二阶电路的零输入响应

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授课：XXX §5.6 二阶电路的零输入响应

5.6.1 二阶电路的初始条件

初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几个方面。

第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压Cu的极性和流过电感电流Li的方向；

第二，电容上的电压总是连续的，即

)0()0(CCuu （5-31）

流过电感的电流也总是连续的，即

)0()0(LLiu （5-32）

确定初始条件时，首先要用（5-31）和（5-32）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。

5.6.2 R L C串联电路的零输入响应

如图5-37所示为RLC串联电路。开关S闭合前，电容已经充电，且电容的电压0UuC，电感中储存有电场能，且初始电流为0I当0t时，开关S闭合，电容将通过LR放电，其中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。

CuiLuSRu0tCLR

图5-37 RLC串联电路的零输入响应

由图5-37所示参考方向，据KVL可得

0LRCuuu

且有dtduCiCC，dtduRCRiuCR，dtudLCdtdiLuCL2。将其代入上式得

022CCCudtduRCdtudLC

式（5-33）是RLC串联电路放电过程以Cu为变量的微分方程，为一 个线性常系数二阶微分方程。

如果以电流i作为变量，则RLC串联电路的微分方程为如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

授课：XXX 022idtdiRCdtiLCd （5-34）

在此，仅以Cu为变量进行分析，令AeuptC，并代入（5-33），得到其对应的特征方程

012RCpLCp

求解上式，得到特征根为

LCLRLRPLCLRLRP1221222221 （5-35）

因此，电容电压Cu用两特征根表示如下：

tptpCeAeAu2121 （5-36）

从式（5-35）可以看出，特征根1p、2p仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。1p、2p又称为固有频率，单位为奈培①每秒）（sNP/，它与电路的自然响应函数有关。

根据换路定则，可以确定方程（5-33）的初始条件为000UuuCC）（）（，0)0()0(Iii，又因为dtduCiCC，所以有CIdtduCC0。将初始条件和式（5-36）联立可得

CIpApAUAA02211021 （5-37）

首先讨论有已经充电的电容向电阻电感放电的性质，即00U且00I。有

1201212021ppUpAppUpA （5-38）

① 奈培是一个无量纲单位，以奈培（John Napier,英格兰数学家）的名字命名。 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

授课：XXX 将1A、2A的表达式代入（5-36）式即可得到RLC串联电路的零输入响应，但特征根1p、2p与电路的参数R、L、C有关，根据二次方程根的判别式可知1p、2p只有三种可能情况，下面对这三种情况分别讨论

1.CLR2，过阻尼情况

在此情况下，1p、2p为两个不相等的实数，电容电压可表示为

tptpCepepppUu2112120 （5-39）

根据电压电流的关系，可以求出电路的其他响应为

tptpCeeppppCUdtduCi2112210

)()(21120tptpeeppLU （5-40）

tptpLepepppUdtdiLu2121120 （5-41）

其中利用了LCpp121的关系。

由于21pp，因此0t时，eetptp21，且0121122pppppp。所以0t时Cu一直为正。从（5-40）可以看出，当0t时，i也一直为正，但是进一步分析可知，当0t时，0)0(i，当t时，0)(i，这表明)(ti将出现极值，可以求一阶导数得到，即

02121tptpepep

故

1212maxln1ppppt

其中maxt为电流达到最大的时刻。Cu、i、Lu的波形如图5-38所示。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

授课：XXX t0UoiCuLumaxtmax2tiuuLC,,

图5-38 过阻尼放电过程中Cu、i、Lu的波形

从图5-38可以看出，电容在整个过程中一直在释放储的电能，称之为非振荡放电，有叫做过阻尼放电。当mtt时电感吸收能量，建立磁场；mtt时，电感释放能量，磁场衰减，趋向消失。当mtt时，电感电压过零点。

2. CLR2，欠阻尼情况

当CLR2时，特征根1p、2p是一对共轭复数，即

jLCRLCjLkpjLCRLCjLkp22211212 （5-42）

其中：LCR称之为振荡电路的衰减系数；

221LRLC称之为振荡电路的衰减角频率。

LC10称之为无阻尼自由振荡角频率，或浮振角频率。

显然有2220，令arctan，则有cos0，sin0，如图5-39所示。

0如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

授课：XXX 图5-39 0，，，之间的关系

根据欧拉公式

sincossincosjjeejj （5-43）

可得

ejp01 ，ejp02

所以有 tptpCepepppUu2112120

= tjjtjjeeeejU0002

=200jeeeUtjtjt

=)sin(00teUt （5—44）

根据式（5-40），（5-41）可知

)sin(0teLUit （5-45）

)sin(00teUutL （5-46）

从上述情况分析可以看出，Cu、i、Lu的波形呈振荡衰减状态。在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，如表5-2所示。Cu、i、Lu的波形如图5-40所示。

t0UoiCuLuiuuLC,,22

图5-40 欠阻尼情况下Cu、i、Lu的波形

表5-2

t0 t0 t

电容 释放 释放 吸收 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

授课：XXX 电感 吸收 释放 释放

电阻 消耗 消耗 消耗

从欠阻尼情况下 cu、i、Lu的表达式还能得到以下结论：

（1） kt，........3,2,1,0k 为电流i的过零点，即Cu的极值点。

（2） kt，........3,2,1,0k为电感电压Lu的过零点，即电流i的极值点。

（3） kt，........3,2,1,0k为电容电压Cu的过零点。

在上述阻尼的情况中，有一种特殊情况，0k,此时1p、2p为一对共轭虚数，

01jp 02jp

代入到（5-44），（5-45），（5-46）式可得

)2sin(00tUuC （5-47）

)sin(00tLCUi （5-48）

)2sin(00tUuL （5-49）

由此可见，cu、i、Lu各量都是正弦函数，随时推移其振幅并不衰减。其波形如图5-41所示

t00UoCuLuiuuLC,,20ULCU0

图5-41 LC零输入电路无阻尼时Cu、i、Lu波形

3. CLR2，临界阻尼情况

在此条件下，特征方程具有重根，即

2221LRpp

全微分方程（5-33）的通解为

tCetAAu221)(如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

授课：XXX 根据初始条件可得

01UA

022UA

所以，很容易得到

tCetUu)1(0 （5-50）

etCtLUdtduCi0 （5-51）