三年级上册数学讲义-有趣的植树问题(解析版)全国通用

第11讲植树问题【学习目标】1、了解植树问题的特征；2、掌握植树问题的常见题型。

【知识梳理】1、两端植树：段数=总长÷间距；棵树=段数+1；2、只在一端植树：段数=总长÷间距；棵树=段数；3、两端都不植树：段数=总长÷间距；棵树=段数-1；4、封闭型的情况：段数=总长÷间距；棵树=段数。

【典例精析】【例1】奥奥的学校旁边的一条路长92米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？【趁热打铁-1】一条走廊84米，在走廊两侧从头到尾每隔6米摆一盆花，则一共要多少盆花？【例2】一条公路的一旁连两端在内共植树91棵，每两棵之间的距离是5米，求公路长是多少米？【趁热打铁-2】一条路的一侧有13棵树，相邻两棵之间相距5米．在路的另一侧每隔6米安装一盏路灯，需要装____盏灯（从头到尾）。

【例3】公路两端各有一座售报亭，售报亭之间每隔4米竖立一个广告牌，一共竖了31个广告牌。

公路全长多少米？【趁热打铁-3】学校要在南、北教学楼之间均匀地栽19棵杨树苗（两头都不栽）,恰好每隔4米栽一棵。

南、北教学楼相距多少米？【例4】爷爷饭后沿着一条路散步，从这条路的起点开始走到路的尽头刚好走了2100步，假设爷爷每步跨的长度不变，为40厘米，那么这条路长多少米？【趁热打铁-4】走到尽头后，龙龙陪着爷爷原路返回，假设龙龙每步能跨30厘米，请问返回到出发点龙龙需要跨多少步？【例5】一个圆形花坛周围长90米，沿花坛周围每隔5米栽一棵月季花，每两棵月季花中间栽一棵菊花。

花坛周围月季花和菊花各栽了多少棵？【趁热打铁-5】要在一个周长为420米的跑道周围每隔6米栽1株杜鹃花，每相邻两株杜鹃花之间等距离地栽3株月季花。

跑道的周围一共可以栽多少株杜鹃花？多少株月季花？【例6】一位老爷爷以匀速散步，从家门口走到第9棵树用了18分钟，这位老爷爷如果再走24分钟，应走到第几棵树？（家门口没有树）【趁热打铁-6】爷爷在公路旁散步，从第1根电线杆处走到第6根电线杆处共用了15分钟．如果爷爷走了30分钟，那么他走到了第____根电线杆处．【例7】裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？【趁热打铁-7】有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需用3分钟，全部锯完需要多少分钟?【例8】小李、小华比赛爬楼梯，小李跑到第5层时，小华正好跑到第3层．照这样计算，小李跑到第25层时，小华跑到第____层．【趁热打铁-8】蚂蚁爬树枝，每上一节需要10秒钟，从第一节爬到第13节需要多少分钟？【例9】马路的一边，相隔8米有一棵杨树，小强乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第101棵树共花了5分钟，小强从家到学校共坐了半小时的汽车，问：小强的家距离学校多远？【趁热打铁-9】公路旁每隔8米均匀地栽着一排杨树，一位老人在公路旁散步，他从第1棵树走到第6棵树用了10分钟，照这样的速度，他走了20分钟，一共走了多少米？【过关精炼】1、有一条公路长450米，每隔9米栽一棵柳树，两端都栽，在柳树之间以相等的距离栽3棵槐树，问共栽树_______棵。

三年级植树问题知识点一、知识点回顾。

1. 植树问题的类型。

两端都植树：棵数 = 间隔数+1。

例如，在一条长10米的小路一旁每隔2米栽一棵树（两端都栽），间隔数为10÷2 = 5个，棵数就是5 + 1=6棵。

一端植树：棵数 = 间隔数。

比如在一条长10米的小路一端靠墙，每隔2米栽一棵树，间隔数为10÷2 = 5个，棵数也是5棵。

两端都不植树：棵数 = 间隔数 1。

例如在一条长10米的小路两旁每隔2米栽一棵树（两端不栽），间隔数为10÷2 = 5个，一旁的棵数为5-1 = 4棵，两旁就是4×2 = 8棵。

2. 关键是求出间隔数。

间隔数 = 总长度÷间隔长度。

二、题目与解析。

1. 在一条长20米的路的一边种树，每隔5米种一棵（两端都种），一共要种多少棵树？解析：首先求间隔数，间隔数=20÷5 = 4个。

因为两端都种树，棵数 = 间隔数+1，所以棵数为4 + 1 = 5棵。

2. 一条路长30米，每隔3米种一棵树（一端种），能种多少棵树？解析：间隔数=30÷3 = 10个，因为一端种树，棵数 = 间隔数，所以能种10棵树。

3. 有一条18米长的走廊，每隔2米放一盆花（两端都不放），一共要放多少盆花？解析：间隔数=18÷2 = 9个，因为两端都不放花，棵数 = 间隔数 1，所以一共要放9 1 = 8盆花。

4. 在一条长40米的道路两旁种树，每隔4米种一棵（两端都种），道路两旁共种多少棵树？解析：先求一旁的情况，间隔数=40÷4 = 10个，因为两端都种，棵数 = 间隔数+1，所以一旁种10 + 1 = 11棵树，那么道路两旁共种11×2 = 22棵树。

5. 学校操场边有一条长50米的小路，每隔5米栽一棵柳树（一端栽），可以栽多少棵柳树？解析：间隔数=50÷5 = 10个，因为一端栽树，棵数 = 间隔数，所以可以栽10棵柳树。

第6讲 植树问题一、知识要点爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？”晶晶一看，随口答题：“27米。

”同学们，晶晶答对了吗？这一类应用题我们通常称为“植树问题”。

解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。

解答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔长＋1；在封闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔长。

另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。

比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”对应起来。

二、精讲精练【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：根据“已经植了9棵”，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），每个间隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8=24（米），具体列式如下：3×（9-1） =3×8=24（米） 答：第一棵和第九棵树相距24米。

练习1：（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有多长？（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条走廊长多少米？【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？【思路导航】根据“在路的两侧共栽了14棵树”这个条件，我们可以先求出每一侧栽了14÷2=7（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之间的间隔是7-1=6（个）。

42米长的大路平均分成6段，每段是42÷6=7（米）。

列式如下：42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米） 答：相邻两棵树之间的距离是7米。

三年级植树问题全植树问题植树问题研究的是在一定长度的线路上等距离地安排若干个点植树时，植树的棵数、株距与线路的总长之间的数量关系。

一般分为线段上的植树问题和环形线路上的植树问题。

线段上的植树问题可以分为三种情形：1.如果植树线路的两端都要植树，那么，植树的棵数等于线路和全长除以株距加一，线路的全长等于株距乘以植树的棵数减一，株距等于线路的全长除以植树的棵数减一。

2.如果植树线路的一端要植树，另一端不要植树，那么，植树的棵数等于线路和全长除以株距，线路的全长等于株距乘以植树的棵数，株距等于线路的全长除以植树的棵数。

3.如果植树路线两端都不要种树，植树的棵数等于线路和全长除以株距减一，线路的全长等于株距乘以植树的棵数加一，株距等于线路的全长除以植树的棵数加一。

而环形线路上的植树问题，线路的全长、植树的棵数、株距之间的数量关系是相同的。

从以上数量关系中可以看出，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量。

例1.在一条路的一边种树，从头到尾一共种了45棵，相邻两棵树之间相距5米，这条路长多少米？根据线段上植树问题的公式，这条路的全长等于相邻两棵树之间的距离乘以植树的棵数减一，即44乘以5等于220米。

例2.在一条长42米的街道两边，每隔6米插一面彩旗（两端不插），一共需要插多少面彩旗？根据线段上植树问题的公式，这条街道需要插的彩旗数等于线路的全长除以彩旗之间的距离，再减去两端不插的1，即（42除以6）减1等于6.例3.在一个湖泊周围筑成周长是3060米的大堤，堤上每隔6米栽柳树1棵，然后在相邻的两棵柳树之间栽桃树2棵，大堤上栽柳树和桃树各多少棵？根据环形线路上植树问题的公式，大堤上栽植物的总数等于线路的全长除以植树之间的距离，再乘以每隔植树之间栽的植物数，即（3060除以6）乘以3等于1530棵柳树和3060棵桃树。

例4.把一根木头锯成4段需要6分钟，如果要锯成13段，需要多少分钟？根据分段问题的公式，锯成13段需要锯的次数是12次，所以需要的时间是12乘以6等于72分钟。

小学三年级数学植树问题详解⑵一端种树一端不种树：段数=棵数⑶两端都不种树：段数=棵数+12.线路封闭。

段数=棵数其他等式关系：总线长=树距段数段数=总线长树距树距=总线长段数例1：同学们在一条路的一旁植树，先植树一棵，以后每隔8米植一棵，问第1棵和第6棵相距多少米分析：此题是不封闭路线上求总线长的问题。

因为两端都植树，因此：段数=棵数-1。

已知树距为8米，总线长=段数树距，即可求解：解：⑴段数：6-1=5(段)⑵总线长：58=40(米)综合算式：8(6-1)=85=40(米)答：第1棵和第6课相距40米。

例2：把一棵树据成段，一共用时30分钟，已知每锯开一处需要用时6分钟，这棵树被锯成了多少段分析：此题是不封闭线路上求段数的问题。

相当于两端都没植树。

所以段数=棵数+1。

棵数指被锯了几处。

解：⑴被锯了几处：306=5(处)⑵段数：5+1=6(段)综合算式：306+1=5+1=6(段)答：这棵树被锯成6段。

例3：在一块操场四边种树，每边种6棵树，四边一共种多少棵树分析一：如果按每边都植树6棵，则四个角上的树重复计算了1次，应从总数之中减去。

解法一：⑴四边共有数(包含重复计算的棵数)：64=24(棵)⑵去除重复的棵数：24-4=20(棵)综合算式：64-4=20(棵)分析二：封闭线路上植树，棵数和段数相等。

解法二：⑴操场每边的段数：6-1=5(段)⑵四边共有的段数：54=20(段)综合算式：(6-1)4=20(段)分析三：先不计算四角上的4棵树，最后再加上。

解法三：⑴四边共有(不含四角上的棵数)：(6-2)4=16(棵)⑵加上四角上的4棵树：16+4=20(棵)综合算式：(6-2)4+4=44+4=16+4=20(棵)答：四边一共种了20棵树。

练习题：在一条长300米的公路的一边安放路灯，每隔50米安放一个，这样需要放置多少个路灯两座楼相距30米，在两座楼之间有一条小路，现在要在路的两旁植树(路的两端都不植树)，每隔5米种一棵，一共需要多少棵树苗木工师傅在一根木条上从头到尾钉钉子，每隔5厘米钉一颗钉子，共用去7颗钉子，这根木条长多少米有一个圆形花坛，周长120米，现在每隔6米栽一株月季，一共可以栽多少株月季。

植树问题☜知识要点本章主要学习在直线上植树的问题，在植树问题中，分为三种不同的类型，但三种不同类型都离不开植树问题基本公式：总距离＝棵距×段数棵距＝总距离÷段数段数＝总距离÷棵距其中三个主要概念：1.总距离：植树路线的全长2.棵距：两棵树之间的距离3.棵数：植树的总棵数三种类型：1.两端都要植树：棵数＝段数＋12.一端植树，另一端不植树：棵数＝段数3.两端都不植树：棵数＝段数－1解决植树问题，应该分析所给条件，归纳出是哪种类型，应用相关的方法给予解答。

☜精选例题杨树，每隔5米种一棵数，如果两端都植树，需要种多少棵杨树？☝思路点拨：两端都植树可以判断是植树问题的第一种类型。

需要求棵数，先求段数。

☝标准答案：100÷5＋1＝21（棵）✌活学巧用1.元宵节给行道树挂灯笼，每隔4米挂一串灯笼，这条路共长100米，需要多少串灯笼？2.国庆节给一座桥的一边插彩旗，每隔2米插一面彩旗，从桥头插桥尾不插，共插了25面彩旗，这座桥共有多少米？3.给花坛边上一条小路一边摆上菊花，每隔2米摆一盆，一端摆，另一端不摆，一共摆了10盆，这条小路有多长？首尾都要种，每隔3米种一棵，共种了84棵松树，这条路共多长？☝思路点拨：这道题目一定要注意，路的两边都要种，那么一边种84÷2＝42（棵）☝标准答案：（42－1）×3＝123（棵）✌活学巧用1.给一条路的两边种上行道树，每隔6米种一棵，共种了94棵（一端种一端不种），这条路有多少米长？2公园里有一条林荫小道，要给这条路的两边的摆上鲜花，计划路的两端都不摆。

每隔4米摆一盆，共摆放了48盆，求这条路多长？3、国庆到了，给一条路的两边插上彩旗（首尾都要插），已知这条路长为96米，每隔4米插一面彩旗，求共需要多少面彩旗？【例3】：某人从1楼到3楼用了30秒，用同样的速度从1楼走到8楼，需要多少秒？☝思路点拨：关于爬楼梯的问题，可以将30秒看作总距离，1楼至3楼共2层，可看作段数，上一层楼的时间为30÷2＝15(秒），这15秒可看作棵距。

第五讲植树问题这两讲我们将要学习一个新的问题——间隔问题．植树问题是间隔问题中重要的一种，像这样间隔数目和端点数目不同的情况我们在日常生活中会遇到很多，这一讲我们就主要来解决这类问题．对于植树问题而言，主要分为两类，第一类是直线上的植树问题，第二类是环线上的植树问题．下面先来讲讲直线上的植树问题．对于一条线段来说，两边的端点是特殊的地方，需要尤其注意．§1 直线上的植树问题例题1（1）马路的一侧．．种树．若每隔5米种一棵树，马路长30米，．．种树，且两端问有几棵树？（2）马路的两．侧．种树，且两端．．种树．若每隔5米种一棵树，共有20棵树，问马路有多长？分析：审清楚题目，两端种树中的间隔数和棵树是什么关系呢？练习1道路的两侧．．也要插上红旗．若每隔6米插一面，马路长24米，问有几面．．插红旗，且两端旗？例题2马路的一侧．．安路灯．（1）一端．．．．．．．．．．若每隔4米安一盏灯，马路长40米，问有．．有路灯，另一端没有几盏灯？（2）两．端．都没有路灯．．．．．．若每隔6米安一盏灯，共有12盏灯，问马路有多长？分析：审清楚题目，一端种树中的间隔数和棵树是什么关系呢？练习2马路的两．侧．种树，且两．端．不．种．．若每隔3米种一棵树，马路长30米，问有几棵树？例题3有如图三条马路．现在要在马路的一侧．．种树，且每条马路的两端．．都．种树．已知北路长40米，东路和西路分别长80米．每隔5米种一棵树，问共种几棵树？分析：试着一条路一条路的求出有几棵树？并且把树画一画？练习3在如图两条马路的一．侧．安路灯，且每条马路的两．端．都没．．有．路灯．若每隔9米安一盏路灯，一共安了20盏路灯．已知北路长81米，问西路长多少米？§2 环线上的植树问题除了一条直线上的间隔问题之外，环形的排列也会存在间隔，先来看一个示意图： 北路西路北路东路西路2端点2间隔3端点3间隔4端点4间隔5端点5间隔从图中不难看出，在环形上间隔数和端点数是相同的．例题4学校有一个圆形水池，（1）水池外的周长为40米．如果绕着水池每隔4米种一棵树，一共要种几棵树？（2）水池内的周长为30米．如果绕着水池内共有10个换水孔，且相邻两个换水孔的距离相等，问相邻的两个换水孔间的距离是多少米？分析：环形植树中，间隔数和棵树之间什么关系？练习4鸟巢外一周共有1000米，绕着鸟巢的一周有灯和树木，（1）如果每两盏灯之间的距离是5米，问鸟巢外一周有几盏灯？（2）如果鸟巢外共有250棵树，且相邻两棵树的距离相等，问相邻两棵树的距离是多少？例题510个男生沿着300米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等．现在，每相邻两个男生之间又加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等．请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两人之间的距离又是多少米？分析：试着求出站好男生后有多少个间隔？每个间隔中加入2个女生后一共有多少人？例题6如下图所示，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为100米、宽为70米．现中点）都要种上树，那么最少要种多少棵树？分析：试着求出每条线上种几棵数？交点处要额外注意，加重了要去掉，少加了记得加上．植树节 “植树节”是一些国家以法律形式规定的以宣传森林效益，并动员群众参加造林为活动内容的节日．按时间长短可分为植树日、植树周或植树月，总称植树节．通过这种活动，激发人们爱林、造林的感情，提高人们对森林功用的认识，促进国土绿化，达到爱林护林和扩大森林资源、改善生态环境的目的．是为了动员全民植树而规定的节日．中国的植树节开始时是为纪念孙中山先生逝世，1979年2月23日，中国第五届全国人大常务委员会第六次会议决定，以3月12日为中国的植树节，以鼓励全国各族人民植树造林，绿化祖国，改善环境，造福子孙后代． 课堂内外 50 中点 中点35作业1.一条长500米的路的两边都要种树，并且两头都要种，如果每隔5米种一棵树，请问一共要种多少棵树？2.一条路的一边种树，并且两头都不种树，如果每隔12米种一棵树，（1）共种了6棵，请问马路长多少米？（2）若马路长120米，则种了多少棵树？3.有如图三条马路，长度都是100米．现在要在马路的一侧种树，且每条马路的两端都种树．每隔5米种一棵树，问共种几棵树？4.用蜡烛摆成一个周长60厘米圆形的造型，（1）若蜡烛每隔4厘米摆一个，一共需要多少根蜡烛？（2）如果共有20根蜡烛，且相邻两个蜡烛间隔相同，问相邻的两根蜡烛间的距离是多少厘米？5.同学12人围着长480米的操场玩游戏，每两名同学间距离相等．如果在每两名同学间插入3名老师，使每两人间距离相等．请问：有多少名老师？每两人间距离是多少米？。