2022届新高考高三数学一轮复习考点讲义第7讲：三角函数【含答案】

7.2 三角函数概念7.2.1任意角的三角函数学习任务核心素养1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点)2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)1．通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助公式的运算，提升学生的数学运算素养.在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？知识点1任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y2>0)，那么名称定义定义域正弦sin α＝yr R余弦cos α＝xr R正切tan α＝yx⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋kπ，k∈Z1.对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？[提示]不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．2.若P(x，y)为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？[提示]sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.1.若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________.－2222－1 [由题意可知 |OP |＝⎝⎛⎭⎫22－02＋⎝⎛⎭⎫－22－02＝1， ∴sin α＝－221＝－22；cos α＝221＝22；tan α＝－2222＝－1.]知识点2 三角函数在各象限的符号2.(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”或“＜”)(2)cos 3tan 4________0.(填“>”或“<”) (1)＞ (2)＜ [(1)∵α在第三象限， ∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0. (2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴3是第二象限角，4是第三象限角． ∴cos 3<0，tan 4>0.∴cos 3tan 4<0.] 知识点3 三角函数线(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段；有向直线：规定了正方向的直线；有向线段的数量：若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l 平行，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB .(2)三角函数线3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( ) (2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( ) [答案] (1)√ (2)×类型1 三角函数的定义及应用【例1】 (1)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．(2)当α＝－π3时，求sin α，cos α，tan α的值．[解] (1)当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝(－1)2＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋(－2)2＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.(2) 当α＝－π3时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P (x ，y )，(x >0，y <0)根据直角三角形中锐角π3的邻边是斜边的一半，得x＝12，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫122＋y2＝1，y<0，解得y＝－32，所以P⎝⎛⎭⎫12，－32.因此sin α＝－321＝－32，cos α＝121＝12，tan α＝－3212＝－ 3.1．将本例(1)的条件“y＝－2x”改为“3x＋y＝0”其他条件不变，结果又如何？[解]直线3x＋y＝0，即y＝－3x，当α的终边在第二象限时，在α的终边上取一点P(－1，3)，则r＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－3)，则r＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.2．将本例(1)的条件“在直线y＝－2x上”，改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cos α.[解]因为r＝(－3a)2＋(4a)2＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝yr＝4a5a＝45，cos α＝xr＝－3a5a＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝4a－5a＝－45，cos α＝－3a－5a＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2．已知特殊角α，求三角函数值的方法(1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标．(2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值．(此时P 到原点的距离r ＝1)3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[跟进训练]1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. [解] 由题意知r ＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝x x 2＋9.又∵cos θ＝1010x ， ∴xx 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.2. 当α＝4π3时，求sin α，cos α，tan α的值．[解] 当α＝4π3时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P (x ，y )，(x <0，y <0)根据直角三角形中锐角π3的邻边是斜边的一半，得x ＝－12，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫－122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32， 所以P ⎝⎛⎭⎫－12，－32.因此sin α＝－321＝－32，cos α＝－121＝－12，tan α＝－32－12＝ 3.类型2 三角函数值的符号【例2】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号． ①sin 2 015° cos 2 016° tan 2 017°； ②tan 191°－cos 190°； ③sin 2 cos 3 tan 4.(1)D [由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．](2)[解] ①∵2 015°＝1 800°＋215°＝5×360°＋215°， 2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0， ∴sin 2 015° cos 2 016° tan 2 017°>0.②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0.③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2 cos 3 tan 4<0.判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限． (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号．(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度制导致象限判断错误．[跟进训练]3．判断下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0. 从而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0. 从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而tan 120°·sin 269°＞0.类型3 应用三角函数线解三角不等式【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.1．在单位圆中，满足sin α＝32的正弦线有几条？试在图中明确． [提示] 两条，如图1所示，MP 1与NP 2都等于32. 2．在单位圆中，满足cos α＝－12的余弦线有几条？在图中明确．[提示] 一条，如图2所示，OM ＝－12.图1 图2[解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法对于sin x ≥b ，cos x ≥a (sin x ≤b ，cos x ≤a )，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y ＝b 或x ＝a 与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．(2)正切型不等式的解法对于tan x ≥c ，取点(1，c )，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．[跟进训练]4．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域． [解] 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ＜2k π＋34π，k ∈Z .1．若sin α＜0，tan α＞0，则α终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y 轴的负半轴上． 由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内． 故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．] 2．(多选题)下列三角函数判断错误的是( ) A ．sin 165°>0 B ．cos 280°<0 C ．tan 170°>0D ．tan 310°>0BCD[∵90°<165°<180°∴sin 165°>0.又270°<280°<360°，∴cos 280°>0.又270°<310°<360°.∴tan310°<0,90°<170°<180°∴tan 170°<0.]3．已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值等于________． －1 [由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.]4．已知角α终边过P ⎝⎛⎭⎫32，12，则cos α等于________．32 [由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32.] 5．已知sin θ·tan θ<0，那么θ是第________象限角．二或三 [因为sin θ·tan θ<0，所以sin θ<0，tan θ>0或sin θ>0，tan θ<0，若sin θ>0，tan θ<0，所以θ在第二象限．若sin θ<0，tan θ>0，则θ在第三象限．]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．三角函数值的大小与取点有关吗？与什么有关？[提示] 三角函数值的大小与终边所在的位置有关，与取点无关． 2．求一个角的三角函数值需确定几个量？分别是什么？[提示] 确定三个量，角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离． 3．已知角的大小，怎样利用定义求三角函数值？ [提示] 确定出角的终边与单位圆的交点坐标．。

1 能源个人辅导中心（数学辅导）内部专用讲义高三一轮复习专用（专题五三角恒等变换和解三角形）1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()coscos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2 .⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．⑶22tan tan 21tan ααα=-．34、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． 5．（1）积化和差公式sinα²cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α²sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α²cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α²sin β= -21[cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式 sinα+sin β= 2cos2sin2βαβα-+ sinα-sin β=2sin2cos2βαβα-+cos α+cos β=2c os 2c os 2βαβα-+cos α-cos β= -2sin 2sin 2βαβα-+tanα+ cot α=ααα2sin 2cos sin 1=⋅ tanα- cot α= -2cot2α1+cosα=2cos 22α1-cosα=2sin 22α1±sinα=(2cos 2sin αα±)26。

第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． (×) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．(×)2．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D 解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3．如图，为测量一棵树OP 的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4.由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度OP＝PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.64解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32(km)，BC＝BD＋CD＝33－12(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km ， 而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，求这条索道AC 的长．解：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ， 所以200sin 30°＝ADsin 120°. 所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3 (m)． 在△ABC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2．若将本例条件“∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“∠ADC ＝135°，∠CAD ＝15°，AD ＝100 m ，作CO ⊥AB ，垂足为O ，延长AD 交CO 于点E ，且CE ＝50 m ，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD 中，∠ADC ＝135°， ∠CAD ＝15°，所以∠ACD ＝30°. 由正弦定理可得AC ＝100×sin 135°sin 30°＝100 2.在△ACE 中，由正弦定理可得sin ∠CEA ＝AC ·sin ∠CAE CE＝3－1，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA －π2＝sin ∠CEA ＝3－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 考向2 测量高度问题如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6 解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°， 所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v . 在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200. 在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ， 所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()A．a sin 53°2sin 47°B．2sin 47°a sin 53°C．a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D．a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin 47°＝ADsin 26.5°，则AD＝a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．在地面上的A ，B 两点测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝50米，则OP 为( )A ．15米B ．25米C ．35米D ．45米B 解析：如图所示：由于∠OAP ＝30°，∠PBO ＝45°，∠ABO ＝60°，AB ＝50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ．设OP ＝x ，则OA ＝3x ，OB ＝x ，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠ABO ， 即(3x )2＝502＋x 2－2×50x ×12，所以x 2＋25x －1 250＝0，解得x ＝25或x ＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．805 解析：如图，在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin 15°sin 30°＝40(6－2)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD ＝3，BC＝ 2.(1)若CD＝1＋3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝325，∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－222×2×(1＋3)＝22. 因为C 为三角形的内角，故C ＝π4， 所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32， S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32， 故四边形ABCD 的面积S ＝1＋232.(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ， 所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos ∠BDC ＝45，在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33， 故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC ＋π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)，AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，AD ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 kmA 解析：在△ACD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC 2＝49.所以AC ＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝26，AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，∠BCD ＝π3.(1)求BD ；(2)求△BCD 周长的最大值．解：在△ABD 中，设BD ＝x ，∠ABD ＝α，则∠ADB ＝2α， 因为AB sin 2α＝AD sin α， 所以cos α＝63.由余弦定理得cos α＝x 2＋24－946x ＝63. 整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5或x ＝3. 当x ＝3时，得∠ADB ＝2α＝π2， 与AD 2＋BD 2≠AB 2矛盾，故舍去， 所以BD ＝5.(2)在△BCD 中，设∠CBD ＝β， 所以BD sin π3＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝CD sin β，所以BC ＝1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β，CD ＝1033sin β，所以BC ＋CD ＝1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β＋32cos β＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－3sin x cos x －12＝12cos 2x －32sin 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，所以－π6<2A －π6<5π6. 又f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1， 所以2A －π6＝π2，即A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．又a ＝2，所以bc ≤4， 所以S △ABC ＝12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R )，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求△ABC 的周长． 解：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 因为f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0且C 为三角形内角，所以C ＝π3. (2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 则sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得cos π3＝a2＋4a2－3 2·a·2a＝12，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋ 3.。

第七节解三角形应用举例命题分析预测学科核心素养从近五年的高考来看，本节内容直接命题较少，主要涉及高度、距离、角度等实际应用问题．本节主要考查考生的数学建模、数学运算核心素养．授课提示：对应学生用书第84页知识点测量中的有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的X围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α例：（1）北偏东α：（2）南偏西α：易混淆方位角与方向角的概念1．方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．2．“方位角”与“方向角”的X围：方位角大小的X围是[0°，360°），方向角大小的X围是[)0°，90°．1．（易错题）若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的（ ）A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°， 而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°． ∴点A 在点B 的北偏西15°． 答案：B2．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，则可以计算出A ，B 两点的距离为 m ．解析：由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin B ，又因为∠B ＝30°，所以AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502（m ）．答案：50 23．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝米．解析：由题图可得∠P AQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，在△P AB中，∠P AB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，所以∠BP A＝（90°－α）－（90°－γ）＝γ－α＝30°，所以asin 30°＝PBsin 15°，所以PB＝6－22a，所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋a sin β＝6－22a×sin 60°＋a sin 15°＝22a．答案：2 2a授课提示：对应学生用书第84页题型一距离问题[例]（2021·某某质检）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径（即A，B两点间的距离），现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA ＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为_________．[解析]由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC ＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40（6＋2）．在△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， 所以∠DBC ＝30°，由正弦定理CD sin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC，得BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD＝80×sin 15°12＝160sin 15°＝40（6－2）．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝1 600×（8＋43）＋1 600×（8－43）＋2×1 600×（6＋2）×（6－2）×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝ 32 000，解得AB ＝805．故图中海洋蓝洞的口径为805． [答案] 80 5求距离问题的两个注意事项（1）选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．[对点训练]如图，为了测量两山顶D ，C 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，在A 位置时，观察D 点的俯角为75°，观察C 点的俯角为30°；在B 位置时，观察D 点的俯角为45°，观察C 点的俯角为60°，且AB ＝ 3 km ，则C ，D 之间的距离为 km ．解析：在△ABD中，因为∠BAD＝75°，∠ABD＝45°，所以∠ADB＝60°，由正弦定理可得ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，即3sin 60°＝ADsin 45°，所以AD＝3sin 45°sin 60°＝2（km）．由题意得∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝ 3 km．所以AC＝3 km．在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD cos∠DAC＝5，即CD＝ 5 km．答案： 5题型二高度问题[例]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝m．[解析]由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．又AB＝600 m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC＝300 2 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006（m）．[答案]100 6利用正、余弦定理求解高度问题应注意的三个问题（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（它是在水平面上所成的角）是关键．（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出错．（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[对点训练]为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B的同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝m．解析：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1 m，∠AEF＝30°．在△BCD 中，由正弦定理得 BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD＝40·sin 60°sin 45°＝206（m ）．所以EF ＝20 6 m ．在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝206×33＝202（m ）， 所以AB ＝AF ＋BF ＝202＋1（m ）． 答案：202＋1题型三 角度问题[例] 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[解析] 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°．根据余弦定理得（14x ）2＝122＋（10x ）2－240x cos 120°， 解得x ＝2（负值舍去）．故AC ＝28，BC ＝20． 根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314．所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314．测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． [提醒]方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．[对点训练]如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解析：在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207． 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217．由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277．由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝ cos （∠ACB ＋30°） ＝cos ∠ACB ·cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114．解三角形应用问题中的核心素养数学建模——三斜求积公式的应用我国南宋著名数学家秦九韶（约1202－1261）的著作《数书九章》卷五“田域类”中有一题：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何．”该题就是已知三角形的三边长，求三角形的面积．《数书九章》给出的解法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”写成公式形式就是△ABC 的面积S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，其中△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ．这个公式中的三斜具有“对称性”，a ，b ，c 只要分别表示三角形的三边即可，不一定专指大斜、中斜与小斜．秦九韶给出的“三斜求积”公式与海伦公式（△ABC 的面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），其中△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，p ＝a ＋b ＋c 2，海伦公式的特点是形式漂亮，便于记忆）形异而质相同，填补了我国传统数学的一个空白，代表了我国古代已具有很高的数学水平，是我国数学史上的一颗明珠．[例] 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”（即△ABC 的面积S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，其中△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ）并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为（ ） A ．82平方里 B ．83平方里 C ．84平方里D ．85平方里[解析] 由题意知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤132×152－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋152－14222＝84（平方里）． [答案] C[对点训练]《海岛算经》是中国学者X 徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC 和DE ，两标杆之间的距离BD ＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H 在同一直线上，从前面的标杆B 处后退123步，人眼贴地面，从地上F 处仰望岛峰，A ，C ，F 三点共线，从后面的标杆D 处后退127步，人眼贴地面，从地上G 处仰望岛峰，A ，E ，G 三点也共线，则海岛的高为（注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步）（ ）A ．1 255步B ．1 250步C ．1 230步D ．1 200步解析：因为AH ∥BC ，所以△BCF ∽△HAF ，所以BF HF ＝BC AH ．因为AH ∥DE ，所以△DEG ∽△HAG ，所以DG HG ＝DE AH ．又BC ＝DE ，所以BF HF ＝DG HG ，即123123＋HB ＝127127＋1 000＋HB ，所以HB ＝30 750步，又BF HF ＝BCAH ，所以AH ＝5×（30 750＋123）123＝1 255（步）．答案：A。

高考一轮复习专题——三角函数第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数基础梳理1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr ，cos α＝x r，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝k π，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,2ππββ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,2πββ.两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式是( )．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A．－55B.255C．－255D．－125．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二 三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45考向三 弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四 三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． 解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.重点突破——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P (不与原点重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)，则sin α＝yr、cos α＝x r 、tan α＝y x分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x ，y 的符号由α终边所在象限确定，r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．【试一试】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin )2(απ-＝cos α，cos )2(απ-＝sin α.公式六：sin )2(απ+＝cos α，cos )2(απ+＝－sin α.诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12 C.32 D ．±322．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．A.43B.34 C ．±43 D ．±344．cos )417(π-－sin )417(π-的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.225．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.考向一 利用诱导公式化简、求值【例1】►已知)tan()2sin()2cos()sin()(απαπαπαπα++--=f ，求【训练1】已知角α终边上一点P (－4,3)，则的值为________．考向二 同角三角函数关系的应用)3(πf )29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.【训练2】已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________.考向三 三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【训练3】若将例3的已知条件“sin A ＋cos A ＝2”改为“sin(2π－A )＝－2sin(π－B )”其余条件不变，求△ABC 的三个内角．重点突破——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件 【示例】►若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根， θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．【试一试】已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.第3讲 三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质 函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：错误!无对称轴对称中心：)0,2(πk(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππkk(k∈Z)；单调减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22kk(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间)2,2(ππππ+-kk(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos )3(π+x ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数y ＝tan )4(x -π的定义域为( )． A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,42ππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ3．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)（20πϕω＜，＞）的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在)2,0(π单调递减B ．f (x )在)43,4(ππ单调递减C ．f (x )在)2,0(π单调递增D ．f (x )在)43,4(ππ单调递增4．y ＝sin )4(π-x 的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B.)0,43(π-C.)0,23(π D.)0,2(π5．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一 三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x （4π≤x ）的最大值与最小值．【训练1】(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域． (2)已知函数f (x )＝cos )32(π-x ＋2sin )4(π-x ·sin )4(π+x ，求函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的最大值与最小值．考向二 三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2)4(π-x －1是( )． A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 【训练2】已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．考向三 三角函数的单调性【例3】►已知f (x )＝sin x ＋sin )2(x -π，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．【训练3】函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四 三角函数的对称性【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【训练4】(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)（2πϕ＜）的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.重点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析． 一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】►(2011·镇江三校模拟)已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (k ∈Z )，单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k (k ∈Z )，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► (2011·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3▲根据三角函数的周期性求解参数【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y ＝sin ωx ·sin )2(πω+x (ω＞0)的最小正周期为π7，则ω＝________.▲根据三角函数的最值求参数【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a、b的值是( )．A．a＝－1，b＝ 3 B．a＝1，b＝－ 3C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝1第4讲正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用基础梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φω错误!错误!错误!ωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤3．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin )42(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)（2πϕ＜）的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin )3(πω+x ＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．35．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)（02-0＜＜，＞ϕπω）的最小正周期为π，且)4(πf ＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】已知函数f (x )＝3sin )421(π-x ，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M )2,32(-π. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ时，求f (x )的值域．【训练3】(2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π. (1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．重点突破——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角 Φ（2222sin ,cos b a b b a a +=+=φφ），将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin )6(π+x －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由．第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2(βα+－)2(βα+.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．6 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53 B ．－19 C.19 D.534．(2011·辽宁)设sin )4(θπ+＝13，则sin 2θ＝( )．A ．－79B ．－19 C.19 D.795．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.【训练1】化简：ααααα2sin )1cos )(sin 1cos (sin +--+.考向二 三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos )2(βα-＝－19，sin )2(βα-＝23，求cos(α＋β)的值．【训练2】已知α，β∈)2,0(π，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.【训练3】已知α，β∈)2,2(ππ-，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f )3(π的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．【训练4】已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ上的最大值和最小值．重点突破——三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan )4(π+x ＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈)2,0(π.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．第6讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin Ab sin A＜a＜ba≥b a＞b a≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2C.1063D．5 62．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为( )．A．3 3 B．2 3 C．4 3 D. 35．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形考向四 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练4】(2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b，c，且cos B＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．重点突破——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a ；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.第7讲正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A 在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC ＝75°，则B，C间的距离是________海里．考向一测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【训练1】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．考向二测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【训练3】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．重点突破——如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1.解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题————求解——检验作答；2.三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？【试一试】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ.。

第07讲：第四章三角函数（测）（基础卷）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第07讲：第四章三角函数（基础卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（2022·宁夏·银川二中高一期中）1．教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转多少弧度?（）A ．12π-B ．12πC ．6π-D ．6π（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））2．已知角α的顶点与原点θ重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()(),40P m m ≠，且cos 5mα=，则tan α=（）A ．43±B ．43C ．34±D ．34（2022·辽宁葫芦岛·二模）3．若()()()sin πcos 2π1sin cos π2θθθθ-+-=++，则tan θ=（）A ．13B ．13-C ．-3D ．3（2022·广西桂林·高一期中）4．下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（）A ．sin y x=B ．sin y x=C ．tan y x=D ．cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2022·福建泉州·高二期中）5．函数()cos f x x x =的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．（2022·四川省资中县第二中学高一阶段练习（理））6．已知,αβ都是锐角，()35sin ,cos 513ααβ=+=-，则cos β=（）A ．5665-B ．1665-C ．1665D ．5665（2022·贵州六盘水·高一期中）7．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深2CD =2AB =，则图中 ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（）A ．22π-B ．23πC ．32π-D ．33π-（2022·湖南·长沙市南雅中学高二阶段练习）8．已知()2cos 2cos f x wx wx wx =+，（0w >），若函数在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在对称轴，则w 的范围为（）A ．1130,,634⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎝⎦⎣⎦B ．1230,,334⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C ．1120,,633⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．1250,336⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）（2022·广西河池·高一期末）9．在360360-︒︒ 范围内，与410-︒角终边相同的角是（）A ．50-︒B ．40-︒C ．310︒D ．320︒（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）10．为了得到函数π()sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin g x x =的图象（）A ．所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度B ．所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度C ．向右平移π6个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变D ．向右平移π18个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变（2022·广东·佛山市顺德区容山中学高一期中）11．给出下列命题中，正确的是（）A ．存在实数α，使sin cos 1αα=B ．存在实数α，使sin cos αα+=C ．函数3sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．若α，β是第一象限的角，且αβ>，则sinαsinβ>（2022·黑龙江大庆·高三阶段练习（文））12．若tan tan6tan6αααα-=+，则α的值可能为（）A ．15π-B ．215πC ．415πD ．1415π三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）（2022·江西·高一阶段练习）13．已知()()2sin 32f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ=__________．（写出一个值即可）（2022·全国·高三专题练习）14．函数()sin ,()(|),0,|f x A x A ωϕωϕπ=+><的部分图象如图，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.（2022·江苏·徐州市王杰中学高一阶段练习）15．已知()4cos 5αβ+=,()4cos 5αβ-=-，则cos cos αβ的值为________.（2022·北京育才学校模拟预测）16．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，则函数()f x 在[]0,π上存在_____个极小值点，请写出一个符合要求的正整数ω的值______.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）17．已知()()()sin 3sin 232cos cos 2f παπααπαπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α.(2)已知tan 3α=，求()f α的值.（2022·北京市第一六一中学高三阶段练习）18．已知3π是函数2()2sin cos 2cos 1f x a x x x =++的一个零点.(1)求实数a 的值；(2)求()f x 单调递减区间.（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）19．如图，现要在一块半径为1m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在圆弧AB 上，点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，设BOP θ∠=，平行四边形MNPQ 的面积为S .(1)求S 关于θ的函数关系式；(2)求S 的最大值及相应的θ角．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）20．已知函数()()2sin cos f x a x x x x =-∈R ，若__________．条件①：0a >，且()f x 在x ∈R 时的最大值为1条件②：62f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．请写出你选择的条件，并求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（2022·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）21．已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出()f x 在区间π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象；π23x -x()f x(2)解不等式()1f x ≥.（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）22．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)先将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象.（i ）若0m >，当[0,]x m ∈时，()g x 的值域为[2]，求实数m 的取值范围；（ii ）若不等式2()(21)()10g x t g x t -+--≤对任意的,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案：1．A【分析】先由条件确定时针旋转的度数，再由弧度与角度的关系求对应的弧度数.【详解】将钟表校正的过程中，需要顺时针旋转时针15 ，其大小为15- ，故时针需要旋转12π-弧度，故选：A.2．A【分析】根据任意角的三角函数值的定义，即可求解.【详解】解：cos 5m α=，解得：3m =±，故44tan 3m α==±，故选：A 3．C【分析】利用诱导公式，弦化切进行计算.【详解】()()()sin πcos 2πsin cos 1sin cos πsin cos 2θθθθθθθθ-+-+==++-，分子分母同除以cos θ，tan 11tan 12θθ+=-，解得：tan 3θ=-故选：C 4．B【分析】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【详解】对于A ，sin y x = 定义域为R ，()sin sin x x -=-，sin y x ∴=为奇函数，A 错误；对于B ，sin y x = 定义域为R ，()sin sin sin x x x -=-=，sin y x ∴=为偶函数，B 正确；对于C ，tan y x = 定义域为(),22k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，即定义域关于原点对称，()tan tan x x -=-，tan y x ∴=为奇函数，C 错误；对于D ，cos sin 2y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 定义域为R ，()sin sin x x -=-，cos 2y x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为奇函数，D 错误.故选：B.5．A【分析】先根据函数奇偶性的概念可知()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数，排除选项D ；再利用三角函数的性质排除BC 即得.【详解】()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=- ，∴函数()f x 为奇函数，排除选项D ；当(0,2x π∈时，0x >，0cos 1x <<，0()f x x ∴<<，排除选项BC ．故选：A ．6．C【分析】由[]cos cos ()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求解.【详解】因为,αβ都是锐角，所以0αβ<+<π，又3sin 5α=，5cos()13αβ+=-，所以4cos 5α=，12sin()13αβ+=，所以[]cos cos ()βαβα=+-，cos()cos sin()sin αβααβα=+++，541231613513565=-⨯+⨯=，故选：C.7．B【分析】设圆的半径为r ，利用勾股定理求出r ，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得；【详解】解：设圆的半径为r ，则(2OD r CD r =-=--，112AD AB ==，由勾股定理可得222OD AD OA +=，即(2221r r ⎡⎤-+=⎣⎦，解得2r =，所以2OA OB ==，2AB =，所以3AOB π∠=，因此221222233MBB AOB S S S ππ=-=⨯⨯= 弓形扇形.故选：B 8．C【分析】先通过三角恒等变换将()f x 化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可．【详解】函数化简得()2cos 212sin 216f x wx wx wx π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由()262wx k k πππ+=+∈Z ，可得函数的对称轴为()32k x k wππ+=∈Z ，由题意知，322k w πππ+≤且()132k w πππ++≥，即13436k k w ++≤≤，k ∈Z ，若使该不等式组有解，则需满足13436k k ++≤，即23k ≤，又0w >，故3406k +≤，即43k >-，所以4233k -<≤，又k ∈Z ，所以0k =或1k =，所以1120,,633w ⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦．9．AC【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】因为50410360︒︒-=-+︒，3104102360=-+⨯︒︒︒，所以与410-︒角终边相同的角是50-︒和310︒，故选：AC ．10．AC【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.【详解】将函数()sin g x x =的图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度，可以得到函数π()sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，A 正确.将函数()sin g x x =的图象所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度，可以得到函数1π()si 4n 53f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，B 不正确.将函数()sin g x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，可以得到函数π()sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，C 正确.将函数()sin g x x =的图象向右平移π18个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，可以得到函数π()s 18in 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，D 不正确.故选：AC 11．BC【分析】A 由正弦的倍角公式直接判断；B 由辅助角公式进行判断即可；C 通过诱导公式及余弦函数的性质即可判断；D 直接取特殊值判断即可.【详解】对于A ，由sin cos 1αα=，得sin22α=，矛盾，错误；对于B ，由sin cos αα+=4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭4πα=即成立，正确；对于C ，3sin cos 2y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，显然是偶函数，正确；对于D ，取136απ=，3πβ=，α，β是第一象限的角，且αβ>，但sin sin αβ<，错误．故选：BC ．12．ABD【分析】由题意易知10α≠，再根据两角差的正切公式，可知tan tan 63παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求得6()3k k πααπ=-+∈Z ，由此即可得到()155k k ππα=-+∈Z ，对k 取值，逐项判断即可得到结果.【详解】由tan tan 6tan 6αααα=，可知()tan 1tan 6ααα=+，当10α=，即tan 3α=-时，即,()6k k παπ=-+∈Z 时，tan ,tan 6tan 604αααα-+=，显然tan tan6tan6αααα=+不成立，故1tan 0α≠；tan 6α=，则tan tan 63παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以6()3k k πααπ=-+∈Z ，即,()155k k ππα=-+∈Z ，当0k =时，15απ=-，当1k =时，215πα=，当5k =时，1415πα=，令411555k πππ-+=，得53k =∉Z ，故α的值不可能为415π.故选：ABD.13．2π（答案不唯一）【分析】根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为()()2sin 32f x x ϕ=+是奇函数，所以2k ϕπ=，Z k ∈，解得2k πϕ=，Z k ∈．故答案为：2π（答案不唯一）14．【分析】由三角函数的图象与性质求出解析式后求解【详解】由图可知2A =，427(33242T πππ=-=，故24Tπω==，将7(,2)24π-代入解析式得7sin()16πϕ+=-，又||ϕπ<，得3πϕ=，故()()2sin 43f x x π=+，4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：15．0【分析】根据两角和与差的余弦公式展开,联立方程即可解得.【详解】()4cos cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-= ……（1）()4cos cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=-……（2）由（1）+（2）得：442cos cos 055αβ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭cos cos 0αβ∴=故答案为：016．13【分析】首先求6x πω-的范围，根据正弦函数的图象，确定极小值点个数，以及根据端点值，列不等式求ω的范围.【详解】[]0,x π∈ ，,666t x πππωωπ⎡⎤∴=---⎢⎥⎣⎦，由条件可知sin y t =在区间,66ωππ⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦有3个零点，∴由函数图象可知：有1个极小值点，两个极大值点，且236ωππ≤π-<π，解得：131966ω≤<,其中满足条件的一个正整数是3.故答案为：1；317．(1)cos 3sin 2sin cos αααα+-+；(2)2-.【分析】(1)由诱导公式进行化简，即可求得()f α；(2)由sin tan cos ααα=，代入即可求值.(1)()()()sin 3sin cos 3sin 232sin cos 2cos cos 2f παπααααπαααπα⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭==-+⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)∵tan 3α=，∴cos 3sin 13tan 133()22sin cos 12tan 123f ααααααα+++⨯====--+--⨯.18．(1)(2),,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z【分析】（1）利用函数的零点的定义，求得实数a 的值．（2）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得()f x 的单调递减区间．【详解】（1）解：因为2()2sin cos 2cos 1f x a x x x =++，所以()sin 2cos 22f x a x x =++由题意可知03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即22sin cos 20333f a πππ⎛⎫⎪⎭= +⎝+=，即12032f π⎛⎫⎭- ⎪+⎝==，解得a =（2）解：由（1）可得()cos 2222cos 223f x x x x π=-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭++，函数cos y x =的递减区间为[]2,2,k k k Z πππ+∈．令222,3k x k k ππππ<+<+∈Z ，得,63k x k k ππππ-<<+∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为,,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．19．(1)1πsin 22,(0,)263S θθθ=+∈(2)S 2，此时6πθ=【分析】（1）分别过,P Q 作PD OB ⊥于D ，QE OB ⊥于E ，则四边形QEDP 为矩形,则MN QP ED ==,直接利用平行四边形的面积公式求解即可.（2）利用辅助角公式恒等变形求其最值即可.【详解】（1）分别过,P Q 作PD OB ⊥于D ，QE OB ⊥于E ，则四边形QEDP 为矩形．由扇形半径为1m ，得sin PD θ=，cos OD θ=.在Rt △OEQ 中，33OE ==,cos 3MN QP ED OD OE θθ===-=-,2(cos )sin sin cos sin 33S MN PD θθθθθθ=⋅=-=-1sin 222θθ=，π(0,)3θ∈.（2）由（1）得1πsin 22)26S θθθ=+∵π(0,)3θ∈，∴ππ5π2(,)666θ+∈，∴π1sin(2(,1]62θ+∈当π6θ=时，2max m 6S =.20．选①或选②结论相同，最大值为0；最小值为12--．【分析】(1)根据二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式可得()()2f x x ϕ=--(其中tan ϕ=)，选条件①或②都算出1a =，结合正弦函数的单调性即可求出结果.【详解】()2sin cos f x a x x x=-1cos2sin222a x x +=-sin22a x x =()22x ϕ=--，其中tan a ϕ=，122=-，解得1a =，得3πϕ=，所以()sin 232f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得52,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，min 1()f x =--当233x ππ-=时，max (0)f x =；若选②，131624f a a π⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得52,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，min 1()f x =--当233x ππ-=时，max (0)f x =.21．(1)答案见解析(2)π7π,π()412k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【分析】（1）根据正弦函数的五点作图法可完成表格，利用五点作图法可得图象；（2）根据函数图象列式可求出结果.(1)完成表格如下：π23x -0π2π3π22πx6π5π122π311π127π6()f x 0202-0()f x 在区间π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示：(2)不等式()1f x ≥，即1sin 232x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭.由ππ5π2π22π,636k x k k +≤-≤+∈Z ，解得π7πππ,412k x k k +≤≤+∈Z .故不等式()1f x ≥的解集为π7ππ,π()412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .22．(1)()2sin(2)3f x x π=+(2)55,63m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦;1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由图象的最小值求得A ，函数的最小正周期求得ω，再求得ϕ，即可求出函数的解析式；(2)（i ）利用三角函数的平移和伸缩变换，先求出()2sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由[0,]x m ∈，求出3x π-的范围，即可得出()g x 的值域为[2]，m 的取值范围；（ii ）利用恒成立将不等式转化为2(21)10n t n t -+--≤对任意的[]0,1n ∈恒成立，设()[]2(21)1,0,1n t n t n h n -+--∈=，对其对称轴进行讨论即可得出答案.【详解】（1）根据函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象可得：2A =，332732441264T ππππωω⎛⎫=⋅=--=⇒= ⎪⎝⎭，又因为732122ππϕ⋅+=，所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+.（2）由（1）知，()2sin(2)3f x x π=+，先将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，可得：2sin(2)3y x π=-，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()2sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（i ）[0,]x m ∈，[,333x m πππ-∈--，2sin 232π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭4,323m πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以55,63m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（ii ）不等式2()(21)()10g x t g x t -+--≤对任意的,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()[]2sin ,2sin ,,0,,3260,1333n g x x x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎢⎥⎛⎫⎛⎫==--∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以[]0,1n ∈，所以上式：不等式2(21)10n t n t -+--≤对任意的[]0,1n ∈恒成立，令()[]2(21)1,0,1n t n t n h n -+--∈=，对称轴为12n t =+，①11022t t +≤⇒≤，()()()max 112110h n h t t ==-+--≤，则13t ≥-，所以103-≤≤t .②11022t t +>⇒>，()()max 010h n h t ==--≤，则1t ≥-，所以0t >.故实数t 的取值范围为：1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.。

2022高考数学真题分类汇编五、三角函数与解三角形一、单选题1.（2022·全国甲（文）T5）将函数的图像向左平移个单位π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π2长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则的最小值是（）ωA. B. C. D. 16141312【答案】C 【解析】【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可C ,232k k ωππππ+=+∈Z求出的最小值.ω【详解】由题意知：曲线为，又关于C sin sin(2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C 轴对称，则，y ,232k k ωππππ+=+∈Z解得，又，故当时，的最小值为.12,3k k ω=+∈Z0>ω0k =ω13故选：C.2.（2022·全国甲（理）T11）设函数在区间恰有三个极值点、π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,π)两个零点，则的取值范围是（ ）ωA. B. C. D.513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭138,63⎛⎤⎥⎝⎦1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，x 3x πω+解得即可．【详解】解：依题意可得，因为，所以，0>ω()0,x π∈,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如()0,πsin y x =,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭下所示：则，解得，即．5323ππωππ<+≤13863ω<≤138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：C ．3.（2022·全国乙（文）T11） 函数在区间的最小值、()()cos 1sin 1f x x x x =+++[]0,2π最大值分别为（）A. B. C. D.ππ22-，3ππ22-，ππ222-+，3ππ222-+，【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和()f x ()f x []0,2π最大值.【详解】，()()()sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x'=-+++=+所以在区间和上，即单调递增；()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭()0f x '>()f x 在区间上，即单调递减，π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭()0f x '<()f x 又，，，()()02π2f f ==ππ222f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π3π3π11222f ⎛⎫⎛⎫=-++=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在区间上的最小值为，最大值为.()f x []0,2π3π2-π22+故选：D4.（2022·新高考Ⅰ卷T6） 记函数的最小正周期为T ．若()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，且的图象关于点中心对称，则（ ）23T ππ<<()y f x =3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭2f π⎛⎫=⎪⎝⎭A. 1 B. C. D. 33252【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T 满足，得，解得，23T ππ<<223πππω<<23ω<<又因为函数图象关于点对称，所以，且，3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭3,24k k Z ππωπ+=∈2b =所以，所以，，12,63k k Z ω=-+∈52ω=5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以.5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5.（2022·北京卷T5） 已知函数，则（ ）22()cos sin f x x x =-A. 在上单调递减B. 在上单调递增()f x ,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()f x ,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 在上单调递减D. 在上单调递增()f x 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.()cos 2f x x=【详解】因为.()22cos sin cos 2f x x x x=-=对于A 选项，当时，，则在上单调递增，26x ππ-<<-23x ππ-<<-()f x ,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭A 错；对于B 选项，当时，，则在上不单调，B 错；412x ππ-<<226x ππ-<<()f x ,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C 选项，当时，，则在上单调递减，C 对；03x π<<2023x π<<()f x 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭对于D 选项，当时，，则在上不单调，D 错.7412x ππ<<7226x ππ<<()f x 7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.6.（2022·北京卷T10） 在中，．P 为所在平面ABC 3,4,90AC BC C ==∠=︒ABC 内的动点，且，则的取值范围是（ ）1PC =PA PB ⋅A. B. C. D. [5,3]-[3,5]-[6,4]-[4,6]-【答案】D 【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积()cos ,sin P θθPA PB的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，()0,0C ()3,0A ()0,4B因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，1PC =P C 1设，，()cos ,sin P θθ[]0,2θπ∈所以，，()3cos ,sin PA θθ=--()cos ,4sin PB θθ=--所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--，其中，，()15sin θϕ=-+3sin 5ϕ=4cos 5ϕ=因为，所以，即；()1sin 1θϕ-≤+≤()415sin 6θϕ-≤-+≤[]4,6PA PB ⋅∈-故选：D7.（2022·浙江卷T6） 为了得到函数的图象，只要把函数2sin 3y x =图象上所有的点（ ）π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度π5π5C .向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度π15π15【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为，所以把函数图象ππ2sin 32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．π152sin 3y x =故选：D.二、填空题1.（2022·全国甲（文）T16）. 已知中，点D 在边BC 上，ABC ．当取得最小值时，________．120,2,2ADB AD CDBD ∠=︒==ACAB BD =##1--【解析】【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得220CD BD m ==>22AC AB 解.【详解】设，220CD BD m ==>则在中，，ABD △22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++在中，，ACD △22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++，44≥=-当且仅当即时，等号成立，11m m +=+1m =-所以当取最小值时，.ACAB 1m =.12.（2022·全国甲（理）T16）已知中，点D 在边BC 上，ABC ．当取得最小值时，________．120,2,2ADB AD CDBD ∠=︒==ACAB BD =##1--【解析】【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得220CD BD m ==>22AC AB 解.【详解】设，220CD BD m ==>则在中，，ABD △22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++在中，，ACD △22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++，44≥=-当且仅当即时，等号成立，11m m +=+1m =-所以当取最小值时，.ACAB 1m =.13.（2022·全国乙（理）T15） 记函数的最小正周()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<期为T ，若为的零点，则的最小值为____________．()f T =9x π=()f x ω【答案】3【解析】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出T ()f T =ϕπ9x =的取值，从而得解；ω【详解】解： 因为，（，）()()cos f x x ωϕ=+0>ω0πϕ<<所以最小正周期，因为，2πT ω=()()2πcos cos 2πcos f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭又，所以，即，0πϕ<<π6ϕ=()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又为的零点，所以，解得，π9x =()f x ππππ,Z962k k ω+=+∈39,Z k k ω=+∈因为，所以当时；0>ω0k =min3ω=故答案为：34.（2022·新高考Ⅱ卷T6） 角满足,αβ，则（）sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭A. B. tan()1αβ+=tan()1αβ+=-C. D. tan()1αβ-=tan()1αβ-=-【答案】D 【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：,()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-即：，sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=即：,()()sin cos 0αβαβ-+-=所以,()tan 1αβ-=-故选：D5.（2022·新高考Ⅱ卷T9）函数的图象以中心对称，()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<2π,03⎛⎫⎪⎝⎭则（）A. 在单调递减y =()f x 5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭B. 在有2个极值点y =()f x π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 直线是一条对称轴7π6x =D. 直线是一条切线y x =-【答案】AD 【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：，所以，，2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4ππ3k ϕ+=k ∈Z 即，4ππ,3k k ϕ=-+∈Z 又，所以时，，故．0πϕ<<2k =2π3ϕ=2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对A ，当时，，由正弦函数图象知在5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin y u =()y f x =上是单调递减；5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭对B ，当时，，由正弦函数图象知π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin y u =只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；()y f x =2π3π232x +=5π12x =5π12x =对C ，当时，，，直线不是对称轴；7π6x =2π23π3x +=7π()06f =7π6x =对D ，由得：，2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭解得或,2π2π22π33x k +=+2π4π22π,33x k k +=+∈Z 从而得：或,πx k =ππ,3x k k =+∈Z 所以函数在点处的切线斜率为，()y f x =⎛⎝02π2cos 13x ky =='==-切线方程为：即．(0)y x =--y x =-故选：AD ．6.（2022·北京卷T13） 若函数的一个零点为，则()sin f x A x x =-3π________；________．A =12f π⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】 ①. 1②. 【解析】【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为，代入自变量π()2sin()3f x x =-，计算即可.π12x =【详解】∵，∴π()03f A =-=1A =∴π()sin2sin(3f x x x x ==-ππππ()2sin()2sin121234f =-=-=故答案为：1，7.（2022·浙江卷T11） 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角S=形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积2a b c ===___________．S =【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为，所以S =．S ==8.（2022·浙江卷T13）若，则__________，3sin sin 2παβαβ-=+=sin α=_________．cos 2β=【答案】 ①②. 45【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型α函数方程，可求出，接下来再求．αβ【详解】，∴，即2παβ+=sin cos βα=3sin cos αα-=即，令，αα⎫=⎪⎪⎭sin θ=cos θ=，∴，即，()αθ-=22k k Zπαθπ-=+∈，22k παθπ=++∴，sinsin 2cos 2k παθπθ⎛⎫=++==⎪⎝⎭则．224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=；．45三、解答题1.（2022·全国乙（文）T17）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知ABC．()()sin sin sin sin C A B B C A -=-（1）若，求C ；2A B =（2）证明：2222a b c =+【答案】（1）；5π8（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；()sin sin C C A =-（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-弦定理化简即可证出．【小问1详解】由，可得，，2A B =()()sin sin sin sin C A B B C A -=-()sin sin sin sin C B B C A =-而，所以，即有，而π02B <<()sin 0,1B ∈()sin sin 0C C A =->，显然，所以，，而，0π,0πC C A <<<-<C C A ≠-πC C A +-=2A B =，所以．πA B C ++=5π8C =【小问2详解】由可得，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，再由正弦定理可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，然后根据余弦定理可知，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，化简得：()()()()22222222222211112222a c b b c a b c a a b c +--+-=+--+-，故原等式成立．2222a b c =+2.（2022·全国乙（理）T17）记的内角的对边分别为，已知ABC ,,A B C ,,a b c ．sin sin()sin sin()C A B B C A -=-（1）证明：；2222a b c =+（2）若，求的周长．255,cos 31a A ==ABC 【答案】（1）见解析 （2）14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.bc b c +【小问1详解】证明：因为，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-所以，sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-所以，2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅即，()22222222222a c b a b c b c a +-+--+-=-所以；2222a b c =+【小问2详解】解：因为，255,cos 31a A ==由（1）得，2250b c +=由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-则，50502531bc -=所以，312bc =故，()2222503181b c b c bc +=++=+=所以，9b c +=所以的周长为.ABC 14a b c ++=3.（2022·新高考Ⅰ卷T18）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ．cos sin 21sin 1cos2A BA B =++（1）若，求B ；23C π=（2）求的最小值．222a b c +【答案】（1）；π6（2）．5【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成cos sin 21sin 1cos2A BA B =++，再结合，即可求出；()cos sin A B B+=π02B <<（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将π2C B =+π22A B =-化成，然后利用基本不等式即可解出．222a b c +2224cos 5cos B B +-【小问1详解】因为，即2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA BB B ===++，()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A B C =-=+=-=而，所以；π02B <<π6B =【小问2详解】由（1）知，，所以，sin cos 0B C =->πππ,022C B <<<<而，πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以，即有．π2C B =+π22A B =-所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B cC B +++-==．()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB -+-==+-≥-=-当且仅当的最小值为．2cos B =222a b c +5-4.（2022·新高考Ⅱ卷T18） 记的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为ABC a ，b ，c ，分别以a ，b ，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知123,,S S S ．12313S S S B -+==（1）求的面积；ABC （2）若，求b ．sinsin A C =【答案】（1（2）12【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余123,,S S S 123S S S -+=2222a c b +-=弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；ac （2）由正弦定理得，即可求解.22sin sin sin b acB AC =【小问1详解】由题意得，则22221231,,2S a S S =⋅===，222123S S S -+==即，由余弦定理得，整理得，则2222a c b +-=222cos 2a c b B ac +-=cos 1ac B =，又，cos 0B >1sin 3B =则，cos B ==1cos ac B ==1sin 2ABC S ac B== 【小问2详解】由正弦定理得：，则sin sin sin b a c B A C ==，则，.229sin sin sin sin sin 4b ac ac B A C A C =⋅===3sin 2b B =31sin 22bB ==5.（2022·北京卷T16）在中，．ABC sin2C C =（1）求；C ∠（2）若，且的面积为的周长．6b =ABC ABC 【答案】（1）6π（2）6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角cos C C 的值；C （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的a c ABC周长.【小问1详解】解：因为，则，()0,C π∈sin 0C >2sin cos C C C =可得，因此，.cos C =6C π=【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得，解得.13sin22ABC S ab C a ===a =由余弦定理可得，2222cos 48362612c a b abC =+-=+-⨯=c ∴=所以，的周长为.ABC 6a b c ++=+6.（2022·浙江卷T18） 在中，角A ，B，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知ABC ．34,cos 5a C ==（1）求的值；sin A （2）若，求的面积．11b =ABC 【答案】（1；（2）．22【解析】【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；sin C （2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面222cos 2a b c C ab +-=4a =a 积公式求出面积．in 12s S ab C =【小问1详解】由于， ，则．因为，3cos 5C =0πC <<4sin 5C=4a =由正弦定理知，则4sin A C =sin A C ==【小问2详解】因为，由余弦定理，得，4a =2222221612111355cos 22225a a a a b c C ab a a +--+-====即，解得，而，，26550a a +-=5a =4sin 5C =11b =所以的面积．ABC 114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=。