初高中数学衔接课程教案18-子集与推出关系

这节内容是本教材新增内容，探讨集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系。

在第一章中，继集合的有关内容、四种命题形式、充分条件与必要条件之后进行学习，将集合与命题加以沟通，融为一体，是对本章知识的一个完善，体现了数学知识的统一性，并有助于学生更深刻地领会有关概念，提高综合运用能力。

二、教学目标设计了解集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；领会集合与命题之间的对应关系，学会运用。

三、教学重点及难点集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；集合与命题之间的关系在解决问题中的灵活运用。

四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习引入1、复习：（1）集合的表示方法以及集合之间的关系。

（2）命题与推出关系。

2、思考：集合与命题之间有什么联系。

［说明］复习相关知识，从本章的课题“集合与命题”引入新课。

二、学习新课1•建立联系（1）集合与命题集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。

在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。

因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。

［说明］启发学生发现集合与命题的联系，并用表格的形式表示。

在此基础上，进一步探讨集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系。

（2 ）子集与推出关系因为“ x 5 ”可推出“ x 3”,所以，若x A，则x B，即A B。

反之，如果A B，即若x A，则x B，那么可由“ x 5”推出“ x 3”。

因此，“ A B ”与“ x 5 x 3 ”等价。

（填入上表）把上述结论推广到一般性，设 A a a具有性质，B bb具有性质，则A B ”与“”等价。

（证明略）［说明］再把包含关系与推出关系进行联系， 得出结论并证明，然后， 把这个结论一般化， 提出本课主题，请学生自主论证。

2 .例题分析［说明］通过例1、例2,让学生初步体会判断集合之间的包含关系或判断命题之间的推出关系可以相互转化，互为所用。

第一章：集合与命题 第六节：子集与推出关系【知识讲解】集合与命题集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。

在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。

因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。

集合 元素的性质（命题）}5|{>=x x A 5>x{}3>=x x B3>x（2）子集与推出关系因为“5>x ”可推出“3>x ”，所以，若A x ∈，则B x ∈，即B A ⊆。

反之，如果B A ⊆，即若A x ∈，则B x ∈，那么可由“5>x ”推出“3>x ”。

因此，“B A ⊆”与“35>⇒>x x ”等价。

集合 元素的性质（命题）}5|{>=x x A 5>x{}3>=x x B3>x B A ⊆35>⇒>x x把上述结论推广到一般性，设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，则“B A ⊆”与“βα⇒”等价。

集合 元素的性质（命题） {}α具有性质a a A = α {}β具有性质b b B =β B A ⊆βα⇒ B A ⊇ βα⇐B A = βα⇔[说明]引导学生先寻求具体集合间的包含关系和集合中元素的性质（命题）间的推出关系，再把包含关系与推出关系进行联系，得出结论并证明，然后，把这个结论一般化，提出本课主题，请学生自主论证。

例题分析例1：判断命题1:=x α，1:2=x β之间的推出关系。

例2：判断集合{}*,5N k k n n A ∈==，{}Z n 5,∈=的个位数是n n B 之间的关系。

例3：设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，α是β的充分条件，求m 的取值范围。

巩固练习1.下列说法不正确的是 。

① 2<x ”是“4<x ”的必要条件； ③“0=xy ”是“0=y ”的充分条件； ② 0=x ”是022=+y x 的必要条件； ④“2x <1”是“1<x ”的充要条件2.试用子集与推出关系判断命题A 是B 的什么条件？（1）A:该平面图形是四边形 B:该平面图形为梯形（2）A: 3x =,B: (3)(4)0x x --=（3）A: 1x ≠-，B: 1x ≠3.已知条件y x p 、:不都为1-，2:-≠+y x q ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B 、必要不充分条件C ．充要条件D 、既不充分也不必要条件4.已知条件y x p 、:不都为1-，2:-≠+y x q ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B 、必要不充分条件C ．充要条件D 、既不充分也不必要条件四、课堂小结课后作业：1.用子集与推出关系来说明α 是β什么条件（1）αβ：a+b=3,:a=1且b=2,则α 是β的 条件；（2）0,x y x y x y αβ+：=+,:则α 是β的 条件；； （3）41x x αβ：是奇数,:被除余，则α 是β的 条件；；（4）x y x y αβ+：1，1,:2,则α 是β的 条件；（5）ABC ABC αβ：三角形是等腰三角形,:三角形是直角三角形， 则α 是β的 条件条件；。

1.2.2 子集与推出的关系（教案）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（人教版2021·基础模块上册）学习目标：1. 知道什么是子集，什么是超集和相等集合；2. 理解并掌握子集的定义和特征；3. 知道什么是推出的关系，什么是真子集和假子集；4. 理解并掌握推出的关系的定义和特征。

导入：通过问学生几个问题引入本节课的主题:1. 如果一个集合A包含另一个集合B中的所有元素，我们如何描述它们之间的关系？2. 如果一个集合D包含集合C中的所有元素，但是还有另外一些元素不在集合C中，这两个集合之间的关系是什么？3. 集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3}，那么集合B是集合A的什么？讲解：1. 子集子集是在一个集合中含有部分或全部元素的集合。

如果A集合中的每一个元素都在B集合中出现，我们会说集合A是集合B的子集。

简单来说，A子集B的定义是：如果集合A中所有的元素也都属于集合B，那么集合A就是集合B的子集。

举个例子，如果集合A = {1, 2, 3}，而集合B = {1, 2, 3, 4, 5}，那么集合A是集合B的子集。

写成符号的形式为：A ⊆ B。

在上面的例子中，B是A的超集，因为B包含了A中的每一个元素。

如果两个集合A和B有相同的元素，但是不是全部的，那么A和B不是相等集合。

2. 推出的关系如果B是A的子集，我们可以说“B被A推出”。

在这种情况下，我们还可以说B是真子集，因为B不等于A。

相反，如果A和B是相等集合，我们可以说A推出B，这时B被称为假子集。

例如，让A = {2, 4, 6}，B = {2, 6}。

根据上面的定义，B是A的子集，因为B中的所有元素也都在A中。

因此，我们可以说B是由A推出的真子集。

再如，如果A = {1，2，3}，B = {1，3}，那么A是由B推出的真子集，因为A中的所有元素都属于集合B。

这里需要注意的是，在子集的情况下，B是A的子集，而不是A是B的子集。

与此相似，在推出的关系中，B是由A推出的真子集，而不是A是B推出的真子集。

精选讲课讲课设计设计 | Excellent teaching plan教师学科讲课设计[ 20–20学年度第__学期]任讲课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校精选讲课讲课设计设计| Excellent teaching plan《子集与推出关系》◆ 教教教教【知识与能力目标】1.理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理2.理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理3.理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理【过程与方法目标】理解会集的包括关系与命题推出关系的等价性，初步掌握用会集间的包括关系进行推理的方法以及经过推出关系解决会集的包括关系的相关问题；【感神情度价值观目标】理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理◆ 教教教教教【讲课要点】子集与推出关系等价性的理解与应用授课方案新部编版《子集与推出关系》数学上教版高一上精选讲课讲课设计设计| Excellent teaching plan【讲课难点】子集与推出关系等价性的证明◆ 教教教教理理理理理 (1) 理理理理理α“ x理 4”理理理β“ x理 2”理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理α 理理β理理 (2) 理理理理 A理理理理理理理理α理理理理理A理 {x 理 x理 4} 理理理 B理理理理理理理理β理理理理理理 {x 理 x理 4} 理理理理理理 A理 B理理理理理理理理理理理理理理理BA理理 (3) 理理理 A理 B理理理理理B“A”理理理α理β理理理理理“αβ”理理理理理理理理理理理理理理理理(1)理理理理α“理理理理理理理”理理理β“理理理理理理”理理理理理理理理理理理理理理理理理理理α 理理β理理理理理A B理理理理理理 A理理 a理 a理理理理α理理 B理理 b理 b理理理理β理理A理Bα理理理理理理理“理A B理αβ”理理理理理理理理 A理理 x理 x理 5理理理理理理理理理理理B”“A理理理理理 B理理理理理理理理理理理理理理 B理理 x理 x理 3理理理α理 x理 5理理理β理 x理3理理理理“x理 5“”x理 3”理αβ理A B理αβ理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理 A理理 a理 a理理理理α理理 B理理 b理 b理理理理Bβ理理α理理βA理理理理理理(1)理理理[理理“A B” “α β”理理理理理理理α理理理理理理β]理x理理理理α理理 x理A理A B理x理B理理x理理理理β理αβ(2)理理理[理理“αβ” “A B”理理理 x理 A理 x理 B]理 x理 A理理 x理理理理α理αβ理x理理理理理β理x理B理A B理 (1)(2)理理理A B理αβ理理理理理 (1)理理A理B理理理α理β理理理理理理理精选讲课讲课设计设计| Excellent teaching plan(2) 理理理理理理理理理“理理理”理“理理理”理(3) 理A B 理 A 理 B 理A B 理A ?B 理理理理α理β理理理理理理理理理理α理β理理理理理理理理理理理理A 理理 a 理 a 理理理理α理理B 理理 b 理 b 理理理理β理理(1) A B 理α β理理理理α理β理理理理理(2) A B 理α β理理理理α理β理理理理理(3) A 理 B 理α β理理理理α理β理理理理理(4) A B 理α β理α β理理理理α理β理理理理理理理理(5) A ?B 理α β理α β理理理理α理β理理理理理理理理[ 理 1] 理理理理理理理理理理理α理β理理理理理理(1) α理 x 理 2理β理 x ≥2(2) 2 α理理x 1理β理 x 理1理理 (1) 理 A 理 {x| x 理 2} 理 B 理 {x| x ≥2}理 A B 理α β理α β理α理β理理理理理理理理(2) 理 A 理 {x|2理x 1} 理 { 理 1理 1} 理 B 理 {1}理A ?B 理α β理α βα理β理理理理理理理理理理理理理理理α理β理理理理理理理理理理理理理理理理理理理[ 理 2] 理理理理 A 理理 n 理 n 理 5k 理 k 理 N*理理 B 理 { n 理 n 理理理理理5理 n 理 N*} 理理理理理理理理理α理理理理 n 理理 5理理理β理理理理 n 理理理理理5理α β理α β 理?A B理理理理理理理理理A 理B 理理理理理理理理理理理[ 理 3] 理α理 1≤ x ≤ 3理β理 m 理 1≤ x ≤ 2m 理 4理 m 理 R 理α理β理理理理理理理理理 m 理理理理理理理 A 理 {x|1 ≤ x ≤ 3} 理 B 理 {x|m 理 1≤ x ≤ 2m 理 4理 m 理 R }理α理β理理理理理理理αβ 理A B{ m +1 ≤ 1 1 ≥ 3 2理 2m + 4 理理理理 ≤ m ≤0理理理理α理β理理理理理理理理理m 理理理理理理理理理(1) 理理理理理理理理理理理理(2) 理理理理理理理理精选讲课讲课设计设计| Excellent teaching plan◆ 教教教教略。

上海华师大二附中2015届高一数学上册 子集与推出关系教学案 沪教版教学目标: 1、理解集合的包含关系与命题推出关系的等价性，初步掌握用集合间的包含关系进行推理的方法以及通过推出关系解决集合的包含关系的相关问题；2、初步形成逻辑思维能力及等价转化思想，进一步树立辩证唯物主义的观点。

教学重点：集合间的包含关系与命题的推出关系之间的联系。

教学难点：灵活运用集合间的包含关系进行推理，解决具体问题。

教学过程： 1、 情景引入如果α⇔β，α叫做β的充要条件） 2．引例：用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：(1)｛x x 是上海人｝________｛x x 是中国人｝； 我是上海人 ________ 我是中国人 (2) {x|x>5} ________ {x|x>3} ； x>5 ________ x>3 (3) {x|x 2=1}_______ {x|x=1} ； x 2=1 _______ x=1 ( (1) ⊆；⇒（2）⊆；⇒（3）⊇；⇐ ) 3．讨论从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？（我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的 集合记为B ，若A B ⊆，则αβ⇒；反之，若αβ⇒，则A B ⊆。

） 2、 概念形成1．定义：子集与推出关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。

2．设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，则“B A ⊆”与“βα⇒”等价。

（证明略）集合 元素的性质（命题）{}α具有性质a a A = α{}β具有性质b b B =βB A ⊆ βα⇒ B A ⊇βα⇐B A =βα⇔【题目】：试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件。

（1）1:=x α，1:2=x β(2) :α正整数n 被5整除 , :β正整数n 的个位数是5 【解答】：(1)充分非必要条件；(2)必要非充分条件说明:体会运用集合之间的包含关系来研究推出关系。

1.6 子集与推出关系一、教学内容分析《子集与推出关系》是上海市新课程改革推行以来，试验本教材中新增加的一节教学内容，它安排在第一章的最后一节，以往上海的教材中是没有这部分内容的。

这节内容的增加对第一章中集合、条件推出等知识作了一个系统的整合，使教学内容更为完善，也让学生初步了解了集合知识在现代数学中的重要作用。

二、教学目标1、理解集合的包含关系与推出关系的等价性，并掌握用集合间的包含关系进行推理的方法；2、逐步形成逻辑思维能力及等价转化思想，了解集合知识的广泛应用性；3、进一步树立辩证唯物主义观点，增强热爱家乡，热爱祖国的民族情感。

三、教学重点及难点教学重点：集合间的包含关系与推出关系的理解与运用教学难点：子集与推出关系等价性四、教学过程设计一、 课程引入1．复习充分、必要条件2．引例：用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：(1)｛x x 是奉贤人｝________｛x x 是上海人｝我是奉贤人 ________ 我是上海人(2) x>5 ________ x>3 {x|x>5} ________ {x|x>3}(3) {x|x 2=1}_______{x|x=1} x 2=1 _______ x=13．讨论从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的集合记为B ，若A ⊆B ，则α⇒β；反之，若α⇒β，则A ⊆B 。

二、学习新课1． 概念辨析(1)定义：子集与推出关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。

(2) 一般地，证明：①充分性（“A ⊆B ”⇒“α⇒β” ）②必要性（“α⇒β”⇒“A ⊆B ” ）(3)进一步剖析引例中的条件关系。

2． 例题分析 例1：请同学们四人一组，每人举出α、β，然后利用集合与推出关系共同讨论α是β的什么条件？(学生自行给出，小组研究)结论：(1) A ⊆B ⇔α是β的充分条件；(2) A ⊇B ⇔α是β的必要条件；(3) A B ⇔α是β的充分非必要条件； (4) A B ⇔α是β的必要非充分条件； (5) A ＝B ⇔α是β的充要条件。

初高中课程衔接数学教案
主题：初高中数学课程衔接
教学目标：
1. 了解初中数学和高中数学之间的衔接关系；
2. 理解初中数学知识在高中数学中的延续和拓展；
3. 能够运用初中数学知识解决高中数学问题；
4. 提高数学解题能力和思维逻辑能力。

教学内容：
1. 初中数学与高中数学之间的关系；
2. 初中数学知识在高中数学中的应用；
3. 初高中数学知识的渐进性和深入性。

教学过程：
1. 引入：通过简单例题引导学生思考初中数学和高中数学之间的关系；
2. 概念讲解：讲解初中数学和高中数学之间的衔接关系，指导学生理解初中数学知识在高中数学中的延续和拓展；
3. 练习：设计一些练习题，让学生运用初中数学知识解决高中数学问题；
4. 深化：引导学生思考初高中数学知识的渐进性和深入性，帮助他们提高数学解题能力和思维逻辑能力；
5. 小结：总结本节课的内容，强调初高中数学课程衔接的重要性。

教学反思：
1. 教师在引入阶段要注意启发学生思考，激发学生学习兴趣；
2. 练习环节要设计多样性的题型，让学生全面理解初高中数学知识的衔接和延续；
3. 在深化环节要引导学生发散性思维，提高数学解题能力和抽象思维能力。

注：此教案范本仅供参考，具体教学过程和内容根据实际情况灵活调整。

第一章：集合与命题 第六节：子集与推出关系【知识讲解】集合与命题集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。

在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。

因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。

集合 元素的性质（命题）}5|{>=x x A 5>x{}3>=x x B3>x（2）子集与推出关系因为“5>x ”可推出“3>x ”，所以，若A x ∈，则B x ∈，即B A ⊆。

反之，如果B A ⊆，即若A x ∈，则B x ∈，那么可由“5>x ”推出“3>x ”。

因此，“B A ⊆”与“35>⇒>x x ”等价。

集合 元素的性质（命题）}5|{>=x x A 5>x{}3>=x x B3>x B A ⊆35>⇒>x x把上述结论推广到一般性，设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，则“B A ⊆”与“βα⇒”等价。

集合 元素的性质（命题） {}α具有性质a a A = α {}β具有性质b b B =β B A ⊆βα⇒ B A ⊇ βα⇐B A = βα⇔[说明]引导学生先寻求具体集合间的包含关系和集合中元素的性质（命题）间的推出关系，再把包含关系与推出关系进行联系，得出结论并证明，然后，把这个结论一般化，提出本课主题，请学生自主论证。

例题分析例1：判断命题1:=x α，1:2=x β之间的推出关系。

解：设{}1==x x A ，{}12==x x B ，{}1=A ，{}1,1-=B ，A B ≠∴⊂ 因此βα⇒。

例2：判断集合{}*,5N k k n n A ∈==，{}Z n 5,∈=的个位数是n n B 之间的关系。

解：设*,5:N k k n ∈=α，的整数是个位数是5:n β，αβ⇒ ，A B ≠⊂∴。

初高中衔接课教案数学
教学内容：初高中数学知识的延伸和拓展
教学目标：通过本节课的学习，学生能够理解初中数学知识与高中数学知识之间的联系，掌握基本的数学概念和解题方法，为高中数学学习奠定良好的基础。

教学重点：初中数学知识与高中数学知识之间的联系，基本数学概念的巩固和延伸
教学难点：初中数学知识在高中数学学习中的应用
教学过程：
一、复习初中数学知识（15分钟）
1. 让学生回顾初中数学的相关知识点，包括代数、几何、概率等内容。

2. 通过简单的练习题考查学生对初中数学知识的掌握情况。

二、初高中数学知识的联系（20分钟）
1. 介绍初中数学与高中数学之间的关系和联系，引导学生思考初中知识在高中学习中的作用和重要性。

2. 通过案例分析和实例讲解，让学生理解初中数学知识在高中学习中的应用。

三、数学概念的延伸和拓展（20分钟）
1. 给学生讲解一些高中数学的基本概念和方法，如函数、导数、积分等。

2. 带领学生进行练习和讨论，巩固新学的数学概念。

四、练习与拓展（20分钟）
1. 出一些综合性的练习题，让学生运用所学知识解题。

2. 引导学生思考和讨论如何运用初中数学知识解决高中数学问题。

五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固所学知识，为下节课的学习做好准备。

教学反思：通过这堂课的教学，学生能够清晰地了解初高中数学知识之间的联系，并能够运用初中知识解决高中数学问题。

同时，学生也意识到数学是一个有机整体，不同知识点之间存在内在联系，需要系统性地学习和掌握。