2023年中考数学高频考点专题训练--二次函数综合题
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2023年中考数学高频考点专题训练--二次函数综合题
一、综合题
1．如图，已知二次函数 𝑦=−12𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数的对称轴、顶点坐标；
（3）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积.
2．如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，但始终保持EF△DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE△△BEF；
（2）若正方形的边长为4，设AE=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式；
（3）当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值．
3．如图，墙壁EF长24米，需要借助墙壁围成一个矩形花园ABCD，现有围栏48米，设AB长x米．
（1）若AD为y米，直接写出y关于x的函数表达式及其自变量x的取值范围；
（2）AB长为多少米时，这个花园的面积最大，并求出这个最大值．
4．如图，已知二次函数y＝-x2+ax+1的图象经过点P（2，1）.
（1）求a的值和图象的顶点坐标.
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上，
①当m＝3时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.
5．已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
6．已知函数y=﹣ 12 （x+1）2﹣2
（1）指出函数图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标为
（2）当x 时，y随x的增大而增大
（3）怎样移动抛物线y=﹣ 12 x2就可以得到抛物线y=﹣ 12 （x+1）2﹣2
7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出5件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1400元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
8．新冠疫情期间，某网店以100元/件的价格购进一批消毒用紫外线灯，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价和日销售量的四组对应值如表：
售价x（元/件） 150 160 170 180
日销售量y（件） 200 180 160 140
另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．
注：日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）日销售纯利润为W（元），求出W与x的函数表达式；
（3）当售价定为多少元时，日销售纯利润最大，最大纯利润是多少．
9．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
10．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．
（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；
（2）求sin△OCB的值；
（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．
11．足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售.设每天销售为 𝑦 本，销售单价为 𝑥 元.
（1）请直接写出 𝑦 与 𝑥 之间的函数关系式和自变量 𝑥 的取值范围；
（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润 𝑤 元最大？最大利润是多少元？
12．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为12m，宽为4m，按照如图所示建立平面直角坐标系，抛物线可以表示为 𝑦=−16𝑥2+𝑐
（1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶E到地面BC的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后，高6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过?
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米?
13．数学综合实践课上，老师提出问题：如图，有一张长为 4𝑑𝑚 ，宽为 3𝑑𝑚 的长方形纸板，在纸板四个角剪去四个相同的小正方形，然后把四边折起来（实线为剪裁线，虚线为折叠线），做成一个无盖的长方体盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大？为了解决这个问题，小明同学根据学习函数的经验，进行了如下的探究：
（1）设小正方形的边长为 𝑥𝑑𝑚 ，长方体体积为 𝑦𝑑𝑚3 ，根据长方体的体积公式，可以得到y与x的函数关系式是 ，其中自变量x的取值范围是 ；
（2）列出y与x的几组对应值如下表：
𝑥/𝑑𝑚 … 18 14 38 12 58 34 78 1 98 54 …
𝑦/𝑑𝑚3 … 1.3 2.2 2.7 3.0 2.8 2.5 1.5 0.9 …
（注：补全表格，保留1位小数点）
（3）如图，请在平面直角坐标系中描出以补全后表格中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；
（4）结合函数图象回答：当小正方形的边长约为 𝑑𝑚 时，无盖长方体盒子的体积最大，最大值约为 .
14．根据下列要求，解答相关问题：
（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的过程
①构造函数，画出图象：
根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；抛物线的对称轴x=﹣1，开口向下，顶点（﹣1，2）与x轴的交点是（0，0），（﹣2，0），用三点法画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象如图1所示；
②数形结合，求得界点：
当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为 ；
③借助图象，写出解集：
由图象可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为 ．
（2）利用（1）中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2﹣2x+1＜4的解集．
①构造函数，画出图象；
②数形结合，求得界点；
③借助图象，写出解集．
（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+6𝑥+5 图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是 (−1，0) .
（1）求点A，点C的坐标.
（2）平移该二次函数的图象，使点D刚好移在点 (3，5) 的位置上，求平移后所对应的二次函数的表达式.
16．
（1）在平面直角坐标系中，抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，
0）三点，求抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 的解析式．
（2）已知二次函数顶点为（3，－1），且函数图象与y轴交于（0，﹣4），求抛物线的解析式．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：把A（2，0）、B（0，-6）代入 𝑦=−12𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
得： {−2+2𝑏+𝑐=0𝑐=−6
解得： {𝑏=4𝑐=−6
∴这个二次函数的解析式为 𝑦=−12𝑥2+4𝑥−6 ；
（2）解：∵𝑎=−12 ，b=4，c=-6
∴对称轴 𝑥=−𝑏2𝑎=−42×(−12)=4 ，
4𝑎𝑐−𝑏24𝑎=4×(−12)×(−6)−424×(−12)=2 ，
顶点坐标为（4，2）；
（3）解：∵该抛物线对称轴为直线x=4，
∴点C的坐标为（4，0）
∴AC=OC-OA=4-2=2，
∴𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐶⋅𝑂𝐵=12×2×6=6 .
2．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ △A＝△B＝90°，∴ △1＋△2＝90°，
又∵𝐸𝐹⊥𝐷𝐸 ，∴ △2＋△3＝90°，∴ △1＝△3 ，
∴𝛥𝐴𝐷𝐸 △ 𝛥𝐵𝐸𝐹
（2）解：依题意知：AB＝AD＝4，∵𝐴𝐸=𝑥 ，∴ BE＝ 4−𝑥 ，
由（1）知 𝛥𝐴𝐷𝐸 △ 𝛥𝐵𝐸𝐹 ， ∴𝐴𝐷𝐵𝐸=𝐴𝐸𝐵𝐹 ，
即 44−𝑥=𝑥𝑦 ，
∴4𝑦=𝑥(4−𝑥) ，
即 𝑦=−14𝑥2+𝑥
（3）解：∵𝑦=−14𝑥2+𝑥 =−14(𝑥2−4𝑥+4)+1 =−14(𝑥−2)2+1 ，
∴ 当 𝑥=2 时， 𝑦 取得最大值， 𝑦最大值=1 .
3．【答案】（1）解：y=48-2x(12≤x<24)
（2）解：∵ y=48-2x(12≤x<24) ，
∴S=xy=x（48-2x）=-2（x2-24x+144）+288
=-2（x-12）2+288
∴x=12时，S最大=288，
即AB为12米时，这个花园的面积最大，最大值为288平方米.
4．【答案】（1）解：把P（2，1）代入y＝-x2+ax+1中，
∴a=2，
∴y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2
∴图象的顶点坐标为（1，2）；
（2）解：①∵Q（m，n）在该二次函数图象上，
当m=3时，n=-32+2×3+1=-2；②-7＜n≤2；
5．【答案】（1）解：由题意抛物线是顶点为（1，4），可以假设抛物线为y=a（x﹣1）2+4，
∵抛物线经过点（2，3），
∴3=a+4，
∴a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3
（2）解：图象如图所示，
