2020版高考数学一轮复习课后限时集训34基本不等式理含解析新人教A版

第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.(3)集合的表示方法:列举法、和.(4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或集合A是集合B的子集,但集合B中有一个元素不属于AA⊆B,∃x0∈B,x0∉AAB或B⫌A 相等集合A,B的元素完全A⊆B,B⊆A空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集∀x,x∉⌀,⌀⊆A⌀3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于 A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}并集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}补集全集U中属于A的元素组成的集合{x|x∈U,xA}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ⇔B⊆A.(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A B.(3)补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)= ;∁U(∁U A)= ;∁U(A∪B)=(∁U A)(∁U B);∁U(A∩B)= ∪.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足);④若A⊆B,则有A=⌀和A≠⌀两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).题组一常识题1.[教材改编]已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B= .4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a的值为.题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B⊆A,则m= .6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是.7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},若A⫋B,则a的取值范围为.探究点一集合的含义与表示例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()A.-1∉AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34∉A(2)[2018·上海黄浦区二模]已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.探究点二集合间的基本关系例2 (1)[2018·武汉4月调研]已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N⊆M,则实数a的取值集合为()A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0}(2)设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是()A.M=NB.M⫋NC.N⫋MD.M∈N[总结反思] (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.变式题 (1)设x,y∈R,集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B间的关系为() A.A⫋B B.B⫋AC.A=BD.A∩B=⌀(2)已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=⌀,则a的取值范围是.探究点三集合的基本运算角度1集合的运算例3 (1)[2018·长沙周南中学月考]已知集合A={x|x<1},B={x|e x<1},则()A.A∩B={x|x<1}B.A∪B={x|x<e}C.A∪(∁R B)=RD.(∁R A)∩B={x|0<x<1}(2)[2018·山西大学附中5月调研]已知集合A={x|2x≤1},B={x|ln x<1},则A∪B=()A.{x|x<e}B.{x|0≤x≤e}C.{x|x≤e}D.{x|x>e}[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.角度2利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4](2)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(∁U A)∩B=⌀,则p应该满足的条件是()A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤1[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.角度3集合语言的运用例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1∉A且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为 ()A.16B.17C.18D.20(2)对于a,b∈N,规定a*b=与的奇偶性相同与的奇偶性不同集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},则M中的元素个数为.[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.第1讲集合考试说明 1.集合的含义与表示:(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系:(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算:(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及运算.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)确定性互异性(2)∈∉(3)描述法图示法(4)N N*或N+Z Q R2.任意一个元素B⊇A 至少⫋相同A=B 不含3.且且A∩B 或或A∪B 不∉∁U A4.(1)B∪A A (2)⊆(3)⌀ A ∩(∁U A)(∁U B)对点演练1.4或1[解析] 因为-4∈A,所以x2-5x=-4,解得x=1或x=4.2.4[解析] 因为(A∪B)⊇B,A={a,b},所以满足条件的集合B可以是{c},{a,c},{b,c},{a,b,c},所以满足条件的集合B有4个.3.(-∞,0)∪[1,+∞)[解析] 因为∁U A={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以(∁U A)∪B=(-∞,0)∪[1,+∞).4.1[解析] 由题意可得1∈B,又a2+2≥2,故a=1,此时B={1,3},符合题意.5.0或3[解析] 因为B⊆A,所以m=3或m=,即m=3或m=0或m=1,根据集合元素的互异性可知,m≠1,所以m=0或3.6.4[解析] 依题意得M={(0,2),(0,1),(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)},所以M∩N={(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)},所以M∩N中有4个元素.7.0或1或-1[解析] 易得M={a}.∵M∩N=N,∴N⊆M,∴N=⌀或N=M,∴a=0或a=±1.8.2≤a≤4[解析] 由|x-a|<1得-1<x-a<1,∴a-1<x<a+1,由A⫋B得-或-∴2≤a≤4.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)根据列举法,确定圆及其内部整数点的个数;(2)因为9∈A,所以依据2a-1=9或a2=9分类求解,但要注意集合元素的互异性.(1)A(2)-3[解析] (1)当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=-1,0,1.所以集合A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},共有9个元素.(2)∵集合A,B中有唯一的公共元素9,∴9∈A.若2a-1=9,即a=5,此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},则集合A,B中有两个公共元素-4,9,与已知矛盾,舍去.若a2=9,则a=±3,当a=3时,A={-4,9,5},B={-2,-2,9},B中有两个元素均为-2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={9,-8,4},符合题意.综上所述,a=-3.变式题(1)C(2)2[解析] (1)当k=0时,x=-1,所以-1∈A,所以A错误;令-11=3k-1,得k=-∉Z,所以-11∉A,所以B错误;令-34=3k-1,得k=-11,所以-34∈A,所以D错误;因为k∈Z,所以k2∈Z,则3k2-1∈A,所以C正确.(2)由题知,若3-m=2,则m=1,此时集合B不符合元素的互异性,故m≠1;若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.例2[思路点拨] (1)先求出集合M={x|x2=1}={-1,1},当a=0和a≠0时,分析集合N,再根据集合M,N的关系求a;(2)把集合对应的函数化简,求出集合M,N,即可得M,N的关系.(1)D(2)A[解析] (1)∵集合M={x|x2=1}={-1,1},N={x|ax=1},N⊆M,∴当a=0时,N=⌀,成立;当a≠0时,N=,则=-1或=1,解得a=-1或a=1.综上,实数a的取值集合为{1,-1,0}.故选D.(2)集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R}={x|x=(a-2)2+1,a∈R}={x|x≥1},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R}={y|y=(2b+1)2+1,b∈R}={y|y≥1},∴M=N.变式题(1)B(2)a<-或a>1[解析] (1)由题意得,集合A={(x,y)|y=x}表示直线y=x上的所有点,集合B=(x,y)=1表示直线y=x上除点(0,0)外的所有点,所以B⫋A.故选B.(2)当N=⌀时,由a>3a+1得a<-,满足M∩N=⌀;当N≠⌀时,由M∩N=⌀得解得a>1.所以a的取值范围是a<-或a>1.例3[思路点拨] (1)先求出∁R A,∁R B,再判断各选项是否正确;(2)先求出A,B中不等式的解集,确定出集合A,B,再求出两集合的并集即可.(1)C(2)A[解析] (1)∵集合A={x|x<1},B={x|e x<1}={x|x<0},∴∁R B={x|x≥0},∁R A={x|x≥1}.易知A∩B={x|x<0},故A错误;A∪B={x|x<1},故B错误;A∪(∁R B)=R,故C正确;(∁R A)∩B=⌀,故D错误.故选C.(2)集合A={x|2x≤1}={x|x≤0},B={x|ln x<1}={x|0<x<e},∴A∪B={x|x<e},故选A.例4[思路点拨] (1)分别求出集合A和B,根据A∩B中有三个元素,求出实数m的取值范围;(2)根据补集、交集和空集的定义即可得出p满足的条件.(1)C(2)B[解析] (1)集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4x>2m}=,∵A ∩B中有三个元素,∴1≤<2,解得2≤m<4,∴实数m的取值范围是[2,4).(2)∵全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},∴∁U A={x|x≤1},又(∁U A)∩B=⌀,∴p≥1.例5[思路点拨] (1)按照S的无“孤立元素”的非空子集所含元素个数的多少分类讨论,可得出结果;(2)根据定义分情况讨论满足条件的点(a,b)的个数,从而得出M中的元素个数.(1)D(2)41[解析] (1)根据“孤立元素”的定义知,单元素集合都含“孤立元素”.S的无“孤立元素”且含2个元素的子集为{0,1},{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},共5个;S的无“孤立元素”且含3个元素的子集为{0,1,2},{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},共4个;S的无“孤立元素”且含4个元素的子集为{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共6个;S的无“孤立元素”且含5个元素的子集为{0,1,2,3,4},{1,2,3,4,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},共4个;S的无“孤立元素”且含6个元素的子集为{0,1,2,3,4,5},共1个.故S的无“孤立元素”的非空子集有5+4+6+4+1=20(个).(2)由a*b=36,a,b∈N*知,若a和b一奇一偶,则a×b=36,满足此条件的有1×36=3×12=4×9,故点(a,b)有6个;若a和b同奇同偶,则a+b=36,满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18,共18组,故点(a,b)有35个.所以M中的元素个数为41.【备选理由】例1考查对两集合之间关系以及元素与集合之间关系的理解;例2考查集合的运算及集合子集个数的计算;例3考查集合的运算;例4为根据集合运算求参数问题,重点关注区间端点的取值情况.例1[配合例2使用] [2018·陕西黄陵中学三模]已知集合M={x|y=(-x2+2x+3,x∈N},Q={z|z=x+y,x∈M,y∈M},则下列运算正确的是 ()A.M∩Q=⌀B.M∪Q=ZC.M∪Q=QD.M∩Q=Q[解析] C由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,∵x∈N,∴x=0,1,2,∴M={0,1,2}.∵Q={z|z=x+y,x∈M,y∈M},∴Q={0,1,2,3,4},∴M∩Q=M,M∪Q=Q,故选C.例2[配合例3使用] [2018·佛山南海中学模拟]已知集合A={x∈N|x2-2x≤0},B={x|-1≤x≤2},则A∩B的子集的个数为()A.3B.4C.7D.8[解析] D∵A={x∈N|x2-2x≤0}={0,1,2},B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={0,1,2},∴A∩B的子集的个数为23=8,故选D.例3[配合例3使用] 设集合A={x||x-1|≥2},B={x|y=lg(-x-3)},则A∩B=()A.(-4,+∞)B.[-4,+∞)C.(-∞,-3)D.(-∞,-3)∪[3,+∞)[解析] C由|x-1|≥2,得x-1≥2或x-1≤-2,即x≥3或x≤-1.由-x-3>0,得x<-3,所以A∩B={x|x≥3或x≤-1}∩{x|x<-3}={x|x<-3},故选C.例4[配合例4使用] 已知集合A={x|y=-},B={x|a≤x≤a+1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-2,1]D.[2,+∞)[解析] C要使函数y=-有意义,则4-x2≥0,据此可得A={x|-2≤x≤2}.若A∪B=A,则集合B是集合A的子集,据此有-求解不等式组可得,实数a的取值范围为[-2,1].第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题(1)命题的概念:数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断的陈述句叫作命题.其中的语句叫作真命题,的语句叫作假命题.(2)四种命题及其相互关系图1-2-1特别提醒:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性.2.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的条件.(2)如果q⇒p,则p是q的条件.(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的条件.常用结论1.充要条件的两个结论:(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.2.充分、必要条件与集合的关系使p成立的对象构成的集合为A,使q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A⫋Bp是q的必要不充分条件B⫋Ap是q的充要条件A=B题组一常识题1.[教材改编]对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗?②作△ABC∽△A'B'C'.③x2+2x-3<0.④四边形的内角和是 6 °.其中是命题的是.(填序号)2.[教材改编]有下面4个命题:①集合N中最小的数是1;②若-a不属于N,则a属于N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④x2+1=2x的解集可表示为{1,1}.其中真命题的个数为.3.[教材改编]命题“若整数a不能被2整除,则a是奇数”的逆否命题是.4.[教材改编]“点P(x,y)在第一象限”是“x+y>1”的条件.题组二常错题◆索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考虑不全面;对充分必要条件判断错误.5.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是.6.已知命题“对任意a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它的否命题是.7.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是.8.条件p:x>a,条件q:x≥2.①若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是;②若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是.9.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的条件.探究点一四种命题及其相互关系例1 (1)对于命题“单调函数不是周期函数”,下列说法正确的是()A.逆命题为“周期函数不是单调函数”B.否命题为“单调函数是周期函数”C.逆否命题为“周期函数是单调函数”D.以上都不正确(2)给出以下四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④若ab是正整数,则a,b都是正整数.其中为真命题的是.(写出所有真命题的序号)[总结反思] (1)求一个命题的其他三种命题时,需注意:①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为“若p,则q”的形式;②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.(3)当不易直接判断一个命题的真假时,根据互为逆否命题的两个命题同真同假,可转化为判断其等价命题的真假.变式题 (1)已知命题p:正数a的平方不等于0,命题q:若a不是正数,则它的平方等于0,则q是p的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定(2)以下关于命题的说法正确的是.(填写所有正确说法的序号)①“若log2(a+1)>1,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数”是真命题;②命题“若a≠0,则a(b+1)≠0”的否命题是“若a=0,则a(b+1)=0”;③命题“若x,y都是偶数,则(x+1)(y+1)是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.探究点二充分、必要条件的判定例 2 (1)[2018·北京卷]设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[总结反思] 充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同的类型:定义法适用于定义、定理的判断问题;集合法多适用于命题中涉及参数的取值范围的推断问题;等价转化法适用于条件和结论中带有否定性词语的命题.变式题 (1)[2018·深圳一模]已知数列{a n}是等比数列,则“a2>a1”是“数列{a n}为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件探究点三充分、必要条件的应用例3 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是 ()A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0[总结反思] 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.解题过程中要注意检验区间端点值.变式题 (1)下面四个条件中,使a>b成立的必要而不充分条件是 ()A.a-1>bB.a+1>bC.|a|>|b|D.a3>b3(2)[2018·衡阳4月调研]已知p:实数m满足m2+12a2<7am(a>0),q:方程-+-=1表示焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考试说明 1.理解命题的概念;2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.【课前双基巩固】知识聚焦1.真假判断为真判断为假2.(1)充分(2)必要(3)充要对点演练1.④[解析] ①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③不能判断真假,不是命题;④是命题.2.0[解析] ①为假命题,集合N中最小的数是0;②为假命题,如a=不满足;③为假命题,如a=0,b=1,则a+b=1,比2小;④为假命题,所给集合中的元素不满足互异性.3.若整数a不是奇数,则a能被2整除[解析] 以原命题结论的否定作条件、原命题条件的否定作结论得出逆否命题.4.既不充分也不必要[解析] 取x=,y=,知充分性不成立;取x=-1,y=3,知必要性不成立.故为既不充分也不必要条件.5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0[解析] “若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”,又a=b=0的实质为a=0且b=0,故其否定为a≠0或b≠0.6.对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0[解析] “对任意a,b∈R”是大前提,在否命题中不变,又因为ab>0,a>0的否定分别为ab≤0,a≤0,所以原命题的否命题为“对任意a,b∈R,若ab ≤0,则a≤0”.7.[-3,0][解析] 由已知可得ax2-2ax-3≤0恒成立.当a=0时,-3≤0恒成立;当a≠0时,得解得-3≤a<0.故-3≤a≤0.8.①a≥2②a<2[解析] ①因为p是q的充分不必要条件,所以{x|x>a}⫋{x|x≥2},则a 的取值范围是a≥2.②因为p是q的必要不充分条件,所以{x|x≥2}⫋{x|x>a},则a的取值范围是a<2.9.充分不必要[解析] 依题意有p⇒r,r⇒s,s⇒q,∴p⇒r⇒s⇒q.又∵r⇒/p,∴q⇒/p.故p是q的充分不必要条件.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)根据四种命题的构成判断即可.(2)对于①②,按照要求写出相应的逆命题、否命题,再判断真假;对于③,可直接利用原命题与逆否命题的等价性判断原命题的真假;对于④,直接判断.(1)D(2)①③[解析] (1)根据四种命题的构成可知,选项A,B,C均不正确.故选D.(2)①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然为真命题;②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,而不全等的三角形的面积也可能相等,故为假命题;③原命题为真,所以它的逆否命题也为真,故③为真命题;④ab是正整数,但a,b 不一定都是正整数,例如a=-1,b=-2,故④为假命题.所以答案是①③.变式题(1)B(2)①②④[解析] (1)“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数,则它的平方不等于0”,其否命题为“若a不是正数,则它的平方等于0”,所以选B.(2)①正确,由log2(a+1)>1,得a+1>2,所以a>1,所以f(x)=log a x在其定义域内是增函数.②正确,由命题的否命题的定义知,该说法正确.③不正确,原命题的逆命题为“若(x+1)(y+1)是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如(3+1)×(4+1)=20为偶数,但x=3,y=4.④正确,两者互为逆否命题,因此两命题等价.例2[思路点拨] (1)将已知等式两边同时平方,可得出向量a,b的关系,从而得出结论;(2)通过研究单调性,求出函数存在零点的充要条件为a≤-1,从而得出结论.(1)C(2)B[解析] (1)将|a-3b|=|3a+b|两边平方,得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2.∵a,b 均为单位向量,∴a·b=0,即a⊥b.反之,由a⊥b可得|a-3b|=|3a+b|.故为充分必要条件. (2)因为f'(x)=>0,所以若函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点,则f(e)≤0,即a≤-1,因此“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的必要不充分条件,故选B.变式题(1)B(2)A[解析] (1)当a1=-1,a2=2,公比q=-2时,虽然有a1<a2,但是数列{a n}不是递增数列,所以充分性不成立;反之,当数列{a n}是递增数列时,必有a1<a2,因此必要性成立.故选B.(2)由sin 2α-cos 2α=1得sin-=,所以2α-=2kπ+6,k∈Z或2α-=2kπ+6,k∈Z,即α=kπ+,k∈Z或α=kπ+,k∈Z,所以“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的充分而不必要条件,故选A.例3[思路点拨] 直接法,分情况讨论;特例法,结合选项取特殊值验证.C[解析] 方法一(直接法):当a=0时,x=-,符合题意.当a≠0时,若方程的两根为一正一负,则-⇒⇒a<0;若方程的两根均为负,则--⇒⇒0<a≤1.综上所述,所求充要条件是a≤1.方法二(排除法):当a=0时,原方程有一个负实根,可以排除A,D;当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B.所以选C.变式题(1)B(2)[解析] (1)“a>b”不能推出“a-1>b”,故选项A不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故满足题意;“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故选项C不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要条件,不满足题意.故选B. (2)由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a<m<4a,即p:3a<m<4a,a>0.由方程-+-=1表示焦点在y轴上的椭圆,可得2-m>m-1>0,解得1<m<,即q:1<m<.因为p是q的充分不必要条件,所以或解得≤a≤,所以实数a的取值范围是.【备选理由】例1考查对命题真假的判断,是一个开放式命题,答案不唯一,有利于学生发散思维;例2强化了充分、必要条件的判断方法和余弦定理、基本不等式的应用;例3主要考查了充要条件的判断;例4是以简单不等式的方式考查充分、必要条件的应用.例1[配合例1使用][2018·北京通州区三模]能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a2>ab>c2”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.[答案] 1,0,-1(此题答案不唯一)[解析] 当a=1,b=0,c=-1时,满足a>b>c,不满足a2>ab>c2,∴命题是假命题.故答案可以为1,0,-1.例2[配合例2使用][2018·武汉4月调研]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知条件p:a≤,条件q:A≤,那么p是q成立的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] A由条件p:a≤,知cos A=-≥-=-≥6-=,当且仅当b=c=a时取等号,又A∈(0,π),∴0<A≤,∴A≤,即q成立.取A=,C=,B=6,满足条件q,但是a>.∴p是q成立的充分而不必要条件.故选A.例3[配合例2使用] [2018·莆田六中三模]在等比数列{a n}中,a2=-2,则“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] C因为a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,所以a4a12=1,因此=1,又因为a2=-2<0,所以a8<0,即a8=-1.从而“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的充要条件,故选C.例4[配合例3使用][2018·南昌模拟]在实数范围内,使得不等式>1成立的一个充分而不必要条件是()A.x>0B.x<1C.0<x<1D.0<x<[解析] D∵>1,∴-<0,∴0<x<1.∵ ⫋(0,1),∴0<x<为不等式>1成立的一个充分而不必要条件,故选D.第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词命题中的、、叫作逻辑联结词,分别表示为、、.2.全称量词与存在量词(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.(3)含有一个量词的命题的否定:全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定是.特称命题q:∃x0∈M,q(x0),它的否定是.常用结论1.否命题是把原命题的条件与结论都否定,命题的否定只需否定命题的结论.2.记忆口诀:(1)“p或q”,有真则真;(2)“p且q”,有假则假;(3)“非p”,真假相反.3.命题p∧q的否定是(p)∨(q);命题p∨q的否定是(p)∧(q).题组一常识题1.[教材改编]命题p:x∈R,x2+1≥0,命题q:函数y=ax2+x的图像是抛物线,则p∨q是命题,p∧(q)是命题,(p)∨(q)是命题,(p)∧(q)是命题.(以上各空填“真”或“假”)2.[教材改编]命题“∃x0∈R,log2x0+2<0”的否定是.3.[教材改编]命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是.4.[教材改编]在一次驾照考试中,甲、乙两名学员各试驾一次.设p是“甲试驾成功”,q是“乙试驾成功”,则“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为.题组二常错题◆索引:全称命题或特称命题的否定出错;不会利用真值表判断命题的真假;复合命题的否定中出现逻辑联结词错误;判断命题真假时忽视对参数的讨论.5.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是.6.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是.(填序号)①(p)∨q;②p∧q;③(p)∧(q);④(p)∨(q).7.已知命题“若ab=0,则a=0或b=0”,则其否命题为.8.已知p:∀x∈R,ax2+4x+1>0,则p:.若p是假命题,则实数a的取值范围是.探究点一含逻辑联结词的命题及其真假例1 (1)在一次射击训练中,甲、乙两位运动员各射击一次.设命题p是“甲击中目标”,q 是“乙击中目标”,则命题“两位运动员都没有击中目标”可表示为 ()A.(p)∨(q)B.p∨(q)C.p∨qD.(p)∧(q)(2)[2018·福建三明5月质检]已知函数f(x)=cos2x+.命题p:f(x)的图像关于点-对称,命题q:f(x)在区间-上为减函数,则()6A.p∧q为真命题B.(p)∧q为假命题C.p∨q为真命题D.(p)∨q为假命题[总结反思] 判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤:(1)判断复合命题的结构;(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假;(3)依据“‘或’:一真即真;‘且’:一假即假;‘非’:真假相反”作出判断即可.变式题 (1)[2018·太原三模]设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为π,命题q:函数y=cos x的图像关于直线x=对称,则下列结论正确的是()A.p为假命题B.q为假命题C.p∨q为假命题D.p∧q为假命题(2)已知命题p:方程e x-1=0有实数根,命题q:不等式x2-x+1≤0有解,则p∧q,p∨q,(p)∨q,p∧(q)这四个命题中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4探究点二全称命题与特称命题例2 (1)命题p:对任意x∈R,都存在m>1,使得mx>e x成立,则p为()A.对任意x∈R,都存在m>1,使得mx≤e x成立B.对任意x∈R,不存在m>1,使得mx>e x成立C.存在x0∈R,对任意m>1,都有mx0≤ 成立D.存在x0∈R,对任意m>1,都有mx0>成立(2)[2018·大同质检]下列说法正确的是()A.命题“∃x0∈R且x0≠1,-<0”的否定是“∀x∈R,-≥0”B.∀x>0,ln(x+1)>0C.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数D.∀x∈R,2x>x2[总结反思] (1)全称命题与特称命题的否定:①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.②否定结论:对原命题的结论进行否定.(2)全称命题与特称命题真假的判断方法:命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假变式题 [2018·西安质检]已知命题p:∃x0∈R,log2(+1)≤0,则()A.p是假命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)>0C.p是真命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0D.p是真命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)>0探究点三根据命题的真假求参数的取值范围例 3 (1)已知命题p:∃x0∈[1,e],ln x0-a≥0,若p是真命题,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.(0,1)C.(1,e)D.(1,+∞)(2)已知命题p:∃x0∈R,m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)B.[-2,0)C.(0,2)D.(-2,0)[总结反思] 根据命题真假求参数的方法步骤:(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.变式题 (1)若命题“∀x∈(0,+∞),x+≥m”是假命题,则实数m的取值范围是.(2)设p:∃x0∈,g(x0)=log2(t+2x0-2)有意义,若p为假命题,则t的取值范围为.。

第三节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，ba ，b 的几何平均数．2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．[常用结论]1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．2．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22.3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x，x ∈(0，π)的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 C [∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.] 3．若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5C [由题意得1a ＋1b ＝1.又a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4.当且仅当b a ＝ab ，即a ＝b ＝2时等号成立，故选C .] 4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C .]5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2. 25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，则y ＝x (10－x ) ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ， 即x ＝5时，y max ＝25.]利用基本不等式求最值►考法1 配凑法求最值【例1】 (1)设0＜x ＜2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为( )A ．2B .22C .3D . 2 (2)若x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(1)D (2)1 [(1)∵0＜x ＜2，∴4－2x ＞0，∴x (4－2x )＝12×2x (4－2x )≤12×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋4－2x 22＝12×4＝2. 当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时等号成立． 即函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2. (2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x， 即x ＝1时，等号成立． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.] ►考法2 常数代换法求最值【例2】 已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立． 故xy 的最小值为64.(2)法一：(消元法)由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，因为x ＞0，y ＞0，所以y ＞2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立． 故x ＋y 的最小值为18.法二：(常数代换法)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋22x y ·8y x ＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立， 故x ＋y 的最小值为18.(2)(2019·皖南八校联考)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn ＝－1上，且m ＞0，n ＞0，则3m ＋n 的最小值为( ) A ．13 B ．16 C ．11＋6 2D ．28(1)6 (2)B [(1)∵x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9， ∴9－(x ＋3y )＝xy ＝13×x ×3y ≤13×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y 时，等号成立，由⎩⎨⎧ x ＝3y ，x ＋3y ＋xy ＝9，因为x ＞0，y ＞0，计算得出⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1. ∴x ＋3y 的最小值为6.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过A (－3，－1)， 由点A 在直线x m ＋yn ＝－1上可得， －3m ＋－1n ＝－1， 即3m ＋1n ＝1，故3m ＋n ＝(3m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ，因为m ＞0，n ＞0，所以n m ＋m n ≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n 时取等号)，故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16，故选B .]利用基本不等式解决实际问题【例3】 随着社会的发展，汽车逐步成为人们的代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生，据调查某段公路在某时段内的车流量y (单位：千辆/时)与汽车的平均速度v (单位：千米/时)之间有函数关系：y ＝900v v 2＋8v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数)(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ [解] (1)由题知，v ＞0，则y ＝900vv 2＋8v ＋1 600＝900v ＋1 600v ＋8≤90080＋8＝90088＝22522，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时取等号． 所以y max ＝22522≈10.23. 故当v ＝40时，车流量y 最大，最大约为10.23千辆/时．(2)由y ＝900v v 2＋8v ＋1 600≥10，得90vv 2＋8v ＋1 600≥1，即90v ≥v 2＋8v ＋1 600，整理得v 2－82v ＋1600≤0，即(v －32)(v －50)≤0，解得32≤v ≤50.所以为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，汽车的平均速度应大于等于32千米/时且小于等于50千米/时．米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元D ．240元C [设底面相邻两边的边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160(当且仅当x ＝y 时取等号)．故该容器的最低总造价是160元．]基本不等式的综合应用【例4】 (1)已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是________．(1)B (2)92 [(1)由3a ＋1b ≥ma ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋a b ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立)， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2， ∴S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n的最小值是92.](1)当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2＞0恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2a －b 的最小值等于________．(1)B (2)22 [(1)由32x －(k ＋1)·3x ＋2＞0，解得k ＋1＜3x ＋23x .∵3x ＞0，∴3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)， ∴3x ＋23x 的最小值为22.又当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2＞0恒成立，∴当x ∈R 时，k ＋1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋23x min ，即k ＋1＜22，即k ＜22－1. (2)由f (x )＝|lg x |，且f (a )＝f (b )可知 |lg a |＝|lg b |，又a ＞b ＞0，∴lg a ＝－lg b ，即lg ab ＝0，∴ab ＝1. ∴a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b≥22， 当且仅当a －b ＝2时等号成立，∴a 2＋b 2a －b的最小值为22.]。

课后限时集训(三十三) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45C [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－35x ，平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即C (2,3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，2x ＋y ＜6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [由不等式2x ＋y ＜6得y ＜6－2x ，且x ＞0，y ＞0，则当x ＝1时，0＜y ＜4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0＜y ＜2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4，故选C.]3．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，x ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最小值是( )A. 2 B ．2 C ．4 D.689B [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，x ≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示．过原点O (0,0)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线段的长度d ＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知z min ＝d 2＝2，故选B.] 4．点P (x ，y )为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域内的动点，则yx的最小值为( )A ．－12 B ．－2 C ．－3D ．－13D [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －8＝0，x ＋2y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故A (3，－1).yx的几何意义为直线OP 的斜率，故当点P与点A 重合时直线OP 的斜率最小，此时k OP ＝－13.]5．某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨．如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为( ) A ．14 000元 B ．16 000元 C ．18 000元D ．20 000元A [设生产A 产品x 吨，B 产品y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ≤160，2x ＋5y ≤200，x ，y ∈N，利润z ＝300x ＋200y ， 可行域如图阴影部分所示．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z200经过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝160，x ＋y ＝50可得x ＝40，y ＝10，即A (40,10)．z max ＝300×40＋200×10＝14 000.] 6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3B [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.] 7．(2019·皖南八校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，所表示的平面区域为M ，若直线y ＝k (x －2)－1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32D ．[－1,3]A [画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示，y ＝k (x －2)－1恒过C (2，－1)，k ＝y ＋1x －2即为可行域内的点(x ，y )与C (2，－1)连线的斜率， 由图可知，k ≤k BC ＝－1，即实数k 的取值范围是(－∞，－1]，故选A.] 二、填空题8．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)表示区域D 的不等式组为________；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，则a 的取值范围为________．(1)⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0(2)(－18,14) [(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0， 即(14－a )(－18－a )＜0， 得a 的取值范围是－18＜a ＜14.]9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．－1 [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y 得y ＝34x －14z .平移直线y ＝34x ，易知经过点A 时，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴A (1,1)．∴z min ＝3－4＝－1.]10．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取到最大值，则a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ [作出不等式对应的平面区域，如图阴影部分所示，当a ＝0时，z ＝x ，即x ＝z ，此时不成立． 故a ≠0.由z ＝x ＋ay 得y ＝－1ax ＋z a.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －8＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即A (2,2)．要使目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)仅在点A (2,2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y ＝－1ax＋z a的下方，即目标函数的斜率k ＝－1a，满足k ＞k AC ，即－1a＞－3. ∵a ＞0，∴a ＞13，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.] B 组 能力提升1．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋4y －4≥0，x ＋y －3≤0，则x ＋1y的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，11 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，35C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，11 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，53A [约束条件对应的平面区域是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫45，45，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫83，13为顶点的三角形及其内部，y x ＋1的几何意义是可行域上的点(x ，y )与点(－1,0)连线所在直线的斜率，当(x ，y )取点⎝ ⎛⎭⎪⎫83，13时，yx ＋1取得最小值111；当(x ，y )取点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32时，y x ＋1取得最大值35，则y x ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，35，所以x ＋1y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，11，故选A.] 2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |－1≤a ≤1} B ．{a |a ≤－1} C ．{a |a ≤－1或a ≥1}D ．{a |a ≥1}A [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以目标函数z ＝ax ＋y 的图象经过点A (3,9)时，z 取得最大值，经过点B (3，－3)时，z 取得最小值，由图象得，－1≤－a ≤1，所以－1≤a ≤1，故选A.]3．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)．若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是________．[0,2] [满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2的平面区域如图阴影部分所示．将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式． 当x ＝1，y ＝1时，OA →·OM →＝－1×1＋1×1＝0； 当x ＝1，y ＝2时，OA →·OM →＝－1×1＋1×2＝1； 当x ＝0，y ＝2时，OA →·OM →＝－1×0＋1×2＝2. 故OA →·OM →的取值范围为[0,2]．]4．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为________元．2 400 [设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元，x ，y ∈N. 根据题意，有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ∈N，y ∈N，目标函数为z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ∈N，y ∈N所表示的可行域，如图中的阴影部分中的整点所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，z max＝400×6＝2 400.]。

课后限时集训(三十三)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2018·武汉模拟)下列命题中正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 3D [由x ＞0知3x ＋4x ≥43，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时等号成立，则2－3x －4x ≤2－43，因此函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－43，故选D.]2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5C [由a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2知1a ＋4b ＝12()a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥92，当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝43时等号成立，故选C.]3．(2018·太原模拟)已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为( ) A.53 B.103 C.32D ．3 D [4x x ＋3y ＋3y x ＝4x x ＋3y ＋x ＋3yx－1≥3， 当且仅当4x x ＋3y ＝x ＋3yx，即x ＝3y 时，等号成立．故选D.] 4．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <QC [∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ， 即Q >P .∵a ＋b2>ab ，∴lga ＋b2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，即R >Q ，∴P <Q <R .] 5．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元C [设容器底面矩形的长和宽分别为a 和b ，容器的总造价为y 元，则ab ＝4，y ＝4×20＋10×2(a ＋b )＝20(a ＋b )＋80，∵a ＋b ≥2ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝2时等号成立)，∴y ≥160，故选C.]二、填空题6．(2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．8 [∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋4a b ＋b a≥4＋24a b ·ba＝8，当且仅当b a＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8.]7．(2019·徐州模拟)已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________． 2 [a b 2＋1＝22×2a b 2＋1≤22×12(2a 2＋b 2＋1)＝24×(3＋1)＝2， 当且仅当2a ＝b 2＋1，且2a 2＋b 2＝3， 即a 2＝1，b 2＝1时，等号成立． 故a b 2＋1的最大值为 2.]8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．20 [每次都购买x 吨，则需要购买400x次．∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， ∴一年的总运费与总存储费用之和为4×400x＋4x 万元．∵4×400x ＋4x ≥160，当且仅当4x ＝4×400x时取等号，∴x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．] 三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x－2x 的最大值．[解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2，∴2－x >0， ∴y ＝x－2x ＝2·x－x ≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x－2x 的最大值为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.B 组 能力提升1．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为( ) A ．24 B ．32 C ．20D ．28C [∵x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16， 则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4≥6×2＋2x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4＝20， 当且仅当x ＝y ＝10时取等号． ∴x ＋y 的最小值为20.]2．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．4 [∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.]3．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a 元/千克、b 元/千克，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠)________．(在横线上填甲或乙即可)乙 [甲购买产品的平均单价为3a ＋3b 6＝a ＋b 2，乙购买产品的平均单价为2010a ＋10b＝2aba ＋b.∵a ＋b2－2aba ＋b ＝a －b 2a ＋b≥0，且两次购买的单价不同， ∴a ≠b ， ∴a ＋b2－2aba ＋b＞0， ∴乙的购买方式的平均单价较小．故答案为乙．]4．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C(x )(单位：万元)，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (单位：万元)．当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(单位：万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(单位：万元)关于年产量x (单位：千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得，当0＜x ＜80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x，则L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950.当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，当且仅当x ＝10 000x时，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000.因为950＜1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为1 000万元．。

第4讲 基本不等式配套课时作业1．已知a ，b 为正实数，函数y ＝2a e x＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．4D ．2答案 A解析 因为函数y ＝2a e x＋b 的图象过点(0,1)，所以2a ＋b ＝1.又a >0，b >0，所以1a ＋1b＝2a ＋b a ＋2a ＋b b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即b ＝2a 时取等号，所以1a ＋1b的最小值是3＋2 2.2．(2019·长春质量监测一)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16答案 B解析 由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”．故选B.3．不等式x 2＋2x <a b＋16b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－4,2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)答案 C解析 因为a b＋16b a≥2a b ·16b a＝8，当且仅当a ＝4b 时等号成立，由题意知x 2＋2x <8恒成立，由此解得－4<x <2.4．(2019·秦皇岛模拟)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2答案 A解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2－1＋3x －1＝x －1x ＋1＋3x －1＝x ＋1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2(当且仅当x ＝1＋3时取“＝”)．故选A.5．(2019·陕西咸阳质检)已知x ＋y ＝3，则2x＋2y的最小值是( ) A ．8 B ．6 C ．3 2D ．4 2答案 D解析 因为2x>0,2y>0，x ＋y ＝3，所以由基本不等式得2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y＝42，当且仅当2x ＝2y，即x ＝y ＝32时等号成立．故选D.6．(2019·湖南模拟)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4答案 C解析 由1a ＋2b ＝ab ，知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.故选C.7．设x >0，y >0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．2答案 D解析 ∵x ＋4y ＝40，且x >0，y >0，∴x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，当且仅当x ＝4y ＝12×40，即x ＝20，y ＝5时取“＝”，∴4xy ≤40.∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg (xy )≤lg 100＝2.∴lg x ＋lg y 的最大值为2.故选D.8．(2019·江西鹰潭模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16答案 B解析 因为a >0，b >0，所以根据a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，可得ab ＝1，所以1a ＋2b ≥21a ·2b＝22，当且仅当b ＝2a ＝2时等号成立．故选B.9．若两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n12<0有解，则实数n 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，1B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2512 答案 B解析 因为不等式x ＋y 4－n 2－13n 12<0有解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <n 2＋13n 12.因为x >0，y >0，且13x ＋3y ＝1，所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥1312＋23xy ·y 12x ＝2512，当且仅当3xy＝y12x 时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝2512.故n 2＋13n 12－2512>0，解得n <－2512或n >1，所以实数n 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)．故选B.10．已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则xy 取最小值时x ，y 的值分别为( ) A ．5,5 B ．10,5 C ．10，52D ．10,10答案 C解析 xy ＝x ＋4y ＋5≥4xy ＋5，当且仅当x ＝4y 时，取等号．令xy ＝t ，则上式为t 2－4t －5≥0(t >0)，整理得(t －2)2≥9，解得t ≥5(t ≤－1舍去)，当t ＝5时，取等号，即t ＝5为最小值，xy 最小值为t 2＝25.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ，x ＋4y ＋5＝25时，xy 取最小值，即x ＝10，y ＝52.11．(2019·河南中原名校质检)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则11＋a ＋44＋b 的最小值为( )A ．1B ．78C ．98D ．2答案 C解析 因为a ＋b ＝3，所以(1＋a )＋(4＋b )＝8，所以11＋a ＋44＋b ＝18[(1＋a )＋(4＋b )]⎝⎛⎭⎪⎫11＋a ＋44＋b ＝18⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4＋b 1＋a ＋41＋a 4＋b ≥18×(5＋4)＝98，当且仅当4＋b ＝2(1＋a )，即2a －b ＝2，即a ＝53，b ＝43时等号成立．故选C.12．(2019·唐山模拟)当0<m <12时，若1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围为( )A ．[－2,0)∪(0,4]B ．[－4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]答案 D解析 因为0<m <12，所以12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋1－2m 22＝18(当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号)，所以1m ＋21－2m ＝1m 1－2m ≥8，又1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.13．函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为________． 答案 22＋2 解析 因为y ＝2x ＋1x －1(x >1)，所以y ＝2x ＋1x －1＝2(x －1)＋1x －1＋2≥2＋22x －1·1x －1＝22＋2. 当且仅当x ＝1＋22时取等号，故函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为22＋2. 14．(2019·北京朝阳区模拟)已知x >1，且x －y ＝1，则x ＋1y的最小值是________．答案 3解析 ∵x >1且x －y ＝1，∴y ＝x －1>0， ∴x ＋1y ＝x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2x －1·1x －1＋1＝3(当且仅当x ＝2时取等号，此时y ＝1)．∴x ＋1y的最小值为3.15．若实数x ，y 满足x 2＋x ＋y 2＋y ＝0，则x ＋y 的取值范围是________． 答案 [－2,0]解析 ∵x 2＋y 2≥2xy ，∴2(x 2＋y 2)≥x 2＋y 2＋2xy ，即x 2＋y 2≥x ＋y22.由已知x 2＋y2＋x ＋y ＝0，得x ＋y ＋x ＋y22≤0，∴(x ＋y )2＋2(x ＋y )≤0，解得－2≤x ＋y ≤0.16．(2019·湖北八校联考)已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．答案2解析 ∵正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3， ∴a b 2＋1＝22×2a b 2＋1≤22×12(2a 2＋b 2＋1)＝24×(3＋1)＝2， 当且仅当2a ＝b 2＋1， 即a ＝1，b ＝1时，等号成立． 故a b 2＋1的最大值为 2.17．(2019·贵阳模拟)已知正实数x ，y 满足等式1x ＋3y＝2.(1)求xy 的最小值；(2)若3x ＋y ≥m 2－m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)2＝1x ＋3y ≥23xy，即xy ≥3，当且仅当x ＝1，y ＝3时等号成立，所以xy 的最小值为3.(2)3x ＋y ＝12(3x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝12⎝⎛⎭⎪⎫6＋9x y ＋y x ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋29x y·y x ＝6，当且仅当x ＝1，y＝3时等号成立，即(3x ＋y )min ＝6，所以m 2－m ≤6，所以－2≤m ≤3.18．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立． (2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8y y －2， 因为x >0，所以y >2， 则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18， 当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立． 解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y·(x ＋y )＝10＋2x y＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．19．(2019·郑州模拟)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解 (1)因为a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，所以ab ＝1a ＋1b ≥21ab，所以ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． 因为a 3＋b 3≥2ab3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号， 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)可知，2a ＋3b ≥22a ·3b ＝26ab ≥43>6， 故不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6成立．20．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？解 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－200≥212x ·80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋300x －80000＝－12(x －300)2－35000，因为x ∈[400,600]，所以S ∈[－80000，－40000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．。

学习资料基本不等式［A 组 学业达标]1．下列不等式正确的是（ ) A ．a ＋错误!≥2 B ．(－a )＋错误!≤－2 C ．a 2＋错误!≥2 D ．(－a ）2＋错误!2≤－2答案：C2．下列不等式中正确的是( ） A ．a ＋错误!≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.错误!≥错误!D ．x 2＋错误!≥2错误! 解析：a 〈0，则a ＋错误!≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则错误!〈错误!，故C 错;由基本不等式可知D 项正确． 答案：D3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.错误! B ．错误! C 。

错误!D.错误!解析:由x （3－3x )＝错误!×3x (3－3x ）≤错误!×错误!＝错误!，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝错误!时等号成立． 答案：B4．已知m ＝a ＋1a ＋1（a >0）,n ＝3x (x <1），则m ,n 之间的大小关系是（ )A ．m 〉nB ．m 〈nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：因为a 〉0，所以m ＝a ＋错误!＋1≥2错误!＋1＝3，当且仅当a ＝1时等号成立．又因为x <1，所以n ＝3x <31＝3，所以m >n 。

答案：A5．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋错误!，n ＝a ＋错误!，则m ＋n 的最小值是( ） A.错误! B ．4 C 。

92D ．5解析:由题意：正数a ，b 的等比中项是2，得ab ＝4,因为m ＝b ＋错误!，n ＝a ＋错误!， 所以m ＋n ＝b ＋错误!＋a ＋错误!， 由ab ＝4，那么b ＝错误!, 所以b ＋错误!＋a ＋错误!＝错误!＋错误!＋a ＋错误!＝错误!＋错误!≥2错误!＝5,当且仅当错误!＝错误!即a ＝2时取等号．所以m ＋n 的最小值是5。

课后限时集训(四) 函数及其表示(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下面各组函数中为相同函数的是( ) A ．f (x )＝x －12，g (x )＝x －1B ．f (x )＝x －1，g (t )＝t －1C ．f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1D ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xB [∵x －12＝|x －1|，∴A 中f (x )≠g (x )；B 正确；C 、D 选项中两函数的定义域不同，故选B.] 2．函数f (x )＝3x －1log 22x ＋1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤18，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0.14C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D [由题意得log 2(2x )＋1＞0，解得x ＞14.所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.故选D.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞1，2＋36x ，x ≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．3B ．4C ．－3D ．38C [由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋3612＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (8)＝log 128＝－3.故选C.]4．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1A [令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C [要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，所以－1≤a ＜12.故选C.]6．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D.]7．(2019·济南模拟)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( ) A ．－32B ．－34C ．－32或－34D.32或－34B [当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.]二、填空题8．已知f (2x)＝x ＋3.若f (a )＝5，则a ＝________. 4 [令t ＝2x ，则t ＞0，且x ＝log 2 t ， ∴f (t )＝3＋log 2 t ， 即f (x )＝3＋log 2 x ，x ＞0.则有log 2 a ＋3＝5，解之得a ＝4.]9.若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0－12x ，0≤x ≤2 [由题图可知，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－12x ，0≤x ≤2.]10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0，log 2x 2＋3，x ＜0，若f (a )＝3，则实数a ＝________.－5 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 2a 2＋3＝3，解得a ＝－ 5.]B 组 能力提升1．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 D ．(－1,0)D [因为函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，所以－1≤2x －1≤1，要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0，故选D.]2．(2018·厦门二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2－1，x ≤1，ln x ，x ＞1，若f (x )≥f (1)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)A [由题意可知，函数f (x )的最小值为f (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥11－a 2－1≤ln 1，解得1≤a ≤2，选A.]3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.－x x ＋12[当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－xx ＋12.]4．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．①③ [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]。

课后限时集训(一) 集 合(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}C [由题意知，A ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝{1,2}．]2．(2019·惠州一调)已知集合U ＝{－1,0,1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．∅D ．{－1}D [∵A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }＝{0,1}，∴∁U A ＝{－1}，故选D.] 3．设集合A ＝{x ||x |＜1}，B ＝{x |x (x －3)＜0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－1,3) D ．(1,3)C [由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}＝(－1,3)．故选C.]4．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0B [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝2x ＋1，得5x 2＋4x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－45，y ＝－35，故集合A ∩B 中有2个元素，故选B.]5．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆BB [集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R ，故选B.]6．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{0}，则B 的子集有( ) A ．2个 B ．4个 C ．8个D ．16个B [∵A ∩B ＝{0}， ∴0∈B ，∴m ＝0，∴B ＝{x |x 2－3x ＝0}＝{0,3}． ∴B 的子集有22＝4个．故选B.]7．已知集合A ＝{x |log 2 x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,2]D ．[2，＋∞)D [∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .又A ＝{x |log 2 x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜c }，∴c ≥2，即c 的取值范围是[2，＋∞)．] 二、填空题8．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值是________． －32 [∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 即m ＝1或m ＝－32，又当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ，不合题意，故m ＝－32.]9．设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，全集U ＝R ，则∁U (A ∩B )＝________.(－∞，－2)∪[1，＋∞) [∵4－x 2≥0， ∴－2≤x ≤2，∴A ＝[－2,2]． ∵1－x ＞0，∴x ＜1，∴B ＝(－∞，1)， 因此A ∩B ＝[－2,1)，于是∁U (A ∩B )＝(－∞，－2)∪[1，＋∞)．]10．(2019·合肥质检)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R 12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) [要使A ∩B ≠∅，只需⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1.]B 组 能力提升1.(2019·日照调研)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |x ≤1}B [易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)， ∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}．]2．(2018·广州一模)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ＋3x －1＜0，B ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}＝( ) A ．A ∩B B ．A ∪B C ．(∁R A )∪(∁R B )D ．(∁R A )∩(∁R B )D [集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ＋3x －1＜0＝{x |(x ＋3)(x －1)＜0}＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ≤－3}，A ∪B ＝{x |x ＜1}，则集合{x |x ≥1}＝(∁R A )∩(∁R B )，选D.]3．集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}．若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.[－1,0) [由x (x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0， ∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)， ∴A －B ＝[－1,0)．]4．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“单一元”，给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6 [符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．]课后限时集训(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．已知a ，b ∈R，命题“若ab ＝2，则a 2＋b 2≥4”的否命题是( ) A ．若ab ≠2，则a 2＋b 2≤4 B ．若ab ＝2，则a 2＋b 2≤4 C ．若ab ≠2，则a 2＋b 2＜4 D ．若ab ＝2，则a 2＋b 2＜4C [因为将原命题的条件和结论同时否定之后，可得到原命题的否命题，所以命题“若ab ＝2，则a 2＋b 2≥4”的否命题是“若ab ≠2，则a 2＋b 2＜4”，故选C.]2．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0C [原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数，”显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．] 3．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 C [“都是”的否定是“不都是”，故选C.]4．(2019·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．]5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3A [a ＞b ＋1⇒a ＞b ，但反之未必成立，故选A.]6．(2019·山师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则a ＝2b 是a |a |＝b|b |成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件B [由a ＝2b 可知：a ，b 方向相同，a |a |，b |b |表示a ，b 方向上的单位向量，所以a |a |＝b|b |成立；反之不成立．故选B.]7．若x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]D [∵x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件，∴(－1,4)⊆(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.] 二、填空题8．直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点的充要条件是_______．k ∈(－1,3) [直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2＜2，解之得－1＜k ＜3.] 9．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误． ②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．] 10．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.若p是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． (1,2] [因为p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 但pq ，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A ，又B ＝(2,3]，当a ＞0时，A ＝(a,3a )；当a ＜0时，A ＝(3a ，a )， 所以当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3＜3a ，解得1＜a ≤2；当a ＜0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(1,2]．]B 组 能力提升1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．]2．(2019·广东七校联考)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R，均有x 2＋x ＋1＜0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D [A 中，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 不正确；B 中，由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不正确；C 中，“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，故C 不正确；D 中，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，因此其逆否命题为真命题，故D 正确，故选D.]3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若A ＝－B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1得A ＝－B ，故选B.]4．(2019·山西五校联考)已知p ：(x －m )2＞3(x －m )是q ：x 2＋3x －4＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．(－∞，－7]∪[1，＋∞) [p 对应的集合A ＝{x |x ＜m 或x ＞m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4＜x ＜1}，由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，所以m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.]课后限时集训(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．已知p ：∃x 0∈R,3x 0＜x 30，那么綈p 为( ) A ．∀x ∈R,3x ＜x 3B ．∃x 0∈R,3x 0＞x 30 C ．∀x ∈R,3x ≥x 3D ．∃x 0∈R,3x 0≥x 30C [因为特称命题的否定为全称命题，所以綈p ：∀x ∈R,3x ≥x 3，故选C.]2．(2019·广西模拟)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p ∨q 表示( ) A ．甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米 B ．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米 C ．甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米 D ．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米D [∵命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，∴命题p ∨q 表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米”，故选D.] 3．(2019·武汉模拟)已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A ．命题綈p 是真命题 B ．命题p 是特称命题 C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题 C [该命题是全称命题且是真命题．故选C.]4．命题p ：∀x ∈R，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D [因为命题p ：∀x ∈R，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R，ax 20＋ax 0＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4.]5．(2019·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a ＜b ，则1a ＞1b，则下列为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧綈q C ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈qB [对于命题p ，当x 0＝0时，1≥0成立，所以命题p 为真命题，命题綈p 为假命题；对于命题q ，当a ＝－1，b ＝1时，1a ＜1b，所以命题q 为假命题，命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q为真命题，故选B.] 6．给出下列四个命题： ①∃x 0∈R，ln(x 20＋1)＜0； ②∀x ＞2，x 2＞2x；③∀α，β∈R，sin(α－β)＝sin α－sin β；④若q 是綈p 成立的必要不充分条件，则綈q 是p 成立的充分不必要条件． 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [由于∀x ∈R ，y ＝ln(x 2＋1)≥ln 1＝0，故①错；令x ＝4，则x 2＝2x＝16，故②错；③应为∀α，β∈R ，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，故③错；④若q 是綈p 成立的必要不充分条件，则p 是綈q 成立的必要不充分条件，则綈q 是p 成立的充分不必要条件，故④正确．其中真命题的个数为1.故选A.]7．已知p ：∃x 0∈R，mx 20＋1≤0；q ：∀x ∈R，x 2＋mx ＋1＞0.若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]A [依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0； 当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]二、填空题8．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1 [∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.]9．已知命题“∀x ∈R，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ [由“∀x ∈R，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.] 10．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x ＞1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________．(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) [因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3， 所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．]B 组 能力提升1．设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( ) A ．p 为假命题 B ．綈q 为真命题 C ．p ∨q 为真命题D ．p ∧q 为假命题C [函数f (x )不是偶函数，仍然可∃x ∈R，使得f (－x )＝f (x )，p 为假命题；f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x，－x 2x ＜在R 上是增函数，q 为假命题．所以p ∨q 为假命题，故选C.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3C [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0y ＝－x2＋u 2，u2表示纵截距．结合题意知p 1，p 2正确．] 3．(2019·黄冈模拟)下列四个命题： ①若x ＞0，则x ＞sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R，x －ln x ＞0”的否定是“∃x 0∈R，x 0－ln x 0＜0”． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，即当x ＞0时，x －sin x ＞0－0＝0，则当x ＞0时，x ＞sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R，x －ln x ＞0”的否定是“∃x 0∈R，x 0－ln x 0≤0”，故④错误． 综上，正确命题的个数为3，故选C.]4．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x(a ＞1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________．(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________．(1)[3，＋∞) (2)(1，3] [(1)∵f (x )＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1，∵x ≥2，∴x －1≥1， ∴f (x )≥2x －1x －1＋1＝3. 当且仅当x －1＝1x －1，即x －1＝1，x ＝2时等号成立． ∴m ∈[3，＋∞)．(2)∵g (x )＝a x(a ＞1，x ≥2)， ∴g (x )min ＝g (2)＝a 2.∵∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)， ∴g (x )min ≤f (x )min ， ∴a 2≤3，即a ∈(1，3]．]课后限时集训(四) 函数及其表示(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下面各组函数中为相同函数的是( ) A ．f (x )＝x －2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝x －1，g (t )＝t －1C ．f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1D ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xB [∵x －2＝|x －1|，∴A 中f (x )≠g (x )；B 正确；C 、D 选项中两函数的定义域不同，故选B.] 2．函数f (x )＝3x －1log 2x ＋1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤18，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0.14C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D [由题意得log 2(2x )＋1＞0，解得x ＞14.所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.故选D.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞1，2＋36x ，x ≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．3B ．4C ．－3D ．38C [由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋3612＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (8)＝log 128＝－3.故选C.]4．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1A [令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C [要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，所以－1≤a ＜12.故选C.]6．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D.]7．(2019·济南模拟)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为()A ．－32B ．－34C ．－32或－34D.32或－34B [当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.]二、填空题8．已知f (2x)＝x ＋3.若f (a )＝5，则a ＝________. 4 [令t ＝2x ，则t ＞0，且x ＝log 2 t ， ∴f (t )＝3＋log 2 t ， 即f (x )＝3＋log 2 x ，x ＞0. 则有log 2 a ＋3＝5，解之得a ＝4.]9.若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0－12x ，0≤x ≤2 [由题图可知，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－12x ，0≤x ≤2.]10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0，log 2x 2＋，x ＜0，若f (a )＝3，则实数a ＝________.－5 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 2a 2＋＝3，解得a ＝－ 5.]B 组 能力提升1．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数fx ＋log 2x ＋的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 D ．(－1,0)D [因为函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，所以－1≤2x －1≤1，要使函数f x ＋log 2x ＋有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0，故选D.]2．(2018·厦门二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2－1，x ≤1，ln x ，x ＞1，若f (x )≥f (1)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)A [由题意可知，函数f (x )的最小值为f (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1－a 2－1≤ln 1，解得1≤a ≤2，选A.]3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. －x x ＋2[当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－xx ＋2.]4．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．①③ [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]课后限时集训(五) 函数的单调性与最值(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)A [f (x )＝1x在(0，＋∞)上是单调递减函数，故选A.]2．(2019·三门峡模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2，6]D ．[2，＋∞)B [易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2是定义域R 上的增函数．∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围是(－∞，2]，故选B.]3．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，40]B ．(40,64)C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)D ．[64，＋∞)C [由题意可知k 8≤5或k8≥8，即k ≤40或k ≥64，故选C.] 4．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则( ) A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)A [∵f (x )关于直线x ＝2对称且f (x )在(－∞，2)上是增函数，∴f (x )在(2，＋∞)上是减函数， 又f (－1)＝f (5)，且f (3)＞f (5)， ∴f (3)＞f (－1)，选A.]5．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[0,2) C ．[0,1)D ．[－1,1)C [由函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，得函数f (x )在[－2,2]上单调递增． 由f (a 2－a )＞f (2a －2)得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a ＞2a －2，－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2.∴0≤a ＜1，故选C.] 二、填空题6．函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________．(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．]7．(2019·甘肃调研)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是________．(－5，－2)∪(2，5) [因为函数f (x )＝ln x ＋2x在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得，f (x 2－4)＜f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.]8．(2019·广州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．(－∞，1]∪[4，＋∞)[作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.]三、解答题9．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值． [解] f (x )＝ax ＋1a(1－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a －1a＜0，即0＜a ＜1时，g (a )＝f (1)＝a ；当a －1a≥0，即a ≥1时，g (a )＝f (0)＝1a .故g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0＜a ＜1，1a，a ≥1.所以g (a )的最大值为1. 10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 组 能力提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)D [∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.]2．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a ＜b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝x )x －x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12C [由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1＜x ≤2.∵f (x )＝x －2在[－2,1]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1；又f (x )＝x 3－2在(1,2]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (2)＝23－2＝6. ∴当x ∈[－2,2]时，f (x )max ＝6.]3．函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－4) [由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋kx －2＝x －＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4.]4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.课后限时集训(六) 函数的奇偶性与周期性(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e xB ．y ＝sin xC ．y ＝cos xD ．y ＝ln x 2D [y ＝e x 不是偶函数，所以A 不正确；y ＝sin x 是奇函数，所以B 不正确；y ＝cos x 是偶函数，在(0，＋∞)上不是单调递增函数，所以C 不正确；y ＝ln x 2是偶函数，在(0，＋∞)上是单调递增函数，所以D 正确．故选D.]2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54C.54D ．3A [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.]3．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1B [由已知得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－f ＋g ＝2，f＋g＝4，解得g (1)＝3.]4．(2019·江西六校联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋，x ≥0，g x，x ＜0，则g [f (－8)]＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2A [∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋，x ≥0，g x，x ＜0，∴f (－8)＝－f (8)＝－log 3 9＝－2，∴g [f (－8)]＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 3 3＝－1.故选A.]5．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (1)＝1，则f (2 019)＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．－2B [由题意得f (x ＋4)＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )以8为周期，∴f (2 019)＝f (3)＝f (1)＝1，故选B.]6．(2019·皖南八校联考)偶函数f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (1)＝－1，则满足f (2x－3)＞－1的实数x 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(－1,1)A [因为偶函数f (x )在(－∞，0]上是增函数， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 由f (1)＝－1且满足f (2x－3)＞－1＝f (1)， 等价于f (|2x－3|)＞f (1)，|2x－3|＜1，可得－1＜2x－3＜1,2＜2x＜4,1＜x ＜2， 所以实数x 的取值范围是(1,2)，故选A.]7．(2019·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45 C ．－1D ．－45C [由于x ∈R，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，由于f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4，log 216＜log 220＜log 232，即4＜log 220＜5,0＜log 220－4＜1， ∴0＜log 254＜1，∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.]二、填空题8．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________. 52 [∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52.] 9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [∵f (2|a －1|)＞f (－2)＝f (2)， 又由已知可得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴2|a －1|＜2＝212， ∴|a －1|＜12，∴12＜a ＜32.]10．定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三个命题：①8是函数f (x )的一个周期；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )是偶函数． 其中正确命题的序号是________．①②③ [∵f (x )＋f (x ＋2)＝0，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )的周期为4，故①正确；又f (4－x )＝f (x )，所以f (2＋x )＝f (2－x )，即f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故②正确；由f (x )＝f (4－x )得f (－x )＝f (4＋x )＝f (x )，故③正确．]B 组 能力提升1．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( )A.13 B ．－13C ．5D ．8C [因为f (x )＋f (－x )＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (－lg 3)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝8－f (lg 3)＝5，故选C.] 2．(2019·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0,1] C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [由函数图象可知f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]3．(2018·洛阳一模)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.]4．(2019·沧州模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0.给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为________． ①②④ [∵f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3得，f (－3)＝0，又f (x )为偶函数，∴f (3)＝0，即①正确；由f (3)＝0得f (x ＋6)＝f (x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (6－x )＝f (6＋x )，故f (x )关于直线x ＝6对称，又f (x )的周期为6，故②正确；当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数．因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数．故③错误；f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，所以函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．故④正确．]课后限时集训(七) 二次函数与幂函数(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2019·西安质检)函数y ＝3x 2的图象大致是( )A BC DC [∵y ＝x 23，∴该函数是偶函数，且在第一象限内是上凸的，故选C.]2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－12，13，12，1，2，3，则使幂函数y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6A [因为幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，所以α＞0.又幂函数y ＝x α为奇函数，可知α≠2.当α＝12时，其定义域关于原点不对称，应排除．当α＝13，1,3时，其定义域关于原点对称，且满足f (－x )＝－f (x )．故α＝13，1,3时，满足条件．故满足条件的α的值的个数为3.故选A.]3．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，则函数g (x )＝(2x －1)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值是( ) A ．－1 B ．0 C ．－2D.32B [由已知得3α＝13，解得α＝－1，∴f (x )＝x －1，∴g (x )＝2x －1x ＝2－1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，则g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.]4．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)C [由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0,2]上单调递增，则抛物线开口向下，且f (x )在[2,4]上是减函数， 所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.]5．若f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )＜0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤0 B ．a ＜－4 C ．－4＜a ＜0D ．－4＜a ≤0D [①当a ＝0时，得到－1＜0，显然不等式的解集为R ；②当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋ax －1开口向下，由不等式的解集为R ，得二次函数的图象与x 轴没有交点，即Δ＝a 2＋4a ＜0，即a (a ＋4)＜0，解得－4＜a ＜0；③当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋ax －1开口向上，函数值y 不恒小于0，故解集为R 不可能．] 二、填空题6．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g (x )的图象上，则f (2)＋g (－1)＝________.32 [设f (x )＝x m ，g (x )＝x n ，则由2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m得m ＝－1，由14＝(－2)n，得n ＝－2， 所以f (2)＋g (－1)＝2－1＋(－1)－2＝32.]7．已知二次函数y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ，则其图象的顶点位置最高时对应的解析式为________．y ＝x 2－2x ＋5 [y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ＝(x ＋k )2－k 2－2k ＋3，所以图象的顶点坐标为(－k ，－k 2－2k ＋3)．因为－k 2－2k ＋3＝－(k ＋1)2＋4，所以当k ＝－1时，顶点位置最高．此时抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋5.]8．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m恒成立，则m －n 的最小值为________．1 [当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1，∴m －n 的最小值是1.] 三、解答题9．若函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围．[解] 作出函数y ＝x 2－2x ＋3的图象如图．由图象可知，要使函数在[0，m ]上取得最小值2，则1∈[0，m ]，从而m ≥1， 当x ＝0时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝3， 所以要使函数取得最大值3，则m ≤2， 故所求m 的取值范围为[1,2]．10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．[解] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)， 由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x . 所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1,1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方， 所以在[－1,1]上，x 2－x ＋1＞2x ＋m 恒成立， 即x 2－3x ＋1＞m 在区间[－1,1]上恒成立．所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，因为g (x )在[－1,1]上的最小值为g (1)＝－1， 所以m ＜－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．B 组 能力提升1．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()ABC DD [由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a＜0，B 错误．故选D.] 2．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关B [法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关． 故选B.法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关． 故选B.]3．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a ＞0，则实数a 的取值范围是________．(1,5] [Δ＝4(a －2)2－4a ＝4a 2－20a ＋16＝4(a －1)(a －4)．(1)若Δ＜0，即1＜a ＜4时，x 2－2(a －2)x ＋a ＞0在R 上恒成立，符合题意； (2)若Δ＝0，即a ＝1或a ＝4时，方程x 2－2(a －2)x ＋a ＞0的解为x ≠a －2， 显然当a ＝1时，不符合题意，当a ＝4时，符合题意；(3)当Δ＞0，即a ＜1或a ＞4时，因为x 2－2(a －2)x ＋a ＞0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a －＋a ≥0，25－a －＋a ≥0，1＜a －2＜5，解得3＜a ≤5，又a ＜1或a ＞4，所以4＜a ≤5. 综上，a 的取值范围是(1,5]．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补全函数f (x )的图象并根据图象写出函数f (x )(x ∈R)的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R)的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． [解] (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2xx ＞，x 2＋2x x(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值； 当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a a ，－a 2－2a ＋＜a，2－4a a ＞课后限时集训(八) 指数与指数函数(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题 1．设a ＞0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 12 B ．a 56 C ．a 76 D ．a 32C [a2a ·3a 2＝a2a ·a23＝a 2a53＝a2a56＝a 2－56＝a 76.故选C.] 2．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c .因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .]3．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )A B。

课后限时集训(三十) 等比数列及其前n 项和(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)C [∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1a n ＝－13，∴数列{a n }是以－13为公比的等比数列，∵a 2＝－43，∴a 1＝4.由等比数列的求和公式可得，S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101＋13＝3(1－3－10)．故选C.]2．(2019·湘潭模拟)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为( ) A ．3 B ．5 C ．9D ．25D [设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 7＝a 5q ·a 5q 2＝9q ＝45，所以q ＝5，a 7－a 9a 5－a 7＝a 5q 2－a 7q 2a 5－a 7＝q 2＝25.故选D.]3．(2019·太原模拟)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( ) A.12 B ．－12 C ．－29D ．－19B [设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B.]4．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( ) A ．1－4nB ．4n－1 C.1－4n 3D.4n－13B [由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4， ∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即|b n |是以3为首项，4为公比的等比数列． ∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝－4n1－4＝4n－1.]5．(数学文化题)《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半；莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间约为( ) 参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果精确到0.1 A ．2.2天 B ．2.4天 C ．2.6天D ．2.8天C [设蒲每天的长度构成等比数列{a n }，其首项a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n .设莞每天的长度构成等比数列{b n }，其首项b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12，B n ＝1－2n1－2.设蒲、莞长度相等时所需时间约为x 天，则3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1－12＝1－2x 1－2，化简得2x ＋62x ＝7，计算得出2x＝6,2x＝1(舍去)．所以x ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2≈2.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等．故选C.] 二、填空题6．(2019·湖南十校联考)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝5，则S 8S 4＝________. 17 [法一：设数列{a n }的公比为q ，由已知得S 4S 2＝1＋a 3＋a 4a 1＋a 2＝5，即1＋q 2＝5， 所以q 2＝4，S 8S 4＝1＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋q 4＝1＋16＝17.法二：由等比数列的性质可知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列， 若设S 2＝a ，则S 4＝5a ，由(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)得S 6＝21a ，同理得S 8＝85a ， 所以S 8S 4＝85a5a＝17.]7．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项之和为778，则此数列的项数为________．5 [设此等比数列为{a m }，公比为q ，则该数列共有n ＋2项．∵14≠78，∴q ≠1.由等比数列的前n 项和公式，得778＝14－78q1－q ，解得q ＝－12，∴a n ＋2＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋2－1＝78，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1＝116，解得n ＝3，∴该数列共有5项．]8．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________. 14 [设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以3n －6＝36，即n ＝14.] 三、解答题。