【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习：1.2.1充分条件与必要条件]

第二章 2.1 2.1.2一、选择题1．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[答案] D[解析]对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．对于C，如右图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．2．a，b为异面直线，且a⊂α，b⊂β，若α∩β＝l，则直线l必定()A．与a，b都相交B．与a，b都不相交C．至少与a，b之一相交D．至多与a，b之一相交[答案] C[解析]若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b是异面直线矛盾．故选C.3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有()A．3条B．4条C．6条D．8条[答案] C[解析]画一个正方体，不难得出有6条．4．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF 与CD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] A[解析] 取AD 的中点H ，连FH 、EH ，在△EFH 中 ∠EFH ＝90°， HE ＝2HF ，从而∠FEH ＝30°， 故选A.5．下列命题中，正确的结论有( )①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] ②④是正确的．6．如图所示，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上除端点外的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，则下列结论不正确的是( )A ．当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形B ．当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形C ．当λ＝μ＝12时，四边形EFGH 是平行四边形D ．当λ＝μ≠12时，四边形EFGH 是梯形[答案] D[解析] 如图所示，连接BD ， ∵AE AB ＝AHAD＝λ， ∴EH ∥BD ，且EH ＝λBD . 同理，FG ∥BD ，且FG ＝μBD .∴EH∥FG.∴当λ＝μ时，EH＝FG.∴此时四边形EFGH是平行四边形．∴选项A，C正确，D错；当λ≠μ时，EH≠FG，则此时四边形EFGH是梯形，∴选项B正确．二、填空题7．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠ACB＝∠A′C′B′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.一定成立的是________．[答案]③8．如图所示，六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，底面是正六边形．(1)A1F1与BD所成角的度数为________．(2)C1F1与BE所成角的度数为________．[答案]30°60°9．下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四点不共面的一个图形是________．[答案]④三、解答题10．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC 的平行线，应该怎样画？并说明理由．[分析]由于BC∥B1C1，所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可．[解析]如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF 即为所求．理由：∵EF ∥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，∴EF ∥BC .11．如图所示，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点，D 、E 分别是VB 、VC 的中点，求异面直线DE 与AB 所成的角．[解析] 由已知得BC ⊥AC ， 又BC ＝AC ，∴∠ABC ＝45°.又在△VBC 中，D 、E 分别为VB 、VC 中点， ∴DE ∥BC ，∴DE 与AB 所成的角为∠ABC ＝45°.12．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．[分析] 根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE 与DC 的平行线，换句话说，平移BE (或CD )．设想平移CD ，沿着DA 的方向，使D 移向E ，则C 移向AC 的中点F ，这样BE 与CD 所成的角即为∠BEF 或其补角，解△EFB 即可获解．[解析] 取AC 的中点F ，连接BF 、EF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)． 在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52.在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22.在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰△EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.6微积分基本定理同步测试新人教A 版选修2-2一、选择题1．(2013·华池一中高二期中)⎠⎛122x d x 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3[答案] D[解析] ⎠⎛122x d x ＝x 2|21＝3.2．(2013·景德镇市高二质检)若曲线y ＝x 与直线x ＝a 、y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则正实数a 为( )A ．49 B ．59 C ．43 D ．53[答案] A[解析] 由题意知，⎠⎛0a x d x ＝a 2，∵(23x 32)′＝x 12，∴⎠⎛0a x d x ＝23x 32|a 0＝23a 32， ∴23a 32＝a 2，∴a ＝49. 3. ⎠⎛－22⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x ＝( ) A ．214B ．54 C ．338D ．218[答案] A[解析] ⎠⎛－22⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x －3| 2－2＝13(x 3－x －3)| 2－2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫8－18－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－8＋18＝214.故应选A.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ，2－x x则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A ．34 B ．45 C ．56 D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x ， ∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.故应选C.5.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A ．213B ．223C ．233D ．253[答案] C[解析] ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3| 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x | 32＝233.6．⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2d θ的值为( ) A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D [解析] ∵1－2sin2θ2＝cos θ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin2θ2d θ＝cos θd θ ＝故应选D. 二、填空题 7．计算定积分：①⎠⎛－11x 2d x ＝________②⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2x2d x ＝________③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________ ④⎠⎛0－π2|sin x |d x ＝________ [答案] ①23 ②436 ③2 ④1[解析] ①⎠⎛－11x 2d x ＝13x 3| 1－1＝23. ②⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x | 32＝436.③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.8.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2dx ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 1S 阴＝13. 9．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题10．计算下列定积分：(1)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x; (2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403.(2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－3x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2.一、选择题11．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．F ′(x )＝cos xB ．F ′(x )＝sin xC ．F ′(x )＝－cos xD ．F ′(x )＝－sin x[答案] A[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x0＝sin x －sin0＝sin x .所以F ′(x )＝cos x ，故应选A.12．由曲线y ＝x 2、y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A ．112 B ．14 C ．13 D ．712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112.13．(2013·江西理，6)若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121xdx ，S 3＝⎠⎛12e xdx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1[答案] B[解析] S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73.S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2.S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．∵e>2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B. 二、填空题14．(2014·绍兴模拟) (x ＋cos x )d x ＝________. [答案] 2[解析] (x ＋cos x )d x ＝(12x 2＋sin x )π2－π2＝2.15．(2014·山东省菏泽市期中)函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k ＝________.[答案] 3[解析] 由错误!解得错误!或错误!由题意得，⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3)|错误!＝错误!k 3－错误!k 3＝错误!k 3＝错误!，∴k ＝3.三、解答题16．已知f (x )＝cx 2＋cx ＋c(c ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求c 、c 、c 的值．[解析] ∵f (－1)＝2，∴c －c ＋c ＝2.① 又∵f ′(x )＝2cx ＋c ，∴f ′(0)＝c ＝0 ②而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(cx 2＋cx ＋c)d x ，取F (x )＝13cx 3＋12cx 2＋c x ，则F ′(x )＝cx 2＋cx ＋c ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13c ＋12c ＋c ＝－2③解①②③得c ＝6，c ＝0，c ＝－4.17．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解析] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(x 22－x 33)|错误!＝错误!－错误!＝错误!.抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ， 所以S 2＝∫错误!(x －x 2－kx )d x＝(1－k 2x 2－x 33)|错误!＝16(1－k )3， 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342.。

第一、二章综合素质检测时间 120 分钟，满分 150 分。

一、选择题 (本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中只有一个是切合题目要求的)1．命题“△ ABC 是等腰直角三角形”的形式是导学号 33780653 ()A． p∨ q B ． p∧ qC． ?p D．以上都不对[答案 ]B[分析 ]△ABC 是等腰直角三角形是由△ABC 是等腰三角形与△ABC 是直角三角形用“且”联络而成，是 p∧ q 命题．2．设命题甲为： 0<x<5 ，命题乙为： |x－ 2|<3，那么甲是乙的导学号 33780654 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件[答案 ]A[分析 ]解不等式 |x－2|<3 得－ 1<x<5 ，∵0<x<5 ? － 1<x<5 但－ 1<x<5 ?/ 0<x<5 ，∴甲是乙的充足不用要条件，应选A.3．若抛物线 y2＝ 8x 上的点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离为 3，则 |y0|等于导学号 33780655 ()A. 2B．2 2C． 2D． 4[答案 ]B[分析 ]过点 P 作抛物线的准线 l 的垂线， P1为垂足，则 |PF|＝ |PP1|＝ x0＋p＝ x0＋ 2＝ 3，2所以 x0＝ 1，于是 |y0|＝ 22x0＝ 2 2.4．命题 p：若 a·b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角；命题q：若函数 f(x) 在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则 f(x) 在 (－∞，＋∞)上是减函数．以下说法中正确的选项是导学号 33780656 ()A．“p或 q”是真命题 B ．“p或 q”是假命题C． ?p 为假命题D． ?q 为假命题[答案]B[分析 ]当 a ·b>0 时， a 与 b 的夹角为锐角或零度角，－ x ＋ 1，x ≤0∴命题 p 是假命题；命题q 是假命题，比如 f(x) ＝，所以 “p 或 q ”是假命－ x ＋ 2， x>0题，选 B.5．命题 “若 a>－3，则 a>－6”以及它的抗命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为导学号 33780657 ()A ． 1B ．2C ． 3D ． 4[答案 ] B[分析 ]原命题和它的逆否命题为真．6．已知椭圆 x 2＋ my 2＝ 1 的离心率 e ∈ ( 1，1)，则实数 m 的取值范围是 导学号 337806582()34A ． (0， )B ．( ，＋ ∞)43 3 43 4C ． (0， )∪ (，＋ ∞)D ． ( ， 1)∪ (1， )4343[答案 ] C[分析 ]222y 2 ＝1. 1b 2 3.当椭圆的焦点在 x椭圆 x ＋ my ＝ 1 的标准方程为 x ＋<e<1 ，即 0< 2<1 2 a 4m轴上时， a 2 ＝ 1，b 2＝ 1 ， m>4；当椭圆的焦点在 y 轴上时， a 2＝ 1，b 2＝ 1，则 0<m< 3.所以实m 3m4数 m 的取值范围是 0<m<34或 m>43.7．已知命题 p ： ? x ∈ R ， x 2＋ 1<2x ；命题 q ：若 mx 2－ mx － 1<0 恒建立，则－ 4<m<0 ，那么 导学号 33780659 ( )A ． “ ?p 是”假命题B ．q 是真命题C ． “p 或 q ”为假命题D ． “p 且 q ”为真命题 [答案 ] C[分析 ]由于 x 2＋ 1<2x ，即 x 2－ 2x ＋ 1<0，也即 (x －1) 2<0，所以命题 p 为假；若 mx 2－mx － 1<0 恒建立，则一定m<0，则－ 4<m ≤0，所以命题 q 为假，应选m ＝ 0 或＝ m 2＋ 4m<0C.8．设椭圆 C 1 的离心率为 5，焦点在 x 轴上且长轴长为26.若曲线 C 2 上的点到椭圆C 113的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 C 2 的标准方程为 导学号 33780660 ()x 2 y 2x 2y 2 A.42－ 32＝ 1B ．132－ 52＝ 1x 2 y 2x 2y 2C.32－ 42＝ 1 D ． 132－ 122＝ 1[答案 ] A[分析 ]对于椭圆 C 1 ，∵长轴长 2a 1＝26，∴ a 1＝ 13，又离心率 e 1＝c 1＝ 5，∴ c 1＝5.由a 1 13题意知曲线 C 2 为双曲线，且与椭圆 C 1 同焦点，∴ c 2＝ 5，又 2a 2＝ 8，∴ a 2＝ 4，b 2 ＝ c 22－ a 22＝ 3，又焦点在 x 轴上，22∴曲线 C2的标准方程为x2 y2＝ 1.4 －329．如图， F 1 、 F 2 是椭圆 C 1： x＋ y 2＝ 1 与双曲线C 2 的公共焦点， A 、 B 分别是 C 1、 C 24在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1 BF 2 为矩形，则 C 2 的离心率是 导学号 33780661( )A. 2B ． 33 6C.2 D ． 2[答案 ]Dx 2y 2[分析 ]不如设双曲线方程为a 2－b 2＝ 1.22－ 2|BF 1| |BF · 2，①由题意知 |BF 1|－ |BF 2|＝ 2a? |BF 1| ＋ |BF 2| 2|＝ 4a 并由勾股定理得 |BF 1 |2＋ |BF 2|2＝ 4c 2＝ 12，②由①②知 12－4a 2＝2|BF 1| |BF · 2 |，∴ |BF 1| ·|BF 2|＝ 6－ 2a 2.下边求 |BF 1| ·|BF 2|的值．在椭圆中 |BF 1 |＋ |BF 2|＝ 4，故 |BF 1|2＋ |BF 2|2＋2|BF 1| |BF · 2|＝ 16，22＝4c 2＝12，又由②知 |BF 1| ＋ |BF 2| ∴ |BF 1| ·|BF 2|＝ 2，所以有 c 2－ a 2＝ 1，22＝ 2，∴ C 2 的离心率 c ＝6 ∵ c＝ 3，∴ a e ＝ 2.a10．以下说法不正确的选项是导学号 33780662 ()A ． “? x 0∈ R ， x 20－ x 0－ 1<0”的否认是 “? x ∈ R ， x 2－ x － 1≥0”B ．命题 “若 x>0 且 y>0，则 x ＋ y>0 ”的否命题是假命题C ． “? a ∈R ，使方程 2x 2＋ x ＋ a ＝ 0 的两根 x 1、x 2 知足 x 1<1<x 2”和 “函数 f(x) ＝ log 2(ax －1)在 [1,2] 上单一递加 ”都为真D ．△ ABC 中， A 是最大角， 则 sin 2B ＋ sin 2C<sin 2A 是△ ABC 为钝角三角形的充要条件 [答案 ] C[分析 ]由于 2x 2＋ x ＋ a ＝ 0 的两根 x 1、 x 2，∴函数 f(x) ＝ log 2(ax －1)在 [1,2] 上单一增为假，知足 x 1<1<x 2 的充要条件是 2＋ 1＋ a<0，∴ a<－ 3，当 a<－ 3 时，函数 f(x) ＝log 2(ax －1) 在 [1,2] 上无心义．∴ “? a ∈ R 使方程 2x 2＋ x ＋ a ＝ 0 的两根 x 1 ，x 2 知足 x 1<1<x 2”为真，应选 C.11．已知点 F 为抛物线 y 2＝－ 8x 的焦点， O 为坐标原点，点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且 |AF|＝ 4，则 |PA|＋ |PO|的最小值为 导学号 33780663 ()A ． 6B ．2＋4 2C ． 2 13D ．4＋2 5[答案 ]C[分析 ]设点 A 的坐标为 (x 1， y 1)，由已知得－ x 1＋ 2＝ |AF|＝ 4，则 x 1＝－ 2， y 12 ＝－ 8x 1＝ 16，取 y 1＝4，得 A( － 2， 4) ．设点 O 对于准线 x ＝ 2 的对称点为 B ，则 B(4,0) ，连结 AB交准线于一点， 则该点就是知足要求的使 |PA|＋ |PO|获得最小值的点 P ，此时 |AB| ＝ 2 13，即|PA|＋ |PO|的最小值为 2 13.12．已知双曲线 E 的中心为原点， F(3,0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 订交于 A 、B两点，且 AB 的中点为 N( － 12，－ 15)，则 E 的方程为 导学号 33780664 ()x 2 y 2x 2 y 2A. 3－ 6 ＝ 1B ． 4－ 5 ＝ 1C.x2222－y＝ 1D ． x－ y＝ 16 3 5 4[答案 ] Bx 2y 222[分析 ]22c ＝3， a ＋ b ＝ 9，设 A(x ，设双曲线的方程为 a － b ＝ 1(a>0， b>0) ，由题意知122x 1y 12 － 2＝121＋x 22y 1) ，B(x 2 ，y 2 )则有： a by 1 － y 2 b4bx 22y 22 ，两式作差得： x 1－ x 2＝ a 21＋ y2＝5a 2，又 AB 的斜2－ 2＝1ab－ 15－0x 2率是＝ 1，所以 b 2＝5a 2，代入 a 2＋b 2＝ 9 得，a 2＝ 4，b 2 ＝5，所以双曲线标准方程是－ 12－3442－ y5 ＝ 1，应选 B.二、填空题 (本大题共 4 个小题，每题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上 )13．写出命题 “若方程 ax 2－ bx ＋ c ＝ 0 的两根均大于0，则 ac>0”的一个等价命题是____________________________________. 导学号 33780665[答案 ]若 ac ≤0，则方程 ax 2－ bx ＋ c ＝ 0 的两根不全大于 0.14 ． 过 点 P(0,4)与 抛 物 线 y 2 ＝ 2x只有一个公共点的直线有________条 . 导学号 33780666[答案 ] 3[分析 ]作出抛物线 y 2＝ 2x 的图形如图，能够看出点P 在 y 轴上，由图中看出过点 P有 3 条直线与抛物线只有一个公共点．此中包含y 轴 (斜率不存在的切线 )，过点 P 与 x 轴平行的直线以及过点 P 与抛物线相切的斜率存在一条直线．15．设 p ：方程 x 2＋2mx ＋ 1＝ 0 有两个不相等的正根； q ：方程 x 2＋ 2(m － 2)x －3m ＋ 10＝ 0 无实根，则使 p ∨ q 为真，p ∧ q 为假的实数 m 的取值范围是 ________. 导学号 33780667 [答案 ](－ ∞，－ 2]∪ [－1,3)[分析 ]对于方程x 2＋ 2mx ＋1＝ 0 有两个不等正根，＝4m 2－4>0∴，∴ m< － 1，－ 2m>0方程 x 2＋ 2(m － 2)x － 3m ＋ 10＝ 0 无实根，＝ 4(m － 2)2－ 4(－ 3m ＋ 10)<0，∴－ 2<m<3，若 p 真 q 假，则 m ≤－ 2；若 p 假 q 真，则－ 1≤m<3.x 2 y 216． (2016 北·京理， 13)双曲线 a 2－ b 2 ＝ 1(a>0， b>0) 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA ，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2 ，则 a ＝________. 导学号 33780668[答案 ]22 2[分析 ]双曲线 x 2 － y 2 ba b ＝ 1 的渐近线方程为＝± x ，由已知可得两条渐近线方程相互垂a直，由双曲线的对称性可得b＝ 1.又正方形 OABC 的边长为 2，所以 c ＝ 2 2，所以 a 2＋ b 2 ＝ac 2＝(2 2)2，解得 a ＝ 2.三、解答题 (本大题共 6 个大题， 共 74 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 )17． (本小题满分 12 分 )判断以下命题的真假： 导学号 33780669(1) 若“自然数 a 能被 6 整除，则 a 能被 2 整除 ”的抗命题；(2) 若“ 0<x<5 ，则 |x － 2|<3 ”的否命题及逆否命题；(3)命题 “若不等式 (a － 2)x 2＋ 2(a － 2) ·x － 4<0 对全部 x ∈R 恒建立，则a ∈ (－ 2,2) ”及其逆命题．[分析 ] (1)抗命题：若自然数 a 能被 2 整除，则 a 能被 6 整除．抗命题为假． 反例：2,4,14,22等都不可以被 6 整除．1 1 5(2)否命题：若 x ≤0或 x ≥5，则 |x － 2| ≥ 否3.命题为假．反例： x ＝－ 2≤0，但 |－ 2－ 2|＝ 2<3.逆否命题：若 |x － 2| ≥3，则 x ≤0或 x ≥5逆.否命题为真， |x － 2| ≥3?x ≥5或 x ≤－ 1.(3)原命题为假． 由于 (a － 2)x 2＋2(a －2)x － 4<0 ，当 a ＝ 2 时，变成－ 4<0 ，也知足条件． 逆命题：若 a ∈ (－ 2，2)，则不等式 (a － 2)x 2＋ 2(a － 2)x － 4<0 对全部 x ∈ R 恒建立．抗命题为真，由于当 a ∈ (－2,2)时，<0，且 a － 2<0.18． (本小题满分 12 分 )已知三点 P(5,2)、 F 1(－ 6,0)、 F 2(6， 0). 导学号 33780670 (1)求以 F 1 、 F 2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；、 F 对于直线 y ＝ x 的对称点分别为 P ′、 F ′、 F ′，求以 F ′、 F ′为焦点过(2)设点 P 、F 1 21212点 P ′的双曲线的标准方程．[分析 ] (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为x 2 y 22 ＋ 2＝ 1(a>b>0) ，则 c ＝ 6,2a ＝ |PF 1|＋ab|PF 2|＝ 112＋ 22＋－2＋ 22＝ 6 5，所以 a ＝ 3 5， b 2＝ a 2－ c 2＝ 45－ 36＝ 9.x 2＋ y2故所求椭圆的标准方程为＝ 1.45 9(2)点 P(5,2)、F 1(－ 6,0)、F 2(6,0)对于直线 y ＝ x 的对称点分别为 P ′ (2,5)、F ′1(0，－6) 、F ′2(0,6)．2 2设所求双曲线的标准方程为y 2－ x2＝ 1(a ＝ 6,2a ＝||P ′F ′a 1 1>0，b 1>0)，由题意知， c11－|P ′2||F ′b 1＝ | 22＋ 112－ 22＋－2 |＝ 45，所以 a 1＝ 2 5， b 12＝ c 12－ a 12＝ 36－20＝ 16.22yx故所求双曲线的标准方程为－＝1.19． (本小题满分 12 分 )已知 a>0 设命题 p ：函数 y ＝ ( 1 )x为增函数．命题 q ：当 x ∈ [ 1，a2 2] 时函数 f(x) ＝ x ＋ 1 >1恒建立．假如p ∨ q 为真命题， p ∧ q 为假命题，求a 的范x a围 . 导学号 33780671[分析 ]当 y ＝ ( 1)x为增函数，得 0<a<1.a当 x ∈[1， 2]时，由于 f(x) 在 [1， 1]上为减函数，在 [1,2] 上为增函数．2 2∴ f(x) 在 x ∈ [1，2] 上最小值为 f(1) ＝ 2.2当 x ∈[12， 2]时，由函数 f(x) ＝x ＋ 1x >1a 恒建立．1 1 得 2> 解得 a> .a 2假如 p 真且 q 假，则1 0<a ≤ ；2假如 p 假且 q 真，则 a ≥1.所以 a 的取值范围为 (0， 1]∪ [1，＋ ∞)．220．(本小题满分 12 分 )已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ＝ p n＋ q(p ≠0且 p ≠1)，求证：数列 {a n }为等比数列的充要条件为q ＝－ 1. 导学号 33780672[证明 ]充足性：当 q ＝－ 1 时， a 1＝ p － 1，当 n ≥2时， a n ＝S n － S n －1 ＝p n －1(p － 1)，当 n ＝ 1 时也建立．于是a n ＋1 p n－ ＝ p ，即数列 {a n } 为等比数列．a n＝ n －1－p必需性：当 n ＝1 时， a 1＝ S 1 ＝p ＋ q.当 n ≥2时， a n ＝S n － S n －1 ＝p n －1(p － 1)，∵ p ≠0且 p ≠1，∴a n ＋1p n－ ＝p ，a n ＝ p n － 1－∵ {a n } 为等比数列，∴ a 2 ＝ a n ＋1 ＝ p ，即－＝ p ，a 1 a n p ＋ q∴ p －1＝ p ＋ q ，∴ q ＝－ 1.综上所述， q ＝－ 1 是数列 {a n } 为等比数列的充要条件．21． (本小题满分12 分 )若点 O 和点 F(－ 2,0)分别是双曲线x 2 22 － y ＝ 1(a>0) 的中心和左焦a点，点 P 为双曲线右支上的随意一点，求→ →OP ·FP 的取值范围 . 导学号 33780673[分析 ]由于 F(－ 2,0)是双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝ 4，即 a 2 ＝3，所以双曲线方程为22 2→ ＝ (x x－ y 2＝ 1.设点 P(x，y0)(x 0≥ 3)，则x 0－ y 2＝1(x0≥2＝x 0－ 1(x 0≥30 33)，解得 y 033)．由于 FP22＋ 2，y→ ＝ (x ，y→ → ＝ x0(x 0 ＋2)＋ y 2＝ x＋ 2)＋ x 0－ 1＝ 4x 0＋2x 0 －1，此二0)，OP0)，所以 OP ·FP0(x 03 3次函数对应的抛物线的对称轴为3 3，所以当 x 0＝→ →x 0＝－ .由于 x 0≥3时， OP ·FP 获得最小值44→ →的取值范围是 [3＋ 23，＋ ∞)．3×3＋ 2 3－ 1＝3＋ 2 3，故 OP ·FP22． (本小题满分 14 分 )已知椭圆 C ： x 2＋ 2y 2＝ 4. 导学号 33780674(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y ＝ 2 上，且 OA ⊥ OB ，试判断直线AB 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 的地点关系，并证明你的结论．x2＋y 2＝1.[分析 ] (1)由题意，椭圆 C 的标准方程为 42所以 a 2＝4， b 2＝ 2，进而 c 2＝ a 2－ b 2＝ 2，所以 a ＝ 2， c ＝ 2，故椭圆 C 的离心率 e ＝c ＝2a 2.(2)直线 AB 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 相切．证明以下：设点 A ，B 的坐标分别为 (x 0， y 0) ，(t,2) ，此中 x 0≠ 0.→ →0＋2y 0＝ 0，解得 t ＝－2y 0 由于 OA ⊥ OB ，所以 OA ·OB ＝ 0，即 tx.x 0t2当 x 0＝ t 时， y 0＝－ 2，代入椭圆 C 的方程，得 t ＝± 2， 故直线 AB 的方程为 x ＝ ± 2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d ＝ 2，此时直线 AB 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 相切．y 0－2当 x 0≠t 时，直线 AB 的方程为 y － 2＝－ t (x － t) ，x 0即 (y 0－ 2)x － (x 0－ t)y ＋ 2x 0－ ty 0＝ 0.|2x 0－ ty 0|2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d ＝2 ＋ －－又 x 20＋2y 20＝ 4， t ＝－ 2y 0 ，x 02y 022|2x 0＋4＋ x 0|||故 d ＝x 0＝x 0＝ 2.4y 02＋ 8x 02＋ 16 22 x 04x 0＋y 0＋2 ＋ 42x 02x 0此时直线 AB 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 相切．。

第一章 1.3第1课时一、选择题1．下列语句：①3是无限循环小数；②x2>x；③△ABC的两角之和；④毕业班的学生．其中不是命题的是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[答案] D[解析]对于①能判断真假，对于②、③、④均不能判断真假．故①是命题，②、③、④均不是命题．2．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是() A．p假q假B．“p或q”为真C．“p且q”为真D．p假q真[答案] B[解析]∵{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2<x<3}，∴1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，∴p真．∵∅≠{0}，∴q假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B.3．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是()A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对[答案] B[解析]命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．4．已知p：α为第二象限角，q：sinα>cosα，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]当α为第二象限角时，sinα>0，cosα<0，∴sinα>cosα，但sinα>cosα不能推出α为第二象限角．5．以下四个命题正确的有()①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”是“p且q”的形式，该命题是真命题；②“菱形既是平行四边形又是圆的外切四边形”是“p且q”的形式，该命题是真命题；③“矩形是圆的外切四边形或是圆的内接四边形”是“p或q”的形式，该命题是真命题；④“菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形”是“p或q”的形式，该命题是真命题．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] D[解析]∵矩形是平行四边形，也是圆的内接四边形，菱形是平行四边形，也是圆的外切四边形，但矩形不是圆的外切四边形，菱形不是圆的内接四边形，由p∨q，p∧q的定义知，①②③④都正确．6．已知命题p，q，则命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]p∧q为真⇒p真且q真⇒p∨q为真；p∨q为真⇒p真或q真⇒/ p∧q为真．二、填空题7．p：ax＋b>0的解为x>－b a，q：(x－a)(x－b)<0的解为a<x<b.则p∧q是________命题(填“真”或“假”)．[答案]假[解析]命题p与q都是假命题．8．设命题p：3≥2，q：32∉[23，＋∞)，则复合命题“p∨q”“p∧q”中真命题的是________．[答案]p∨q[解析]3≥2成立，∴p真，32∈[23，＋∞)，∴q假，故“p∨q”为真命题，“p ∧q”为假命题．9．已知命题p：∅⊆∅，q：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p或q”、“p且q”形式的命题中真命题有________个．[答案] 1[解析]命题p为真，命题q为假，故“p或q”为真，“p且q”为假．三、解答题10．分别指出下列各组命题构成的“p∧q”、“p∨q”形式的命题的真假．(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p ：梯形的对角线相等，q ：梯形的对角线互相平分； (3)p ：函数y ＝x 2＋x ＋2的图象与x 轴没有公共点， q ：不等式x 2＋x ＋2<0无解；(4)p ：函数y ＝cos x 是周期函数，q ：函数y ＝cos x 是奇函数． [解析] (1)∵p 为假命题，q 为真命题， ∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题． (2)∵p 为假命题，q 为假命题， ∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题． (3)∵p 为真命题，q 为真命题， ∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题． (4)∵p 为真命题，q 为假命题， ∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题．一、选择题11．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”；④“菱形的两条对角线互相垂直”．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] ①②都是“p 或q ”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为真命题，故选A.12．下列命题：①方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；②周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ③集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] C[解析] ①中，判别式Δ＝9＋16＝25>0，故①中命题为真命题；②中，周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等，故②中命题为假命题；③中，(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆(A ∪B )，故③中命题为真命题．故选C.13．在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，则|AD →|＝|AC →|·cos ∠CAB ，|BD →|＝|BC →|·cos ∠CBA ，AB →·AC →＝BA →·BC →⇔|AB →|·|AC →|·cos ∠CAB ＝|BA →|·|BC →|·cos ∠CBA ⇔|AC →|·cos ∠CAB ＝|BC →|·cos ∠CBA ⇔|AD →|＝|BD →|⇔|AC →|＝|BC →|，故选C.二、填空题14．分别用“p ∧q ”、“p ∨q ”填空．(1)命题“0是自然数且是偶数”是________形式． (2)命题“5小于或等于7”是________形式．(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式． [答案] (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∨q15．(2014·营口三中期中)设命题P ：a 2<a ，命题Q ：对任何x ∈R ，都有x 2＋4ax ＋1>0，命题P ∧Q 为假，P ∨Q 为真，则实数a 的取值范围是________．[答案] －12<a ≤0或12≤a <1[解析] 由a 2<a 得0<a <1，∴P ：0<a <1；由x 2＋4ax ＋1>0恒成立知Δ＝16a 2－4<0，∴－12<a <12，∴Q ：－12<a <12，∵P ∧Q 为假，P ∨Q 为真，∴P 与Q 一真一假，P 假Q 真时，－12<a ≤0，P 真Q 假时，12≤a <1，∴实数a 的取值范围是－12<a ≤0或12≤a <1. 三、解答题16．已知命题p ：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数；q ：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”形式的复合命题，并指出其真假．[解析] “p 或q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数或不相等． “p 且q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数且不相等． ∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两个相等的实根，故p 真，q 假． ∴p 或q 真，p 且q 假．17．已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解析] 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0.所以－2<a <2，所以命题p ：－2<a <2；又f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则有5－2a >1，即a <2.所以命题q ：a <2. ∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 和q 一真一假．(1)若p 为真命题，q 为假命题，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2a ≥2，此不等式组无解．(2)若p 为假命题，q 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2a <2，解得a ≤－2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．。

1.2充分条件与必要条件A组1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但当“四边形是正方形”时必有“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.答案：B2.“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：x2-7x+10>0,解得x>5或x<2.∴“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的必要不充分条件.故选B.答案：B3.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a=2,则ax+2y=0即为x+y=0与直线x+y=1平行,反之若ax+2y=0与x+y=1平行,则-=-1,a=2,故选C.答案：C4.给出下列3个结论:①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC 为直角三角形的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③解析：由x2>4可得x>2或x<-2,而由x3<-8可得x<-2,所以x2>4是x3<-8的必要不充分条件,①正确;在△ABC中,若AB2+AC2=BC2,则△ABC一定为直角三角形,反之不成立,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件,故②不正确;容易判断③正确.答案：C5.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线过原点;而当曲线过原点时,φ=kπ,k∈Z.答案：A6.指数函数f(x)=(3-a)x是单调递增函数的充要条件是.解析：由指数函数的性质可得,要使该函数为增函数,只要3-a>1,即a<2.答案：a<27.已知a,b是两个命题,如果a是b的充分条件,那么¬a是¬b的条件.解析：由已知条件可知a⇒b,∴¬b⇒¬a.∴¬a是¬b的必要条件.答案：必要8.下面两个命题中,p是q的什么条件?(1)p:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2>a2+c2,q:△ABC为钝角三角形;(2)a,b∈R,p:x>a2+b2,q:x>2ab.解(1)在△ABC中,因为b2>a2+c2,所以cos B=<0,所以B为钝角,即△ABC为钝角三角形.反之,若△ABC为钝角三角形,B可能为锐角,这时b2<a2+c2.所以p⇒q,q p,故p是q的充分不必要条件.(2)因为当a,b∈R时,有a2+b2≥2ab,所以p⇒q.反之,若x>2ab,则不一定有x>a2+b2,即p⇒q,q p,故p是q的充分不必要条件. 9.指出下列各组命题中,p是q的什么条件(用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”作答).(1)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),p:,q:a∥b;(2)p:|x|=|y|,q:x=-y;(3)p:直线l与平面α内两条平行直线垂直,q:直线l与平面α垂直;(4)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),p:f(x),g(x)均为偶函数,q:h(x)为偶函数.解(1)由向量平行公式可知p⇒q,但当b=0时,a∥b不能推出,即q p,故p是q的充分不必要条件.(2)因为|x|=|y|⇒x=±y,所以p q,但q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(3)由线面垂直的判定定理可知:p q,但由线面垂直的定义可知:q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(4)若f(x),g(x)均为偶函数,则h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x),所以p⇒q,但q p,故p是q的充分不必要条件.10.已知实数p:x2-4x-12≤0,q:(x-m)(x-m-1)≤0.(1)若m=2,则p是q的什么条件;(1)若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.解实数p:x2-4x-12≤0,解得-2≤x≤6,q:(x-m)(x-m-1)≤0,解得m≤x≤m+1,令A=[-2,6],B=[m,m+1],(1)若m=2,则B=[2,3],所以p是q的必要不充分条件;(2)若q是p的充分不必要条件,即B⫋A,则解得-2≤m≤5,∴m∈[-2,5].B组1.m=是直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由圆心(1,0)到直线x-y+m=0距离d=,得m=或m=-3,故选A.答案：A2.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若x=4,则a=(4,3),所以|a|==5;若|a|=5,则=5,所以x=±4,故“x=4”是“|a|=5”的充分不必要条件.答案：A3.以q为公比的等比数列{a n}中,a1>0,则“a1<a3”是“q>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在等比数列中,若a1<a3,则a1<a1q2.∵a1>0,∴q2>1,即q>1或q<-1.若q>1,则a1q2>a1,即a1<a3成立.∴“a1<a3”是“q>1”成立的必要不充分条件,故选B.答案：B4.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为l⊥α,m⊂α,n⊂α,所以l⊥m且l⊥n,故充分性成立;当l⊥m且l⊥n时,m,n⊂α,不一定有m与n相交,所以l⊥α不一定成立,故必要性不成立.答案：A5.“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：令f(x)=cos x+m-1=0,得cos x=-m+1,若函数有零点,则-1≤-m+1≤1,解得0≤m≤2,因此“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的充分不必要条件.答案：A6.在△ABC中,设命题p:,命题q:△ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的条件.解析：由,得,因此b2=ac,a2=bc,c2=ab,可得a=b=c,故△ABC是等边三角形;反之,若△ABC是等边三角形,则一定有.故命题p是命题q的充要条件.答案：充要7.给出下列命题:①“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件;②“lg a=lg b”是“a=b”的必要不充分条件;③若x,y∈R,则“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件;④在△ABC中,“sin A>sin B”是“A>B”的充要条件.其中真命题是.(写出所有真命题的序号)解析：∵a=-2,b=-3时,a>b,而a2<b2,∴a>b对a2>b2不具备充分性,故①错误;∵lg a=lg b⇒a=b,∴具备充分性,故②错误;∵|x|=|y|⇒x2=y2,x2=y2⇒|x|=|y|,∴“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件,③正确;∵在△ABC中,(1)当A,B均为锐角或一个为锐角一个为直角时,sin A>sin B⇔A>B.(2)当A,B有一个为钝角时,假设B为钝角,∵A+B<π⇒A<π-B⇒sin A<sin B,与sin A>sin B矛盾,∴只能A为钝角.∴sin A>sin B⇒A>B;反过来A>B,A为钝角时,π-A>B⇒sin A>sin B,∴④正确.答案：③④8.已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q(p≠0且p≠1),求证:数列{a n}为等比数列的充要条件为q=-1.证明充分性:当q=-1时,a1=p-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(p-1),当n=1时也成立.于是=p(p≠0且p≠1),即数列{a n}为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-1(p-1),因为p≠0且p≠1,所以=p.因为{a n}为等比数列,所以=p,即=p,即p-1=p+q,故q=-1.综上所述,q=-1是数列{a n}为等比数列的充要条件.。

反馈练习一、选择题1．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为89，则λ等于( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255[答案] C[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝2－λ＋4λ2＋5×9＝89，所以λ＝－2或255． 2．若a 、b 、c 是非零空间向量，则下列命题中的真命题是( ) A ．(a·b )c ＝(b·c )a B ．若a·b ＝－|a |·|b |，则a ∥b C ．若a·c ＝b·c ，则a ∥b D ．若a·a ＝b·b ，则a ＝b[答案] B[解析] (a ·b )c 是与c 共线的向量，(b ·c )a 是与a 共线的向量，a 与c 不一定共线，故A 假；若a ·b ＝－|a |·|b |，则a 与b 方向相反， ∴a ∥b ，故B 真；若a ·c ＝b ·c ，则(a －b )·c ＝0，即(a －b )⊥c ，不能得出a ∥b ，故C 假； 若a ·a ＝b ·b ，则|a |＝|b |，方向不确定， 故得不出a ＝b ，∴D 假．3．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2[答案] A[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数k ，使b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝(kλ＋k,0,2k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ kλ＋k ＝6，2μ－1＝0，2λ＝2k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝12，λ＝2，k ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝－3，k ＝－3.故选A ．4．同时垂直于a ＝(2,2,1)，b ＝(4,5,3)的单位向量是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，－23，23 B ．⎝⎛⎭⎫－13，23，－23 C ．⎝⎛⎭⎫13，－13，23 D ．⎝⎛⎭⎫13，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23 [答案] D[解析] 设所求向量为c ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝1，检验知选D ．[点评] 检验时，先检验A(或B)，若A 不满足，则排除A 、D ；再检验B ，若A 满足，则排除B ，C ，只要看D 是否成立．5．已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，则以下等式中可能不成立的是( ) A ．DA →·PB →＝0 B ．PC →·BD →＝0 C ．PD →·AB →＝0 D ．P A →·CD →＝0[答案] B[解析] ①⎭⎪⎬⎪⎫DA ⊥AB DA ⊥P A ⇒DA ⊥平面P AB ⇒DA ⊥PB ⇒DA →·PB →＝0；②同①知AB →·PD →＝0；③P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥CD ⇒P A →·CD →＝0； ④若BD →·PC →＝0，则BD ⊥PC ，又BD ⊥P A ，∴BD ⊥平面P AC ，故BD ⊥AC ， 但在矩形ABCD 中不一定有BD ⊥AC ，故选B ．6．已知ABCD 是四面体，O 是△BCD 内一点，则AO →＝13(AB →＋AC →＋AD →)是O 为△BCD重心的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] C[解析] 设E 为CD 中点，AO →＝13(AB →＋AC →＋AD →)＝13AB →＋13(BC →－BA →＋BD →－BA →)＝13AB →＋13(BC →＋BD →)－23BA →＝AB →＋23BE →， ∴BO →＝23BE →．即O 为△BCD 的重心．反之也成立．7．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)[答案] B[解析] 设平面AEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，E (1,1，12)，F (12，0,1)．故AE →＝(0,1，12)，AF →＝(－12，0,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧AE →·n ＝0，AF →·n ＝0，即⎩⎨⎧y ＋12z ＝0，－12x ＋z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12z ，x ＝2z .当z ＝－2时，n ＝(－4,1，－2)，故选B ．8．a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( ) A ．55B ．555C ．355D ．115[答案] C[解析] b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∵|b －a |2＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5t 2－2t ＋2 ＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95≥95，∴|b －a |min ＝355． 9．如图ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°[答案] D[解析] 正方体中，BD ∥B 1D 1，且BD ⊄面CB 1D 1，知BD ∥平面CB 1D 1，A 正确；AC 1在面ABCD 内的射影为AC ，又AC ⊥BD ，由三垂线定理知AC 1⊥BD ．故B 正确；同理可得AC 1⊥B 1D 1，AC 1⊥CD 1，且B 1D 1∩CD 1＝D 1，∴AC 1⊥平面CB 1D 1，故C 正确；由AD ∥BC 知，∠B 1CB 为AD 与CB 1所成的角，应为45°，故D 错误．10．已知△ABC 的顶点A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 的长等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 解法一：设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －1，y ＋1，z －2)，BD →＝(x －5，y ＋6，z －2)，AC →＝(0,4，－3)，∵AD →∥AC →，且BD →⊥AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，4y ＋1＝－3z －2，4(y ＋6)－3(z －2)＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－215，z ＝225.∴|BD →|＝5．解法二：设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ． ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)， 又AC →＝(0,4，－3)，AC →⊥BD →，∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0， ∴λ＝－45，∴BD →＝⎝⎛⎭⎫－4，95，125， ∴|BD →|＝(－4)2＋⎝⎛⎭⎫952＋⎝⎛⎭⎫1252＝5．11．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点F 是侧面CDD ′C ′的中心，若AF →＝AD →＋xAB →＋yAA ′→，则x －y 等于( )A ．0B ．1C ．12D ．－12[答案] A[解析] 如图所示，AF →＝AD →＋DF →， ∴DF →＝xAB →＋yAA ′→， ∴12DC ′→＝xAB →＋yAA ′→， ∵12AB ′→＝12AB →＋12AA ′→ AB ′→＝DC ′→， ∴x ＝y ＝12，x －y ＝0．12．(2014·开滦二中期中)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] A[解析] 取AC 中点F ，则DF 綊BE ，∴DE ∥BF ，∴BF 与平面BB 1C 1C 所成的角为所求， ∵AB ＝1，BC ＝3，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AB ⊥BB 1，∴AB ⊥平面BCC 1B 1，作GF ∥AB 交BC 于G ，则GF ⊥平面BCC 1B 1，∴∠FBG 为直线BF 与平面BCC 1B 1所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12，∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6． 二、填空题13．|a |＝|b |＝|c |＝1，a ＋b ＋c ＝0，则a ·c ＋b·c ＋a·b ＝__________． [答案] －32[解析] 设a ·c ＋b ·c ＋a ·b ＝x ， 则2x ＝(a ＋b )·c ＋(b ＋c )·a ＋(c ＋a )·b ＝－|c |2－|a |2－|b |2＝－3，∴x ＝－32．14．给出命题：①在▱ABCD 中，AB →＋AD →＝AC →；②在△ABC 中，若AB →·AC →>0，则△ABC 是锐角三角形；③在梯形ABCD 中，E 、F 分别是两腰BC 、DA 的中点，则FE →＝12(AB →＋DC →)；④在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、DA 的中点，则FE →＝12(AB →＋DC →)．以上命题中，正确命题的序号是______________．[答案] ①③④[解析] 本题考查向量的有关运算．①满足向量运算的平行四边形法则，①正确；AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A >0⇒∠A <90°，但∠B 、∠C 无法确定，△ABC 是否是锐角三角形无法确定，②错误；③符合梯形中位线，正确；④如图：DC →＝DA →＋AC →；DC →＋AB →＝DA →＋AB →＋AC →＝DA →＋2AE →＝2(F A →＋AE →)＝2FE →，则FE →＝12(AB →＋DC →)．15．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点，则异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值是__________．[答案]105[解析] 如图，建立空间直角坐标系，则A (4,0,0)，C (0,4,0)，D 1(0,0,4)，E (0,4,2)，AC →＝(－4,4,0)，D 1E →＝(0,4，－2)．cos 〈AC →，D 1E →〉＝1632×20＝105．∴异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值为105． 16．若△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝8，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一点，则PM 的最小值为__________．[答案] 27[解析] 由条件知PC 、AC 、BC 两两垂直，设CA →＝a ，CB →＝b ，CP →＝c ，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a＝0，∵∠BAC ＝60°，AB ＝8，∴|a |＝CA ＝8cos60°＝4，|b |＝CB ＝8sin60°＝43．|c |＝PC ＝4， 设AM →＝xAB →＝x (b －a )，则PM →＝PC →＋CA →＋AM →＝－c ＋a ＋x (b －a )＝(1－x )a ＋x b －c ，|PM →|2＝(1－x )2|a |2＋x 2|b |2＋|c |2＋2(1－x )x a ·b －2x b ·c －2(1－x )a ·c ＝16(1－x )2＋48x 2＋16＝32(2x 2－x ＋1)＝64⎝⎛⎭⎫x －142＋28， ∴当x ＝14时，|PM →|2取最小值28，∴|PM →|min ＝27．三、解答题17．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，用DA →，DC →，DD ′→表示向量BD ′→，AE →．[解析] (1)BD ′→＝DD ′→－DB →＝－DA →－DC →＋DD ′→． (2)AE →＝AA ′→＋A ′E →＝DD ′→＋12A ′C ′→＝DD ′→＋12AC →＝DD ′→＋12(DC →－DA →)＝－12DA →＋12DC →＋DD ′→．18．如图所示，已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心．求证：PQ ∥平面ACD ．[证明] ∵P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心． ∴PQ →＝EQ →－EP →＝13ED →－13EA →＝13(ED →－EA →)＝13AD →． ∴PQ →∥AD →，即PQ ∥AD ，又PQ ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴PQ ∥平面ACD ．19．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1； (3)求AC 1与CB 1所成角的余弦值．[解析] ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直．如图所示，以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、CC 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．(1)∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)． ∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1．(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，则E (0,2,2)． ∵DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)．∴DE →＝12AC 1→，∴DE ∥AC 1．∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1．(3)∵AC 1→＝(－3,0,4)，CB 1→＝(0,4,4)， ∴cos 〈AC 1→·CB 1→〉＝AC 1→·CB 1→|AC 1→|·|CB 1→|＝225．∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225．20．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝6，AA 1＝4，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且CP ＝2，Q 是DD 1的中点，求：(1)M 到直线PQ 的距离； (2)M 到平面AB 1P 的距离．[解析] 如图，建立空间直角坐标系B －xyz ，则A (4,0,0)，M (2,3,4)，P (0,4,0)，Q (4,6,2)．(1)∵QM →＝(－2，－3,2)，QP →＝(－4，－2，－2)， ∴QM →在QP →上的射影为QM →·QP →|QP →|＝(－2)×(－4)＋(－3)×(－2)＋2×(－2)(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＝566，故M 到PQ 的距离为 |QM →|2－⎝⎛⎭⎫5662＝17－256＝4626．(2)设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1P 的法向量，则n ⊥AB 1→，n ⊥AP →， ∵AB 1→＝(－4,0,4)，AP →＝(－4,4,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋4z ＝0，－4x ＋4y ＝0.因此可取n ＝(1,1,1)，由于MA →＝(2，－3，－4)， 那么点M 到平面AB 1P 的距离为d ＝|MA →·n ||n |＝|2×1＋(－3)×1＋(－4)×1|3＝533， 故M 到平面AB 1P 的距离为533． [点评] 求点P 到直线l 的距离时，在直线l 上任取一点Q ，则QP →在l 上射影的长度为m ＝|QP →|·|cos 〈QP →，n 〉|(n 为直线l 的一个方向向量)，即m ＝|QP →·n ||n |， 于是P 到l 的距离d ＝|QP ―→|2－m 2．21．(2014·浙江理，20)如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝2．(1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)求二面角B －AD －E 的大小．[解析] (1)在直角梯形BCDE 中，∵DE ＝BE ＝1，CD ＝2，∴BD ＝BC ＝2，在三角形ABC 中，AB ＝2，BC ＝2，AC ＝2，∴AC ⊥BC ．∵平面ABC ⊥平面BCOE ，而平面ABC ∩平面BCDE ＝BCAC ⊥BC ，∴AC ⊥平面BCDE ，∴AC ⊥DE ，又∵DE ⊥DC ，∴DE ⊥平面ACD ．(2)由(1)知分别以CD →、CA →为x 轴、z 轴正方向．过C 作CM ∥DE ，以CM 为y 轴建立空间直角坐标系．则B (1,1,0)，A (0,0，2)，D (2,0,0)，E (2,1,0)∴AB →＝(1,1，－2)，AD →＝(2,0，－2)，DE →＝(0,1,0)设平面ABD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·AB →＝n 1·AD →＝0，解得n 1＝(1,1，2)．设平面ADE 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·AE →＝n 2·AD →＝0，解得：n 2＝(1,0，2)设二面角B －AD －E 的大小为θ，易知θ为锐角，cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝1＋0＋26×3＝32， ∴二面角B －AD －E 的平面角为π6． 22．(2014·浙北名校联盟联考)已知在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 为棱CC ′上任意一点，AB ＝BC ＝2，CC ′＝1．(1)求证：平面ACC ′A ′⊥平面BDE ；(2)若点P 为棱C ′D ′的中点，点E 为棱CC ′的中点，求二面角P －BD －E 的余弦值．[解析] (1)∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∵CC ′⊥平面ABCD ，∴BD ⊥CC ′，又CC ′∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC ′A ′，∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ACC ′A ′．(2)以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以DD ′为z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，E (0,2，12)，P (0,1,1)，设平面BDE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，∵DB →＝(2,2,0)，DE →＝(0,2，12)， ∴⎩⎨⎧ m ·DB →＝2x ＋2y ＝0，m ·DE →＝2y ＋12z ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝4，∴m ＝(1，－1,4)， 设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∵DP →＝(0,1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DP →＝y ＋z ＝0， 令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，∴n ＝(1，－1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝63， ∴二面角P －BD －E 的余弦值为63．。

选修2-2 第一章 1.1 1.1.2一、选择题1．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81[答案] B[解析] ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32 ＝18Δt ＋3(Δt )2∴ΔsΔt ＝18＋3Δt .∴lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(18＋3Δt )＝18，故应选B. 2．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3 D ．0[答案] C[解析] f ′(0)＝lim Δx →0 (0＋Δx )2－3(0＋Δx )－02＋3×0Δx＝lim Δx →0 (Δx )2－3ΔxΔx ＝lim Δx →0(Δx －3)＝－3.故选C.3．(2014·合肥一六八中高二期中)若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →f (Δx )Δx＝－1，则f ′ (0)＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )Δx＝－1，∴选B.4．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( ) A ．4＋4t 0 B ．0C ．8t 0＋4D ．4t 0＋4t 2[答案] C[解析] Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝4(Δt )2＋4Δt ＋8t 0Δt ， ΔsΔt＝4Δt ＋4＋8t 0， lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(4Δt ＋4＋8t 0)＝4＋8t 0. 5．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2[答案] D[解析] f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝－2x2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.6．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A ．12316米/秒B ．12516米/秒C ．8米/秒D ．674米/秒[答案] B[解析] ∵ΔsΔt ＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt4(4＋Δt )Δt＝Δt ＋8－316＋4Δt .∴lim Δt →Δs Δt ＝8－316＝12516. 二、填空题7．已知函数f (x )＝x ＋kx ，f ′(1)＝－2，则k ＝________.[答案] 3[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )＋k 1＋Δx －1－k ＝Δx －k Δx1＋ΔxΔy Δx ＝1－k1＋Δx∵f′(1)＝－2，∴limΔx→0ΔyΔx＝1－k＝－2，∴k＝3.8．已知y＝x＋4，则y′|x＝1＝________.[答案]5 10[解析]由题意知Δy＝1＋Δx＋4－1＋4 ＝5＋Δx－5，∴ΔyΔx＝5＋Δx－5Δx.∴y′|x＝1＝limΔx→05＋Δx－5Δx＝limΔx→0ΔxΔx(5＋Δx＋5)＝510.9．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝v t＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．[答案]相等[解析]v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t0＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t0＋Δt)－v t0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.三、解答题10．下面是利用导数的定义求函数f(x)＝x＋2在x＝2处的导数的解题过程：因为Δy＝(2＋Δx)＋2－2＋2＝4＋Δx－2，Δy Δx＝4＋Δx－2Δx，所以f′(2)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→04＋Δx－2Δx＝0.试分析解题过程是否正确，如不正确请指出错误，并加以纠正．[解析]解答过程有错误，最后一步不能直接得到0，因为分母为0时，无意义．正解：因为Δy＝(2＋Δx)＋2－2＋2＝4＋Δx－2，Δy Δx＝4＋Δx－2Δx＝(4＋Δx－2)(4＋Δx＋2)Δx(4＋Δx＋2)＝14＋Δx＋2.所以f′(2)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→014＋Δx＋2＝14.一、选择题11．(2014·枣阳一中，襄州一中，宜城一中，曾都一中期中联考)在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (m )与起跳后的时间t (s )存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则瞬时速度为0m/s 的时刻是( )A ．6598sB ．6549sC ．9865sD ．4965s[答案] A[解析] h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，由h ′(t )＝0得t ＝6598，故选A.12．设f (x )＝1x ，则li m x →a f (x )－f (a )x －a 等于( )A ．－1aB ．2aC ．－1a 2D ．1a2[答案] C[解析] li m x →a f (x )－f (a )x －a ＝li m x →a 1x －1a x －a＝－li m x →a1ax ＝－1a2. [点评] 若令x －a ＝Δx ，则当x →a 时，Δx →0， ∴lim x →af (x )－f (a )x －a＝lim Δx →0 f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝lim Δx →0 1a ＋Δx －1a Δx ＝lim Δx →0 －1a (a ＋Δx )＝－1a 2.13．(2013·北师大附中期中)已知f ′(x 0)＝a ，则lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0－3Δx )2Δx的值为( )A ．－2aB ．2aC ．aD ．－a[答案] B[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a ，∴lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0－3Δx )2Δx＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－3Δx )2Δx＝12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＋32lim Δx →0 f (x 0－3Δx )－f (x 0)－3Δx ＝a 2＋3a2＝2a ，故选B. 二、填空题14．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy ＝⎝⎛⎭⎫1＋Δx ＋11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1＋11 ＝Δx －1＋1Δx ＋1＝(Δx )2Δx ＋1，∴Δy Δx ＝Δx Δx ＋1.∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δx Δx ＋1＝0. 15．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______________________． [答案]28π3[解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 三、解答题16．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0 ⎝⎛⎭⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， ∴at 0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度． [解析] (1)当t ＝0时的速度为初速度． 在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02) ＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ， lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ， lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. (3)当t ∈[0,2]时，Δt ＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2. v －＝Δs Δt ＝22＝1.∴在0到2之间，物体的平均速度为1.。

第一章 1.2 第2课时一、选择题1．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直；当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0，∴a ＝1，故选C. 2．m ＝3是直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由圆心(1,0)到直线3x －y ＋m ＝0距离d ＝|3＋m |2＝3得，m ＝3或－33，故选A.3．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 因为A ∪B ＝C ，故“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 4．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 如a ＝1，c ＝3，b ＝2，d ＝1时，a ＋c >b ＋d ， 但a <b ，故由“a ＋c >b ＋d ”⇒/ “a >b 且c >d ”， 由不等式的性质可知，若a >b 且c >d ，则a ＋c >b ＋d ， ∴“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件．5．设命题甲为：0<x <5，命题乙为：|x －2|<3，那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解不等式|x －2|<3得－1<x <5， ∵0<x <5⇒－1<x <5但－1<x <5⇒/ 0<x <5， ∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.6．(2014·南昌市高二期中)设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵l ⊥α，m ⊂α，n ⊂α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ⊂α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.二、填空题7．平面向量a 、b 都是非零向量，a ·b <0是a 与b 夹角为钝角的________条件． [答案] 必要不充分[解析] 若a 与b 夹角为钝角，则a ·b <0，反之a ·b <0时，如果a 与b 方向相反，则a 与b 夹角不是钝角．8．已知三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0，则l 1、l 2、l 3构不成三角形的充要条件是k ∈集合________．[答案] {－5,5，－10}[解析] ①l 1∥l 3时，k ＝5；②l 2∥l 3时，k ＝－5； ③l 1、l 2、l 3相交于同一点时，k ＝－10. 三、解答题9．方程mx 2＋(2m ＋3)x ＋1－m ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？ [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧(2m ＋3)2－4m (1－m )>0，1－m m <0.∴m >1或m <0，即所求充要条件是m >1或m <0.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立． 于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)， ∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p (p －1)p ＋q ＝p ， ∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．一、选择题11．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．12．(2013·安徽理)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a ＝0，则f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增，若“a <0”，则f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内递增，从图中可知a ≤0，故选C. 13．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件； ③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ， ∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ， ∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真．14．设a 、b 是两条直线，α、β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥β B ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β C ．a ⊂α，b ⊥β，α∥β D ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β[答案] C[解析] 对选项A 如图①所示，由图可知a ∥b ，故排除A ；对选项B 如图②所示，由图可知a ∥b ，故排除B ；对选项D 如图③所示，其中a ∥l ，b ∥l ，由图可知a ∥b ，故排除D.二、填空题15．函数f (x )的定义域为I ，p ：“对任意x ∈I ，都有f (x )≤M ”．q ：“M 为函数f (x )的最大值”，则p 是q 的________条件．[答案] 必要不充分[解析] 只有当(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ，(2)存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，同时成立时，M 才是f (x )的最大值，故p ⇒/ q ，q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．16．f (x )＝|x |·(x －b )在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________． [答案] b ≥4[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b ) x ≥0，－x (x －b ) x <0.若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0， ∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b2≥2，∴b ≥4.17．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． [解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1a >0－2a <0Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.[点评] ①a ＝0的情况不要忽视；②若令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1≠0，从而排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况．18．已知p ：x ＋210－x ≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要条件，求实数m的取值范围．[解析] 由x ＋210－x ≥0，解得－2≤x <10，令A ＝{x |－2≤x <10}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0可得[x －(1－m )]．[x －(1＋m )]≤0，而m <0，∴1＋m ≤x ≤1－m ，令B ＝{x |1＋m ≤x ≤1－m }．∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p 成立，即B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥－21－m <10m <0，解得－3≤m <0.。