2016年甘肃省高考数学试卷及答案(理科)(全国新课标ⅱ)

2016高考全国(理数word含答案)适用贵州甘肃、青海、西藏、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、内蒙古、云南2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（A）43-（B）34-（C）3（D）2（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A）24 （B）18 （C）12 （D）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x =k π2–π6 (k ∈Z) （B ）x =k π2+π6(k ∈Z) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z) （D ）x =k π2+π12(k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34（9）若cos(π4–α)= 35，则sin 2α= （A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（A（B ）32（C （D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()m i ii x y =+=∑ （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .(14)α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.（3）如果α∥β，m α，那么m∥β.（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甘肃省2016年高考理科数学试题及答案(Word版)甘肃省2016年高考理科数学试题及答案第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知 $Z=(m+3)+(m-1)i$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是（B）$(-1,3)$。

2.已知集合$A=\{1,2,3\}$，$B=\{x|(x+1)(x-2)<0,x\in Z\}$，则 $A\cup B=\{0,1,2,3\}$。

3.已知向量 $a=(1,m)$，$b=(3,-2)$，且 $(a+b)\perp b$，则$m=-8$。

4.圆 $x+y-2x-8y+13=0$ 的圆心到直线 $ax+y-1=0$ 的距离为1，则 $a=-\frac{2}{3}$。

5.如图，XXX从街道的 $E$ 处出发，先到 $F$ 处与小红回合，再一起到位于 $G$ 处的老年公寓参加志愿者活动，则XXX到老年公寓可以选择的最短路径条数为（D）$9$。

6.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（B）$24\pi$。

7.若将函数 $y=2\sin^2x$ 的图像向左平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度，则平移后的图像对称轴为$x=k\pi$，其中 $k\in Z$。

8.中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的。

执行该程序框图，若输入的 $x=2$，$n=2$，依次输入的 $a$ 为 $2$，$2$，$5$，则输入的 $s=17$。

9.若 $\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\frac{4}{5}$，则$\sin2\alpha=-\frac{25}{27}$。

10.从区间 $[0,1]$ 随机抽取 $2n$ 个数$x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n$ 构成 $n$ 个数对$(x_1,y_1),\ldots$，其中两数的平方和小于 $1$ 的数对共有$m$ 个，则用随机模拟的方法得$(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$ 到的圆周率 $\pi$ 的近似值为$\frac{4n^2}{4m^2+1}$。

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 参考答案一、选择题：1—12：DBCBA ADCCB AB 二、填空题：（13）2- （14）10 （15）64 （16）216000 三、解答题：（17）解：（I ）由2cos (cos cos )C a B+b A c =得2cos (cos cos )sin C sinA B+sinB A C =，即1cos 2C =，又(0,)C π∈，3C π∴=； （II ）2271cos 22a b C ab +-==，1sin 2ABC S ab C ==，6ab ∴=，2213a b +=5a b ∴+==，所以ABC ∆的周长为5（18）解：（I ）,AF FE AF FD ⊥⊥，F FD FE = ，⊥∴AF 平面EFDC ，又⊂AF 平面ABEF ，所以平面⊥ABEF 平面EFDC ；（II ）以E 为坐标原点，EF ，EB 分别为x 轴和y 轴建立空间直角坐标系（如图）， 设2AF =，则1FD =，因为二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60， 即60oEFD FEC ∠=∠=，易得(0,2,0)B ，(2,2,0)A，1(2C ，1(0,2,0),(2,0,0),(,2EB BA BC ∴===-，设平面EBC 与平面ABCD 的法向量分别 为1111(,,)n x y z =和2222(,,)n x y z =，则111111111111(,,)(0,2,0)2011(,,)(,2022n EB x y z y n BC x y z x y ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩ 令11x =，则110,3y z ==-，1(1,0,3n ∴=-由222222222222(,,)(2,0,0)2011(,,)(,2,202222n BA x y z xn BC x y z xy z ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩， 令22z =，则220,x y ==，13(0,n ∴=12(1,0,2)cos ,n n ⋅∴<>===， 所以二面角E -BC -A 的余弦值为．（19）解：（I ）这100台机器更换的易损零件数为8，9，10，11时的频率为分别为15，25，15，15， 故1台机器更换的易损零件数为8，9，10，11时发生的概率分别为15，25，15，15，每台机器更换与否相互独立，16,17,18,19,20,21,22X =，（II ）(1),(1)252252P X 8P X 9≤=<≤=≥，所以n 的最小值为19； （III ）若买19件时费用期望为：4040251)150019200(252)100019200(255)50019200(251719200=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯， 若买20件时费用期望为：4080251)100020200(252)50020200(252220200=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯， 所以应选用19n =．（20）解：（I ）圆心为(1,0)A -，圆的半径为4AD =，AD AC =，ADC ACD ∴∠=∠，又//BE AC ，ACD EBD ADC ∴∠=∠=∠， BE ED =，4EA EB AD +==．所以点E 的轨迹是以点(1,0)A -和点(1,0)B 为焦点，以4为长轴长的椭圆，即2,1a c ==b ∴=所以点E 的轨迹方程为：221(0)43x y y +=≠． （II ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，3MN =，8PQ =， 此时四边形MPNQ 面积为12；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆22143x y +=联立得：2222(34)84120k x k x k +-+-=， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-⋅=+，|MN |=2212(1)34k k +=+，直线PQ 方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=， 所以圆心(1,0)A -到直线PQ的距离为d =，PQ ∴==，221112(1)2234MPNQ k S MN PQ k +=⋅===+四边形=， 综上可知四边形MPNQ面积的取值范围为．（21）解：（I ）'()(2)2(1)(1)(2)x x xf x e x e a x x e a =+-+-=-+①当0a =时，()(2)xf x x e =-，此时函数()f x 只有一个零点，不符合题意舍去；②当0a >时，由'()01f x x >⇒>，由'()01f x x <⇒<，所以()f x 在(,1)-∞上递减，在(1,)+∞上递增，min ()(1)0f x f e ∴==-<，又(2)0f a =>，所以函数()f x 在(1,)+∞上只有一个零点，当x →-∞时，0xe →，此时，()f x →+∞，所以函数()f x 在(,1)-∞上只有一个零点 此时函数()f x 有两个零点．③当02ea -<<时，0ln(2)1a <-<， 由'()01ln(2)f x x x a >⇒><-或，由'()0ln(2)1f x a x <⇒-<< 所以()f x 在(,ln(2))a -∞-和(1,)+∞上递增，在(ln(2),1)a -上递减，()(1)0f x f e ∴==-<极小值，2()(ln(2))(ln(2)2)(2)(ln(2)1)0f x f a a a a a =-=---+--<极大值 此时函数()f x 至多一个零点，不符合题意，舍去；④当2e a =-时，'()(2)2(1)(1)()0x x xf x e x e a x x e e =+-+-=--≥恒成立，此时函数()f x 至多一个零点，不符合题意，舍去；⑤当2e a <-时，ln(2)1a ->，由'()01ln(2)f x x x a >⇒<>-或，由'()01ln(2)f x x a <⇒<<-所以()f x 在(,1)-∞和(ln(2),)a -+∞上递增，()f x 在(1,ln(2))a -上递减，()(1)0f x f e ∴==-<极大值，因为()f x 在(1,ln(2))a -上递减，所以()=(ln(2))0f x f a -<极小值， 此时函数()f x 至多一个零点，不符合题意，舍去． 综上可知(0,)a ∈+∞．（II ）由（I ）若x 1，x 2是()f x 的两个零点，则0a >，不妨令12x x <，则121x x <<要证122x x +<，只要证122x x <-，21x >，221x ∴-<，当0a >时，()f x 在(,1)-∞上递减， 且1()0f x =，(1)0f <所以，只要证2(2)0f x -<，222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，又22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-= 222222(2)(2)x x f x x e x e -∴-=---令2(2),(1)xx y xex e x -=--->22'22(2)(1)xxxxxxe e y exee x e x e ---=-+---=-，．221,10,x x x e e >∴-><，'0y ∴<2(2)x x y xe x e -∴=---在(1,)+∞上递减，当1x =时，0y = 1,0x y ><，即2(2)0f x -<成立， 122x x ∴+<成立．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲解：（Ⅰ）设E 是AB 的中点，连结OE ．因为,120,OA OB AOB ︒=∠= 所以,60OE AB AOE ︒⊥∠=在Rt AOE ∆中，12OE AO =， 即O 到直线AB 的距离等于O 的半径， 所以直线AB 与O 相切．（Ⅱ）因为2OA OD =，所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心， 设O '是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线OO '．由已知的O 在线段AB 的垂直平分线上，又O '在线段AB 的垂直平分线上，所以OO AB '⊥． 同理可证，OO CD '⊥，所以//AB CD ．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程()2221x y a +-=．故1C 是以()0,1为圆心，a 为半径的圆．将cos ,sin x y ρθρθ==代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为222sin 10a ρρθ-+-=．（Ⅱ）曲线12,C C 的公共点的极坐标满足方程组:{222sin 104cos a ρρθρθ-+-==. 若0ρ≠，由方程组得2216cos 8sin cos 10a θθθ-+-=，由已知tan 2θ=，可得216cos 8sin cos 0θθθ-=，从而210a -=，解得1a =-（舍去），1a =． 1a =时，极点也为12,C C 的公共点，在3C 上． 所以1a =．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）()4,1,332,1,234,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪=--<≤⎨⎪⎪-+>⎩()y f x =的图像如图所示．（Ⅱ）由函数()f x 的表达式及图像， 当()1f x =时，可得1x =，或3x =； 当()1f x =-时，可得13x =，或5x =． 故()1f x >的解集为}{13x x <<；()1f x <-的解集为{}1,53x x x <>或． 所以()1f x >的解集为{}11353x x x x <<<>或或．。

2016年甘肃省高考理科数学试题与答案（满分150分，时间120分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共24题，共5页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题 ，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知Z=（m+3）+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）（-3,1） （B ）（-1,3） （C ）()1,+∞ （D ）(),3-∞-（2）已知集合{}1,2,3A =，{}|(1)(2)0,B x x x x Z =+-<∈，则AB =（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2,3} （D ）{-1,0,1,2,3}（3）已知向量a=（1，m ），b=（3，-2），且（a+b ）⊥b ，则m=（A ）-8 （B ）-6 （C ）6 （D ）8（4）圆22x +y -2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（A ）4-3 （B ）3-4（C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小明回合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数2sin 2y x = 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后的图像对称轴为 （A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈（8）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。

执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输入的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos （4π-α）=35，则sin2α= （A ）725 （B ）15 （C ）-15 （D ）-725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数12,,...,nx x x ， 12,,...,n y y y 构成n 个数对11,x （y ），22,x （y ），…，,n n x （y ），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11 1F ,2F 是双曲线E ：22221a x y b+=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，121sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（A （B ）32（C （D ）2（12）已知函数f x ∈（）（R ）满足f x =f x （-）2-（），若函数x 1y=x+与y=f x （）图像的x 1y=f x x +（）交点为（1x ，1y ）；（2x ，2y ），…，（m x ，m y ），则1()mi i i x y =+=∑ （A ）0 (B)m (C)2m (D)4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．974．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．==25﹣【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）（使用地区 ：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2016新课标Ⅱ(理）】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A.()31-，B.()13-，C.()1,∞+D.()3∞--，【答案】A【解析】∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ．【2016新课标Ⅱ(理）】已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B = A.{}1B.{12}，C.{}0123，，，D.{10123}-，，，， 【答案】C【解析】()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，， ∴{}01B =，，∴{}0123A B = ，，，， 故选C ．【2016新课标Ⅱ(理）】已知向量(1,)(3,2)a m b =- ，=，且()a b b +⊥，则m = A.8- B.6- C.6 D.8【答案】D【解析】 ()42a b m +=-，， ∵()a b b +⊥ ，∴()122(2)0a b b m +⋅=--=解得8m =， 故选D ．【2016新课标Ⅱ(理）】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=A.43-B.34- D.2【答案】A【解析】圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d =，解得43a =-，故选A ．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9 【答案】B【解析】E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法故选B ．【2016新课标Ⅱ(理）】右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.20πB.24πC.28πD.32π 【答案】C【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l =，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．【2016新课标Ⅱ(理）】若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A.()ππ26k x k =-∈Z B.()ππ26k x k =+∈Z C.()ππ212Z k x k =-∈ D.()ππ212Z k x k =+∈ 【答案】B【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．【2016新课标Ⅱ(理）】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =A.7B.12C.17D.34 【答案】C【解析】第一次运算：0222s =⨯+=，第二次运算：2226s =⨯+=， 第三次运算：62517s =⨯+=，故选C ．【2016新课标Ⅱ(理）】若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=A.725B.15C.15-D.725-【答案】D【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．【2016新课标Ⅱ(理）】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为A.4n m B.2n m C.4m n D.2mn【答案】C【解析】由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知π41m n=，∴4πmn=，故选C ．【2016新课标Ⅱ(理）】已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为B.32D.2 【答案】A【解析】离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====--- 故选A ．【2016新课标Ⅱ(理）】已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A.0B.mC.2mD.4m【答案】B【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称， 而111x y x x+==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +， ∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．【2016新课标Ⅱ(理）】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c o s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【解析】2113∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =， ()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =．【2016新课标Ⅱ(理）】α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 【解析】②③④【2016新课标Ⅱ(理）】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 【解析】 (1,3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足， 若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足， 故甲（1，3），【2016新课标Ⅱ(理）】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = ． 【解析】 1ln2-ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ） ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x =212x =-∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【2016新课标Ⅱ(理）】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．【2016新课标Ⅱ(理）】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ， ()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 0.2550.150.250.30.1750.a a a a a a a =+++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置OD '（I ）证明：DH'⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.【解析】⑴证明：∵54AE CF ==，∴AE CFAD CD=， ∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥， ∴EF D H ⊥，∴EF DH'⊥． ∵6AC =， ∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥， ∴4OB =， ∴1AEOH OD AO=⋅=， ∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+， ∴'D H OH ⊥． 又∵OH EF H =I ， ∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =u u u r ，，，()'133AD =-u u u r ，，，()060AC =u u u r ，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ 得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴()1345n =-u r，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r，，，∴1212cos n n n n θ⋅===u r u u ru r u u r∴sin θ=【2016新课标Ⅱ(理）】已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-= 解得2x =-或228634k x k -=-+，则222861223434k AM k k -=+=++ 因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k kk =⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN =，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=， 2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM ⎫==⎪+⎭． ⑵直线AM的方程为(y k x =，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=解得x =x =所以AM =所以3AN k k+因为2AM AN =所以23k k=+，整理得，23632k k t k -=-． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-2k <<．【2016新课标Ⅱ(理）】(I)讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;xx x -++>(II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 【解析】⑴证明：()2e 2xx f x x -=+ ()()()22224e e 222x xx x f x x x x ⎛⎫-'⎪=+= ⎪+++⎝⎭∵当x ∈()()22,-∞--+∞ ，时，()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+∴()2e 20x x x -++>⑵ ()()()24e 2e xx a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2x x x x ax a x-++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=[)01a ∈，由(1)知，当0x >时，()2e 2xx f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解． 使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增()()()222e 1ee 1e 22t ttt t t a t t h a t t t -++⋅-++===+记()e 2tk t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号【2016新课标Ⅱ(理）】如图，在正方形ABCD ，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . (I) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(II)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.【解析】（Ⅰ）证明：∵DF CE ⊥∴Rt Rt DEF CED △∽△∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠ DF CFDG BC= ∵DE DG =，CD BC = ∴DF CFDG BC= ∴GDF BCF △∽△ ∴CFB DFG ∠=∠∴90GFB GFC CFB GFC DFG DFC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴180GFB GCB ∠+∠=︒． ∴B ，C ，G ，F 四点共圆． （Ⅱ）∵E 为AD 中点，1AB =， ∴12DG CG DE ===， ∴在Rt GFC △中，GF GC =， 连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△，∴1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．【2016新课标Ⅱ(理）】选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB l的斜率．【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，=即22369014k k =+，整理得253k =，则k =【2016新课标Ⅱ(理）】选修4—5：不等式选讲已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．【解析】解：⑴当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．⑵当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+， 证毕．2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）（使用地区 ：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【2016新课标Ⅱ(理）】已知z=（m+3）+（m ﹣1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣3，1） B ．（﹣1，3） C ．（1，+∞） D ．（﹣∞，﹣3）2．【2016新课标Ⅱ(理）】已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}3．【2016新课标Ⅱ(理）】已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．84．【2016新课标Ⅱ(理）】圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．25．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A．24 B．18 C．12 D．96．【2016新课标Ⅱ(理）】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π7．【2016新课标Ⅱ(理）】若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）8．【2016新课标Ⅱ(理）】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．349．【2016新课标Ⅱ(理）】若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣D．﹣10．【2016新课标Ⅱ(理）】从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．11．【2016新课标Ⅱ(理）】已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．212．【2016新课标Ⅱ(理）】已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A．0 B．m C．2m D．4m二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．【2016新课标Ⅱ(理）】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．14．【2016新课标Ⅱ(理）】α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）15．【2016新课标Ⅱ(理）】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．16．【2016新课标Ⅱ(理）】若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【2016新课标Ⅱ(理）】S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．18．【2016新课标Ⅱ(理）】某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点M，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．20．【2016新课标Ⅱ(理）】已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【2016新课标Ⅱ(理）】在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l 的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．【2016新课标Ⅱ(理）】已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．。

一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A.（-3，1）B.（-1，3）C.（1，+∞）D.（-∞，-3）2.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{-1，0，1，2，3}3.已知向量=（1，m），=（3，-2），且（+）⊥，则m=（）A.-8B.-6C.6D.84.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（）A.-B.-C.D.25.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A.24B.18C.12D.96.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20πB.24πC.28πD.32π7.若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A.x=-（k∈Z）B.x=+（k∈Z）C.x=-（k∈Z）D.x=+（k∈Z）8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A.7B.12C.17D.349.若cos（-α）=，则sin2α=（）A. B. C.- D.-10.从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A. B. C. D.11.已知F1，F2是双曲线E：-=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A. B. C. D.212.已知函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A.0B.mC.2mD.4m二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ______ ．14.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是 ______ （填序号）15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ______ ．16.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= ______ ．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．18.某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险0 1 2 3 4 ≥5次数保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险0 1 2 3 4 ≥5次数概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点M，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B-D′A-C的正弦值．20.已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．21.（Ⅰ）讨论函数f（x）=e x的单调性，并证明当x＞0时，（x-2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．22.如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．23.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．24.已知函数f（x）=|x-|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）答案和解析【答案】1.A2.C3.D4.A5.B6.C7.B8.C9.D 10.C 11.A 12.B13.14.②③④15.1和316.1-ln217.解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．18.解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：元），上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：p1=1-0.30-0.15=0.55．（Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15，由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率：p2=P（B|A）===．（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：=1.23，∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23．19.（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，-3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=-4，z=5．∴．同理可求得平面A D′C的一个法向量，设二面角二面角B-D′A-C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B-D′A-C的正弦值为sinθ=．20.解：（Ⅰ）t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（-2，0），直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，解得x=-2或x=-，则|AM|=•|2-|=•，由AN⊥AM，可得|AN|=•=•，由|AM|=|AN|，k＞0，可得•=•，整理可得（k-1）（4k2-k+4）=0，由4k2-k+4=0无实根，可得k=1，即有△AMN的面积为|AM|2=（•）2=；（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，可得（3+tk2）x2+2t k2x+t2k2-3t=0，解得x=-或x=-，即有|AM|=•|-|=•，|AN|═•=•，由2|AM|=|AN|，可得2•=•，整理得t=，由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．21.解：（1）证明：f（x）=f'（x）=e x（）=∵当x∈（-∞，-2）∪（-2，+∞）时，f'（x）＞0∴f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上单调递增∴x＞0时，＞f（0）=-1即（x-2）e x+x+2＞0（2）g'（x）==a∈[0，1]由（1）知，当x＞0时，f（x）=的值域为（-1，+∞），只有一解使得，t∈[0，2]当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；h（a）===记k（t）=，在t∈（0，2]时，k'（t）=＞0，故k（t）单调递增，所以h（a）=k（t）∈（，]．22.（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，∴Rt△DFC∽Rt△EDC，∴=，∵DE=DG，CD=BC，∴=，又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG，∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°，∴B，C，G，F四点共圆．（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=．23.解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（-6，0），半径r=5，∴圆心C（-6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．24.解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：-x-x-＜2，解得：x＞-1，∴-1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：-x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：-+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（-1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．【解析】1. 解：z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得-3＜m＜1．故选：A．利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．本题考查复数的几何意义，考查计算能力．2. 解：∵集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：C．先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．3. 解：∵向量=（1，m），=（3，-2），∴+=（4，m-2），又∵（+）⊥，∴12-2（m-2）=0，解得：m=8，故选：D．求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．4. 解：圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y-1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．5. 解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42=6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．故选：B．从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法，利用乘法原理可得结论．本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题6. 解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．7. 解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．利用函数y= A sin（ωx+ φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．本题考查函数yy= A sin（ωx+ φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．8. 解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．9. 解：∵cos（-α）=，∴sin2α=cos（-2α）=cos2（-α）=2cos2（-α）-1=2×-1=-，故选：D．利用诱导公式化sin2α=cos（-2α），再利用二倍角的余弦可得答案．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．10. 解：由题意，，∴π=．故选：C．以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．11.解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，∵MF1与x轴垂直，∴（2a+x）2=x2+4c2，∴x=∵sin∠MF2F1=，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a，∴a=b，∴c=a，∴e==．故选：A．设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出结论．本题考查双曲线的定义与方程，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12. 解：函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），即为f（x）+f（-x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（-x2，2-y2）也为交点，…则有（x i+y i）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=[（x1+y1）+（-x1+2-y1）+（x2+y2）+（-x2+2-y2）+…+（x m+y m）+（-x m+2-y m）]=m．故选B．由条件可得f（x）+f（-x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，计算即可得到所求和．本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．13. 解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．14. 解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．15. 解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．16. 解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k==，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而kx1+b=lnx1+2得出b=1-ln2．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题17.（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b n}的前1000项和．本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．18.（Ⅰ）上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率．（Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意求出P（A），P（AB），由此利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率．（Ⅲ）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、条件概率计算公式的合理运用．19.（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得E F⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B-D′A-C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B-D′A-C的正弦值可求．本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．20.（Ⅰ）求出t=4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积；（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，求得交点M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围．本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，然后逐步分析即可该题考查了导数在函数单调性上的应用，重点是掌握复合函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，中档题．22.（Ⅰ）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；（Ⅱ）在Rt△DFC中，GF=CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S四边形BCGF=2S△BCG，据此解答．本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用．23.（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C 的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．24.（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2430={|}A x x x -+<，3{}0|2x B x ->=，则A B =（ ） A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)22．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则|i |x y +=（ ）A ．1 BCD ．23．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（ ）A ．100B ．99C ．98D ．974．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．345．已知方程222213xym nm n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）A ．(1,3)-B．(1-C ．(0,3)D．6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 （ ）A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π7．函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）ABC D 8. 若0a b >>，01c <<，则（ ）A ．cca b <B ．ccab ba > C ．alog log b a c b c <D ．log log a b c c<9．执行右面的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x ，y 的值满足（ ）A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x =10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点，已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A B CD ．1312．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5(,)1836ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此-------------------卷-------------------上--------------------答-------------------题--------------------无------------------效----------第II 卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．设向量a (,1)m =，b (1,2)=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则m = ． 14．5(2x 的展开式中，3x 的系数是 （用数字填写答案）．15．设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a …的最大值为 ． 16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c =ABC △，求ABC △的周长．18．（本小题满分12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60． （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E BC A --的余弦值．19．（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的 频率代替1台机器更换的易损零件数 发生的概率，记X 表示2台机器三年 内共需更换的易损零件数，n 表示购 买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n =19与n =20之中选其一，应选用哪个？20．（本小题满分12分）设圆22215=0x y x ++-的圆心为A ，直线l 过点(10)B ，且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明||||EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<．请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，OAB △是等腰三角形，120AOB ∠=.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. （Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB CD ∥.23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24．（本小题满分10分），选修45-：不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. （Ⅰ）在图中画出()y f x =的图象； （Ⅱ）求不等式|()|1f x >的解集.ABCDEF2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】{}{}2A x x 4x 30x 1x 3=-+<=<<，{}3B x 2x 30x x 2⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，故3B x 2⎧=⎨⎩【提示】解不等式求出集合【考点】交集及其运算【解析】(1i)x 1yi +=+，x xi 1yi ∴+=+，即x 1x y =⎧⎨=，解得x 1y 1=⎧⎨=，即x y i 1i 2+=+=【解析】等差数列，又10a 8=，【提示】根据已知可得【考点】等差数列的性质】双，方【解析】f (x)y =时，y 8=-x4x e 0-=【解析】a b 1>>线的距离为4．【提示】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【考点】圆与圆锥曲线的综合，抛物线的简单性质11.【答案】A【解析】如图，α∥平面CB α平面ABCD α平面ABA，11CB D △60，则m 32．【提示】画出图形，判断出m 【考点】异面直线及其所成的角【解析】πx 4=-为1πT 2=，即12ππ(n N 2=∈ω为正奇数，f (x)在5π36⎛⎫⎪⎝⎭上单调，πππ361812-=时，11π4-+π2ϕ≤，9π4-+ϕ，π2ϕ≤，ω【答案】2-222a b a b +=+，可得a b 0=，向量a (m,1)=，b (1,2)=，n123n (q++++-…6264==．【提示】设A ，B 两种产品分别是标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可．【考点】简单线性规划的应用三、解答题17.【答案】（Ⅰ）在ABC △已知等式利用正弦定理化简得12ab2，(a ∴的周长为5+（Ⅰ）A BEF 为正方形，AFD 90∠=，A F DF ∴⊥，DF EF F =，AF ∴⊥平面EFDCAF ⊂平面∴平面A BEF （Ⅱ）由A BE EF ⊥BE ∴⊥平面可得DFE 60∠．A B EF ∥EFDC AB ∴∥平面平面EFDC 平面ABCD ，EB (0,2a,0)∴=，a BC ,⎛= ，AB (2a,0,0)=-设平面BEC 的法向量为m (x ,=，则m EB 0m BC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，则m (3,0,=设平面ABC 的法向量为n (x ,y ,z =n BC=0n AB 0⎧⎪⎨=⎪⎩，则，取n (0,3,4)=的大小为θ，m n |m ||n |31316==++【提示】（Ⅰ）证明AF ⊥平面EFDC 平面EFDC ；（Ⅱ）证明四边形EFDC 为等腰梯形，4040=1EX EX <解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购222222143m 41m1m||MN |12242423m 41m3m 4+++===+++时，S 取得最小值12，又10>，可得3S 24833<=【提示】（Ⅰ）求得圆A EB ED =，再由圆的定义和椭圆的定义，b ，c ，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l ：x my =+0）1x ，2x 1x 121(x 2)e (x 1)-=-2[(x 2)g (x)-+'=∴当x 1<时，e 1，OA OB =120，OK ∴30，1OK OAsin30OA 2=直线AB 与O 相切；D 四点所在圆的圆心，设四点所在圆的圆心，OA OB =的中垂线，∴AB 中点，连结30，1OK OAsin30OA 2=曲线如图：（Ⅱ）由f (x)1>，可得，当3当x ≥时，4x 1->，解得x 5>或x 3<，即有x 3≤<或x 5>．(1,3)(5,)⎫+∞⎪⎭（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f (x)的解析式，由分段函数的画法，即可得到所。

2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．23．（5 分）已知等差数列{a n}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．（5 分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5 分）已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5 分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5 分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C 的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5 分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω 的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13．（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5 分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n 的最大值为．16．（5 分）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3 个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．（I）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．19．（12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．（I）求X 的分布列；（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E．（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（I）求a 的取值范围；（II）设x1，x2 是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，OA 为半径作圆．（I）证明：直线AB 与⊙O 相切；（II）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（I）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（I）在图中画出y=f（x）的图象；（II）求不等式|f（x）|＞1 的解集．2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|= ，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y 的值是解决本题的关键．3．（5 分）已知等差数列{a n}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9 项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5 分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10 分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y 在7：50 至8：00，或8：20 至8：30 时，小明等车时间不超过10 分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5 分）已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n 的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x 轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1 表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n 的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y 轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5 分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2 时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0 有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5 分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A 错误；函数f（x）=x c﹣1 在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B 错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C 正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5 分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C 的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C 的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n 所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1 是正三角形．m、n 所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n 所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5 分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω 的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω 的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9 时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω 的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13．（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2 ．r +1【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A ：平面向量及应用． 【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m ，1），=（1，2），可得 m +2=0，解得 m=﹣2． 故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5 分）（2x +）5 的展开式中，x 3 的系数是 10 ．（用数字填写答案）【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P ：二项式定理． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r +1 项，令 x 的指数为 3，求出 r ，即可求出展开式中 x 3 的系数． 【解答】解：（2x +）5 的展开式中，通项公式为：T = =25﹣r，令 5﹣=3，解得 r=4 ∴x 3 的系数 2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5 分）设等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1a 2…a n 的最大值为 64 ．1 2 n 1 【考点】87：等比数列的性质；8I ：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】求出数列的等比与首项，化简 a 1a 2…a n ，然后求解最值． 【解答】解：等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，可得 q （a 1+a 3）=5，解得 q=． a 1+q 2a 1=10，解得 a 1=8．则 a a …a =a n •q1+2+3+…+（n ﹣1）=8n • = = ，当 n=3 或 4 时，表达式取得最大值： =26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216000元．【考点】7C ：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000 元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC 不为0 求出cosC 的值，即可确定出出C 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b 的值，即可求△ABC 的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC 的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．（I）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC 为等腰梯形，以E 为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC 的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF 为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE 为二面角D﹣AF﹣E 的平面角；由ABEF 为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF 为二面角C﹣BE﹣F 的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB✪平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC 为等腰梯形．以E 为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC 的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC 的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A 的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A 的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．（I）求X 的分布列；（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（II）由X 的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5 中n 的最小值．（III）法一：由X 的分布列得P（X≤19）=．求出买19 个所需费用期望EX1和买20 个所需费用期望EX2，由此能求出买19 个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19 时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19 个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P （X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）= =，P（X=20）= ==，P（X=21）= =，P（X=22）= ，∴X 的分布列为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5 中，n 的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19 个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20 个所需费用期望：EX2= +（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19 个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19 时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20 时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19 个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E．（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0 即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E 的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•= •=12•，A 到PQ 的距离为d==，|PQ|=2 =2=，则四边形MPNQ 面积为S= |PQ|•|MN|= ••12•=24•=24，当m=0 时，S 取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8 ，即有四边形MPNQ 面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（I）求a 的取值范围；（II）设x1，x2 是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a 进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2 是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0 恒成立，当x＜1 时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1 时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1 时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1 存在一个零点；当x＜1 时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0 的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2 时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1 存在一个零点；即函数f（x）在R 是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1 时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0 恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0 得：函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R 上单调递增，函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1 时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0 恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1 时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0 得：函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2 是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）= ，m＞0，则h′（m）= ＞0 恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，OA 为半径作圆．（I）证明：直线AB 与⊙O 相切；（II）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK．根据等腰三角形AOB 的性质知OK⊥ AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB 是圆O 的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT 为AB 的中垂线，OT 为CD 的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O 不是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．设T 是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT 为AB 的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT 为CD 的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（I）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1 是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ 化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，把C1 与C2 的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x 可得1﹣a2=0，则a 值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1 为以（0，1）为圆心，以a 为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，∴y=2x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（I）在图中画出y=f（x）的图象；（II）求不等式|f（x）|＞1 的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1 时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）= ，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1 时，|x﹣4|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1 或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x＞5 或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3 或x＞5．则|f（x）|＞1 的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

2016年甘肃省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}3．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．84．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．25．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A．24 B．18 C．12 D．96．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．349．（5分）若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣10．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n 个数对（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．212．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A．0 B．m C．2m D．4m二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．16．（5分）若直线y=kx +b 是曲线y=lnx +2的切线，也是曲线y=ln （x +1）的切线，则b= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 7=28，记b n =[lga n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1． （Ⅰ）求b 1，b 11，b 101；（Ⅱ）求数列{b n }的前1000项和．18．（12分）某保险的基本保费为a （单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE=CF=，EF 交于BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B ﹣D′A ﹣C 的正弦值．20．（12分）已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g （x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．2016年甘肃省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）【解答】解：z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得﹣3＜m＜1．故选：A．2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：C．3．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．4．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．2【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A．24 B．18 C．12 D．9【解答】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22=6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31C22=3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．故选：B．6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．34【解答】解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C9．（5分）若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，∴（1+sin2α）=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，故选：D．10．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n 个数对（x 1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•12，从区间[0，1】随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），对应的区域的面积为12．∴=∴π=．11．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则丨MF1丨=，丨MF2丨=，∴sin∠MF2F1=，∴=，可得：2b4=a2c2，即b2=ac，又c2=a2+b2，可得e2﹣e﹣=0，e＞1，解得e=．故选A．12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A．0 B．m C．2m D．4m【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，…则有（x i+y i）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（x m+y m）+（﹣x m+2﹣y m）]=m．故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是②③④（填序号）【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=1﹣ln2．【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k==，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而kx1+b=lnx1+2得出b=1﹣ln2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．18．（12分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【解答】解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a （单位：元），上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费， ∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得： 一续保人本年度的保费高于基本保费的概率： p 1=1﹣0.30﹣0.15=0.55．（Ⅱ）设事件A 表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B 表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”， 由题意P （A ）=0.55，P （AB ）=0.10+0.05=0.15， 由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费， 则其保费比基本保费高出60%的概率： p 2=P （B |A ）===．（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：=1.23，∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23．19．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE=CF=，EF 交于BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B ﹣D′A ﹣C 的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．20．（12分）已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）方法一、t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（﹣2，0），直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，解得x=﹣2或x=﹣，则|AM|=•|2﹣|=•，由AN⊥AM，可得|AN|=•=•，由|AM|=|AN|，k＞0，可得•=•，整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）=0，由4k2+k+4=0无实根，可得k=1，即有△AMN的面积为|AM|2=（•）2=；方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N关于x轴对称，由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2，代入椭圆方程+=1，可得7x2+16x+4=0，解得x=﹣2或﹣，M（﹣，），N（﹣，﹣），则△AMN的面积为××（﹣+2）=；（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，可得（3+tk2）x2+2t k2x+t2k2﹣3t=0，解得x=﹣或x=﹣，即有|AM|=•|﹣|=•，|AN|═•=•，由2|AM|=|AN|，可得2•=•，整理得t=，由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g （x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．【解答】解：（1）证明：f（x）=f'（x）=e x（）=∵当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）时，f'（x）＞0∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增∴x＞0时，＞f（0）=﹣1即（x﹣2）e x+x+2＞0（2）g'（x）===a∈[0，1）由（1）知，当x＞0时，f（x）=的值域为（﹣1，+∞），只有一解使得，只需•e t≤0恒成立，可得﹣2＜t≤2，由x＞0，可得t∈（0，2]当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；h（a）===记k（t）=，在t∈（0，2]时，k'（t）=＞0，故k（t）单调递增，所以h（a）=k（t）∈（，]．请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．【解答】（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，∴Rt△DFC∽Rt△EDC，∴=，∵DE=DG，CD=BC，∴=，又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG，∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°，∴B，C，G，F四点共圆．（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S=2S△BCG=2××1×=．四边形BCGF[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t=，代入y=ts inα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，圆心到直线的距离d=．∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，解得：x＞﹣1，∴﹣1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（﹣1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。