【优化指导】2016-2017学年高中数学第二章函数章末测评北师大版必修1

【优化指导】2016-2017学年高中数学第二章函数章末测评北师大版必修1

第二章测评

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.下列函数中与函数y=x相同的是()

A.y=x2

B.y=

C.y=

D.y=

解析:y==t,t∈R.

答案:B

2.函数f(x)=的图像是()

解析:由于f(x)=所以其图像为C.

答案:C

3.函数f(x)=的定义域为()

A.[-1,2)∪(2,+∞)

B.(-1,+∞)

C.[-1,2)

D.[-1,+∞)

解析:由解得x≥-1,且x≠2.

答案:A

4.(2016湖北黄冈中学高一期中)已知f:x→x2是集合A到集合B={0,1,4}的一个映射,则集合A中的元素个数最多有()

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

解析:令x2=0,1,4,解得x=0,±1,±2.故选C.

答案:C

5.(2015湖南浏阳一中高一段测)函数f(x)=则f(f(2))的值为()

A.-1

B.-3

C.0

D.-8

解析:f(2)=22-2-3=-1,f(f(2))=f(-1)=1-(-1)2=0.

答案:C

6.已知二次函数f(x)=m2x2+2mx-3,则下列结论正确的是()

A.函数f(x)有最大值-4

B.函数f(x)有最小值-4

C.函数f(x)有最大值-3

D.函数f(x)有最小值-3

解析:由题知,m2>0,所以f(x)的图像开口向上,函数有最小值f(x)min==-4,故选B.

答案:B

7.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,则()

A.函数f(x2)是奇函数

B.函数[f(x)]2是奇函数

C.函数f(x)·x2是奇函数

D.函数f(x)+x2是奇函数

解析:f((-x)2)=f(x2),则函数f(x2)是偶函数,故A错误;

[f(-x)]2=[-f(x)]2,则函数[f(x)]2是偶函数,故B错误;

函数f(-x)·(-x)2=-f(x)·x2,则函数f(x)·x2是奇函数,故C正确; f(-x)+(-x)2≠f(x)+x2,且f(-x)+(-x)2≠-f(x)-x2,则函数f(x)+x2是奇函数错误,故D错误.故选C.

答案:C

8.(2016湖南岳阳一中高一月考)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)

A. B.

C. D.

解析:∵函数f(x)是偶函数,

∴f(2x-1)

又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,

∴|2x-1|<,解得

答案:A

9.(2016河南南阳五校高一联考)函数f(x)=满足f(f(x))=x,则常数c等于()

A.3

B.-3

C.3或-3

D.5或-3

解析:f(f(x))==x,

即x[(2c+6)x+9-c2]=0,

所以

解得c=-3.故选B.

答案:B

10.已知函数f(x)=ax3+bx+7(其中a,b为常数),若f(-7)=-17,则f(7)的值为()

A.31

B.17

C.-17

D.15

解析:令g(x)=ax3+bx,则g(x)为奇函数,因为f(-7)=g(-7)+7=-17,所以g(-7)=-17-7=-

24,g(7)=24,f(7)=g(7)+7=31.

答案:A

11.f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是()

A. B.

C. D.

解析:由题意可得

解得≤a<,故选A.

答案:A

12.(2016甘肃天水一中高一段考)若函数y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又f(3)=0,则<0的解集为()

A.(-3,3)

B.(-∞,-3)∪(3,+∞)

C.(-∞,-3)∪(0,3)

D.(-3,0)∪(3,+∞)

解析:∵f(x)为偶函数,

∴f(-x)=f(x),

∴<0,

即

∵f(x)为偶函数且在(0,+∞)上为减函数,

∴f(x)在(-∞,0)上是增函数.

由f(3)=0知f(-3)=0,

∴可化为∴x>3;

可化为

∴-3

综上,<0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).

答案:D

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)

13.已知幂函数y=(m∈N+)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则m=.

解析:由题意m2-2m-3为负的偶数,

由m2-2m-3=(m-1)2-4<0?|m-1|<2.

∴-1

又m∈N+,

∴m=1或m=2.

代入m2-2m-3使其为偶数,只有m=1.

答案:1

14.若函数f(x)=在x∈(-2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是.

解析:f(x)==a+.

∵y=在x∈(-2,+∞)上是减函数,

∴1-2a>0,

∴a<.

答案:a<

15河南南阳五校高一联考)对任意两个实数x1,x2,定义max{x1,x2}=若

f(x)=x2-2,g(x)=-x,则max{f(x),g(x)}的最小值为.

解析:f(x)-g(x)=x2-2-(-x)=x2+x-2,

当x2-2-(-x)=x2+x-2≥0时,x≥1或x≤-2,此时,f(x)≥g(x),

当-2

所以max{f(x),g(x)}=

可结合分段函数的图像得最小值为f(1)=-1.

答案:-1

16.(2016吉林长春十一中初考)函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;

②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2,恒有<0.则称函数f(x)为“理想函数”,则下列三个函数中:(1)f(x)=,(2)f(x)=x2,(3)f(x)=称为“理想函数”的有(填序号).

解析:由题意知“理想函数”为定义域上的奇函数且在定义域上单调递减.

函数f(x)=是奇函数,其虽然在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但不能说其在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数,所以f(x)=不是“理想函数”;函数f(x)=x2是偶函数,且其在定义域R上先减后增,也不是“理想函数”;函数f(x)=是“理想函数”.

答案:(3)

三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(12分)已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x+1,求f(x)在x∈R上的表达式.

解:因为f(x)是定义域在R上的奇函数,所以f(0)=0,当x<0时,-x>0,由已知得,f(-x)=(-x)2-2(-x)+1=x2+2x+1=-f(x),

所以f(x)=-x2-2x-1,

所以f(x)=

18.(12分)(2015山东兖州高一期中)已知f(x)=,x∈[2,6].

(1)证明:f(x)是定义域上的减函数;

(2)求f(x)的最大值和最小值.

解:(1)设2≤x1

则f(x1)-f(x2)=.

因为x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,

所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

所以f(x)是定义域上的减函数.

(2)由(1)的结论可得,f(x)min=f(6)=,f(x)max=f(2)=1.

19.(12分)(2015浙江诸暨中学高一期中)已知函数f(x)=mx+(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=.

(1)求m,n的值;

(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;

(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.

解:(1)∵f(1)=m+=2,f(2)=2m+,∴

(2)设1≤x1< p=""> ∵1≤x1

∴x1-x2<0,x1x2>1,

∴2x1x2>1,

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

∴f(x)在[1,+∞)上单调递增.

(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,

需要1+2x2>x2-2x+4,∴x2+2x-3>0,

∴x<-3或x>1.

20.(12分)某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?

(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

解:(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,未租出的车辆数为=12,所以这时租出了88辆车.

(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益为f(x)=(x-150)-×50,整理,得f(x)=-+162x-21 000=-(x-4 050)2+307 050.

所以当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050元,

即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307 050元.

21分)(2015河南洛阳高一期末)已知f(x)对任意的实数m,n都

有:f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,有f(x)>1.

(1)求f(0);

(2)求证:f(x)在R上为增函数;

(3)若f(1)=2,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)<3对任意的x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.

(1)解:令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,