人教版七年级数学下册5-1-2 垂线 习题(含答案及解析)

人教版七年级数学下册第五章第三节命题、定理、证明复习试题（含答案)把命题“等角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为________________________.题设是：________________________.结论是：________________________.【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等两个角相等这两个角的补角相等【解析】【分析】根据任何一个命题都可以写成“如果…，那么…”的形式如果后面是题设，那么后面是结论，进而得出答案即可.【详解】命题“等角的补角相等”的题设是“两个角相等”，结论是“这两个角的补角相等”．故命题“等角的补角相等”写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等．故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等；两个角相等；这两个角的补角相等．【点睛】本题考查了命题的改写问题．找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键．命题的一般叙述形式为“如果…..，那么……”，其中，“如果”所引出的部分是题设（条件），“那么”所引出的部分是结论.82．将命题“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”改写成“如果…那么…”的形式:______,这是一个______命题．(填“真”或“假”)【答案】如果过一点作已知直线的垂线，那么这样的垂线有且只有一条真【解析】【分析】根据命题是由题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论改写即可．【详解】改写为：如果过一点作已知直线的垂线，那么这样的垂线有且只有一条，是真命题．故答案为如果过一点作已知直线的垂线，那么这样的垂线有且只有一条；真．【点睛】本题考查了命题的构成，找出命题的题设和结论是正确改写的关键．83．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是______；这是______命题（真或假）．【答案】两直线平行，同位角相等真【解析】【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题，然后根据平行线的性质判断逆命题的真假．【详解】“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”；这是真命题．故答案为两直线平行，同位角相等，真．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．84．命题“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”的条件是_______________________，结论是____________________．【答案】一个角是某个锐角的补角它大于这个锐角的余角【解析】【分析】把命题改写成如果那么的形式,如果后面跟的即为条件,那么后面跟的是结论.【详解】解：命题“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”的条件是一个角是某个锐角的补角，结论是它大于这个锐角的余角．【点睛】本题考查了命题的概念,属于简单题,熟悉命题的构成是解题关键.85．给出下列命题：①一个锐角的余角小于这个锐角；②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等；③如果|a|=|b|，那么a=b；④若a2+b2=0，则a，b都为0．其中是假命题的是_____．(填序号）【答案】①③【解析】【分析】利用余角的定义、平行线的性质、绝对值的性质以及平方的非负性分别判断后即可得到结论．【详解】①一个锐角的余角小于这个锐角，错误，是假命题；②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，正确，是真命题；③如果a=b，那么a=±b，故错误，是假命题；④若a2+b2=0，则a，b都为0，正确，是真命题．故答案为：①③．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解余角的定义、平行线的性质、绝对值的性质以及平方的非负性等知识，难度不大．86．阅读下列语句：①邻补角的平分线互相垂直;②互补的两个角一定是一个为锐角，另一个为钝角；③延长线段AO到C，使OC=OA;④这个角等于30°吗？在这些语句中，属于真命题的是_______.(填序号）【答案】①【解析】【分析】根据邻补角的定义和垂直的定义对①进行判断；利用特例对②进行判断；③和④都不是命题．【详解】①邻补角的平分线互相垂直，故①是真命题；②两个直角也互补，故②是假命题；③延长线段AO到C，使OC=OA，不是命题，故③错误；④这个角等于30°吗？不是命题，故④错误．故答案为：①．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成如果…那么…形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．87．如图，已知∠1和∠2互为补角，∠A=∠D．求证：AB∥CD．证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，∴∠1=∠CGD（______）.又∠1和∠2互为补角（已知），∴∠CGD和∠2互为补角，∴AE∥FD（_________），∴∠A=∠BFD（_______）.∵∠A=∠D(已知），∴∠BFD=∠D（_______），AB∥CD（______）.【答案】对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行.【解析】【分析】求出∠CGD和∠2互为补角，根据平行线的判定得出AE∥DF，根据平行线的性质得出∠AEC=∥D，求出∠AEC=∥A，根据平行线的判定即可得出结论．【详解】∵∠1与∠CGD是对顶角，∴∠1=∠CGD（对顶角相等）．又∠1和∠2互为补角（已知），∴∠CGD和∠2互为补角，∴AE∥FD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠A=∠BFD（两直线平行，同位角相等）．∵∠A=∠D(已知），∴∠BFD=∠D（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，关键是利用了平行线的判定和性质，还利用了对顶角相等，等量代换等知识．88．用反证法证明命题“在△ABC中，若∠A＞∠B＋∠C，则∠A＞90°”时，应先假设_____________________．【答案】∠A≤90°【解析】【分析】反证法的第一步是假设结论不成立；原结论为∠A＞90°，它的反面有两种情况：∠A＝90°，∠A＜90°；需一一否定．【详解】用反证法证明命题“△ABC中，若∠A＞∠B＋∠C，则∠A＞90°”时，应先假设∠A≤90°．【点睛】本题结合角的比较考查了反证法，解题关键是要懂得反证法的意义及步骤.89．命题：“三角形中至多有两个角大于60度”，用反证法证明时第一步需要假设_________________________．【答案】三个内角都大于60度【解析】【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【详解】反证法证明命题“三角形中至多有两个角不大于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．90．“如果a>0,b<0,那么ab<0”的逆命题是_______________________________________【答案】如果ab<0,那么a>0,b<0.【解析】【分析】根据互逆命题的定义，把原命题的题设和结论交换即可．【详解】解：“如果a>0,b<0,那么ab<0”的逆命题为“如果ab<0,那么a>0,b<0”．故答案为:如果ab<0,那么a>0,b<0．【点睛】本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．。

第五章相交线与平行线5.1.2 垂线分层作业1．如图，图中直角的个数有（）A．个B．个C．个D．个【答案】D【分析】根据直角的定义进行求解即可．【详解】解：由题意得，图中的直角有一共五个，故选D．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，熟知垂线的定义是解题的关键．2．如图，，，若，则的度数是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先求出，即可求出．【详解】解：，，．，．故选：C．【点睛】本题主要考查直角的概念以及角度的计算，比较简单．3．如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（）A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对【答案】C【分析】根据垂直的定义即可解答．【详解】解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键．4．如图，直线，相交于点，，平分，若，则的度数为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据垂直定义得到∠AOF+∠BOD=，求出∠AOF的度数，利用角平分线的定义求出∠EOF即可．【详解】解：∵∠DOF=，∴∠AOF+∠BOD=，∵∠BOD=，∴∠AOF=，∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=∠AOF=，故选：C．【点睛】此题考查了垂直的定义，几何图形中角度的计算，正确理解图形中各角度的关系是解题的关键．5．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【分析】根据角平分线的定义，得出∠MOC=35°，再根据题意，得出∠MON=90°，然后再根据角的关系，计算即可得出∠CON的度数．【详解】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．故选：C【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和垂线的定义，解决本题的关键在正确找出角的关系．6．如图，为了解决村民饮水困难，需要在河边建立取水点，下面四个点中哪个最方便作为取水点（）A．A点B．B点C．C点D．D点【答案】B【分析】根据“垂线段最短”可得结论．【详解】解：根据“垂线段最短”可知要在河边建立取水点，点B作为取水点最方便，故选：B【点睛】此题主要考查了垂线段最短，正确掌握垂线段的性质是解题关键．7．如图，，垂足是点，，，，点是线段上的一个动点包括端点，连接，那么的长为整数值的线段有（）A．条B．条C．条D．条【答案】D【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：∵，，，，且点是线段上的一个动点包括端点，∴长的范围是，∴的长为整数值的线段有、、、，，共条，故选：D．【点睛】本题考查垂线段最短．理解和掌握垂线段最短是解题的关键．8．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，若∠1=50°，则∠2的度数为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】应用垂线性质可得∠EOD=90°，由∠1+∠BOD=90°，即可算出∠BOD的度数，再根据对顶角的性质即可得出答案．【详解】解：∵EO⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠1+∠BOD=90°，∴∠BOD=∠EOD-∠1=90°-50°=40°，∴∠2=∠BOD=40°．故选：B．【点睛】本题主要考查了垂线及对顶角，熟练掌握垂线及对顶角的性质进行求解是解决本题的关键．9．已知，与的度数之比为，则等于___．【答案】或【分析】根据垂直定义知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解．【详解】解：，，，即∠AOB：90°=3：5,．分两种情况：①当OB在内时，如图，∴；②当OB在外时，如图，∴．故答案是：或．【点睛】本题考查垂直定义，角的和差运算，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．10．如图，点，在直线上，且，的面积为．若是直线上任意一点，连接AP，则线段AP的最小长度为_____cm．【答案】8【分析】根据点到直线的垂线段最短，再由面积求出高，即为AP的最小值，由题知，过点A作BC的垂线，即为所求，此时，该垂线也是三角形的高．【详解】解：过点A作BC的垂线AP，根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，∴垂线段即为AP的最小值，∵BC=5cm，ΔABC的面积为20，∴，∴AP=8，故答案为：8．【点睛】本题考查三角形的面积公式，垂线段最短的性质，属于基础题．11．已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则______【答案】80°或92°【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠A比∠B的倍少40°，设∠B是x 度，利用方程即可解决问题．【详解】解：设∠B是x度，根据题意，得①两个角相等时，如图1：∠B=∠A=x°，x=x-40，解得，x=80，故∠A=80°，②两个角互补时，如图2：x+x-40=180，所以x=88，×88°-40°=92°综上所述：∠A的度数为：80°或92°．故答案为：80°或92°．【点睛】本题考查垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到∠A与∠B的关系．12．如图，直线AB，CD相交于点O，若，且，则的度数是______．【答案】54°##54度【分析】设，则，可得，再由，可得，可求出x，即可求解．【详解】解：设，则，∴，∵，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴，即，∴．故答案为：54°【点睛】本题主要考查了垂直的性质，对顶角的性质，熟练掌握垂直的性质，对顶角的性质进行求解是解决本题的关键．13．如图，直线与直线相交于点，，垂足为，，则的度数为______．【答案】60°##60度【分析】根据对顶角相等可得，由，可得，由，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，，，解得．故答案为：60°．【点睛】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，几何图形角度的计算，数形结合是解题的关键．14．如图，点P是直线l外一点，过点P作于点O，点A是直线l上任意一点，连接，若，则的长可能是___________（写出一个即可）．【答案】4【分析】直接利用垂线段最短即可得出答案．【详解】解∶∵点P是直线l外一点，过点P作于点O，点A是直线l上任意一点，∴3≤AP，∴PA可以为4，故答案为4(答案不唯一)．【点睛】此题主要考查了垂线段最短，正确得出A P的取值范围是解题的关键．15．如图，直线和相交于点，，，，求的度数.【答案】【分析】根据，得出，根据，可得,根据角的倍分关系，可得∠的度数，根据是邻补角，可得答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∴．【点睛】本题考查垂直的性质、角的和差、角的倍分关系、邻补角的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．16．如图，是直线上一点，，平分(1)求的度数．(2)试猜想与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)的度数为(2)OD⊥AB，理由见解析【分析】（1）设=x，根据题意得，再根据平角的定义进而求解即可；（2）根据角平分线的定义即可得到解答．【详解】（1）解：设=x，∵，∴，∵直线，∴x+3x=180°，解得，∴的度数为；（2）解：OD⊥AB，理由如下，∵OC平分∠AOD，∴∠COD=∠AOC=45°．∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°，∴OD⊥AB．【点睛】此题考查了垂线，平角的定义以及角平分线的定义，对定义的熟练掌握是解题的关键．平角：等于180°的角叫做平角；角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线．17．如图，两直线、相交于点，平分，如果：：．(1)求；(2)若，，求．【答案】(1)145°(2)125°【分析】（1）根据邻补角的性质和已知求出和的度数，根据对顶角相等求出和的度数，根据角平分线的定义求出的度数，可以得到的度数；（2）根据垂直的定义得到，根据互余的性质求出的度数，计算得到答案．（1）解：，：：，，，，，平分，，．（2）解：，，平分，，，．【点睛】本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，掌握邻补角互补、对顶角相等和垂直的定义是解题的关键．18．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．(1)若∠COE=54°，求∠DOF的度数；(2)若∠COE∶∠EOF=2∶1，求∠DOF的度数．【答案】(1)∠DOF=108°；(2)∠DOF=112.5°．【分析】（1）先由OE⊥AB得出∠AOE=∠BOE=90°，再根据角平分线定义求出∠COF=72°，然后由∠DOF=180°-∠COF即可求解；（2）设∠EOF=x°，则∠COE=2x°，则∠COF=3x°，再根据角平分线定义求出∠AOF=∠COF=3x°，所以∠AOE=4x°，由垂直的定义可知∠AOE=90°，则4x=90，解之，求出x即可．（1）解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°；∵∠COE=54°，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=144°，∵OF平分∠AOC，∴∠COF=∠AOC=72°，∴∠DOF=180°-∠COF=108°；（2）解：设∠EOF=x°，则∠COE=2x°，∴∠COF=3x°，∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=∠COF=3x°，∴∠AOE=4x°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴4x=90，解得x=22.5，∴∠COF=3x°=67.5°，∴∠DOF=180°-∠COF=112.5°．【点睛】本题考查了角的计算，根据垂直的定义、角的和差关系列方程进行求解，即可计算出答案，难度适中．1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，∠AOE＝24°，∠COF的度数是（）A．146°B．147°C．157°D．136°【答案】B【分析】欲求∠COF，需求∠DOF．由OE⊥CD，得∠EOD＝90°，故求得∠BOD＝66°．由OF平分∠BOD，故∠DOF＝＝33°．【详解】解：∵OE⊥CD，∴∠EOD＝90°．∴∠BOD＝180°﹣∠AOE﹣∠DOE＝66°．又∵OF平分∠BOD，∴∠DOF＝＝33°．∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝180°﹣33°＝147°．故选：B．【点睛】本题主要考查垂直的定义、角平分线的定义以及邻补角的性质，熟练掌握垂直的定义、角平分线的定义以及邻补角的性质是解决本题的关键．2．如图，，，平分，则的度数为（）A．45°B．46°C．50°D．60°【答案】A【分析】先根据垂直的定义得，由已知，相当于把四等分，可得的度数，根据角平分线可得，从而得结论．【详解】解：，，，，，平分，，．故选：．【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义及有关角的计算，解题的关键是确定．3．如图所示，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中不正确的是（）A．B．C．与互为补角D．的余角等于【答案】D【分析】根据垂直的定义及角平分线的性质判断A，利用对顶角的性质判断B，利用邻补角的性质判断C，根据余角的定义判断D．【详解】∵于点O，∴∠AOE=,∵OF平分，∴∠2=，故A正确；∵直线AB，CD相交于点O，∴∠1与∠3是对顶角，∴∠1=∠3，故B正确，∵,∴与互为补角，故C正确；∵，∴的余角=，故D错误，故选：D．【点睛】此题考查垂直的定义，角平分线的性质，对顶角的性质，余角的定理，邻补角的性质，几何图形中角度的计算，熟记各定义及性质是解题的关键．4．已知点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离为()A．4 cm B．5 cm C．小于2 cm D．不大于2 cm【答案】D【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．【详解】当PC⊥m时，PC是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离2cm，当PC不垂直直线m时，点P到直线m的距离小于PC的长，即点P到直线m的距离小于2cm，综上所述：点P到直线m的距离不大于2cm，故选D．【点睛】此题考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质．5．如图，若直线与相交于点，平分，且，则的度数为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据角平分线的定义得到，根据垂线的定义得到，利用邻补角的定义即可求解．【详解】解：∵，平分，∴，∵，∴，∴，故答案为：C．【点睛】本题考查邻补角的定义、角平分线的定义、垂直的定义等内容，运用几何知识进行角的和差运算是解题的关键．6．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON=55°，则∠AOM的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．25°【答案】A【分析】根据垂直得出∠NOM=90°，求出∠COM=35°，根据角平分线定义得出∠AOM=∠COM，即可得出答案．【详解】解：∵ON⊥OM，∴∠NOM=90°，∵∠CON=55°，∴∠COM=90°-55°=35°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠COM=35°，故选：A．【点睛】本题考查了垂直定义，角平分线定义等知识点，解题的关键是能求出∠COM的度数和求出∠AOM=∠COM．7．已知,如图，直线,相交于点,⊥于点，∠=35°.则∠的度数为（）.A．35°B．55°C．65°D．70°【答案】B【分析】直接利用垂线的定义结合已知角得出∠COE的度数即可．【详解】∵OE⊥AB于点O(已知)，∴∠AOE=90°(垂直定义)．∵直线AB，CD相交于点O，∠BOD=35°(已知)，∴∠AOC=35°(对顶角相等)．∴∠COE=∠AOE−∠AOC=90°−35°=55°．∴∠COE=55°．故选B.【点睛】此题考查垂线的定义，对顶角，解题关键在于得出∠AOC=35°.8．如图，直线，相交于点，，平分，若，则的度数为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由垂直得∠COE=90°，从而知∠AOC=64°，则∠BOD也得64°，由角平分线和平角定义得∠COF 的度数．【详解】∵OE⊥CD，∴∠COE=90°，∴∠AOC=∠COE-∠AOE=90°-26°=64°，∵∠AOC=∠BOD，∴∠BOD=64°，又∵OF平分∠BOD，∴∠DOF=∠BOD=×64°=32°，∴∠COF=180°-∠DOF=180°-32°=148°．故选B．【点睛】本题考查了垂线的定义、邻补角、对顶角定义、角平分线定义等知识点．本题属于基础题，推理过程的书写是关键，从垂直入手与已知相结合得出∠AOC的度数，使问题得以解决；同时要注意对顶角和平角性质的运用．9．如图，直线，，相交于点，，，射线，则的度数为___________．【答案】20°或160°【分析】先求出∠EOD=70°，再分射线OG在直线EF的两侧进行讨论求解即可．【详解】解：∵，，∠2=∠AOE，∴∠EOD=180°－50°－60°=70°，分两种情况：①如图，∵，∴∠EOG=90°，∴∠DOG=∠EOG－∠EOD=90°－70°=20°；②如图，∵∠EOG=90°，∠EOD=70°，∴∠DOG=∠EOD+∠EOG=70°+90°=160°，综上，的度数为20°或160°，故答案为：20°或160°．【点睛】本题考查邻补角、对顶角、垂线性质、角的运算，熟练掌握对顶角相等、邻补角互补，分情况讨论是解答的关键．10．如图，点C，O，D在一条直线上，，OE平分比大，的度数为________．【答案】##72.5度【分析】根据比大，和互补，即可求出，进而由垂直性质可求出，再由角平分线性质即可得出答案．【详解】解：∵比大，∴设，则，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵OE平分，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了垂直的性质，角平分线的性质以及角的运算，掌握以上知识是解题的关键．11．如图，直线AB，CD交于点O，OC平分∠BOE，OE⊥OF，若∠DOF＝15°，则∠EOA＝_________．【答案】30°##30度【分析】根据垂直定义可得∠EOF＝90°，从而利用平角定义求出∠COE＝75°，然后利用角平分线的定义求出∠BOE＝2∠COE＝150°，最后利用平角定义求出∠EOA，即可解答．【详解】解：∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∵∠DOF＝15°，∴∠COE＝180°﹣∠EOF﹣∠DOF＝75°，∵OC平分∠BOE，∴∠BOE＝2∠COE＝150°，∴∠AOE＝180°﹣∠∠BOE＝30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了垂线，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．12．如图，直线AB、CD相交于点O，，O为垂足，如果，则________°．【答案】57.5【分析】根据垂线的定义，可得，根据角的和差，可得的度数，根据邻补角的定义，可得答案．【详解】解：∵∴∴∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了垂线的定义，邻补角的和等于180°，角与分的转化等知识．解题的关键在于领会由垂直得直角．13．如图，直线AB和CD交于O点，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC=40 ，则∠EOF=_______．【答案】130°【分析】根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=40°．根据OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=40°，根据OE ⊥CD，得出∠EOD=90°，利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°即可．【详解】解：∵AB、CD相交于点O，∴∠BOD=∠AOC=40°．∵OD平分∠BOF，∴∠DOF=∠BOD=40°，∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°．故答案为130°．【点睛】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．14．如图所示，已知，若，，，则点到的距离是______，点到的距离是______．【答案】 4 2.4【分析】根据点到直线的距离概念可得点到的距离为垂线段AC的长，设点到的距离为，依据三角形面积，即可得到点到的距离．【详解】解：∵，∴，∴点到的距离为垂线段AC的长，又∵，∴点到的距离为4cm；设点到的距离为，，，，∵，，，，，故答案为：4；2.4．【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用三角形的面积得出是解题关键．15．如图，直线，相交于点，平分．(1)若，，求的度数；(2)若平分，，求的度数．【答案】(1)70°(2)50°【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据垂线的定义以及已知条件求得，继而求得，根据对顶角相等即可求解；（2）根据角平分线的性质可得，，设，则，根据平角的定义建立方程，解方程即可求解．（1）解：平分，，，，，，∴；（2）平分，，，设，则，，解得：，故的度数为：．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．16．如图，直线相交于点O，平分，求：(1)的度数；(2)写出图中互余的角；(3)的度数．【答案】(1)70°(2)∠BOF与∠BOD互余，∠EOF与∠EOD互余，∠EOF与∠BOE互余，∠BOF与∠AOC互余(3)55°【分析】（1）根据对顶角相等即可得到；（2）根据余角的定义求解即可；（3）先根据角平分线的定义求出∠DOE=35°，则∠EOF=∠DOF-∠DOE=55°．（1）解：由题意得；（2）解：∵∠COF=90°，∴∠DOF=180°-∠COF=90°，∴∠BOF+∠BOD=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∴∠EOF+∠BOE=90°，∵∠AOC=∠BOD，∴∠BOF+∠AOC=90°，∴∠BOF与∠BOD互余，∠EOF与∠EOD互余，∠EOF与∠BOE互余，∠BOF与∠AOC互余；（3）解：∵∠BOD=70°，OE平分∠BOD，∴∠DOE=35°，∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=55°．【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，对顶角相等，余角的定义，熟知相关知识是解题的关键.17．如图，已知，，是内三条射线，平分，平分．(1)若，，求的度数．(2)若，，求的度数．(3)若，，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】对于（1），由角平分线的定义求出和，再根据即可求解；对于（2），先求出，再根据角平分线的定义求出和，然后根据即可求解；对于（3），由角平分线的定义得，结合已知条件可得，，即，进而得出，可得答案．【详解】（1）∵平分，平分，∴，，∴；（2）∵，∴．∵，∴．∵平分，平分，∴，，∴；（3）∵平分，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了角的和差，关键是由角平分线定义得出相关等式．18．点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线和射线，使得，，作的平分线．(1)求与的度数；(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线，当时，求旋转的时间．【答案】(1)，(2)或(3)6秒或秒【分析】（1）根据，，即可得出的度数，根据角平分线的定义得出，然后根据得出的度数；（2）根据题意得出的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线在内部时；②当射线在外部时；分别进行计算即可；（3）根据平分得出，根据题意画出图形，计算的角度，然后计算时间即可．【详解】（1）解：由题意可知，，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）由（1）知，，∴，①当射线在内部时，如图2（1），；②当射线在外部时，如图2（2），，综上所述，的度数为或；（3）∵平分，∴，①如图3，，∵平分，∴，∴，∴旋转的时间（秒）；②如图3（1），此时，，∵平分，∴，∴，∴，∴旋转的时间（秒）；综上所述，旋转的时间为6秒或秒．【点睛】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题的关键；第（3）问，搞清楚在射线旋转的过程中，和的相对位置在不断的变化，以此进行分类画图．1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．2．（2022·河南·中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26°B．36°C．44°D．54°【答案】B【分析】根据垂直的定义可得，根据平角的定义即可求解．【详解】解：EO⊥CD，，，．故选：B ．【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．3．（2021·北京·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意易得，，进而问题可求解．【详解】解：∵点在直线上，，∴，，∵，∴，∴；故选A．【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．4．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连接，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．【详解】解：根据点是直线外一点，，垂足为点，是垂线段，即连接直线外的点与直线上各点的所有线段中距离最短，当点与点重合时有，综上所述：，故选：C．【点睛】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．5．（2020·湖北孝感·中考真题）如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】已知，，根据邻补角定义即可求出的度数．【详解】∵∴∵∴故选：B【点睛】本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．6．（2020·河北·中考真题）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【答案】D【分析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．【详解】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；故选：D．【点睛】此题主要考查在同一平面内，垂直于平行的特征，解题的关键是熟知垂直的定义．7．（2020·吉林·中考真题）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______．【答案】垂线段最短【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．【详解】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点睛】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键．。

5.1.2 垂线学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题1．如图，以A为公共端点的两条线段AB、AC互相垂直，点B、D、C在同一条直线上，AD⊥BC，则图形中能表示点到直线的距离的线段有( )条．A．6 B．5 C．4 D．32．到直线a的距离等于2㎝的点有（）个A．0个B．1个C．无数个D．无法确定3．如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，下列说法不正确的是（）A．点A到BC的垂线段为AD B．点C到AD的垂线段为CDC．点B到AC的垂线段为AB D．点D到AB的垂线段为BD4．下列语句叙述正确的有( )①如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角是对顶角;②如果两个角相等,那么这两个角是对顶角;③连接两点的线段长度叫做两点间的距离;④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．如图所示，点P到直线l的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度6．下列说法中正确的是（）A．有且只有一条直线与已知直线垂直；B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离；C．互相垂直的两条线段一定相交；D．直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长度是3cm，则点A 到直线l的距离是3cm.7．如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（）A．两点之间，线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线8．如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是( )A．35° B．40° C．45° D．60°9．如图，已知ON丄a，OM丄a,所以OM与ON重合的理由是（）.A．两点确定一条直线B．经过一点有且只有一条线段垂直于己知直线C．过一点只能作一条垂线D．垂线段最短二、填空题1．如图，BC⊥AC，CB＝8 cm，AC＝6 cm，点C到AB的距离是4.8 cm，那么点B到AC的距离是____ cm，点A到BC的距离是____ cm，A，B两点间的距离是____ cm.2．如图，AB⊥l 1，AC⊥l 2，垂足分别为B ，A ，则A 点到直线l 1的距离是线段__的长度．3．如图，直线AB CD ，相交于点，O EO AB ⊥．重足为35，O EOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为__________度4．已知OA⊥OC 于O ，∠AOB∶∠AOC=2∶3，则∠BOC 的度数为____________度．5．如图，直线a 与b 相交于点O ，直线c⊥b，且垂足为O ，若∠1=35°，则∠2=_____．三、解答题1．如图，已知直线a ，b ，点P 在直线a 外，在直线b 上，过点P 分别画直线a ，b 的垂线．2．如图，按要求画图并回答相关问题：(1)过点A 画线段BC 的垂线，垂足为D ；(2)过点D 画线段．．DE∥AB，交AC 的延长线于点E ；(3)指出∠E 的同位角和内错角．3．如图所示，点P 是∠ABC 内一点．(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F．(2)∠EPF等于∠B吗?为什么?4．如图，是一条河，C是河边AB外一点：（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为1：2000）⊥于点O．5．如图，己知90∠=，过点O作直线CD，作OE CDAOB()1图中除了直角相等外，再找出一对相等的角，并证明它们相等；()2若70∠的度数；∠=，求BOCAOD()3将直线CD绕点O旋转，若在旋转过程中，OB所在的直线平分DOE∠的∠，求此时AOD度数．参考答案一、单选题1．B分析：根据点到直线距离的定义进行解答即可．详解：解：∵AB、AC互相垂直，AD⊥BC，∴线段AB的长度是点B到直线AC的距离；线段AC的长度是点C到直线AB的距离；线段AD的长度是点A到直线BC的距离；线段CD的长度是点C到直线AD的距离；线段BD的长度是点B到直线AD的距离．∴图形中能表示点到直线的距离的线段有5条．故选：B．点睛：本题考查了点到直线的距离的定义，即直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，熟知概念是关键．2．C解析：详解：解：到直线a的距离等于2的点的轨迹是与a平行，且到a的距离等于2的两条直线，直线是由无数个点组成．故选C．3．D解析：A. 点A到BC的垂线段为AD，正确； B. 点C到AD的垂线段为CD，正确；C. 点B到AC的垂线段为AB，正确；D. 点B到AD的垂线段为BD.故选D.4．B解析：试题①如果两个角有公共顶点且它们的两边互为反向延长线,那么这两个角是对顶角;故错误.②如果两个角相等,那么这两个角是对顶角;错误.③连接两点的线段长度叫做两点间的距离;正确.④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离.错误.故选B.5．B解析：由点到直线的距离定义，即垂线段的长度可得结果，点P到直线l的距离是线段PB 的长度，故选B.6．D解析：对照垂线的两条性质逐一判断．①从直线外一点引这条直线的垂线，垂线段最短；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．详解：解：A、和一条直线垂直的直线有无数条，故A错误；B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度，故B错误；C、互相垂直的两条线段不一定相交，线段有长度限制，故C错误；D、直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中最短线段就是垂线段，可表示点A 到直线l的距离，故D正确．故选：D．点睛：本题考查的是垂线的相关定义及性质，只要记住并理解即可正确答题．7．C分析：根据“垂线段的性质：垂线段最短”解答即可．详解：这样做的理由是垂线段最短．故选C．点睛：本题考查了垂线段最短．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．8．A解析：试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AO∠=90°，即∠2+∠1=90°.∵∠1=55°，∴∠2=35°.故选A．考点：1.垂直的性质；2.数形结合思想的应用.9．B解析：利用OM⊥NP，ON⊥NP，所以直线ON与OM重合，其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选B．二、填空题1．6 10解析：∵BC⊥AC，CB=8cm， AC=6cm，∴点B到AC的距离是8cm，点A到BC的距离是6cm，故答案为8，6，10.2．AB详解：解：根据点到直线的距离的定义，易得A点到直线l的距离是线段AB的长度．1故答案为：AB．3．125分析：根据垂直的定义及角的加法，求出∠BOC的度数，根据对顶角相等求解即可．详解：⊥∵EO AB∴∠EOB=90°∵∠EOC=35°∴∠BOC=∠EOB+∠EOC=125°∴∠AOD=∠BOC =125°故答案为：125点睛：本题考查的是垂直的定义及角的加减，掌握垂直的定义及能从图形中确定角之间的关系是关键．4．30°或150°分析：根据垂直关系知∠AOC=90°，由∠AOB：∠AOC=2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．详解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵∠AOB：∠AOC=3：2，∴∠AOB=60°．因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．如图，①当在∠AOC内时，∠BOC=90°-60°=30°；②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°．故答案为30°或150°.点睛：此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．5．55°解析：如下图，∵直线a、b、c相交于点O，且c⊥b，∴∠1+∠2+3∠=180°，∠3=90°，又∵∠1=35°，∴∠2=180°-35°-90°=55°.故答案为55°.三、解答题1．图形见解析.分析：根据过直线外一点作已知直线的垂线和过直线上一点作已知直线的垂线分别画出即可详解：解：如答图所示，PA为直线a的垂线，PB为直线b的垂线．点睛：垂线的作法是本题的考点，熟练掌握作图方法是解题的关键.2．（1）见解析（2）见解析（3）∠E的同位角是∠ACD，∠E的内错角是∠BAE和∠BCE.解析：（1）如图，过A点作AD⊥BD与BC的延长线交于D点即可；（2）如图，过D点作DE∥AB与AC的延长线交于E点即可；（3）根据同位角与内错角的定义进行解答即可.详解：(1)(2)如图所示．(3)∠E的同位角是∠ACD，∠E的内错角是∠BAE和∠BCE.点睛：本题主要考查基础作图，同位角与内错角的定义，熟练掌握其知识点是解此题的关键.3．（1）图形见解析（2）∠EPF＝∠B解析：试题分析:（1）①过点P作BC的垂线，D是垂足；②过点P作BC的平行线交AB于E ，过点P 作AB 的平行线交BC 于F ；（2）根据平行线的性质可得∠AEP＝∠B，∠EPF＝∠AEP 然后利用等量代换得到结论即可． 解:如图所示，(1)①直线PD 即为所求；②直线PE 、PF 即为所求．(2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位角相等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF＝∠B(等量代换)．点睛:本题考查了平行线和垂线的画法及平行线的性质,熟练掌握两直线平行同位角相等,两直线平行内错角相等是解答本题的关键.4．详见解析.解析：试题分析：（1）过点C 作AB 的平行线．（2）过点C 作CD 垂直于AB 交AB 于点D ．根据垂线段最短，可得CD 长度最小，量出CD 的长度，然后按比例尺求出实际的距离． 试题如图：（1）过点C 画一平行线平行于AB ．（2）过点C 作CD 垂直于AB 交AB 于点D ．然后用尺子量CD 的长度，再按1：2000的比例求得实际距离即可．经测量0.9,CD cm =0.92000180018.cm m ⨯==5．（1）AOD BOE ∠=∠；（2）160BOC ∠=；（3）45AOD ∠=.解析：（1）根据垂直定义可得∠DOB+∠BOE=90°，再根据同角的余角相等可得∠AOD=∠BOE；（2）根据余角定义可得∠BOD=20°，再根据邻补角互补可得∠BOC 的度数；（3）根据角平分线性质可得∠DOB=12∠DOE=45°，再根据角的和差关系可得答案．详解：解：()1AOD BOE∠=∠，∵OE CD⊥于点O，∴90DOB BOE∠+∠=，∵90AOB∠=，∴90AOD DOB∠+∠=，∴AOD BOE∠=∠；()2∵70AOD∠=，90AOB∠=，∴20BOD∠=，∴18020160BOC∠=-=；()3∵OB所在的直线平分DOE∠，∴1452DOB DOE∠=∠=，∵90AOB∠=，∴904545AOD∠=-=．点睛：此题主要考查了垂线，以及余角，补角，关键是掌握两角之和为90°时，这两个角互余，两角之和为180°时，这两个角互补．。

5.1.2 垂线基础题知识点1 认识垂直1．(贺州中考)如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是(A)A．35°B．40°C．45°D．60°2．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝90°，则AB与CD的位置关系是垂直；若已知AB⊥CD，则∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠AOD＝90°.3．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的大小．解：因为AB⊥CD，所以∠DOB＝90°.又因为∠DOE＝127°，所以∠BOE＝∠DOE－∠DOB＝127°－90°＝37°.所以∠AOF＝∠BOE＝37°.知识点2 画垂线4．(和平区期中)画一条线段的垂线，垂足在(D)A．线段上B．线段的端点C．线段的延长线上D．以上都有可能5．(邢台期中)下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是(D)知识点3 垂线的性质6．下列说法正确的有(C)①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．A．1个B．2个C．3个D．4个7．下面可以得到在如图所示的直角三角形中斜边最长的原理是(D)A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直D．垂线段最短8．某中学创建绿色和谐校园活动中要在一块三角形花园里种植两种不同的花草，同时拟从点A修建一条花间小径到边BC.若要使修建小路所使用的材料最少，请在图中画出小路AD，你这样画的理由是垂线段最短．知识点4 点到直线的距离9．点到直线的距离是指这点到这条直线的(D)A．垂线段B．垂线C．垂线的长度D．垂线段的长度10．(枝江市期中)如图所示，在灌溉农田时，要把河(直线l表示一条河)中的水引到农田P处，设计了四条路线PA，PB，PC，PD(其中PB⊥l)，你选择哪条路线挖渠才能使渠道最短(B)A．PA B．PB C．PC D．PD11．如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，AB＝6 cm，AD＝5 cm，则点B到直线AC的距离是6_cm，点A 到直线BC的距离是5_cm.中档题12．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个13．(淄博中考)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有(D) A．2条B．3条C．4条D．5条14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是(A) A．2.5 B．3C．4 D．515．(济源期末)点P为直线l外一点，点A，B，C为直线上三点，PA＝2 cm，PB＝3 cm，PC＝4 cm，则点P到直线l的距离为(D)A．等于2 cm B．小于2 cmC．大于2 cm D．不大于2 cm16．如图，田径运动会上，七年级二班的小亮同学从C点起跳，假若落地点是D.当AB与CD垂直时，他跳得最远．17．如图，当∠1与∠2满足条件∠1＋∠2＝90°时，OA⊥OB.18．(河南中考改编)如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为55°.19．如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.(1)求∠2的度数；(2)AO与BO垂直吗？说明理由．解：(1)因为DO⊥CO，所以∠DOC＝90°.因为∠1＝36°，所以∠2＝90°－36°＝54°.(2)AO⊥BO.理由如下：因为∠3＝36°，∠2＝54°，所以∠3＋∠2＝90°.所以AO⊥BO.20．如图，两直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，如果∠AOC ∶∠AOD ＝7∶11.(1)求∠COE ；(2)若OF ⊥OE ，求∠COF.解：(1)因为∠AOC ∶∠AOD ＝7∶11，∠AOC ＋∠AOD ＝180°， 所以∠AOC ＝70°，∠AOD ＝110°. 所以∠BOD ＝∠AOC ＝70°， ∠BOC ＝∠AOD ＝110°. 又因为OE 平分∠BOD ，所以∠BOE ＝∠DOE ＝12∠BOD ＝35°.所以∠COE ＝∠BOC ＋∠BOE ＝110°＋35°＝145°. (2)因为OF ⊥OE ，所以∠FOE ＝90°.所以∠FOD ＝∠FOE －∠DOE ＝90°－35°＝55°. 所以∠COF ＝180°－∠FOD ＝180°－55°＝125°.综合题21．如图所示，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，C ，D 分别是位于公路AB 两侧的村庄．(1)该汽车行驶到公路AB 上的某一位置C ′时距离村庄C 最近，行驶到D ′位置时，距离村庄D 最近，请在公路AB 上作出C ′，D ′的位置(保留作图痕迹)；(2)当汽车从A 出发向B 行驶时，在哪一段路上距离村庄C 越来越远，而离村庄D 越来越近？(只叙述结论，不必说明理由)解：(1)过点C 作AB 的垂线，垂足为C ′，过点D 作AB 的垂线，垂足为D ′. (2)在C ′D ′上距离村庄C 越来越远，而离村庄D 越来越近.。

2019年4月16日初中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是某跳远运动员在一次比赛中跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点A处开始并与起跳线1垂直于点B，然后记录AB的长度，这样做的理由是( )A．过一点可以作无数条直线B．垂线段最短C．过两点有且只有一条直线D．两点之间线段最短【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【详解】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选：B．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．2．下列说法①一个角的余角一定是锐角；②因为∠1＝∠2，所以∠1与∠2是对顶角；③过一点与已知直线平行的直线只有一条；④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】【分析】根据互余的定义、对顶角的定义、点到直线的距离的定义、平行线的性质来逐一判断即可.【详解】解：一个角的余角一定是锐角，所以①正确；相等的角不一定是对顶角，所以②错误；过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条，所以③错误；从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④错误；两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以⑤错误．故本题答案应为：A．【点睛】本题主要考查了互余、对顶角、点到直线的距离的定义及平行线的性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.3．如图，直线AB和CD相交于O，那么图中∠DOE与∠COA 的关系是（）A．对顶角B．相等C．互余D．互补【答案】C【解析】【分析】先由垂直的定义得到∠AOE=∠BOE=90°，则∠DOE+∠BOD=90°，再根据对顶角相等得到∠BOD=∠AOC，所以∠DOE+∠AOC=90°，然后根据互余的定义进行判断．【详解】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴∠DOE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠DOE+∠AOC=90°，即∠DOE与∠COA互余．故选：C．【点睛】本题考查了垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．也考查了对顶角和两角互余．4．下列说法正确的是( )A．直线一定比射线长B．过一点能作已知直线的一条垂线C．射线AB的端点是A和B D．角的两边越长，角度越大【答案】B【解析】【分析】根据基本概念和公理，利用排除法求解．【详解】解：A、直线和射线长都没有长度，故本选项错误；B、过一点能作已知直线的一条垂线，正确；C、射线AB的端点是A，故本选项错误；D、角的角度与其两边的长无关，错误；故选：B．【点睛】本题考查了直线、射线和线段．相关概念：直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹．向两个方向无限延伸．过两点有且只有一条直线．射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸．5．如图，BD⊥AC于点D，EC⊥AB于点E，AF⊥BC点F，AF、BD、CE交于点O，则图中能表示点A到直线OC的距离的线段长是（）A．AE B．AF C．AD D．OD【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的概念即可解答．【详解】解：点A到直线OC的距离的线段长是AE，故选：A．【点睛】本题考查点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念．6．如图，A、B、C、D都在直线MN上，点P在直线外，若∠1=60°，∠2=90°，∠3=120°，∠4=150°，则点P到直线MN的距离是（）A．P，A两点之间的距离B．P，B两点之间的距离C．P，C两点之间的距离D．P，D两点之间的距离【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义进行判断即可．【详解】∵∠2=90°，∴点P到直线MN的距离是P，A两点之间的距离，故选A．【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记概念是解题的关键．7．如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠EOC=35°,则∠AOD的度数为A．125°B．115C．55°D．35°【答案】A【解析】【分析】根据图形求得∠COB=∠COE+∠BOE=125°；然后由对顶角相等的性质，求∠AOD的度数．【详解】解：∵EO⊥AB，∴∠EOB=90°．又∵∠COE=35°，∴∠COB=∠COE+∠BOE=125°．∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），∴∠AOD=125°．故选：A．【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角等知识点．本题也可以利用邻补角的定义先求得∠BOD=55°，再由邻补角的定义求∠AOD的度数．8．下列说法中不正确的是()A．两点之间的所有连线中，线段最短B．两点确定一条直线C．小于平角的角可分为锐角和钝角两类D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【解析】【分析】利用线段公理、确定直线的条件、角的分类及垂线的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；B、两点确定一条直线，正确；C、小于平角的角可分为锐角、直角和钝角三类，故此选项错误；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确.故选C.【点睛】本题主要考查了线段、直线、垂线及角的分类．9．在同一平面内，下列判断中错误的是()A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．垂直于已知线段并且经过这条线段中点的垂线只有一条C．垂直于已知直线的垂线只有一条D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】C【解析】【分析】根据垂线的定义和性质分析即可.(1)过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直；(2)从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。

七年级数学（下）第五章《相交线与平行线——垂线》练习题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在A．这条线段上B．这条线段的端点处C．这条线段的延长线上D．以上都有可能【答案】D2．过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是.A．B．C．D．【答案】C【解析】过点P向线段AB所在直线引垂线，根据画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，符合要求的只有选项C，故选C．3．如图所示，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是A．过两点有且只有一条直线B．过一点只能作一条直线C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．垂线段最短【答案】C【解析】已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，理由是在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．4．如图所示，直线AB与直线CD的位置关系是__________，记作__________，此时，∠AOD=∠__________ =∠__________=∠__________=90°．【答案】垂直，AB⊥CD，DOB，BOC，COA5．如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA=__________，∠BOC的补角为__________度．【答案】72°，162【解析】∵BO⊥AO，∴∠AOB=90°，∵∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，∴∠BOC=18°，∴∠COA=∠BOA–∠BOC=90°–18°=72°.∠BOC的补角为180°–18°=162°.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．6．如图，已知钝角∠AOB，点D在射线OB上.（1）作直线DE⊥OB；（2）作直线DF⊥OA，垂足为F. 【解析】根据垂直的定义作图即可．如图所示：7．如图所示，O是直线AB上一点，∠AOC=13∠BOC，OC是∠AOD的平分线．（1）求∠COD的度数．（2）判断OD与AB的位置关系，并说出理由．。

5.1.2 垂线学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题1．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中，不正确的是( )A．线段AC的长度是点A到BC的距离B．CD与AB互相垂直C．AC与BC互相垂直D．点B到AC的垂线段是线段CA2．我们在运动会时测量跳远的成绩，实际上是要得到( )A．两点之间的距离B．点到直线的距离C．两条直线之间的距离D．空中飞行的距离3．下列语句正确的是（）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两条直线相交，交点叫做垂足D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交4．有下列说法：①两条直线相交成四个角，如果两个角相等，那么这两条直线垂直；②两条直线相交成四个角，如果三个角相等，那么这两条直线垂直；③在同一平面内，过直线上一点可以作无数条直线与已知直线垂直；④直线外一点到这条的垂线段，叫做点到直线的距离．其中正确的说法有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线B．垂直线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边6．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°7．同一平面内的四条直线满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（）A．a∥b B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c8．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥AB，∠COE＝32°，∠FOG＝29°，则∠AOC 的度数是( )A．19°B．29°C．32°D．39°9．如图，直线 AD，BE 相交于点 O，CO⊥AD 于点 O，OF 平分∠BOC．若∠AOB=32°，则∠AOF 的度数为A．29°B．30°C．31°D．32°二、填空题1．如图，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，图中共有________个直角，图中线段________的长表示点C到AB的距离，线段________的长表示点A到BC的距离．2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE丄AB于O，∠DOE=35°，则∠AOC=______．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，∠1与∠3的度数之比为3：4，则∠EOC=___________，∠2=_________．4．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD=132°，则∠EOC=_____°．5．如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是_______________________三、解答题1．读下列语句，并画出图形．点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直．2．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线段PE．（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．（3）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？3．如图是某次跳远测验中某同学跳远记录示意图．这个同学的成绩应如何测量，请你画出示意图．4．如图，直线AB，CD相交于点O．OF平分∠AOE，OF⊥CD于点O．(1)请直接写出图中所有与∠AOC相等的角：______.(2)若∠AOD＝150°，求∠AOE的度数．5．已知直线CD⊥AB于点O，∠EOF＝90°，射线OP平分∠COF．（1）如图1，∠EOF在直线CD的右侧：①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度数；②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方：①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系；②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系．参考答案一、单选题1．D解析：根据垂线的定义可做出判断.详解：A. ∵∠ACB＝90°，故线段AC的长度是点A到BC的距离，正确；B. 由CD⊥AB 知CD与AB互相垂直，正确；C. 由∠ACB＝90°知AC与BC互相垂直，正确D. 点B到AC的垂线段应该是线段CB，故错误；选D.点睛：此题主要考察垂线的定义.2．B解析：跳远时,测量的是跳远者落地时脚后跟与起跳时直线之间的距离,测量是把脚后跟当做一个点处理,即是求点与直线之间的距离.故选B.3．B解析：试题A、过一点须指明过直线外一点，错误；B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是垂线的性质，正确；C、只有垂直相交，交点才叫垂足，错误；D、过直线上一点与已知直线相交的直线有无数条，错误．故选B．4．B解析：试题①两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角相等且均不为90°，那么这两条直线不垂直，故①错误；②两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故②正确；③在同一平面内，过直线上一点只有一条直线与已知直线垂直．故③错误；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．故④错误；综上所述，正确的说法是1个．故选B．5．B分析：根据垂线段的定义判断即可.详解：解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短,选:B.点睛：直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称“垂线段最短”．6．C分析：根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．详解：A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误；D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；故选C．点睛：本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义．7．C解析：根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证a∥c，再结合c⊥d，可证a⊥d．详解：∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，∵c⊥d，∴a⊥d.故选C.点睛：此题考查垂线，难度不大8．B解析：先根据垂直的定义得出∠BOG=90°，那么∠BOF=61°，由对顶角相等求出∠AOE=∠BOF=61°，进而求出∠AOC=61°-32°=29°．详解：解：∵OG⊥AB，∴∠BOG=90°，∵∠FOG=29°，∴∠BOF=∠BOG-∠FOG=90°-29°=61°，∴∠AOE=∠BOF=61°，∵∠COE=32°，∴∠AOC=∠AOE-∠COE=61°-32°=29°．故选B．点睛：本题考查垂直的定义，对顶角的性质；弄清各个角之间的关系是解题关键．9．A分析：由CO⊥AD于点 O，得∠AOC=90︒，由已知∠AOB=32︒可求出∠BOC的度数，利用OF 平分∠BOC可得∠BOF=1BOC2∠，即可得∠AOF 的度数.详解：∵CO⊥AD 于点 O，∴∠AOC=90︒，∵∠AOB=32︒，∴∠BOC=122︒，∵OF 平分∠BOC，∴∠BOF=1BOC612∠=︒，∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=61︒-3229︒=︒.故选A.点睛：本题考查垂线，角平分线的定义.二、填空题1．3, CD, AC解析：分析：运用垂直的定义和点到直线的距离，结合图形作答．详解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，即图中共有3个直角．图中线段CD的长表示点C到AB的距离，线段AC的长表示点A到BC的距离．故空中应填：3，CD，AC．点睛：点到直线的距离是过直线外一点作直线的垂线，垂线段的长度．2．o详解：解：∵OE丄AB于O，∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE=90°又∵∠DOE=35°，∴∠BOD=90°-35°=55°，又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC=55°故答案为：55°．3．153° 54°分析：由垂线的定义和角平分线的定义即可得出结果．详解：∵OF⊥OC，∴∠DOF=∠COF=90°．∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠1．∵∠1与∠3的度数之比为3：4，∴∠AOD：∠3=3：2．∵∠3+∠AOD=90°，∴∠3=36°，∠AOD=54°，∴∠2=∠AOD=54°，∠112=∠AOD=27°，∴∠EOC=180°－∠1=180°－27°=153°．故答案为153°，54°．点睛：本题考查了垂线，角平分线定义，对顶角的性质，正确的识别图形是解题的关键．4．42°分析：根据对顶角相等可得∠COB＝132°，再根据垂直定义可得∠EOB＝90°，再利用角的和差关系可得答案．详解：∵∠AOD＝132°，∴∠COB＝132°，∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，∴∠COE＝132°－90°＝42°，故答案为42°.点睛：本题考查了垂线, 对顶角、邻补角的定义，熟练掌握这些定义是本题解题的关键.5．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．解析：根据同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案．详解：解：∵OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，∴OA与OB重合（同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）．故答案为同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．点睛：本题主要考查了垂线的性质，正确把握定义是解题关键．三、解答题1．如图所示见解析.解析：先画直线AB和点P，过P作AB的平行线CD，过P作直线EF⊥AB，即可得出答案．详解：解：如图所示：．点睛：本题考查了画垂线，主要考查学生的理解能力和动手操作能力，用了数形结合思想．2．(1)见解析；（2）见解析；（3）PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”分析：前两问尺规作图见详解,第（3）问中利用垂线段最短即可解题.详解：（1）（2）如图所示．（3）在直角△FPO中,PO＜FO,在直角△PEO中,PE＜PO,∴PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”．点睛：本题考查了尺规作图和垂线段的性质,属于简单题,熟悉尺规作图的方法和步骤,垂线段的性质是解题关键.3．见解析解析：试题分析：从落地点作沙坑一边的垂线，测量落地点与踏跳板间的距离即为跳远成绩．试题如图所示，红线的长度即为该同学的跳远成绩.点睛：本题考查了垂线的应用，根据体育常识，跳远时只要不越过踏跳板起跳，测量成绩时从踏跳板开始测量，越过踏跳板则成绩视为无效．4．(1)∠BOD，∠DOE；(2)∠AOE＝120°．解析：（1）根据邻补角的定义确定出∠AOC和∠BOD，再根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，根据垂直的定义可得∠COF=∠DOF=90°，然后根据等角的余角相等求出∠DOE=∠AOC，从而最后得解；（2）根据垂直的定义得到∠DOF，根据角平分线的定义求出即可得到结论．详解：解：(1)∵直线AB，CD相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF，∵OF⊥CD，∴∠COF＝∠DOF＝90°，∴∠DOE＝∠AOC，∴与∠AOD相等的角有∠BOD，∠DOE，故答案为：∠BOD，∠DOE.(2)∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，∵∠AOD＝150°，∴∠AOF＝60°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠AOF＝120°．点睛：本题考查了垂线，余角和补角，对顶角相等的性质，角平分线的定义．5．（1）①∠BOF= 30°，∠POE=30°，②∠POE＝∠BOP（2）①∠POE＝∠BOP②∠POE+∠DOP ＝270°解析：（1）①根据余角的性质得到∠BOF＝∠COE＝30°，求得∠COF＝90°+30°＝120°，根据角平分线的定义即可得到结论；②根据垂线的性质和角平分线的定义即可得到结论；（2）①根据角平分线的定义得到∠COP＝∠POF，求得∠POE＝90°+∠POF，∠BOP＝90°+∠COP，于是得到∠POE＝∠BOP；②根据周角的定义即可得到结论．详解：（1）①∵CD⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOF＝∠COE＝30°，∴∠COF＝90°+30°＝120°，∵OP平分∠COF，∴∠COP＝12∠COF＝60°，∴∠POE＝∠COP﹣∠COE＝30°；②CD⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOF＝∠COE，∵OP平分∠COF，∴∠COP＝∠POF，∴∠POE＝∠COP﹣∠COE，∠BOP＝∠POF﹣∠BOF，∴∠POE＝∠BOP；（2）①∵∠EOF＝∠BOC＝90°，∵PO平分∠COF，∴∠COP＝∠POF，∴∠POE＝90°+∠POF，∠BOP＝90°+∠COP，∴∠POE＝∠BOP；②∵∠POE＝∠BOP，∠DOP+∠BOP＝270°，∴∠POE+∠DOP＝270°．点睛：本题考查了垂线，角平分线定义，角的和差，正确的识别图形是解题的关键．。

七年级数学下册第五章相交线与平行线专项测试（2021-2022学年考试时间：90分钟，总分100分）班级：__________ 姓名：__________ 总分：__________一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列命题：①平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；③垂线段最短；④同旁内角互补．其中，正确命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、如图，O为直线AB上一点，∠COB＝36°12'，则∠AOC的度数为（）A．164°12'B．136°12'C．143°88'D．143°48'3、下列各组图形中，能够通过平移得到的一组是（）A． B． C． D．4、如图，直线AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，交点分别为点M、点N，若∠AME＝130°，则∠DNM的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°5、“小小竹排江中游，巍巍青山两岸走”，所描绘的图形变换主要是（）A．平移变换B．翻折变换C．旋转变换D．以上都不对6、如图，下列条件中，不能判断1l∥2l的是（）A．∠1=∠3B．∠2=∠4C．∠4+∠5=180°D．∠3=∠47、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．8、如所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）A ．B ．C ．D ．9、下列命题中，真命题是（ ）A ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B ．相等的角是对顶角C ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行D ．同旁内角互补10、在证明命题“若21a >，则1a >”是假命题时，下列选项中所举反例不正确的是（ ）A ．2a =B ．2a =-C ．3a =-D ．4a =-二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，过直线AB 上一点O 作射线OC ，∠BOC ＝29°38′，OD 平分∠AOC ，则∠DOC 的度数为 _____．2、如图，（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角；（2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角；（3）∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角；（4）∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线_________所截得的________角；（5）∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线________所截得的________角．3、如图，已知1234l l l l，且∠1=48°，则∠2＝_____，∠3＝_____，∠4＝_____．//,//4、如图，线段AB按一定的方向平移到线段CD，点A平移到点C，若AB=6cm，四边形ABDC的周长为28cm，则BD=_____cm．5、如图，A、B、C为直线l上的点，D为直线l外一点，若2∠的度数为＝，则CBD∠∠ABD CBD______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，已知四边形ABCD的四个顶点在格点上，利用格点和直尺按下列要求画图：（1）过点C画AD的平行线CE；（2）过点B 画CD 的垂线，垂足为F ．2、如图所示，已知∠AOD =∠BOC ，请在图中找出∠BOC 的补角，邻补角及对顶角．3、如图，直线,AB CD 交于点O ，OE CD ⊥于点O ，且BOD ∠的度数是AOD ∠的4倍．（1）求AOD BOD ∠∠,的度数；（2）求∠BOE 的度数．4、完成下列证明：已知CD AB ⊥，FG AB ⊥，垂足分别为D 、F ，且12∠=∠，求证∥DE BC ． 证明：AB CD ⊥，FG AB ⊥（已知），90BDC BFG ∴∠=∠=︒（ ）CD GF ∴∥（ ）23∴∠=∠（ ）又12∠=∠（已知）13∠∠∴=（ ）DE BC ∴∥（ ）5、按下面的要求画图，并回答问题：（1）如图①，点M 从点O 出发向正东方向移动4个格，再向正北方向移动3个格．画出线段OM ，此时M 点在点O 的北偏东 °方向上（精确到1°），O 、M 两点的距离是 cm ．（2）根据以下语句，在“图②”上边的空白处画出图形．画4cm 长的线段AB ，点P 是直纸AB 外一点，过点P 画直线AB 的垂线PD ，垂足为点D ．你测得点P 到AB 的距离是 cm ．---------参考答案-----------一、单选题【分析】根据平行线的性质与判定可以判断①②④，根据垂线段最短可以判断③．【详解】解：①平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，是真命题；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题；③垂线段最短，是真命题；④两直线平行，同旁内角互补，是假命题，∴真命题有3个，故选C．【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知相关知识是解题的关键．2、D【分析】根据邻补角及角度的运算可直接进行求解．【详解】解：由图可知：∠AOC+∠BOC=180°，∵∠COB＝36°12'，∴∠AOC=180°-∠BOC=143°48'，故选D．【点睛】本题主要考查邻补角及角度的运算，熟练掌握邻补角及角度的运算是解题的关键．【分析】根据平移的性质对各选项进行判断．【详解】A、左图是通过翻折得到右图，不是平移，故不符合题意；B、上图可通过平移得到下图，故符合题意；C、不能通过平移得到，故不符合题意；D、不能通过平移得到，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．4、C【分析】由对顶角得到∠BMN=130°，然后利用平行线的性质，即可得到答案．【详解】解：由题意，∵∠BMN与∠AME是对顶角，∴∠BMN=∠AME=130°，∵AB∥CD，∴∠BMN+∠DNM=180°，∴∠DNM=50°；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到∠BMN =130°．5、A【分析】根据平移是图形沿某一直线方向移动一定的距离，可得答案．【详解】解：“小小竹排水中游，巍巍青山两岸走”所描绘的图形变换主要是平移变换，故选：A ．【点睛】本题考查了平移变换，利用了平移的定义．6、D【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A 、13∠=∠，内错角相等，12//l l ∴，故本选项错误，不符合题意；B 、24∠∠=，同位角相等，12//l l ∴，故本选项错误，不符合题意；C 、45180∠+∠=︒，同旁内角互补，12//l l ∴，故本选项错误，不符合题意；D 、34∠∠=，它们不是内错角或同位角，1l 与2l 的关系无法判定，故本选项正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查的是平行线的判定，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行的知识．7、B【分析】根据对顶角的定义作出判断即可．【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有B 选项的是对顶角，其它都不是．故选：B ．【点睛】本题考查对顶角的定义，解题关键是明确两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．8、B【分析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．【详解】解：A ．∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角；B ．∠1与∠2有公共顶点，并且两边互为反向延长线，是对顶角；C ．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角；D ．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角．故选：B．【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的定义是解题的关键．9、C【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：A、错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等；B、错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角；C、正确，必须强调在同一平面内；D、错误，两直线平行同旁内角才互补．故选：C．【点睛】主要考查命题的真假判断与平行线的性质、对顶角的特点，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10、A【分析】所谓举反例是指满足命题的条件但不满足命题的结论，由此可判断．【详解】显然A选项既满足命题的条件也满足命题的结论，故不是举反例，其它三个选项满足命题的条件，但不满足命题的结论，所以都是举反例；故选：A【点睛】本题考查了命题的真假，说明一个命题是假命题要举反例．掌握举反例的含义是关键．二、填空题1、7511'︒【解析】【分析】先根据邻补角互补求出∠AOC=150°22′，再由角平分线的定义求解即可．【详解】解：∵∠BOC＝29°38′，∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=150°22′，∵OD平分∠AOC，∴1=75112DOC AOC'=︒∠∠，故答案为：7511'︒．【点睛】本题主要考查了邻补角互补，角度制的计算，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．2、BD（BC）同位AC内错AB AC BC同旁内AB AC BC同位AB CE BC同旁内【解析】【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的性质判断即可；【详解】（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线BD（BC）所截得的同位角；（2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线AC所截得的内错角；（3）∠3和∠ABC是直线AB、AC被直线BC所截得的同旁内角；（4）∠ABC和∠ACD是直线AB、AC被直线BC所截得的同位角；（5）∠ABC和∠BCE是直线AB、CE被直线BC所截得的同旁内角．故答案是：BD（BC）；同位；AC；内错；AB；AC；BC；同旁内；AB；AC；BC；同位；AB；CE；BC；同旁内．【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的判断，准确分析判断是解题的关键．3、48° 132° 48°【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等可求出∠2，根据两直线平行，同位角相等可求出∠4，同旁内角互补可求出∠3．【详解】解：∵1l //2l，∠1=48°，∴∠2=∠1=48°，∵3l //4l，∠1=48°，∴∠4=∠1=48°，∵1l //2l，∴∠3+∠4=180°∴∠3=180°-∠4=180°-48°=132°故答案为：48°；132°；48°【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．4、8【解析】【分析】图形平移后，AB平移到线段CD，点A平移到点C，则A和C是对应点，B和D是对应点，可得AB+BD=14，最后得出结果．【详解】解：∵图形平移后，对应点连成的线段平行且相等，∴AB平移到线段CD，点A平移到点C，则A和C是对应点，B和D是对应点，∴AC=BD，AB=CD∵AC+BD+AB+CD=2AB+2BD=28，∴AB+BD=14，∵AB=6cm，∴BD=14-6=8cm，故答案为：8．【点睛】根据平移的性质，图形平移后，对应点连成的线段平行且相等，求出结果．5、60°或60度【解析】【分析】由邻补角的定义，结合2ABD CBD ∠∠＝，可得答案.【详解】解：2,180,ABD CBD ABD CBD ∠∠∠+∠=︒＝118060.3CBD ∴∠=⨯︒=︒ 故答案为：60︒【点睛】本题考查的是邻补角的定义，掌握“互为邻补角的两个角的和为180︒”是解本题的关键.三、解答题1、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据要求作出图形即可．【详解】解：（1）根据题意得：AD 是长为4，宽为3的长方形的对角线，所以在点C 右上方长为4，宽为3的长方形的对角线所在的直线与AD 平行，如图，直线CE 即为所求作．（2）根据题意得：CD 是长为6，宽为3的长方形的对角线，所以在点B 右下方长为6，宽为3的长方形的对角线所在的直线与CD 垂直，如图，直线BF 即为所求作．【点睛】本题主要考查了画平行线和垂线，熟练掌握平行线和垂线的画法是解题的关键．2、∠BOC的补角有两个∠BOD和∠AOC；∠BOC的邻补角为∠AOC；∠BOC没有对顶角.【分析】由题意直接根据补角，邻补角及对顶角的定义进行分析即可找出.【详解】解：因为∠BOC＋∠AOC=180º(平角定义），所以∠AOC是∠BOC的补角,∠AOD=∠BOC（已知），所以∠BOC＋∠BOD=180º.所以∠BOD是∠BOC的补角．所以∠BOC的补角有两个：∠BOD和∠AOC.因为∠AOC和∠BOC相邻，所以∠BOC的邻补角为：∠AOC.∠BOC没有对顶角.【点睛】本题考查补角，邻补角及对顶角的定义，熟练掌握补角，邻补角及对顶角的定义是解题的关键.3、（1）∠AOD=36°，∠BOD=144°；（2）∠BOE=54°【分析】（1）先由BOD∠的度数是AOD∠的4倍，得到∠BOD=4∠AOD，再由邻补角互补得到∠AOD+∠BOD=180°，由此求解即可；（2）根据垂线的定义可得∠DOE=90°，则∠BOE=∠BOD-∠DOE=54°．【详解】解：（1）∵BOD∠的度数是AOD∠的4倍，∴∠BOD=4∠AOD，又∵∠AOD+∠BOD=180°，∴5∠AOD=180°，∴∠AOD=36°，∴∠BOD=144°；（2）∵OE⊥CD，∴∠DOE=90°，∴∠BOE=∠BOD-∠DOE=54°．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，邻补角互补，熟练掌握邻补角互补是解题的关键．4、见详解【分析】根据垂直的定义及平行线的性质与判定可直接进行求解．【详解】证明：AB CD⊥（已知），⊥，FG AB∴∠=∠=︒（垂直的定义）90BDC BFGCD GF ∴∥（同位角相等，两直线平行）23∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）又12∠=∠（已知）13∠∠∴=（等量代换）DE BC ∴∥（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题主要考查垂直的定义及平行线的性质与判定，熟练掌握垂直的定义及平行线的性质与判定是解题的关键．5、（1）图见解析，53，5；（2）图见解析，3．【分析】（1）先根据点的移动得到点M ，再连接点,O M 可得线段OM ，然后测量角的度数和线段OM 的长度即可得；（2）先画出线段AB ，再根据垂线的尺规作图画出垂线PD ，然后测量PD 的长即可得．【详解】解：（1）如图，线段OM 即为所求．此时M 点在点O 的北偏东53︒方向上，O 、M 两点的距离是5cm ，故答案为：53，5；（2）如图，线段AB和垂线PD即为所求．测得点P到AB的距离是3cm，故答案为：3．【点睛】本题考查了测量角的大小、线段的长度、作线段和垂线，熟练掌握尺规作图的方法是解题关键．。

密 封 线 学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题第五章 相交线与平行线检测题一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行； ③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中错误的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．点P 是直线l 外一点，A 为垂足， ,且PA =4 cm ，则点P 到直线l 的距离（ ） A ．小于4 cm B ．等于4 cm C ．大于4 cm D ．不确定 3．（2013•安徽）如图，AB ∥CD ，∠A +∠E =75°，则∠C 为（ ） A ．60° B ．65° C ．75° D ．80°第3题图 第4题图 4．（2013•襄阳）如图，BD 平分∠ABC ，CD ∥AB ，若∠BCD =70°，则∠ABD 的度数为（ ） A ．55° B ．50° C ．45° D ．40° 5．（2013•孝感）如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（ ） A ．120° B ．130° C ．140° D ．40° 6．如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个第5题图 第6题图7．如图，点E 在CD 的延长线上，下列条件中不能判定AB ∥CD 的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠3=∠4C ．∠5=∠D ．∠+∠BDC =180°第7题图第8题图 8．如图，DH ∥EG ∥BC ，DC ∥EF ，那么与∠DCB 相等的角的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9. 下列条件中能得到平行线的是（ ）①邻补角的角平分线；②平行线内错角的角平分线；③平行线同旁内角的角平分线． A ．①② B ．②③ C ．② D ．③ 10. 两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线（ ） A ．互相重合 B ．互相平行 C ．互相垂直 D ．相交二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．如图，直线a 、b 相交，∠1=36°，则∠2= ．第11题图12．（2013•镇江）如图，AD 平分△ABC 的外角∠EAC ，且AD ∥BC ，若∠BAC =80°， 则∠B = °．第12题图 第13题图第14题图13．如图，计划把河水引到水池A 中，先作AB ⊥CD ，垂足为B ，然后沿AB 开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 ．14．如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，且AB ⊥CD ，∠1与∠2的关系是 ．15．（2013•江西）如图,在△ABC 中，∠A =90°，点D 在AC 边上，DE ∥BC ，若∠1=155°，则∠B 的度数为 ．密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题第15题图 第16题图16．如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=72°，则∠2= ． 17．如图，直线a ∥b ，则∠ACB = ．第17题图 第18题图18．（2012•郴州）如图，已知AB ∥CD ，∠1=60°，则∠2= 度． 三、解答题（共6小题，满分46分）19．（7分）读句画图：如图，直线CD 与直线AB 相交于C ，根据下列语句画图：（1）过点P 作PQ ∥CD ，交AB 于点Q ； （2）过点P 作PR ⊥CD ，垂足为R ；（3）若∠DCB =120°，猜想∠PQC 是多少度？并说明理由．第19题图20．（7分）如图，方格中有一条美丽可爱的小金鱼．（1）若方格的边长为1，则小鱼的面积为 ；（2）画出小鱼向左平移3格后的图形．（不要求写作图步骤和过程）第20题图21．（8分）已知：如图，∠BAP +∠APD =180°，∠1 =∠2.求证：∠E =∠F ．22．（8分）已知：如图，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠5 =∠6.求证：ED ∥FB ．23．（8分）如图，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，∠AED =80°，求∠EDC 的度数．第23题图24．（8分）如图，已知AB ∥CD ，∠B =65°，CM 平分∠BCE ，∠MCN =90°，求∠DCN 的度数．学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题第五章 相交线与平行线检测题参考答案 1.B 解析：①是正确的，对顶角相等；②正确，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行； ③错误，角平分线分成的两个角相等但不是对顶角； ④错误，同位角只有在两直线平行的情况下才相等． 故①②正确，③④错误，所以错误的有两个， 故选B ．2. B 解析：根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度（垂线段最短）， 所以点P 到直线l 的距离等于4 cm ，故选B ．3. C 解析：∵∠A+∠E=75°， ∴∠EOB=∠A+∠E=75°.∵AB ∥CD ，∴∠C=∠EOB=75°，故选C ．4. A 解析：∵CD ∥AB ，∴∠ABC+∠DCB=180°. ∵∠BCD=70°，∴∠ABC=180°-70°=110°. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=55°.5. C 解析：如题图所示，∵∠1=∠2， ∴a ∥b ，∴∠3=∠5.∵∠3=40°，∴∠5=40°， ∴∠4=180°-∠5=180°-40°=140°， 故选C ．6. C 解析：∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABC=∠BCD. 设∠ABC 的对顶角为∠1，则∠ABC=∠1. 又∵ AC ⊥BC ，∴ ∠ACB=90°，∴ ∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠BCD=∠CAB+∠1=90°， 因此与∠CAB 互余的角为∠ABC ，∠BCD ，∠1． 故选C ．7. A 解析：选项B 中，∵ ∠3=∠4，∴ AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），故正确；选项C 中，∵ ∠5=∠B ，∴ AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），故正确； 选项D 中，∵ ∠B+∠BDC=180°，∴ AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行），故正确；而选项A 中，∠1与∠2是直线AC 、BD 被直线AD 所截形成的内错角，∵ ∠1=∠2，∴ AC ∥BD ，故A 错误．选A ．8. D 解析 ：如题图所示，∵ DC ∥EF ，∴ ∠DCB=∠EFB. ∵ DH ∥EG ∥BC ，∴ ∠GEF=∠EFB ，∠DCB=∠HDC ，∠DCB=∠CMG=∠DME ， 故与∠DCB 相等的角共有5个．故选D ．9. C 解析 ：结合已知条件，利用平行线的判定定理依次推理判断． 10. B 解析：∵ 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等， ∴ 它们角的平分线形成的同位角相等，∴ 同位角相等的平分线平行．故选B ．11. 144° 解析：由题图得，∠1与∠2互为邻补角，即∠1+∠2=180°. 又∵∠1=36°，∴ ∠2=180°36°=144°． 12. 50 解析：∵∠BAC=80°，∴∠EAC=100°.∵AD 平分△ABC 的外角∠EAC ，∴∠EAD=∠DAC=50°. ∵AD ∥BC ，∴∠B=∠EAD=50°． 故答案为50．13. 垂线段定理：直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短解析：根据垂线段定理，直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∴ 沿AB 开渠，能使所开的渠道最短．14. ∠1+∠2=90° 解析：∵ 直线AB 、EF 相交于O 点，∴ ∠1=∠DOF. 又∵ AB ⊥CD ，∴ ∠2+∠DOF=90°，∴ ∠1+∠2=90°． 15. 65° 解析：∵∠1=155°，∴∠EDC=180°-155°=25°. ∵DE ∥BC ，∴∠C=∠EDC=25°.∵在△ABC 中，∠A=90°，∠C=25°， ∴∠B=180°-90°-25°=65°． 故答案为65°．16. 54° 解析：∵ AB ∥CD ，∴ ∠BEF=180°∠1=180°72°=108°，∠2=∠BEG. 又∵ EG 平分∠BEF ，∴ ∠BEG=∠BEF=×108°=54°， 故∠2=∠BEG=54°．17. 78° 解析：延长BC 与直线a 相交于点D ，∵ a ∥b ，∴ ∠ADC=∠DBE=50°. ∴ ∠ACB=∠ADC +28°=50°+28°=78°. 故应填78°.18. 120 解析：∵AB ∥CD ，∴∠1=∠3， 而∠1=60°，∴∠3=60°.又∵∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-60°=120°． 故答案为120． 19．解：（1）（2）如图所示.第19题答图 （3）∠PQC=60°.理由：∵ PQ ∥CD,∴ ∠DCB+∠PQC=180°. ∵ ∠DCB=120°,∴ ∠PQC=180°120°=60°． 20. 解：（1）小鱼的面积为7×6 ×5×6 ×2×5 ×4×2 ×1.5×1 × ×11=16.（2）将每个关键点向左平移3个单位，连接即可．学校 班级 姓名学号密 封 线 内 不 得 答 题第20题答图21.证明：∵ ∠BAP+∠APD = 180°，∴ AB ∥CD.∴ ∠BAP =∠APC. 又∵ ∠1 =∠2,∴ ∠BAP−∠1 =∠APC−∠2. 即∠EAP =∠APF.∴ AE ∥FP .∴ ∠E =∠F.22．证明：∵ ∠3 =∠4,∴ AC ∥BD.∴ ∠6+∠2+∠3 = 180°. ∵ ∠6 =∠5，∠2 =∠1,∴ ∠5+∠1+∠3 = 180°. ∴ ED ∥FB.23. 解：∵ DE ∥BC ，∠AED=80°，∴ ∠EDC=∠BCD ，∠ACB=∠AED=80°. ∵ CD 平分∠ACB ，∴ ∠BCD= ∠ACB=40°，∴ ∠EDC=∠BCD=40°．24. 解：∵ AB ∥CD ，∴ ∠B+∠BCE=180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵ ∠B=65°，∴ ∠BCE=115°.∵ CM 平分∠BCE ，∴ ∠ECM= ∠BCE =57.5°. ∵ ∠ECM +∠MCN +∠NCD =180°，∠MCN=90°，∴ ∠NCD=180°-∠ECM-∠MCN=180°-57.5°-90°=32.5°．。