2016年甘肃单招数学模拟试题：分层抽样

普通高等学校单独招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知,2||,1||==b a 且)(b a -与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A60B30C135D452、若直线l 上的一个点在平面α内，另一个点在平面α外，则直线l 与平面α的位置关系（）A．l ⊂αB．l ⊄αC．l ∥αD．以上都不正确3、两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对4、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n +=22，那么它的通项公式是（）A、12-=n a n B、12+=n a n C、14-=n a n D、14+=n a n 5、曲线||x y =与1+=kx y 的交点情况是（）A、最多有两个交点B、有两个交点C、仅有一个交点D、没有交点6、已知集合},2|||{},23|{>=<<-=x x P x x M 则=⋂P M （）A、}2223|{<<-<<-x x x 或B、RC、}23|{-<-x x D、}22|{<<x x 7、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为（）（A）60%（B）30%（C）10%（D）50%8.如图，在正方形ABCD 中，E、F、G、H 是各边中点，O 是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O 这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个9.如图，正四面体ABCD 中，E 为AB 中点，F 为CD 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10.如图，正三棱柱111C B A ABC -中，AB＝1AA ，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为（）A．22B．515C．46D．3611.抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（）A．0B．23C．2D．312.已知椭圆22221a y x =+（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（）A．2230<<a B．2230<<a 或282>aC．223<a 或282>a D．282223<<a 二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.方程log2|x|=x2－2的实根的个数为______.2.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是由60个C 原子组成的分子，它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种,则C60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有______个.3.在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______.4.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=－f(x)，且在［－1，0］上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x=1对称；③f(x)在［0，1］上是增函数；④f(x)在［1，2］上是减函数；⑤f(2)=f(0),其中正确判断的序号为______(写出所有正确判断的序号).三、大题：(满分70分)1.如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.2.设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.3、设（1+x ）n＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n，n ≥4，n ∈N *．已知a 32＝2a 2a 4．（1）求n 的值；（2）设（1+）n＝a +b，其中a ，b ∈N *，求a 2﹣3b 2的值．4、在平面直角坐标系xOy 中，设点集A n ＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n ，0）}，B n ＝{（0，1），（n ，1）}，∁n ＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n ，2）}，n ∈N *．令M n ＝A n ∪B n ∪∁n ．从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离．（1）当n ＝1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）．5、在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos （B﹣）．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b 和sin（2A﹣B）的值．6、已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．参考答案：一、选择题：1-5题答案:DBCCA6-10题答案:ADCCC11-12题答案:BB二、填空题：1、42、12，203、134、①②⑤三、大题：1.解：（1）由题设可得，弧,,AB BC CD所在圆的极坐标方程分别为2cosρθ=，2sinρθ=，2cos ρθ=-.所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭.（2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=，解得π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=.综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭.2．解：（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x=53，y=–13，13z =-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43.（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．3、设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，n ≥4，n ∈N *．已知a 32＝2a 2a 4．（1）求n 的值；（2）设（1+）n＝a +b，其中a ，b ∈N *，求a 2﹣3b 2的值．【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a 2，a 3，a 4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a ，b ，计算可得所求值；方法二、由于a ，b ∈N *，求得（1﹣）5＝a ﹣b，再由平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x ）n ＝C +C x +C x 2+…+C x n，n ≥4，可得a2＝C ＝，a 3＝C ＝，a 4＝C ＝，a 32＝2a 2a 4，可得（）2＝2••，解得n ＝5；（2）方法一、（1+）5＝C +C+C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a +b ，由于a ，b ∈N *，可得a ＝C +3C +9C ＝1+30+45＝76，b ＝C +3C +9C ＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣）5＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．4、在平面直角坐标系xOy中，设点集An＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，Bn＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令Mn ＝An∪Bn∪∁n．从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从Mn中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；中取出的两个点，（2）设A（a，b）和B（c，d）是从Mn因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．5、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．6、已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2，从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X的取值为：0，1，2，3，，k=0，1，2，3．所以随机变量的分布列为：X0123P随机变量X的数学期望E（X）==；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P（B）=P（X=2），P（C）=P（X=1），故P（A）=P（B∪C）=P（X=2）+P（X=1）=．所以事件A发生的概率：．。

考单招——上高职单招网限时：45分钟 满分：70分一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1．将函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 的图像向左平移π6个单位得到函数g (x )的图像，则函数g (x )是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析：选B 依题意知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，因此有g (－x )＝2cos 2(－x )＝2cos 2x ＝g (x )，即函数g (x )是偶函数，最小正周期是T ＝2π2＝π. 2．函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cosa ＋b2＝( )A ．0 B.22C ．－1D ．1解析：选D 不妨设a ＝－π2，则b ＝π2，考单招——上高职单招网cos a ＋b 2＝cos 0＝1.3．已知f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 C ．π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8D ．2π，⎣⎡⎦⎤－π4，π4 解析：选C 由f (x )＝12(1－cos 2x )＋12sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12得，该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数，即函数f (x )的单调增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8，其中k ∈Z.k ＝0得到函数f (x )的一个单调增区间是⎣⎡⎦⎤－π8，3π8. 4．使f (x )＝sin(2x ＋y )＋3cos(2x ＋y )为奇函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π4上是减函数的y 的一个值是( )A.π3B.5π3C.4π3D.2π3解析：选D ∵f (x )＝sin(2x ＋y )＋3cos(2x ＋y )＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋y ＋π3为奇函数，∴f (0)＝0， ∴sin y ＋3cos y ＝0，考单招——上高职单招网∴tan y ＝－3，又函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上是减函数，易知选项D 满足条件故选D. 5．已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝2 2sin x cos x ，则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图像均关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0成中心对称图形 B ．两个函数的图像均关于直线x ＝－π4成轴对称图形C ．两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同解析：选C 由于y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，y ＝22sin x cos x ＝2sin 2x .对于A 、B 选项，当x ＝－π4时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝0，y ＝2sin 2x ＝－2，因此函数y ＝sin x ＋cos x 的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0成中心对称图形、不关于直线x ＝－π4成轴对称图形，函数y ＝22sin x ·cos x 的图像不关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0成中心对称图形、关于直线x ＝－π4成轴对称图形，故A 、B 选项均不正确；对于C 选项，结合图像可知，这两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数，因此C 正确；对于D 选项，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最小正周期是2π，y ＝2sin 2x 的最小正周期是π，D 不正确．6．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，其部分图像如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且A ，B 两点间距离为25，则ω、φ的值分别是( )考单招——上高职单招网A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝12，φ＝π2C ．ω＝π4，φ＝π2D ．ω＝14，φ＝π2解析：选C 因为y ＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，所以φ＝π2.设函数的周期为T ，由图可知⎝⎛⎭⎫T 42＋12＝(5)2，所以T ＝8，于是T ＝2πω＝8，得ω＝π4.7．已知函数f (x )＝sin πx 的图像的一部分如下方左图，则下方右图的函数图像所对应的函数解析式为( )A ．y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x －12B ．y ＝f (2x －1)C ．y ＝f ⎝⎛⎭⎫x2－1D ．y ＝f ⎝⎛⎭⎫x 2－12解析：选B 题右图的图像是由f (x )的图像向右平移1个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的一半、纵坐标不变而得到的，故其解析式为y ＝f (2x －1)．8．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点和最低点，且OM ·ON＝0(O 为坐标原点)，则A ·ω等于( )考单招——上高职单招网A.π6B.712πC.76π D.73π 解析：选C 由图可知，T ＝⎝⎛⎭⎫π3－π12×4＝π，∴ω＝2. 又M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎫7π12，－A ， 由 OM · ON ＝0可得，7π2144＝A 2，∴A ＝7π12.∴A ·ω＝2×712π＝76π. 二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)9．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t ，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－3，则实数m 的值等于________．解析：依题意得，函数f (x )的图像关于直线x ＝π8对称，于是当x ＝π8时，函数f (x )取得最值，因此有±2＋m ＝－3，解得m ＝－5或m ＝－1.答案：－1或－510．下图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋BA >0，ω>0，|φ|<π2图像的一部分，则f (x )的解析式为________．考单招——上高职单招网解析：由图可知A ＝3＋12＝2，B ＝3－12＝1. 又函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1过点(－π，－1)及(0,2)，∴⎩⎨⎧2sin(－ωπ＋φ)＋1＝－1，2sin φ＋1＝2，又|φ|<π2，∴⎩⎨⎧φ＝π6，ω＝23.所以函数的解析式是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6＋1. 答案：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6＋111．若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2与函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的图像具有相同的对称中心，则φ＝________.解析：由于两函数的对称中心相同，即两函数周期相同，故ω＝2，从而g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，其一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，据题意⎝⎛⎭⎫π3，0也是y ＝2sin(2x ＋φ)的对称中心，由对称中心的几何意义可得2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0且|φ|<π2，故φ＝π3. 答案：π312．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3，存在x 1，x 2使f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)对任意x ∈R 恒成立，即|x 1－x 2|的最小值是________．解析：由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，可得f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值，则|x 1－x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期12×2ππ2＝2，即|x 1－x 2|的最小值为2.答案：2考单招——上高职单招网13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像与直线y ＝b (0<b <A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x )的单调递增区间是________．解析：如图x =3，x =6是y =A sin(ωx +φ)的对称轴，∴周期T =6，∴单调递增区间为[6k,6k ＋3]，k ∈Z. 答案：[6k,6k ＋3]，k ∈Z14．①存在α∈⎝⎛⎭⎫0，π2使sin α＋cos α＝13；②存在区间(a ，b )使y ＝cos x 为减函数且sin x ＜0； ③y ＝tan x 在其定义域内为增函数；④y ＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 既有最大、最小值，又是偶函数； ⑤y ＝sin 2x ＋π6的最小正周期为π，以上命题错误的为________(填序号)．解析：①当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α＋cos α＞1，故①错；②若y ＝cos x 为减函数，则x ∈[2k π，π＋2k π]，k ∈Z ，此时sin x ＞0，故②错；③当x 分别取π，2π时，y 都是0，故③错；④∵y ＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝2cos 2x ＋cos x －1，∴既有最大、最小值，又是偶函数，故④对；⑤y ＝|sin 2x ＋π6|的最小正周期为π2，故⑤错．答案：①②③⑤考单招——上高职单招网。

2016年甘肃建筑数学单招试题限时：60分钟 总分值：78分1．(总分值13分)在如下图的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ； (2)求二面角F －BD －C 的余弦值．解：(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又因为CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，AD ⊥BD ，又因为AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ， 所以BD ⊥平面AED .(2)法一：连接AC ，由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC .又因为FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF 两两垂直，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如下图的空间直角坐标系， 不妨设CB ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0，F (0,0,1)， 因此BD ＝⎝⎛⎭⎪⎫32，－32，0，BF ＝(0，－1,1)．设平面BDF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·BD ＝0，m ·BF ＝0，所以x ＝3y ＝3z ，取z ＝1，则m ＝(3，1,1)． 由于CF ＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈m ，CF 〉＝m ·CF |m||CF |＝15＝55，所以二面角F －BD －C 的余弦值为55. 法二：取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，由于CB ＝CD ， 因此CG ⊥BD ，又因为FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FC ⊥BD . 由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ，所以BD ⊥平面FCG ， 故BD ⊥FG ，所以∠FGC 为二面角F －BD －C 的平面角． 在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°， 因此CG ＝12CB ，又因为CB ＝CF ，所以GF ＝CG 2＋CF 2＝5CG ，故cos ∠FGC ＝55， 因此二面角F －BD －C 的余弦值为55. 2．(总分值13分)(2012·广东高考)如下图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .(1)证明：BD ⊥平面PAC ；(2)假设PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．解：(1)证明：∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD.又∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵PC∩PA＝P，∴BD⊥平面PAC.(2)如右图设AC∩BD＝O，连接OE.∵PC⊥平面BDE，BE⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC⊥BE，PC⊥OE，∴∠BEO为二面角B－PC－A的平面角，∵BD⊥平面PAC，∴BO⊥OE，即∠BOE＝90°，故tan ∠BEO＝OB OE.又∵BD⊥平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC. 由四边形ABCD为长方形知它也是正方形，由AD＝2得BD＝AC＝22，在Rt△PAC中，PC＝PA2＋AC2＝3.∵△OEC∽△PAC，∴OCPC＝OEPA，即OCOE＝PCPA＝3，又∵tan ∠BEO＝OBOE＝OCOE＝3，∴二面角B－PC－A的正切值为3.3．(总分值13分)(2012·天津高考)如图，在四棱锥P－ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长． 解：法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，12，0，P (0,0,2)． (1)易得PC ＝(0,1，－2)，AD ＝(2,0,0)， 于是PC ·AD ＝0，所以PC ⊥AD .(2) PC ＝(0,1，－2)，CD ＝(2，－1,0)． 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎨⎧n ·PC ＝0，n ·CD ＝0，即⎩⎨⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)．可取平面PAC 的法向量m ＝(1,0,0)．于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝16＝66， 从而sin 〈m ，n 〉＝306. 所以二面角A －PC －D 的正弦值为306. (3)设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]．由此得BE ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，h .由CD ＝(2，－1,0)，故cos 〈BE ，CD 〉＝BE ·CD | BE |·|CD |＝3212＋h 2×5＝310＋20h2， 所以310＋20h 2＝cos 30°＝32，解得h ＝1010或h ＝－1010(舍)， 即AE ＝1010. 法二：(1)证明：由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥AD ，又由AD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，故AD ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以PC ⊥AD .(2)如图，作AH ⊥PC 于点H ，连接DH .由PC ⊥AD ，PC ⊥AH ，AD ∩AH ＝A ，可得PC ⊥平面ADH ，又因为DH △平面ADH 因此DH ⊥PC ，从而∠AHD 为二面角A －PC －D 的平面角．在Rt △PAC 中，PA ＝2，AC ＝1，由此得AH ＝25.由(1)知AD ⊥AH .故在Rt △DAH 中，DH ＝AD 2＋AH 2＝2305. 因此sin ∠AHD ＝AD DH ＝306.所以二面角A －PC －D 的正弦值为306. (3)如图，因为AD ⊥AC ，AD ＝2AC 所以∠ADC <45°，故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F ，连接BE ，EF .故∠EBF 或其补角为异面直线BE 与CD 所成的角．由于BF∥CD，故∠AFB＝∠ADC.在Rt△DAC中，CD＝5，sin ∠ADC＝15，故sin ∠AFB＝15 .在△AFB中，由BFsin ∠FAB＝ABsin ∠AFB，AB＝12，sin ∠FAB＝sin 135°＝22，可得BF＝52.由余弦定理，BF2＝AB2＋AF2－2AB·AF·cos ∠FAB，可得AF＝1 2.设AE＝h.在Rt△EAF中，EF＝AE2＋AF2＝h2＋1 4.在Rt△BAE中，BE＝AE2＋AB2＝h2＋1 2.在△EBF中，因为EF<BE，从而∠EBF＝30°，由余弦定理得cos 30°＝BE2＋BF2－EF22BE·BF.可解得h＝10 10.所以AE＝10 10.4．(总分值13分)在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2.(1)求证：BC⊥平面PBD；(2)设E为侧棱PC上一点，PE＝λPC，试确定λ的值，使得二面角E－BD－P 的大小为45°.解：(1)证明：因为侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因为∠ADC ＝90°，即AD ⊥CD ，以D 为原点建立如下图的空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,1)， 所以DB ＝(1,1,0)，BC ＝(－1,1,0)． 所以BC ·DB ＝0，所以BC ⊥DB . 由PD ⊥底面ABCD ，可得PD ⊥BC ， 又因为PD ∩DB ＝D ， 所以BC ⊥平面PBD .(2)由(1)知平面PBD 的一个法向量为BC ＝(－1,1,0)，且P (0,0,1)，C (0,2,0)，所以PC ＝(0,2，－1)，又因为PE ＝λPC ，所以E (0,2λ，1－λ)，DE ＝(0,2λ，1－λ)． 设平面EBD 的法向量为n ＝(a ，b ，c )， 因为DB ＝(1,1,0)，由n ·DB ＝0，n ·DE ＝0，得⎩⎨⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0令a ＝－1，则可得平面EBD 的一个法向量为n ＝－1,1，2λλ－1， 所以cos π4＝n ·BC |n |·|BC |，解得λ＝2－1或λ＝－2－1， 又由题意知λ∈(0,1)，故λ＝2－1.5．(总分值13分)已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点．(1)证明：PF ⊥FD ；(2)判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；(3)假设PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A －PD －F 的余弦值． 解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，建立如下图的空间直角坐标系，则A (0，0,0)，B (1,0,0)，F (1,1,0)，D (0,2,0)．不妨令P (0,0，t )，则PE ＝(1,1，－t )，DE ＝(1，－1,0)． 所以PE ·DE ＝1×1＋1×(－1)＋(－t )×0＝0， 即PF ⊥FD .(2)设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由(1)知PE ＝(1,1，－t )，DE ＝(1，－1,0)，则由⎩⎨⎧n ·PF ＝0，n ·DF ＝0，得⎩⎨⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，令z ＝1，则x ＝y ＝t2.故n ＝⎝⎛⎭⎫t 2，t2，1是平面PFD 的一个法向量．设G 点坐标为(0,0，m )，因为E ⎝⎛⎭⎫12，0，0，则EG ＝⎝⎛⎭⎫－12，0，m . 要使EG ∥平面PFD ，只需EG ·n ＝0， 即⎝⎛⎭⎫－12×t 2＋0×t 2＋m ×1＝m －t4＝0，所以m ＝14t ，从而PA 上满足AG ＝14AP 的点G 可使得EG ∥平面PFD .(3)易知AB ⊥平面PAD ，所以AB ＝(1,0,0)是平面PAD 的一个法向量．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角，故∠PBA ＝45°，所以PA ＝1，则平面PFD 的一个法向量为m ＝⎝⎛⎭⎫12，12，1， 则cos 〈AB ，m 〉＝AB ·m | AB |·|m |＝1214＋14＋1＝66， 故所求二面角A －PD －F 的余弦值为66. 6．(总分值13分)平面图形ABB 1A 1C 1C 如图①所示，其中BB 1C 1C 是矩形，BC ＝2，BB 1＝4，AB ＝AC ＝2，A 1B 1＝A 1C 1＝5，现将该平面图形分别沿BC 和B 1C 1折叠，使△ABC 与△A 1B 1C 1所在平面都与平面BB 1C 1C 垂直，再分别连接A 1A ，A 1B ，A 1C ，得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答以下问题．(1)证明：AA 1⊥BC ； (2)求AA 1的长；(3)求二面角A -BC -A 1的余弦值．解：法一：(向量法)(1)证明：取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 1，DD 1，AD .由平面BB 1C 1C 为矩形知，DD 1⊥B 1C 1.因为平面BB 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1，所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1.又由A 1B 1＝A 1C 1知，A 1D 1⊥B 1C 1.故以D 1为坐标原点，可建立如下图的空间直角坐标系D 1－xyz . 由题设，可得A 1D 1＝2，AD ＝1.由以上可知AD ⊥平面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，于是AD ∥A 1D 1.所以A (0，－1,4)，B (1,0,4)，A 1(0,2,0)，C (－1,0,4)，D (0,0,4)．故1AA (＝(0，3，－4)，BC ＝(－2,0,0)，1AA ·BC ＝0，因此AA 1⊥BC ，即AA 1⊥BC . (2)因为1AA ＝(0，3，－4)，所以|1AA |＝5，即AA 1＝5. (3)连接A 1D .由BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1，可知BC ⊥平面A 1AD ，BC ⊥A 1D ，所以∠ADA 1为二面角A －BC －A 1的平面角．因为1(,,),(,,),=-=-010024DA DA 所以1,,||||()⋅〈〉===-⋅⨯-225cos 5124DA DA DA DA DA DA +即二面角A －BC －A 1的余弦值为－55. 法二：(综合法)(1)取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 1，DD 1，AD ，A 1D .由条件可知，BC ⊥AD ，B 1C 1⊥A 1D 1.由上可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，因此AD ∥A 1D 1，即AD ，A 1D 1确定平面AD 1A 1D . 又因为DD 1∥BB 1，BB 1⊥BC ，所以DD 1⊥BC . 又考虑到AD ⊥BC ，DD 1∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面AD 1A 1D ，故BC ⊥AA 1.(2)延长A 1D 1到G 点，使GD 1＝AD .连接AG . 因为AD 綊GD 1，所以AG 綊DD 1綊BB 1. 由于BB 1⊥平面A 1B 1C 1，所以AG ⊥A 1G . 由条件可知，A 1G ＝A 1D 1＋D 1G ＝3，AG ＝4. 所以AA 1＝5.(3)因为BC ⊥平面AD 1A 1D ，所以∠ADA 1为二面角A －BC －A 1的平面角．在Rt △A 1DD 1中，DD 1＝4，A 1D 1＝2，解得sin ∠D 1DA 1＝55，cos ∠ADA 1＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋∠D 1DA 1＝－55， 即二面角A －BC －A 1的余弦值为－55.。

1简单随机抽样、系统抽样、分层抽样含答案2.1.1 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样1．简单随机抽样的定义设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．简单随机抽样的分类?抽签法?简单随机抽样???随机数法3．简单随机抽样的优点及适用类型简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个体数不多的情况下是行之有效的．4．系统抽样的概念先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔依次抽取即得到所求样本．5．系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，步骤为：(1)先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．NN(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝；nn(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．6．分层抽样的概念在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．7．分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．一、选择题1．抽签法中确保样本代表性的关键是( )A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取不放回答案B 解析由于此问题强调的是确保样本的代表性，即要求每个个体被抽到的可能性相等．所以选B.2．下列抽样实验中，用抽签法方便的有( )A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验答案B- 1 -解析A总体容量较大，样本容量也较大不适宜用抽签法；B总体容量较小，样本容量也较小可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D总体容量较大，不适宜用抽签法．3．为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是( ) A．1 000名运动员是总体B．每个运动员是个体C．抽取的100名运动员是样本D．样本容量是100答案D 解析：此问题研究的是运动员的年龄情况，不是运动员，故A、B、C错，故选D.4．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( )***-*****A.，B.，C.，D.，***-**********答案A5．某会议室有50排座位，每排有30个座位．一次报告会坐满了听众．会后留下座号为15的所有听众50人进行座谈．这是运用了( )A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样D．有放回抽样答案C解析从第1排到第50排每取一个人的间隔人数是相同的，符合系统抽样的定义．6．要从已经编号(1～50)的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( )A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,8,16,32 答案B解析由题意知分段间隔为10.只有选项B中相邻编号的差为10，选B. 7．有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，现从中抽出8件进行质量分析，问应采取何种抽样方法( ) A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样D．分层抽样答案D 8．某城市有学校700所．其中大学20所，中学200所，小学480所，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为70的样本，进行某项调查，则应抽取中学数为( )A．70 B．20 C．48 D．2700答案B 由于＝10，即每10所学校抽取一所，又因中学200所，所以抽取200÷10＝7020(所)．9．下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是( )A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量D．从50个零件中抽取5个做质量检验答案C解析A的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D与B类似．10．要从其中有50个红球的1 000个球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为( ) - 2 -A．5个B．10个C．20个D．45个*****答案A解析由题意知每＝10(个)球中抽取一个，现有50个红球，应抽取＝5(个)．*****11．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性大些D．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不同答案B解析由简单随机抽样的特点知与第n次抽样无关，每次抽到的可能性相等．二、填空题12．福利彩票的中奖号码是从1～36个号码中选出7个号码来按规则确定中奖情况，这种从36个号码中选7个号码的抽样方法是________．答案抽签法13．用随机数表法进行抽样，有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定随机数表开始的数字，这些步骤的先后顺序应该是________．(填序号)答案①③②14．某班级共有学生52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为________．答案16解析用系统抽样的方法是等距离的．42－29＝13，故3＋13＝16.15．某农场在三种地上种玉米，其中平地210亩，河沟地120亩，山坡地180亩，估计产量时要从中抽取17亩作为样本，则平地、河沟地、山坡地应抽取的亩数分别是________．*****答案7,4,6解析应抽取的亩数分别为210×＝7,120×＝4,180×＝6.***-*****016．将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．答案20解析由题意可设A、B、C中个体数分别为5k,3k,2k，所以C中抽取个体数为2k×100＝20.5k＋3k＋2k17．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号有16件，那么此样本的容量n为________．答案88解析在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例2＋3＋5＋1是一致的．所以，样本容量n＝×16＝88.2- 3 -。

2.1.1 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样1．简单随机抽样的定义设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．简单随机抽样的分类简单随机抽样⎩⎨⎧ 抽签法随机数法3．简单随机抽样的优点及适用类型 简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个体数不多的情况下是行之有效的．4．系统抽样的概念先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k 进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔依次抽取即得到所求样本．5．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，步骤为：(1)先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当Nn(n是样本容量)是整数时，取k＝Nn ；(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．6．分层抽样的概念在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．7．分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．一、选择题1．抽签法中确保样本代表性的关键是( )A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取不放回答案 B 解析由于此问题强调的是确保样本的代表性，即要求每个个体被抽到的可能性相等．所以选B.2．下列抽样实验中，用抽签法方便的有( )A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验答案B解析A总体容量较大，样本容量也较大不适宜用抽签法；B总体容量较小，样本容量也较小可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D总体容量较大，不适宜用抽签法．3．为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是( )A．1 000名运动员是总体B．每个运动员是个体C．抽取的100名运动员是样本D．样本容量是100答案 D 解析：此问题研究的是运动员的年龄情况，不是运动员，故A、B、C错，故选D.4．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( )A.110，110B.310，15C.15，310D.310，310答案A5．某会议室有50排座位，每排有30个座位．一次报告会坐满了听众．会后留下座号为15的所有听众50人进行座谈．这是运用了( )A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样D．有放回抽样答案C解析从第1排到第50排每取一个人的间隔人数是相同的，符合系统抽样的定义．6．要从已经编号(1～50)的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( )A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,8,16,32答案B解析由题意知分段间隔为10.只有选项B中相邻编号的差为10，选B.7．有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，现从中抽出8件进行质量分析，问应采取何种抽样方法( )A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样D．分层抽样答案D8．某城市有学校700所．其中大学20所，中学200所，小学480所，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为70的样本，进行某项调查，则应抽取中学数为( )A．70 B．20 C．48 D．2答案B由于70070＝10，即每10所学校抽取一所，又因中学200所，所以抽取200÷10＝20(所)．9．下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是( )A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量D．从50个零件中抽取5个做质量检验答案C解析A的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D与B类似．10．要从其中有50个红球的1 000个球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为( )A．5个B．10个C．20个D．45个答案A解析由题意知每1000100＝10(个)球中抽取一个，现有50个红球，应抽取5010＝5(个)．11．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性大些D．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不同答案B解析由简单随机抽样的特点知与第n次抽样无关，每次抽到的可能性相等．二、填空题12．福利彩票的中奖号码是从1～36个号码中选出7个号码来按规则确定中奖情况，这种从36个号码中选7个号码的抽样方法是________．答案抽签法13．用随机数表法进行抽样，有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定随机数表开始的数字，这些步骤的先后顺序应该是________．(填序号)答案①③②14．某班级共有学生52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为________．答案16解析用系统抽样的方法是等距离的．42－29＝13，故3＋13＝16.15．某农场在三种地上种玉米，其中平地210亩，河沟地120亩，山坡地180亩，估计产量时要从中抽取17亩作为样本，则平地、河沟地、山坡地应抽取的亩数分别是________．答案7,4,6解析应抽取的亩数分别为210×17510＝7,120×17510＝4,180×17510＝6.16．将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．答案20解析由题意可设A、B、C中个体数分别为5k,3k,2k，所以C中抽取个体数为2k5k＋3k＋2k×100＝20.17．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号有16件，那么此样本的容量n为________．答案88解析在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的．所以，样本容量n＝2＋3＋5＋12×16＝88.。

2016-2017学年甘肃省兰州高三数学一模试卷注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145，}{,,T =234，则)(T C S U I 等于( )A ．}{,,,1456B ．}{4C ．}{,15D ．}{,,,,12345 2、已知i 为虚数单位，复数12i2iz -=-，则复数z 的虚部是（ ）A. 3i 5- B.35- C.4i 5 D.45 3. 下列判断错误．．的是（ ） A ．“”是“”的充分不必要条件 B ．命题“”的否定是“”C ．若为假命题,则均为假命题D ．是的充分不必要条件4．几何体的三视图如下，则它的体积是（ ）A ．B.C.D.5. 设3log a π=，13log b π=，3c π-=,则（ ）A. a b c >>B. b a c>>C. a c b >>D. c b a >>6. 向量a,b满足1,)(2),==+⊥-a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．45︒ B ． 60︒ C ． 90︒ D ． 120︒ 7. 执行右边的程序框图，则输出的S 是（ ） A.5040B.4850C.2450D.25508. 等比数列的前成等差数列，若a 1=1，则s 4为（ ） A. 15 B. 8 C. 7 D. 169．如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOBAOB内任取一点，则该点在圆C 内的概率为( ). A10. 将函数f (x )＝sin ωx （其中ω＞0）的图象向左平移 π 2个单位长度，所得图象关于x ＝ π 6对称，则ω的最小值是（ ）A. 6B. 3 4C. 9 4D. 2 311. 双曲线221x y m-=的离心率e =2y mx =的交点为顶点的三角形的面积为（ ）A. C.12. 已知函数()0(R)210x e a x f x a x x ⎧+≤=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),0-∞C ．()1,0-D ．[)1,0-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．}{n a 321,2,4,a a a S n n 且项和为13. 若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于14．在数列{}n a 中，已知1221n n a a a ++⋅⋅⋅+=-，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+=15．已知三棱锥P -ABC ，若PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA = 1，PB = PC =2，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为__________。

考单招——上高职单招网限时：90分钟满分：122分一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知茎叶图列举了集合U的所有元素，设A＝{3,6,9}，则∁U A＝()A.{5}B．{5,12}C．{12,13} D．{5,12,13}解析：选D由茎叶图可知U＝{3,5,6,9,12,13}，所以∁U A＝{5,12,13}．2．下列有关命题的说法错误的是()A．命题：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x ＝1”B．“x2－3x＋2＝0”是“x＝1”的必要不充分条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，命题x2＋x＋1<0，即綈p为：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解：选C命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”，即命题A正确；若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，则“x2－3x＋2＝0”是“x＝1”的必要不充分条件，即命题B正确；若p∧q为假命题，则命题p，q中至考单招——上高职单招网少有一个为假命题，即命题C 不正确；命题p ：∃x ∈R ，命题x 2＋x ＋1<0是特称命题，则綈p 是全称命题，否定时要把量词和命题中的关键词都否定，D 正确．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋3x )，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则不等式f (x )>f (－2)的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－2,0]∪(1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)D ．(－2,0]∪(4，＋∞)解析：选A f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋1＝2， 则由f (x )>2可得⎩⎨⎧x >0，log 2(x 2＋3x )>2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1>2，解得x >1或x <－2，则不等式f (x )>f (－2)的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 4．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像( ) A ．向左平移π2个长度单位 B ．向右平移π2个长度单位C ．向左平移π4个长度单位D ．向右平移π4个长度单位解析：选C 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π4，可得为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像向左平移π4个长度单位．5．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是( )考单招——上高职单招网A ．2 B.10 C ．4D. 5解析：选B ∵α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0，则α·β＝12，|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋4×12＋4＝10.6．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a ·b 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：选B 因为f (x )＝a ·b ＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋sin x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以函数f (x )＝a ·b 的最小正周期是π.7．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (－x )成立，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3解析：选C 由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (－x )可得f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝f ⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＝f ⎝⎛⎭⎫π8－x ，即函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝2＋b 或f ⎝⎛⎭⎫π8＝b －2.又f ⎝⎛⎭⎫π8＝1，所以b ＋2＝1或b －2＝1，即b ＝－1或3.考单招——上高职单招网8．在△OAB 中， OA ＝a ， OB ＝b ，OD 是AB 边上的高，若 AD ＝λAB ，则实数λ＝( )A.a ·(a －b )|a －b |B.a ·(b －a )|a －b |C.a ·(a －b )|a －b |2D.a ·(b －a )|a －b |2解析：选C 由 AD ＝λ AB ，∴| AD |＝λ| AB |.又∵| AD |＝|a |cos A ＝|a |·a ·(a －b )|a ||b －a |＝a ·(a －b )|b －a |，| AB |＝|b －a |，∴λ＝a ·(a －b )|b －a |2＝a ·(a －b )|a －b |2. 二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)9．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的一段图像，则函数的解析式为________．解析：由图知，A ＝1，T 4＝π12－⎝⎛⎭⎫－π6＝π4，即T ＝π，即ω＝2πT ＝2ππ＝2.将点⎝⎛⎭⎫－π6，0代入y ＝sin(2x ＋φ)得，φ＝k π＋π3，k ∈Z ，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 10．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________．考单招——上高职单招网解析：据题意只需h ′(x )＝2＋kx 2≥0在(1，＋∞)恒成立即可，分离变量可得k ≥－2x 2，而－2x 2<－2，故只需k ≥－2即可．答案：[－2，＋∞)11．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝________. 解析：依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝12k (k >0)，则有a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ；由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(2k )2＋(4k )2－(3k )22×2k ×4k＝1116.答案：111612．已知sin x ＋sin y ＝13，则sin x －cos 2y 的最小值为________．解析：∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin x ＝13－sin y ．∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤13－siny ≤1.又∵－1≤sin y ≤1，∴－23≤sin y ≤1，∴sin x －cos 2y ＝13－sin y －cos 2y ＝13－sin y－(1－sin 2y )＝⎝⎛⎭⎫sin y －122－1112.∴当sin y ＝12时，sin x －cos 2y 取得最小值，最小值为－1112. 答案：－111213．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若向量p ＝(a ＋c ，b )与q ＝(b －a ，c －a )是共线向量，则角C ＝________.解析：据共线向量条件可得(c ＋a )(c －a )－b (b －a )＝0，整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，利用余弦定理可得cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝12，故C ＝60°.答案：60°考单招——上高职单招网14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，则角C 的大小为________．解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝0，∴A ＝π3. 由余弦定理得，a cos C ＋c cos A ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b .又∵a cos C ＋c cos A ＝b sin B ， ∴sin B ＝1，∴B ＝π2，∴C ＝π6.答案：π6三、解答题(共4个小题，每小题13分，共52分)15．已知函数f (x )＝cos 2ωx －3sin ωx ·cos ωx (ω>0)的最小正周期是π. (1)求函数f (x )的单调递增区间和对称中心；(2)若A 为锐角三角形ABC 的内角，求f (A )的取值范围．解：(1)依题意，得f (x )＝1＋cos 2ωx 2－32sin 2ωx ＝cos ( 2ωx ＋⎭⎫π3＋12，∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋12，考单招——上高职单招网由－π＋2k π≤2x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，得－2π3＋k π≤x ≤－π6＋k π，k ∈Z. ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－2π3＋k π，－π6＋k π，k ∈Z.令2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z.∴对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，12，k ∈Z.(2)依题意，得0<A <π2，则π3<2A ＋π3<4π3， 故－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＜12， 所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＋12＜1， 所以f (A )的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，1.16．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1(ω>0)．直线y ＝3与函数y ＝f (x )图像相邻两交点的距离为π.(1)求ω的值；考单招——上高职单招网(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点⎝⎛⎭⎫B2，0是函数y ＝f (x )图像的一个对称中心，且b ＝3，求△ABC 外接圆的面积．解：(1)f (x )＝sin ωx ·cos π6－cos ωx ·sin π6－2·1＋cos ωx 2＋1＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 因为f (x )的最大值为3，依题意，函数f (x )的最小正周期为π， 由2πω＝π，得ω＝2.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 依题意3sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝0. 又0<B <π，故－π3<B －π3<23π，所以B －π3＝0，B ＝π3.设△ABC 外接圆的半径为R . 由正弦定理知b sin B ＝2R ，332＝2R ，所以R ＝3， 故△ABC 外接圆的面积为πR 2＝3π.考单招——上高职单招网17．在△ABC 中，已知∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且∠C ＝2∠A . (1)若△ABC 为锐角三角形，求ca 的取值范围； (2)若cos A ＝34，a ＋c ＝20，求b 的值．解：(1)根据正弦定理有c a ＝sin C sin A ＝sin 2Asin A ＝2cos A ，在△ABC 为锐角三角形中， ⎩⎪⎨⎪⎧0<A ，B ，C <π2，C ＝2A⇒π6<A <π4，所以ca ∈(2，3)．(2)由(1)c a ＝2cos A ，又cos A ＝34，得c a ＝32，⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a ＋c ＝20⇒⎩⎨⎧a ＝8，c ＝12.再由余弦定理有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即64＝b 2＋144－18b ，解得b ＝8或b ＝10， 经检验b ＝10.18．已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R)．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值与函数f (x )的单调区间；考单招——上高职单招网(2)设g (x )＝(x 2－2x )e x ，若对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x ＝(ax －1)(x －2)x (x >0)． (1)∵曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行， ∴f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23.∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫23x －1(x －2)x(x >0)，令f ′(x )<0⇒32<x <2；令f ′(x )>0⇒0<x <32或x >2.∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，32，(2，＋∞)； 递减区间为⎝⎛⎭⎫32，2. (2)由已知对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得 f (x 1)<g (x 2)，则只需在(0,2]上有f (x )max <g (x )max . ∵f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x(x >0)，则 ①当a ≤0时，0<x ≤2⇒ax －1<0, x －2≤0， 故在区间(0,2]上，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， 所以f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln 2 ＝－2a －2＋2ln 2.②当0<a <12时，令f ′(x )＝0，则x ＝2或x ＝1a ，且1a >2，考单招——上高职单招网故在区间(0,2]上，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，所以f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln 2＝－2a －2＋2ln 2.③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)22x≥0，f (x )单调递增， 所以f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln 2＝－2a －2＋ln 2.④当a >12时，令f ′(x )＝0， 则x ＝2，或x ＝1a ，且0<1a <2，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上单调递减， 故f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－2－12a－2ln a . 综上所述，f (x )max ＝⎩⎨⎧ －2a －2＋ln 2⎝⎛⎭⎫a ≤12，－2－12a －2ln a ⎝⎛⎭⎫a >12.又g ′(x )＝(x 2－2)e x ，令g ′(x )＝0，则x ＝2(x ＝－2舍去)，且0<x <2时，g ′(x )<0； 当2<x ≤2时，g ′(x )>0，所以g (x )在区间(0，2)上递减，在区间(2，2]上递增， 又g (0)＝g (2)＝0，故g (x )max ＝0.所以f (x )max <g (x )max ⇔⎩⎨⎧ －2a －2＋2ln 2<0⎝⎛⎭⎫a ≤12，－2－12a －2ln a <0⎝⎛⎭⎫a >12.考单招——上高职单招网当a ≤12时，由－2a －2＋2ln 2<0，解得a >ln 2－1， 故ln 2－1<a ≤12. 当a >12时，由a >12可知ln a >ln 12>ln 1e＝－1， 2ln a >－2，－2ln a <2，所以，－2－2ln a <0，－2－12a－2ln a <0恒成立． 综上所述，a 的取值范围是(ln 2－1，＋∞)．。

考单招——上高职单招网1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64解析：选A a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝9，a 6＝11，则S 9等于( ) A ．18 B ．90 C ．72D ．10解析：选B a 1＋a 9＝a 4＋a 6＝9＋11＝20， S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9×(a 4＋a 6)2＝9×202＝90.3．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 7＝4a 24，a 2＝2，则a 1＝( ) A ．1B. 2 C ．2 D.22解析：选A 设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 2＞0，知a 4＞0，a 5＞0，由于a 3·a 7＝a 25，所以a 25＝4a 24，从而a 5＝2a 4，q ＝2，故a 1＝a 2q ＝22＝1. 4．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n －1＋12考单招——上高职单招网C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12解析：选D 因为数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝－1－(－1)n ×(－1)1－(－1)＝(－1)n －12.5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( ) A ．－55 B ．－5 C ．5D ．55解析：选C ∵a n ＝(－1)n (n ＋1)，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝－2＋3－…－10＋11＝(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋(－8＋9)＋(－10＋11)＝1＋1＋1＋1＋1＝5.6．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2－17n ，则当S n 取得最小值时n 的值为( )A ．4或5B ．5或6C ．4D ．5解析：选C 由于S n ＝2n 2－17n ＝2⎝⎛⎭⎫n －1742－2898，而174＝4.25，且S 4＝－36，S 5＝－35，所以当S n 取得最小值时n 的值为4.7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.考单招——上高职单招网答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥28．若数列{a n }为各项均为正数的等比数列，{lg a n }成等差数列，公差d ＝lg 3，且{lg a n }的前三项和为6lg 3，则{a n }的通项公式为________．解析：∵{lg a n }的前三项和为6lg 3，∴3lg a 2＝6lg 3， ∴lg a 2＝2lg 3，又∵d ＝lg 3，则lg a 1＝lg 3，lg a 3＝3lg 3， ∴a 1＝3，a 2＝9，a 3＝27，∴a n ＝3n . 答案：a n ＝3n9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，在数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，b 3＝a 4，b 4＝a 8，…，则b 20＝________.解析：因为a n ＝2n －1，b 1＝1＝21－1，b 2＝3＝22－1，b 3＝7＝23－1，b 4＝15＝24－1，因此b 20＝220－1.答案：220－110．已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n .解：(1)已知2S n ＝a n ＋1，将n ＝1代入得a 1＝1， 将2S n ＝a n ＋1两边同时平方得4S n ＝(a n ＋1)2，①①式中n 用n －1代入得考单招——上高职单招网4S n －1＝(a n －1＋1)2(n ≥2)，②①－②，得4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2， 所以0＝(a n －1)2－(a n －1＋1)2，即[(a n －1)＋(a n －1＋1)]·[(a n －1)－(a n －1＋1)]＝0. 又因为{a n }为正数数列，所以a n －a n －1＝2(n ≥2)，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＝2n －1. (2)由(1)得b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12·⎝ ⎛ 12n －1－⎭⎪⎫12n ＋1， 所以B n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.。

第 1 页班级：________________ 姓名：________________ 座位号：________________……………………………………………………………………………………………………………………………………密 封 线 内 不 要 答 题 数 学(50分)一、 单选择题 ：请按照题意选择确定正确答案，（每小题3分，共21分）1、2>x 是4>x 的（ ）A. 充分条件B.必要非充分条件C.充要条件D. 既非充分条件又非必要条件 2、已知a 是第二象限角，sin α =4/5,则tan α的值为 （ ） A 、3/5 B 、-3/5 C 、4/3 D 、-4/33、函数15282)(2++--=x x x x f 的定义域是（ ）A. ),5()3,(+∞⋃--∞B. )5,3(-C. ]5,3[-D. )5,4()4,3(⋃- 4、过点)2,1(-且与直线0432=+-y x 垂直的直线方程是（ ）A.0123=-+y xB.0723=++y xC.0532=+-y xD.0832=+-y x 5、已知数列}{n a 中，31=a ，31+=-n n a a 则=10a （ ） A. 27 B. 30 C. 33 D. 36 6、计算=+4log 42121（ ）A.0B.1C.2D.47、在6件产品中，有2件次品，任取两件都是次品的概率是( )A 、51 B 、61 C 、101 D 、151二、填空题 ：（每小题3分，共12分）1.a =(-3,5), b =(-15,m).当实数m= 时，b ⊥a ，当实数m= 时，a ∥b2.圆方程为066222=+-++y x y x ，则圆心坐标是 半径是 3.已知一个玩具下半部分是半径为3的半球，上半部分是圆锥，如果圆锥的母线长为5，圆锥的底面与半球的截面重合，则半球S = 圆锥侧S = 4、某职校高一年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从中抽取容量为90的样本，应从男生中各抽取 人, 应从男生中各抽取 人三．解答题（共17分）1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3010=a ，5020=a（1）求其通项n a （2）若210=n S ，求n (5分)2．已知函数xab x f =)(的图像经过两点)1,3(),31,2(Q P ；（1）求函数)(x f 的解析式；（2）对数列}{n a ，若)(log 3n f a n =，求2016a ；（6分)3．现用长8m 的铝合金制作一个矩形窗户的边框，问怎样设计，才能既使铝合金恰好用完，又使窗户的面积最大？(6分)。

2016年甘肃单招数学模拟试题:超几何分布及其应用【试题内容来自于相关网站和学校提供】1：一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则有１个是红球的概率是（）A、B、C、D、2：袋中有7个大小相同的球，其中3个黄球、4个绿球，从袋中任取3个球，则至少有一个绿球的概率为（）A、B、C、D、3：在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。

某顾客从此10张中任抽2张，设该顾客获得的奖品总价值为X（元），则（）A、B、C、D、4：袋中有3个白球，5个黑球和3个红球。

从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分。

设所得分数为ξ，则P(ξ＝0)=（）A、B、C、D、5：袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,2，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为（）A、B、C、D、6：一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数表示的随机试验结果是__________________。

7：某种彩票的开奖是从1～36这36个号码中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的7个号码有4个或4个以上基本号码就中奖，某人买一张彩票，上面含有的基本号码数为。

则____________。

8：袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量，则____________________。

9：已知随机变量只能取3个值，其概率依次成等差数列，则公差的取值范围是。

10：在10件产品中有2件次品，任取3件，其中恰有件次品，则随机变量的分布列为___________________。

11：在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。