2011年高考数学压轴题跟踪演练系列5DADWD

2011年高考最新数学压轴题系列训练（五）1. 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，直线l :2y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切. （I ）求椭圆1C 的方程；（II ）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（III ）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0,QR RS ⋅=求QS 的取值范围.解：（Ⅰ）∵222222221,2333c a b e e a ba c -=∴===∴=，∵直线22202:b y x y x l =+=--与圆相切，∴2,2,222==∴=b b b ∴32=a ∵椭圆C1的方程是 12322=+y x（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M 到定直线1:1-=x l 的距离等于它到定点F1（1，0）的距离， ∴动点M 的轨迹是C 为l1准线，F2为焦点的抛物线 ，∴点M 的轨迹C2的方程为x y 42=（Ⅲ）Q （0，0），设),4(),,4(222121y y S y y R ，∴),4(),,4(122122121y y y y y y --==∵0=⋅，∴0)(16)(121212221=-+-y y y y y y ，∵0,121≠≠y y y ，化简得∴)16(112y y y +-= ∴6432256232256212122=+≥++=y y y ，当且仅当 4,16,2561212121±===y y y y 时等号成立 ∵6464)8(41)4(||2222222222≥-+=+=y y y y QS ，又∴||58||8,64min 222y y ，故时，=±==的取值范围是),58[+∞2. 函数(),()ln ln ,x f x ae g x x a ==-其中a 为常数，且函数()y f x =和()y g x =的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行（1）求函数()y g x =的解析式（2）若关于x 的不等式()x mg x ->m 的取值范围。

2011高考数学押题卷及答案 如皋中学4月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是 ▲ .2．若复数1z mi =-(i 为虚数单位，m ∈R )，若22z i =-，则复数z 的虚部为 ▲ .3．若函数()2sin()(0)f x x =ω+ϕω>的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω的值为 ▲ .4．若双曲线焦点为(5,0)，渐近线方程为2x y =±，则此双曲线的标准方程为 ▲ ．5．已知向量a → = (sin 55°，sin 35°)，b → = (sin 25°，sin 65°)，则向量 a → 与 b → 的夹角为 ▲ ．6．已知a ，b ，c 是锐角△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，若a = 3，b = 4，△ABC 的面积为33，则c = ▲ ．7．作为对数运算法则：lg()lg lg (0,0)a b a b a b +=+>>是不正确的.但对一些专门值是成立的，例如：lg(22)lg 2lg 2+=+. 则关于所有使lg()lg lg a b a b +=+（0a >，0b >）成立的,a b 应满足函数()a f b =表达式为▲ .8．两游客坐火车旅行，期望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车内的座位的排法如图，则下列座位号码中符合要求的有 ▲ .①48，49 ②54，55 ③62，63④75，76 ⑤84，85 ⑥96，979．已知关于x 的不等式 x + 1x + a 2的解集为P ，若1P ，则实数a 的取值范畴为 ▲ ．窗口 1 2过道 345窗口67 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … … …10．已知集合(){}22,|2009x y x y Ω=+≤，若点),(y x P 、点),(y x P '''满足x x '≤且y y '≥，则称点P 优于P '. 如果集合Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，则所有如此的点Q 构成的集合为 ▲ .11．若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范畴是 ▲ .12．已知集合P ={ x | x = 2n ，n ∈N}，Q ={ x | x = 2n ，n ∈N}，将集合P ∪Q 中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，则数列{an}的前20项之和S20 = ▲ ．13．记集合{}0,1,2,3,4,5,6=T ，3124234,1,2,3,47777⎧⎫=+++∈=⎨⎬⎩⎭i a a a a Ma T i ，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是 ▲ .14．已知抛物线()y g x =通过点(0,0)O 、(,0)A m 与点(1,1)P m m ++，其中0>>n m ，a b <，设函数)()()(x g n x x f -=在a x =和b x =处取到极值，则n m b a ,,,的大小关系为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解承诺写出必要的文字讲明步骤．15．（本小题共14分）已知在等边三角形ABC 中，点P 为线段AB 上一点，且(01)AP AB =≤≤u u u r u u u rλλ.（1）若等边三角形边长为6，且13=λCP ；（2）若CP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，求实数λ的取值范畴.16．（本小题共14分）如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，1AB BB =，1AC ⊥平面D BD A ,1为AC 的中点． （1）求证：//1C B 平面BD A 1； （2）求证：⊥11C B 平面11A ABB ； （3）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面BDE ，并讲明理由．17．（本小题共14分）椭圆C ：12222=+by a x )0(>>b a 的一个焦点)0,2(1-F ，右准线方程8=x ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若M 为右准线上一点，A 为椭圆C 的左顶点，连结AM 交椭圆于点P ，求APPM的取值范畴； （3）设圆Q ：22()1(4)x t y t -+=>与椭圆C 有且只有一个公共点，过椭圆C 上一点B 作圆Q 的切线BS 、BT ，切点为,S T ，求BS BT ⋅u u u r u u u r的最大值．A 1B 1C 1AB CD18．（本小题共16分）在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.(1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?(2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且许多于七层，（Ⅰ）共有几种不同的方案?（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最能节约堆放场地？19．（本小题共16分）已知函数21()ln (4)2f x x x a x =++-在(1,)+∞上是增函数.（1）求实数a 的取值范畴；（2）在（1）的结论下，设2()||,[0,ln 3]2xa g x e a x =-+∈，求函数)(x g 的最小值．20．（本小题共16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，121n n n a a a +=+，1n n b a =-数列{}n b 的前n 项和为n S ，2n n n T S S =-.（1）求证：数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求通项n b ；（2）求证：1n n T T +>；（3）求证：当2n ≥时，271112n n S +≥．数学附加题21.为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密、解密原理如下图：现在加密方式为：把发送的数字信息X ，写为“11211222a a a a ”的形式，先左乘矩阵1422A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，再左乘矩阵625514855B ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，得到密文Y ，现在已知接收方得到的密文是4,12,36,72，试破解该密码.22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为(1,5)-，[来源:学科网]点M 的极坐标为(4,)2π．若直线l 过点P ，且倾斜角为3π，圆C 以M 为圆心、4为半径.（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系.23．在2009年春运期间，一名大学生要从南京回到徐州老家有两种选择，即坐火车或汽车.已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到.若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票.（1）求这名大学生先去买火车票的概率；（2）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钞票数为ξ，求ξ的数学期望值.24．已知抛物线223y x =，过其对称轴上一点(23,0)P 作一直线交抛物线于,A B 两点，若60OBA ∠=︒，求OB 的斜率.答案1、062、1-3、1 5．30° 6.137、(1)1ba b b =>- 8、“通过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中心的任意弦的两端点与椭圆上除这两个端点外的任意一点P 的连线的斜率之积为定值22b a-”.②⑤⑥9.[−1，0] 10、答案：(){}22,|2009,00且x y x y x y +=≤≥提示：P 优于P '，即P 位于P '的左上方，“不存在Ω中的其它点优于Q ”，即“点Q 的左上方不存在Ω中的点”.故满足条件的点集合为(){}22,|2009,00且x y xy x y +=≤≥.11、答案：24S <≤提示：设12122,2(0,0)x y t t t t ==>>，则22121222t t t t +=+，2121212()22()t t t t t t +-=+，∴2121212()2()20t t t t t t +-+=>，得112t t +>或120t t +<（舍去），又2212121212()2()222t t t t t t t t +⎛⎫+-+=≤ ⎪⎝⎭，得1204t t ≤+≤，∴1224t t <+≤.12. 343 13、答案：3922401[来源:学科网] 提示：3124234,1,2,3,47777⎧⎫=+++∈=⎨⎬⎩⎭i a a a a M a T i 中的元素为44444401237,,,,,77777⋅⋅⋅，故从大到小排列第2009个数是3922401. 14、答案：b n a m <<<提示：由抛物线通过点(0,0)O 、(,0)A m 设抛物线方程(),0y kx x m k =-≠， 又抛物线过点(1,1)P m m ++，则1(1)(1)m k m m m +=++-，得1k =， 则2()()y g x x x m x mx ==-=-，∴)()()(x g n x x f -=32()()()x x m x n x m n x mnx =--=-++，[来源:学&科&网] ∴/2()32()f x x m n x mn =-++，又函数()f x 在a x =和b x =处取到极值， 故//()0,()0f a f b ==，Q 0>>n m ，∴/22()32()()0f m m m n m mn m mn m m n =-++=-=->，/22()32()()0f n n m n n mn n mn n n m =-++=-=-<，又a b <，故b n a m <<<.15、解：（1）当13=λ时，13AP AB =u u u r u u u r ，2222221()262622282CP CA AP CA CA AP AP =+=+⋅+=-⨯⨯⨯+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.∴||7CP =u u u r……………………………………………………………………7分（2）设等边三角形的边长为a ，则221()()2CP AB CA AP AB CA AB AB a a ⋅=+⋅=+λ⋅=-+λu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，222()()PA PB PA AB AP AB AB AB a a ⋅=⋅-=λ⋅-λ=-λ+λu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r…………………12分即2222212a a a -+λ≥-λ，∴21202λ-λ+≤，∴222222≤λ≤. 又00≤λ≤，∴2212≤λ≤. ……………………………………………………14分16、解：（1）证明：连接1AB 与B A 1相交于M ，则M 为B A 1的中点，连结MD ，又D 为AC 的中点，∴1//B C MD ，又⊄C B 1平面BD A 1，∴1//B C 平面BD A 1．…………4分（2）∵1AB B B =，∴四边形11A ABB 为正方形，∴11A B AB ⊥，又∵1AC ⊥面BD A 1，∴11AC A B ⊥，∴1A B ⊥面11C AB ，∴111A B B C ⊥，又在直棱柱111C B A ABC -中111C B BB ⊥，∴11B C ⊥平面A ABB 1．………………8分（3）当点E 为C C 1的中点时，平面⊥BD A 1平面BDE ，D Θ、E 分不为AC 、C C 1的中点，∴1//DE AC ，1AC Θ平面BD A 1，∴DE ⊥平面BD A 1，又⊂DE 平面BDE ，∴平面⊥BD A 1平面BDE ．…………14分17、解：（1）由题意得，2=c ，82=ca 得，216a =，212b =，∴所求椭圆方程为1121622=+y x ．………………………………………………………4分 （2）设P 点横坐标为0x ，则141248000-+=+-=x x x AP PM ， ∵440≤<-x ，∴21141248000≥-+=+-=x x x AP PM ． ∴AP PM 的取值范畴是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 ………………………………………………………9分（3）由题意得，5t =，即圆心Q 为(5,0)，设BQ x =，则||||cos BS BT BS BT SBT ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r[来源:学科网] 2||||(12sin )BS BT SBQ =⋅-∠u u u r u u u r221(1)[12()]x x=--2223x x=+-，∵19BQ <≤，即19x <≤，∴2181x <≤，易得函数2y x x =+在(1,2)上单调递减，在(2,81]上单调递增，∴281x =时，max 6320()81BS BT ⋅=u u u r u u u r . …………………………………14分18、(1) 当62=n 时，使剩余的圆钢尽可能地少，现在剩余了56根圆钢；-----4分(2) 当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n 层,则从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，从而2009)1(21=-+n n nx ，即4177220092)12(⨯⨯⨯=⨯=-+n x n ，因1-n 与n 的奇偶性不同，因此12-+n x 与n 的奇偶性也不同，且12-+<n x n ，从而由上述等式得： ⎩⎨⎧=-+=574127n x n 或⎩⎨⎧=-+=2871214n x n 或⎩⎨⎧=-+=981241n x n 或⎩⎨⎧=-+=821249n x n ，因此共有4种方案可供选择。

2011届高考数学考前抢分押题卷——山东卷：理5一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上.1.已知R 是实数集，2{|1},{|M x N y y x===＜，则R N C M ⋂=A.（1，2）B. [0，2]C.∅D. [1，2]2.幂函数y=f(x)的图象经过点（4，12），则f(14)的值为 A.1B.2C.3D.43.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC BD ===则 A.（2，4）B.（3，5）C.（—3，—5）D.（—2，—4）4.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为A.C.D.45.设a ，b 为两条直线，,αβ为两个平面，则下列结论成立的是A.若,,a b αβ⊂⊂且,a b αβ则∥∥B.若,,,a b a b αβαβ⊂⊂⊥⊥且则C.若,,a b a b αα⊂则∥∥D.若,,a b a b αα⊥⊥则∥ 6.等比数列{a n }中，a 3=6，前三项和3304S xdx =⎰，则公比q 的值为A.1B.12-C.1或12-D.1-或12-7.函数y=ln(1-x)的图象大致为8.已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率，则该双曲线的方程为A.224515y x -= B.22154x y -= C.22154y x -= D.225514y x -= 9.设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = A.2 B.2- C.12- D.1210.函数π()sin()()2f x A x A ωω=+∅∅＞0,＞0,||＜的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为A.2，0B.2，π4C.2，-π3D.2，π611.设1250,,,a a a 是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若222212501509,(1)(1)(1)107a a a a a a +++=++++++=且，则1250,,,a a a 中数字0的个数为A.11B.12C.13D.1412.设函数()(,)y f x =-∞+∞在内有定义，对于给定的正数K ，定义函数：()K f x =(),(),,().f x f x K K f x K ⎧⎨⎩≤＞取函数||()x f x a -=1(1).,a K a =当时函数＞()K f x 在下列区间上单调递减的是A.(,0)-∞B.(,)a -+∞C.(,1)-∞-D.(1,)+∞二、填空题.本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.13.若1πsin(π),(,0),22ααα+=∈-则tan = 14.在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则()AB AC AD +⋅的值为15.设变量x,y 满足约束条件01,21x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥则目标函数5z x y =+的最大值为16.椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120︒的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.（本小题满分12分）已知向量(,),(,),0a c b a c b a =+=--⋅=且m n m n ，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边.（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的取值范围.18.（本小题满分12分）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且b n =2-2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5=14，a 7=20. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅(n =1,2,3…)，n T 为数列{}n c 的前n 项和.求n T .19.（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，,90AD BC ABC ∠=︒∥，PA ⊥平面,3,2, 6.ABCD PA AD AB BC ====（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角P BD A --的大小.20.（本小题满分12分）某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台（x 是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用();f x（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.21.（本小题满分12分）如图，平面上定点F 到定直线l 的距离|FM|=2，P 为该平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且()()0.PF PQ PF PQ +⋅-=（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点N ，已知1212,,:NA AF NB BF λλλλ==+求证为定值.22.（本小题满分14分）已知2()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+- （1）求函数()[,2](0)f x t t t +在＞上的最小值；（2）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex-＞成立.参考答案一、BBCAD CCDBD AD二、13. 3-14. 4 15. 5 16. 2 三、17.解：（1）由0⋅=m n 得222()()()0a c a c b b a a b c ab +-+-=⇒+-= ……2分由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-=== ………………………………………4分0πC << π3C ∴=……………………………………………………6分 （2）π3C = 2π3A B ∴+=2π2π2πsin sin sin sin()sin sin cos cos sin 333A B A A A A A ∴+=+-=+-31sin cos sin cos )2222A A A A =+=+π)6A =+ …………………………………………………9分2π03A <<ππ5π666A ∴<+< 1πsin()126A ∴<+≤π)26A <+≤即sin sin 2A B <+≤………………………………………………………12分 18.解：（1）由22n n b S =-，令1n =，则1122b S =-，又11S b =所以123b =…………………………………………………………………2分 当2n ≥时，由22n n b S =-，可得112()2n n n n n b b S S b ---=--=-即113n n b b -= …………………………………………………………………………4分 所以{}n b 是以123b =为首项，13为公比的等比数列，于是123n nb =⋅…………………………………………………………………6分 （2）数列{}n a 为等差数列，公差751()32d a a =-=,可得31n a n =- ………7分从而12(31)3n n n n c a b n =⋅=-⋅2311112258(31)3333n n T n ⎡⎤∴=⋅+⋅+⋅++-⋅⎢⎥⎣⎦， 23111111225(34)(31)33333n n n T n n +⎡⎤=⋅+⋅++-⋅+-⋅⎢⎥⎣⎦23121111122333(31)333333n n n T n +⎡⎤∴=⋅+⋅+⋅++⋅--⎢⎥⎣⎦…………11分 271312233n n nn T --=--⋅. …………………………………………………12分 19.解：（1）如图，建立坐标系，则(0,0,0),(23,0,0),(23,6,0),(0,2,0),(0,0,3)A B C D P ，(0,0,3),(23,6,0),(23,2,0)AP AC BD ∴===-， …………………………2分 0,0.BD AP BD AC ∴⋅=⋅= ,BD AP BD AC ∴⊥⊥， 又PAAC A =， BD PAC ∴⊥面. …………………………………6分（2）设平面ABD 的法向量为(0,0,1)=m ， 设平面PBD 的法向量为(,,)x y z =n，则0,0BD BP ⋅=⋅=n n …………………8分 (BP =-2030y z ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪⎩解得，y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令x ==n …………………………………………………10分1cos ,|||2⋅∴==<>m n m n m n ∴二面角P BD A --的大小为60. ……………12分 20.解：（1）设题中比例系数为k ，若每批购入x 台，则共需分36x批，每批价值为20x 元， 由题意 36()420f x k x x=⋅+⋅ ………………………………………………4分 由 4x =时，52y = 得 161805k == ………………………………………………6分*144()4(036,)f x x x x x∴=+<≤∈N ……………………………………………8分（2）由（1）知*144()4(036,)f x x x x x=+<≤∈N()48f x ∴≥=（元） ………………………………………………10分 当且仅当1444x x=，即6x =时，上式等号成立. 故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用. …………………………………12分 21.解：（1）方法一：如图，以线段FM 的中点为原点O ，以线段FM所在的直线为y 轴建立直角坐标系xOy .则，(0,1)F .…………2分 设动点P 的坐标为(,)x y ，则动点Q 的坐标为(,1)x -(,1)PF x y =--，(0,1)PQ y =--， ……………3分由()PF PQ +·()0PF PQ -=，得24x y =. ………5分方法二：由()()0PF PQ PF PQ PQ PF +⋅-==得,. ………2分 所以，动点P 的轨迹C 是抛物线，以线段FM 的中点为原点O ，以线段FM 所在的直线为y 轴建立直角坐标系xOy ，可得轨迹C 的方程为： 24x y =. ……………………………………………………………………5分（2）方法一：如图，设直线AB 的方程为111,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ， ……6分 则2(,1)N k--. ………………………………………………………………………………7分 联立方程组24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得，2440x kx --=，2(4)160k ∆=-+>， …………………………………………………8分故12124,4.x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩ ………………………………………………………………………9分由1NA AF λ=，2NB BF λ=得，1112x x k λ+=-，2222x x kλ+=-， ………………………………………………………10分 整理得，1121kx λ=--，2221kx λ=-- 121221122()2k x x kλλ+=--+=--·121224204x x k x x k +=--⋅=⋅-. ……………………12分方法二：由已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，得12λλ⋅0<. …………………………7分于是，12NAAFNB BFλλ=-， ① ………………………………………………8分 如图，过A 、B 两点分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A 、1B ， 则有NA NB=11AA BB =AF BF， ② …………………………………………………10分由①、②得120λλ+=. ……………………………………………………………………12分 22.解：（1）()ln 1f x x '=+，……………………………………………………………1分 当1(0,),()0,()x f x f x e '∈<单调递减，当1(,),()0,()x f x f x e'∈+∞>单调递增 ……2分①102t t e <<+<，没有最小值； ………………………………………………………3分 ②102t t e <<<+，即10t e<<时，min 11()()f x f e e==-； …………………………………………………………4分③12t t e ≤<+，即1t e≥时，[](),2f x t t +在上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==； 5分 所以min11,0.()1ln ,t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩…………………………………………………………6分（2）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++，………………………………7分 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)()x x h x x+-'=， ① (0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递减， ② (1,),()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增， 所以min ()(1)4h x h ==，对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=；………………………………………………………10分（3）问题等价于证明2ln ((0,))xx x x x e e>-∈+∞， …………………………………11分 由（1）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e=时取到，设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1()x xm x e-'=，易知max 1()(1)m x m e==-，当且仅当1x =时取到， ………………………………………13分从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>- 成立 ………………………………14分。

山 东 省2011年高考押题卷（二）数 学 试 题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．集合{|2}x A y R y =∈=,,则下列结论正确的是 （ ） A ．{0,1}A B = B ．(0,)A B =+∞C ．()(,0)R C A B =-∞D ．(){1,0}R C A B =-2．复数Z =Z 对应的点在 （ ）A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限C ．x 轴正半轴上D ．y 轴负半轴上3．（理）已知二项式2(n x （n N +∈）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为 （ ）A ．45256B ．47256 C ．49256 D ．51256（文）2log 3，3log 5，23-的大小关系是 （ ） A ．223log 3log 53->> B ．223log 33log 5->> C ．232log 5log 33->>D ．2323log 5log 3->>4．（理）设随机变量(1,1)N ξ ，(2),(0)P p p ξ>=>，则(01)P ξ<<的值为 （ ）A ．12p -B ．1p -C ．122p -D ．12p -（文）抛物线216y x =的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线交点的纵坐标为4，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为 （ ）A B C ．2D5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且0x >时,()(2)(3)0.02f x x x =--+,则关于()y f x =在R 上零点的说法正确的是 （ ） A ．有4个零点其中只有一个零点在（-3，-2）内B ．有4个零点,其中两个零点在（-3，-2）内，两个在（2，3）内C ．有5个零点都不在（0，2）内D ．有5个零点,正零点有一个在（0，2）内，一个在（3，+∞）内 6．已知实数x 、y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+301,094y y x y x ，则x －3y 的最大值是 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2 7．下图所示的算法被称为“趋1数字器”，它输出的数字都是分数，且随着运算次数的增加，输出的分数会越来越接近于1．该程序若想输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是（ ） A ．i<4?B ． i<5?C ． s<2？D ．s<3？8．已知正项等比数列{}n a 满足：2012201120102a a a =+14a =，则116m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A ．23B ．2C ．4D ．69．若定义行列式a b ad bc c d=-，则125620092010347820112012+++= （ ）A ．1006B ．－1006C ．2012D ．－201210．对于命题p ：5412ππα<<；命题q ：tan ()log f x x α=在(0,)+∞内是增函数，则q 是p 的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．曲线C ：211ln 22y x x =++上斜率最小的一条切线与圆221x y +=的位置关系为 （ ） A ．相切 B ．相交但不过圆 C ．相交且过圆心 D ．相离 12．（理）任意连接正方体6个面的中心构成15条直线，对于其中两条直线垂直，我们则称它们构成“钻角”．若甲从这15条直线中任选一条，乙再从剩下的14条直线中任选一条，试问他们所选直线构成“钻角”的概率为 （ ） A ．935B ．1135C ．1335D ．1735（文）近日，一种化学名为“尼美舒利”的儿童退热药，被推上药品安全性疑虑的风口浪尖．国家药监局调查了这种药的100个相关数据，绘制成如图所示的频率分布直方图，再对落在[6,11),[21,26)两组内的数据按分层抽样方法抽取8个数据，然后再从这8个数据中抽取2个，则最后所得这两个数据来自两组的概率是 （ ）A ．12B ．1528C ．47D ．1728第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2011年高考数学压轴题（三）1．（本小题满分13分）如图，已知双曲线C ：x a y ba b 2222100-=>>()，的右准线l 1与一条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点.（I ）求证：OM MF →⊥→；（II ）若||MF →=1且双曲线C 的离心率e =62，求双曲线C 的方程；（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P 在A 、Q 之间，满足AP AQ →=→λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.解：（I ）Θ右准线l 12：x a c =，渐近线l 2：y b ax =∴=+M a c ab c F c c a b ()()22220，，，，Θ，∴→=OM a c ab c ()2， MF c a c ab c b c abc→=--=-()()22，， ΘOM MF a b c a b c OM MF →⋅→=-=∴→⊥→2222220 ……3分 （II ）Θe b a e a b =∴=-=∴=621222222，， Θ||()MF b c a b c b b a c b a →=∴+=∴+=∴==1111142222222222，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2221-= ……7分 （III ）由题意可得01<<λ ……8分 证明：设l 31：y kx =+，点P x y Q x y ()()1122，，，由x y y kx 22221-==+⎧⎨⎩得()1244022--+=k x kxΘl 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q∴-≠=+->+=->=-->⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪∴≠±<<-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪120161612041204120221012022212212222k k k x x k k x x k k k k k ∆() ∴-<<-122k……11分ΘAP AQ x y x y →=→∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()1412412116412421222122222222222λλλλx k k x k k k k k k ，Θ-<<-∴<-<∴+>12202111422k k ，，()λλ ∴+>∴-+>()1421022λλλλ ∴λ的取值范围是（0，1） ……13分2．（本小题满分13分）已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()(*)=≤--+--<≤∈⎧⎨⎩00111，，数列{}a n 满足a f n n N n =∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式；（II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为S a a ()()≥0，求S n S n n N ()()(*)--∈1；（III ）在集合M N N k k Z ==∈{|2，，且10001500≤<k }中，是否存在正整数N ，使得不等式a S n S n n ->--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由.（IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得lim()n n b b b →∞+++12Λ存在，并求出这个极限值.解：（I ）Θn N ∈*∴=--+-=+-f n n n n f n n f n ()[()]()()111 ∴--=f n f n n ()()1……1分∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101212323……f n f n n ()()--=1 将这n 个式子相加，得 f n f n n n ()()()-=++++=+012312ΛΘf f n n n ()()()0012=∴=+∴=+∈a n n n N n ()(*)12……3分 （II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f n f n ()()-1，，高为1∴--=-+⨯=+-S n S n f n f n a a n n ()()()()112121=-++=12121222[()()]n n n n n ……6分（III ）设满足条件的正整数N 存在，则n n n nn ()+->⇔>⇔>12100522100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，，ΛΛ ∴=N 201020122998，，……，均满足条件它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495 ∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N min =2010 ……9分（IV ）设b a n n =1，即b n n n n n =+=-+212111()()则b b b n n n n 122112121313*********+++=-+-+-++-+=-+ΛΛ[()()()()]() 显然，其极限存在，并且lim()lim[]n n n b b b n →∞→∞+++=-+=122112Λ ……10分注：b ca n n=（c 为非零常数），b b q q n a n n a n n n ==<<++()(||)12012121，等都能使lim()n n b b b →∞+++12Λ存在.19. （本小题满分14分）设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2. （I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·0110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+=∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l . 14分3. （本小题满分13分）已知数列{}a n 的前n 项和为S n N n ()*∈，且S m ma n n =+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1.（I ）求证数列{}a n 是等比数列；（II ）设数列{}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 11113==-，() ()*n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，lim (lg )lim (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞+++3122334…+-b b n n 1)成立？ 解：（I ）由已知S m ma n n ++=+-1111()() S m ma n n =+-()1 （2）由()()12-得：a ma ma n n n ++=-11，即()m a ma n n +=+11对任意n N ∈*都成立{}Θm m a a m m a n n n 为常数，且即为等比数列分<-∴=++1151（II ）当n =1时，a m ma 111=+-()∴====+∴==+≥∈---a b I q f m mm b f b bb n n N n n n n 11111113112，从而由（）知，()()()*∴=+-=∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭∴=+-=+=+∈--1111111131212911b b b b b b n n b n n N n n n n n n n ，即为等差数列，分()()*Θa m m n n =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-11∴→∞=→∞-++=+→∞+++=→∞-+-+++-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-lim (lg )lim lg lg lim ()lim n b a n n n m m mm n b b b b b b n n n n n n n 121133131414151112112231·……由题意知lgm m +=11，∴+=∴=-m m m 110109， 13分4．（本小题满分12分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ，Q 两点，且P 分向量所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率；（2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程．解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b a c -=． 由P 分AQ 所成的比为8∶5，得)135,138(0b x P ， 2分∴a x a x 231)135()138(022202=⇒=+．①， 4分 而b x b c ⊥-==),,(),,(0，∴0=⋅AQ FA ．cb x b cx 2020,0==-∴．②， 5分由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ．∴21.02322=∴=-+e e e ． 6分（2）满足条件的圆心为)0,2(22cc b O -'， )0,(,2222222c O c cc c a c c b '∴=--=-， 8分 圆半径a ca cb r ==+=22222． 10分 由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2|3|，又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13422=+y x ． 12分 5．（本小题满分14分）（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y Λ的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y Λ的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（理）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分dn a n nd a d a a a a a y n n n n n n n )21()1()()(11111221+++++=+++++=+++=+++++++ΛΛΛd n n a n n 2)1()1(1+++=+ 4分)2)(1()2)(1(1111a a a n nda n n n n -++=++=+++)3(2111a a n n -+=+． 7分又211211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-≤-++++，当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=，∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分（文）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 )2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221nda n d n n a n d n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n n n ++=+++=+++++=++++=+++=+++++++++ΛΛΛ)3(21)2)(1(11111a a n a a a n n n n -+=-++=+++， 6分又211211,++--=-∴=-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-=-++++． 当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+=-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=．∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分6．（本小题满分12分）垂直于x 轴的直线交双曲线2222=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;22020为定值y x +（Ⅱ）过P 作斜率为02y x -的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值. 解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M ---Θ则设)2(2111++=∴x x y y M A 的方程为直线 ①直线A 2N 的方程为)2(211---=x x y y ②……4分①×②，得)2(2221212---=x x y y分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121ΛΛΘΘ=+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x（Ⅱ）02222),(20020200000=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为2220201222242y y y x d +=+=+=于是……10分 11221122220202020≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x Θ当1,1,1200取最小值时d y y =±=……12分7．（本小题满分14分）已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈（Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xf x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证（Ⅲ）若)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xf x f f Z k k k k k x ++∈+∈+∈θθππθππ与猜想的大小关系（不必写出比较过程）.解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π分的值域为即求得所以上连续在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)(ΛΛππππx f x f f x f f x f ≤≤≤≤（Ⅱ）设)32(3)()(2)(x f x f f x g +-+-=θθ，32sin3sin )(2)(xx f x g +++-=θθ即 )32cos cos (31)(xx x g ++-='θ……6分θπθπθπ=='∈+∴∈∈x x g x x 得由,0)(),0(32),0(],,0[Θ.)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ分为增函数时当8)(,0)(,),(ΛΛx g x g x >'∈πθ 分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(],0[)()(],0[)(ΛΘx f x f f g x g x x g g x g +≥+=≥∈θθθπθπ （Ⅲ）在题设条件下，当k 为偶数时)32(3)()(2xf x f f +≥+θθ当k 为奇数时)32(3)()(2xf x f f +≤+θθ……14分。

2011年高考数学最后压轴大题系列-解析几何1. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）. （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.解：（I ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ，其半焦距6=c 。

||||221PF PF a +=56212112222=+++=， ∴=a 53，93645222=-=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ； （II ）点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F （0，-6）、'2F （0，6）设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ，由题意知半焦距61=c ，|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=， ∴=1a 52，162036212121=-=-=a c b ，故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x 。

2. 直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.02222,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 .566).)(2,2(566566.066252的右焦点为直径的圆经过双曲线使得以可知舍去或解得C AB k k k k k +-=--∉-=+-==-+3. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以4. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点，P 为C 上任意一点，且向量21PF PF 与向量的夹角余弦的最小值为31.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，求OMN ∆（O 为原点）的面积的最大值及相应的直线l 的方程. 解：(Ⅰ)设椭圆的长轴为2a ,a 2=22==c21222124cos PF PF PF PF ⋅-+=θ=2121221242)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+=1244212-⋅-PF PF a又212PF PF ⋅≥∴221a PF PF ≤⋅即31211244cos 222=-=--≥aa a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12322=+y x (Ⅱ) 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N()1111212OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121y y -221,321.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩063)1(222=-+-y my即 044)32(22=--+my y m .由韦达定理得: 324221+=+m m y y 324221+-=⋅m y y ∴212212214)(y y y y y y -+=-= 3216)32(162222+++m m m =222)32()1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t∴221y y -=4448)12(482++=+tt t t . 又令tt t f 14)(+=, 易知)(t f 在[1,+∞）上是增函数,所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5.∴221y y -有最大值316 ∴OMN S ∆ 的面积有最大值332. 直线l 的方程为1-=x .5. 椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率eC (-1，0)的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足：CA =BC λ (2λ≥)．(Ⅰ)若λ为常数，试用直线l 的斜率k (k ≠0)表示三角形OAB 的面积． (Ⅱ)若λ为常数，当三角形OAB 的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．(Ⅲ)若λ变化，且λ= k 2＋1，试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时，椭圆E 的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．解：设椭圆方程为22221+=x y a b(a ＞b ＞0)，由e =c aa 2=b 2+c 2得a 2=3 b 2， 故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ① (Ⅰ)∵直线l ：y = k (x ＋1)交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，并且CA =BC λ (λ≥2)， ∴(x 1+1，y 1) =λ(-1-x 2，-y 2)， 即12121(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ② 把y = k (x +1)代入椭圆方程，得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2-3b 2= 0， 且 k 2 (3b 2-1)+b 2＞0 （*），∴x 1+x 2= -22631k k +， ③x 1x 2=2223331k b k -+， ④∴O AB S ∆=12|y 1-y 2| =12|λ+1|·| y 2| =|1|2λ+·| k |·| x 2+1|．联立②、③得x 2+1=22(1)(31)k λ-+，∴O AB S ∆=11λλ+-·2||31k k + (k ≠0)． (Ⅱ)OAB S ∆=11λλ+-·2||31k k +=11λλ+-·113||||k k +≤11λλ+-(λ≥2)． 当且仅当3| k | =1||k ，即k=OAB S ∆取得最大值，此时x 1+x 2= -1． 又∵x 1+1= -λ( x 2+1)，∴x 1=11λ-，x 2= -1λλ-，代入④得3b 2=221(1)λλ+-．此时3b 2≥5，,k b 的值符合(*) 故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2=221(1)λλ+-(λ≥2)． (Ⅲ)由②、③联立得：x 1=22(1)(31)k λλ--+-1，x 2=22(1)(31)k λ-+-1， 将x 1，x 2代入④，得23b =224(1)(31)k λλ-++1． 由k 2=λ-1得23b =24(1)(32)λλλ--+1=432212(1)(1)(32)λλλ⎡⎤+⎢⎥---⎣⎦＋1．易知，当2λ≥时，3b 2是λ的减函数，故当2λ=时，23b 取得最大值3． 所以，当2λ=，k =±1(符合(*))时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x 2 + 3y 2 = 3．6. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线. （I ）求椭圆的离心率；（II ）设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ，证明22μλ+为定值.解：（I ）设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入.化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x ++=+由与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a c ba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 （II ）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x μλ+==由已知得设⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+222221222121212123.833()()a c ab x xc a b x x y y x x x c x c -∴==+∴+=+-- .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x 又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.7. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点. （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 解：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ， ∴圆心M 在直线12x =-上。

2011届高考数学仿真押题卷——全国卷（理6）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．设集合A {1,2,3,5,7},B {Z |16},x x ==∈<≤全集,U A B = 则U C =A B A ．{1，4，6，7} B ．{2，3，7} C ．{1， 7} D ．{1}2．2121lim11x x x →--（-）=A ．-1B ．12-C ．12 D ．1[3．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若27915,a a a ++=则11S 的值为 A ．552B ．50C ．55D ．110 4．将函数sin()y x ϕ=+的图象F 向左平移6π个单位长度后得到图象F '，若F '的一个对称中心为（4π，0），则ϕ的一个可能取值是 A ．12π B ．6π C ．56π D ．712π5．设m 、n 是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．,,m n m n αβαβ⊥⊂⊥⇒⊥ B ．//,,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ C ．,,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒⊥ D ．,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥6．在6(2展开式中，不含．．3x 项的所有列的系数和为 A ．-1 B ．2 C ．1 D ． 07．设{(,)|()()0},D x y x y x y =-+≤记“平面区域D 夹在直线1y =与([1,1])y t t =∈-之间的部分的面积”为S ，则函数()S f t =的图象的大致形状为8．对于非零向量m ，n ，定义运算“*”： ||||sin ,m n m n θ*=⋅其中θ为m ， n 的夹角，有两两不共线的三个向量a b c 、、，下列结论正确的是 A ．若,a b a c *=*则b c = B ．()a b a b *=-* C ．()()a b c a b c *=* D ．()a b c a c b c +*=*+*9．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为A ．80B ．120C ．140D ． 5010．若函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(2)f x -，且当1x ≠时其导函数()f x '满足()(),xf x f x ''>若12,a <<则A ．2(2)(2)(log )a f f f a <<B ．2(2)(log )(2)a f f a f <<C ．2(log )(2)(2)a f a f f <<D ．2(log )(2)(2)a f a f f <<11．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则||||AB CD 的值为 A ．16 B ．116 C ．4 D ．1412．两球1O 和2O 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的内部，且互相外切，若球1O 与过点A 的正方体的三个面相切，球2O 与过点1C 的正方体的三个面相切，则球1O 和2O 的表面积之和的最小值为A．(6π- B．(8π- C．(6π+ D．(8π+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分；共20分．13. 已知tan()2,12πα-=则tan()3πα+的值为 ．14．若函数()f x =2log (42)x +，则不等式11()2f x -≤的解集为 ．15．以等腰直角∆ABC 的两个顶点为焦点，且经过第三个顶点的双曲线的离心率为 ．16．已知数列}{n a 满足11,()22,()n n n n n a a a a n a +⎧⎪=⎨⎪-⎩为偶数为奇数，若31,a =则1a 的所有可能的取值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分l0分) 已知函数2()cos()cos (R)3f x x m x m π=--∈的图象经过点3(0,).2P - (I)求函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ) ∆ABC 内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若(),1,3,2f B b c =-==且,a b >试判断∆ABC 的形状，并说明理由．18．(本小题满分12分)小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种．．症状中的一种：兴奋、无变化（药物没有发生作用）、迟钝．若出现三种症状的概率依次为111,236、、现对三只小白鼠注射这种药物．（I ）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率；（II ）用ξ表示三只小白鼠共表现症状的种数．．，求ξ的颁布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，SA ⊥平面ABCD ，2,1,AB AD ==SB =,120,BAD E ∠= 在棱SD 上．（I ）当3SE ED =时，求证SD ⊥平面;AEC（II ）当二面角S AC E --的大小为30时，求直线AE 与平面CDE 所成角的大小．20．(本小题满分l2分)已知函数2()(21)(R xf x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数). (I) 当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ) 若函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值范围．21．(本小题满分l2分)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ∆面积的最大值．22．(本小题满分l2分) 已知数列}{n a 满足，11,2a =11113()11n n n n n na a a a a a ++++--=++，且10n n a a +⋅<．（∈n N *） （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若}{n b =221,n n a a +-试问数列}{n b 中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？若存在，求出满足条件的等差数列，若不存在；说明理由.参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1-5 CBCDB 6-10 DCBAC 11-12 BA二、填空题: 本大题共4个小题，每小题5分，共20分 13．1314. {|12}x x <≤ 15.16. 4,7,10三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 解：（Ⅰ）∵()13022f m =--=-，∴1m =．…………………2分 ∴()2π3πcos cos cos 323f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故函数()f x 的最小正周期为2π．…………………………5分 （Ⅱ）解法一：()π3f B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =．……………………7分 由余弦定理得：2222c o s b a c a c B =+-，∴2132a a =+-⨯，即2320a a -+=，故1a =（不合题意，舍）或2a =．……………………………9分又222134b c a +=+==，所以∆ABC 为直角三角形.………………………10分 解法二：()π32f B B ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =．……………………7分由正弦定理得：1πsin sin 6a A ==，∴sin 2C =， ∵0πC <<，∴π3C =或2π3． 当π3C =时，π2A =；当2π3C =时，π6A =．（不合题意，舍）……………………9分所以∆ABC 为直角三角形.…………………10分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）用(12,3)i A i =，表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝，用(12,3)i B i =，表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 用(12,3)i C i =，表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝. 三只小白鼠反应互不相同的概率为33123()P A P AB C = …………………3分111162366=⨯⨯⨯= ………………………5分（Ⅱ）ξ可能的取值为321，，. 3331112223331111(1)()2366P P A B C A B C A B C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,61)3(==ξP ，………………………………………8分 3261611)3()1(1)2(=--==-=-==ξξξP P P ．或2311211322122333133222232222(2)()1111(2326111111112)363262633P C P A B C A B C A B C A B C A B C A B C C ξ==⋅+++++⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……………………10分所以，ξ的分布列是所以，2213322611=⨯+⨯+⨯=ξE ．…………12分 19．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）在平行四边形ABCD 中，由1AD =，2CD =，120BAD ∠=︒，易知CA AD ⊥，…………………2分又SA⊥平面ABCD ，所以CA ⊥平面SAD , ∴SD AC ⊥，在直角三角形SAB 中，易得SA =在直角三角形SAD 中，60=∠ADE ，2SD =，又3SE ED =，∴21=DE ， 可得AE ===. ∴SD AE ⊥，……………………5分又∵A AE AC = ，∴SD ⊥平面AEC ．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,CA SA ⊥,CA AE ⊥， 可知EAS ∠为二面角E AC S --的平面角，30EAS ∠= ，此时E 为SD 的中点. ……………8分过A 作AF CD ⊥,连结SF ,则平面SAF ⊥平面SCD , 作AG SF ⊥,则AG ⊥平面SCD ,连结EG , 可得AEG ∠为直线AE 与平面SCD 所成的角．因为2AF =,SA =所以AG ==.……………10分 在Rt AGE ∆中，tan 5AG AEG AE ∠==， 直线AE 与平面CDE所成角的大小为.……………………12分 解法二：依题意易知CA AD ⊥，SA ⊥平面ACD ．以A 为坐标原点，AC 、AD 、SA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则易得())()(0,0,0,,0,1,0,A CD S ，（Ⅰ）由:3SE ED =有30,,44E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，……………3分易得00S D AC SD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而SD ⊥平面ACE ．……………………6分(Ⅱ)由AC ⊥平面SAD ，二面角E AC S--的平面角30EAS ∠=︒.又30ASD ∠=︒，则 E 为SD 的中点，即10,2E ⎛⎝⎭,………………8分 设平面SCD 的法向量为(),,x y z =n则0,0.DC y SD y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n ，令1z =,得()=n ，…………10分从而011cos,5||||AEAEAE⋅⋅<>===nnn，所以AE与平面SCD所成角大小为．………………12分20. (本小题满分12分)解：（I）当1=a时，xexxxf-⋅+-=)12()(2，xxx exxexxexxf---⋅---=⋅+--⋅-=')3)(1()12()22()(2………………2分当x变化时，)(xf，)(xf'的变化情况如下表：所以，当1=a时，函数)(xf的极小值为0)1(=f，极大值为34)3(-=ef.……………5分（II）]322[)12()22()(22+---=⋅+--⋅-='---xaxaxeexaxeaxxf xxx令3)1(2)(2++-=xaaxxg①若0=a，则32)(+-=xxg，在)11(，-内，0)(>xg，即0)(<'xf，函数)(xf在区间]11[，-上单调递减.………………7分②若0>a，则3)1(2)(2++-=xaaxxg，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为11>+=aax，当且仅当0)1(≥g，即10≤<a时，在)11(，-内0)(>xg，0)(<'xf，函数)(xf在区间]11[，-上单调递减.………………9分③若0<a，则3)1(2)(2++-=xaaxxg，其图象是开口向下的抛物线，当且仅当⎩⎨⎧≥≥-0)1(0)1(g g ，即035<≤-a 时，在)11(，-内0)(>x g ，0)(<'x f ， 函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减.………………………11分 综上所述，函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减时，a 的取值范围是135≤≤-a ．……………12分21. (本小题满分12分)解：（I ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2212491a a b =⎪⎨⎪+=⎪⎩，得216a =，212b =. 所以椭圆的方程为2211612x y +=.…………………3分 设直线AB 的方程为y kx t =+(依题意可知直线的斜率存在)，设1122(,),(,)A x y B x y ，则由2211612x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484480k xktx t +++-=,由∆>，得221216b k <+，122212283444834kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设()00,T x y 002243,3434kt tx y k k =-=++,易知00x ≠，由OT 与OP 斜率相等可得0032y x =，即12k =-，所以椭圆的方程为2211612x y +=，直线AB 的斜率为12-.……………………6分 （II ）设直线AB 的方程为12y x t =-+，即220x y t +-=，由2212 1.1612y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 得22120x tx t -+-=，224(12)0t t ∆=-->，44t -<<.………………8分12212,12.x x t x x t +=⎧⎨⋅=-⎩.||AB === 点P 到直线AB的距离为d =于是PAB ∆的面积为122PAB S ∆==……………………10分 设3()(4)(123)f t t t =-+，2'()12(4)(2)f t t t =--+，其中44t -<<.在区间(2,4)-内，'()0f t <，()f t 是减函数；在区间(4,2)--内，'()0f t >，()f t 是增函数.所以()f t 的最大值为4(2)6f -=.于是PAB S ∆的最大值为18.…………………12分22. (本小题满分12分) 解：（I ）由211=a ，01<⋅+n n a a 知， 当n 为偶数时，0<n a ；当n 为奇数时，0>n a ；……………2分 由nn n n n n a a a a a a +-=+-++++111111)(3，得212211)(3++-=-n n n a a a ，即134221=-+n n a a ，所以)1(3)1(4221-=-+n n a a ， 即数列}1{2-n a 是以43121-=-a 为首项，43为公比的等比数列 所以，nn na ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=--434343112，nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4312，故nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛--=-431)1(1（∈n N *）…………………5分（II ）由（I ）知221n n n a a b -=+n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+43414314311， 则对于任意的N n *∈,1n n b b +>.………………7分假设数列}{n b 中存在三项t s r b b b ，，（t s r <<）成等差数列， 则t s r b b b >>，即只能有t r s b b b +=2成立， 所以t r s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅4341434143412，t r s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅4343432………………9分 所以，t r t r s t s 343432+⋅=⋅⋅--，因为t s r <<，所以00>->-r t s t ，，所以s t s -⋅⋅432是偶数，t r t r 343+⋅-是奇数，而偶数与奇数不可能相等， 因此数列}{n b 中任意三项不可能成等差数列．…………………12分。

2011届高考数学考前抢分押题卷——全国卷：文理合卷11第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．（理）全集设为U ，P 、S 、T 均为U 的子集，若 P （T U）＝（T U）S 则（ ）A ．S S T P =B ．P ＝T ＝SC ．T ＝UD ．P S U＝T（文）设集合}0|{≥+=m x x M ，}082|{2<--=x x x N ，若U ＝R ，且∅=N M U，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＜2B ．m ≥2C ．m ≤2D ．m ≤2或m ≤-42．（理）复数=+-+ii i 34)43()55(3（ ） A ．510i 510-- B ．i 510510+ C ．i 510510- D ．i 510510+-（文）点M （8，-10），按a 平移后的对应点M '的坐标是（-7，4），则a ＝（ ） A ．（1，-6） B ．（-15，14） C ．（-15，-14） D ．（15，-14）3．已知数列}{n a 前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是（ ）A ．13B ．-76C ．46D ．76 4．若函数)()(3x x a x f --=的递减区间为（33-，33），则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0 B ．-1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜15．与命题“若M a ∈则M b ∉”的等价的命题是（ ） A ．若M a ∉，则M b ∉ B ．若M b ∉，则M a ∈C ．若M a ∉，则M b ∈D ．若M b ∈，则M a ∉6．（理）在正方体1111D C B A ABCD -中，M ，N 分别为棱1AA 和1BB 之中点，则sin （，D 1）的值为（ ）A ．91 B ．554 C ．592D ．32（文）已知三棱锥S -ABC 中，SA ，SB ，SC 两两互相垂直，底面ABC 上一点P 到三个面SAB ，SAC ，SBC 的距离分别为2，1，6，则PS 的长度为（ ） A ．9 B ．5 C ．7 D ．37．在含有30个个体的总体中，抽取一个容量为5的样本，则个体a 被抽到的概率为（ ） A ．301B ．61C ．51D ．658．（理）已知抛物线C ：22++=mx x y 与经过A （0，1），B （2，3）两点的线段AB 有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．-∞(，]1- [3，)∞+B ．[3，)∞+C ．-∞(，]1-D ．[-1，3]（文）设R ∈x ，则函数)1|)(|1()(x x x f +-=的图像在x 轴上方的充要条件是（ ） A ．-1＜x ＜1 B ．x ＜-1或x ＞1C ．x ＜1D ．-1＜x ＜1或x ＜-19．若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．315(-，)315 B ．0(，)315C ．315(-，)0 D ．315(-，)1- 10．a ，b ，c ∈（0，＋∞）且表示线段长度，则a ，b ，c 能构成锐角三角形的充要条件是（ ）A ．222c b a <+ B ．222||c b a <-C ．||||b a c b a +<<-D ．22222||b a c b a +<<- 11．今有命题p 、q ，若命题S 为“p 且q ”则“或”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12．（理）函数x x y 3154-+-=的值域是（ ）A ．[1，2]B ．[0，2]C ．（0，]3D ．1[，]3（文）函数)(x f 与x x g )67()(-=图像关于直线x -y ＝0对称，则)4(2x f -的单调增区间是（ ） A ．（0，2） B ．（-2，0） C ．（0，＋∞） D ．（-∞，0）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上13．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且某连续三项正好为等差数列}{n b 中的第1，5，6项，则=+∞→12limna S n n ________．14．若1)1(lim 2=-++--∞→k x x x n ，则k ＝________．15．有30个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．16．长为l (0＜l ＜1)的线段AB 的两个端点在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 中点M 到x 轴距离的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）从一批含有13只正品，2只次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽取一只，设抽得次品数为ξ． （1）求ξ的分布列；（2）求E （5ξ-1）．18．（12分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，M ，N 分别为11B A ，BC 之中点．（1）试求ABAA 1，使011=⋅B A ．（2）在（1）条件下，求二面角M AC N --1的大小．19．（12分）某森林出现火灾，火势正以每分钟2m 100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m 50，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？20．（12分）线段4||=BC ，BC 中点为M ，点A 与B ，C 两点的距离之和为6，设y AM =||，x AB =||．（1）求)(x f y =的函数表达式及函数的定义域；（2）（理）设1-+=x y d ，试求d 的取值范围；（文）求y 的取值范围．21．（12分）定义在（-1，1）上的函数)(x f ，（i ）对任意x ，∈y （-1，1）都有： )1()()(xyyx f y f x f ++=+；（ii ）当∈x （-1，0）时，0)(>x f ，回答下列问题． （1）判断)(x f 在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由．（2）判断函数)(x f 在（0，1）上的单调性，并说明理由．（3）（理）若21)51(=f ，试求)191()111()21(f f f --的值．22．（14分）（理）已知Ｏ为△ABC 所在平面外一点，且=a ，=b ，=c ，OA ，OB ，OC 两两互相垂直，H 为△ABC 的垂心，试用a ，b ，c 表示OH ． （文）直线l ∶y ＝ax ＋1与双曲线C ∶1322=-y x 相交于A ，B 两点． （1）a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点；（2）是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线x -2y ＝0对称，若存在，求a 的值，若不存在，说明理由．参考答案1．（理）A （文）B 2．（理）B （文）B 3．B 4．A 5．D 6．（理）B （文）D 7．B 8．（理）C （文）D 9．D 10．D 11．C12．（理）A （文）A 13．1或0 14．21 15．10080° 16．42l17．解析：（1）ξ的分布如下（2）由（1）知535352351350==⨯+⨯+⨯=ξE ．∴ 1152515)15(=-⨯=-=-ξξE E ．18．解析：（1）以1C 点为坐标原点，11A C 所在直线为x 轴，C C 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设b B A =11，a AA =1（a ，∈b （0，＋∞）．∵ 三棱柱111C B A ABC -为正三棱柱，则1A ，B ，1B ，C 的坐标分别为：（b ，0，0），b 21(，b 23，)a ，b 21(，b 23，)0，（0，0，a ）． ∴ A 1b 21(-=，b 23，)a ，B 1b 21(-=，b 23-，⎪⎭⎪⎬⎫=-=⇒⋅⋅.01121)2211C B B A b a B A a 又，2221==⇒=⇒b a AB A A a b ． （2）在（1）条件下，不妨设b ＝2，则2=a ，又A ，M ，N 坐标分别为（b ，0，a ），（b 43，b 43，0），（b 41，b 43，a ）． ∴ 332||==bAN ，3||1=N C ． ∴ 3||||1==N C AN 同理 ||||1M C AM =．∴ △N AC 1与△M AC 1均为以1AC 为底边的等腰三角形，取1AC 中点为P ，则1AC NP ⊥，NPM AC MP ∠⇒⊥1为二面角M AC N --1的平面角，而点P 坐标为（1，0，22）， ∴ 21(-=，23，)22． 同理 PM 21(=，23，)22-． ∴ PN PM ⋅⇒=-+-=0214341PN PM ⊥． ∴ ∠NPM ＝90°⇒二面角M AC N --1的大小等于90°．19．解析：设派x 名消防员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y ，则210100501005-=-⨯=x x t y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费 ＝125tx ＋100x ＋60（500＋100t ）＝26000030000100210125-+++-⋅⋅x x x x ＝2600030000)22(1002221250-+++-+-+-⋅x x x x ＝262500)2(10031450-+-+x x3645062500100231450=⨯+≥ 当且仅当262500)2(100-=-x x ，即x ＝27时，y 有最小值36450． 故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．20．解析：（1）当A 、B 、C 三点不共线时，由三角形中线性质知)|||(|222AM BM +⎭⎬⎫≥-+=⇒-+=+⇒+=0)3(5)6()2(2||||22222222y x y x x y AC AB 又⇒5)3(2+-=x y ；当A ，B ，C 三点共线时，由A BC AC AB ⇒=>=+4||6||||在线段BC 外侧，由14|6|=⇒=--x x x 或x ＝5，因此，当x ＝1或x ＝5时，有6||||=+AC AB ，同时也满足：2222||||)|||(|2AC AB AM BM +=+．当A 、B 、C 不共线时，4||||||||=<-BC AC AB5)3()(512+-==⇒<<⇒x x f y x 定义域为[1，5]．（2）（理）∵ 5)3(2+-=x y ． ∴ d ＝y ＋x -1＝15)3(2-++-x x ． 令 t ＝x -3，由2[51-∈⇒≤≤t x ，25]22+++=⇒t t d ， 两边对t 求导得：d t d t ⇒>-+≥++=09215112关于t 在[-2，2]上单调增．∴ 当t ＝2时，min d ＝3，此时x ＝1． 当t ＝2时，max d ＝7．此时x ＝5．故d 的取值范围为[3，7]．（文）由5)3(2+-=x y 且1[∈x ，]5，∴ 当x ＝3时，5min =y ．当x ＝1或5时，3522max =+=y ．∴ y 的取值范围为[5，3]．21．解析：（1）令0)0(0=⇒==f y x ，令y ＝-x ，则)(0)()(x f x f x f -⇒=-+)()(x f x f ⇒-=在（-1，1）上是奇函数．（2）设1021<<<x x ，则)1()()()()(21212121x x x x f x f x f x f x f --=-+=-，而021<-x x ，0)1(01102121212121>--⇒<--⇒<<x x xx f x x x x x x ．即 当21x x <时，)()(21x f x f >．∴ f （x ）在（0，1）上单调递减．（3）（理）由于)31()52115121()51()21()51()21(f f f f f f =⨯--=-+=-， )41()111()31(f f f =-，)51()191()41(f f f =-，∴ 1212)51(2)191()111()21(=⨯==--f f f f ．22．解析：（理）由⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥OA OC OA OB OA ，平面BC OA OBC ⊥⇒，连AH 并延长并BC于M ．则 由H 为△ABC 的垂心． ∴ AM ⊥BC ．于是 BC ⊥平面OAH ⇒OH ⊥BC ． 同理可证：⊥⇒⎭⎬⎫=⊥OH C BC AC ACOH 又平面ABC ．又 ，，是空间中三个不共面的向量，由向量基本定理知，存在三个实数1k ，2k ，3k 使得OH ＝1k a ＋2k b ＋3k c ．由 0=⋅OH 且b a ⋅＝c a ⋅＝0⇒2k b 2＝3k c 2， 同理2221b a k k =． ∴ 0232221≠===m k k k c b a ． ①又 AH ⊥OH ，∴ )()1(0321321c b a c b a k k k k k k OH AH ++++-⇒=⋅⋅＝0211)1(a -⇒k k0223222=++c b k k ②联立①及②，得100)1(321321=++⇒⎭⎬⎫≠=++-k k k m mk mk k m ， ③又由①，得 21a m k =，22b m k =，23c mk =，代入③得： ∆=⇒++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅221222222222c b a c c b b a c b a k m ，∆=⋅222a c k ，∆=⋅223b a k ，其中222222a c cb b a⋅⋅⋅++=∆，于是OH∆=1)(222222c b a b a c a c b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅++． （文）（1）联立方程ax ＋1＝y 与1322=-y x ，消去y 得：022)3(22=---ax x a （*） 又直线与双曲线相交于A ，B 两点， ∴660<<-⇒>∆a ．又依题 OA ⊥OB ，令A ，B 两点坐标分别为（1x ，1y ），（2x ，2y ），则 2121x x y y -=． 且 212121221211)()1)(1(x x x x a x x a ax ax y y -=+++=++=1221()1(x a a x x ++⇒)2x +01=+，而由方程（*）知：22132a a x x -=+，32221-=a x x 代入上式得1101323)1(222221±=⇒=⇒=+-+-+-a a aa a a ．满足条件． （2）假设这样的点A ，B 存在，则l ：y ＝ax ＋1斜率a ＝-2．又AB 中点2(21x x +，)221y y +在x y 21=上，则)(212121x x y y +=+，又 2)(2121++=+x x a y y ，代入上式知 6324)(22212121=⇒⎪⎭⎪⎬⎫-=++=++a a a x x x x x x a 又这与2-=a 矛盾．故这样的实数a 不存在．。

2011年全国高考数学试题压轴题（1）、（2011年全国卷）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.（2）、（2011年全国卷）（Ⅰ）设函数2()ln(1)2xf x x x =+-+，证明：当0x ＞时，()0f x ＞；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：19291()10p e ＜＜（3）、（2011年新课标卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

（4）、（2011年新课标卷）已知函数ln ()1a x bf x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x >+-，求k 的取值范围。

（5）、（2011年北京卷）已知函数2()()xkf x x k e =-。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e ，求k 的取值范围。

（6）、（2011年北京卷）已知椭圆22:14x G y +=.过点（m,0）作圆221x y +=的切线交椭圆G 于A ，B 两点.（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （II ）将AB表示为m 的函数，并求AB的最大值.（7）、（2011年北京卷）若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足111(1,2, (1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。

江西高考网 提供更多高考资讯，资源下载 2011年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a M F M F =+=+(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a M F M F '=-=2222221321a abc a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，D E 中点为H 令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴⎪⎝⎭C ………………………………………………（7分）()1112312322D C AP x C H a xa ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222D HD CC Hx y x a a x a aa D HD E D H l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值;定值此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式1120111111n nn ab b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。