专升本-一元函数积分学

第二章讲义2007：36分2008：21分2009：32分2010：42分2011：29分一、导数的概念1、导数的概念左右导数的概念2、可导与连续的关系二、导数的计算导函数导函数基本结果求导法则复合函数的导数隐函数的导数对数求导法参数方程表示的函数的导数高阶导数三、导数的几何意义四、导数的应用1、中值定理1-1中值定理1-2中值定理推论2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用2-2极值2-3最值3、凹凸性、拐点4、洛必达法则5、渐近线一、导数的概念1、导数的概念1．讨论函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 23x x xx x f 在0=x 处的可导性. 2．设函数()x f 可导，且()()011lim12x f f x x→--=-，则()1f '=（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-3．设()x f 在1=x 处可导，且()11='f ，则()()=+--→hh f h f h 121lim 0（ ） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4- 4．设函数()f x 在0x =处满足，()()()03f x f x x α=-+，且()lim0x x xα→=，则()0f '=（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3 5．函数()x f 在点0x x =处可导，且()10-='x f ，则()()=+-→hh x f x f h 23lim000A ．32B ．32-C ．23- D ．236．设()1='x f ，则()()=--+→hh x f h x f h 32lim 0（ ） A ．4 B ．5 C ．2 D ．17．设()x f 为奇函数，则()30='x f 时，()=-'0x f ________．左右导数的概念2、可导与连续的关系1．函数在某点处连续是其在该点处可导的A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件二、导数的计算导函数导函数基本结果 求导法则复合函数的导数1．设函数5sin 212π--=x y ，则='yA ．5cos 212π--x x B ．21xx--C ．212x x - D ． 5cos 52122π---x x2．已知lnsin(12)y x =-，求.dy dx隐函数的导数1．设由方程22e xy e y =- 确定的函数为()x y y =，求.|0=x dx dy2．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y y x +=确定的隐函数，求dy dx. 3．由1=++xy y x ①所确定的隐函数()x y y =在1=x 处导数为________． 对数求导法1．已知y x =，求.dx dy2．若函数()()()ln 1xf x x x =>，则()f x '=（ ） A ． ()1ln x x - B ．()()1ln ln ln(ln )x xx x x -+C ．()ln ln(ln )xx x D ．()ln xx x参数方程表示的函数的导数1．曲线231,21,x t y t t =+⎧⎨=-+⎩则1|t dydx ==________．1． x y sin =的三阶导数是（ ）A ．x sinB ．x sin -C ．x cosD ．x cos -2．设函数()x f 具有四阶导数，且()f x ''=()()4f x =（ ）A ．B C ．1 D ．3214x --3．设函数()()()()()4321--++=x x x x x f ，则()()=x f 4________． 4．已知()21x f x e -=，则()()20070f =_______．5．若()()x f x f =-，在区间()+∞,0内，()()0,0>''>'x f x f ，则()x f 在 区间()0,∞-内A ．()()0,0<''<'x f x fB ．()()0,0>''>'x f x fC ．()()0,0<''>'x f x fD ．()()0,0>''<'x f x f6．设参数方程⎩⎨⎧-=+=.13,122t y t x 所确定的函数为()x y y =，则=22dx yd _______． 7．设函数()y y x =由参数方程33cos ,sin x t y t ⎧=⎨=⎩确定，则224|t d ydx π==（ ）A ．2-B ．1-C ．D 三、导数的几何意义1．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________． 2．曲线x x y ln =平行于直线01=+-y x 的切线方程是 A ．1-=x y B ．()1+-=x y C ．1+-=x y D ．()()11ln -+=x x y 3．曲线x y ln =上点)0,1(处的切线方程为________．4．曲线22y x x =+-在点M 处的切线平行于直线51y x =-，则点M 的坐标为5．过曲线arctan x y x e =+上的点()0,1处的法线方程为（ ） A ．210x y -+= B ．220x y -+= C ．210x y --= D ．220x y +-=6．曲线sin 2,cos ,x t y t =⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的切线方程为（ ）A ．2x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =- 四、导数的应用 1、中值定理1-1中值定理1．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A ． x y e =B ．ln ||y x =C ．21y x =-D ．21y x =2．函数()22f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ= _______．3．判断：()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b ≠，一定不存在(),a b ξ∈，使得()0.f ξ'=（ ）4．设()x f 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(),a b 内（ ） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0.f ξ'= 5．设()f x '在[],a b 上连续，存在,m M 两个常数，且满足12a x x b ≤<≤，证明： ()()()()212121m x x f x f x M x x -≤-≤-.6．设函数()x f 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，在开区间 ( 0 , 1 )内可导，且()().21,00==f f 证明：在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点x ，使得().12+='ξξf1-2中值定理推论1．设[]1,1-∈x ，则=+x x arccos arcsin （ ） A ．2π B ．4πC ．0D ．1 2．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且()00f =，则()f x =（ ） A ．2x x e e + B ．2x x e e - C ．2x x e e -+ D ．2x x e e --2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用1．函数()f x x =_______. 2．方程01sin =-+x x 在区间()1,0内根的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32-2极值1．若函数()2f x ax bx =+在1x =处取得极值2，则a =_______，b =_______．2．下列说法正确的是（ ）A ． 函数的极值点一定是函数的驻点B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对3．若函数()x f 在区间()b a ,内连续，在点0x x =处不可导，()b a x ,0∈ ，则 A ．0x 是()x f 的极大值点 B ．0x 是()x f 的极小值点 C ．0x 不是()x f 的极值点 D ．0x 可能是()x f 的极值点 4． 若()()0,000>''='x f x f ，则下述表述正确的是（ ）A ．0x 是()x f 的极大值点B ．0x 是()x f 的极小值点C ．0x 不是()x f 的极值点D ．无法确定0x 是否为()x f 的极值点 2-3最值1．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小2．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时 用料最省？3．求点()1,0P 到抛物线2x y =上点的距离的平方的最小值.3、凹凸性、拐点1．设()x f 在区间()b a ,内有()()0,0<''>'x f x f ，则()x f 在区间()b a ,内（ ） A ．单调减少且凹的 B ．单调增加且凸的 C ．单调减少且凸的 D ．单调增加且凹的2．曲线31x y +=的拐点为（ ）A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,0D ．()1,1 3．曲线352y x x =+-的拐点是（ ）A ． 0x =B ．()0,2-C ．无拐点D ．0,2x y ==-4．函数sin y x x =-在区间()0,2π内单调________，其曲线在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的凸凹性为________的．5．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（ ）A ．()2,2-B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．(),-∞+∞ 6．曲线x xe y -= 的拐点为A ．1=xB ．2=xC ． ⎪⎭⎫⎝⎛22,2e D ．⎪⎭⎫⎝⎛e 1,11,4、洛必达法则1．312cos limsin()3x x x ππ→-=-A ．1B ．0 CD．2．求011lim .1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭3．计算sin 0lim x x x +→4．sin lim sin x x x x x →∞+-（洛必达法则）1cos sin limlim 11cos sin x x x xx x→∞→∞+-===--.（）5、渐近线1．曲线2232xx y -=的水平渐近线为（ ） A ．32=y B ．32-=y C ．31=y D ．31-=y 2．曲线1|1|y x =-（ ） A ．只有水平渐进线；B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线；C ．只有垂直渐近线；D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线.3．曲线xe y x=（ ）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线4．曲线35arctan 2+=xxy A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线5．方程xy 1arcsin = 所表示的曲线（ ）A ．仅有水平渐近线B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线。

专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷3(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数f(x)在x=0，则（分数：2.00）A.f(0)=0且f －' (0)存在B.f(0)=1且f －' (0)存在C.f(0)=0且f ＋' (0)存在√D.f(0)=1且f ＋' (0)存在解析：解析：因为f(x)在x=0处连续，且=1，所以f(0)=0．从而有＋' (0)，故选C．2.设f(x)=e 2 + ，则f '（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：f ' (x)=(e 2 ) '3.设函数f(x)=xsinx，则f '（分数：2.00）B.1 √D.2π解析：解析：因为f ' (x)=sinx+xcosx，所以．4.函数x=0处 ( )（分数：2.00）A.连续且可导B.连续且不可导√C.不连续D.不仅可导，导数也连续解析：解析：因为=0=f(0)，所以函数在x=0处连续；所以函数在x=0处不可导．5.设y=x 2 +2x一1(x＞0)，则其反函数x=φ(y)在y=2处导数是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：y=x 2 +2x一1(x＞0)，y ' =2x+2，y=2时，x=1或x=一3(舍)，y ' (1)=4，所以x=φ(y)在y=2处的导数为φ'，故选A．6.已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，则在点x=0处f(x) ( )（分数：2.00）A.不可导B.可导且f(0)≠0C.取得极大值D.取得极小值√解析：解析：因为＞0，由极限的保号性知，存在x=00，因此在该邻域内有f(x)＞f(0)，所以f(x)在x=0处取极小值，故选D．7.函数y=e x +arctanx在区间[一1，1]上 ( )（分数：2.00）A.单调减少B.单调增加√C.无最大值D.无最小值解析：解析：因y ' =e x0处处成立，于是函数在(－∞，+∞)内都是单调增加的，故在[一1，1]上单调增加，在区间端点处取得最值．8.设函数f(x)满足关系式f '' (x)+[f ' (x)] 2 =x，且f ' (0)=0，则 ( )（分数：2.00）A.f(0)是f(x)的极大值B.f(0)是f(x)的极小值C.点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点√D.f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点解析：解析：由f ' (0)=0及f '' (x)+[f ' (x)] 2 =x知f '' (0)=0且f '' (x)=x一[f ' (x)] 2，又x，f' (x)可导，所以f '' (x)可导，于是f ''' (x)=1—2f ' (x)f '' (x)，f ''' (0)=1＞0，而f '''，故f '' (x)在x=0左、右两侧异号，故选C．9.设f(x)在[0，a]上二次可微，且xf ' (x)一f(x)＜0，则(0，a)内是 ( )（分数：2.00）A.单调减少√B.单调增加C.有增有减D.不增不减(0，a)内单调减少．10.点(0，1)是曲线y=ax 3 +bx 2 +c的拐点，则有 ( )（分数：2.00）A.a=1，b=一3，c=1B.a≠0，b=0，c=1 √C.a=1，b=0，c为任意D.a、b为任意，c=1解析：解析：(0，1)在曲线上，所以c=1，y ' =3ax 2 +2bx ，y '' =6ax+2b ，(0，1)为拐点，所以y ''(0)=0，得a≠0，b=0，故选B ．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)11.设f '(x)=g(x)，则2x)]= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：g(sin 2x)sin2x ）解析：解析：2 x)]=f ' (sin 2 x)．(sin 2 x) ' =2sinxcosxf ' (sin 2 x)=sin2xg(sin 2x)．12.设y=(3x+1) 27，则y (27)= 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3 27．27！）解析：解析：对于形如y=(ax+b) n的函数，其k 阶导为y (k)k (ax+b) n －k，对于此题n=k=27，a=3，b=1，所以y (27)=27！．3 27 ． 13.若f '(x 0 )=1，f(x 0 )=0，则= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1）解析：解析：－f '(x 0 )=－1．14.函数F(x)=∫ 1 x(2－＞0)的单调递减区间是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0＜x ＜[*]）解析：解析：由F(x)=∫ 1 x(2一 )dt(x ＞0)，则F '(x)=2一． 令F '(x)=0，得时，F '(x)＜0，F(x)单调递减．15.设点(x 0 ，f(x 0 ))是曲线y=f(x)的拐点，且f ''(x 0 )≠0，则f ''(x 0 )必定 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：不存在） 解析：解析：拐点是二阶导数为0的点或是二阶导数不存在的点．三、解答题(总题数：11，分数：24.00)16.当h→0，f(x 0 +3h)一f(x 0 )+2h 是h 的高阶无穷小量，求f '(x 0 )． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为h→0，f(x 0 +3h)－f(x 0 )+2h 是h 的高阶无穷小量，即 所以，3f '(x)+2=0，即f '(x 0．)解析：17.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：则根据点斜式求得切线方程为y=a+[x 一a[一1)]=x +2a ．)解析：18.设f(x)在x=1处有连续导数，且f ' (1)=2，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：19.设y=y(x)由所确定，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：，由隐函数求导)解析：20.计算lnl．01的近似值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由微分定义可知f(x+△x)=f(x)+f '(x)△x，令f(x)=lnx，则ln1．01=f(1．01)=f(1)+f ' (1)．0．01=0+1．0．01=0．01．)解析：给定曲线 4.00）(1).求曲线在横坐标为x 0的点处的切线方程；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由y ' = 可知曲线y= 在横坐标为x 0的点处的切线方程为) 解析：(2).求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由切线方程y一(x—x 0 )分别令y=0，x=0可求得该切线在x轴，y轴上的截距分别为设该切线被两坐标轴所截线段长度为L，则L 2=X 2＋Y 2= ．令=0，得驻点x 0 = ．由此可知，L 2在x 0 = 处取得极小值，即最小值，)解析：21.设f(x)在[a，b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明：至少存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+f ' (ξ)=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因[e x f(x)] ' =e x f(x)+e x f ' (x)=e x [f(x)+f ' (x)]，故设F(x)=e x f(x)，显然F(x)在[a，b]上连续且可导，F(a)=F(b)=0．由罗尔定理，至少存在ξ∈(a，b)，使F ' (ξ)=0．即e ξ [F(ξ)+f ' (ξ)]=0，e ξ＞0，则f(ξ)+f ' (ξ)=0．)解析：22.设f(x)在[0，c]上有定义，f ' (x)存在且单调减少，f(0)=0，证明对于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：在[0，a]上用拉格朗日中值定理得 f(a)一f(0)=f ' (ξ)(a一0)，(0＜ξ＜a) 即有f(a)=af '(ξ)，(0＜ξ＜a) 再对f(x)在[b，a+b]上应用拉格朗日中值定理得f(b+a)=f(b)+f '(η)a，(b＜η＜a+b) 因为f '(x)单调减少，且ξ＜a≤b＜η，则有f '(ξ)＞f '(η)，而a≥0，故af '(ξ)≥af ' (η)，于是f(a+b)≤f(b)+af ' (ξ)=f(b)+f(a)．)解析：23.证明：当0＜x sinx+tanx＞2x．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设f(x)=sinx+tanx一2x，f ' (x)=cosx+sec 2 x一2， f '' (x)=一sinx+2sec 2xtanx=sinx(2sec 3 x一1)＞0，x∈(0，)，因此f ' (x)单调增加，故f ' (x)＞f ' (0)=0，因此f(x)单调增加，故f(x)＞f(0)=0，即sinx+tanx＞2x,x∈(0，)．)解析：24.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，，证明至少存在一个ξ∈(0，1)，使f ' (ξ)=1．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令F(x)=f(x)一x，则有F(0)=f(0)一0=0，F(1)=f(1)一1=一1＜0，＞0．又F(x)在[ ，1]上连续，故由零点定理知，存在η∈( ，1)，使F(η)=0，在[0，η]上利用罗尔定理知，至少存在ξ∈(0，η(0，1)，使F ' (ξ)=0，f ' (ξ)=1．)解析：25.设一物体下端为直圆柱，上端为半球形，如果此物体的体积为V，问这物体的尺寸各是多少时，才能使其表面积最小?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设底面半径为r，圆柱高为h，则V=πr 2h+ πr 3，S=3πr 2+2πrh，经验证其为极小值点，在此问题中也为最小值点，r代入h中解得h= ，所以底面半径和直圆柱的高均为时，S有最小值．)解析：。

XX 市普通高校“专升本”统一选拔考试大纲《高等数学》（2019年版）（考试科目代码20）Ⅰ、考试大纲适用对象及考试性质本大纲适用于XX 市普通高校“专升本”的理工类和经济类考生。

“专升本”考试结果将作为XX 市普通高校高职高专学生申请“专升本”的成绩依据。

本科院校根据考生考试成绩，按照已确定的招生计划择优录取。

因此，该考试应具有较高的 信度、效度，必要的区分度和适当的难度。

Ⅱ、考试内容及要求一、一元函数微分学1．理解函数概念，知道函数的表示法；会求函数的定义域及函数值。

2．掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。

3．理解复合函数与反函数的定义，会求单调函数的反函数。

4．掌握基本初等函数的性质与图像，了解初等函数的概念。

5．理解极限概念及性质，掌握极限的运算法则。

6．理解无穷小量与无穷大量的概念及两者的关系，掌握无穷小量的性质和无穷小量的比较。

7．了解夹逼准则与单调有界准则，掌握两个重要极限：0sin lim 1x x x→=，()10lim 11x x x →+=。

8．理解函数连续与间断的定义，理解函数间断点的分类，会利用连续性求极限，会判别函数间断点的类型。

9．理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、介值定理，并会用上述定理推证一些简单命题。

10．理解导数的定义及几何意义，会根据定义求函数的导数。

11．理解函数的可导与连续的关系。

12．熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则、隐函数求导法、对数求导法及参数方程求导法，了解反函数的求导法则。

13．了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的一阶和高阶导数的求法。

14．理解微分的定义、可微与可导的关系，了解微分的四则运算法则及一阶微分形式的不变性；会求函数的微分。

15．理解罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日中值（Lagrange ）定理，了解柯西（Cauchy ）中值定理和泰勒（Taylor ）中值定理。

会用罗尔定理证明方程根的存在性，会用拉格朗日中值定理证明一些简单不等式。

成人高考专升本数学一知识点一、函数、极限和连续。

1. 函数。

- 函数的概念。

- 设D是非空实数集，如果对于D中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在实数集R中都有唯一确定的数y与之对应，则称f:D→ R是定义在D上的一个函数，记作y = f(x),x∈ D。

x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域，函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数的值域。

- 函数的性质。

- 单调性：设函数y = f(x)在区间I上有定义，如果对于区间I上任意两点x_1,x_2，当x_1时，恒有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），则称函数y = f(x)在区间I上是单调增加（或单调减少）的。

- 奇偶性：设函数y = f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称y = f(x)为偶函数；如果对于任意x∈ D，都有f(-x)= - f(x)，则称y = f(x)为奇函数。

- 周期性：设函数y = f(x)的定义域为D，如果存在一个正数T≠0，使得对于任意x∈ D，有x + T∈ D且f(x+T)=f(x)，则称y = f(x)是周期函数，T称为函数y = f(x)的周期。

通常我们说的周期是指最小正周期。

- 有界性：设函数y = f(x)在区间I上有定义，如果存在正数M，使得对于任意x∈ I，都有| f(x)|≤ M，则称函数y = f(x)在区间I上有界；否则称函数y = f(x)在区间I上无界。

- 反函数。

- 设函数y = f(x)的定义域为D，值域为W。

如果对于W中的任意一个y，在D中有唯一确定的x使得y = f(x)，则在W上定义了一个函数，这个函数称为y =f(x)的反函数，记作x = f^-1(y)。

习惯上，我们把y = f(x)的反函数记作y = f^-1(x)。

- 复合函数。

- 设函数y = f(u)的定义域为D_1，函数u = g(x)的定义域为D_2，且g(x)的值域R_2⊆ D_1，则由y = f(u)和u = g(x)复合而成的函数y = f(g(x))称为复合函数，u称为中间变量。

专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)(总分：94.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：4，分数：8.00)1.已知函数y=x5+3x4，则y'|x=2=______。

∙ A.8∙ B.176∙ C.7∙ D.186（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：2.若下列各极限都存在，其中等式不成立的是______ A． B． C． D （分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 利用导数f(x)在点x0处的定义进行判断。

选项A中，[*]，原等式成立。

选项B中，[*]，原等式成立。

选项C中，[*]，原等式不成立。

选项D中，[*]，原等式成立。

3.已知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2______∙ A.0∙ B.1∙ C.2∙ D.4（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]。

4.设f(x)在x0处不连续，则______A．f'(x0)必存在 B．f'(x0)必不存在C．必存在 D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据函数的可导与连续的关系可知，f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处不可导。

二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：8，分数：24.00)5.(2，3)处的切线方程是 1。

（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：6.函数y=4x3-9x2+6x+1的驻点是 1。

（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]，1）解析：7.f'(0)=______。

（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*] 依题意，有[*]，于是有[*]。

8.曲线y=e-x在点(0，1)处的切线的斜率k为 1。

（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：-1）解析：[解析] y'=(e-x)'=-e-x，根据导数的几何意义有，k=y'|x=0=-e0=-1。

专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．cos x的一个原函数是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：+C(C为任意常数)，可知当C=0时，cos x的一个原函数是，故选B．知识模块：一元函数积分学2．经过点(1，0)且在其上任一点x处的切线斜率为3x2的曲线方程是( )A．y=x3一1B．y=x2一1C．y=x3+1D．y=x3＋C正确答案：A解析：因为y’=3x2,所以y=∫y’dx=x3+C，又过点(1，0)，所以C=一1．知识模块：一元函数积分学3．已知∫f(x2)dx=+C，则f(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：∫f(x2)dx=+C，两边求导得f(x2)=，所以f(x)=．知识模块：一元函数积分学4．∫xf(x2)f’(x2)dx= ( )A．f2(x2)+CB．f2(x2)+CC．f(x2)+CD．4f2(x2)+C正确答案：A解析：∫xf(x2)f’(x2)dx=∫f(x2)f’(x2)d(x2)=∫f(x2)df(x2)=f2(x2)＋C．知识模块：一元函数积分学5．∫－11(3x2+sin5x)dx= ( )A．一2B．一1C．1D．2正确答案：D解析：∫－11(3x2+sin5x)dx=3∫－11x2dx+∫－11sin5xdx，因为f1(x)=x2为偶函数，所以∫－11x2dx=2∫01x2dx=，因为f2(x)=sin5x为奇函数，所以∫－11sin5xdx=0．故∫－11(3x2+sin5x)dx=×3=2．知识模块：一元函数积分学6．∫0xetdt= ( )A．exB．ex一1C．ex－1D．ex＋1正确答案：A解析：因为∫axf(t)dt=f(x)，故∫0xetdt=ex．知识模块：一元函数积分学7．设f(x)连续，则(∫0xtf(x2－t2dt)= ( )A．xf(x2)B．一xf(x2)C．2xf(x2)D．一2xf(x2)正确答案：A解析：∫0xtf(x2一t2)dt f(μ)dμ．则[∫0xtf(x2－t2)dt]=[∫0x2f(μ)dμ]=xf(x2)，故选A．知识模块：一元函数积分学8．设函数f(x)=∫0xet2dt，则f’(0)= ( )A．0B．1C．2D．e正确答案：B解析：因为f(x)=∫0xet2dt，所以f’(x)=ex2，f’(0)=1．知识模块：一元函数积分学9．由曲线y=，直线y=x，x=2所围面积为( )A．∫12(一x)dxB．∫12(x一)dxC．∫12(2一)dy+∫12(2一y)dyD．∫12(2一)dx+∫12(2一x)dx正确答案：B解析：曲线y=与直线y=x，x=2所围成的区域D如图3—4所示，则SD=∫12(x一)dx．知识模块：一元函数积分学填空题10．=_________．正确答案：x—arctanx+C解析：=x—arctanx+C．知识模块：一元函数积分学11．已知函数f(x)在[0，1]上有连续的二阶导数，且f(0)=1，f(1)=2，f’(1)=3，则定积分∫01xf’’(x)dx的值等于_________．正确答案：2解析：∫01xf’’(x)dx=∫01xdf’(x)=xf’(x)｜01－∫01f’(x)dx=f’(1)一[f(1)一f(0)]=3—2+1=2．知识模块：一元函数积分学12．设f(x)=e－x，则∫12dx=________．正确答案：解析：由f(x)=e－x知，f’(x)=一e－x，因此f’(lnx)=，所以．知识模块：一元函数积分学13．当p_________时，反常积分∫1＋∞dx收敛．正确答案：＜0解析：=xp－1，∫0＋∞dx＜∫0＋∞xp－1dx=xp｜0＋∞，只有当P＜0时，∫0＋∞xp－1dx才收敛，也即∫0＋∞dx收敛，故p ＜0时，∫0＋∞dx收敛．知识模块：一元函数积分学14．由y=x3与y=所围成的图形绕Ox轴旋一周所得旋转体的体积为________．正确答案：解析：交于点(0，0)，(1，1)，故绕Ox轴旋转一周所得旋转体的体积为V=π∫01(x－x6)dx=．知识模块：一元函数积分学解答题15．求∫(x—ex)dx．正确答案：∫(x－ex)dx=∫xdx－∫exdx=一ex+C．涉及知识点：一元函数积分学16．计算．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学17．求∫x2exdx．正确答案：∫x2exdx=∫x2dex=x2ex一∫2xexdx=x2ex一2∫xdex=x2ex一2(xex－∫exdx)=x2ex一2xex+2ex+C．涉及知识点：一元函数积分学18．计算．正确答案：令x=2sint，如图3—3，t∈，则dx=2costdt，涉及知识点：一元函数积分学19．求．正确答案：=sin1．涉及知识点：一元函数积分学20．设∫1＋∞(—1)dx=1，求常数a，b．正确答案：由此积分收敛知，应有b一a=0，即b=a，故ln(1+a)=1，所以1+a=e，a=e一1，且b=e一1．涉及知识点：一元函数积分学21．若f(x)=∫01f(t)dt，求f(x)．正确答案：设∫01f(t)dt=k，则两边同时在[0，1]上定积分得求得k=．涉及知识点：一元函数积分学22．已知∫0x(x一t)f(t)dt=1一cosx，证明：∫0f(x)dx=1．正确答案：因∫0x(x—t)f(t)dt=1一cosx，于是有∫0xx．f(t)dt—∫0xtf(t)dt=1一cosx，即x．∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt=1一cosx，两边求导得∫0xf(t)dt+xf(x)一xf(x)=sinx，从而有∫0xf(t)dt=sinx，故=1．涉及知识点：一元函数积分学已知曲线y=x2，23．求该曲线在点(1，1)处的切线方程；正确答案：因为y’=2x，所以在点(1，1)处的切线方程为y=2(x一1)+1=2x 一1；涉及知识点：一元函数积分学24．求该曲线和该切线及直线y=0所围成的平面图形的面积S；正确答案：S=∫01；涉及知识点：一元函数积分学25．求上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．正确答案：V=∫01π(x2)2dx一．涉及知识点：一元函数积分学已知曲线y=(a＞0)与曲线y=在点(x0，y0)处有公共切线，求26．常数a及切点(x0，y0)；正确答案：由题设条件可得解此方程组可得a=，x0=e2，y0=1，于是切点为(e2，1)．涉及知识点：一元函数积分学27．两曲线与x轴围成的平面图形的面积S．正确答案：画出曲线y=的图形，则两曲线与x轴围成的平面图形(如图3—7)的面积S=∫01(e2y一e2y2)dy=．涉及知识点：一元函数积分学。

专升本高等数学(一)-一元函数积分学(五)-2(总分：100.12，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.下列等式成立的是______A．∫f"(x)dx=f(x)B．C．d∫f"(x)dx=f"(x)dxD．d∫f"(x)dx=f"(x)dx+c（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：2.下列函数对中是同一函数的原函数的是______（分数：2.00）A.lnx2与ln2xB.sin2x与sin2xC.2cos2x与cos2x √D.arcsinx与arccosx解析：3.设F(x)______（分数：2.00）A.F(x)=ln(cx)(c≠0)B.F(x)=lnx+ecC.F(x)=ln3x+cD.F(x)=3lnx+c √解析：4.∫ln(2x)dx等于______A．2xln(2x)-2x+cB．2xln2+lnx+cC．xln(2x)-x+cD．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：5.设∫f"(x 3 )dx=x 3 +c，则f(x)等于______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：二、填空题(总题数：9，分数：9.00)6.通过点(1，2)的积分曲线y=∫3x 2 dx如的方程是 1．（分数：1.00）解析：y=x 3 +17.设∫f(x)dx=2 x +cosx+c，则f(x)= 1．（分数：1.00）解析：2 x ln2-sinx8.设∫f(x)dx=x 2 +c，则∫xf(1-x 2 )dx= 1．（分数：1.00）．（分数：1.00）10.∫xdf"(x)= 1．（分数：1.00）解析：xf"(x)-f(x)+c11.∫cot 2 xdx= 1．（分数：1.00）解析：-x-cotx+c．（分数：1.00）．（分数：1.00）＞0)．（分数：1.00）三、解答题(总题数：1，分数：81.00)求下列不定积分（分数：81.12）2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(14).∫cos 2 xdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(15).∫sin2xcos4xdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(26).∫xln(x-1)dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(27).∫(lnx) 2 dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：x(lnx) 2 -2xlnx+2x+c(28).∫x 2 e -x dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：-(x 2 +2x+2)e -x +c(29).∫xsin 2 xdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(31).∫sin(lnx)dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(32).∫arct anxdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(34).∫xsinxcosxdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(35).∫e ax coxbxdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()。

专升本高等数学一（一元函数积分学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．下列等式中正确的是( )A．∫f’(x)dx=f(x)B．d∫df(x)=f(x)+CC．∫f(x)dx=f(x)D．d∫f(x)dx=f(x)正确答案：C解析：A项：∫f’(x)dx=∫df(x)=f(x)+C；B项：d∫df(x)=d(f(x)+C)=f’(x)dx；D项：d∫f(x)dx=f(x)dx，故选C．知识模块：一元函数积分学2．设∫f(x)dx=x2+C，则∫xf(1一x2)dx= ( )A．－2(1一x2)2+CB．2(1一x2)2+CC．一(1一x2)2+CD．(1一x2)2+C正确答案：C解析：∫xf(1－x2)dx=∫f(1－x2)d(1－x2)=一(1一x2)2+C．知识模块：一元函数积分学3．设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫cosxf(sinx)dx= ( )A．F(cosx)+CB．F(sinx)+CC．一F(cosx)+CD．一F(sinx)+C正确答案：B解析：∫cosxf(sinx)dx=∫f(sinx)dsinx∫f(μ)dμ=F(μ)+C=F(sinx)+C．知识模块：一元函数积分学4．不定积dx= ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：+C，故选A．知识模块：一元函数积分学5．若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则下列结论中正确的是( )A．在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0B．在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0C．在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a)D．在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b一a)正确答案：D解析：由积分中值定理可知，在闭区间上连续的函数在其开区间内至少存在一点ξ，使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b—a)．知识模块：一元函数积分学6．下列反常积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由∫1＋∞dx当p≤1时发散，p＞1时收敛，可知应选D，容易看出A选项发散；B选项∫1＋∞=+∞，故此积分发散；对于C选项，由∫1＋∞lnxdx=∫1＋∞lnxd(lnx)=(lnx)2｜∫1＋∞=＋∞，故此积分发散．知识模块：一元函数积分学7．若广义积分∫0＋∞dx=1，其中k为常数，则k= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因为∫0＋∞．知识模块：一元函数积分学8．设F(x)=∫xx＋2πesintsintdt，则F(x) ( )A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：因esinxsinx是以2π为周期的周期函数，所以∫xx＋2πesintsintdt=∫02πesintsintdt=∫02πesintd(－cost)=一esintcost｜02π一∫02π(—cost)esintcostdt=∫02πesintcos2tdt，又esinxcos2x≥0，故选A．知识模块：一元函数积分学填空题9．=_________．正确答案：解析：，令tanx=μ，则原式=＋C．知识模块：一元函数积分学10．=_________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学11．说明定积分∫－11dx的几何意义，并求其值_________．正确答案：曲线y=与x轴围成图形的面积，其值为解析：容易知道，题述定积分表示曲线y=与x轴围成的图形的面积，即以原点为圆心，1为半径的上半圆的面积，故原式=．知识模块：一元函数积分学12．∫0＋∞dx=________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学13．设f(x)=则∫－22f(x)dx=_______．正确答案：解析：∫－22f(x)dx=∫－20dx+∫01(x+1)dx+∫122xdx =2＋｜01＋x2｜12=2＋2－＋4－1=．知识模块：一元函数积分学14．函数y=一图像上点(2，一1)处的切线与坐标轴所围成图形的面积为________．正确答案：4解析：y’(x)=，y’(2)=，所以函数在点(2，一1)处的切线为y一(一1)=(x 一2)，即y=—2，切线与两坐标轴的交点分别为(0，一2)，(4，0)，所以切线与两坐标轴所围成图形面积为知识模块：一元函数积分学解答题15．设f(x)的原函数F(x)＞0，且F(0)=1，当x≥0时，F(x)f(x)=sin22x，求f(x)．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学16．求∫ln(1+x2)dx．正确答案：∫ln(1+x2)dx=xln(1+x2)一=xln(1+x2)一=xln(1+x2)一2(x—arctanx)+C．涉及知识点：一元函数积分学17．设∫xf(x)dx=arcsinx+C，求．正确答案：原式两边对x求导，得xf(x)=，因此涉及知识点：一元函数积分学18．已知由∫0yet2dt=∫0x2costdt+cosy2确定y是x的函数，求dy．正确答案：等式两边对x求导得，ey2．y’=cox2．2x＋(一siny2)．2yy’，所以y’=．涉及知识点：一元函数积分学19．求在t=1处的切线方程．正确答案：由dy=，而t=1时，y=a，x=∫01，故切线方程为y一a=x．涉及知识点：一元函数积分学20．计算∫0xt2et2dt．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学21．求定积分∫01exsinxdx．正确答案：∫01exsinxdx=∫01sinxdex=exsinx｜01一∫01exd(sinx)=esin1一∫01excosxdx=esin1一∫01cosxdex=esin1—excosx｜01+∫01exd(cosx)=esin1－ecos1+1－∫01exsinxdx．从而∫01exsinxdx=(esin1—ecos1+1)．涉及知识点：一元函数积分学设函数f在[a，b]上连续，且f(x)＞0，若F(x)=∫axf(t)dt+∫bx dt，证明：22．F(x)为[a，b]上的严格单调递增函数；正确答案：因为F’(x)=+2≥2，所以F(x)在[a，b]上严格单调增加．涉及知识点：一元函数积分学23．方程F(x)=0在(a，b)内有且只有一个根．正确答案：因为F(a)=∫ba dt=—∫ab dt＜0，F(b)=∫abf(t)dt＞0，所以由闭区间上连续函数的根的存在性定理可知，方程F(x)=0在(a，b)内至少存在一个根，又由于F(x)在[a，b]上严格单调增加，所以方程F(x)=0在(a，b)内有且只有一个根．涉及知识点：一元函数积分学24．求由曲线y=x2(x≥0)，直线y=1及y轴围成的平面图形的面积．正确答案：y=x2(x≥0)，y=1及y轴围成的平面图形D如图3—5所示．其面积为S=∫01(1一x2)dx=(x－x3)｜01=．涉及知识点：一元函数积分学25．曲线y=ax－x2(a＞0)与x轴围成的平面图形被曲线y=bx2(b＞0)分成面积相等的两部分，求a，b的值．正确答案：由ax一x2=bx2得两条曲线交点的横坐标为x1=0，x2=．由题设有(ax一x2一bx2)dx=∫0a(ax一x2)dx，即，a为大于零的任意常数．涉及知识点：一元函数积分学。

专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．若F’(x)=G’(x)，k为常数，则( )A．G(x)+F(x)=kB．G(x)一F(x)=kC．G(x)一F(x)=0D．(∫F(x)dx)’=(∫G(x)dx)’正确答案：B解析：F’(x)=G’(x)，两边积分得∫F’(x)dx=∫G’(x)dx，则F(x)+C1=G(x)+C2，故F(x)一G(x)=C2一C1=k，故选B．知识模块：一元函数积分学2．若∫f’(x3)dx=x3+C，则f(x)= ( )A．x+CB．x3+CC．+CD．+C正确答案：C解析：∫f’(x3)dx=x3+C，两边求导得f’(x3)=3x2=，两边积分得∫f’(x)dx=＋C．知识模块：一元函数积分学3．已知f’(lnx)=x，其中1≤x＜+∞，及f(0)=0，则f(x)= ( )A．f(x)=exB．f(x)=ex一1，1＜x＜+∞C．f(x)=ex一1，0≤x＜+∞D．f(x)=ex，1＜x＜+∞正确答案：C解析：令t=lnx得f’(t)=et，f(t)=et+C，由f(0)=0得C=一1，即f(t)=et一1，又1≤x＜＋∞，从而t=lnx≥0，故f(x)=ex一1，0≤x＜+∞．知识模块：一元函数积分学4．已知arctanx2是函数f(x)的一个原函数，则下列结论中，不正确的是( )A．f(x)=B．当x→0时，f(x)和x是同阶无穷小量C．∫0＋∞f(x)dx=D．∫f(2x)dx=arctan4x2+C正确答案：D解析：A项：f(x)=(arctanx2)’==2，所以f(x)和x是同阶无穷小量；C项：∫0＋∞f(x)dx=arctanx2｜0＋∞==arctan4x2＋C，故选D．知识模块：一元函数积分学5．下列积分中，值为零的是( )A．B．C．D．正确答案：A解析：对于A选项,xsin2x为奇函数，由积分性质知，xsin2xdx=0；对于B选项，∫－11｜x｜dx=2∫01xdx=x2｜01=1；对于C选项，=1，故选A．知识模块：一元函数积分学6．已知∫0k(2x一3x2)dx=0，则k= ( )A．0或1B．0或一1C．0或2D．1或一1正确答案：A解析：∫0k(2x一3x2)dx=(x2一x3)｜0k=k2一k3=k2(1一k)=0，所以k=0或k=1．知识模块：一元函数积分学7．使∫1＋∞f(x)dx=1成立的f(x)为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：对于选项A，∫1＋∞f(x)dx=∫1＋∞dx=｜1＋∞=1，故此积分收敛，且收敛于1；对于选项B，∫1＋∞f(x)dx=∫1＋∞dx=lnx｜1＋∞不存在；对于选项C，∫1＋∞f(x)dx=∫1＋∞e－xdx=一e－x｜1＋∞=e－1，故此积分收敛，但收敛于e－1；对于选项D，∫1＋∞f(x)dx=∫1＋∞dx=arctanx｜1＋∞=，故此积分收敛，但收敛于．故选A．知识模块：一元函数积分学8．∫0sinxcosxdx= ( )A．0B．C．1D．π正确答案：B解析：．知识模块：一元函数积分学9．图3—1中阴影部分的面积总和可表示为( )A．∫abf(x)dxB．｜∫abf(x)dx｜C．∫ac1f(x)dx+∫c1c2f(x)dx＋∫c2bf(x)dxD．∫ac1f(x)dx一∫c1c2f(x)dx+∫c2bf(x)dx正确答案：D解析：面积为正值，故当f(x)＜0时，其相应部分的面积应表示为，故选D，也可表示为∫ab｜f(x)｜dx．知识模块：一元函数积分学填空题10．=_________．正确答案：解析：＋C．知识模块：一元函数积分学11．=_________．正确答案：一—arctanex＋C解析：知识模块：一元函数积分学12．已知函数f(x)=，则定积分∫12f()dx的值等于_________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学13．∫－11x7cosxdx=_________．正确答案：0解析：x7cosx为奇函数，积分区间关于原点对称，∫－11x7cosxdx=0．知识模块：一元函数积分学14．设f(x)=∫0x｜t｜dt，则f’(x)= _________．正确答案：｜x｜解析：当x＞0时，f’(x)=(∫0xtdt)’=x，当x＜0时，f’(x)=[∫0x(一t)dt]’=一x，当x=0时，f＋’(0)==0，同理f－’(0)=0，所以f’(0)=0，故f’(x)=｜x｜．知识模块：一元函数积分学15．曲线y=2x与直线x+2y=2，x=2所围图形的面积是________．正确答案：一1解析：由题意分析得，所求图形的面积为∫02－1．知识模块：一元函数积分学解答题16．计算．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学17．如果+C，试求∫f(x)dx．正确答案：由＋C，两端对x求导，得，故∫f(x)dx=+ C．涉及知识点：一元函数积分学18．计算∫(要求写出解答过程)．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学19．∫0sin3xsin2xdx．正确答案：．涉及知识点：一元函数积分学20．设x＞0时f(x)可导，且满足f(x)=1+∫1xf(t)dt，求f(x)．正确答案：因f(x)=1+∫1xf(t)dt可导，在该式两边乘x得xf(x)=x+∫1xf(t)dt，两边对x求导得f(x)+xf’(x)=1+f(x)，所以f’(x)=，则f(x)=lnx+C，再由x=1时，f(1)=1，得C=1，故f(x)=lnx+1．涉及知识点：一元函数积分学21．设f(2x一1)=xlnx，求∫13f(t)dt．正确答案：∫13f(t)dt2∫12f(2x－1)dx=2∫12xlnxdx=∫12lnxdx2=x2lnx｜12一∫12xdx=4ln2－．涉及知识点：一元函数积分学22．求定积分arcsinxdx．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学23．求由曲线y2=(x一1)3和直线x=2所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积．正确答案：Vx=π∫12y2dx=∫12π(x一1)3dx=π．涉及知识点：一元函数积分学24．曲线x=y+ey，直线x=y，y=1，y=2围成一平面图形B，求图形B绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积Vy．正确答案：Vy=π∫12[(y+ey)2—y2]dy=π∫12(2yey＋e2y)dy=．涉及知识点：一元函数积分学设直线y=ax与抛物线y=x2所围成图形的面积为S1，它们与直线x=1所围成图形的面积为S2，并且a＜1．25．试确定a的值，使S1+S2达到最小，并求出最小值；正确答案：因为a＜1，所以可分成0＜a＜1，a≤0两种情况，分别画出两种情况下的图形(如图3—8)，求出S1+S2的最小值后，即可确定a的值．当0＜a＜1时，S=S1+S2=∫0a(ax一x2)dx+∫a1(x2一ax)dx=，令S’=a2一是极小值，即最小值；当a≤0时，S=S1+S2=∫a0(ax一x2)dx+∫01(x2一ax)dx=，因为S’=(a2+1)＜0，S单调减少，故a=0时，S取得最小值，此时S=．比较可知，是最小值．涉及知识点：一元函数积分学26．求该最小值所对应平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．正确答案：Vx=．涉及知识点：一元函数积分学。

专升本高等数学(一)-一元函数微分学(二)(总分：70.02，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：5，分数：10.00)1.设函数f(x)在x=x0处可导，且f'(x0)=2，则极限=______A． B．2 C． D．-2（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：2.设f(0)=0，且f'(0)存在，则=______ A．f'(x) B．f'(0) C．f(0) D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：3.设f(x)在x0处不连续，则______A．f'(x0)必存在 B．f'(x0)必不存在C．f(x)必存在 D f(x)必不存在（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：4.设函数f(x)=，则f'(x)等于______ A．-2 B．-2x C．2 D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：5.椭圆x2+2y2=27上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为______A．-1 B． C D．1（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：10，分数：20.00)6.f'(0)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：7.设函数f(x)在x=2处可导，且f'(2)=1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：8.设曲线y=x2-3x+4在点M处的切线斜率为-1，则点M的坐标为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：(1，2)）解析：9.y=，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：10.设y=x e+e x+lnx+e e，则y'= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：11.设y=x2·2x y'= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x·2x+x2·2x ln2）解析：12.设f(x)=ln(1+x2)，则f"(-1)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：13.设f(x)=sinx+lnx，则f"(1)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：-(1+sin1)）解析：14.设y=e sinx，则dy= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：e sinx·cosxdx）解析：15.设dy= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：4，分数：40.00)求下列由参数方程所确定的函数的导数．（分数：8.01）(1).设，求 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设y=f(x)由参数方程x=cost，y=sint-tcost 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设x=，y=，求 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：求下列隐函数的导数．（分数：8.01）(1).设由方程xy2-e xy+2=0确定的隐函数y=f(x) 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设y=f(x)由方程y3=x+arccos(xy) 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设y=f(x)由方程e xy+ylnx-cos2x=0 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：用对数求导法求下列函数的导数．（分数：12.00）(1).设y=x sinx，求y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设函数y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设函数y=arcsinx+x arctanx，求y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(4).f(x)在点x=0处可导，试确定a和b的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(函数f(x)在点x=0处可导，则它在x=0处必定连续．由于f(0)=e0=1，f(0-0)=[*]，f(0+0)=[*]，由函数的点连续的定义可知，f(0-0)=f(0+0)=f(0)，可得a=1．又函数f(x)在点x=0处可导，则函数f(x)在点x=0处的左导数f'-(x0)和右导数f'+(x0)都存在且相等，由于[*]因为f'-(x0)=f'+(x0)，于是可得b=1．)解析：求下列函数的高阶导数．（分数：12.00）(1).设函数y=ln(1+x2)，求y"．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设函数y=(1+x2)arctanx，求y"．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设f"(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(f"(x)=[*])解析：(4).设函数y=ln(1+x)，求y(n)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：。

辽宁专升本数学教学大纲(详情)辽宁专升本数学教学大纲辽宁专升本数学考试大纲是指通过专升本考试衡量考生对高等数学知识的掌握程度，主要分为以下几个考查部分：1.函数、极限、连续。

要求考生掌握函数的概念及性质，极限的四则运算，极限存在性定理，连续的概念及性质。

2.一元函数微分学。

要求考生掌握导数的概念及性质，微分概念及性质，罗尔定理，拉格朗日中值定理，函数的单调性、极值及函数的最值。

3.一元函数积分学。

要求考生掌握原函数与不定积分的概念及性质，定积分的概念及性质，积分公式，微积分定理，积分中值定理，变上限定积分。

4.向量代数与空间解析几何。

要求考生掌握向量代数，向量数量积、向量垂直、向量夹角，向量平行，空间直角坐标系，向量的正交分解与坐标表示，空间曲面与曲线的方程，。

5.多元函数的微积分学。

要求考生掌握多元函数的概念及性质，偏导数概念及性质，全微分概念及性质，罗尔定理，拉格朗日中值定理的推广，多元函数的极值及函数的最值。

6.无穷级数。

要求考生掌握数项级数、函数项级数的概念及性质，幂级数及其收敛性判定，函数的展开为幂级数。

7.常微分方程。

要求考生掌握常微分方程的概念及性质，一阶微分方程、高阶微分方程的求解方法。

数学竞赛教学大纲很抱歉，我无法为您搜索到数学竞赛教学大纲，但是我可以为您提供一些数学竞赛的学习建议。

数学竞赛通常是一种挑战，它要求学生具有快速计算、快速逻辑思考和快速解题的能力。

对于初学者来说，首先需要理解基础数学知识，例如整数、分数、小数、百分数、几何基础、代数基础等。

在此基础上，需要逐渐接触一些高级数学知识，例如因式分解、解方程、不等式、数列求和、数列概率等。

在学习过程中，建议学生多做一些习题，巩固自己的知识，并且不断挑战自己，参加一些数学竞赛，提升自己的能力。

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聋校数学教学大纲聋校数学教学大纲是中国教育部门为聋校学生制定的数学教学指导文件。

广东专升本高等数学考试的考试范围包括但不限于以下几个方面：
1. 函数、极限与连续：需要理解并掌握函数的概念及表示法，极限的基本概念和性质，以及极限存在与无限接近的关系。

同时，需要了解数列的极限和函数的极限，并掌握极限的四则运算。

此外，还需要理解函数连续的概念和性质，以及函数间断点的分类。

2. 一元函数微分学：这部分的考试重点在于导数和微分的概念，以及导数和其应用（如单调性、极值、最大值）的关系。

需要掌握基本初等函数的导数公式，以及导数的四则运算和复合运算法则。

此外，渐近线的概念、方程和性质，以及函数凹凸性与方向导数的关系也需要掌握。

3. 一元函数积分学：考试的重点在于积分的基本概念、积分上限函数及其应用，以及定积分的可积条件和积分区间对称性的应用。

需要掌握积分的基本公式，包括换元积分法和分部积分法。

4. 微分方程：需要理解微分方程的基本概念和类型，掌握一阶微分方程的通解和特解的求解方法。

此外，需要了解欧拉方法的基本思想和适用范围，并掌握其应用方法。

5. 向量代数与空间解析几何：需要掌握向量代数的基本概念和运算规则，以及空间直角坐标系、向量的坐标运算、平面与直线的方程及其特点。

还需要了解空间曲面及其应用。

6. 多元函数微积分学：需要掌握多元函数的极限、连续、偏导数和全微分及其应用。

此外，也需要了解多元函数的极值和最值，以及二重积分的概念、性质和计算方法。

总的来说，广东专升本高等数学考试的考试范围广泛而深入，需要考生在备考时全面掌握相关知识，并注重理解和应用能力的培养。

同时，考生还需要根据自己的实际情况选择合适的学习方法和资料，有针对性地进行备考，以提高自己的考试成绩。

2024专转本高数考纲高等数学是江苏省普通高校“专转本”选拔考试理、工、农、经、管等专业的必考科目，其考试目的是科学、公平、有效地测试考生在高职（专科）阶段对大学数学的基本概念、重要理论与思想方法的掌握水平，考查考生对大学数学课程的掌握程度。

以下是2024年江苏专转本高数考纲的具体内容：一、函数、极限、连续与间断函数的概念及表示法：函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、函数关系的建立。

数列极限与函数极限的定义及其性质：函数的左极限与右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算。

极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限、函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

二、一元函数微分学导数的概念及其几何意义：切线斜率、瞬时速度、相对变化率与平均变化率、导数的定义、左导数与右导数。

导数的计算：导数的四则运算、复合函数的导数、反函数的导数。

导数的应用：单调性判定与增减性判定、函数的极值判定与求法、最大值与最小值判定与应用。

导数的综合应用。

三、一元函数积分学定积分的概念与性质：定积分的几何意义。

定积分的计算：换元法、分部积分法。

广义积分。

定积分的几何应用：平面图形的面积、体积。

定积分的物理应用：变力沿直线所作的功、水压力。

四、向量代数与空间解析几何向量的概念及其表示：向量的模、向量的加法与数乘运算。

向量的数量积与向量积：向量的数量积的几何意义和性质、向量的向量积的几何意义和性质。

平面方程和直线方程：点向式方程和平面点法式方程、平面的一般方程和直线的标准方程与参数方程。

平面和直线的位置关系：平行和相交的条件，点到平面的距离和点到直线的距离。

曲面及其方程：球面和柱面，旋转曲面，二次曲面，曲线和曲面在坐标面上的投影。

专升本高等数学（-）分类模拟一元函数微分学（三）一、选择题丄、若下列各极限都存在，其中等式不成立的是2、已知函数f (X)在点Xo 处可导，Hf* (x 0)=2.则4T h等于A. 0 B ・ 1 C. 2 D ・ 43、 设f (x)在X 。

处不连续，则A. f (x 0)必存在B. f 1 (x 0)必不存在 ________________lim/(jr)lim /Xx)C. L 心必存在 D. TF 、 必不存在4、 椭圆x 2 + 2y 2=27上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为 _________丄 丄.A ・-1B ・ 2 C. 2 D ・ 15、 设 y=x _3+3,则 y ，等于 _______A ・—3x —°B ・ 一3厂2C ・ 3x -4D ・-3x _4 + 3 6、 设£(x)=cos2x,贝Ijf 1 (0)等于 ____________ A. -2 B. -1 C ・ 0 D ・ 2 7、设函数f (x)=e _x2,贝Ijf n (x)等于 ____________A. e _x2 (2X 2-1)B. e 2 (1-2X 2)二、填空题则f ‘（o ）=9、曲线y=yx 在点（o, 1）处的切线的斜率k 为 _______A.JClim 空二^=心) B L& 工_・0c.liH /(a+2A)-/(c2)h=f (a)limD.A TC ・ 2e 2 (2X 2-1) D. 2e 2 (l-2x 2)/（龙）=（岛+1）10、设函数匸 1设函数，_1十2巴则W ______ •设函数y=sin In (x3),则y，= ___________ .设函数y=cos (e_x),则y f (0)= ____________设函数y=e cosx,则y”= __________y=^设函数占设函数f (x)=x3lnx,则f n (1)= ____________设函数y(r_2)=a x+x a+a a (a>0, a/1),则yE= _________________设函数y=e2x,则y n (0)= __________ ・设函数y=cos2 (-x),贝ljdy= __________ •解答题设函数f (x)在点x=0处可导,且f 1 (0) =1,求3云一2工、工£0,. 郸nox+氛工＞°在沪0处可导，求“b的值.(设函数心)设函数/(7^)=sinx,y=ln设函数2—w2+龙则f”(i)= _________f(x)=讨论函数工＞2在点x=1, x=2处的连续性和可导性.求下列函数的导数.26、27、28、设函数y设函数丄十広,求w・1 + JCy= arctan ■, _设函数1—工，求w.29、设函数》=4+分• Sm［nX，求八求下列隐函数的导数.30、求由方程e y=xy所确定的隐函数y=y (x)的导数血•31、设y=y (x)由方程e x-e y=sin (xy)所确定，求归用对数求导法求导数.32>设函数y= (lnx) x,求y'・33、设函数y=(tanx)sinx,求y —求下列函数的高阶导数.34、设函数y=xJ_nx,求y".=工35、设函数,求y”・36、设函数y=(丄+x?) arctanx,求y”・37、设函数』一由(工+丿1十工)求求微分.38、设函数y=x°sinx,求dy・39、设函数y=lm(l-x2),黍dy.40、设函数y=JXcosx,求dy.Intan 寻 +41、设函数/ ,求dy.答案：一、选择题z=O1> C ［解析］利用导数f(x)在点X。

专升本高等数学(二)-一元函数积分学(一)(总分：99.92，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：10，分数：10.00)1.在区间(a，b)内，如果f'(x)=g'(x)，则下列各式中一定成立的是______∙ A.f(x)-g(x)∙ B.f(x)=g(x)+1∙ C.(∫f(x)dx)'=(∫g(x)dx)'∙ D.∫f'(x)dx=∫g'(x)dx（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于f'(x)=g'(x)，则f(x)与g(x)之间相差任意常数．2.如果等式成立，则f(x)等于______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由不定积分的定义，有[*]，即 [*]，则[*]．3.设cotx是f(x)的一个原函数，则f(x)等于______∙ A.csc2x∙ B.-csc2x∙ C.sec2x∙ D.-sec2x（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由原函数的定义，有f(x)=(cotx)'=-csc2x．4.下列等式中，成立的是______ A．d∫f(x)dx=f(x) B．∫f(x)dx=f(x)dxD．d∫f(x)dx=f(x)dx（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由不定积分的基本性质可知，d∫f(x)dx=f(x)dx成立．5.设f'(cos2x)=sin2x，且f(0)=0，则f(x)=______A．cosx+cos2x B．cos2x-cos4xC．x+x2 D．x2（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] f'(cos2x)-sin2x=1-cos2x，f'(x)=1-x，f(x)=∫f'(x)dx=∫(1-x)dx=x-[*]+C由f(0)=0，得C=0，则f(x)=x-[*]．6.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e-x f(e-x)dx等于______∙ A.F(e-x)+C∙ B.-F(e-x)+C∙ C.F(e x)+C∙ D.-F(e x)+C（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 凑微分法，使用凑微分公式e-x dx=d(e-x)，∫e-x f(e-x)dx=-∫f(e-x)de-x=-F(e-x)+C．7.等于______ A．+sinx+C B．-cotx+sinx+C D．cotx+sinx+C （分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] [*]．8.设函数f(x)=2x，则不定积分∫f'(x)dx等于______A．2x In2+C B．2x+C C+C D．2x（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由不定积分的基本性质，∫f'(x)dx=∫(2x)'dx=2x+C．9.若f(x)的一个原函数是e-x，则不定积分∫xf(x)dx等于______∙ A.e-x(x+1)+C∙ B.e-x(1-x)+C∙ C.e-x(x-1)+C∙ D.-e-x(x+1)+C（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 因为e-x是f(x)的一个原函数，则有f(x)=(e-x)'=-e-x,由分部积分公式，∫xf(x)dx=-∫xe-x dx=∫xd(e-x)=xe-x-∫e-x dx=xe-x+e-x+C.10.若cosx是f(x)的一个原函数，则∫xf'(x)dx等于______∙ A.xsinzc+cosx+C∙ B.-xsinx+cxosx+C∙ C.xsinx-cosx+C∙ D.-xsinx-cosx+C（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 因为cosx是f(x)的一个原函数，则有f(x)=(cosx)'=-sinx，由分部积分公式，∫xf'(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)-∫f(x)dx=-xsinx-cosx+C．二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：10，分数：10.00)11.若∫f(x)dx=arcsin2x+C，则f(x)= 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式dx=[*](1-3x)， [*]．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式xdx=[*](x2)，[*]14.∫x2e2x3=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式x2dx=[*](2x3)[*]．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式[*]， [*]．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：arcsinlnx+C）解析：凑微分法，使用凑微分公式[*]=dlnx， [*]17.设∫f(x)dx-F(x)+C，则∫sinxf(cosx)dx=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：-F(cosx)+C）解析：凑微分法，使用凑微分公式sinxdx=-dcosx ∫sinxf(cosx)dx=-∫f(cosx)dcosx=-F(cosx)+C．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：ln|x+cosx|+C）解析：凑微分法，使用凑微分公式(1-sinx)dx=d(x+cosx)， [*]19.f(x)=e-x．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式[*]=dlnx， [*]20.∫xf(x2)f'(x2)dx=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：使用凑微分公式xdx=[*]，f(x2)dx=df(x2)，连续两次凑微分[*]三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：1，分数：80.00)求下列不定积分．（分数：79.92）2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题应先对被积函数进行代数式的恒等变形，化为幂函数的代数和，然后用幂函数的积分公式，逐项积分． [*])解析：(2).∫3x e x dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题应先用指数的运算法则将被积函数转化为指数函数的形式，然后用指数函数的积分公式，求不定积分． [*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题应先用二倍角的余弦公式，将被积函数进行三角函数式的恒等变形，然后再逐项积分．[*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(5).∫cos(2x-1)dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式dx=[*](2x-1)， [*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式dx=-2d[*]， [*])解析：(7).计算∫xcosx2dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式xdx=[*]， [*])解析：(8). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(用凑微分法，使用凑微分公式xdx=[*](x2-3)，[*])解析：(9). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式[*]， [*])解析：(10). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式[*]， [*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(12). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式[*] [*])解析：(13).计算∫tanx(tanx+1)dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(使用积分公式∫tanxdx=-ln｜cosx｜+C,∫tanx(tanx+1)dx=∫(tan2x+tanx)dx=∫(sec2x-1+tanx)dx=tanx-x-ln｜cosx｜+C.)解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(作根式代换，令[*]，则x=1-t2，dx=-2tdt，[*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(作根式代换，令[*]，则[*]，dx=tdt， [*])解析：（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(作正弦代换，令x=2sint，则dx=2costdt， [*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(作正切代换，令x=tant，则dx=sec2tdt，[*])解析：(18).计算∫xtan2dx．（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(∫xtan2xdx=∫x(sec2x-1)dx=∫xdtanx-∫xdx=xtanx-∫tanxdx-∫xdx=xtanx+ln｜cosx｜-[*]+C.)解析：(19).计算∫x3lnxdx．（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(20). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(用凑微分法与分部积分法求不定积分． [*])解析：(21).计算∫e2x cose x dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(∫e2x cose x dx=∫e x cose x de x=∫e x dxine x=e x sine x-∫sine x de x=e x sine x+cose x+C.)解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(先进行根式代换，再用分部积分法求不定积分．令[*]，得x=t2=1，dx=2tdt，则有[*])解析：(23).∫e2x sin x xdx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]其中[*]经整理得∫e2x cos2xdx=[*](sin2x+cos2x)+C1所以[*])解析：(24). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(25). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(26). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(27).设f(x)的一个原函数是xlnx，求∫xf(x)dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(f(x)=(xlnx)'=lnx+1. [*])解析：。

专升本高等数学(二)-一元函数微分学(三)(总分：91.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：7，分数：13.00)1.若下列各极限都存在，其中等式不成立的是______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 利用导数f(x)在点x0处的定义进行判断．选项A中，[*]，原等式成立．选项B中，[*]，原等式成立．选项C中，[*]，原等式不成立．选项D中，[*]，原等式成立．2.已知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2______∙ A.0∙ B.1∙ C.2∙ D.4（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]．3.设f(x)在x0处不连续，则A．f(x0)必存在 B．f'(x0)必不存在______C．必存在 D必不存在（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据函数的可导与连续的关系可知，f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处不可导．4.椭圆x2+2y2=27上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为______A．-1 B． C D．1（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 方程两边对x求导数，可得2x+4y·y'=0，即[*]．由于切点处的横坐标与纵坐标相等，即x=y．因此所求的切线斜率为[*]．5.设y=x-3+3，则y'等于______∙ A.-3x-4∙ B.-3x-2∙ C.3x-4∙ D.-3x-4+3（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] y'=3x-4．6.设f(x)=cos2x，则f'(0)等于______∙ A.-2∙ B.-1∙ C.0∙ D.2（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] f'(x)=-2sin2x，f(0)=-2sin0=0．7.设函数f(x)=e-x2，则f"(x)等于______∙ A.e-x2(2x2-1)∙ B.e2(1-2x2)∙ C.2e2(2x2-1)∙ D.2e2(1-2x2)（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] y'=e-x2·(-x2)'=-2xe-x2，y"=-2e-x2+4xe-x2=2e-x2(2x2-1)．二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：15，分数：30.00)8.f'(0)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*] 依题意，有[*]，于是有[*]9.曲线y=e-x在点(0，1)处的切线的斜率k为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：-1）解析：y'=(e-x)'=-e-x，根据导数的几何意义有，[*]10.f'(x)= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]11.，则y' 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]12.设函数y=sin ln(x3)，则y'= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]13.设函数y=cos(e-x)，则y'(0)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：sin1）解析：y'=-sin(e-x)·(e-x)'=sin(e-x)·e-x，y'(0)=sin1．14.f'(x)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：作变量代换，令[*]，则[*]，所以[*]15.，则f'(x)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2xcosx2）解析：令[*]=t，x=t2，则f(t)=sint2，即f(x)=sinx2，所以f'(x)=cos2·(x2)'=2xcosx2．16.f"(1)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：f(x)=ln(2-x)=ln(2+x)，[*] [*]17.设函数y=e cosx，则y"= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：e cosx(sin2x-cosx)）解析：y'=e cosx·(-sinx)，y"=e cosx·sin2x+e cosx·(-cosx)=e cosx(sin2x-cosx)．18.y"= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]19.设函数f(x)=x3lnx，则f"(1)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：5）解析：f'(x)=3x2lnx+x3·[*]=3x2lnx+x2，f"(x)=6xlnx+3x2·[*]+2x=6xlnx+5x，f"(1)=5．20.设函数y(n-2)=a x+x a+a a(a＞0，a≠1)，则y(n)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：a x ln2a+a(a-1)x a-2）解析：y(n-1)=a x lna+ax a-1，y(n)=a x ln2a+a(a-1)x a-2．21.设函数y=e2x，则y"(0)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：4）解析：y'=e2x·(2x)'=2e2x，y"=2e2x·(2x)'=4e2x，y"(0)=4．22.设函数y=cos2(-x)，则dy=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：-sin2xdx）解析：y'=2cos(-x)·[cos(-x)]'=2cos(-x)[-sin(-x)](-x)'=-sin2x， dy=-sin2xdx．三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：5，分数：48.00)求下列函数的导数．（分数：12.00）(1).y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(4).y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：求下列隐函数的导数．（分数：6.00）(1).求由方程e y=xy所确定的隐函数y=y(x) 3.00）正确答案：(方程两边同时对x求导，得e y·y'=y+x·y',(e y-x)y'=y，[*])解析：(2).设y=y(x)由方程e x-e y=sin(xy) 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程两边同时对x求导，得e x-e y·y'=cos(xy)·(y+xy')，[e y+xcos(xy)]y'=e x-ycos(xy)．[*]当x=0时，代入所给方程，即e0-e y=sin0，得y=0．[*])解析：用对数求导法求导数．（分数：6.00）(1).设函数y=(lnx)x，求y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(等式两边同时取自然对数，得lny=xln(lnx)，等式两边同时对x求导，得[*] 所以[*]) 解析：(2).设函数y=(tanx)sinx，求y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(等式两边同时取自然对数，得lny=sinxln(tanx)，等式两边同时对x求导，得[*] [*]·y'=cosx·ln(tanx)+secx，所以y'=(tanx)sinx[cosx·ln(tanx)+secx]．)解析：求下列函数的高阶导数．（分数：12.00）(1).设函数y=xlnx，求y"．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y'=(x)'1nx+x(lnx)'=lnx+x·[*]=Inx+1，y"=(lnx+1)'=[*]．)解析：(2).y"．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] [*])解析：(3).设函数y=(1+x2)arctanx，求y"．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y'=2xarctanx+(1+x2·[*]=2xarctanx+1，y"=2arctanx+[*])解析：(4).y"．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：求微分．（分数：12.00）(1).设函数y=x4sinx，求dy．（分数：3.00）正确答案：(y"=4x3sinx+x4cosx，dy=y'dx=(4x3sinx+x4cosx)dx．)解析：(2).设函数y=ln(1-x2)，求dy．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设函数y=e-x cosx，求dy．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y'=e-x(-x)'cosx+e-x(-sinx)=-e-x(sinx+cosx)，dy=y'dx=-e-x(sinx+cosx)dx．)解析：(4).dy．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]dy=y'dx=[cscx+e xlnx(lnx+1)]dx．)解析：。

《高等数学》考试大纲考试要求考生应按本大纲的要求，掌握“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程、向量代数与空间解析几何的基本概念、基本理论和基本方法。

考生应注意各部分知识的结构及知识的联系；具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理、证明和计算；能运用所学知识分析并解决一些简单的实际问题。

考试内容一、函数、极限和连续(一)函数1．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。

2．掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。

3．理解函数y =ƒ(x )与其反函数y =ƒ-1(x )之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。

4．掌握函数的四则运算与复合运算; 掌握复合函数的复合过程。

5．掌握基本初等函数的性质及其图像。

6．理解初等函数的概念。

7．会建立一些简单实际问题的函数关系式。

(二)极限1．理解极限的概念(只要求极限的描述性定义)，能根据极限概念描述函数的变化趋势。

理解函数在一点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极限与右极限。

2．理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。

3．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。

会比较无穷小量的阶(高阶、低阶、同阶和等价)。

会运用等价无穷小量替换求极限。

4．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则)，掌握两个重要极限： 1sin lim 0=→x x x ，e )11(lim =+∞→x x x， 并能用这两个重要极限求函数的极限。

(三)连续1．理解函数在一点处连续的概念，函数在一点处连续与函数在该点处极限存在的关系。

会判断分段函数在分段点的连续性。

2．理解函数在一点处间断的概念，会求函数的间断点，并会判断间断点的类型。

3．理解“一切初等函数在其定义区间上都是连续的”，并会利用初等函数的连续性求函数的极限。