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运筹学线性规划模型及目标规划模型

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运筹学第五章_目标规划

运筹学第五章_目标规划

第一节目标规划实例与模型
看起来有 点繁～ 有点 ‘烦’… … …★
因此其目标规划的数学模型： minz=p1d1++p2(d2-+d2+)+p3d3s.t 2x1+x2≤11 x1-x2+d1--d1+=0 x1+2x2+d2--d2+=10 8x1+10x2+d3--d3+=56 x1,x2≥0,di-,di+≥0，i=1,2,3
第一节目标规划实例与模型
(5)目标函数—准则函数 目标函数是由各目标约束的正负偏差变量及其相应 的优先级、权因子构成的函数，且对这个函数求极小值， 其中不包含决策变量xi.因为决策者的愿望总是希望尽可能 缩小偏差，使目标尽可能达到理想值，因此目标函数总是 极小化。有三种基本形式：
第一节目标规划实例与模型
第一节目标规划实例与模型
(4)优先级与权因子 多个目标之间有主次缓急之分，凡要求首先达到的目 标，赋于优先级p1,要求第2位达到的目标赋于优先级 p2,…设共有k0个优先级则规定 p1>>p2>>p3……Pk0>0 P1优先级远远高于p2,p3，只有当p1级完成优化后，再考 虑p2,p3。反之p2在优化时不能破坏p1级的优先值，p3级 在优化时不能破坏p1,p2已达到的优值 由于绝对约束是必须满足的约束，因此与绝对约束相 应的目标函数总是放在p1级
第一节目标规划实例与模型
该问题的决策目标是： （1）总利润最大； （2）尽可能少加工； （3）尽可能多销售电扇； （4）生产数量不能超过预销售数量。 （5）绝对目标约束。所谓绝对目标约束就是必须要严格 满足的约束。绝对目标约束是最高优先级，在考虑较低 优先级的目标之前它们必须首先得到满足。

运筹学第1章-线性规划

运筹学第1章-线性规划
凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个 点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
下一页 返回
图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
下一页 返回
1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。

第七讲 运筹学建模

第七讲 运筹学建模

2
7.1 运输问题模型
1.运输问题模型概述
运输问题是一类特殊的线性规划模型，该模型的建立最 初用于解决一个部门的运输网络所要求的最经济的运输路线
和产品的调配问题，并取得了成功.然而，在实际问题的应
用中，除运输问题外，许多非运输问题的实际问题一样可以 建立其相应的运输问题模型，并由此而求出其最优解.下面
们将列举一些模型范例，以说明这个事实.
27
0—1型整数规划的数学模型为：
m a x (m in ) z c 1 x 1 c 2 x 2
a 1 1 x1 a 1 2 x 2 a x a 22 x 2 21 1 s.t. a x a x m2 2 m1 1 x1 , x 2 ,
x ij 1 0
ij
( i , j 1, 2 ,..., n )
，
指派第 i 人完成第 不指派第
j 项任务 j 项任务
i 人完成第
数学模型为：
min Z
n

c ij x ij
x ij 1 i 1 n s .t . x ij 1 j 1 x 0或 1 ij
25
4.整数规划的求解方法 （1）分枝定界法－可求纯或混合整数线性规划。 （2）割平面法－可求纯或混合整数线性规划 （3）隐枚举法－求解“0-1”整数规划：①过滤隐枚举法 ；②分枝隐枚举法。 （4）匈牙利法－解决指派问题（“0-1”规划特殊情形） （5）蒙特卡洛法－求解各种类型规划。 这里不一一介绍，感兴趣的同学再去查找相关资料。
8
m
n
(7.1.1)
m
当然，在实际问题的应用中，常出现产销不平衡的情 形，此时，需要把产销不平衡问题转化为产销平衡问题来进

运筹学模型的类型

运筹学模型的类型

运筹学模型的类型运筹学模型是指通过数学方法来描述和解决复杂问题的一种工具。

根据问题的性质和要求，运筹学模型可以分为以下几种类型：1. 线性规划模型（Linear Programming Model，简称LP）：线性规划是一种优化问题，它的目标是在满足一些约束条件下，使某个线性函数取得最大或最小值。

线性规划模型广泛应用于生产调度、资源分配、物流运输等领域。

2. 整数规划模型（Integer Programming Model，简称IP）：整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量只能取整数值。

整数规划模型常用于生产调度、排产计划、网络设计等问题。

3. 非线性规划模型（Nonlinear Programming Model，简称NLP）：非线性规划是一种优化问题，它的目标函数和约束条件都可以是非线性的。

非线性规划模型广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。

4. 动态规划模型（Dynamic Programming Model，简称DP）：动态规划是一种优化方法，它将一个复杂问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。

动态规划模型常用于生产调度、资源分配、投资决策等问题。

5. 排队论模型（Queuing Theory Model，简称QT）：排队论是一种研究等待线性的数学理论，它可以用来描述和分析顾客到达、服务时间、系统容量等因素对系统性能的影响。

排队论模型广泛应用于交通运输、通信网络、医疗卫生等领域。

6. 决策树模型（Decision Tree Model，简称DT）：决策树是一种分类和回归的方法，它可以将一个问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。

决策树模型常用于金融风险评估、医学诊断、市场营销等领域。

总之，不同类型的运筹学模型适用于不同的问题领域和求解目标，选择合适的模型可以帮助我们更好地解决实际问题。

1-1线性规划问题及模型

1-1线性规划问题及模型
史新峰
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第一章 线性规划与单纯形法
1.1线性规划问题及模型 运 筹 学
主要内容
01 线性规划问题
运
02 线性规划模型及特征
筹
学
一 线性规划问题
二 线性规划模型
2.线性规划模型的一般形式
运 筹 学
二 线性规划模型
简写式
运 筹 学
n
max（或 min）Z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j
(或 ，)bi
j1
xj 0
i 1,，m j 1,, n
二 线性规划模型
运向量式 筹 学
max（或 min ） Z CX
星期 需要人数 星期 需要人数
运
一
300
五
480
筹
二
300
六
600
学
三
350
日
550
四
400
应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。
一 线性规划问题
在上班 周 周 周 周 周 周 周 一二三四五六日
开始上班
周一
周二
运
周三
筹
周四
学
周五 周六
周日
一 线性规划问题
解：设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星
期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 x4 x5 x6 x7 300
x1

目标规划和线性规划的区别]

目标规划和线性规划的区别]
目标规划
(Goal programming)
目标规划概述 目标规划的数学模型
目标规划的图解法 目标规划的单纯形法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较
1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束 条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求 得更切合实际的解。
（二）、目标规划的基本概念
例题4—1
线性规划模型为：
maxZ = 8x1 + 10 x2 2x1 + x2 ≤11 ①
x1 +2x2 ≤10 ②
x1, x2≥0 X*=(4,3)T Z*=62
目标函数的地位突出，约束条件是必须严 格满足的等式或不等式，是绝对化的“硬约 束”，此种问题若要求太多时，很容易相互矛 盾，得不到可行解。如根据市场情况再加以下 要求：
目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为 d
＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为
d－。
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达到 目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
后面乘任意大的数还是小。必须“满足”第一级才能 “满足”第二级，依次类推。
权系数ωlk ：区别具有相同优先因子的两个目标的 重要性差别，决策者可视具体情况而定。 （优先因子和权系数的大小具有主观性和模糊性，它 不是运筹学本身的问题，主要是决策人自身的经验， 可用专家评定法给以量化。）

运筹学模型的分类和类型

运筹学模型的分类和类型运筹学是一门应用于决策制定和问题解决的学科，它通过数学模型和分析方法来优化资源的利用。

运筹学模型是在特定情境中描述问题和优化目标的数学表示。

根据问题的性质和优化目标的类型，运筹学模型可以被分类为多种类型。

在本文中，我将介绍一些常见的运筹学模型分类。

一、线性规划模型：线性规划模型是最基本的运筹学模型之一。

它的特点是目标函数和约束条件均为线性的。

线性规划模型常用于求解资源分配、生产计划、物流运输等问题。

通过线性规划模型，我们可以找到使资源利用最优化的决策方案。

某公司需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，且需满足各种资源约束条件，这时可以使用线性规划模型进行求解。

二、整数规划模型：整数规划模型是在线性规划模型的基础上引入整数变量的扩展。

在某些情况下，问题的决策变量只能取整数值，这时就需要使用整数规划模型进行求解。

某物流公司需要确定车辆的调度方案，每辆车的装载量可以是整数，这时可以使用整数规划模型来求解最佳调度方案。

三、动态规划模型：动态规划模型是一种考虑时间因素的决策模型。

它通常用于求解多阶段决策问题。

动态规划模型通过将问题划分为多个阶段，并建立各阶段之间的转移方程，来寻找最优决策序列。

在项目管理中，我们需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总工期和成本，这时可以使用动态规划模型进行求解。

四、网络流模型：网络流模型是一种描述网络中资源分配和流量传输的模型。

它通常用于求解网络优化问题，如最小费用流问题、最大流问题等。

网络流模型中，节点表示资源或流量的源点、汇点和中间节点，边表示资源或流量的传输通道。

通过建立网络流模型，我们可以确定资源的最优分配方案，以及网络中的最大流量或最小成本。

在供应链管理中，我们需要确定货物从生产商到消费者的最佳流向，以最小化总运输成本，这时可以使用网络流模型进行求解。

五、排队论模型：排队论模型是一种描述排队系统的模型。

它通常用于评估系统性能指标，如平均等待时间、平均逗留时间等。

《运筹学》教案-目标规划数学模型

《运筹学》教案-目标规划数学模型第一章：目标规划概述1.1 目标规划的定义与意义1.2 目标规划与其他规划方法的区别1.3 目标规划的应用领域1.4 目标规划的发展历程第二章：目标规划的基本原理2.1 目标规划的基本假设2.2 目标规划的数学模型2.3 目标规划的求解方法2.4 目标规划的评估与决策第三章：目标规划的数学模型3.1 单一目标规划模型3.2 多目标规划模型3.3 带约束的目标规划模型3.4 动态目标规划模型第四章：目标规划的求解方法4.1 线性规划求解方法4.2 非线性规划求解方法4.3 整数规划求解方法4.4 遗传算法求解方法第五章：目标规划的应用案例5.1 生产计划目标规划案例5.2 人力资源规划目标规划案例5.3 投资组合目标规划案例5.4 物流配送目标规划案例第六章：目标规划的高级应用6.1 目标规划在供应链管理中的应用6.2 目标规划在项目管理中的应用6.3 目标规划在金融管理中的应用6.4 目标规划在能源管理中的应用第七章：目标规划的软件工具7.1 目标规划软件工具的介绍7.2 常用目标规划软件工具的操作与应用7.3 目标规划软件工具的选择与评估7.4 目标规划软件工具的发展趋势第八章：目标规划在实际问题中的应用8.1 目标规划在制造业中的应用案例8.2 目标规划在服务业中的应用案例8.3 目标规划在政府决策中的应用案例8.4 目标规划在其他领域的应用案例第九章：目标规划的局限性与挑战9.1 目标规划的局限性分析9.2 目标规划在实际应用中遇到的问题9.3 目标规划的发展趋势与展望9.4 目标规划的未来研究方向10.1 目标规划的意义与价值10.2 目标规划在国内外的发展现状10.3 目标规划在未来的发展方向10.4 对运筹学领域的发展展望重点和难点解析重点环节一：目标规划的数学模型补充和说明：在讲解目标规划的数学模型时，重点关注单一目标规划模型和多目标规划模型的构建。

决策理论(线性规划与目标规划)详解

线性规ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的某些特殊情况，例如网络流、多商品流量等问题， 都被认为非常重要，并有大量对其算法的专门研究。很多其他 种类的最优化问题算法都可以分拆成线性规划子问题，然后求 得解。
在历史上，由线性规划引申出的很多概念，启发了最优化理论 的核心概念，诸如“对偶”、“分解”、“凸性”的重要性及 其一般化等。同样的，在微观经济学和商业管理领域，线性规 划被大量应用于解决收入极大化或生产过程的成本极小化之类 的问题。
二、线性规划问题及其数学模型
2.1 问题的提出及模型建立
在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合 理利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到更好 的经济效果。
例：某工厂在计划内要安排生产甲，乙两种产品，已知 成产单位产品所需的设备台时及A,B两种原材料的消耗， 如下表：
甲
设备
1
原材料A
Q2 (4,2)
Q1 4
Z=2x1+3x2
从图解法中直观地见到 ，当线性规划问题的可 行性域非空时，它是有 界或无界凸多边形。若 线性规划问题存在最优 解，它一定在有界可行 域的某个顶点得到；若 在两个顶点同时得到最 优解，则它们连线上的 任意一点都是最优解， 即有无穷多最优解。
x1
简单地说，这也算线性 规划的几何意义。
（3）都有一个要求达到的目标，它可以用决策变量及其 有关的价值系数构成的线性函数（称为目标函数）来表示。 按照问题的不同，要求的目标函数实现最大化或最小化。
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。 其一般形式如下：
二、线性规划问题及其数学模型
一般形式：
目标函数： max(min) z = c1x1+c2x2+···+cnxn 满足约束条件： a11x1+a12x2+···+a1nxn≤(=, ≥)b1

计量地理学第四章——线性规划和多目标规划


目标：用料最少
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划数学模型
以上例子表明，线性规划问题具有以下特征： ①每一个问题都用一组未知变量（x1，x2，…，xn）表示某一规 划方案，其一组定值代表一个具体的方案，而且通常要求这些未 知变量的取值是非负的。
②每一个问题的组成部分：一是目标函数，按照研究问题的不同， 常常要求目标函数取最大或最小值；二是约束条件，它定义了一 种求解范围，使问题的解必须在这一范围之内。
二 线性规划的标准形式
（二）化为标准形式的方法
2.约束方程化为标准形式的方法
若第k个约束方程为不等式，即
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn ()bk
引入松弛变量 x nk 0, K个方程改写为：
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn () xnk bk
则目标函数标准形式为：
非负约束
xij 0(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
mn
z
cij xij min
i1 j1
目标：总运费最小
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例 资源利用问题 假设某地区拥有m种资源，其中，第i种资源在规
划期内的限额为bi(i=1，2，…，m)。这m种资源可用 来生产n种产品，其中，生产单位数量的第j种产品需 要 消 耗 的 第 i 种 资 源 的 数 量 为 aij(i=1 ， 2 ， … ， m ； j=1,2, …,n)，第j种产品的单价为cj(j=1，2， …，n)。 试问如何安排这几种产品的生产计划，才能使规划期 内资源利用的总产值达到最大?
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例
资源利用问题
设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，则上述资源问题就是：
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问题一：建立一个资源利用的规划模型，需加入时间资源、资金资源。

1、问题的提出
1.1基本情况
某公司现在新购一生产线，生产电脑配件B1、B2、B3。

已知生产单位产品的利润与所需的劳动力时间、设备台时及单位产品的资金投入，公司的资金拥有量和工作时间拥有量如表1-1所示：
表1T
项目
B1
配件种类资源限制B2B3
资金（百元）412200
劳动力/工时643360
设备台时（小323210
时）
产品利润（元/754
件）
1.2提出问题
1、假设每种配件的市场都是供不应求，不用考虑市场及原材料的供应问题那么在现有的条件下应该如何分配者三种配件的生产才能获得最大利润。

2、模型的建立
2.1确定决策变量
因为获得最大利润的核心目标，要确定各种配件的生产数量从而去求得所能
获得的最大利润。

因此可以设尤，x ,x来表示B1，B2, B3的产量。

1 2 3
2.2确定目标函数
该问题归结为求效益最大化的问题。

这里所追求的利润s应是最大（简写为max）
max S = 7 x + 5 x + 4 x
1 2 3
2.3确定约束条件
考虑到资金限制和劳动力总工时以及设备台时的要求，会有一定的约束条件用不等式表示参考表1_1数值有
'4x + x + 2x < 200
<6x + 4x + 3x < 360
I3x + 2x + 3x < 210
侦1 2 3
2.4建立模型
综合前述各步及变量非负的条件建立起线性规划模型如下。

求变量
气(i = 1,2,3)使得目标函数：
max S = 7 x + 5 x + 4 x
1 2 3
取得最大值，并满足如下的约束条件的要求：
4x + x + 2x < 200
1 2 3
6x + 4x + 3 x < 360
s.t. < 1 2 3
|3x i+ 2x2 + 3x3 < 210
I x , x , x > 0
v 1 2 3
3、模型的求解分析
上述线性规划模型是非标准的线性规划模型，用常规方法将其变为标准型的线性规划模型，然后利用单纯形法进行求解。

3.1模型转化
给约束条件加入松弛变量x ,x ,x将模型变为标准型的线性规划模型如下：
4 5 6
max S = 7 x + 5 x + 4 x
1 2 3
4 x + x + 2 x + x = 200
6 x + 4 x + 3x + x = 360
S.t.<12 3 5
3x + 2 x + 3 x + x = 210
x , x , x , x , x , x > 0
、 1 2 3 4 5 6
对应于下边模型
max Z = CX
I AX = b
s.t.\ A = (B, N), X =
I X > 0
3.2初始单纯形表的构建
表1-2
C j C1=7C 2 =5C 3 =4C
4=。

C 5
=0 C 6 =0
b9
C B x
i
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
C 4x
4
4 1 2 1 0 0 200 50
C 5
C 6x
5
x
6
6
3
4
2
3
3
1
1
360
210
60
70
7 5 4 0 0 0
j
可以以此为初始单纯形表，用单纯形法进行迭代计算，直至求出最优解。

问题二：将上问题的线性规划模型改为目标规划模型
1、问题提出
1.1基本情况
某公司现在新购一生产线，生产电脑配件B1、B2、B3。

已知生产单位产品的利润与所需的劳动力时间、设备台时及单位产品的资金投入，公司的资金拥有量和工作时间拥有量如表1-1所示：
表1T
项目
B1
配件种类资源限制B2B3
资金（百元）412200
劳动力/工时643360
设备台时（小323210
时）
产品利润（元/754
件）
1.2提出问题
对于上述问题在不考虑其他外界因素的情况下，用单纯形法计算可以得出最优解等于（34,24,20），最优值是438 （百元）。

现在公司提出了新的目标：
1、希望利润达到460 （百元）；
2、可以利用的资源总量仍然不变，即资金投入不超过200 （百元），劳动力工时不超过360小时，设备台时不超过210小时。

为了达到以上两个目标该如何重新合理安排生产。

2、模型的建立
2.1确定目标的优先级
由于不同目标的优先级是不可比较的，即较高目标的损失，任何较低目标上的收获是没有办法弥补的。

因此需要首先确定目标的优先级：引进优先级别系数：
P1：利润达到460 （百元）；
P2：资金投入不超过200 （百元），劳动力工时不超过360小时，设备工时不超过210小时；其权数之比为3:1:1
2.2确定变量
因为获得最大利润的核心目标，要确定各种配件的生产数量从而去求得所能
获得的最大利润。

因此可以设匚x ,x来表示B1，B2, B3的产量。

为了达到新
1 2 3
的目标要引入偏差变量d+, d「(i = 1〜4)
2.3确定目标函数
该问题为目标规划问题，可以讲问题转化为偏差的最小化问题。

这里所用到的
偏差目标用z表示
min z = Pd- + P (3d ++ d ++ d+)
1 1
2 2
3 4
2.4确定约束条件
根据目标的要求此处我们考虑如下的一些约束：
1、要求利润达到460 (百元)，添加偏差变量后约束可以表示为
7x + 5x + 4x + d- - d+ = 460
2、资金投入不超过200 (百元)，添加偏差变量后约束可以表示为
4 x + x + 2 x + d --d + = 200 1 2 3 2 2
3、劳动力时间不超过360小时，添加偏差变量后约束可以表示为
6x + 4x + 3x + d- - d+ = 360
4、劳动力时间不超过360小时，添加偏差变量后约束可以表示为
3x + 2 x + 3x + d --d + = 210
1 2 3 4 4
2.5建立模型
综合前述各步建立如下的目标规划模型
min z = Pd - + P (3d ++ d ++ d+)
1 1
2 2
3 4
7x + 5x + 4x + d - - d + = 200
12 3 11
4x + x + 2x + d - - d + = 200
S.t.< 1 2 3 2 2
6 x + 4x + 3 x + d - - d + = 360
1 2 3 3 3
3x + 2x + 3x + d- -d+ = 210
x , x , x , d > 0( i = 1 ~ 4)
1 2 3 i
3、模型的求解分析
多目标规划问题与现行规划问题相似，可以利用单纯形法进行求解。

3.1模型转化
将目标函数化成标准型：
max S =—Pd --P (3d + + d + + d+) 1 1 2 2 3 4
7x + 5x + 4x + d - - d + = 200
12 3 11
4x + x + 2x + d - - d + = 200
S.t.〈1 2 3 2 2
6 x + 4x + 3 x + d - - d + = 360
3x + 2x + 3x + d- -d+ = 210
x , x , x , d > 0(i = 1 ~ 4)
1 2 3 i
列出单纯形表，检验数C是匕的函数。

计算方法同单纯形法，在选择入基变量时，应该首先选择匕系数最大且大于零者，在匕满足的前提下，再考虑P2，再用最小比值法选择出基变量，进行迭代，直至求出最优解或判断无解。