e H e H 。
所以，两通道QMFB 不一定是半带滤波器，而半带滤波器一定是正交镜像滤波器。
由以上讨论，我们可把半带滤波器的特点总结如下：1661. 为满足（6.3.13b ）式，)(ωj eH 的通带与阻带纹波必须相等，即21δδ=；2. 同样为了满足（6.3.13b ）式，必有1)()()2()2(=++-θπθπj j eH eH 20πθ<<(6.3.14)也即该频率响应相对半带频率（2π）是对称的。
另外，若)(ωj eH 的通带频率为p ω，阻带频率为s ω，则p ω和s ω对2π是等距的。
正因为这以特点，所以称该类滤波器为“半带滤波器”；3. )(n h 除0=n 外，其余偶序号项全为零，即（6.3.12b ）式；4. 若)(z H 是非因果、零相位的FIR 滤波器，即)()(n h n h -=，那么，)(n h 的单边的最大长度为12-J ，J 为整数，总的长度141)12(2-=+-=J J N(6.3.15)即半带滤波器的长度总是奇数，且是4的整数倍减1。
若将)(z H 乘以)12(--J z，即可将零相位的FIR 滤波器变成因果的、具有线性相位的滤波器。
5. 半带滤波器可以是因果的，也可以是非因果的。
其系数可以是实的，也可以是复的。
如：31)(-+=zz H ， 11)(-=z z E11)(-++=z z z H ， z z E +=1)(111)(-+=jz z H ，j z E =)(1等均是半带滤波器。
6.3.5 互补型滤波器1.严格互补（strictly complementary ，SC ）滤波器一组滤波器)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -，若它们的转移函数具有如下关系：∑-=-=100)(M k n kcz z H(6.3.16)则称)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -是一组严格互补的滤波器。
167假定利用)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -作为分析滤波器组将)(n x 分成M 个子带信号，若把这M 个子带信号相加，即∑-=--==++1100)()()()()()()(M k n k M cz z X z H z X z H z X z H z X对应的时域信号是)(0n n cx -，它和)(n x 仅差了一个延迟和常数倍，这对于信号的准确重建是非常有用的。
由定理6.1，M th 滤波器一定是严格互补型滤波器。
半带滤波器是M th 滤波器的特例，因此，半带滤波器也是严格互补的。
给定一个低通滤波器)(0n h ，设其长度为偶数，属FIR 线性相位滤波器，显然，我们可把)(0z H 写成)()(z H ez H g 2N j 0ω-=的形式，式中)(z H g 为实数，可正可负。
若令))(()(z H 1e z H g 2N j 1-=-ω，显然，ωωj e z N N j z e z H z H =--==+|)()(10这样，)(0z H 和)(1z H 是严格互补的，如图6.3.7所示。
注意图中1δ并不等于2δ，因此，该滤波器不是半带滤波器。
图6.3.7 构造两通道严格互补滤波器的方法在进一步讨论其它类型滤波器之前，我们先给出本书常用的一些符号。
若)(z H 为一矩阵，即)(z H 的各元素都是z 的多项式，记168)(z T H 为)(z H 的转置；)(z H H 为)(z H 的共轭转置；)(*z H 表示将)(z H 各元素的系数取共轭；)()(*1Tz z -=H H ~表示将)(z H 各元素的系数取共轭，用1-z 代替z ，然后取转置。
例如，令)(z H 1z 10-+=)()(h h ，式中)(0h ，)(1h 也是矩阵，则z10z e 10e z 10z z 10z H H j H H j H 11T T T )()()()()()()()()()()()(~***h h H h h H h h H h h H +=+=+=+=--ωω矩阵)(~z H 称为)(z H 的“仿共轭（paraconjugate ）矩阵”。
若z 在单位圆上取值，即ωj e z =，则)()(~ωj Hez H H =。
一般，z 不在单位圆上，有)()(*~z1z H H H =(6.3.17)若)(z H 是z 的有理多项式，则)()(1*~-=z H z H(6.3.18)表示将)(z H 的系数取共轭，再用1-z 代替z ，例如：若 123)(-+=z z H ， 则 z z H 23)(~+=若 )()()(11dz c bz a z H --++=， 则 ))()(****~z d c z b a z H ++=2. 功率互补滤波器（power complementary ，PC ） 若M 个滤波器的频率响应满足c e HM k j k=∑-=102|)(|ω(6.3.19)式中c 为常数，则称)(0z H ，…，)(1z H M -是功率互补的。
该式又可表示为169c z H z HM k k k=∑-=10~)()((6.3.20)下面的定理给出了功率互补滤波器和M th 滤波器之间的关系：定理 6.2 给定一转移函数)(z H ，其多相表示为∑-=-=1)()(M l M l lz E zz H ，再令)()()(~z H z H z G =，当且仅当)(z G 是一M th 滤波器时，)(0z E ，…，)(1z E M -是功率互补的。
证明：为证明上述结论，我们定义一组滤波器∑-=--==1)()()(M l M l kl M lk Mk z E W zzWH z H(6.3.21)将其写成矩阵形式，有)()()()()()()()()()(z M 1M M 1M 0z 1M 1z 1M 10z E z E z E z 000z 0001z H z H z H E ΛH W ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----(6.3.22)式中W 是M M ⨯DFT 矩阵，满足I W W M H=如果)(z E 要满足功率互补关系，则应有c z z =)()(E E ~，由（6.3.22）式，有)()()()()()()()(~z z M z z z z z z HE E E W ΛW ΛE H H ~~~== (6.3.23)（1）若)(z E 是功率互补的，则')()(~c Mc z z ==H H因为'|)(|)()(c z Hz z 1M 0k 2k==∑-=H H ~(6.3.24)所以，)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -也是功率互补的。
由)(z G 的定义，即170)()()(~z H z H z G =，那么，)()()(~z H z H zW G k M=，因此有∑∑-=-===1012'|)(|)(M k M k kk Mc z HzWG(6.3.25)即)(z G 满足（6.3.6）式，由定理6.1，所以)(z G 为一M th 滤波器。
（2） 反过来，若)(z G 是M th 滤波器，则（6.3.25）和（6.3.24）式成立，从而Mc z z =)()(~H H ，对（6.3.22）式中的)(z Λ求逆，即)()()(z z z 11H W ΛE --=。
用上述同样的方法可证明常数=)()(z z E E ~，从而)(z E 是功率互补的，证毕。
若2=M ，即)(0z H 、)(1z H 是功率互补的，我们有c z H z H z H z H =+)()()()(11~00~(6.3.26)该式在两通道滤波器组的准确重建中有着重要的作用。
由定理6.2，)()()(~z H z H z G =应是一半带滤波器，并有c z G z G =-+)()(。
如果我们希望能设计出符合功率互补的滤波器)(0z H ，则应首先设计出半带滤波器)(z G ，由)()()(~z H z H z G =，显然)(0z H 是)(z G 的一个谱因子，因此，对)(z G 作谱分解，然后对极-零点重新安排，即可得到)(0z H 。
3全通互补滤波器（Allpass Complementary ，AC ） 若一组滤波器)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -满足∑-==10)()(M k kz A z H式中)(z A 为一全通滤波器，则称这一组滤波器是全通互补滤波器。
利用全通互补滤波器可消除信号重建时的幅度失真。
一组严格互补的滤波器也是全通滤波器，但不一定是功率互补的。
如果一组滤波器既是全通互补的，又是功率互补的，则称其为双互补（Doubly Comlementary ，DC ）滤波器。
有关以上各种类型的互补滤波器，我们将在以后的章节里陆续遇到。
1716.4 半带滤波器设计半带滤波器在两通道滤波器组的分析与实现中具有重要的作用，本节讨论其设计方法。
由上节所述，半带滤波器的单位抽样响应)(n h 除0=n 以外的偶序号项皆为零，且其频率响应有着（6.3.14）的对称性。
至今，人们已提出了多种设计方法，现择其主要讨论之。
1.窗函数法假定要设计的半带滤波器的截止频率=c ω2π，令理想滤波器的1|)(|=ωj d eH ，对≤||ω2π，其余为零，则⎰-==22nj d n2n d e 21n h ππωππωπ)sin()((6.4.1)显然，210h d =)(，0)2()4()2(====k h h h d d d ，所以，)(n h d 是一个零相位的半带滤波器。
但它是非因果的，n 从+∞∞-~，且频率特性不好。
我们可以仿照用窗函数法设计FIR 滤波器的方法来改造之[19]。
即选一窗函数)(n w ，令)())(()(n w 1J 2n h n h d --=(6.4.2)式中14-=J N 为)(n h 的长度。
2.利用Lagrange 插值法文献[129]提出了一个用Lagrange 插值法设计半带滤波器的方法。
首先由)12()!1()!()5.0()1()12(211-+--++-=-∏=-+n n J n j k J n h Jk J n ，J n ,,2,1 =(6.4.3)求出半带滤波器的单位抽样响应，)(n h 的总长度为14-=J N 。
