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27.1.2 圆的对称性第2课时 垂径定理知|识|目|标1．通过折叠、作图等方法，探索出圆是轴对称图形．2．通过圆的对称性探索出垂径定理及其推论，会用垂径定理解决有关的证明和计算问题．3．会利用垂径定理解决实际生活中的问题．目标一 理解圆的轴对称性例1 教材补充例题下列说法正确的是()A ．每一条直径都是圆的对称轴B ．圆的对称轴是唯一的C ．圆的对称轴一定经过圆心D ．圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线【归纳总结】圆的对称轴的“两点注意”：(1)圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．(2)对称轴是直线而不是线段，所以说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”．目标二 能应用垂径定理及其推论进行证明或计算例2 教材补充例题如图27－1－9，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是()图27－1－9A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MB【归纳总结】垂径定理的“三点注意”：(1)垂径定理中的直径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”．(2)当垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立．(3)平分两条弧是指平分这条弦所对的优弧和劣弧，不要漏掉优弧．例3 教材补充例题如图27－1－10，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，垂足为H ，连结BC ，BD .(1)求证：BC ＝BD ；(2)已知CD ＝6，OH ＝2，求⊙O 的半径．图27－1－10【归纳总结】垂径定理中常作的两种辅助线：(1)若已知圆心，则过圆心作垂直于弦的直径(或半径或线段)．(2)若已知弧、弦的中点，则作弧、弦中点的连线或连结圆心和弦的端点等．目标三 会用垂径定理解决实际生活中的问题例4 高频考题“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”题目用现在的数学语言表达如下：如图27－1－11所示，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长．请你解决这个问题．图27－1－11【归纳总结】垂径定理基本图形中的“四变量、两关系”：1．四变量：设弦长为a ，圆心到弦的距离为d ，半径为r ，弧的中点到弦的距离(弓形高)为h ，这四个变量知道其中任意两个即可求出其他两个．2．两关系：(1)(a 2)2＋d 2＝r 2；(2)h ＋d ＝r .图27－1－12知识点一 圆的轴对称性圆是____________，它的任意一条直径所在的直线都是它的________，圆有________条对称轴． 知识点二 垂径定理及其推论垂直于弦的直径__________，并且____________．推论：平分弦(不是直径)的直径____________，并且______________________；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．已知CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，求BE 的长． 解：如图27－1－13，连结OC ，则OC ＝5.∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CE ＝12CD ＝4.在Rt △OCE 中， OE ＝OC2－CE2＝3，∴BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8. 图27－1－13以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充．教师详解详析【目标突破】例1[解析] C 因为对称轴是直线，不是线段，而圆的直径是线段，故A 不正确；因为圆的对称轴有无数条，故B 不正确；因为圆的对称轴是直径所在的直线，所以一定经过圆心，故D 不正确，C 正确．故选C . 例2[解析] D ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，∴M 为CD 的中点，即CM ＝DM ，故选项A 成立；由垂径定理可得CB ︵＝DB ︵，故选项B 成立；在△ACM 和△ADM 中，∵AM ＝AM ，∠AMC ＝∠AMD ＝90°，CM ＝DM ，∴△ACM ≌△ADM ，∴∠ACD ＝∠ADC ，故选项C 成立；而OM 与MB 不一定相等，故选项D 不成立．故选D .例3 解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵，∴BC ＝BD.(2)如图，连结OC.∵AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，CD ＝6，∴CH ＝3，∴OC ＝OH2＋CH2＝22＋32＝13，故⊙O 的半径为13.例4[解析] 连结OA ，构造Rt △AOE ，利用勾股定理及垂径定理解答．解：连结OA.∵CD ⊥AB 于点E ，CD 为⊙O 的直径，∴AE ＝12AB ＝12×10＝5(寸)． 在Rt △AEO 中，设AO ＝x 寸，则OE ＝(x －1)寸．由勾股定理，得x 2＝52＋(x －1)2，解得x ＝13.∴AO ＝13寸，∴CD ＝2AO ＝26寸．答：直径CD 的长为26寸．【总结反思】[小结] 知识点一 轴对称图形 对称轴 无数知识点二平分这条弦平分这条弦所对的两条弧垂直于这条弦平分这条弦所对的两条弧[反思]不完整．补充如下：如图，当垂足E在线段OB上时，此时，BE＝OB－OE＝5－3＝2.∴BE的长为8或2.。
知识点2：圆的对称性圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。
注意：（1）圆的对称轴有无数条。
（2）圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，仍与自身重合。
知识点 3：圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等例1如图，⊙O 的半径O A、OB 分别交弦C D 于点E、F，且C E＝DF．试问：(1) OE 等于O F 吗？(2) AC 与 B D 有怎样的数量关系？例2如图，AB 是⊙O 的直径．(1)若 OD//AC， C D 与 B D 的大小有什么关系？为什么？(2) 把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由．知识点4：圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系1.10的弧：将顶点在圆心的周角等分成360 份时，每一份的圆心角是10的角。
因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360 份，我们把10的圆心角所对的弧叫做10的弧。
2.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
注意：（1）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是指角与弧相等（角与弧是两个不同的图形）（2）度数相等的角为等角，但度数相等的弧不一定是等弧。
例1如图，在☉O 中，弦A D∥BC，DA=DC，∠AOC=1600，则∠BCO 的度数() A．200B．600 C. 400D．500例 2 如图，在△ABC 中，∠A=700，☉O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为例3如图，AB，CD 是⊙O 的两条直径，过点A作A E//CD 交⊙O 于点E，连接B D，DE．求证：BD＝DE.例4如图，点O在∠MPN 的平分线上，☉O 分别交P N、PM 于点A、B 和点C、D．求证：∠PCO=∠NAO．知识点5：垂径定理及垂径定理的推论1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦（2）四组量关系定理：在同圆或等圆；中，如果两个圆心角；两条弧；两条弦；两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．垂径定理一般与直角三角形结合，半径，弦心距和弦长一半构造勾股定理列方程，解线段长圆中处理问题的思路①找圆心，连半径，转移边；②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧．补充：中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半； ②30°所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； ④圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半．➢ 精讲精练 一选择题：1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ） A ．CM =DMB ．CB ︵=BD ︵C ．∠ACD =∠ADCD ．OM =MD2、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径AD 为10，截面圆圆心A 到水面的距离AE 为6，则水面宽CD 的长为（ ）A ．16B ．10C ．8D ．6第2题图第3题图3、如图，CD是⊙A的弦，AE⊥CD于点E，交⊙A于点B，则下列说法不一定正确的是（）A．CE=DE B．∠F=∠CAE C．弧BC=弧BD D．AE=BE 4、如图，BE为⊙A的直径，CD为弦，AB⊥CD，若∠BAC=70°，则∠E的度数为（）A．70°B．35°C．30°D．20°二填空题1、如图，⊙A的弦CD垂直平分半径AB，若CD=6，则⊙A的半径为_________．2.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm．A BC DRO第/2题图 第3题图3. 如图，圆拱桥桥拱的跨度AB =12 m ，桥拱高CD =4 m ，则拱桥的直径为__________．4. 如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ，连接OB ，CB ．已知⊙O 的半径为2，AB=，则∠BCD =_______．ADB O E C5. 如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，ED =3，则⊙O 的半径是__________．7、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心且∠AOB =90°，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，若AB =300 m ，CD =50 m ，则这段弯路的半径是___________m ．BD C OA8、如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE =5，BE =1，CD =∠AED =___________．EACD B O9、某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB =16 m ，半径OA =10 m ，则中间柱CD 的高度为______m ．CD BOADOEBC A第/9题图 第10题图10、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若CE =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长为_________11、如图，CD 是圆A 的弦，CD 长为8，B 是圆上任意一点，过A 作AE ⊥BD 于点E ，AF ⊥BC 于点F ，则EF=________________11、（中位线）如图，定长弦DF 在以BC 为直径的圆A 上滑动（D,F 不与点B,C 重合）G 是弦DF 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E,连接EG ,若DF=3,BC=8，则EG 的最大值是_________________12、如图，将半径为4厘米的圆A折叠后，圆弧BC恰好经过圆心，则折痕BC 的长是__________________三、解答题⊙的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，1、（分类讨论）已知O求AB，CD之间的距离．2、（垂径定理+中位线）如图，BC是圆A的直径，弦BD=5,AE⊥CD于点E，求AE的长3、（垂径定理+30°所对的直角边等于斜边的一半）如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD =3 cm ，DB =10 cm ，以DB 为直径作⊙O ，交射线AP 于E ，F 两点，求线段EF 的长PFE C B ODA4、（垂径定理+等积式）如图，∠A=90°，以AB 为半径的圆A 与BC 相交于点D ，若AB=3,AC=4,求CD 的长5、如图，已知BC 为圆A 的直径，弦EF 交BC 于点D ，∠CDF=30°，AD=4，DE=35，求弦EF 及圆A 的半径长。
华东师大版九年级下册第27章圆第一节圆的认识垂径定理专题练习题1．垂径定理：垂直于弦的直径____这条弦，并且____弦所对的两条弧．2．如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝( )A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是( ) A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.54. 如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC ⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___．5. 如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点E.(1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长．6. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )A．4 B．5 C．6 D．87. 为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示(单位：cm)，则该铁球的直径为____．8. H5N1亚型高致病性禽流感是一种传染速度很快的传染病，为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区，如图所示，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在免疫区内有多少千米？9．如图，直线与两个同心圆交于图示的各点，MN＝10，PR＝6，则MP＝____．10．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝8 cm，AG＝1 cm，DE＝2 cm，则EF＝____cm.11. 如图，⊙O的直径AB＝16 cm，P是OB的中点，∠APD＝30°，求CD的长．12. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD.垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．13. 在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．答案：1. 平分 平分2. B3. C4. 45.解：(1)不同类型的正确结论为BE ＝12BC ，BD ︵＝CD ︵， ∠BED ＝90°，BD ＝CD ，△BOD 是等腰三角形，△BDE ≌△CDE ，OB 2＝OE 2＋BE 2等 (2)∵AB 是⊙O 的直径，∴OA ＝OB ，∵OD ⊥BC 于E 点，∴BE ＝CE ，∴OE 为△ABC 的中位线，∴OE ＝12AC ＝12×6＝3，在Rt △OBE 中，由勾股定理，得 OB ＝OE 2＋BE 2＝32＋42＝5，∴OD ＝OB ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝5－3＝26. C7. 10 cm8.解：过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OC ，OA ，易求OE ＝5，AE ＝25，则AB ＝2AE ＝45，∴AC ＋DB ＝AB －CD＝45－4＝4(5－1)(千米)9. 210. 611.解：连接OD ，过点O 作OM ⊥CD于点M ，则CM ＝DM.∵直径AB ＝16 cm ，P 为OB 的中点，∴OP ＝4 cm.在Rt △OPM 中，∵∠APD ＝30°，∴OM ＝12OP ＝2 cm.在Rt △DOM 中， DM ＝DO 2－OM 2＝82－22＝215(cm )，∴CD ＝2DM ＝415 cm 12.解：连接OD ，∵P 是OB 的中点，∴OP ＝12OB ＝12OD ， ∵AB ⊥CD ，∴∠OPD ＝90°，DP ＝12CD ＝12×6＝3(cm )， 在Rt △ODP 中，sin ∠ODP ＝OP OD ＝12OD OD ＝12，∴∠ODP ＝30° ∴OD ＝DP cos 30°＝23(cm )，∴AB ＝2OD ＝43(cm )13.解：(1)PQ ＝6 (2)PQ 长的最大值为332初中数学试卷桑水出品。
