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高二数学变化率与导数知识点总结在高二数学学习中，变化率和导数是非常重要的概念。
它们是微积分的基础，也是我们理解函数变化规律和求解问题的重要工具。
下面是关于高二数学中变化率和导数的知识点总结。
1. 变化率的概念变化率是描述一个量相对于另一个量的变化程度的指标。
在数学中，我们通常用函数的导数来表示变化率。
对于函数y = f(x)，它的变化率可以用以下两种方式表示：- 平均变化率：平均变化率是函数在某个区间上的变化量与该区间长度的比值。
如果x的取值从a到b，对应的y的取值从f(a)到f(b)，则该区间上的平均变化率为：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)- 瞬时变化率：瞬时变化率是指在某一点上的瞬时变化速度。
如果函数在x点的导数存在，则该点的瞬时变化率为导数值，即：瞬时变化率 = f'(x)2. 导数的定义和性质导数是描述函数变化率的工具，它的定义如下：- 对于函数y = f(x)，如果函数在某一点x上的导数存在，那么导数表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的定义如下： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在的条件：函数在某一点x处的导数存在的充分必要条件是函数在该点的左导数和右导数存在且相等。
- 导数的几何意义：函数在某一点的导数等于函数曲线在该点切线的斜率。
切线的斜率可以用导数来表示。
- 导数与函数单调性的关系：如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数在某区间内的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
- 导数与函数极值的关系：如果函数在某一点的导数存在且为0，那么该点可能是函数的极值点。
3. 常见函数的导数- 幂函数导数：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，它的导数为：dy/dx = n*x^(n-1)- 指数函数导数：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = a^x * ln(a)- 对数函数导数：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = 1 / (x * ln(a))- 三角函数导数：对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)等，它们的导数可以通过基本导数公式来求解。
第十一节变化率与导数、导数的计算[ 备考方向要了然 ]考什么怎么考1.认识导数观点的实质背景．1.关于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择2.理解导数的几何意义．题或填空题的形式考察曲线在某点处的切线问题，3.能依据导数定义求函数y＝ c(c 为常数 )， y＝ x，y＝ x2， y＝ x3，如 2012 年广东 T12 ，辽宁 T12 等．2.导数的基本运算多波及三次函数、指数函数与对数1y＝的导数． x数及求导法例的正确利用.导数的四则运算法例求简单函数的导数 .[概括·知识整合 ]1．导数的观点(1)函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数：称函数 y＝ f(x)在 x＝x0处的刹时变化率f x0＋ x － f x0＝ lim y处的导数，记作 f′ (x0)或 y′ |x＝x，limx 为函数 y＝ f(x)在 x＝ x0x →0 x→0 x 0即f′ (x0)＝ lim y f x0＋ x － f x0. ＝ limxx→0 x x→0(2)导数的几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f′ (x0)的几何意义是在曲线y＝ f(x)上点 P(x0，y0)处的切线的斜率( 刹时速度就是位移函数s(t)对时间 t 的导数 )．相应地，切线方程为y－ y0＝ f′ (x0)( x－x0 )．(3)函数 f(x)的导函数：称函数 f ′(x)＝ lim f x ＋ x － f x 为 f(x)的导函数．x → 0 x [研究 ]1.f ′ (x)与 f ′ ( x 0)有何差别与联系？提示： f ′ (x)是一个函数， f ′ (x 0)是常数， f ′ (x 0)是函数 f ′ (x)在 x 0 处的函数值．2．曲线 y ＝ f(x)在点 P 0(x 0，y 0)处的切线与过点 P 0 x 0 ，y 0)的切线，两种说法有差别吗？提示： (1)曲线 y ＝ f(x)在点 P(x 0， y 0)处的切线是指 P 为切点，斜率为 0k ＝ f ′ (x )的切线，是独一的一条切线．(2)曲线 y ＝ f(x)过点 P(x 0， y 0P 点．点 P 能够是切点，也能够不)的切线，是指切线经过 是切点，并且这样的直线可能有多条．3．过圆上一点 P 的切线与圆只有公共点P ，过函数 y ＝ f( x)图象上一点 P 的切线与图象也只有公共点 P 吗？提示： 不必定，它们可能有 2 个或 3 个或无数多个公共点． 2． 几种常有函数的导数原函数导函数 f(x)＝ c(c 为常数 )f ′ (x)＝0 n*) f ′ (x)＝nx n －1f(x)＝ x (n ∈ Q f(x)＝ sin x f ′ (x)＝cos_x f(x)＝ cos x f ′( x)＝－ sin_x f( x)＝ a x f ′ (x)＝ a x ln_ a f(x)＝ e xf ′ (x)＝e x1f(x)＝ log a xf ′( x)＝ xln a1 f(x)＝ln xf ′ (x)＝ x3． 导数的运算法例±g(x)] ′＝ f ′ (x) ±g ′ (x)； ·g(x)]′＝ f ′ (x) g( x)＋ f(x)g ′ (x)；f x ′＝ f ′ xg x － f x g ′ x (g(x) ≠0) ．2 (3)g x [g x ]4． 复合函数的导数复合函数 y ＝ f(g(x)) 的导数和函数 y ＝ f( u) ，u ＝ g(x)的导数间的关系为 y x ′＝ y u ′·u x ′， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与u 对 x 的导数的乘积．(1)[ f(x)(2)[ f(x)[自测 ·牛刀小试 ]1． (教材习题改编 )f ′ (x)是函数 f(x)＝ 1 x 3＋ 2x ＋ 1 的导函数，则 f ′ (－ 1)的值为 ()3A ． 0B ． 37C ．4D ．－ 3分析： 选 B ∵f(x)＝1 323x ＋ 2x ＋ 1，∴f ′ (x)＝ x ＋ 2. ∴f ′ (－ 1)＝ 3.2．曲线 y ＝ 2x － x 3 在 x ＝－ 1 处的切线方程为 ( )A ． x ＋ y ＋ 2＝ 0B ． x ＋ y － 2＝ 0C ．x － y ＋ 2＝ 0D ．x － y － 2＝0分析： 选 A ∵f( x)＝ 2x －x 3，∴f ′ ( x)＝ 2－ 3x 2.∴f ′ (－ 1)＝ 2－ 3＝－ 1.又 f(－ 1)＝－ 2＋1＝－ 1，∴切线方程为 y ＋ 1＝－ (x ＋ 1)，即 x ＋ y ＋ 2＝0.3． y ＝x 2 cos x 的导数是 ()A ． y ′＝ 2xcos x ＋x 2 sin xB ．y ′＝ 2xcos x － x 2sin xC ．y ＝ 2xcos xD ． y ′＝－ x 2sin x分析： 选 B y ′ ＝ 2xcos x －x 2 sin x.sin x在点 M( π， 0)处的切线方程是 ________．4． (教材习题改编 )曲线 y ＝ x分析： ∵f(x)＝ sin x ，∴f ′ (x)＝x ·cos x － sin x x x 2，－ π1∴f ′ ( π)＝2 ＝－.π π∴切线方程为 y ＝－ 1(x － π)，即 x ＋πy － π＝ 0.π答案： x ＋ πy － π＝ 05．(教材习题改编 )如图，函数 y ＝ f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y ＝－ x ＋8，则 f(5)＋ f ′ (5)＝ ________.分析：由题意知f′ (5) ＝－ 1，f(5) ＝－ 5＋ 8＝ 3，∴f(5) ＋f′ (5)＝ 3－1＝ 2.答案： 2导数的计算[例 1]求以下函数的导数1(1)y＝ (1－x) 1＋；ln x(2)y＝x；(3)y＝ tan x；(4)y＝ 3x e x－ 2x＋ e.1 1 1[自主解答 ] (1) ∵y＝(1 － x) 1＋1－ x＝ x 2 －x 2，＝x x1 1 1 3 1 1 ∴y′＝ (x2 )′ － (x 2 2 2 .)′＝－2x －2x(2)y′＝ln xln x ′ x－ x′ ln x ′ ＝ 2x x 1＝x·x－ ln x 1－ ln x x 2 ＝x 2 .sin x(3)y′＝cos x′＝sin x ′cos x－ sin x cos x ′2cos xcos xcos x－ sin x － sin x 1＝cos2x ＝cos2 x.(4)y ′ ＝ (3 x x x ′＝ (3x x ＋ 3x x x xx ＋3x x － 2xe )′－ (2 )′ ＋ e )′ e(e )′ －(2)′ ＝ 3 (ln 3) ·eeln 2＝(ln3＋ 1) ·(3e)x －2x ln 2.(3) 中“tanx ”改为“ sin x 2 x若将本例 2 1－ 2cos 4 ”如何求解？x 2x xx 1 解： ∵y ＝ sin 2 1－ 2cos 4 ＝－ sin 2cos 2＝－ 2sin x ∴y ′ ＝－12cos x ．———————————————————求函数的导数的方法(1) 求导以前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，而后求导，这样能够减少运算量，提升运算速度，减少差错；(2) 有的函数固然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，而后进行求导，这样能够防止使用商的求导法例，减少运算量．1．求以下函数的导数(1)y ＝ x ＋ x 5＋sin xx 2；(2) y ＝ (x ＋ 1)(x ＋ 2)(x ＋ 3)；1 ＋1 ； (4)y ＝ cos 2x(3)y ＝ 1－ x 1＋ x sin x ＋ cos x .1 5x 2＋ x ＋ sin x ＝ x 解： (1)∵y ＝ 2x32 ＋ x 3＋ sin x x 2， 3∴y ′ ＝ (x 2 )′ ＋ (x 3)′ ＋ (x －2sin x)′352232 ＝－2x＋3x－2x － sin x ＋ x －cos x.(2)y ＝ (x 2 ＋ 3x ＋ 2)( x ＋3)＝ x 3＋ 6x 2＋ 11x ＋ 6，∴y ′ ＝ 3x 2 ＋12x ＋ 11.112(3)∵y ＝＋＝ ，2－ 2 1－ x ′ 2∴y ′ ＝ 1－ x ′ ＝ 1－x 2＝ 1－x 2.cos 2x (4)y ＝＝ cos x － sin x ，sin x ＋ cos x∴y ′ ＝－ sin x －cos x.[例 2]求以下复合函数的导数：(1)y ＝ (2x － 3)5； (2)y ＝ 3－ x ；2π(3)y ＝ sin 2x ＋ ； (4)y ＝ ln(2 x ＋5)．[自主解答 ](1) 设 u ＝ 2x － 3，则 y ＝ (2x － 3)5 由 y ＝ u 5与 u ＝2x － 3 复合而成，5∴ y ′ ＝ f ′ (u) ·u ′ (x)＝ (u )′ (2x － 3)′4441(2)设 u ＝ 3－ x ，则 y ＝ 3－ x 由 y ＝ u 2 与 u ＝ 3－ x 复合而成． 1∴ y ′ ＝ f ′ (u) ·u ′ (x)＝ (u 2 )′ (3－ x)′1 111u 2＝ u － (－1)＝－2 22＝－1 ＝ 3－ x2 3－ x2x －6.2π(3)设 y ＝ u ， u ＝sin v ，v ＝ 2x ＋ 3，则 y ′ x ＝ y ′ u ·u ′ v ·v ′ x ＝2u ·cos v ·2＝ 4sin 2x ＋ π ·cos 2x ＋π3 3 ＝ 2sin 4x ＋ 2π3 .(4)设 y ＝ ln u ， u ＝2x ＋ 5，则 y ′ x ＝ y ′ u ·u ′ x ，12∴ y ′ ＝ 2x ＋ 5·(2x ＋ 5)′ ＝ 2x ＋5.———————————————————复合函数求导应注意三点一要分清中间变量与复合关系； 二是复合函数求导法例， 像链条相同， 一定一环一环套下去，而不可以扔掉此中的任一环； 三是一定正确剖析复合函数是由哪些基本函数经过如何的次序复合而成的，分清其复合关系．2．求以下复合函数的导数：(1)y ＝ (1＋ sin x)2； (2)y ＝ ln x 2＋ 1；12(3)y ＝4； (4)y ＝x1＋x .解： (1)y ′ ＝ 2(1＋ sin x) ·(1＋ sin x)′＝ 2(1＋ sin x) ·cos x.(2)y ′ ＝ (lnx 2＋ 1)′＝1·( x 2＋ 1)′ x 2＋ 1111＝2＋ 1)2 2＋1) ′ ·(x·(xx 2＋ 1 2＝ 2 x. x ＋ 14 (3)设 u ＝ 1－ 3x ， y ＝ u －.则 y x ′＝ y u ′ ·u x ′＝－ 4u－5·(－ 3)12＝1－ 3x 5.(4)y ′ ＝ (x1＋ x 2)′＝ x ′ · 1＋ x 2＋ x (1＋x 2)′x 21＋ 2x 21＋x 2＋＝＝ .1＋ x 21＋ x 2导数的几何意义[例 3] (1)(2012 辽·宁高考 )已知 P ， Q 为抛物线 x 2＝2y 上两点，点 P ，Q 的横坐标分别为 4，－ 2，过 P ， Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点 A 的纵坐标为 ________．1 34(2)已知曲线y ＝ 3x ＋3.①求曲线在点 P(2,4) 处的切线方程；②求斜率为 4 的曲线的切线方程．[自主解答 ] (1) y＝x2 ，y′＝ x，2∴y′ |x＝4＝ 4， y′|x＝－2＝－ 2.点P 的坐标为 (4,8)，点 Q 的坐标为 (－ 2,2)，∴在点 P 处的切线方程为 y－ 8＝ 4(x－ 4)，即y＝ 4x－8.在点 Q 处的切线方程为y－ 2＝－ 2(x＋ 2)，y＝ 4x－ 8，即 y＝－ 2x－ 2.解得 A(1，－ 4) ，则 A 点的纵坐标为－ 4.y＝－ 2x－ 2，(2)①∵P(2,4) 在曲线1 3 4y＝ 3x ＋ 3上，且 y′＝x2，∴在点 P(2,4)处的切线的斜率k＝ y′ |x＝2＝ 4.∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为y－ 4＝4(x－ 2)，即4x－y－ 4＝ 0.②设切点为 (x0， y0)，则切线的斜率k＝ x20＝ 4，x0＝±2.4切点为 (2,4)或－ 2，－3，4∴切线方程为 y－ 4＝ 4(x－ 2)或 y＋3＝ 4(x＋ 2)，即4x－y－ 4＝ 0 或 12x－ 3y＋ 20＝ 0.[答案 ](1)－ 4若将本例 (2) ①中“在点P(2,4)”改为“过点P(2,4)”如何求解？3 ＋4与过点 P(2,4)的切线相切于点 1 3 4 ，解：设曲线 y＝1x A x0， x0＋33 3 3则切线的斜率k＝y′ |x＝ x0＝ x20.∴切线方程为 y－ 1 x03＋4 ＝ x02(x－ x0)，3 32 23 4即y＝ x0·x－3x0＋3.∵点P 2， 4 在切线上，2 2 3∴4＝ 2x0－3x0＋ \f(4 ,3)，即∴x30＋ x20－ 4x20＋ 4＝0.∴x20 x0＋ 1 －4 x0＋1x0－ 1 x30－3x20＋4＝ 0. ＝0.∴x0＋ 1x0－ 2 2＝ 0.解得 x0＝－ 1 或 x0＝ 2.故所求的切线方程为4x－y－ 4＝ 0 或 x－ y＋ 2＝0.———————————————————1．求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y＝ f(x)在点 x＝ x0处的导数，即曲线y＝ f(x)在点 P(x0， f(x0))处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为y－ y0＝ f′ (x0 ) ·(x－ x0)．2．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在 )时，切线方程为x＝x0；(2)当切点坐标不知道时，应第一设出切点坐标，再求解．3．已知函数f(x)＝ 2 x＋ 1(x>－1) ，曲线 y＝ f(x) 在点 P(x0，f(x0))处的切线l 分别交 x 轴和y 轴于 A， B 两点， O 为坐标原点．(1)求 x0＝ 1 时，切线 l 的方程；(2)若 P 点为－2，2 3，求△ AOB 的面积．3 3解： (1)f′ (x)＝1，则 f′ (x0)＝1，x＋1 x0＋ 1则曲线 y＝ f(x)在点 P(x0， f(x0)) 的切线方程为1y－ f(x0 )＝(x－ x0) ，x0＋ 1x x0＋ 2即y＝＋.x0＋ 1x0＋ 1因此当 x 0＝1 时，切线 l 的方程为 x －2y ＋ 3＝ 0.(2)当 x ＝ 0 时， y ＝ x 0＋ 2；x 0＋ 1当 y ＝ 0 时， x ＝－ x 0 －2.△ ＝1x 0＋ 2 ·x 0＋ 2 ＝ x 0＋ 2 2，S AOB2x 0＋ 1 2x 0＋ 1－2＋ 2 23∴S △＝ 38＝9.AOB22－ 3＋ 1导数几何意义的应用[例 4]已知 a 为常数，若曲线 y ＝ ax 2＋ 3x － ln x 存在与直线 x ＋ y － 1＝0 垂直的切线，则实数 a 的取值范围是 ()A.－ 1，＋∞B. －∞，－12 2C.[－ 1，＋∞ )D.(－∞，－ 1][自主解答 ] 由题意知曲线上存在某点的导数为1，因此 y ′＝ 2ax ＋ 3－ 1＝ 1 有正根，x即 2ax 2＋ 2x －1＝ 0 有正根．当 a ≥0 时，明显知足题意；当 a<0 时，需知足 Δ≥ 0，解得－ 12≤ a<0.1综上， a ≥ － 2.[答案 ]A———————————————————导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要表此刻以下几个方面：(1)已知切点 A(x 0 ，f(x 0))求斜率 k ，即求该点处的导数值：k ＝ f ′ (x 0) ；(2)已知斜率 k ，求切点 A(x 1， f(x 1))，即解方程 f ′ (x 1)＝ k ；(3)已知过某点 M(x 1，f(x 1))( 不是切点 ) 的切线斜率为 k 时，常需设出切点 A(x 0，f(x 0 ))，利用k ＝ f x 1－ f x 0求解．x 1－ x 04．若函数 f( x)＝ sin πθ<π)，且 f(x)＋ f ′ (x)是奇函数，则 θ＝ ________.3x ＋ ＋ θ(0< 6π 分析： ∵f(x)＝ sin 3x ＋6＋ θ，π∴f ′ (x)＝ 3cos3x ＋ 6＋ θ.ππ于是 y ＝f ′ (x)＋ f(x)＝sin3x ＋ 6＋θ＋ 3cos3x ＋ 6＋ θπππ＝ 2sin 3x ＋ 6＋ θ＋ 3 ＝ 2sin 3x ＋ θ＋2＝ 2cos( 3x ＋ θ)，因为 y ＝f(x)＋ f ′ (x)＝2cos(3x ＋θ)是奇函数，∴θ＝k π＋ π π2(k ∈Z )．又 0< θ<π，∴θ＝2.答案： π21 个差别 —— “过某点”与“在某点”的差别曲线 y ＝f(x)“在点 P(x 0，y 0)处的切线”与“过点 P(x 0，y 0)的切线”的差别：前者 P(x 0，y 0)为切点，尔后者 P(x 0 ，y 0)不必定为切点．4 个防备 —— 导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防备与乘法公式混杂．(2) 利用导数公式求导数时，只需依据几种基本函数的定义，判断原函数是哪种基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不行因判断函数种类失误而犯错．(3) 直线与曲线公共点的个数不是切线的实质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线， 相同，直线是曲线的切线， 则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．3(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝ x在其过(0,0)点的切线y ＝ 0的双侧.易误警告 —— 导数几何意义应用的易误点[典例 ](2013 杭·州模拟 )若存在过点 (1,0)的直线与曲线3 215 都相切，y ＝ x 和 y ＝ ax ＋x － 94则 a 等于 ()2521A ．－ 1 或－ 64B ．－ 1 或 4C ．－7或－25 D ．－ 7或 74 644[分析 ] 设过 (1,0) 的直线与 y ＝x 3 相切于点 (x 0 ，x 03)，因此切线方程为 y － x 03＝ 3x 02(x － x 0)，即 y ＝ 3x 023，又 (1,0)在切线上，则 x 0＝ 0 或 x 0＝3，x － 2x221525当 x 0＝ 0 时，由 y ＝ 0 与 y ＝ ax ＋ 4 x － 9 相切可得 a ＝－ 64；当 x 0＝ 3时，由 y ＝ 27x －27与 y ＝ ax 2＋15x － 9 相切可得 a ＝－ 1，因此选 A.2 4 44[答案 ] A[易误辨析 ]1．假如审题不认真，未对点(1,0)的地点进行判断，误以为 (1,0)是切点，则易误选 B.2．解决与导数的几何意义相关的问题时，应要点注意以下几点：(1)第一确立已知点能否为曲线的切点是解题的要点；(2)基本初等函数的导数和导数运算法例是正确解决此类问题的保证；(3)娴熟掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提．[变式训练 ]sin x － 1在点 M π 处的切线的斜率为 ()， 01．曲线y ＝sin x ＋ cos x2411 A ．－ 2B.22 2 C ．－ 2D. 2分析： 选 Bcos x sin x ＋ cos x － cos x － sin x sin x y ′ ＝ 2sin x ＋ cos x＝12，故 y ′ xsin x ＋cos x41 ＝2 .π1 ∴曲线在点 M4， 0 处的切线的斜率为2.2．已知函数 f(x)＝ x 3＋ f ′ 2 x 2－ x ，则函数 f(x)的图象在点2， f 2 处的切线方程是 3 3 3________．分析： 由 f(x)＝ x3＋ f ′ 23 x 2－ x ，可得 f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2f ′23 x －1，2 2 222∴f ′ 3 ＝ 3× 3 ＋ 2f ′ 3 × 3－ 1，2 3 2解得 f ′ 3 ＝－ 1，即 f(x)＝ x － x － x.则 f 23 ＝ 23 3－ 23 2－ 23＝－ 2227，2 2故函数 f(x)的图象在3， f 3 处的切线方程是222y ＋ 27＝－ x － 3 ，即 27x ＋ 27y ＋ 4＝ 0.答案： 27x ＋ 27y ＋4＝ 0一、选择题 (本大题共 6 小题，每题5 分，共 30分 )1． (2013 ·康模拟永 )函数 y ＝ f(x)的图象如下图，则y ＝f ′ (x)的图象可能是()分析： 选 D 据函数的图象易知， x<0 时恒有 f ′ (x)>0，当 x>0 时，恒有 f ′ (x)<0.π －π π 2．若函数 f( x)＝ cos x ＋ 2xf ′ 6 ，则 f3 与 f 3 的大小关系是 ()π ππ πA ． f －3 ＝ f 3B ． f－3 >f 3C ．f －π<f π D ．不确立3 3π分析： 选 C 依题意得 f ′(x)＝－ sin x ＋ 2f ′ 6 ， π π π∴f ′ 6 ＝－ sin 6＋ 2f ′ 6 ，π 1 f ′ 6 ＝ 2，f ′ (x)＝－ sin x ＋ 1，π π∵当x ∈－ ，2 时， f ′ (x)>0，2π ππ π π π∴f(x) ＝cos x ＋x 是 －2，2 上的增函数，注意到－ 3<3，于是有 f －3 <f 3 .3．已知 t 为实数， f(x)＝ (x 2－ 4)( x － t)且 f ′ (－ 1)＝ 0，则 t 等于 ()A ． 0B ．－ 11C.2D ．2分析： 选 C f ′ (x)＝ 3x 2－2tx － 4，1f ′ (－ 1)＝ 3＋ 2t － 4＝ 0， t ＝ 2.x＋2x － 1 在点 (0，－ 1)处的切线方程为 ()4．曲线 y ＝ xe A ． y ＝ 3x － 1 B ． y ＝－ 3x － 1 C ．y ＝ 3x ＋ 1D ．y ＝－ 2x －1分析： 选 A 依题意得 y ′ ＝ (x ＋ 1)e x ＋ 2，则曲线 y ＝ xe x＋ 2x － 1 在点 (0，－ 1)处的切线的斜率为 y ′|x ＝0 ，故曲线 y ＝ xe x ＋ 2x － 1 在点 (0，－ 1)处的切线方程为 y ＋ 1＝ 3x ，即 y ＝ 3x －1.5． (2013 大·庆模拟 )已知直线 y ＝ kx 与曲线 y ＝ ln x 有公共点，则 k 的最大值为 ()1 A ． 1 B. e2 2 C.eD. e分析：选 B 从函数图象知在直线 y ＝ kx 与曲线 y ＝ ln x 相切时，k 取最大值．y ′＝ (ln x)′1 11 1＝ x ＝ k ，x ＝ k (k ≠ 0)，切线方程为 y － ln k＝ k x － k ，又切线过原点 (0,0)，代入方程解得 ln k 1 ＝－ 1， k ＝ e .6．设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f ′ (x)，且 2f(x) ＋xf ′(x)>x 2.下边的不等式在R 上恒成立的是 ()A ． f(x)>0B ． f(x)<0C ．f(x)>xD ．f(x)<x21 21分析：选 A 由已知， 令 x ＝ 0 得 2f(0)>0 ，清除 B 、D 两项；令 f(x)＝x ＋ 4，则 2x ＋ 2＋2 1 2 1 2 2 11 x x ＋4 ′ ＝ 4x ＋2>x ，但 x ＋ 4>x 对 x ＝2不建立，清除 C 项．二、填空题 (本大题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分 )27．已知 f(x)＝ x ＋ 2xf′ (1) ，则 f′ (0)＝ ________.分析： f′ (x)＝ 2x＋2f′ (1) ，∴f′ (1)＝ 2＋ 2f′ (1)，即 f′ (1) ＝－ 2.∴f′ (x)＝ 2x－ 4.∴f′ (0) ＝－ 4.答案：－ 48．已知函数y＝ f(x)及其导函数y＝ f′ (x)的图象如下图，则曲线y＝f(x)在点 P 处的切线方程是 ________．分析：依据导数的几何意义及图象可知，曲线 y＝f(x)在点 P 处的切线的斜率 k＝f′ (2) ＝ 1，又过点 P(2,0)，因此切线方程为 x－ y－ 2＝0.答案： x－ y－ 2＝09．若曲线f( x)＝ ax 5＋ln x存在垂直于y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是________．分析：曲线f(x)＝ax5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f′ (x)＝ 0 有正实数解．又∵f′ (x)＝ 5ax4＋ 1x，∴方程 5ax4＋ 1x＝ 0 有正实数解．∴5ax5＝－ 1 有正实数解．∴ a<0.故实数 a 的取值范围是(－∞， 0)．答案： (－∞， 0)三、解答题 (本大题共 3 小题，每题12 分，共 36 分 )ax－ 610．已知函数f(x)＝2的图象在点 (－ 1， f(－ 1)) 处的切线方程为 x＋2y＋ 5＝ 0，求 y x ＋ b ＝f(x)的分析式．解：由已知得，－ 1＋ 2f(－ 1)＋ 5＝ 0，∴f(－ 1)＝－ 2，即切点为 (－ 1，－ 2)．ax－ 6 ′ x2＋ b － ax－ 6 x2＋ b ′又 f′ (x)＝x2＋ b 2－ax2＋ 12x＋ ab＝2＋b2 ，x－ a－ 6＝－ 2，1＋ b a＝ 2，∴解得－ a－ 12＋ ab 1 b＝ 3.，1＋ b 2＝－22x－ 6∴f(x)＝.x2＋311．如右所示，已知A(－1,2)抛物C： y＝ 2x2上的点，直l 1点 A，且与抛物 C 相切，直 l 2：x＝ a( a<－ 1)交抛物 C 于点 B，交直 l1于点 D.(1)求直 l1的方程；(2)求△ ABD 的面 S1.解： (1)由条件知点A(－1,2)直 l1与抛物 C 的切点．∵y′＝ 4x，∴直 l 1的斜率 k＝－ 4.因此直 l 1的方程y－ 2＝－ 4(x＋ 1)，即 4x＋y＋ 2＝ 0.(2)点 A 的坐 (－ 1,2)，由条件可求得点 B 的坐 (a,2a2)，点 D 的坐 (a，－ 4a－ 2)，1 2∴△ABD 的面 S1＝2× |2a － (－ 4a－ 2)|×|－ 1－ a|＝ |(a＋1) 3|＝－ (a＋1)3.12．如，从点 P1(0,0)作 x 的垂交曲y＝ e x于点 Q1(0,1) ，曲在 Q1点的切与 x 交于点 P2.再从 P2作 x 的垂交曲于点Q2，挨次重复上述程获得一系列点：P1， Q1； P2， Q2；⋯； P n， Q n， P k点的坐(x k,0)(k＝ 1,2，⋯， n)．(1) 求 x k 与 x k －1 的关系 (k ＝ 2，⋯， n)；(2)求 |P 1Q 1|＋ |P 2Q 2|＋ |P 3Q 3|＋⋯＋ |P n Q n |.解： (1) 点 P k －1 的坐 是 (x k －1,0)， ∵y ＝ e x ，∴y ′ ＝e x ，∴Q k －1 (x k －1， ex k －1 )，在点 Q k － 1(x k －1， ex k －1) 的切 方程是y － ex k －1＝ ex k －1(x － x k －1 )，令 y ＝ 0，x k ＝ x k － 1－ 1(k ＝ 2， ⋯ ， n)． (2)∵x 1＝ 0， x k －x k － 1＝－ 1， ∴x k ＝－ (k － 1)， ∴|P k Q k |＝ ex k ＝ e－(k －1)，于是有 |P 1Q 1|＋ |P 2Q 2|＋ |P 3Q 3|＋ ⋯ ＋ |P n Q n |＝1＋ e －1＋ e－2＋⋯ ＋ e－(n－1)1－ e －n e － e 1－ n ＝1－ e －1＝e － 1，e －e 1－n即 |P 1Q 1|＋ |P 2Q 2|＋ |P 3Q 3|＋⋯ ＋ |P n Q n |＝.e － 11． 函数 f( x)在 x 0可 ，lim f x 0－ x － f x 0等于 ()xx →0A ． f ′ (x 0)B ．－ f ′( x 0)C ．f(x 0)D ．－ f( x 0)f x 0－ x － f x 0分析： B limxx →＝－ lim f[x 0＋ － x ] － f x 0＝－ f ′ (x 0 )． x →－ x2．求以下各函数的 数：1(1)( x)′＝ 1x 2 ；2(2)(a x )′＝ a 2ln x ；(3)(xcos x)′＝ cos x ＋ xsin x ；x1(4) x ＋ 1 ′＝ x ＋ 1 ， 此中正确的有 ( )A ． 0 个B ． 1 个C ．2 个D ．3 个分析： 选 B 依据函数的求导公式知只有 (1) 正确．3．函数 y ＝ x 2(x>0) 的图象在点 (a k ， a k 2) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为a k ＋ 1，此中 k∈N * .若 a 1＝16，则 a 1＋ a 3＋a 5 的值是 ________．分析： ∵y ′ ＝ 2x ，∴点(a k ，a k 2 k 2＝ 2a kk)处的切线方程为 y － a (x －a )．又该切线与 x 轴的交 点为 (a k ＋1,0)，∴a k ＋ 1＝ 1 a k ，即数列 { a k } 是等比数列，首项 a 1＝ 16，其公比 q ＝ 12 .∴a 3＝ 4，a 5＝1.∴a 1＋ a 32＋ a 5＝ 21.答案： 214．设函数 f( x)＝ ax －b，曲线 y ＝ f(x)在点 (2， f(2)) 处的切线方程为 7x － 4y － 12＝0.x(1) 求 f(x)的分析式；(2) 证明：曲线 y ＝ f(x)上任一点处的切线与直线x ＝ 0 和直线 y ＝ x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．7解： (1)方程 7x － 4y － 12＝ 0 可化为 y ＝ 4x － 3.1当 x ＝ 2 时， y ＝ 2.b又 f ′ (x)＝ a ＋ x 2，b 12a －2＝2，a ＝ 1， 于是解得a ＋b 4＝ 74，b ＝ 3.3故 f(x) ＝x － x .3(2)设 P(x 0 ，y 0 )为曲线上任一点，由y ′ ＝ 1＋ x 2知曲线在点 P(x 0， y 0)处的切线方程为y3－ y 0＝ 1＋ x 20 (x － x 0)，－33(x － x 0)．x 0 2即 y － x 0＝ 1＋ x 06 6 令 x＝ 0 得 y＝－x0，进而得切线与直线x＝0 的交点坐标为0，－x0 .令 y＝ x 得 y＝ x＝ 2x0.进而得切线与直线y＝x 的交点坐标为0, 0 (2x 2x )．因此点 P(x0，y0) 处的切线与直线 x＝ 0，y＝ x 所围成的三角形面积为 1 －6 |2x0|＝ 6.2 x0故曲线 y＝ f(x) 上任一点处的切线与直线x＝0， y＝ x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.。
（完整版）变化率与导数、导数的计算知识点与题型归纳1●⾼考明⽅向1.了解导数概念的实际背景．2.理解导数的⼏何意义．3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x 的导数． 4.能利⽤基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.★备考知考情由近⼏年⾼考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题⽬很少出现，主要是以导数运算为⼯具，考查导数的⼏何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、⽅程、斜率与倾斜⾓的关系，以平⾏或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014⼴东理科10、⽂科11. 2014⼴东理科10 曲线52-=+xy e在点()0,3处的切线⽅程为；2014⼴东⽂科11曲线53=-+xy e 在点()0,2-处的切线⽅程为；⼀、知识梳理《名师⼀号》P39知识点⼀导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0.(2)称函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数.注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题1f′(x)与f′(x0)有什么区别？f′(x)是⼀个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值．例.《名师⼀号》P39 对点⾃测11.判⼀判(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)f′(x0)与[f(x0)]′表⽰的意义相同．()(3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．()答案(1)×(2)×(3)√23知识点⼆导数的运算公式及法则 1.基本初等函数的导数公式注意：（补充）常量函数的导数为零11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.nn x xx x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x ==则42.导数的运算法则注意：（补充）复合函数的导数(())y f u x =，'''(())()y f u x u x =g注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题3对函数求导时，其基本原则是什么？求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利⽤运算法则求导数．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于⽐较复杂的函数，如果直接套⽤求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进⾏合'221.(()())''()'()2.(()())''()()()'()()'()()()()'3.()()4.(())''()1'()5.[]'()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x cf x cf x g x g x g x ±=±?=?+-= ==-理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．, 称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'0000()()()lim lim→?→+?-===x xf x x f xyk f xx x切线5导数的⼏何意义函数在x=x0处的导数——曲线y=f(x)在点（x0,f(x0))处切线的斜率.导数的物理意义——瞬时速度例.周练13-1⼀个物体的运动⽅程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是⽶，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是() A．7⽶/秒B．5⽶/秒C．6⽶/秒D．4⽶/秒注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题2过点P的切线与在点P处的切线有什么区别？在点P处的切线，P是切点，⽽过点P的切线，P不⼀定是切点，后者包括前者．注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题2过点P的切线与在点P处的切线有什么区别？在点P处的切线，P是切点，⽽过点P的切线，P不⼀定是切点，后者包括前者．67⼆、例题分析： (⼀) 导数的计算例1.（补充）⽤导数定义求函数1()f x x=的导数。
变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。
而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。
在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。
那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。
这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。
变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。
平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。
而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。
二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。
导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。
导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。
1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。
（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。
（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。
（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。
（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。
2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
函数的导数与变化率知识点总结函数的导数是微积分中一个重要的概念，它在研究函数的性质和变化规律时起到了重要的作用。
导数可以用于求函数的切线方程、最值、极值等性质，因此在许多实际问题中都有广泛的应用。
本文将对函数的导数与变化率的知识点进行总结，并介绍其基本概念、计算方法以及几个典型应用。
1. 导数的基本概念导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数的斜率。
对于函数f(x)，其在某一点x=a处的导数记为f'(a)，可以通过下式进行计算：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，h表示变化的增量。
导数的计算实际上是求取函数在某一点的极限。
若导数存在，则说明函数在该点可微，也就是函数在该点的图像是光滑的。
2. 导数的计算方法导数的计算方法有多种，根据函数的性质和表达式的不同而有所不同。
以下是几种常见的导数计算方法：2.1 基本初等函数的导数计算对于多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数，都有相应的导数公式可以直接使用。
例如，多项式函数f(x)=ax^n的导数为f'(x)=anx^(n-1)，指数函数f(x)=e^x的导数为f'(x)=e^x，对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x，三角函数如sin(x)、cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)等。
2.2 导数的基本运算法则导数的计算还可以利用导数的基本运算法则，如和差法则、积法则、商法则等。
通过将复杂函数分解为基本初等函数的求导结果，并利用这些基本运算法则进行运算，可以较容易地求得复合函数的导数。
2.3 链式法则链式法则是求复合函数导数的常用方法。
对于函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式进行计算：dy/dx = dy/du * du/dx3. 变化率与导数的关系导数不仅表示了函数在某一点的瞬时变化率，还可以用于描述函数在整个定义域上的变化规律。
3.1-3.2 变化率与导数 导数的计算一、导数的概念1、平均变化率：函数y ＝f(x)在x 0处的变化量△y ＝f(x 0＋△x)－f(x 0)与自变量的变化量△x ＝(x 0＋△x)－x 0的比：xy ∆∆＝x x f x x f ∆-∆+)()(00。
2、函数在x ＝x 0处导数的定义： 一般地，设函数y ＝f(x)在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0的附近改变量为△x 时，函数值的改变量为△y ＝f(x 0＋△x)－f(x 0)，如果△x 趋近于0时，平均变化率x y ∆∆＝x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于一个常数m ，即0lim →∆x xy∆∆＝lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00＝m ，这个常数m 叫做函数f(x)在点x 0处的瞬时变化率。
函数．．f(x)．．．．在点．．x ．0．处的瞬时变化率又称为函数．．．．．．．．．．．．y ．＝．f(x)．．．．在．x ．＝．x ．0．处的导数．．．．。
记作： f ˊ(x 0)或y ˊ｜0x x =，即： f ˊ(x 0) ＝lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00＝0lim x x →∆1212)()(x x x f x f --（1）、函数y ＝f(x)在x 0处有导数（即导数存在），则说函数f(x)在x 0处可导。
（2）、函数y ＝f(x)在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则说函数f(x)在区间（a ，b ）可导。
3、导函数的定义：xy∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ˊ(x 0)表示一个确定的数值，即f ˊ(x 0)＝xyx ∆∆→∆lim 0。
当x 在区间（a ，b ）内变化时，f ˊ(x)便是x 的一个函数，我们称它为f(x)在（a ，b ）的导函数（简称导数）。
y ＝f(x)导函数有时记作y ˊ，即f ˊ(x) ＝y ˊ＝lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(。
第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； 解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)， 得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)． 得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， 即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1.（2013全国高考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（ ）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平行于直线2+=x y ，那么点P 的左标为 （ ）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最小值为 （ ） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x fx f B. x f x x f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim,)(000'0'000--∆-∆-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线方程求曲线过点处的切线方程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。
第1节变化率与导数导数的计算导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点的变化率。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨在17世纪提出，是微积分研究的基石之一、在实际问题中，导数的概念有着广泛的应用，如物理学中的速度、加速度、斜率等都是变化率的概念。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，用极限表示，即：如果函数f(x)在点x=a处存在导数，则称函数在点x=a处可导，导数的值记为f'(a)，即：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)对于一个实函数来说，导数被定义为函数变化的斜率，表示的是函数在其中一点的瞬时变化速率。
在应用中，导数有许多计算方法，这里列举一些常用的计算方法：1.基本导数公式基本导数公式是指常用的函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
熟练掌握这些公式，可以快速计算函数的导数。
2.导数的基本性质导数有一些基本的性质，如积差、和差、复合函数的导数规则。
这些性质可以简化复杂函数的导数计算。
3.高阶导数高阶导数是指导数的导数。
如果一个函数的导数可导，则可以继续对导数求导，得到高阶导数。
高阶导数可以描述函数的凹凸性、拐点等特性。
4.隐函数求导有时函数的表达式不显含自变量，而是通过一个方程来描述函数与自变量之间的关系。
这种情况下，要通过隐函数求导的方法来计算导数。
5.参数方程求导对于参数方程描述的曲线，可以通过参数对函数进行求导，得到曲线的切线方程、法线方程等。
通过以上方法，可以计算得到函数在其中一点的导数值，进而研究函数的性质、变化规律等。
在实际问题中，导数的应用非常广泛。
例如，在物理学中，加速度是速度的导数，速度是位移的导数；在经济学中，边际成本、边际收益等概念都是导数的应用；在工程学中，导数是电路中信号变化的关键指标。
总之，导数是微积分中的重要概念，可以描述函数的变化率，通过导数的计算可以研究函数的性质和变化规律，并在实际问题中得到广泛应用。
