【全国重点校】高二上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含答案 (1)

数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线221168x y -=的虚轴长是（ ）A ．8B ．C ．．2 2.在公差为d 的等差数列{}n a 中，“1d >”是“是递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ）A ．50B ．60C ．30D ．404.已知椭圆22:1169x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线交椭圆C 于P Q 、两点，若1F P +110FQ =，则PQ 等于（ ） A ．8 B ．6 C.4 D ．25.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（ ）A ．3B ．2.5 C.3.5 D ．2.756.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（ ） A ．5 B ．6 C.7 D ．87.已知椭圆()222:10525x y C b b +=<<的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（ ）A ．221254x y +=B ．221259x y += C.2212516x y += D ．22125x y +=8.已知点()00,A x y 是抛物线()220y px p =>上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O 坐标原点，若32pAF =，AO = ） A ．B ．3x =- C.2x =- D ．1x =-9.某班m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m 名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则等于（ ）A ．45B ．48 C.50 D ．5510.已知定点()3,0M -，()2,0N ，如果动点P 满足2PM PN =，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ．1009π B ．1429π C.103πD ．9π11.已知命题p ：直线20x y +=与直线20x y +-=之间的距离不大于1，命题q ：椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∧12.如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于点,A B ，且(A ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ）A ．1 BD ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0m >，0n >，向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直，则mn 的最大值为 ．14.若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．15.在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上任取一个数x ，则函数()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值不小于0的概率为 ．16.已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρθ=.（1）写出直线的普通方程及圆C 的直角坐标方程； （2）点P 是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.18. （本小题满分12分）已知p ：方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根；q ：方程221321x ym m-=+-表示焦点在轴上的双曲线.（1）若为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.19. （本小题满分12分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x （百元）与日销售量（件）之间有如下关系：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. （本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示.（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x 及乙组同学投篮命中次数的方差；（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率. 21. （本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，CB CD =，AD DB =，,P Q 分别在线段,AB AC 上，3AP PB =，2AQ QC =，M 是BD 的中点.（1）证明：//DQ 平面CPM ； （2）若二面角C AB D --的大小为3π，求tan BDC ∠.22. （本小题满分12分）已知()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，1225F F =，点P 在椭圆上，21tan 2PF F ∠=，且的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）点M 是椭圆上任意一点，12A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线12MA MA ，与直线x =分别交于,E F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.试卷答案一、选择题1.B 因为28b =，所以虚轴长2b =.2.A 若1d >，则n N *∀∈，110n n a a d +-=>>，所以，{}n a 是递增数列；若{}n a 是递增数列，则n N *∀∈，10n n a a d +-=>，推不出1d >3.D 由于8002040÷=，即分段的间隔40k =.4.B 因为直线PQ 过椭圆的右焦点2F ，由椭圆的定义，在1F PQ ∆中，11416F P FQ PQ a ++==.又1110F P FQ +=，所以6PQ =. 5.A 设这100个成绩的平均数记为x ，则120210*********3100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.6.B 男员工应抽取的人数为12072156120-⨯=. 7.C 设焦距为2c ，则有222552b c c b ⎧-=⎨+=⎩，解得216b =，所以椭圆22:12516x y C +=.8.D 因为0322p px +=，所以0x p =，0y =.又)2212p +=，所以2p =，准线方程为1x =-.9.D ()10.0150.025100.6P =-+⨯=，由0.633m =，得55m =.10.A 设(),P x y ，则由2PM PN =得()()2222342x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得223322x y x +-70+=，即221110039x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，所以所求图形的面积1009S π=. 11.B 对于命题p ，将直线l 平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为20x y m ++=，联立方程组224120x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得222210x mx m ++-=.由0∆=得，所以m =，椭圆上的点到直线l最近距离为直线20x y +-=与l 的距离d =1>，所以命题p 为假命题，于是p ⌝为真命题.对于命题q ，椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点()5,0±，故q 为真命题.从而()p q ⌝∧为真命题. 12.由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又2ABF ∆为等边三角形，所以121AF AF BF -=2a =，所以24BF =.在12AF F ∆中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，1260F AF ∠=︒，由余弦定理得，所以227c a =，22226b c a a =-=，所以双曲线方程为222216x y a a-=，又()1,3A 在双曲线上，所以，解得212a =，即22a =.所以122124sin1202BF F S a a ∆=⨯⨯⨯︒==. 二、填空题13.9 因为，所以，又，所以.14.7 第一次循环，0S =，2n =；第二次循环，1S =，4n =；第三次循环，3S =，6n =；第四次循环，5S =，8n =；第五次循环，7S =.因为8>6，所以输出S 的值为7. 15.611 当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，272,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[]20,6x ππ-∈，即7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()0f x ≥，则所求概率为76121221134ππππ-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 16.56如图，因为MA OA =，所以，点A 在线段OM 的中垂线上，又()0,10M ，所以可设(),5A x . 由tan 305x︒=，得x =，所以A ⎫⎪⎭的坐标代入方程22x px =，得56p =.三、解答题17.解：（1）由3,.x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l0y --=，由ρθ=得2sin ρθ=，22x y +=，即圆C的直角坐标方程为(223x y +-=.（2）()3P t +，(C ，PC ==，0t =∴时PC 最小，此时()3,0P .18.解：（1）由已知方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线，则()244202020m m m m ⎧∆=-+>⎪->⎨⎪+>⎩解得21m -<<-，即:21p m -<<-. 因p 或q 为真，所以p q 、至少有一个为真. 又且为假，所以至少有一个为假.因此，两命题应一真一假，当为真，为假时，213m m -<<-⎧⎨≥-⎩，解得21m -<<-；当为假，为真时，213m m m ≤≥-⎧⎨<-⎩或，解得.综上，21m -<<-或.19.解：（1）因为7x =，1089616.85y ++++==，所以，122121857 6.82255549ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑，()6.82720.8a y bx =-=--⨯=，于是得到y 关于x 的回归直线方程220.8y x =-+.（2）销售价为时的利润为()()24220.8228.883.2x x x x ω=--+=-+-，当28.8722x =≈⨯时，日利润最大. 20.（1）解：依题意得：82910789112155x +⨯+++++⨯=-，解得6x =，41=5x 乙，22222141414141682910 1.7655555s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为123,,A A A ，他们的命中次数分别为9，8，7. 乙组投篮命中次数低于10次的同学为1234,,,B B B B ，他们的命中次数分别为6，8，8，9. 依题意，不同的选取方法有：()()()()()()()()()()()()111213142122232431323334,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 共12种.设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有()()()222334,,,,,A B A B A B 共3种.()31124P C ==∴. 21.（1）证明：取AB 的中点E ，连接ED EQ 、，则2AE AQEP QC==，所以//EQ PC . 又EQ ⊄平面CPM ，所以//EQ 平面CPM . 又PM 是BDE ∆的中位线，所以//DE PM ， 从而//DE 平面CPM . 又DEEQ E =，所以平面//DEQ 平面CPM .因为DQ ⊂平面DEQ ，所以//DQ 平面.（2）解：法1：由AD ⊥平面BCD 知，AD CM ⊥， 由BC CD =，BM MD =，知BD CM ⊥， 故CM ⊥平面ABD .由（1）知//DE PM ，面DE AB ⊥，故PM AB ⊥. 所以CPM ∠是二面角的平面角，即3CPM π∠=.设PM a =，则CM =，又易知在Rt ABD ∆中，4B π∠=，可知DM BM ==，在Rt CMD ∆中，tan MC MDC MD ∠===法2：以M 为坐标原点，,,MC MD ME 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标.设MC a =，MD b =，则(),0,0C a ，()0,,0B b -，()0,,2A b b ，则，()0,2,2BA b b =，设()1,,n x y z =是平面ABC 的一个法向量，则110,0.n BC n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,220.ax by by bz +=⎧⎨+=⎩取()1,,n b a a =-， 不难得到平面ABD 的一个法向量为()21,0,0n =，所以121cos ,2nn <>==，所以a b =， 在中，6tan 2MC a MDC MD b ∠===.22.解：（1）因为21tan 2PF F ∠=，所以21sin PF F ∠=，21cos PF F ∠=. 由题意得((2222122125542522PF PF PF PF ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+-⨯⎪⎩，解得1242PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 从而1224263a PF PF a =+=+=⇒=，结合2c =，得24b =，故椭圆的方程为22194x y +=. （2）由（1）得()13,0A -，()23,0A ，设()00,M x y ，则直线1MA 的方程为()0033y y x x =++，它与直线x =的交点的坐标为0033y E x ⎫⎫+⎪⎪⎪⎪+⎭⎭， 直线2MA 的方程为()0033y y x x =--，它与直线的交点的坐标为003535,3232y F x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎭， 再设以EF 为直径的圆交x 轴于点(),0Q m ，则QE QF ⊥，从而1QE QF k k =-，即033y x ⎫+00353321352y x m ⎛⎫- -⎝⎭=--，即，解得3512m =±. 故以为直径的圆交x 轴于定点，该定点的坐标为351,02⎛⎫+ ⎪ ⎪⎭或351,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎭.。

2021-2022年高二上学期期末考试数学（理）试题Word版含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、双曲线的渐近线的方程为（）A． B． C． D．2、下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3、下列命题中，假命题是（）A． B．C． D．4、不等式的解集是（）A．或 B．C．或 D．R5、等差数列的前n项和是，若，则的值为（）A．55 B．65 C．60 D．706、如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则等于（）A． B．C． D．7、在中，若，那么等于（）A． B． C． D．8、一元二次方程有一个正跟和一个负根的充分不必要条件是（）A． B． C． D．9、已知向量(22,),(2,3)m y x n x y y =-=+，且的夹角为钝角，则在平面上，点所在的区域是（ ） 10、直三棱柱中，190,BAC AB AA AC ∠===，则异面直线与所成的角为（ ） A ． B ． C ． D ．11、某同学要做一个三角形，要求三条高的程度分别为，则（ ） A ．不能做出满足要求的三角形 B ．能作出一个锐角三角形 C ．能作出一个直角三角形 D ．能作出一个钝角三角形12、已知点00(1,0),(1,0),(,)A B P x y -是直线上任意一点，以为焦点的椭圆过，记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是（ ）A ．与一一对应B ．函数无最小值，有最大值C ．函数是增函数D ．函数有最小值，无最大值第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上。

. 13、已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且过点，则抛物线的方程为 14、如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座 灯塔P 的南偏西距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度为 海里/小时15、设定义如下面数表，满足，且对任意自然数均有，则的值为1 2 3 4 5 14135216、已知满足约束条件020232x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩，如果是取得最大值时的最优解，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）已知命题方程所表示的图形是焦点在轴上的双曲线；命题方程无实根，又为真，为真，求实数的取值范围。

吉林油田高级中学第一学期期末考试高二数学试卷(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设命题:0p x ∀>，||x x =，则p ⌝为( )A ．0x ∀>，||x x ≠B ．00x ∃≤，00||x x =C ．0x ∀≤，||x x = D ．00x ∃>，00||x x ≠ 2．已知A (－2,0,3)，B (－1,2,1)是空间直角坐标系中的两点，则|AB |=( ) A ．3 B 3 C ．9 D ．33．已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A ．32 B ．2 C ．32 D ．2334．将正弦曲线sin y x =作如下变换:23X xY y =⎧⎨=⎩，得到的曲线的方程为( )A ．2sin3X Y = B ．2sin 31X Y = C ．X Y 2sin 31= D ．X Y 2sin 3=5．已知向量(2,4,)AB x =，平面α的一个法向量(1,,3)n y =，若α⊥，则( ) A ．3420x y ++= B ．4320x y ++= C ．6x =，2y = D ．2x =，6y = 6．已知双曲线C:x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，F 1Q ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =QP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，O 为坐标原点，若|PF 1|=10，则|OQ|=( ) A ．10 B ．9 C ．1 D ．1或97．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中(正四棱柱是指底面为正方形，侧棱和底面垂直的四棱柱)，AA 1＝2AB ，E 是AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A ．35 B ．－31010 C ．1010 D ．310108．设F 为抛物线24y x =的焦点，该抛物线上三点A 、B 、C 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y .若||||||9FA FB FC ++=，则123x x x ++=( )A ．9B ．6C ．4D ．3 9．“x 2−x ≤0”是“x ≤1”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．若椭圆2213616x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．36B ．16C ．20D ．2411．在三棱锥P －ABC 中，P A =AC =BC ，P A ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，O 为PB 的中点，则直线CO 与平面P AC 所成角的余弦值为( )A B C D ．1212．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，AB 是经过抛物线焦点F 的弦，M 是线段AB 的中点，过A ，B ，M 作抛物线的准线l 的垂线AC ，BD ，MN ，垂足分别是C ，D ，N ，其中MN 交抛物线于点Q .则下列说法中不正确的是( )A ．1||||2MN AB = B ．FN AB ⊥ C ．Q 是线段MN 的一个三等分点 D ．QFM QMF ∠=∠ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知F 为椭圆C ：221164x y +=的左焦点，过F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，则|AB |=____． 14．给下列三个结论：①命题“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题为假；②命题“若2am b <2m ，则a b <”的逆命题为真；③命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”；④命题“若直线a //直线b ，直线b //直线c ，则直线a //直线c”是真命题.其中正确的结论序号是______（填上所有正确结论的序号）．15．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点，且x 1+x 2=5，则这样的直线有______条．16．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1=2，11120A AD A AB ∠=∠=︒，则对角线BD 1的长度为__________.三、解答题：本大题共6道题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．己知圆C 的圆心的坐标为(4,0),C -半径为4，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221(t 为参数) (1)求圆C 的极坐标方程，直线l 的普通方程； (2)若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.18．(本小题满分12分)求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线x y 3±=为渐近线，焦点是(－4，0)，(4，0)的双曲线；(2)离心率为35，短轴长为8的椭圆.19．(本小题满分12分)已知命题:p x R ∀∈，230ax x -+>，命题:[1,2]q x ∃∈，x a 21≥. (1)若p 为真命题，求a 的取值范围；(2)若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求a 的取值范围.20．(本小题满分12分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 、F 分别为棱AB 、AA 1的中点. (1)求证：A 1C ⊥平面BC 1D ；(2)求：EF 与平面BC 1D 所成角的正弦值.21．(本小题满分12分)已知动圆C 过定点F (2，0)，且与直线x =－2相切，圆心C 的轨迹为E ， (1)求圆心C 的轨迹E 的方程；(2)若直线l 交E 于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点坐标为(1，1)，求直线l 的方程．22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点. (1)证明：P A //平面BDE ；(2)若PD =DC ，求二面角B －DE －C 的余弦值.四、选做题：23．(本小题满分10分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，经过F 2的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且△F 1AB 的周长为8． (1)则椭圆C 的方程为__________；(2)斜率为2的直线m 与椭圆C 交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，且OP ⊥OQ ，则直线m 的方程为_________；(3)若在x 轴上存在一点E ，使得过点E 的任一直线与椭圆两个交点M 、N ，都有2211||||EM EN +为定值，则此定值为___________.高二数学试卷(理科)参考答案一、选择题：DADAC BDBAB BC二、填空题：13. 2；14. ①④；15. 2；16. 2 三、解答题17．【解】（1）圆C 的圆心的坐标为()4,0,C-半径为4，得到圆的一般方程为：()22416,x y ++=化为极坐标得到8cos 0ρθ+=.直线l 的参数方程为21:2x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得到直线的斜率为1，过点（1，0），由点斜式得到方程为：1y x =-.（2）圆心为（-4，0），圆心到直线的距离为d=5 2.22=半径为4，由勾股定理得到弦长为2252414.2⎛⎫-= ⎪⎝⎭18．【答案】（1）x 24－y 212＝1；（2）2212516x y +=或2212516y x +=.19．【详解】(1)当0a =时，30x -+>不恒成立，不符合题意；当0a ≠时，01120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得112a >. 综上所述：112a >. (2)[]1,2x ∃∈，21xa ⋅≥，则14a ≥. 因为p q ∨为真命题，且q q ∧为假命题，所以p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假，有11214a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即11124a <<；当p 假q 真，有11214a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，则a 无解.综上所述，11124a <<. 20．解：建立坐标系如图，则()2,0,0A 、()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，()12,2,2B ，)2,2,0(1C ，()10,0,2D ，()2,1,0E ，F (2,0,1)，)1,1,0(-=EF ，)0,2,2(=DB ，)2,2,0(1=DC ,()12,2,2A C =--．(1)∵01=•DB C A ，011=•DC C A ， ∴D DC DB DC C A DB C A =⊥⊥1111,, ∴A 1C ⊥平面BC 1D(2)由(1)知，1A C 为平面BC 1D 的法向量， 设EF与平面BC 1D所成的角为θ．∴sin θ=|||||11C A EF =3621．解：（1）由题设知，点C 到点F 的距离等于它到直线x =-2的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点x =-2为基准线的抛物线，所以所求E 的轨迹方程为y 2=8x ． （2）由题意已知，直线l 的斜率显然存在，设直线l 的斜率为k ，11P x y （，）， 22Q x y （，），则有22112288y x y x ==，，两式作差得2212128y y x x （）即得128k y y =+，因为线段PQ 的中点的坐标为（1，1），所以k =4， 则直线l 的方程为y -1=4（x -1），即4x-y -3=0，22．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AD DC =. ∵PD ⊥平面ABCD .建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.设PD DC a ==，则()0,0,0D、(),0,0A a 、()0,0,P a 、(),,0B a a 、0,,22a aE ⎛⎫⎪⎝⎭、()0,,0C a .∴(),0,AP a a =-、(),,0DB a a =、0,,22a a DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭、()0,,0DC a =. （1）设平面BDE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则有110,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110,022ax ay a ay z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩.∴1111,1,1x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()11,1,1n =-.100AP n a a ⋅=-++=，∴1AP n ⊥， 又∵AP ⊄平面BDE ，∴AP 平面BDE .（2）设平面CDE 的一个法向量为()21,0,0n =.12,3cosn n ==⨯∴二面角B DE C --3选做题：23．【答案】（1）2214x y +=（2）220x y -±=（3）5【详解】（1）由已知，1122c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c === ∴椭圆的方程为2214x y +=。

2021年高二上学期期末考试数学（理）试卷 Word版含答案一、选择题（每小题5分，共40分）1、设为虚数单位，则A.1B.C.D.2、已知等差数列，又为等比数列，求该等差数列的公差A. B.0 C.2 D.13、已知条件，条件，则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知点在不等式组表示的平面区域内，则的最大值为A.6B.4C.2D.15、已知双曲线的一条渐近线方程为，它的一个焦点坐标为，求双曲线的方程A. B.C. D.6、某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其左视图的面积为A.6B.C.3D.7、抛物线上一动点到直线距离的最小值为A. B. C. D.8、如图，在正方体中，分别为棱上的点，则下列判断中正确的个数有（）①平面②在侧面上的正投影是面积为定值的三角形③在平面内总存在与平面平行的直线④平面内与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，而与点的位置无关A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每小题5分，共30分）9、已知命题，则为：10、定积分11、在中，若，则边12、已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程为13、若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则14、对于,将表示为，当时，，当时，或.记为上述表示中为0的个数（例如：,,所以）,则（1）,（2）(1)(2)(2048)__________+++=I I I三、解答题（共80分）15、在数列中，，求的值，并由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明16、已知函数（1）求函数在处的切线方程（2）写出函数的单调增区间和最值17、在四棱锥中，，，,，平面平面（1）求证：平面（2）求二面角的余弦值（3）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值18、已知函数（1）当时，求函数的单调区间（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围19、已知点，为一个动点，且直线、的斜率之积为（1）求动点的轨迹的方程（2）设,过点的直线与交于两点，的面积记为，对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值20、已知数列满足，其中（1）若，求数列的通项公式（2）若，且①记，求证：数列为等差数列②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件民大附中xx高二理科第一学期期末考试答案（理科）一、选择题CDAA CCAB二、填空题9. 10.11.1 12.13. 14. 2，9228注：14题第二问为差比数列求和，,,,……所以1019+++=⋅+⋅+⋅++⋅+=(1)(2)(2048)021222102119228I I I-三、解答题15.；猜想；数学归纳法易证；16.（1）切线方程：（2）单调增区间，单调减区间，最小值为1，无最大值17.（1）因为,所以，又因为平面平面，为其交线，所以平面，又因为，所以两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，B C D P,(4,0,0),(2,22,0),(0,22,0),(0,0,4)所以,所以,从而又因为平面平面所以又因为与相交所以平面（2）（3）18.（1）的定义域为，若，，所以在上单调递减，在上单调递增（2）①若，在上单调增加；②若，在上单调增加，在上单调减少；③若，在上单调增加，在上单调减少；综上，的取值范围为19. （1）（2）轨迹方程：设，①若直线斜率不存在，则,,，此时②若直线斜率不存在，设直线，并不妨假，此时联立直线与轨迹的方程可知：，由于直线恒过点，且在椭圆内部，所以恒成立；由韦达定理可得，；（*）的面积；12121212tan tan )22tan tan()()1tan tan )1(2)(2)y y MQP NQP x x MQN MQP NQP y y MQP NQP x x -+∠+∠--∠=∠+∠==--∠⋅∠--- 化简得1222212123tan (2)()(1)(4)kx kx MQN k x x k x x k -∠=-+++++ 于是2221212(2)()(1)(4)tan 2S k x x k x x k MQN λ-+++++≥=∠，将（*）式代入得，所以 综上可知，的最大值为20.（1）由累加法可知（2）①123456789111,2,2,1,,,1,2,222b b b b b b b b b =========， 可知：61646263656611,2,2k k k k k k b b b b b b ++++++======，其中 51656166(1)064636261661()7n n n n n i n i i n n n n n n c c a a a a b b b b b b ++-++-=++++--=-=-=+++++=∑，其中 所以，所以为等差数列②由①可知，，，，，要使得中任何一项不重复出现无数次，只要不为常数，不为常数……，不为常数，即39948 9C0C 鰌39502 9A4E 驎RU 22897 5971 奱YuC21642 548A 咊30849 7881 碁,27446 6B36 欶Yi。

2021年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含答案高二数学 xx.1（理科）试卷满分：150分考试时间：120分钟题号一二三本卷总分17181922122分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．圆的半径为( )A. B. C. D.2．双曲线的实轴长为( )A. B. C. D.3．若，，且，则( )A. B.C. D.4．命题“,”的否定为( )A. ，B. ，C. ，D. ，5．“”是“方程表示圆”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6．关于直线以及平面,下列命题中正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，且，则D. 若，，则7．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，则( )A. B. C. D.8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（ ） A. B. C.D.9．已知平面内两个定点，过动点作直线的垂线，垂足为.若 ，则动点的轨迹是（ ） A. 圆B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线10. 已知正方体，点，，分别 是线段，和上的动点，观察直线与 ，与．给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 已知抛物线的准线为，则其标准方程为_______. 12. 命题“若，则”的否命题是：__________________. 13. 双曲线的离心率为_______；渐近线方程为_______.14. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.15. 如图，长方体中，是边长为的正方形，与平面所成的角为， 则棱的长为_______；二面角的 大小为_______.16. 已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点.给出下列结论：F D ABCA 1B 1C 1D 1EGDABCA 1B 1C 1D 1① 存在点，使得为等边三角形； ② ②不存在点，使得为等边三角形； ③存在点，使得；④不存在点，使得. 其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：.18.（本小题满分13分）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.19.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱中，，，是中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.ABCDNPMA 1B 1C 120.（本小题满分14分）如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．21.（本小题满分13分）已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.（Ⅰ）若线段中点的横坐标等于，求直线的斜率； （Ⅱ）设点关于轴的对称点为，求证：直线过定点.ABEC DP·22.（本小题满分14分）已知为椭圆上的三个点，为坐标原点.（Ⅰ）若所在的直线方程为，求的长；（Ⅱ）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.北京市西城区xx — xx学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准xx.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.C3.A4.D5.B6.D7.C8.C9.D 10. B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 12. 若，则. 13. ，14. 15.16. ①④注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分；16题，仅选出①或④得3分；错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.17.证明：（Ⅰ）取中点，连结.因为是中点，所以 . ………………2分又是中点，,所以，四边形是平行四边形. ………4分所以 . ………………5分因为平面，平面，AB CDNPMQ所以平面. ………………7分（Ⅱ）因为平面,所以 . ………………8分又是矩形，所以 . ………………9分所以平面, ………………10分所以 . ………………11分又 ,所以 . ………………13分18.解：（Ⅰ）设圆的圆心坐标为，依题意，有，………………2分即，解得，………………4分所以圆的方程为. ………………6分（Ⅱ）依题意，圆的圆心到直线的距离为，………………8分所以直线符合题意.………………9分另，设直线方程为，即，则，………………11分解得，………………12分所以直线的方程为，即. ………………13分综上，直线的方程为或.19.（Ⅰ）证明:因为是直三棱柱，又，即. ………………2分如图所示，建立空间直角坐标系.,,,，所以，，. ………………4分又因为，，………………6分所以，，平面. ………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面的法向量，………………9分，………………10分则 . ………………12分设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………13分20.（Ⅰ）证明：取中点，连结，………………1分因为△是正三角形，所以.因为四边形是直角梯形，，，所以四边形是平行四边形，，又，所以 .所以 . ………………4分（Ⅱ）解：因为平面平面，，所以平面，所以. ………………5分如图所示，以为原点建立空间直角坐标系.则，，，，.所以 ,，………………6分设平面的法向量为，则，………………7分令，则,.所以. ………………8分同理求得平面的法向量为，………………9分设平面与平面所成的锐二面角为，则.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. ………………10分（Ⅲ）解：设，因为，所以，,.依题意即………………11分解得，. ………………12分符合点在三角形内的条件.………………13分所以，存在点，使平面，此时.…………14分21.解：（Ⅰ）设过点的直线方程为，由得. ………………2分因为，且，所以，. ………………3分设，，则，. ………………5分因为线段中点的横坐标等于，所以，………………6分解得，符合题意.………………7分（Ⅱ）依题意，直线，………………8分又，，所以，………………9分………………10分因为，且同号，所以，………………11分所以，………………12分所以，直线恒过定点. ………………13分22.解：（Ⅰ）由得，解得或，………………2分所以两点的坐标为和，………………4分所以. ………………5分（Ⅱ）①若是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，因为，在线段上，所以，求得，……6分所以的面积等于. ………………7分②若B不是椭圆的左、右顶点，设，，由得，………………8分，，所以，的中点的坐标为，………………9分所以，代入椭圆方程，化简得. ……………10分计算…………11分. ………………12分因为点到的距离. ………………13分所以，的面积.综上，面积为常数. ………………14分B21046 5236 制7 426935 6937 椷E 24341 5F15 引(R 29168 71F0 燰 28275 6E73 湳。

高二上学）期末统测数学（理科）考生注意：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第#卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容:人教A 版必修1,必修3占15%,必修5占30%,选修2—1占55%.第"卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1.命题“若，则I a | = | # | ”的逆命题为 A .若 a 2 /b 2，则 \ a\ #\ b\ B.若 a 2##，则 I a " # " b" 0 若 I a | = | b |，则 a 2/b 21 若 I a \ # \ b \，则 a 2#b 22,若集合 \ — 1V 2—%%1%，&={0,1,2,3%,则 A&B /A . {1,2%B . {2,3%0 {0,1%1 {1,2,3%3, 某大学随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据 T ----------------1 7 3的茎叶图如图所示，则这20个班有网购经历的人数的众数为2 7 4 4 4 3。

3 7 5 5 5 5 2 0A. 24B. 37 4 8 8 4 3 00 481 354, 已知a >3,则a —33a—3%最小值为5, 在三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中,若AB =!,A'=",A（/C ,则A. !十"一c B . ―!―b +c C , —a +b —c 1!—b —c6, 执行如图的程序框图.若输入A = 3,则输出的Z =A3 B4 05A . § B. 10214167,已知函数y（%）/ log2（%+1）+ 3%+*的零点在区间（0,1］上，则*的取值范围为A , （— 7, —4）*（0,十7）B, （— 4,0）0（— 7, —4]*（0,十7） 1 [ — 4,0）9.已知点F是抛物线+ =的焦点，点$(2,+#)&(!，+!)分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若$-1/10测/ABF的面积为A. 14B. 30C. 42D. 9010.正三棱锥A'PBC的侧棱两两垂直,0,E分别为棱PA,BC的中点，则异面直线PC与DE 所成角的余弦值为A槡3 只槡槡p /槡p.槡(.33.11.在直角坐标系％Q y中,-是椭圆C：号十#!=1 (〉#〉0)的左焦点,A, B分别为左、右顶点, 过点-作％轴的垂线交椭圆C P P 3两点,连接PB交+轴于点E,连接AE交PQ于点4，#4是线段P-的中点,则椭圆C的离心率为; ) 10 4 12A.12.对于给定的正整数5，设集合X={1,2,3，…,n}, AOX,且A#1 ,记I(.A)为集合A中的最大元素,当A取遍X的所有非空子集时,对应的所有K.A)的和记为S(n),则8(100)的值为A. 100X2100+1B. 100X299+1C 99X2" + 1 D. 99 X2100+1第#卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设命题.：对于任意的［0,2$) , | si; % |%1 ,则3 .为▲.14.一袋子中装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中45个红球,从中摸出一个球,摸出白球的概率为0. 23，则摸出黑球的概率为15.在/ABC中,内角A, B, C所对的边分别为",b, c.若c =4槡b, c os B /槡槡cos C?a /槡3 ,则S/ABC / ▲.16.已知双曲线C：%2-b2/ 1(a>0 , b〉0)的左、右焦点分别为-i, -2 ,过-2的直线交C的右支ab于A , B两点,A-,丄AB, 4 "A- | =3 | AB | ,则C的离心率为▲,三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1。

第一学期期末考试试题高二数学（理科）命题：卢会玉 审核：甄荣本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；满分150分，考试时间120分钟.第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ） A ．25 B ．5 C ．215D ．10 2．在等差数列{}n a 中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6=（ ） A. 40 B. 42 C. 43 D. 453．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．7 4．下列命题为真命题的是( )A ．若ac bc >，则a b >B ．若22a b >，则a b >C ．若11a b>，则a b < D ．若a b <，则a b < 5．在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，PA ⊥平面ABC ，PA =8，则P 到BC 的距离是（ ）A.5 B.45 C.35 D.256．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．37．三角形ABC 周长等于20，面积等于 60,310=∠A ，则a 为 （ ） A ． 5 B ．7 C ． 6 D ．88．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则 BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ） A ．1715 B ．21C ．178D ．239.曲线2sin y x =在点（0,0）处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ． 12-10.已知1)6()(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为（ ） A. 21>-<a a 或 B. 63<<-a C.21<<-a D.63>-<a a 或 11.已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB =4，AD =3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ）A ．85B ．85C ．52D ．5012．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定第II 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是________．14.已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．15．设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a =________．16．已知0,0,2a b a b >>+=，则14a b+的最小值是________．三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．(本小题满分10分)在ABC ∆中，5BC =，3AC =，sin 2sin C A =.图（I ）求AB 长；（II ）求sin(2)4A π-的值．18．（本小题满分12分）设命题p ：（4x -3）2≤1;命题q :x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令n b =211n a -（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点. （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角的余弦值； （Ⅲ）求二面角M AC B --的正弦值.21. （本小题满分12分）设椭圆()222210x y a b a b+=>>过M ()2,2、N()6,1两点，O 为坐标原点.（I ）求椭圆E 的方程；（II ）若直线()40y kx k =+>与圆2283x y +=相切，并且与椭圆E 相交于两点A 、B ，求证：OA OB ⊥.22.（本小题满分12分）函数21()ln ,()(0)2f x xg x ax bx a ==+≠.（I ）若2,()()()a h x f x g x =-=-时函数在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； （II ）若1=,2=b a ，若函数2)(2)(x x f x g k --=在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数k 的取值范围.高二理科数学试卷参考答案一、选择题（共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BBDDBCBAADBA二、填空题（共20分） 题号 13 14 15 16答案 y=x-2[-5,7]1592三、解答题（共70分） 17.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：在△ABC 中，根据正弦定理，ABCC AB sin sin = 于是AB =522sin sin ==BC BC A C…………………………………………………………4分（Ⅱ）解：在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A =2222525AB AC BC AB AC +-=于是 sin A =55cos 12=-A …………………………………………………………6分从而sin2A =2sin A cos A =54,cos2A =cos 2A -sin 2A =53 所以 sin(2A -4π)=sin2A cos 4π-cos2A sin 4π=102……………………………………10分18.（本小题满分12分）设A ＝{x|(4x －3)2≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}， 易知A ＝112xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．………………………………………6分 由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，得p 是q 的充分不必要条件，即A 真包含于B ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.…………………………………………………………………………10分 故所求实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………………………………………………12分19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由于3577,26a a a =+=， 所以1127,21026a d a d +=+=， 解得13, 2.a d ==………………………………………………………………………2分由于1(1),n a a n d =+-所以2 1.n a n =+ ………………………………………………………………………4分由于1()2n n n a a S +=, 所以(2).n S n n =+……………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为21n a n =+所以214(1)n a n n -=+因此1111().4(1)41n b n n n n ==-++…………………………………………………9分故12n n T b b b =+++111111(1)42231n n =-+-++-+ 11(1)41n =-+4(1)nn =+所以数列{}n b 的前n项和.4(1)n nT n =+………………………………………………12分20.（本小题满分12分）以A 为坐标原点,AD 长为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，则各点坐标为111111(0,0,0),(0,1,0),(,,0),(,0,0),(0,0,),(0,,)222224A B C D P M .（Ⅰ）证明：因11(0,0,),(0,,0),0,.22AP DC AP DC AP DC ==⋅=⊥故所以由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 内，故面PAD ⊥面PCD .………………………………………………4分（Ⅱ）解：因111(,,0),(0,1,),222AC PB ==-251||,||,,22210cos ,.5||||AC PB AC PB AC PB AC PB AC PB ==⋅=⋅<>==⋅故所以……………………………………………7分 所以，AC 与PC 所成角的余弦值为105…………………………………………………8分（Ⅲ）解：易知平面ACB 的一个法向量1(0,0,),2AP =…………………………………9分设平面MAC 的一个法向量(,,),n x y z =则0n AM n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨取(1,1,2),n =-………10分设二面角M AC B --的平面角为则θ， 则6cos .3θ=所以23sin 1cos .3θθ=-= …………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解:（1）因为椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点,所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩ …………………………………………3分 椭圆E 的方程为22184x y += …………………………………………4分（2）设()11y x A ()22y x B ，由题意得：5,362142==+=k k d ……………6分联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1484522y x x y 024516112=++x x 化简得，有1124,511162121=-=+x x x x ………………………………………………………9分()()16)(5464545212121212121+++=+++=+x x x x x x x x y y x x =0……11分OB OA ⊥∴…………………………………………………………………………… 12分22.（本小题满分12分） （Ⅰ）2()ln ,()(0,)h x x x bx h x =+-+∞且函数定义域为，则：1()20(0,)h x x b x x'=+-≥∈+∞对恒成立，………………………………… 2分112,0,222b x x x x x∴≤+>∴+≥，（当且仅当1x x=时，即22x =时，取等号），22b ∴≤……………………………………………………………………… 5分（II ）函数k 2()()2()k x g x f x x =--在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程 k =2ln x x a -=，在[1，3]上恰有两个相异实根. 令2()2ln ,()1,x x x x x ϕϕ'=-=-则 ……………………………………………… 7分[)(](]min 1,2,()0,2,3,()0,()[1,2]2,3.()(2)22ln 2.x x x x x x ϕϕϕϕϕ''∈<∈>==-当时当时在上是单调递减函数,在上是单调递增函数故 ……………………………………………9分(1)1,(3)32ln3,(1)(3),ϕϕϕϕϕϕ==->∴≤又只需(2)<a (3),只需()()23k ϕϕ<≤…………………………………………………………………………11分故22ln 32ln3.x a -<≤- ……………………………………………………12分。

高二期末数学（理）试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．02,2>-+∈∀x x R x ； 10．11 （1227,112a a a +==）； 11．0.3 （ 频率/组距0.001=，组距300=，频率0.0013000.3=⨯=）；12．221124x y -=； 13．P Ax By Cz D d α-+++=； 14．(2,0)(2,)b ∈-+∞三、解答题（本大题共6题，共80分）15．（本题12分）解：（1）设事件“0,,x y x y Z +≥∈”为A,x y Z ∈，[]0,2x ∈，即0,1,2x =；[]1,1y ∈-，即1,0,1y =-则基本事件如右表…………………3分基本事件总和9n =……………4分其中满足“0x y +≥”的基本事件8n = 8()9m P A n == 故,x y Z ∈，求0x y +≥的概率为89……6分 （2）设事件“0,,x y x y R +≥∈”为B[]0,2x ∈，[]1,1y ∈-基本事件如右图四边形ABCD 区域…………8分 224ABCD S =⨯=事件B 包括的区域如阴影部分117114222ABCD S S =-⨯⨯=-=阴影……10分7/27()48ABCD S P B S ===阴影 故,x y R ∈，0x y +≥的概率为78…12分 16．（本题12分）解：（1）设直线方程为：y x b =+直线与圆相切，设圆心到直线的距离为d∴2d ==⇒b =± …………………………………………………………4分 ∴切线方程为：0x y -±=…………………………………………………………6分（2）直线:l y x t =-+与椭圆22:1916x y C +=有交点，则 方程组221916y x tx y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩有解 ∴将y x t =-+代入椭圆方程221916x y +=得： 22251891440x tx t -+-=………………8分∴该二次方程的判别式：()()221842591440t t ∆=--⨯-≥……10分解得[]5,5t ∈-………………12分 17. (本题满分14分)解：解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x -盒子容积32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+……4分由82055200,20x x x x ->⎧⎪⎛⎫->⇒∈⎨ ⎪⎝⎭⎪>⎩……………6分'2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或，103x =（舍去）…10分 (1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值， 18V ∴=最大值…14分18.（本小题14分）解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 依次为x 轴、y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，并设正方体棱长为1,设点E 的坐标为(0,,0)E t 。

2021年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 把答案填在答题卡内）1. 点到直线的距离 .2. 双曲线的渐近线方程是 .3. 命题“，使得”的否定是 .4. 已知三点，，共线，则实数 .5. 已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是 .注：（为球的半径）6. 抛物线上一点和焦点的距离等于，则点的坐标是 .7. 某几何体的三视图如右图所示，则它的体积是．8. 设，若直线与直线垂直，则实数 .9. 过点与圆相切的直线方程为 .10. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成角的大小为 . （）二、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上.11.下列命题错误．．的是A．已知直线，且，则B．已知直线平面，且直线平面，则C．已知直线平面，过平面内一点作，则D．过平面外一点可以做无数条直线与这个平面平行，并且这些直线都在同一平面内12.已知两圆和，则两圆的位置关系为A.相交B.外切C.内切D.相离13.从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为右焦点,是椭圆与轴负半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是A．B．C．D．14.设点,则“且”是“点在直线上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为A. B. C. D.16.正方体的棱长为，底面内任一点，作，垂足为，满足条件.则点的轨迹为A．线段 B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分 D．抛物线的一部分三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）已知在空间四边形中，，且分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：.18. （本小题满分12分）已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且.（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求圆的方程.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，底面为平行四边形，平面．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设平面平面直线，求证：；（Ⅲ）若，, ，求三棱锥的体积.20. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点为.（Ⅰ）点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程；（Ⅱ）设斜率为的直线过定点，求直线与抛物线恰好有一个公共点、两个公共点、没有公共点时的相应取值范围．21. （本小题满分12分）已知为直角梯形，，平面，，.（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值.22. （本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别为,,短轴的两个端点分别为,，且.（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点,且以线段为直径的圆经过左焦点,求直线的方程.延庆县xx学年度第一学期期末考试高二数学答案及评分标准（理科） xx.1一、填空题：（）（1）（2）（3）“，”（4）（5）（6），（7）（8）（9），（10）二、选择题：（）11.B 12.C 13.D 14.A 15.B 16.D三、解答题：本大题共6小题，共70分.17. （本小题满分10分）已知在空间四边形中，，且分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：.（Ⅰ）证明：因为分别是的中点，所以，为的中位线，所以.………2分又因为平面，平面,所以，平面. ……………4分（Ⅱ）证明：连结，在中，因为是中点，所以. ……………6分同理可证，. ……………7分又因为，，平面，平面，所以，平面. ……………9分又因为，平面，所以. ……………10分18. （本小题满分12分）已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且. （Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求圆的方程.解：（Ⅰ）直线的斜率，中点坐标为，∴直线的斜率为，∴直线方程为，即……………4分（Ⅱ）设圆心，则由在上,得①……………6分又直径,,②……………8分由①②解得或∴圆心或……………10分∴圆的方程为和……………12分19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，底面为平行四边形，平面．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设平面平面直线，求证：；（Ⅲ）若，, ，求三棱锥的体积.（Ⅰ）证明：因为平面，平面，所以.……1分又因为，，平面，平面，，所以，平面. ………3分因为，底面为平行四边形，所以.所以平面. ………5分（Ⅱ）证明：因为底面为平行四边形，所以. ………6分因为平面，平面，所以平面. ………8分因为，平面平面，平面，所以. ………10分（Ⅲ）解：因为，底面为平行四边形，平面，所以平面.所以. ………12分20. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点为.（Ⅰ）点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程；（Ⅱ）设斜率为的直线过定点，求直线与抛物线恰好有一个公共点、两个公共点、没有公共点时的相应取值范围．（Ⅰ）解：，设，，则有○1，.由，得，所以，，即○2把○2代入○1得………4分（Ⅱ）直线的方程为，当时，直线的方程为，直线与抛物线有一个交点. ………5分当时，，消去并整理，得.判别式………7分由，得或；由，得. ………9分所以，恰好有一个公共点时，的相应取值范围是；恰好有两个公共点时，的相应取值范围是；没有公共点时，的相应取值范围是或. ………12分21. （本小题满分12分）已知为直角梯形，，平面，，.（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值.解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系.则，，，，. ………1分（Ⅰ），，.所以异面直线与所成角的余弦值为. ………4分（Ⅱ），. ………5分设平面的法向量为，则，.用坐标表示，得，，即，令，得. ………7分， .所以直线与平面所成角的正弦值为. ………9分（Ⅲ）平面的法向量，平面的法向量. ………10分. ………11分由图形可知二面角的大小为钝角，所以二面角的余弦值为. ………12分22. （本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别为,,短轴的两个端点分别为,，且.（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点,且以线段为直径的圆经过左焦点,求直线的方程. （Ⅰ）设椭圆的标准方程为,由椭圆的对称性质，知，所以短半轴长，所以. 椭圆的标准方程为. ………3分（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，，解得，设，，，，不满足条件. ………4分当直线的斜率存在时，设直线的方程为.，消去并整理，得. ………6分设，，， .………7分由题意知，即. ………8分22222221214)1(21)1(2)1(k k k k k k k +++⋅-++-⋅+= ，解得. ………11分 直线的方程为：和. ………12分N50m$fb23257 5AD9 嫙yNm34251 85CB 藋C。