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和平区2019-2020学年度第一学期高三年级期末质量调查试卷数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵集合，集合∴故选C2. “”是“关于的方程有实数根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵若关于的方程有实数根∴，即∴不一定等于故选A3. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 9B. 5C. 1D. -5【答案】B【解析】由约束条件作出可行域如图所示：目标函数可化为由图可知当直线过点时，取最大值故选B点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵双曲线的方程为∴双曲线的渐近线方程为，右焦点∵过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点∴直线的斜率在和之间，包括端点故选D5. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A. 72B. 90C. 101D. 110【答案】B【解析】输入参数第一次循环，，满足，继续循环第二次循环，，满足，继续循环第三次循环，，满足，继续循环第四次循环，，满足，继续循环第五次循环，，满足，继续循环第六次循环，，满足，继续循环第七次循环，，满足，继续循环第八次循环，，满足，继续循环第九次循环，，不满足，跳出循环，输出故选B点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．6. 将函数的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】将函数的图像向左平移个单位，得故选D7. 如图，正方形的边长为2，为的中点，，且与相交于点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，则，，，∵为的中点，∴，∴直线的方程为，直线的方程为联立，得∴，∴故选A点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用，向量的数量积运算.解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.8. 已知函数若始终存在实数，使得函数的零点不唯一，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知函数的零点不唯一，等价于两函数与图象的交点个数不唯一∵的图象是开口向下、对称轴的抛物线，的图象是恒过的直线，注意到、，则分、、三种情况讨论：①当时，∵在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数（当时为常数函数）∴在上为增函数，在上为减函数∴始终存在实数使得在上与图象的交点个数不唯一．②当时，在上为增函数，在上为减函数∵在上为增函数，且∴始终存在实数使得在上与图象的交点个数不唯一．③当时，在上为增函数，在上为增函数，欲使始终存在实数使得在上与图象的交点个数不唯一，则必有，即，解得：．综上所述，的取值范围是．故选C点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决，如在本题中，方程根的个数，即为直线与函数图象的公共点的个数；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知是虚数单位，则复数__________．【答案】【解析】结合复数的运算法则有：.10. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答）【答案】60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为6011. 一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，其上半部分是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长度为2的菱形，高为2，其体积为：，下半部分是半个球，球的半径，其体积为据此可得，该几何体的体积为.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．12. 已知，则的最小值为__________．【答案】-1【解析】∵又∵∴，当且仅当，即时取等号∴最小值为故答案为点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中等题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13. 已知函数，若，则的值为__________．【答案】4【解析】依题意函数的自变量满足，即，此时恒成立∴∴∴故答案为414. 现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为__________．【答案】480【解析】假设6个人分别对应6个空位，甲不站在两端，有4个位置可选，则其他5人对应其他5个位置,有种情况，故不同排列方法种数种.故答案为480三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 在中，角所对的边分别是，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，，求的面积.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合正弦定理角化边可得.则.据此利用余弦定理可得. (Ⅱ)由题意可得.利用同角三角函数基本关系可得.则∴.据此结合三角形面积公式有的面积.试题解析：（Ⅰ）由及正弦定理，得.∵，∴.由余弦定理，得.（Ⅱ）由已知，，得.∵在中，为锐角，且，∴.∴.由，及公式，∴的面积.16. 甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、、，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件，则则事件“甲同学进入复赛的”表示为，由与互斥，且、、彼此独立，能求出甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．试题解析：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件，则事件“甲同学进入复赛的”表示为.∵与互斥，且彼此独立，∴. （Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以，随机变量的分布列为数学期望.17. 如图，在三棱锥中，平面，，为的中点，为的中点，点在线段上，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求证：平面；（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面可推出，再由，可证平面，从而得出，由及为的中点，推出，即可得证平面；（Ⅱ）依题意，平面，，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，得出，，，，，，，由为平面的一个法向量，再根据，即可得出，从而得证；(Ⅲ) 求出平面的一个法向量，设与平面所成角为，根据，即可求出与平面所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴.∵，，∴平面.∵平面，∴.∵，为的中点，∴.∵，∴平面.（Ⅱ）证明：依题意，平面，，如图，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.可得，，，，，，.∵平面的一个法向量，，∴，即.∵平面，∴平面.（Ⅲ）解：设平面的法向量为，则，.由，，得令，得，，即.设与平面所成角为，∵，∴.∴与平面所成角的正弦值为.点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；（2）求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值；求二面角时，要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，但在解题时要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角．18. 已知是等差数列，是等比数列，其中，，.（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合数列的性质可得等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，据此计算可得的通项公式，的通项公式.(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)中求得的通项公式可得.错位相减结合等差数列前n项和公式可得.试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为，由，得，，由，，得，，∴.∴的通项公式，的通项公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，故.则.令，①则，②由②-①，得.∴.点睛：一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：为定值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合点到直线距离公式可得.结合离心率计算公式有.则椭圆的方程为.(Ⅱ)对直线的斜率分类讨论：当直线的斜率不存在时，.当直线的斜率存在时，设，，，，联立直线方程与椭圆方程有，由弦长公式可得.联立直线与椭圆方程，结合弦长公式有.计算可得.据此可得：为定值.试题解析：（Ⅰ）依题意，原点到直线的距离为，则有.由，得.∴椭圆的方程为.（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，则.（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，依题意，则直线的方程为，直线的方程为.设，，，，由得，则，，.由整理得，则..∴.综合（1）（2），为定值.20. 已知函数，，且曲线与在处有相同的切线. （Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求证：在上恒成立；（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)2.【解析】试题分析：(Ⅰ)函数有相同的切线，则，，据此计算可得；(Ⅱ)构造函数，令，原问题等价于在上恒成立，讨论函数的单调性可得，即在上恒成立.试题解析：（Ⅰ）∵，，，∴.∵，，∴，.∵，即，∴.（Ⅱ）证明：设，.令，则有.当变化时，的变化情况如下表：∴，即在上恒成立.（Ⅲ）设，其中，.令，则有.当变化时，的变化情况如下表：∴.，设，其中，则，∴在内单调递减，，∴，故，而.结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，∴方程在区间内实根的个数为2.。
2020-2021学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷一、选择题（共9小题）.1．已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{﹣1，1，2}D．{﹣2，﹣1，1} 2．设x∈R，则“”是“（）x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数在[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．4．已知某校一次数学测验所有学生得分都在[80，150]内，根据学生得分情况绘制的频率分布直方图如图所示，则图中a的值是（）A．0.015B．0.020C．0.030D．0.0405．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点都在球O的表面上，若球O的体积为36π，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．B．C．D．6．设，b＝30.9，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．已知抛物线的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且点F到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝﹣C．ω＝，φ＝﹣D．ω＝，φ＝9．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）二、填空图（共6小题）.10．已知i是虚数单位，则＝．11．在的展开式中常数项是．12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线2x﹣y＝0的距离为，若点在圆C上，则圆C的方程为．13．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为．14．已知a＞0，b＞0，且+＝，则a+2b的最小值为．15．在菱形ABCD中，，AB＝2，点M，N分别为BC，CD边上的点，且满足，则的最小值为．三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a sin A＝4b sin B，．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B+A）的值．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M 是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．（Ⅰ）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；（Ⅲ）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．18．（15分）已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l经过点A（﹣a，0），且直线l与椭圆C交于点P（P不在x轴上），若点Q在y轴的负半轴上，△APQ是等边三角形，求k的值．19．（15分）已知等比数列{a n}满足a3﹣a2＝10，a1a2a3＝125．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，且，（ⅰ）求{b n}的通项公式；（ⅱ）求．20．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax﹣1，g（x）＝2aln（x+1），a∈R．（Ⅰ）若f（x）在点（0，f（0））的切线倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对于任意x∈[0，+∞），f（x）+g（x）≥x恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共9小题）.1．已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{﹣1，1，2}D．{﹣2，﹣1，1}解：∵集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，∴∁U A＝{﹣2，﹣1，1，2}，则（∁U A）∩B＝{﹣1}．故选：A．2．设x∈R，则“”是“（）x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：由得x＜0或x＞1，由（）x＞1得x＜0，则“”是“（）x＞1”的必要不充分条件，故选：B．3．函数在[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，排除选项C和D，又f（）＝＝＞0，排除选项B，故选：A．4．已知某校一次数学测验所有学生得分都在[80，150]内，根据学生得分情况绘制的频率分布直方图如图所示，则图中a的值是（）A．0.015B．0.020C．0.030D．0.040解：由频率分布直方图可得（0.003+0.0070.02+0.012+2a+0.03+0.008）×10＝1，解得a＝0.020．故选：B．5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点都在球O的表面上，若球O的体积为36π，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．B．C．D．解：由题意可知正方体的体对角线的长度，就是外接球的直径，球O的体积为36π，所以外接球的半径为R，可得πR3＝36π，所以R＝3，所以正方体的对角线的长度：6，棱长为a，＝6，解得a＝2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为：a3＝24．故选：D．6．设，b＝30.9，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b解：1＜＝30.8＜b＝30.9，c＝log0.70.8＜log0.70.7＝1，则a，b，c的大小关系为c＜a＜b．故选：D．7．已知抛物线的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且点F到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：抛物线的焦点坐标为（0，5），双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为by+ax＝0，∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴＝b＝4，即b＝4，∵c＝5，∴a＝3，∴双曲线方程为：．故选：D．8．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝﹣C．ω＝，φ＝﹣D．ω＝，φ＝解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）＝2，f（）＝0，得，∴T＝3π，则，即．∴f（x）＝2sin（ωx+φ）＝2sin（x+φ），由f（）＝，得sin（φ+）＝1．∴φ+＝，k∈Z．取k＝0，得φ＝＜π．∴，φ＝．故选：A．9．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）解：因为函数f（x）＝，则f（﹣x）＝，所以函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）＝，①当k＝0时，，所以g（x）只有一个零点，不符合题意；②当k≠0时，因为，所以g（﹣x）＝g（x），则g（x）为偶函数，所以g（x）有且仅有四个不同的零点可转化为g（x）＝x2+kx+k（x＞0）有且仅有两个不同的零点，所以g'（x）＝2x﹣k（x＞0），当k＜0时，g'（x）＞0（x＞0）恒成立，此时g（x）（x＞0）最多一个零点，不符合题意，当k＞0时，令g'（x）＝2x﹣k＞0（x＞0），则，令g'（x）＝2x﹣k＜0（x＞0），则，所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，要使g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个不同的零点，则有，解得k＜0或k＞4，又k＞0，所以k＞4，综上所述，所以实数k的取值范围是（4，+∞）．故选：B．二、填空图、本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10．已知i是虚数单位，则＝1+4i．解：＝．故答案为：1+4i．11．在的展开式中常数项是60．解：在的展开式中，通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•26﹣r•，令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式的常数项是•22＝60，故答案为：60．12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线2x﹣y＝0的距离为，若点在圆C上，则圆C的方程为（x﹣）2+y2＝．解：由圆C的圆心在x轴的正半轴上，设圆C的圆心为（a，0）（a＞0），半径为r，则圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0），由点M（0，）在圆上，且圆心到直线2x﹣y+1＝0的距离为，得a2+3＝r2且，解得a＝，．∴圆C的方程为（x﹣）2+y2＝．故答案为：（x﹣）2+y2＝．．13．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为．解：有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数n＝＝10，其中甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数m＝＝9，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为P＝＝．故答案为：．14．已知a＞0，b＞0，且+＝，则a+2b的最小值为3+6．解：∵a＞0，b＞0，且+＝，∴a+2b＝（a+2）+2（b+2）﹣6＝3[（a+2）+2（b+2）]（）﹣6，＝9+﹣6﹣6＝3+6，当且仅当且+＝，即b＝1+，a＝1+3时取等号，故a+2b的最小值为3+6．故答案为：3+6．15．在菱形ABCD中，，AB＝2，点M，N分别为BC，CD边上的点，且满足，则的最小值为．解：因为且满足＝λ，λ∈[0，1]则有＝λ，＝λ，所以＝+＝+λ＝+λ，＝++＝++λ＝++λ＝（1﹣λ）+，所以•＝（+λ）[（1﹣λ）+]＝（1﹣λ）2+（1+λ﹣λ2）•+λ2＝4（1﹣λ）﹣2（1+λ﹣λ2）+4λ＝2λ2﹣2λ+2当λ＝时，•有最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a sin A＝4b sin B，．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B+A）的值．解：（1）由正弦定理知，＝，∵a sin A＝4b sin B，∴a2＝4b2，即a＝2b，∵，∴b2+c2﹣a2＝ac＝bc，由余弦定理知，cos A＝＝﹣．（2）由（1）知，cos A＝﹣，∵A∈（0，π），∴sin A＝＝，由正弦定理知，＝，∵a sin A＝4b sin B，∴sin2A＝4sin2B，∵A，B∈（0，π），∴sin A＝2sin B，即sin B＝sin A＝，又A为钝角，∴B为锐角，∴cos B＝＝，∴sin2B＝2sin B cos B＝，cos2B＝1﹣2sin2B＝，故sin（2B+A）＝sin2B cos A+cos2B sin A＝×（﹣）+×＝．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M 是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．（Ⅰ）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；（Ⅲ）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵点M是棱PD上一点，PM：MD＝1：2，AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，，），＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，），设平面ACM的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，﹣2，1），∵＝4﹣4＝0，PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM．（Ⅱ）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），设平面CDP的法向量＝（a，b，c），则，取b＝1，得＝（1，1，1），平面ACD的法向量＝（0，0，1），设二面角A﹣CD﹣P的平面角为θ，则|cosθ|＝＝，∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值为＝．（Ⅲ）设M（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣4）＝（0，4λ，﹣4λ），∴a＝0，b＝4λ，c＝4﹣4λ，∴M（0，4λ，4﹣4λ），＝（0，4λ，4﹣4λ），平面CDP的法向量＝（1，1，1），∵直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，∴|cos＜，＞|＝＝＝，解得λ＝，∴MD＝PD＝＝2．18．（15分）已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l经过点A（﹣a，0），且直线l与椭圆C交于点P（P不在x轴上），若点Q在y轴的负半轴上，△APQ是等边三角形，求k的值．解：（Ⅰ）根据题意可得，解得a2＝9，b2＝4，c2＝5，所以椭圆的方程为+＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a＝3，所以A（﹣3，0），所以直线AP方程为y＝kx+3k，设P（x1，y1），Q（0，y），联立得（4+9k2）x2+54k2x+81k2﹣36＝0，所以﹣3+x1＝﹣，﹣3x1＝，所以x1＝，y1＝kx1+3k＝k•+3k＝，所以|AP|＝|﹣3﹣x1|＝，|AQ|＝，|PQ|＝＝，因为△APQ是等边三角形，所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，所以＝＝，解得k＝0．19．（15分）已知等比数列{a n}满足a3﹣a2＝10，a1a2a3＝125．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，且，（ⅰ）求{b n}的通项公式；（ⅱ）求．解：（Ⅰ）由等比数列{a n}满足a3﹣a2＝10，a1a2a3＝125，可得a32＝125，即a2＝5，a3＝15，则等比数列{a n}的公比为3，所以a n＝5•3n﹣2，S n＝＝（3n﹣1）；（Ⅱ）（ⅰ）由b1＝1，且，可得b1＝b2﹣1，即b2＝2，当n≥2时，b1++…+＝b n﹣1，又b1++…++＝b n+1﹣1，两式相减可得＝b n+1﹣1﹣（b n﹣1），化为＝＝…＝＝1，所以b n＝n，对n＝1也成立，b n＝n，n∈N*；（ⅱ）M n＝＝a1b1+a2b3+a3b5+…+a n b2n﹣1＝×1+5×3+5×3×5+…+5•3n﹣2•（2n﹣1），3M n＝5+5×32+5×32×5+…+5•3n﹣1•（2n﹣1），上面两式相减可得﹣2M n＝+10（1+3+32+…+3n﹣2）﹣5•3n﹣1•（2n﹣1）＝+10•﹣5•3n﹣1•（2n﹣1），化简可得＝+5（n﹣1）•3n﹣1．20．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax﹣1，g（x）＝2aln（x+1），a∈R．（Ⅰ）若f（x）在点（0，f（0））的切线倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对于任意x∈[0，+∞），f（x）+g（x）≥x恒成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＝e x﹣2ax﹣1，f′（x）＝e x﹣2a，若f（x）在点（0，f（0））的切线倾斜角为，则切线斜率k＝tan＝1＝f′（0）＝1﹣2a＝1，解得：a＝0；（Ⅱ）f′（x）＝e x﹣2a，x∈R，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，②当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞ln2a，令f′（x）＜0，解得：x＜ln2a，故f（x）在（﹣∞，ln2a）递减，在（ln2a，+∞）递增，综上：当a≤0时，f（x）在R递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln2a）递减，在（ln2a，+∞）递增；（Ⅲ）若对于任意x∈[0，+∞），f（x）+g（x）≥x恒成立，即e x﹣2ax﹣1+2aln（x+1）﹣x≥0在x∈[0，+∞）上恒成立，设h（x）＝e x+2aln（x+1）﹣2ax﹣x﹣1，（x≥0），问题转化为h（x）min≥0，则h′（x）＝e x+﹣（2a+1），下面先证明：e x≥x+1，令p（x）＝e x﹣x﹣1，则p′（x）＝e x﹣1，令p′（x）＞0，解得：x＞0，令p′（x）＜0，解得：x＜0，故p（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，故p（x）min＝p（0）＝0，故e x≥x+1，故h′（x）＝e x+﹣（2a+1）≥（x+1）+﹣（2a+1）＝，①a≤时，x﹣2a+1≥0，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）递增，h（x）min＝h（0）＝0，成立，②a＞时，2a﹣1＞0，令h′（x）＞0，解得：x＞2a﹣1，令h′（x）＜0，解得：x ＜2a﹣1，故h（x）在（0，2a﹣1）递减，在（2a﹣1，+∞）递增，故h（x）min＝h（2a﹣1）＝e2a﹣1+2aln2a﹣（2a）2，令2a＝t，则t＞1，则H（t）＝e t﹣1+tlnt﹣t2，H′（t）＝e t﹣1+lnt+1﹣2t，H″（t）＝e t﹣1+﹣2＞t+﹣2＞0，故H′（t）在（1，+∞）递增，而H′（1）＝﹣1＜0，H′（2）＝e﹣3+ln2＞0，故存在t0∈（1，2）使得H′（t0）＝0，故＝2t0﹣lnt0﹣1，故H（t）在（1，t0）递减，在（t0，+∞）递增，故H（t）min＝H（t0）＝+t0lnt0﹣＝2t0﹣lnt0﹣1+t0lnt0﹣＝（t0﹣1）[lnt0﹣（t0﹣1）]，下面证明lnx≤x﹣1，令q（x）＝lnx﹣x+1（x＞1），则q′（x）＝﹣1＜0，故q（x）在（1，+∞）递减，故q（x）＞q（1）＝0，故lnx≤x﹣1，故lnt0﹣（t0﹣1）＜0，而t0﹣1＞0，故h（t0）＜0，故a＞时，存在实数x使得h（x）＜0，原命题不成立，综上：a≤，故a的取值范围是（﹣∞，]．。
高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共9小题）1.记全集U =R ，集合{}2|16A x x =≥，集合{}|22xB x =≥，则()UA B =（ ）A. [)4,+∞B. (]1,4C. [)1,4D. ()1,4【答案】C 【解析】 【分析】求得集合{|4A x x =≤-或4}x ≥，{|1}B x x =≥，求得{|44}UA x x =-<<，再结合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，全集U =R ，集合{}2|16{|4A x x x x =≥=≤-或4}x ≥， 集合{}|22{|1}xB x x x =≥=≥， 所以{|44}UA x x =-<<，所以()[){|14}1,4U AB x x =≤<=.故选：C .【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知直线1l ：()230a x ay -++=，2l ：()240x a y +-+=，其中a R ∈，则“1a =-”是“12l l ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由12l l ⊥时，得到(2)1(2)0a a a -⨯+-=，解得1a =-或2a =，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.【详解】由题意，直线1l ：()230a x ay -++=，2l ：()240x a y +-+=，当12l l ⊥时，可得(2)1(2)(2)(1)0a a a a a -⨯+-=-+=，解得1a =-或2a =， 所以“1a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记两直线的位置关系，结合充分条件和必要条件的关系进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知3log 2a =，5log 6b =，ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a c b <<B. c a b <<C. a b c <<D.c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，求得(0,1)a c <∈，(1,)b ∈+∞，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数的性质，可得3log 2(0,1)a =∈，5log 6(1,)b =∈+∞， 又由321log 2log 3a ==，21ln 2log c e==， 因为3e >，所以22log 3log 1e >>，可得1a c <<， 所以a c b <<. 故选：A .【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，a =2b =，则ABC ∆的面积为（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理化简得222b c a bc +-=，再由余弦定理得1cos 2A =，进而得到sin A =，利用余弦定理，列出方程求得4c =，最后结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在ABC ∆中，()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-， 由正弦定理，可得()22b c a bc -=-，即222b c a bc +-=，又由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，可得sin A ==，因为a =2b =，由余弦定理，可得2222cos a b c bc A =+-，即22222c c =+-， 即2280c c --=，解得4c =，所以三角形的面积为11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 故选：B .【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.已知抛物线2120x y =的焦点F 与双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）A. 221916x y -=B. 2211641x y -=C. 2214116y x -=D.221916y x -= 【答案】D 【解析】 分析】 由抛物线2120x y =，求得(0,5)F ，得到5c =，再由焦点(0,5)F 到渐近线的距离为4，求得4b =，进而得到9a =，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.【详解】由题意，抛物线2120x y =可化为220x y =，可得焦点坐标为(0,5)F ， 即双曲线22221y x a b-=的焦点坐标为(0,5)F ，即5c =，又由双曲线22221y x a b-=的一条渐近线的方程为a y x b =，即0ax by -=，所以焦点(0,5)F 到0ax by -=54bc==， 所以4b =，又由9a ==，所以双曲线的方程为221916y x -=.故选：D .【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍.请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍（ ） A. 4天 B. 5天C. 6天D. 7天【答案】B 【解析】 【分析】由蒲生长构成首项为14a =，公比为112q =的等比数列，其前n 项和为318()2n n S -=-，又由莞生长构成首项为14b =，公比为12q =的等比数列，其前n 项和为21n n T =-，根据4n n T S =，列出方程，即可求解.【详解】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为14a =，公比为112q =的等比数列，其前n 项和为314[1()]128()1212n n n S -⨯-==--， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为14b =，公比为12q =的等比数列，其前n 项和为1[12]2112nn n T ⨯-==--，又因为4n n T S =，即31214[8()]2n n --=⨯-，解得5n =.故选：B .【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用，其中解答中认真审题，熟练应用等比数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.已知函数()sin f x x x ωω=（0>ω，x ∈R ）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3π个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的命题中正确的是（ ） A. 函数()g x 是奇函数 B. ()g x 的图象关于直线6x π=对称C. ()g x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 D. 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]0,2 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数恒等变换的公式和三角函数的图象变换，得到()4sin(2)3g x x π=+，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()sin 2sin()3f x x x x πωωω==-，因为函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列， 可得22T π=，即T π=，所以2ω=，即()2sin(2)3f x x π=-，把函数()f x 沿x 轴向左平移3π个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，可得函数()4sin[2()]4sin(2)333g x x x πππ=+-=+， 可得函数()4sin(2)3g x x π=+为非奇非偶函数，所以A 不正确；由()4sin(2)663g πππ=⨯+=6x π=不是函数的对称轴，所以B 不正确；由,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,332x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质，可得函数()g x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以C 正确； 由,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当203x π+=时，即6x π=-，函数取得最小值，最小值为()06g π-=， 当232x ππ+=时，即12x π=，函数取得最大值，最大值为()412g π=， 所以函数的值域为[]0,4，所以D 不正确. 故选：C .【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数图象与性质的综合应用，其中解答中先根据三角恒等变换的公式和三角函数的图象变换得到函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8.在梯形ABCD 中，已知//AB CD ，2AB CD =，2DM MC =，2CN NB =，若AM AC AN λμ=+，则11λμ+=（ ）A.1312B.6413 C. 3512-D. 4013-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的运算法则，化简得到131124AM AC AN =-，得到131,124λμ==-，即可求解. 【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：11()66AM AC CM AC AB AC AC CB =+=-=-+ 515151131()666464124AC CB AC CN AC AN AC AC AN =-=-=--=-， 又因为AM AC AN λμ=+，所以131,124λμ==-， 所以11124041313λμ+=-=-. 故选：D .【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9.已知函数()23323xxf x x -=++-，若函数()()()log 2a g x f x x =-+（0a >，1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B. ()2,+∞C. 373,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.373,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得函数()f x 为偶函数，利用导数得到函数的单调性，把函数()g x 在区间[]1,1-上有4个不同的零点，转化为()y f x =与()log 2a y x =+的图象在[]1,1-上有4个不同的交点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()23323xxf x x -=++-，[]1,1x ∈-可得()()22332()33323xxxxf x x x f x ---=++--=++-=，所以函数()f x 为[]1,1-上的偶函数，当[]0,1x ∈时，()ln3ln34ln3()43333xxxxf x x x --'=-=⋅-++，可得()0f x '>，所以函数在[]0,1上单调递增，所以在[]1,0-单调递减， 又由()()701,13f f =-=， 所以函数()y f x =的图象，如图所示，要使得函数()()()log 2a g x f x x =-+在区间[]1,1-上有4个不同的零点， 即函数()y f x =与()log 2a y x =+的图象在[]1,1-上有4个不同的交点， 则满足0log 12a <<，解得2a >， 即实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的性质的应用，其中解答中熟练应用导数和函数的基本性质，把方程的零点的个数转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题（共6小题） 10.已知复数21iz i+=-，则复数z 的虚部为______. 【答案】32【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简得1322z i =+，进而求得复数的虚部，得到答案. 【详解】由题意，复数()()()()2121311122i i i z i i i i +++===+--+，所以复数z 的虚部为32. 故答案为：32. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的概念，熟练应用复数的除法运算法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.二项式1022x ⎫⎪⎭，则该展开式中的常数项是______. 【答案】180 【解析】 【分析】求得二项展开式的通项10521102r rrr TC x-+=⋅，令2r ，即可求解展开式的常数项，得到答案.【详解】由题意，二项式1022x ⎫⎪⎭的展开式的通项为1051021101022()2rrrr r rr T C C x x--+==⋅， 令2r，可得223102180T C ==，即展开式的常数项是180.故答案为：180.【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.已知圆C ：222260x y x y +---=.直线l 过点()0,3，且与圆C 交于A 、B 两点，AB 4=，则直线l 的方程______.【答案】3y =或4390x y -+= 【解析】 【分析】由圆C 得到圆心(1,1)C，半径为R =2d =，再由圆心到直线的距离，列出方程，求得k 的值，即可求得直线的方程，得到答案. 【详解】由题意，圆C ：222260x y x y +---=，可化为22(1)(1)8x y ，可得圆心(1,1)C，半径为R =设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=，又由圆的弦长公式，可得AB =，即4=2d =，根据圆心到直线的距离为2d ==，解得0k =或43k =，所以直线l 的方程3y =或4390x y -+=.【点睛】本题主要考查了圆的方程，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13.底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥.已知正四棱锥的高为2，体积为12，则该正四棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】1694π【解析】 【分析】根据正四棱锥的体积，求得棱锥的底面边长，再在SAC ∆中，利用正弦定理和余弦定理，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，正四棱锥S ABCD -，设正方形ABCD 的底面边长a ， 因为四棱锥S ABCD -的体积为12，即221121233a SO a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a =， 再正方形ABCD 中，可得6AC =，在直角SAO ∆中，2,3SO AO ==，可得SA =， 在直角SOC ∆中，2,3SO OC ==，可得SC ==在SAC ∆中，由余弦定理可得2225cos 13ASC ∠==-，所以12sin 13ASC ∠==，则SAC ∆外接圆的直径为132sin 2AC R ASC ==∠，解得134R =，即四棱锥S ABCD -外接球的半径为134R =，所以外接球的表面积为221316944()44S R πππ==⨯=，故答案为：1694π.【点睛】本题主要考查了正四棱锥的结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记正四棱锥的结构特征，结合正弦定理和余弦定理，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.14.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种. 【答案】36 【解析】 【分析】根据题意，小赵和小赵智能从事两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解.【详解】根据题意可分2种情况讨论：（1）若小张或小赵入选，则有11322324C C A =种不同的选法；（2）若小张，小赵都入选，则有222312A A =种不同的选法，综上可得，共有241236+=种不同的选法. 故答案为：36.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，根据题意分类讨论，结合排列组合的知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15.已知0x >，0y >，则2222282xy xyx y x y +++的最大值是______.【答案】23【解析】 【分析】将2222282xy xyx y x y +++化简、变形为43()42()4x y y xx yx y y x y x++++，然后利用基本不等式和对勾函数，即可求解.【详解】由题意，33222242242243()2312821016()16()10x y xy xy x y xy y xx y x y x y x x y y y x+++==++++++2443()3()442()2()4x y x yy x y x x y x y x y y x y x y x++==+++++， 设4x y t y x =+，则44x y t y x =+≥=，当且仅当4x y y x =，即2x y =取等号，又由2y t t=+在[4,)+∞上单调递增， 所以2y t t =+的最小值为92，即292t t +≥，所以43()324223()4x yy xx yt x y y x t y x+≤=++++， 所以2222242xy xy x y x y +++的最大值是23.故答案为：23. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中对式子进行变形、化简，以及合理利用换元法，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（共5小题）16.某校高三实验班的60名学生期中考试的语文、数学成绩都在[]100,150内，其中语文成绩分组区间是：[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150.其成绩的频率分布直方图如图所示，这60名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：分组区间[)100,110[)110,120[)120130, [)130140, []140,150:x y1:22:13:53:4语文人数x 24 3 数学人数y124（1）求图中a 的值及数学成绩在[)130140,的人数； （2）语文成绩在[]140,150的3名学生均是女生，数学成绩在[]140,150的4名学生均是男生，现从这7名学生中随机选取4名学生，事件M 为：“其中男生人数不少于女生人数”，求事件M 发生的概率；（3）若从数学成绩在[]130,150的学生中随机选取2名学生，且这2名学生中数学成绩在[]140,150的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .【答案】（1）数学成绩在[)130140,的人数为8人（2）3135（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）由根据频率分布直方图的性质，求得0.030a =，再根据频率分布直方图数据，即可求解；（2）由事件M 可分为①2个男生，2个女生；②3个男生1个女生；③4个男生三种情况，即可求解相应的概率；（3）由题意，得到X 可能取值有0,1,2，求得相应的概率，求得随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】（1）由题意，根据频率分布直方图的性质，可得()0.0050.0200.0400.005101a ++++⨯=，解得0.030a =.则语文成绩在[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150中的人数分别为3,24,18,12,3，则数学成绩在[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150中的人数分别 为6,12,30,8,4，所以数学成绩在[)130140,的人数为8人. （2）从这7名学生中随机选取4名学生，事件M 为：“其中男生人数不少于女生人数”， 可分为①2个男生，2个女生；②3个男生1个女生；③4个男生，三种情况：所以事件M 发生的概率()2234434341743135C C C C C P M C ++==. （3）由题意可知X 可能取值有0，1，2.()208421214033C C P X C ===，()118421216133C C P X C ===，()02842123123311C C P X C ====， X 的分布列为所以()1416120123333113E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，熟记频率分布直方图的性质，以及准确求解随机变量对应的概率，得到随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S nn N =∈，数列{}n b 为等比数列，且21a+，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项.（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （2）若数列11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）()*21n a n n N =-∈;2n nb=，*n N ∈（2）21nn + 【解析】 【分析】（1）由数列的通项n a 和n S 的关系，求得数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列的通项公式，联立方程组，求得数列{}n b 的首项和公比，即可求得数列{}n b 的通项公式，得到答案.（2）由（1）可得()()()12122121nn c n n n =-+-+，利用 “裂项法”和“乘公比错位相减法”，即可求解数列{}n c 的前n 项和，得到答案.【详解】（1）由题意，数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，当1n =时，11a =当2n ≥时∴121n n n a S S n -=-=-， 当1n =时也满足上式所以数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n N=-∈.设数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，则22124311418a b b q a b b q +===⎧⎨+===⎩，∴12b =，2q，∴2n n b =，*n N ∈.（2）由（1）可得11n n n n n c a b a a +=+，所以()()()12122121nnc n n n =-+-+设(){}212nn -前n 项和为成n A ，()()12121n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭前n 项和为n B ，()23123252212n n A n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+- ()23412123252212n n A n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯∴()2312222222212nn n A n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯()11822221212n n n ++-⨯=+---()16322n n -=-+-∴()16232n n A n +=+-⨯，*n N ∈∵()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭∴111111123352121n B n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ ∴()1623221n n nT n n +=+-⨯++ 【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式的求解，以及“裂项法”和“乘公比错位相减法”求解数列的前n 项和，其中解答中熟记数列的通项n a 和n S 的关系，熟练应用“裂项法”和“乘公比错位相减法”，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点.（1）求证：1C B ⊥平面ABC ； （2）求二面角11A EB A --的余弦值；（3）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析（225（3）存在,13CM CA =或523CM CA =.【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得1C B ⊥平面ABC .（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面1AB E 和平面11A B E 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）假设存在点M ，设(),,M x y z ，根据CM CA λ=，得到EM 的坐标，结合平面11A B E 的法向量为列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，∴13BC又∴22211BC BC CC +=，∴1BC BC ⊥，∵AB ⊥侧面11BB C C ，∴1AB BC ⊥. 又∵AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ∴直线1C B ⊥平面ABC（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,2A，()1B -，1,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1A -， 设平面1AB E 的一个法向量为()111,,n x y z =()12AB =--，122AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∵100n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴111111201202x z x y z ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，令1y =11x =，∴()1,3,1n = 设平面11A B E 的一个法向量为(),,m x y z =，()110,0,2A B =-，13,22A E ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∵11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴203202z x y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令y =1x =，∴()1,3,0m =， 2m =，5n =，4m n ⋅=，∴cos ,25m n m n m n⋅===. 设二面角11A EB A --为α，则25cos cos ,mn α==∴设二面角11A EB A --. （3）假设存在点M ，设(),,M x y z ，∵CM CA λ=，[]0,1λ∈， ∴()()1,,1,0,2xy z λ-=-，∴()1,0,2M λλ-∴1,22EM λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面11AB E 的一个法向量为()1,3,0m=，∴11=，得2693850λλ-+=.即()()312350λλ--=，∴13λ=或523λ=，∴13CM CA =或523CM CA =.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率2e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M 到2F 21，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （1）求椭圆C的标准方程；（2）当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-（3）存在，()2,0P【解析】 【分析】（1）由椭圆C 的离心率2e =，且椭圆上一动点M 到2F 21，列出方程组，求得,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程； （2）设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+，联立方程组，求得k 的值，即可求得直线的方程；（3）设AB l ：()1y k x =-，联立方程组，根据根与系数的关系，求得12x x +，12x x ，再由斜率公式和以0AP BP k k +=，即可求解点P 的坐标，得到答案.【详解】（1）由题意，椭圆C的离心率e =，且椭圆上一动点M 到2F1，可得22221c e a a c a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a cb ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由题意可知，当k 不存在时，1F AB ∆不符合题意. 设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+， ∴()()111y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，得()2211k x k +=-，∴22212,11k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ ∴()()()222222218211kk kk-+=++，427610k k --=，∴21k =，直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-.（3）设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，AB l ：()1y k x =-，()22122y k x x y ⎧=-⎨+=⎩∴()2222124220k x k x k +-+-=， ∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+， ∵11AP y k x m =-，22BP y k x m =-，所以()()()()1221120AP BPy x m y x m k k x m x m -+-+==--， ∴()1221120y x y x m y y +-+=，∴()()1212220kx x k mk x x km -+++=， ∴24km k =，2m =，∴()2,0P .【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知函数()()sin 1ln f x m x x =-+.（1）当1m =时，求函数()f x 在()0,1的单调性； （2）当0m =且1a e ≥-时，()()1g x af x x=-+，求函数()g x 在(]0,e 上的最小值； （3）当0m =时，()()1(2h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>. 【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递增（2）()min 1g x a e=-（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）求得函数的导数()()1cos 1f x x x'=--+，结合导数的符号，即可求得函数的单调性； （2）由()1ln g x a x x=-，求得()21ax g x x +'=-，分类讨论求得函数的单调性与极值，进而求得函数的最小值，得到答案.（3）由()1ln 2h x x b x=+-，根据题意，得到111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=， 两式相减，1212122ln x x x x x x -=，令()120,1x t x =∈，得到函数()12ln l t t t t =--，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()()sin 1ln f x x x =-+，则()()1cos 1f x x x'=--+， 又∵()0,1x ∈，∴11x>，()cos 11x -<，∴()0f x '>， ∴()f x 在()0,1上单调递增. （2）由()()11ln g x af x a x x x =-+=-，则()2211a ax g x x x x+'=--=-， （1）当0a ≥时，()0,x e ∀∈，()0g x '<， 此时图数()g x 在区间(]0,e 上单调递减，∴函数()g x 在x e =处取得最小值，即()()min 1(g x g e a e==-； （2）当0a <时，令()10g x x a'=⇒=-，当1e a -≥时，即当10a e-≤<，()0,x e ∀∈，()0g x '<， 此时函数()g x 在区间(]0,e 上单调递减，函数()g x 在x e =处取得最小值， 即()()min 1g x g e a e==-； 综上所得()()min1g x g e a e==-.（3）证明：根据题意，()()1ln 02h x x b x x=+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点， ∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=. 令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=. 记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=.又∵()0,1t ∈，∴()0l t '≥恒成立，故()()1l t l <，即12ln 0t t t--<.可得112ln t t t->，∴121x x +>.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末试卷高三数学文科第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(1,)+∞（B ）(,1)-∞（C ）(1,)-+∞（D ）(,1)-∞- 2. 下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x = 3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =（ ）（A ）AB AC -（B ）AB AC + （C ）1()2AB AC -（D ）1()2AB AC +4．设命题p ：“若e 1x >，则0x >”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ）（A ）“p q∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为真命题 （C）“p ⌝”为真命题 （D ）以上都不对 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么 这个几何体的表面积是（） （A ）16+（B ）16+ （C ）20+ （D ）20+6. “0mn <”是“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）侧(左)视图正(主)视图 俯视图（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14- 8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ）（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数p =____；抛物线C 的准线方程为____.11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5, 2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.12．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.13. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若πsin cos()2A B =-，3a =，2c =，则cos C =____；∆ABC 的面积为____.14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.○1 该食品在8C 的保鲜时间是_____小时；○2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，并且123,1,a a a +是公差为3-的等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：163n S <. 16．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin )f x x x x =，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x ∈，求函数()f x 的单调增区间. 17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积.18．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x y +的值；（Ⅱ）如果6x=，10y =，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求b a ≥的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明） 19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x ，点A 在椭圆C 上，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值. 20．（本小题满分13分）已知函数21()2f x x x =+，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.F CADPMB E参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．63x =- 11. 9 12．1 13．79．4 是 注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为123,1,a a a +是公差为3-的等差数列， 所以213213,(1)3,a a a a +=-⎧⎨=+-⎩………………2分即112114,2,a q a a q a q -=-⎧⎨-=-⎩………………3分解得118,2a q ==. ………………5 分 所以114118()22n n nn a a q ---==⨯=． ………………7分（Ⅱ）证明：因为122214n n n n b a b a ++==， 所以数列{}n b 是以124b a ==为首项，14为公比的等比数列. ………………8分所以14[1()]4114n n S -=-………………11分 16116[1()]343n =-<. ………………13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =+1sin 22x x =………………4分πsin(2)3x =+， ………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………8分 （Ⅱ）解：由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，………………9分得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………11分 所以当(0,π)x ∈时，()f x 的增区间为π(0]12,，7π[,π)12. ………………13分（注：或者写成增区间为π(0)12,，7π(,π)12. ）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ， 所以EF AC ⊥.………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ， 所以PA EF ⊥.………………3分又因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以EF ⊥平面PAC .………………5分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以//MF 平面PAB .………………7分 同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………9分又因为ME ⊂平面MEF ，F CADPMB E所以//ME 平面PAB .………………10分（Ⅲ）解：在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N （图略）， 由12PM MD =，得23MN PA =， 又因为6PA =，所以4MN =， ………………12分 因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDFV SMN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=.……14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得79669944x y ++++++>，即14x y +>.………………2分因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零， 所以,x y 中至少有一个小于6， ………………4分 又因为10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ， 所以15x y +≤，所以15x y +=. ………………5分（Ⅱ）解：设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足b a ≥”为事件M ， ………………6分记甲的4局比赛为1A ，2A ，3A ，4A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛 为1B ，2B ，3B ，4B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B . ………………7分而事件M 的结果有8种，它们是：13(,)A B ，23(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，………………8分因此事件M 的概率81()162P M ==.………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8.………………13分 19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+， ………………2分又因为点A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x .………………5分 （Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 易得直线1OP ，2OP的斜率之积1214k k ⋅=-. ……………6分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ……………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+.………………9分 由方程组22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(1)250k x kmx m +++-=， ………………10分 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，212251m x x k -⋅=+， ………………11分 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅=== 222222222252511551m kmk km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ………………13分将2241m k =+代入上式， 得212211444k k k k -+⋅==--.综上，12k k ⋅为定值14-. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 定义域为{|0}x x ≠，………………1分 求导，得32()2f x x '=-，………………2分 令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)， ………………3分所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值．………………4分（Ⅱ）证明：假设存在某个k ∈R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切， ………………5分 设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x'=-， 所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ， 所以002300122(2)1x x x x +=--， ………………7分 即2031x =-，此方程显然无解， 所以假设不成立．所以对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线. ………………8分 （Ⅲ）解：“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x +=-的根的个数”. 由方程2121x kx x +=-，得3112k x x =++. ………………9分 令1t x=，则32k t t =++，其中t ∈R ，且0t ≠. 考察函数3()2h t t t =++，其中t ∈R ， 因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()h t ∈R . ………………11分 而方程32k t t =++中，t ∈R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一 根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有 且仅有一个交点.………………13分。
天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1） AC2．）A．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3）A ．9B ．5C ．1D ．-54该直线斜率的取值范围是（ ）A5 ）A ．72B ．90C ．101D ．1106）AC72）A8．）A第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）910的系数为．（用数字作答）11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．a>，则的最小值为．12．已知013的值为．14．现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；.17.18．已知{}n a是等差数列，{}{19..20..和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（理）学科期末质量调查试卷参考答案一、选择题1-4:CABD 5-8:BDAC二、填空题9．60 1112．-1 13．4 14．480三、解答题15．解：16．解：0,1,2,3.17．以A 为原点，分别以,,CB AC AP uu r uu u r uu u r .。
高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共9小题）1.设全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2S =，{}2,3T =，则()US T 等于（ ）A. {}2B. {}3C. {}4D. {}2,3,4【答案】B 【解析】 【分析】根据补集和并集的定义可计算出集合()US T .【详解】由题意可得{}3,4US =，因此，(){}3U S T =.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B. 0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-考点：全称命题与特称命题3.下列函数中是偶函数，且在0∞+（，）上单调递增的是 （）A. 3y x = B. 2y lgx =-C. 2xy = D. y =【答案】D 【解析】 【分析】根据各函数的性质与单调性逐个判断即可.【详解】.A 函数为奇函数,不满足条件．B .函数的定义域为{|0}x x ≠,函数为偶函数,当0x >时,22y lgx lgx =-=-为减函数,不满足条件．C .2x y =为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件．D .令()f x =定义域为R ，()()f x f x -===，该函数为偶函数，当0x >时，y =,满足条件,故选：D ．【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型.4.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“3542S S S +>”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据前n 项和n S 与通项之间的关系化简判断即可. 【详解】等差数列{}n a 的公差为d ,3542S S S +>,345344S S a S a S ∴++>++,540a a d ∴-=>则“0d >”是“3542S S S +>”的充要条件, 故选：C ．【点睛】本题主要考查了数列通项与前n 项和n S 的关系与充分必要条件的判断,属于基础题型.5.设0.231012143a b og c lg =-==，，，则a ，b ，c 的大小关系是 （） A. a c b <<B. b c a <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】判断每个数的大致范围再分析即可. 【详解】0.20221,0a >=∴<,331031,13log log b >=∴>, 1410,01lg lg lg c <<∴<<,a cb ∴<<,故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.6.过点A （-1，0），斜率为k 的直线，被圆（x-1）2+y 2=4截得的弦长为23，则k 的值为（ ）A. 3±B.3 C. 3± D. 3【答案】A 【解析】试题分析：设直线为,根据弦长公式,可得：,,解得：,故选A.考点：直线与圆的位置关系 7.函数ππ30966x xy sin cos x =≤≤（）的最大值与最小值之和为 （）A. 13--B. 1-C. 0D. 23-【答案】D 【解析】 【分析】根据辅助角公式合一变形,再分析 【详解】函数1332662626xxx xy sincossin cos ππππ==-（）263x sin ππ=-（）,由09x ≤≤,得73636x ππππ-≤-≤,所以163x sin ππ≤-≤（）, 所以y的最大值为2,最小值为所以y 的最大值与最小值之和为2-． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了辅助角公式应用以及三角函数范围的问题,属于中等题型.8.已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F ．射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ） A. 2 B. 1:2C. 1:D. 1:3【答案】C 【解析】【详解】抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F （0，1），定点A （2，0）， ∴抛物线C的准线方程为y=-1.设准线与y 轴的交点P ，则FM ：MN =FP ：FN ， 又F （0，1），A （2，0），∴直线FA 为：x +2y-2=0，当y=-1时，x=4，即N （4，-1），FP FN∴==， :FM MN =9.四边形ABCD 中，129090BC AC ABC ADC ∠∠====，，，，则AC BD ⋅的取值范围是（ ）A. []13-，B. 31--（，）C. ()31-， D.33⎡⎤-⎣⎦， 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合分析数量积的取值范围即可.【详解】画出图象,因为90,90ABC ADC ∠∠=︒=︒,故,,,A B C D 四点共圆.又1,2BC AC ==,易得3,60,30AB ACB CAB =∠=︒∠=︒.AC BD ⋅()32332AC BA AD AC BA AC AD AC AD AC AD ⎛⎫=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯-+⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.易得当D 在A 时3AC AD -+⋅取最小值3-,当D 在C 时3AC AD -+⋅取最大值2321-+=.故AC BD ⋅的取值范围是()31-，.故选：C【点睛】本题主要考查了向量数量积的综合运用,需要数形结合分析D 的轨迹再分析数量积的取值范围,属于中等题型. 二、填空题（本大题共6小题） 10.复数212ii+-的共轭复数是 ___________ 【答案】i -. 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i +++===--+ ，故该复数的共轭复数为i - .11.曲线21xy x =-在点（1，1）处的切线方程为 . 【答案】20x y +-= 【解析】()()2221212121x x y x x --⋅-=--'=，故切线方程的斜率()211211k -==-⨯-又()111211f ==⨯- ，故曲线21x y x =-在点处的切线方程为()111y x -=--整理得20x y +-= 即答案为20x y +-=12.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，2AB =，则此球的表面积等于______． 【答案】17π 【解析】 【分析】根据该四棱锥内嵌于长方体中,计算长方体体对角线再算外接球表面积即可. 【详解】因为四边形ABCD 是正方形,且PA ⊥平面ABCD , 所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中,因为棱锥体积212433V h h =⨯⨯=⇒=. 则该长方体的长、宽、高分别为2、2、3, 它们的外接球是同一个,设外接球直径为D ,所以222222317D =++=,所以表面积为22417S R D πππ===． 故答案为：17π【点睛】本题主要考查了四棱锥外接球表面积的计算,其中外接球直径为内嵌长方体的体对角线,属于中等题型.13.设双曲线经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 . 【答案】；【解析】试题分析：因为双曲线的渐近线方程为，所以曲线的渐近线方程为，设曲线的方程为，将代入求得，故曲线的方程为.考点：双曲线的渐进线，共渐进线的双曲线方程的求法，容易题.14.已知正数x ，y 满足23x y xy+=，则当x ______时，x y +的最小值是______． 【答案】 (1). 12(2). 1 【解析】 【分析】将x y +化简成只关于y 的解析式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】正数x ,y 满足23x y xy +=, 2031y x y ∴=>-,可得13y >,2243131y y y x y y y y -∴+=+=--,令31t y =-则13ty +=且0t >, 22114451111133455241999t t t t x y t t t t t t++⎛⎫- ⎪++⎝⎭+===++≥+⋅=（）（）, 当且仅当14t t =即12t =,此时12x y ==取最小值1,故答案为：1(1)2(2)1【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要换元后再利用基本不等式,属于中等题型. 15.对于实数a和b，定义运算“*”：33*a ab a ba bb b a a b⎧-≤=⎨->⎩（），（），，设21*1f x x x=--（）（）（），若函数2g x f x mx m R=-∈（）（）（）恰有三个零点123x x x，，，则m的取值范围是______；123x x x的取值范围是______．【答案】 (1).14（，） (2).13-（，）【解析】【分析】分析21x-与1x-的大小关系,再化简2f x mx-（）画图分析求解即可.【详解】当211x x-≤-时,即30,21x f x x x≤=-（）（）,当211x x->-时,即30,1x f x x x>=--（）（）,所以3321,01,0x x xf xx x x⎧-≤=⎨-->⎩（）（）（）,因为g x（）有三个零点,所以f x（）与2y mx=的图象有三个交点,即21,010x x xk xx x x-≤⎧=⎨-->⎩（）（）（）与函数y m=有三个交点,作出k x（）的图象,如图,其中0x>时，函数()k x最大值为111(1)224--⨯=.所以14m<<,不妨设123x x x<<,易知2x>,且231x x+=,所以22323124x xx x+<<=（）由12140x x x ⎧-=⎪⎨⎪<⎩（）解得x =,所以1104x <<1230x x x <<． 且当m 无限接近14时123x x x当m 无限接近0时123x x x 趋近于0. 故答案为：10,4（）；.） 【点睛】本题主要考查了函数新定义的理解以及数形结合求解零点取值范围的问题等.需要根据题意分析123x x x 随m 的变化情况,属于中等题型. 三、解答题（本大题共5小题）16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且113b c cosA ABC -==，，的面积为（Ⅰ）求a 及sinC 的值； （Ⅱ）求π26cos A -（）的值． 【答案】（Ⅰ）3a =， 9sinC =（Ⅱ 【解析】 【分析】(1)根据余弦定理与面积公式化简求解即可.(2)先利用二倍角公式求解2sin A 与2cos A ,再根据余弦的差角公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且11,,33b c cosA sinA -==∴==ABC的面积为16,3,22233bc bc sinA bc b c ⋅=⋅===∴==, 3a ∴===．再根据正弦定理可得a c sinA sinC=,即242,9223sinCsinC=∴=．（Ⅱ22142222,339sin A sinAcosA∴==⨯⨯=）272219cos A cos A=-=-,故734214273 222666992cos A cos Acos sin Asinπππ--=+=-⋅+⋅=（）．【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式的运用,同时也考查了二倍角公式与和差角公式的运用,属于中等题型.17.如图，已知直三棱柱111ABC A B C-的底面是直角三角形，1190223ACB AA AB BC DC CD∠=︒====，，．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1A BD；（Ⅱ）求二面角1A BD A--的余弦值；（Ⅲ）求点1B到平面1A BD的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ6）（Ⅲ2）【解析】【分析】(Ⅰ)根据直三棱柱中90ACB∠=︒可以C为坐标原点建立空间直角坐标系,求解平面1A BD 的法向量m并证明1//AB m即可.(Ⅱ)分别求解ABD的一个法向量与平面1A BD的一个法向量,利用二面角的向量公式求解即可.(Ⅲ)根据线面垂直的关系可得点1B 到平面1A BD 的距离为112AB ,再求解即可. 【详解】依题意,以C 为原点,CB 为x 轴,1CC 为y 轴,CA 为z 轴,建立空间直角坐标系,则1110,0,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,3,3C B C B A A （）（）（）（）（）（）, 13DC CD =，10,,02D∴（）, （Ⅰ）证明：1111,2,3,1,2,3,1,,02AB A B BD =-=--=-（）（）（）, 设平面1A BD 的一个法向量为,,m x y z =（）,则123012m A B x y z m BD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 令3z =则1,3m =--（）, 1AB m ∴=-,即1//AB m ,1AB ∴⊥平面1A BD ；（Ⅱ11,0,3,1,,02AB BD =-=-）（）（）, 设平面ABD 的一个法向量为,,n a b c =（）,则3012n AB a c n BD a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 令3c =,则3,6,3n =（）, 又平面1A BD 的一个法向量为1,3m =--（）,,14m n cos m n m n ⋅∴<>==+⋅,即二面角1A BD A --的余弦值为4（Ⅲ）设点1B 到平面1A BD 的距离为d ,则易知112B d A =,而11AB =+=∴点1B 到平面1A BD ．【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明空间中的垂直问题以及二面角的计算方法等.需要根据题意找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再利用对应的公式求解即可.属于中等题型.18.已知椭圆C 的一个顶点为01A -（，），焦点在x 轴上，若右焦点到直线0x y -+=的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中点为E ．i （）当00k m >≠，时，射线OE 交直线3x =-于点3D n O -（，）（为坐标原点），求22k n +的最小值；ii （）当0k ≠，且AM AN =时，求m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）（i ）2；（ii ）()0,2.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用点到线的距离公式与222a b c =+求解即可.（Ⅱ）i （）联立直线与椭圆的方程,求出关于两点M ,N 的二次方程与韦达定理,继而得出点E 的坐标,再化简求得22n k +的解析式,利用,n k 的关系换元求最值即可.ii （）当0k ≠,且AM AN =时,则AE MN ⊥,再表达出斜率的关系式化简利用,n k 的关系求m 的取值范围即可.【详解】（Ⅰ）,设椭圆的右焦点,0,0c c >（）,由题意得：2221,3b a b c ===+,解得：223,1a b ==,所以椭圆的方程：2213x y +=；（Ⅱ）（i ）设()11,M x y ,()22,N x y ,将直线与椭圆联立整理得：2222222136330,36413330k x kmx m k m k m +++-==-+->（）（）（）,即2213m k <+,且122631km x x k +=-+，()121222231my y k x x m k ∴+=++=+, 所以MN 的中点223,1313km m E k k -++（）, 所以射线OE ：13y x k =-,与直线3x =-的交点13,k -（）,所以1n k =, 所以222212n k k k+=+≥,当且仅当21,0k k =>,所以1k =时22n k +有最小值2．（ii ）当0k ≠,且AM AN =时,则AE MN ⊥,所以1AE MNk k =-,即22221113,213,2313mk m k m m km kk++=-∴=+∴>-+,解得02m <<, 所以m 取值范围,2（0）．【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,需要联立方程求韦达定理,进而表达出对应的关系式化简求解即可.属于难题.19.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，且122538433a b a b a b a ===+=，，，．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令23nn a c log =，证明：233411111*2n n n N n c c c c c c +++⋯+<∈≥（，）；（Ⅲ）求1*ni n N =∈）． 【答案】（Ⅰ132n n a -=⋅）（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ323223nn +-⋅） 【解析】 【分析】(Ⅰ) 设数列{}n a 是公比为q 的等比数列,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,再利用基本量法根据题意求解对应的公比公差即可.(Ⅱ)先求得n c ,再利用裂项相消求和证明即可. (Ⅲ)代入n b ,再利用错位相减求解即可.【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,由12253843,,3,a b a b a b a ===+=,可得231113,433,73b d q b d q b d q +=+=++=,解得12,3,3q d b ===,则132,3313n n n a b n n -=⋅=+-=（）； （Ⅱ）证明：122213n nn a c log log n -===-, 23341111111111111111122312231n n c c c c c c n n n n n+++⋯+=++⋯+=-+-+⋯+-=-<⨯⨯--； （Ⅲ）23n n==,可设1246239273nn n i nT ===+++⋯+, 1124623927813n n nT +=+++⋯+, 相减可得12222223392733n n n n T +=+++⋯+-11111223332113313n n n n n ++-+=⋅-=--（）,化简可得1323223nn i n =+=-⋅．【点睛】本题主要考查了等比、等差数列的综合运用,需要根据题意列式求解对应的基本量,同时也考查了裂项相消以及错位相减等求和方法.属于中等题型.20.已知函数f x lnx ax a R =-∈（）（）． （Ⅰ）讨论f x （）的单调性； （Ⅱ）若2f x x ≤（）对0x ∞∈+（，）恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当1a =时，设1f x g x xe x e -=--（）（）（为自然对数的底.）若正实数12λλ，满足12121210x x x x λλ∞+=∈+≠，，（，）（），证明：11221122.g x x g x g x λλλλ+<+（）（）（） 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ[1∞-+），）（Ⅲ）证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导后讨论a 的取值范围进行分析即可 （Ⅱ）参变量分离后有lnxa x x≥-恒成立,再设函数求导分析最大值即可. （Ⅲ）先证：存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）,利用导数的几何意义列构造函数,代入所证明的表达式中的自变量化简分析即可. 【详解】（Ⅰ）函数的定义域为{}10,'x x f x a x=-（）, ①当0a ≤时,'0f x >（）,函数f x （）在0,∞（+）上单调递增； ②当0a >时,令'0f x >（）解得10x a <<,令'0f x <（）解得1x a>,故此时函数f x （）在10,a （）上单调递增,在1,a∞+（）上单调递减；（Ⅱ2f x x ≤）（）对0,x ∈+∞（）恒成立,即为对任意的0,x ∈+∞（）,都有lnxa x x≥-, 设0lnx F x x x x =->（）（）,则22211'1lnx lnx x F x x x ---=-=（）,令210G x lnx x x =-->（）（）,则1'20G x x x =--<（）, G x ∴（）在0,∞（+）上单调递减,且10G =（）,∴当0,1x ∈（）时,0,'0,G x F x F x >>（）（）（）单调递增；当1,,0,'0,x G x F x F x ∞∈+<<（）（）（）（）单调递减,11max F x F∴==-（）（）, ∴实数a 的取值范围为[1,-+∞）．（Ⅲ）证明：当1a =时,111,'100lnx x x lnx x x g x xe x xe x e x g x e x ---=--=--=--=->>（）（）（）（）,不妨设120x x <<,下先证：存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）, 构造函数211121g x g x Hx g x g x x x x x -=----（）（）（）（）（）（）,显然12H x H x =（）（）,且2121''g x g x H x g x x x -=--（）（）（）（）,则由导数的几何意义可知,存在12,x x ξ∈（）,使得2121''0g x g x H g x x ξξ-=-=-（）（）（）（）,即存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）, 又'1xg x e =-（）为增函数, 2121121''g x g x g x x g x x x ξ∴-=->-（）（）（）（）（）（）,即21121'g x g x g x x x >+-（）（）（）（）,设31122121x x x λλλλ=++=（）,则1311222322111,1x x x x x x x x λλλλ-=---=--（）（）, []133********''1g x g x g x x x g x g x x x λλ∴>+-=+--（）（）（）（）（）（）（）①, []23323332211''1g x g x g x x x g x g x x x λλ>+-=+--（）（）（）（）（）（）（）②,由12λλ⨯+⨯①②得,112231122g x g x g x g x x λλλλ+>=+（）（）（）（）, 即11221122.g x x g x g x λλλλ+<+（）（）（） 【点睛】本题主要考查了导数单调性的分情况讨论以及利用导数分析最值与恒成立的问题等,需要构造函数,代入所给的自变量进行分析证明,属于难题.。
天津市部分区2020~2021学年度第一学期期末练习高三数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．圆锥的侧面积公式S rl π=，其中r 表示圆锥底面圆的半径，l 表示圆锥的母线长． 圆锥的体积公式213V r h π=，其中r 表示圆锥底面圆的半径，h 表示圆锥的高． 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{1,2,3,4}U =，且{4}UA =，则集合A 的子集共有（ ）A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个2．设i 是虚数单位，若复数z 满足(2)z i i -=，则z =（ ）A ．1B ．1+C ．13i -D ．13i +3．已知sin()4πα-=，则cos 2α=（ ） A ．78 B ．78-C ．34D ．34-4．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若3421S a =+，2321S a =+，则1a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．随着人口红利的消失和智能制造趋势的演进，工业机器人逐渐成为企业提高产品质量、向智能化转型升级的核心力量．经过多年的发展，我国的工业机器人产业已经达到了定的规模，不仅在焊接、装配、搬运、冲压、喷涂等专业领域涌现出大量的机器人产品，同时机器人关键零部件方面也已经接近或达到了世界领先水平．下图是“中投产业研究院”发布的《2020-2024年中国机器人产业投资分析及前景预测报告》中关于2019年全国工业机器人产量数据的统计图数据来源：国家统计局|，根据统计图分析，以下结论不正确．．．的是（ ）A ．2019年3~12月，全国工业机器人本月同比增长最低的是8月份，最高的是12月份B ．2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长均在0%以下C ．2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长最低值是4月份D ．2019年3~12月，全国工业机器人在12月份同比增长超过15% 6．“22log log a b >”是“11a b<”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0x >，0y >，且21x y +=，则12y x y y++（ ）A ．有最大值为73B 12C ．有最小值为2D ．无最小值8．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，M 为双曲线左支上一点，且满足1122MF F F =，若125cos 16MF F ∠=-，则该双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D ．929．已知函数2e ()||x f x x =（e 为自然对数的底数），关于x 的方程2[()]2()20f x af x a -+-=()a R ∈恰有四个不同的实数根，则a 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．2e ,2e 1⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭D ．24e 2,4e 1⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．在52x ⎛ ⎝的展开式中，x 的系数是________．（用数字作答）11．已知直线50x y ++=与圆22420x y x y m ++-+=相交于A ，B 两点，若||2AB =，则实数m =________．12．从11至14世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．某学校团委为拓展学生课外学习兴趣，现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为________．13．将函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，所得函数的部分图象如图所示，则()f x =________．14．在平行四边形A BCD 中，1AD =，3BAD π∠=，点EF 在CD 上且满足13DE DC =，23DF DC =，若M 为AB 的中点，且1AF ME ⋅=，则AB 的长为________．15．如图，在圆锥SO中，SO =，ABC 是圆锥底面圆O 的内接正三角形，P为SO 上一点，且90APC ∠=︒，则圆锥SO 的体积为________，三棱锥P-ABC 的外接球的表面积为________．三、解答题：本大题共5小题共75分解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC 中，已知2sin sin sin 6B C A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求角B 的大小；（2）若4AB =，ABCsin 2A 的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱锥D-ABC 中，已知2AB AD ==，1AC =，CD =BD =，90BAC ∠=︒，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点．（1）求证：AD BC ⊥；（2）求直线BD 与平面DEF 所成角的余弦值； （3）求平面DEF 与平面DAC 所成二面角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*31n n S a n =-∈N ．（1）求{}n a 的通项公式； （2）对任意的正整数n ，设221log n n b n a +=-，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．19．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点且离心率为3．设P 为圆223x y +=上任意一点，过点P 作该圆的切线交椭圆于E ，F 两点．（1）求椭圆的方程；（2）试判断PE PF ⋅是否为定值？若为定值，则求出该定值；否则，请说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数()ln esin xf x a x a x -=⋅+，e 是自然对数的底数，若0a >，且0x =恰为()f x 的极值点.（1）证明：112a <<； （2）求()f x 在区间(,)π-∞上零点的个数．天津市部分区2020～2021学年度第一学期期末练习高三数学参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共9个小题，每小题5分，共45分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）10．10 11．4- 12．710 13．2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 14．94 15．3；92π 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分） 16．解：（1）在ABC 中，2sin sin sin 6B C A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin sin cos sin()B C B C B C +=+．sin sin cos sin cos cos sin B C B C B C B C +=+，sin cos sin B C B C =．又sin 0C ≠，所以tan B =，又0B π<<，所以6B π=．（2）设BC t =．由题意及（1）得，14sin 26ABCSt π=⨯=解得t =BC =． 在ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅⋅2242476π=+-⨯=所以AC =．由正弦定理，得sin sin AC BCB A=，所以1sin sin 6214BC A AC π=⋅==．因为AC BC =>=，所以B A ∠>∠，所以06A π<∠<．所以cos 14A ===，所以sin 22sin cos 2A A A ===．17．（1）证明：在ABD 中，2AB AD ==，BD =，所以222BD AB AD =+，所以AD AB⊥．在ACD 中，因为1AC =，2AD =，CD = 所以222CD AC AD =+，所以.AD AC ⊥ 因为AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，且AB AC A =，所以AD ⊥平面ABC ．又因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥．（2）解：由（1）知，AD AB ⊥，AD AC ⊥，又90BAC ∠=︒，以点A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,0,0)C ，(0,0,2)D ，因为E ，F 分别为AB ，CB 的中点，所以(0,1,0)E ，1,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 所以(0,1,2)DE =-，1,1,22DF ⎛⎫=-⎪⎝⎭，(0,2,2)DB =-， 设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则有00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即201202y z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1z =，得2y =，0x =，所以(0,2,1)n =． 设直线BD 与平面DEF 所成角为θ．因为0422DB n ⋅=+-=，||22DB =||5n =，所以2sin ||||22BD n BD n θ⋅===⋅⨯．因为02πθ<<，所以cos 10θ==． 即所求直线BD 与平面DEF 所成角的余弦值为10． （3）解：由（1）知，AB ⊥平面DAC ，所以平面DAC 的一个法向量为(0,2,0)AB =． 因为4n AB ⋅=，||2AB =，所以cos ,||||5n AB n AB n AB ⋅〈〉===⋅设平面DEF 与平面DAC 所成的二面角为φ，因为0φπ<<．所以5sin 5φ==故所求平面DEF 与平面DAC 所成的二面角的正弦值为5． 18．解：（1）由题意，知31n n S a =-，*N n ∈，①令1n =得，1131S a =-， 因为11S a =，所以112a =-． 当2n ≥时，1131n n S a --=-，②所以-①②，得()()113311n n n n S S a a ---=---， 即13n n n a a a -=-，所以11(2)2n n a n a -=-≥． 所以数列{}n a 是首项为12-，以12-为公比的等比数列， 所以12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）得12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以2211111log (2)22n n b n a n n n n +⎛⎫=-==- ⎪++⎝⎭．所以111111111112132435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪-++⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭． 因为*N n ∈，所以1110212n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭，所以34n T <． 19．解：（1）由题可得222223621c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=+⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 所以椭圆的方程为221124x y +=． （2）①当过点P 且与圆223x y +=相切的切线斜率不存在时，由对称性，不妨设切线方程为x =则P，E，F ，所以3PE PF ⋅=-． ②当过点P 且与圆223x y +=相切的切线斜率存在时， 不妨设切线的方程为y kx m =+， 设点()11,E x y ，()22,F x y ，()00,P x y ． 将直线方程与圆的方程联立并整理， 得()2221230kxkmx m +++-=，由直线与圆相切易得()2231m k =+，021kmxk =-+， 联立直线和椭圆的方程并整理， 得()2221363120kxkmx m +++-=，则()()2222364133120k m km∆=-+->，所以21212226312,1313km m x x x x k k -+=-=++．所以()()10102020,,PE PF x x y y x x y y ⋅=--⋅--()()()()10201020x x x x y y y y =--+--()()()210201k x x x x =+--()()221201201k x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()222222263121113131km km m km k k kk k ⎡⎤⎛⎫⋅- ⎪⎢⎥-+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+++ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2293313k k--==-+． 综上可知，PE PF ⋅为定值3-．20．解:（1）由题意，得()ln (1)ecos xf x a x a x -'=⋅-+．因为0x =为函数()f x 的极值点， 所以(0)ln 0f a a '=+=．令()ln (0)g x x x x =+>，显然a 是()g x 的零点．则1()10g x x'=+>，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 因为(1)0g >，111ln 0222g ⎛⎫=+=<⎪⎝⎭， 所以()ln (0)g x x x x =+>在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点a ， 所以112a <<． （2）由（1）知，()ln ,()sin exa a f x a x x -=-=-，()cos (1)e xf x a x x -⎡⎤=--⎣'⎦． ①当(,0)x ∈-∞时，由0a >，1cos 1x -≤≤，11x ->，e 1x->得，()0f x '<，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，()(0)0f x f >=，所以()f x 在区间(,0)-∞上不存在零点．②当(0,)x π∈时，设()cos (1)e x h x x x -=--，则()(2)e sin x h x x x --'=-， （ⅰ）若0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()(2)esin x m x x x -=--， 则()(3)ecos 0x m x x x -=-'-<， 所以()m x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减． 因为(0)20m =>，22e 1022m πππ-⎛⎫⎛⎫=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以存在0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()0m α=． 当(0,)x α∈时，()()0m x h x '=>，()h x 在(0,)α上单调递增； 当,2x πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()0m x h x '=<，()h x 在,2πα⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减． （ⅱ）若,22x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()(2)e x x x ϕ-=-，,22x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则()(3)e0x x x ϕ-=-<'， 所以()x ϕ在区间,22π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减， 所以21()2e 22e x πππϕϕ-⎛⎫⎛⎫<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 又因为1sin sin 2sin(2)sin 62x ππ≥=->=， 所以()(2)e sin 0x h x x x -=-'-<，()h x 在,22π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减． （ⅲ）若(2,)x π∈，则()(2)e sin 0x h x x x -=-'-<，()h x 在(2,)π上单调递减．由（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）得，()h x 在(0,)α上单调递增，()h x 在(2,)π单调递减．因为()(0)0h h α>=，()(1)e10h πππ-=--<，所以存在(,)βαπ∈使得()0h β=， 所以，当(0,)x β∈时，()()0f x h x '=>，()f x 在(0,)β上单调递增， 所以()(0)0f x f >=；当(,)x βπ∈时，()()0f x h x '=<，()f x 在(,)βπ上单调递减， 因为()(0)0f f β>=，()0f π<，所以()f x 在区间(,)βπ上有且只有一个零点，综上，()f x 在区间(,)π-∞上的零点个数为2．。
础题•3 .设 x R ，则 “x 2 2x 0 ”是“ x 2 ”的（）A .充分不必要条件B .充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题、单选题8}，则 A (C u B)(【答案】B【解析】先求出C u B 再与A 取交集，即可得到答案 【详解】因为 C u B {235,6} , A {2, 3, 4, 6}, 所以 A (C u B) {2,3,6 }. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题【答案】【详解】抛物线y 2 4X 的准线方程为X 即X 1，故选A . 【点睛】【答案】A1 .设全集 U { 1,2 , 3,4, 5, 6, 7, 8}，集合 A {2, 3,4, 6}， B { 1，4, 7,A . {4}B. {2, 3, 6}C. { 2, 3, 7}D. { 2, 3, 4, 7}2 .抛物线y 2 4x 的准线方程为（A . XB . y 1C. X 1D.【解析】利用 2 px 的准线方程为2，能求出抛物线4x 的准线方程•2Q y 4x, 2p4, p 2 ,本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质, 意在考查对基础知识的掌握与应用， 是基【解析】分别解两个不等式得到集合A, B，再利用集合间的关系，即可得到答案【详解】解不等式x22x 0得；A {x| 0x2},解不等式x 1 2 得：B {x| 1x3},因为A是B的真子集，所以“ x22x 0 ”是“|x 1 2 ”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了•4•直线x y 1 0与圆x2(y 1)24相交于A、B，则弦AB的长度为( ) A. . 2 B. 2\ 2 C. 2 D. 4【答案】B【解析】先求圆心到直线的距离d，再利用弦长公式，即可求得答案.【详解】圆心到直线的距离d |0 1 11、、2 ,V2所以|AB| 2.r2 d22、、厂2 2 2.故选：B.【点睛】本题考查直线与圆相交弦的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.5.已知数列｛a n｝中，a1 1 , 2a n 1 a.(n N*)，记｛a.｝的前n项和为S n ,则( )A. S n 2a n 1B. S n 1 2a nC. S n a n 2D. S n 2务【答案】D【解析】根据递推关系求得等比数列｛a n｝的通项公式，再求出前n项和为S n，化简可得S n 2 a n .【详解】故选：D. 【点睛】简找到S n 与a n 的关系.根据题意得f(x)在区间(1,)上单调递减，利用对数函数的图象与性质可得C ,从而利用函数的单调性可得答案【详解】 因为偶函数f(x)在区间(，1)上单调递增,1 c log 1 -25故选：A.【点睛】本题考查对数函数的图象与性质、 函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想的应用和f (a), f(b), f (c)的大小关系为( )f(a) f(b) f (c) B . f(b)f (c) f(a) f(c)f (b)f (a)D. f (a)f (c)f(b)则 A .C.A Q 2a n 1 a n (n N ),an 11云2，数列｛a n ｝是以1为首项, a n G )n 12S n1 —为公比的等比数列,21更1丄22“ 12 an .本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查基本量运算,求解时要注意通过化已知偶函数f(x)在区间(，1)上单调递增,In3，b log ?1 ,c 砸订，325【答案】所以 f (x)在区间(1, )上单调递减.因为 Iog 3e log 3 2 log 3 elog 3 2ln3 log 2 3，即 1 a b 2 ,【解析】因为 所以所以 f (a) f(b)f (c).逻辑推理能力7•将函数f（x） sin2x的图象向右平移—个单位长度后得到函数g（x）的图象，则下6列说法正确的是（）1A. g（—） 2 B・g（x）的最小正周期是45c. g（x）在区间［0 ,］上单调递增 D. g（x）在区间［—,—］上单调递减3 3 6【答案】C【解析】根据函数的平移变换求出g（x）的解析式，再一一对照选项验证是否成立【详解】函数f （x） sin2x的图象向右平移个单位长度得:6g(x) S^x 3).对A，g(—) sin(2 -）3，故A错误;3 2对B,最小正周期为，故B错误;对C,当0 x -3正确；3 2x 3 3，因为（甌）是（?，2）的子区间，故C对D,当x —3 6 误；4 4 33 2x 3 IT，（SE）不是口三）的子区间，故D错故选：C.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质,能力•考查数形结合思想和运算求解2 28.已知双曲线C : - J2 ,2a b1（a 0 , b 0）的右焦点为F（、6 , 0），点P在C的一条渐近线上，若PO PF（O是原点），且POF的面积为铉，则C的方程是4( )2 222O 22A. X y1B.x' 1C. x_ y_ 1D. — y214 224 3 35【解析】根据三角形的面积及PO PF，求出点p的坐标，再利用点P的坐标求渐【答案】A近线的斜率，从而得到 b的值，再观察选项，即可得到答案a【详解】因为 POF 的面积为 L2，设点P 在第一象限,4所以 1；6y p 342 y 今， 2 42所以b -I -1 -1，只有选项A 符合.a 222故选：A.【点睛】 本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法，考查基本运算求K解能力，求解时只要得到 一的值，即可通过代入法选出答案，可减少运算量aln(x 2) 2x3 9.已知函数f(x)2,若关于x 的方程f(x) kx 恰有三个x 2 15x 36 x 3互不相同的实数解，则实数 k 的取值范围是() A . [3 , 12] B. (3, 12)C. (0,12)D. (0 , 3)【答案】D【解析】 画出函数f(x)的图象，将问题转化为两个函数图象交点问题,【详解】因为|P0PF ，所以点P 的横坐标等于西，2求出直线与抛 物线相切时的临界值，再结合图象得到k 的取值范围.15x 236 得：x (k 15)x 36函数f(x)的图象如图所示:2当直线y kx与抛物线相切时，(k 15) 144 0 k 3或k 27,由于方程f(x) kx恰有三个互不相同的实数解，所以两个函数的图象恰有三个不同的交点，所以0 k 3.故选：D.【点睛】本题以分段函数为载体，考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系，考查数形结合思想的应用，求解时要注意借助函数的图象进行分析求解二、填空题10. i是虚数单位，若复数z满足(1 3i)z 4i，则z ______________ .【答案】6 2i5 56 2【解析】利用复数的除法运算，求得z i .5 5【详解】4i 4i(1 3i) 12 4i 6 2.z i.1 3i (1 3i)(1 3i) 10 5 5故答案为：6 2i .5 5【点睛】本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基础题1 6 311 • (2x —)的展开式中含x3项的系数是____________ (用数字作答)•x【答案】192【解析】根据二项展开式得T r 1C6(2x)6 r( 2)r(r 0,1 L ,6)，进而得到r 1时x会出现x3项，再计算其系数•【详解】T r1 C6r (2x)6 r ( W)r C6 26 r ( 1)r x63r(r 0,1,L ,6),x当6 3r 3时，即r 1 ,所以T2 C；25( 1)x3192x3.故答案为：192.【点睛】 本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题 4 3a 0,b 0，且a 3b 1，则的最小值是a b【详解】等号成立当且仅当 故答案为：25. 【点睛】二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件13 .已知半径为2的球的球面上有 A 、B 、C 、D 不同的四点,等边三角形，且 DO 平面ABC （O 为球心，D 与0在平面ABC 的同一侧），则三棱 锥D ABC 的体积为 _________ . 9 3 4作出三棱锥内接于球的图形，再求出三棱锥的高，最后代入体积公式即可得到如图所示，点E 为ABC 的中心，则BE — AC 2 乙,2 30B 2，所以 OE OB 2 BE 2/T~3 1，11 12 39.3所以 V S ABC DE（一3 ） 3 .33 22 4故答案为：1J.412 .已知【答案】 25【解析】利用1的代换，将求式子 3的最小值等价于求（上3）（a 3b ）的最小值,ba b再利用基本不等式, 即可求得最小值3b ）（a 3b ）12b 3a 13 2 12b 3a a b25 ,本题考查1的代换和基本不等式求最值,考查转化与化归思想的运用, 求解时注意一正、ABC 是边长为3的【答案】 【解析】 答案•本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力, 确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键14 •设｛a n ｝是等差数列，若a 5 9 , a 2 a ? 16，则a .【解析】利用等差数列通项公式求得 a 1,d ，进而求得a n ；求出b n【详解】运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写、.2o15 .设点M 、N 、P 、Q 为圆x y【点睛】 因为b n(2n 1)(2n 1) 12n 1 2n 11，所以b1 11, b 21 1 1 , L ,b n1 33 52n 112n 2 3n 所以Sn1n2n 12n 1故答案为:2n 1;2n 23n2n 1缶1,2b na n a n 11(n N )，则数列｛b n ｝的前n 项和S n 【答案】2n2n 2 3n 2n 1;若再利用分组求和法及裂项相消法求 S n . 12n 1由题意得:a 1 4d 9, 2a 7d 16,2, 1,a n2n 1.本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和, 考查方程思想的2r (r 0)上四个互不相同的点，若【答案】、、2 uuu得|PQ |的值.【详解】弦定理证得2b a c ，从而证明结论成立; （2）利用余弦定理 a 2 b 2+ab 49,再由（1） auuir uuuruu u rMP PN 0，且(PM LUU T PN )uu u uuurPQ 2，则 PQ … ,uuur 【解析】根据MP UUUT PN0得到 MN 过圆的圆心0 , 再利用向量的加法法则得uuuu uuur uuuPM PN 2P0 ，由向量数量积的几何意义得到等式 uuu | PO | cos1 uuu 2|PQ|，最后求 因为 uuur uuurMP PN 0，所以uuir MP uuur PN，所以 MN 过圆的圆心0,所以 uuuu uuur uuur 因为 uuur (PM PN) PQ 2P0 UU U PQuur 2| P0 | uuur | PQ | cos 2，uuu uuu ,PO 在PQ 向量方向上的投影为: unr | PO | cos1 unr 2|PQ|，代入上式得: uuu2 |PQ |2 1 2uuu PQ2.故答案为: 【点睛】本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、 数量积的几何意义等知识，考 查方程思想的运用， 求解时注意向量几何意义的灵活运用， 考查逻辑推理能力和运算求解能力.三、解答题16.在 ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2（si n AcosC cos Asi nC ） si nA sinC .⑴求证：a 、b 、c 成等差数列；2⑵若c7, C ，求b 和sin 2B 的值.3【答案】（1）证明见解析（2） b 5 , sin2B55 3 98【解析】（1 ）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到2sinB sin A sinC ，再利用正2b 7，联立求得b 的值；由正弦定理求得sin B ，再利用倍角公式求得 sin 2B 的值. 【详解】（1）因为 2 sin AcosC cosAsinC sin A sinC , 所以 2si n A Csi nA sinC .所以 2sin B sin A sinC .由正弦定理芒 - —，得2b a c .sin A sin B sinC 所以a,b,c 成等差数列.(2)在 ABC 中，c 7,C即 a 2 b 2+ab 49.【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形, 解能力，求cosB 的值时，注意角 B 0,— 这一条件的应用.217 •每年的12月4日为我国“法制宣传日’.天津市某高中团委在 2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果， 现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全由于在 ABC 中，A+C =B ，所以 sin A Csin B ，由余弦定理，得72a 2b 22abcos —3，由（1）知 a 2b 7，所以2b 227b 2+ 2b7 b 49，解得 b 5.由正弦定理，得sinBbsi n 2-3 c5、3 . 142在ABC 中，因为于C=—，所以B3,2，所以cosB,1 sin 2B15勺 1411 14所以sin2B2sin BcosB 55L 398考查方程思想的运用和运算求部答对的学生将在全校给予表彰 ⑴求各个年级应选取的学生人数；⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；⑶若被选取的10人中的某学生能答对 10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记X 表示该名学生答对问题的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望•【答案】（1）高一年级应选取 4人，高二年级应选取 3人，高三年级应选取 3人.（2）3—（3 ）详见解析10【解析】（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；3（2）利用计算原理求得基本事件的总数为 C w ，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式;（3）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4，利用超几何分计算 P X k（k 1.2.3.4 ），最后求得期望值• 【详解】（1） 由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为4:3:3 ，由于采用分层抽样方法从中选取10人，因此，高一年级应选取 4人，高二年级应选取 3人，高三年级应选取 3 人. （2） 由（1）知，被选取的10名学生高一、高二、高三年级分别有 4人、3人、3人， 所以，从这10名学生任选3名，且3名学生分别来自三个年级的概率为c 4 Q c 33 3・C 1010（3） 由题意知，随机变量 X 的所有可能取值为1,2,3,4，X1 2 3 41311P ————3010 2 6所以，随机变量X 的数学期望为且X 服从超几何分布,k 4 k C 7C3Cw(k 1,2,3,4 )k 4 C7 C3k1 丄2 —3 14 1 30 10 26【点睛】本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布，考查统计与概率思想的应用，考 查数据处理能力，求解的关键是确定随机变量的概率模型 18 •如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，P 、O 分别为AC 、AG 的中点,PA PC 1 2y[2 , AB 1 B 1C 1 PB 1 2/3 , AG 4. 线段PH 的长度.【详解】（1）在三角形PA|G 中，P AI P C 1且O 为AG 的中点,145⑴求证： PO 平面⑵求二面角B 1 PA 1 C 1的正弦值；uuuu ⑶已知H 为棱BiG 上的点，若B 1H【答案】（1）证明见解析（2）二5 1 uuuuB 1C 1，求线段PH 的长度. 3（3） 2 2【解析】（1）证明PO AG , PO OB 1，再根据AG I OB 1 O ，从而得到线面垂直的证明;（2）以点O 为坐标原点，分别以 OA 1,OB 1, 0岁的方向为x, y,z 轴的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值;（3）结合（2）中G 2,0,0 ，求得点H 2 442 uuur -, ------- ,0 ，再求PH 的值，从而求得 3 35)0在 Rt PAO 中，AO 2 A 1C i 2, PA 2.2 , PO 、 —2.连接 OB !，在 ABQ 中，A 1B 1=BC 1 2 3 , OB A® 所以 OBA iB l 2 AO 2 2伍.又 PB 1 2、、3，所以 PB ； PO 2 OB i 2，所以 PO OB i .② 又因为AiC 1 I OB 1 O ,③由①②③，得PO 平面A 1B 1C 1._ 一 一 uuu uuu unu(2)以点O 为坐标原点，分别以 OA 1,OB 1, OP 的方向为x, y,z 轴的正方向，建立如 图所示的空间直角坐标系 O xyz ，则 O 0,0,0，A 2,0,0,B 1 0,2&,0 ,P 0,0,2，UUULT UULT 所以 AB 1二 2,2 .2,0 ,AP 二 2,0,2 T 设n x, y,z 为平面PAE 的法向量, v uuuv nAB 0, 则有 v uuu/ 即 n AP 0.2x 2&y 0, 2x 2z 0. 令x=1,得y 冬所以n z 1. 101, 2 ,1UULT 「易得，OB^ 0,2、、2,0且为平面PAG 的法向量, T UULT 所以ngOB 1Hi UUUT2 , n OB 1 2=5 ,tT uuuq 所以 cos ：；.n,OB1]TUULT ngOB t r U UU 1n OB 1故所求二面角B1PA C i的正弦值为2*5 ~5(3)由(2)知G 2,0,0 .设点Huuuu凶』1忆，则B1H X1, V1 2、2, Z1uuuu r uuuur 1 uujurB1G ,3又B1C12, 2、一2,0 ,B1H所以X1—1,V1 2、2,Z1 3 2,2,2,0，从而23,2、20.2.2~T即点所以uuirPH2 4^2 22 .3 3所以unrPH4.2【点睛】2, 2 -本题考查线面垂直的判定定理、向量法求空间角及空间中线段的长度,考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意空间直角坐标系建立的适当性19 •设椭圆X2V22 21（a b 0）的左、右焦点分别为F1（a bc，0）、F2（C, O），点P在椭圆上,⑴若PO C，F2OP 3，求椭圆的离心率;⑵若椭圆的右顶点为A，短轴长为2,1 且满足率）.①求椭圆的方程;②设直线I : y kx 2与椭圆相交于【答案】（1）.3 1OF2P、Q两点，若.72OA 3|F料心为椭圆的离心POQ的面积为1，求实数k的【解析】（1）由题意得PF i PF ?，利用勾股定理得PF i J3c ,再利用椭圆的定义②设点P x i ,y i ,Q X 2,y 2，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求 得PQ 关于k 的解析式，再由点到直线的距离公式，得到面积S POQ 4胡丫 3，从4k 2 1而求得k 的值. 【详解】所以 POF 2是等边三角形，所以 PF 2 c, PF 2O又 OP OF 2 OF 1，所以 PF 1 PF 2,所以 PF 1整理，得c 2 3b 2.y kx 2,联立方程组x 22T y 1.消去y ，并整理得 4k 2 1 x 2 16kx 12 0. 则256k 2 48 4k 2 116 4k 2 30，（）得到a,c 的关系，从而求得离心率；1(2)①由OFkJr 21 e得 2OA 3|F 2A |，得c3b 2，求出a,b,c 后，即可得到椭圆的方程;(1)连接PF i .因为OP OF ?c, F 2OP是，有2a PF PF 2.3 1 c ，所以e3 a 43 11，即所求椭圆的离心率为（2）①由e 3F 2A1，得—c又因为2b 2，所以b 1，c 2 3,a 2 b 2 c 2 4.2故所求椭圆的方程为 —4y 2 1.②依题意，设点 P 捲，％,Q X 2,y 2 .经验证k工满足2故所求实数【点睛】椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等的综合 运用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力1 220 •已知函数f(x) ln(ex) ax (a 1)x(e 为自然对数的底数).⑴当a 1时， 求曲线y f (X)在点(1 , f(1))处的切线方程；⑵讨论 f (X )的单调性；⑶当a 0时,证明f (X)3 1.2a【答案】 (1) 8X 2y 10 (2) 见解析 (3)证明见解析【解析】(1) 当a 1时，f X1X 2，利用导数的几何意义求得切线方程;Xax 1X 1(2)对函数进行求导得 f '(x)，对a 分a 0和a 0两种情况进行分X类讨论，研究导数值的正负，从而得到函数的单调区间；数进行证明 【详解】且X X ?16k 12 所以 PQ 又点 所以 因为 .rvX 1 X 2O 到直线l 的距离为d S POQ S POQ4k 2 1，.1 k 2 ■ x 1X 22厂k 2，4%X 24 1 k 2 . 4k 2 324k 12PQ d 4、1 k 24k 2 34k 2 12 1 k 24 “4k 2 3 4k 2 11，解得k本题考查椭圆的离心率、 (3)证明不等式f X32a1成立等价于证明 3X max1成立，再构造函2aa 12 a 2In 1丄a 2a—1等价于f :x —1，即 In - 131， 2a max2a a2a2a1 1即 In1 0.(探)a a1令 t —,则 t 0.不妨设 g tInt t 1( t 0)，a(1)当 a 1 时，f x In ex -x 2 2x .2所以f x 1 x 2,x所以 k f 111 2 4 又 fl 71 ' 2'所以曲线在点hf 1处的切线方程为y 7 4 x 1 ,即 8x 2y 10.(2)易得1 ax a 1 x 1ax a 1 -xx ax 1 x 1 x①当 a 0时, f :x 0，此时f X 在 0,上单调递增；②当 a 0时， 令f x10，得 x —.a则当 0 x1 时，fx 0，此时fx 在 1 0,上单调递增;aa1当x 时,a1x 0，此时f x 在 ,a上单调递减综上所述，当a 0时，函数f x 在区间0,上单调递增;当a 0时，函数f x 在区间0, 1上单调递增，在区间a上单调递减(3)由(2)知，当a 0时,1处取得最大值,amaxIn所以g t 1 1 (t 0)t从而，当t 0,1时，g t 0 ；当t 1, 时，g t 0,所以函数g t在区间0,1上单调递增；在区间1, 上单调递减•故当t 1时g t max g 10.所以当t 0时，总有g t g t max 0.即当a 0时，不等式（探）总成立，3故当a 0时，f x 1成立.2a【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.。
2020学年天津市部分区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解.【详解】由题意，全集，，，则，则，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的运算是解答问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为A. 1B. 2C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故选：A．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. 8B. 4C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意，执行如图所示的程序框图，逐次计算，即可求得输出的结果，得到答案. 【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，第1次循环，不满足条件；第2次循环，不满足条件；第3次循环，不满足条件；第4次循环，满足条件，此时输出，故选B.【点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．4.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】解：，，，，，的大小关系为：．故选：．【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识比较三个数的大小，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.设，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由，可知．“”是“”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键，比较基础．6.在中，为的中点，，则（）A. B.C. 3D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的线性表示与数量积的定义,计算即可．【详解】解：如图所示，中，是的中点，，，．故选：．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的运算问题，是基础题．7.函数其中的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】首先根据函数图象求出函数的周期，进一步利用函数经过的点的坐标求出函数的解析式，进一步利用函数的图象变换求出结果．【详解】根据函数的图象，所以：，，当时，函数，即：．解得：，所以：要得到的图象只需将函数向右平移个单位，即．故选：D．【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.8.已知双曲线的左、右焦点分别为,过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为12，则当取得最大值时，该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，的周长为24，利用双曲线的定义，可得，进而转化，利用导数的方法，即可得出结论．【详解】解：由题意，的周长为24，，，，，，，，，，，，时，取得最大值，此时，即渐近线方程为故选：B.【点睛】本题考查双曲线的定义,考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,知识综合性强．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.为虚数单位，计算______．【答案】【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．10.已知函数，是的导函数，则__________．【答案】1【解析】【分析】先求，再代入得解.【详解】解：，（1），故答案为：1.【点睛】本题考查型导函数求法，属于基础题.11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，设长方体的外接球的半径为，则，即，所以球的表面积为.【点睛】本题主要考查了球的表面积和球的组合体问题，其中解答中根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.已知直线与圆相交于两点，且线段的中点P坐标为，则直线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】把圆的标准化为标准方程，找出圆心的坐标，由垂径定理得到圆心与弦的中点连线与弦垂直，根据圆心的坐标及的坐标求出半径所在直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为，求出直线的斜率，再根据的坐标及求出的斜率写出直线的方程即可．【详解】解：把圆的方程化为标准方程得：，可得圆心，直线的斜率为1，直线的斜率为，则直线的方程为：，即．故答案为：．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，两直线垂直时斜率满足的关系，直线斜率的求法，以及直线方程求法，灵活运用垂径定理是解本题的关键．13.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据已知条件，转化为，然后得到，再结合基本不等式确定其最值即可．【详解】解：，，恒成立，且，=因为恒成立，．故答案为：．【点睛】本题重点考查了基本不等式及其灵活运用，注意基本不等式的适应关键：一正、二定（定值）、三相等（即验证等号成立的条件），注意给条件求最值问题，一定要充分利用所给的条件，作出适当的变形，然后巧妙的利用基本不等式进行处理，属于基础题．14.已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】利用分段函数，求出的零点，然后在求解时的零点，即可得到答案.【详解】由题意，函数，当时，方程，可得，解得，函数由一个零点，当时，函数只有一个零点，即在上只有一个解，因为函数开口向上，对称的方程为，所以函数在为单调递减函数，所以，即，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数的零点的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把函数的零点问题转化为二次函数问题，借助二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.为维护交通秩序，防范电动自行车被盗，天津市公安局决定，开展二轮电动自行车免费登记、上牌照工作.电动自行车牌照分免费和收费(安装防盗装置)两大类，群众可以自愿选择安装.已知甲、乙、丙三个不同类型小区的人数分别为15000，15000，20000.交管部门为了解社区居民意愿，现采用分层抽样的方法从中抽取10人进行电话访谈.（Ⅰ）应从甲小区和丙小区的居民中分别抽取多少人?（Ⅱ）设从甲小区抽取的居民为，丙小区抽取的居民为.现从甲小区和丙小区已抽取的居民中随机抽取2人接受问卷调查.（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅱ）设为事件“抽取的2人来自不同的小区”，求事件发生的概率.【答案】（Ⅰ）甲小区抽取3人、丙小区抽取4人．（Ⅱ）(i)见解析(ii)．【解析】【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个不同类型小区中分别抽取得3人，3人，4人．（Ⅱ）（ⅰ）从甲小区抽取的3位居民为，丙小区抽取的4人分别为利用列举法能求出所有可能结果．（ⅱ）由（ⅰ）可得基本事件总个数，为事件“抽取的2人来自不同的小区”利用列举法能求出事件发生的概率．【详解】（Ⅰ）因为三个小区共有50000名居民，所以运用分层抽样抽取甲、丙小区的人数分别为：甲小区：（人）；丙小区：（人）.即甲小区抽取3人、丙小区抽取4人．（Ⅱ）(i)设甲小区抽取的3人分别为，丙小区抽取的4人分别为，则从7名居民中抽2名居民共有21种可能情况：,(ii)显然，事件包含的基本事件有:共12种，所以.故抽取的2人来自不同的小区的概率为．【点睛】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知．1求角C的大小2若，的面积为，求的周长．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式可得值，结合范围，即可得解的值．（Ⅱ）利用正弦定理及面积公式可得，再利用余弦定理化简可得值，联立得从而解得周长．【详解】（Ⅰ）由正弦定理，得，在中，因为，所以故，又因为0＜C＜，所以．（Ⅱ）由已知，得.又，所以.由已知及余弦定理，得，所以，从而.即又，所以的周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．17.如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，，为等边三角形.（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）若，求直线与平面所成的角.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）取中点E，连结，，由已知可得，，又，即可证平面，从而可得．（Ⅱ）先证明，可得平面，由线面角定义即可知即为所求．【详解】（Ⅰ）因为四边形为菱形，且所以为等边三角形．取线段的中点,连接，则.又因为为等边三角形，所以．因为平面，平面，且，所以直线平面，又因为，所以．（Ⅱ）因为为等边三角形，且其边长为，所以，又，所以，所以.因为，所以面，所以为直线与平面所成的角.在中，，所以故直线和平面所成的角为.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质及线面角求法，属于基础题．18.已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，. （1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，列出方程组，求得的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，依题意有，即，解得或（舍）∴，∴数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）由（1）得，∴①∴=，②①-②得∴【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.19.已知函数，其中.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明:；（Ⅲ）求证:对任意正整数，都有 (其中为自然对数的底数).【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）先求，再对进行讨论即可.（Ⅱ）由题知即证，构造新函数设，利用导数只需即得证.（Ⅲ）由（Ⅱ）知,累加作和即得证.【详解】（Ⅰ）易得，函数，①当时，，所以在上单调递增②当时，令，解得．当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，所以，所以在上单调递增．综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （Ⅱ）当时，.要证明，即证，即. 即. 设则令得，.当时，，当时，.所以为极大值点，也为最大值点所以.即.故.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.令，则，所以,即所以.【点睛】本题考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想及不等式的证明，考查数学分析法的运用，综合性强，属于中档题．20.已知椭圆的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形.（1）求的方程；(2)设为的左焦点，为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点. （ⅰ）证明:平分线段(其中为坐标原点)；（ⅱ）当取最小值时，求点的坐标.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知，根据椭圆的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形，求得的值，即可求得椭圆的方程；（2）（ⅰ）设点的坐标为，验证当时，平分显然成立；当由直线的方程和椭圆的方程联立方程组，求解中点的坐标，即可得到结论；（ⅱ）由（ⅰ）可知，求得和，得到，利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）由已知，得. 因为，易解得.所以，所求椭圆的标准方程为（2）设点的坐标为当时，与轴垂直为的中点平分显然成立当由已知可得：则直线的方程为：设消去得：，中点的坐标为又在直线上.综上平分线段当时，则当时，由可知(当且仅当，即时等号成立)，∴点的坐标为【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆，通过联立直线方程与椭圆方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.。
