2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（四）
23.已知函数()32
23log 32
a f x x x x =
-+（0a >且1a ≠）． （Ⅰ）若()f x 为定义域上的增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）令a e =，设函数()()3
24ln 63
g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求
证：122x x +≥
24.已知函数()2x f x e x ax =--. (1)R x ∈时，证明：1->x e x
；
(2)当2a =时，直线1y kx =+和曲线()y f x =切于点()(),1A m n m <，求实数k 的值； (3)当10<x f 恒成立，求实数a 的取值范围.
25.已知函数()ln a
f x a x x x
=-+-(a 为常数)有两个不同的极值点. (1)求实数a 的取值范围；
(2)记()f x 的两个不同的极值点分别为12,x x ，若不等式()()()2
1212f x f x x x l +>+恒成立，求实数l 的取值范围.
26.已知函数()1ln f x ax x =--（a ∈R ）. （1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；
（2）若1x ∀>，()2xf x ax ax a <-+恒成立，求a 的最大整数值.
27.已知函数()()()()2
21,2ln 1f x x x g x a x a R =-+=-∈.
（1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；
（2）当0a >时，若存在实数,k m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围.
28.设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+. （1）求()y f x =的表达式；
（2）若直线()01x t t =-<<，把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.
29.已知函数()1
ln 2
f x x x =+（a ∈R ）. （1）若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线经过点()2,3，求a 的值； （2）若()f x 在区间1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
上存在极值点，判断该极值点是极大值点还是极小值点，并求a 的取值范围；
（3）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.
30.已知函数()ln f x x a =+，()(),b
g x x a b R x
=
-?. (1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点()()
1,1f 处的切线方程相同，求实数,a b 的值； (2)若()()x g x f ≥恒成立，求证：当2≠a 时，1≠b .
31.()2x
f x e ax =--，其中e 是自然对数的底数，a R ∈.
（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若k 为整数，1a =，且当0x >时，()11
k x
f x x -'<+恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值.
32.已知f （x ）=2x ln x ，g （x ）=﹣x 2
+ax ﹣3． （1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）若存在x ∈（0，+∞），使f （x ）≤g （x ）成立，求实数a 的取值范围．
33.已知数列{x n }按如下方式构成：x n ∈（0，1）（n ∈N *
），函数f （x ）=ln （x x
-+11）在点
（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴交点的横坐标为x n +1 （Ⅰ）证明：当x ∈（0，1）时，f （x ）＞2x （Ⅱ）证明：x n +1＜x n 3
（Ⅲ）若x 1∈（0，a ），a ∈（0，1），求证：对任意的正整数m ，都有log n x a +log 1+n x a +…+log m n x +a ＜21•（3
1）n ﹣2（n ∈N *
）
34.已知函数f （x ）= ⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-]3,1[),1(55
]
1,0[,2x x f x x x
（Ⅰ）求f （
2
5
）及x ∈[2，3]时函数f （x ）的解析式 （Ⅱ）若f （x ）≤x
k
对任意x ∈（0，3]恒成立，求实数k 的最小值．
35.已知函数
1()(2)a f x a x x a -⎛
⎫=-- ⎪
⎝⎭，其中0a ≠． （Ⅰ）若1a =，求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值． （Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x >．
36.若实数x ，y ，m 满足
x m y m
-<-，则称x 比y 靠近m ．
（Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．
（Ⅱ）（i ）对0x >，比较ln(1)x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由． （ii ）已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232e n a a a a 37.已知函数
2
()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-（e 是自然对数的底数，a 为常数）． （1）若函数1
()()()2
g x f x x f x '=-⋅，在区间[1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围．
（2）当(e 2,1)a ∈-时，判断函数()f x 在(0,1)上是否有零点，并说明理由．
