2010届高三理科数学第三次模拟考试试题2

2010年高三适应性训练(A)数 学(理工农医类) 5.18本试卷共4页，分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共1 50分． 考试时间1 20分钟．第I 卷(选择题共60分)注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每题选出答案后，用2 B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．一、选择题：本大题共l 2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={y | y =ln x ，0 <x <e }，B={y |12y x =}，则A ∩B 等于（ ） A ．(-∞，1) B ．(0，1) C ．[0，1) D ．(0，+∞) 2．已知平面,αβ，直线l β⊂，则l β⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x 2+4y 2=4与双曲线x 2-2y 2=a (a >0)的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．2 B ．2 C D ．324．运行如图所示的程序框图输出的结果是(其中i 是虚数单位)（ ）A ．iB ．i -1C ．-1D ．05．下列类比推理命题(R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a -b =0⇒a =b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a -b =0⇒a =b ”；②“若a ，b ∈R ，则a -b>0⇒ a>b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a-b>0⇒a>b ”；③“若a ，b ∈R ，则(a +b )(a -b )= a 2-b 2”类比推出“若a ，b ∈C ，则(a +b )(a -b )= a 2-b 2”；④“若a ，b ∈R ，则| a | =| b | ⇒ a=±b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则| a | =| b | ⇒ a=±b ”．其中类比结论正确的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 6．7y (万元)得下表：由表中数据计算出线性回归方程ˆybx a =+，其中b=1.23．据此预测使用10年的维修费用(单位：万元)为A ．1 2．04B ．1 2．3 1C ．1 2．88D ．1 2．388．上海世博会期间，甲、乙等六名志愿者被分配到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分配方法共有 A ．360种 B ．1 92种 C ．1 68种 D ．144种 9．若将函数()tan()(01)4f x x πωω=+<<的图象向右平移6π个单位长度后与函数 ()t a n ()6g x x πω=+的图象重合，则函数()y f x =的一个对称中心为A ．(4π，0) B ．(2π，0) C ．(34π，0) D ．(π，0)10．已知圆心在x 轴正半轴上的圆C 过双曲线x 2-y 2=l 的右顶点，且被双曲线的一条渐近线截得的弦长为C 的方程为（ ） A ．(x -2)2+y 2=9 B ．(x -2)2+y 2=1C ．(x -6)2+y 2=25D ．(x -6)2+y 2=4911．在[0，2]上任取两数a ，b ，则函数2()f x x ax b =++无零点的概率为（ ） A ．16 B ．13 c ．23 D ．561 2．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0 时，2()f x x =．若对任意的x ∈[t ，t +1]，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[2，+∞) B ．，+∞) C ．(0，2] D ．(—∞，—2]u[2，+∞)第Ⅱ卷 (非选择题共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题．2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共1 6分． 1 3．不等式| x -l | +| x +l |≥3的解集为 .14．已知(2)2(1)()log (1)a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是 .l 5．若02παβπ<<<<，且11cos ,cos()33βαβ=-+=，则cos α= . 16．如图是一几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知向量a =(cos ,sin x x ωω)，b =(cos x ω,cos x ω)，其中(02ω<<).函数1()2f x a b =-，其图象的一条对称轴为6x π=。

重庆市重点高中2010届高三第三次联合模拟考试数学试题（理）2010-4-30一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．集合{|P x y ==，集合{|Q y y =，则P 与Q 的关系是（ ）A ．P Q =B ．P Q ≠⊃C ．P Q ≠⊂D ．P Q =∅2．复数121ii++的虚部是（ ） A ．2i B ．12C ．12i D ．323．已知向量a (1,)m =-，b 2(,)m m = ，则向量a +b 所在的直线可能为（ ） A ．x 轴 B ．第一、三象限的角平分线 C ．y 轴D ．第二、四象限的角平分线4．下列函数中，在区间(0,)π上为增函数的是（ ） A ．sin y x =B ．1y x=C ．2xy =D ．221y x x =-+5．设1p ，:()[(1)]0q x a x a --+≤，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1[0,]2B ．1(0,)2C ．(,0]-∞∪1[,)2+∞D ．(,0)-∞∪1(,)2+∞6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边边长分别为3,5,6a b c ===， 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为（ ）A ．38B ．37C ．36D ．357．函数sin()4()sin cos |sin cos x f x x x x xπ-=⋅⋅-是 （ ） A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为π的非奇非偶函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的非奇非偶函数8．若,a b在区间上取值，则函数32()f x ax bx ax =++在R 上有两个相异极值点的概率是（ ）A ．12B．3C．6D．16-9．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为A ，P 为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A 引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP 分别交于,Q R 两点，其中O 为坐标原点，则2||OP 与||||OQ OR ⋅的大小关系为（ ）A ．2||||||OP OQ OR <⋅B ．2||||||OP OQ OR >⋅C ．2||||||OP OQ OR =⋅D ．不确定10．平面向量的集合A 到A 的映射f 由()2()f x x x a a =-⋅确定，其中a 为常向量．若映射f 满足()()f x f y x y ⋅=⋅对,x y A ∈恒成立，则a 的坐标不可能．．．是（ ） A ．(0,0) B． C ．D．1(2-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上. 11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25815a a a ++=，则9S = .12.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是 ．13．把1，2，…，100这100个自然数任意分成10组，每组10个数，将每组中最大的数取出来，所得10个数的和的最大值为M ，最小值为N ，则M N += .14．给出定义：若1122m x m -<≤+ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =. 在此基础上给出下列关于函数{}()f x x x =-的四个命题： ①()y f x =的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)()k k Z ∈是()y f x =的图像的对称中心； ③函数()y f x =的最小正周期为1；④ 函数()y f x =在13(,]22-上是增函数； 则其中真命题是__ ．15．已知点F 、A 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点、右顶点，点(0,)B b -满足0FB AB ⋅=，则双曲线的离心率为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）已知角(0,)απ∈，向量m (2,cos )α=，n 2(cos ,1)α=，且m ·n =1，()cos f x x x =+.（1）求角α的大小；（2）求函数()f x α+的单调递减区间.17．（本小题满分13分）班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目.（1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；（2）为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率.18．（本小题满分13分）在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA =，底面是边长为1的正方形，E 、F 分别是棱1B B 、DA 的中点. （1）求证：//BF 平面1AD E ；（2）求证：1D E ⊥平面AEC .19．（本小题满分12分）如图，ABCD 是一块边长为2a 的正方形铁板，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿虚线折叠后，焊接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度x 与底面边长的比不超过常数(0)k k >. （1）写出水箱的容积V 与水箱高度x 的函数关系式，并求其定义域；（2）当水箱高度x 为何值时，水箱的容积V 最大，并求出其最大值.20．（本小题满分12分）数列{}n a 满足121211,2,()(3,4,)2n n n a a a a a n --===+=，数列{}n b 是首项为1，公比为2-的等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记(1,2,3,)n n n c na b n ==，求数列{}n c 的前n 项和n S .21．（本小题满分12分）已知椭圆22222221(0,)x y a b c a b c a b+=>>>=+的左、右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且||PT)a c -． （1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为1，圆2F 与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆相交于A B ,两点，若OA OB ⊥，求直线l 被圆2F 截得的弦长s 的最大值．重庆市重点高中2010届高三第三次联合模拟考试数学试题（理）参考答案1．B 依题意得，{|10}P x x =+≥{|1}x x =≥-，{|0}Q y y =≥，,P Q ≠∴⊃选B.2．B12(12)(1)3311(1)(1)222i i i i i i i i ++-+===+++-，故选B.3．A a +b (1,)m =-22(,)(1,0)m m m +=+，其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，∴向量a +b 所在的直线可能为x 轴，选A.4．C 结合函数图象知：选项A 、D 中函数在(0,)π上有增有减，选项B 中函数在(0,)π上为减函数，只有选项C 中函数在(0,)π上是增函数.5.A 由p 得：112x ≤≤，由q 得：1a x a ≤≤+，又q 是p 的必要而不充分条件，所以 1,2a ≤且11a +≥，102a ∴≤≤．6．D 由余弦定理得：cos cos cos bc A ca B ab C ++=222222222222b c a c a b a b c bc ca ab bc ca ab +-+-+-++2222b c a +-=+22222222235222c a b a b c a b c +-+-+++==，故选D.7. B()|sin 2|,4f x x x k ππ=≠+，∴定义域不关于原点对称，函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，8．C 易得2()32f x ax bx a '=++，函数32()f x ax bx ax =++在R 上有两个相异极值点的充要条件是0a ≠且其导函数的判别式大于0，即0a ≠且224120b a ->，又,a b 在区间上取值，则0,a b >>，点(,)a b 满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为39. C 取特殊点2(,)b P c a，则直线OP 的方程为2b y x ac =，又直线AQ 的方程为 ()b y x a a =-，直线AR 的方程为()b y x a a =--，解得,Q R 的坐标为2(,)ac b c b c b--，2(,)ac b c b c b++，易得2||||||OP OQ OR =⋅．（若设任意点也可得此结果） 10.B 令y x =，则2222()()[2()]4()4[()]f x f x x x x x a a x x a x a a ⋅=⋅=-⋅=-⋅+⋅ 即224[()]4()0x a a x a ⋅-⋅=，22()(1)0,0x a a a ∴⋅-=∴=或||1a =，故选B ．11．45 由25815a a a ++=，得1111()(4)(7)1545a d a d a d a d +++++=⇒+=，9119899(4)452S a d a d ⨯∴=+=+=. 12. 48由图可知前3组的频率为0.75，所以第2组 13．1505 由题意知9192100955M =+++=， 102090100550N =++++=，1505M N ∴+=.14. ①③依题意知11,,(0)2213()1,,(1)22x x m f x x x m ⎧-<≤=⎪⎪⎪=-<≤=⎨⎪⎪⎪⎩，画图可知①③正确．15．0FB AB ⋅=，FB AB ∴⊥，则~R t A O B R t B O F∆∆，222||||||||OB OF b c b ac c a ac OA OB a b ∴=⇒=⇒=⇒-=210e e ⇒--=，e ∴=16．解析：（1）(2,cos )α=m ，2(cos ,1)α=n ，且1⋅=m n ，22cos cos 1αα∴+=， 即22cos cos 10αα+-=，1cos 2α∴=或cos 1α=-. 角(0,)απ∈，1cos 2α∴=，3πα=. （2）1()cos cos )2sin()26f x x x x x x π=+=+=+， ()()2sin()2sin()2cos 3362f x f x x x x ππππα∴+=+=++=+=.∴函数()f x α+的单调递减区间为[2,2]k k πππ+()k ∈Z .17．解析：(1)利用树状图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20．因为每次都随机抽取，因此，这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取的2人中有1人是女生”，用A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且12A A 表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得12121227()()()0.7202010P A A P A P A =+=+==，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7．(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2，4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出．概型．用A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率为51()0.2255P A ===. 18．解析：（1）取1DD 的中点G ，连接,GB GF .E 、F 分别是棱1BB 、DA 的中点，1//GF AD ∴，1//BE DG 且1BE DG =， ∴四边形1BEDG 为平行四边形，1//BG D E ∴. 又1D E 、1D A ⊂平面1AD E ，BG 、GF ⊄平面1AD E ，//BG ∴平面1,//AD E GF 平面1AD E . BG 、GF ⊂平面BGF ，且BGGF G =，∴平面//BGF 平面1AD E .BF ⊂平面BGF ，//BF ∴平面1AD E .（2）11112,1,AA A D AD ==∴==同理可得：1AE D E =.222111,AD D E AE D E AE =+∴⊥.同理可证得1D E CE ⊥. 又,AECE E AE =⊂平面,AEC CE ⊂平面AEC ，1D E ∴⊥平面AEC .19．解析：（1）由题知，水箱的底面边长为22a x -，高为x ，则22()(22)4()V x a x x x a x =-⋅=⋅-.22x k a x ≤-，2012akx k∴<≤+.又0x a <<且201212ak a a k k -=>++，2012akx k∴<≤+.∴所求的定义域为2{|0}12akx x k<≤+. （2）2222()4()484V x x a x x ax a x =⋅-=-+，22()12164V x x ax a '∴=-+，令()0V x '=，解得3ax =或x a =（舍）. ①若2a ak ≤，即1k ≥时，∴当3x =时，()V x 取得最大值，且最大值为327a . ②若2312a ak k >+，即104k <<时，2()1216V x x ax '=-，20a >，()V x ∴在2(0,)12akk+上是增函数，∴当212ak x k =+时，()V x 取得最大值，且最大值为338(12)k a k +. 综上可知，当14k ≥，3a x =时，水箱容积V 取得最大值31627a ；当104k <<，212akx k=+时，水箱容积V 取得最大值338(12)ka k +.20．解析：（1）由121()(3)2n n n a a a n --=+≥得 11211211()()(3)22n n n n n n n a a a a a a a n -------=+-=--≥，又2110a a -=≠，∴数列1{}n n a a +-是首项为1，公比为12-的等比数列，111()2n n n a a -+∴-=-.∴当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-122111()111521211()()()1()122233212n n n -----=++-+-++-=+=--+，经检验它对1n =也成立，∴数列{}n a 的通项公式为1521()332n n a -=--.数列{}n b 是首项为1，公比为2-的等比数列，111(2)(2)n n n b --∴=⨯-=-.（2）11152152[()](2)(2)33233n n n n n n n n c na b n ---==--⋅-=⋅--. 0311235[1(2)2(2)3(2)(2)]3n n n S c c c c n -∴=++++=⋅-+⋅-+⋅-++⋅-2(12)3n -+++0215(1)[1(2)2(2)3(2)(2)]33n n n n -+=⋅-+⋅-+⋅-++⋅--. 记0211(2)2(2)3(2)(2)n n T n -=⋅-+⋅-+⋅-++⋅-，①则2121(2)2(2)(1)(2)(2).n n n T n n --=⋅-+⋅-++-⋅-+⋅- ②由①-②得：0211(2)31(2)(2)(2)(2)(2)(2)3nn nn n T n n ---=⋅-+-+-++--⋅-=-⋅-，1(31)(2)9nn n T -+-∴=.51(31)(2)(1)5(1)[1(31)(2)].393273n n n n n n n n S n -+-++∴=⋅-=-+⋅--21. ．解析：（1）依题意设切线长||PT = ∴当且仅当2||PF 取得最小值时||PT 取得最小值，而2min ||PF a c =-()2a c-，12b ca c-∴<≤-，从而解得352e≤<，故离心率e的取值范围是352e≤<；（2）依题意Q点的坐标为(1,0)，则直线的方程为(1)y k x=-，联立方程组222(1)1y k xxya=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222222(1)20a k x a k x a k a+-+-=，设1122(,),(,)Ax y B x y，则有22122221a kx xa k+=+，22212221a k ax xa k-=+，代入直线方程得2121212[()1]y y k x x x x=-++2222(1)1k aa k-=+，221212221k ax x y ya k-⋅+⋅=+，又OA OB⊥，2212120,0,OA OB x x y y k a∴⋅=∴+=∴=，k a∴=，直线的方程为0ax y a--=，圆心2F(,0)c到直线l的距离d=象可知2dsa=====352e≤<，351,21342c c∴≤<≤+<，∴(0,41s∈，所以max41s=．。

绵阳市高2010级第三次诊断性考试数学数学((理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．BDACA BCDBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2-i 12．1113．251415．②④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x 万元/辆，年利润为y 万元．则由题意得年销售量为100-2x ，∴y=(10+0.1x -8)(100-2x )=-0.2x 2+6x +200=-0.2(x -15)2+245．故当x =15时，y 取最大值．此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．∴当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分（Ⅱ）由图表可知，利润为2万元的有1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆．∴P (X =0)=22452101645C C C +=；P (X =0．5)=111141452102445C C C C C +=；P (X =1)=115121051459C C C ==．∴X 的分布列为：∴X 的数学期望E (X )=1645×0+2445×0．5+19×1=1745．∴X 的数学期望为1745．………………………………………………………12分17．解：（Ⅰ）取AB 的中点为O ，连接OP ，∵△PAB 为等边三角形，∴PO ⊥AB ．①又平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥AD ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥AB ．②∵AB 与PO 交于点O ，X00．51P 1645244519由①②得：AD ⊥平面PAB ，∴平面PAD ⊥平面PAB ．……………………………………………………6分（Ⅱ）以AB 的中点O 为原点，OB 所在直线为x 轴，过O 平行于BC 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB =2，AD =3，∴F (1，1，0)，A (-1，0，0)，P (0，0，)，D (-1，3，0)．∴DF ����=(2，-2，0)，AP ����=(1，0，AD �=(0，3，0)，可求得平面ADP 的法向量n ，0，-1)，若直线DF 与平面PAD 的所成角为θ，则sin θ=|cos<n ，DF ����>|=||||||DF n DF n ⋅=⋅��������，又由图形可知，θ为锐角，∴cos θ=12．∴直线DF 与平面PAD 的所成角的余弦值为12．…………………………12分18．解：（Ⅰ）由图知：2=4+126πππω（），解得ω=2．∵()sin(2)11212f ππϕ=⋅+=，∴2(Z)62k k ππϕπ+=+∈，即2(Z)3k k πϕπ=+∈．由22ππϕ−<<，得3πϕ=．∴()sin(23f x x π=+．∴()sin[2(sin(2)4436f x x x ππππ−=−+=−，即函数y =g (x )的解析式为g (x )=sin(26x π−．………………………………6分（Ⅱ）∵2sin 22B A +=1)3(++πC g ，∴1-cos(A +B )=1+sin(2C +2π)，∵cos(A +B )=-cos C ，sin(2C +2π)=cos2C ，于是上式变为cos C =cos2C ，即cos C =2cos 2C -1，整理得2cos 2C -cos C -1=0，解得cos C =12−或1（舍），∴C =23π．由正弦定理得：sin c C=2R =4，解得c=于是由余弦定理得：cos C =12−=22122a b ab+−，∴a 2+b 2=12-ab ≥2ab ，∴ab ≤4(当且仅当a =b 时等号成立)．∴S △ABC =12ab sinC=ab．∴△ABC的面积的最大值为．………………………………………12分19．解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，∵S 4=2S 2+8，即4a 1+6d =2(2a 1+d )+8，化简得：4d =8，解得d =2．……………………………………………………………………3分（Ⅱ）由a 1=1，d =2，得a n =2n -1，∴11n n a a +=1111()(21)(21)22121n n n n =−−+−+．∴T n =12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=11111111(1)2335572121n n −+−+−+⋅⋅⋅+−−+=11(1221n −+≥13，又∵不等式T n ≥21(5)18m m −对所有的n ∈N*恒成立，∴13≥21(5)18m m −，化简得：m 2-5m -6≤0，解得：-1≤m ≤6．∴m 的最大正整数值为6．……………………………………………………8分（Ⅲ）由d =2，得a n =a 1+2n -2，又∵2n n n a b a +==1+2n a =11112a n ++−，又函数11()11f x x a =++−在112a ⎛⎞−∞−⎜⎟⎝⎠，和112a ⎛⎞−+∞⎜⎟⎝⎠上分别是单调减函数，且112a x <−时y <1；112a x >−时y >1．∵对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 4成立，∴3<112a −<4，解得-6<a 1<-4，即a 1的取值范围为(-6，-4)．……………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：e=c a =．∵以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2=0相切，∴b ，解得b =1．再由a 2=b 2+c 2，可解得：a =2．∴椭圆的标准方程为2214x y +=．……………………………………………5分（Ⅱ）当直线的斜率为0时，OP OQ ⋅��������=-4∉[35−，29−]，不成立；∵直线的斜率不为0，设P (x 1，y 1)(y 1>0)，Q (x 2，y 2)(y 2<0)，直线的方程可设为：x =my +1，代入椭圆方程2214x y +=得：(m 2+4)y 2+2my -3=0∴y 1+y 2=224m m −+，y 1y 2=234m −+，而x 1x 2=(my 1+1)(my 2+1)=22444m m −+，∴OP OQ ⋅��������=x 1x 2+y 1y 2=22144m m −+，即35−≤22144m m −+≤29−，解得12≤m 2≤1；∵1PM y ==�����；2MQ y ==�����；又∵||||||||PM MQ tPM MQ t PM MQ +=⋅=⋅�������������������，∴2112121111(||||y y t y y y y MQ PM −=+=−=⋅����������12====，∴当12≤m 2≤1t．…………………………………13分21．解：（Ⅰ）∵()f x ′=22(21)x e x x−，∴当2x -1>0，即x >12时，()f x ′>0，于是f (x )在1()2+∞，上单调递增；∴当2x -1<0，即x <12时，()f x ′<0，于是(x )在1(2−∞，上单调递减．∵m >0，∴m +2>2．①m ≤12≤m +2，即0<m ≤12时，f (x )在(m ，12)上单减，在(12，m +2)上单增，∴f (x )min =f (12)=2e ；②当m >12时，f (x )在[m ，m +2]上单调递增，∴f (x )min =f (m )=2m e m；∴综上所述：当0<m ≤12时，f (x )min =2e ；当m >12时，f (x )min =2m e m． (4)分（Ⅱ）构造F (x )=f (x )-g (x )(x >1)，则由题意得F (x )=22ln 0x e t t x t x−−−>(x >1)，()F x ′=22222x x xe e t t x x −+−=22(21)()x x e t x −−(x >1)，①当t ≤e 2时，e 2x -t ≥0成立，则x >1时，()F x ′≥0，即F (x )在(1)+∞，上单增，∴F (1)=e 2-2t ≥0，即t ≤212e ，故t ≤212e ．②当t >e 2时，()F x ′=0得x =12或12ln t ．∴F (x )在(1，12ln t )上单减，在(12ln t ，+∞)上单增，∴F (x )min =F (12ln t )=-2t ln(12ln t )-t <0．∴不成立．∴综上所述：t ≤212e ．………………………………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当x >0时，2()xe f x x=≥2e ，∴2x x e ≤12e(x >0)，∴2221n n n ne n e =≤2112n e⋅．∴211ni i i e ==⋅∑22223211112()3()()ne e e n e +++⋅⋅⋅+≤2221111(1)223e n +++⋅⋅⋅+<2221111(1)221311e n +++⋅⋅⋅+−−−=11111111111 [1(1)] 2232435211 e n n n n+−+−+−+⋅⋅⋅+−+−−−+=11111 [1(12221 e n n++−−+<78e．………………………………………………………………14分。

贵州师大附中2009——2010学年第一学期第三次月考高三数学 理科参考答案13、{1，7，9} 14、1315、15-16、①③④17、(I):(1)a<0,A=,∅∅ 解当时有A B=,{(2)0,-33}a A x a x a ≥=+≤≤+当时有,{81}B x x x =<->或.由∅ A B=,有3813a a -+≥-⎧⎨≥+⎩ 得112a a ≤⎧⎨≤-⎩ 与0a ≥,矛盾!故当∅ A B=时,a 的取值范围是(,0)-∞; (II)解:(1)a<0,A=,∅ 当时有A B=B ,{(2)0,-33}a A x a x a ≥=+≤≤+当时有,{-81}B x x x =<>或由 A B=B,必有A B ⊆,得38a +<-或31a -+>得11a <- (舍去)或2a <得02a ≤< 故当 A B=B 时, a 的取值范围是(,2)-∞.18、解：0)(,)1,1()(<'-x f x f 且内可导在 )1,1()(-∴在x f 上为减函数又当b a ,0)()(,0),1,1(=+=+-∈b f a f b a 时)()(),()(a f a f a f b f -=--=∴即)1,1()(-∴在x f 上为奇函数 )1()1(0)1()1(22m f m f m f m f -->-⇔>-+-∴2111111111)1()1(222<<∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-⇔->-⇔m m m m m m f m f∴原不等式的解集为)2,1(19、解法一：(Ⅰ)由已知l 2⊥MN, l 2⊥l 1 , MN ∩l 1 =M, 可得l 2⊥平面ABN ． 由已知MN ⊥l 1 ，AM=MB=MN ，可知AN=NB 且AN ⊥NB ．又AN 为AC 在平面ABN 内的射影.∴AC ⊥NB（Ⅱ）∵Rt △CAN ≌Rt △CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°，因此 △ABC 为正三角形．AB MNCl 2 l 1 H∵Rt △ANB ≌Rt △CNB ，∴NC=NA=NB ，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心，连结BH,∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角． 在Rt △NHB 中,cos ∠NBH= HB NB = 33AB 22AB = 63 .解法二：如图,建立空间直角坐标系M －xyz.令MN=1，则有 A(－1, 0, 0)，B(1, 0, 0)，N(0, 1, 0)．(Ⅰ)∵MN 是 l 1、l 2的公垂线, l 1⊥l 2, ∴l 2⊥平面ABN. l 2平行于z 轴．故可设C(0,1,m).于是 AC →=(1,1,m), NB →=(1,－1,0)． ∴AC →·NB →=1+(－1)+0=0 ∴AC ⊥NB ． (Ⅱ)∵AC → =(1,1,m), BC →=(－1,1,m), ∴|AC →|=|BC →|, 又已知∠ACB=60°，∴△ABC 为正三角形，AC=BC=AB=2．在Rt △CNB 中，NB=2，可得NC=2,故C(0,1, 2)． 连结MC ，作NH ⊥MC 于H ，设H(0,λ, 2λ) (λ>0)．∴HN →=(0,1－λ,－2λ)， MC →=(0,1, 2)．HN →·MC →= 1－λ－2λ=0, ∴λ= 13，∴H(0, 13, 23)，可得HN →=(0,23, － 23)，连结BH,则BH →=(－1,13, 23)，∵HN →·BH →=0+29 － 29 =0，∴HN →⊥BH →, 又MC ∩BH=H ，∴HN ⊥平面ABC ，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角.又BN →=(－1,1,0)， ∴cos ∠NBH= BH →·BN →|BH →|·|BN →| = 4323×2= 63．20、解：随机变量ξ的分布列是ξ的均值为111111233266E ξ=⨯+⨯+⨯=l附：ξ的分布列的一种求法，共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是1：⑥之下，A 直接感染了三个人．21、解：(Ⅰ)设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．(Ⅱ)12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ， 50134)13(42212-⨯+--=-k S k ， ∴当13=k 时，12-k S 取得最大值．12-k S 的最大值为626．22. 解：（Ⅰ）22222'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++∵()f x 在x=1处取得极值，∴2'(1)0,120,f a a =+-= 即解得 1.a =（Ⅱ）222'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++ ∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得∴()f x +∞的单调减区间为（0单调增区间为）.（Ⅲ）当2a ≥时，由（Ⅱ）①知，()(0)1;f x f =的最小值为当02a <<时，由（Ⅱ）②知，()f x 在x =(0)1,f f <=综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,)+∞．。

河北衡水中学2010年高三第三次模拟数学试题说明：本试卷共包括三道大题，22道小题，共150分。

考试时间120分钟。

其中第一道大题为选择题 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．如果复数i m m m m )65()3(22+-+-是纯虚数，则实数m 的值为 （ ）A ．0B ．2C ．0或3D ．2或32．已知全集U=R ，集合{}{}0107|,73|2<+-=<≤=x x x B x x A ，则)(B A C R ⋂=（ ）A ．()),5(3,+∞⋃∞-B ．()),5[3,+∞⋃∞-C ．),5[]3,(+∞⋃-∞D ．),5(]3,(+∞⋃-∞3．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，369-=S ，10413-=S ，则5a 与7a 的等比中项为（ ）A ．24B ．22±C ．24±D ．324．“3||>x ”是"3">x 的（ ）A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分必要条件5．已知22)4sin()2cos(-=--πααπ，则ααsin cos +等于 （ ）月收入（元）频率/组距0.00050.00040.00030.00020.0001O 1000150020002500300040003500A ．27-B ．27C ．21D ．21-6．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 （ ） A ．168 B ．20160 C ．840 D ．5607．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查20000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入)3500,3000[（元）段中抽取了30人，则在这20000人中共抽取的人数为（ ）A ．200B ．100C ．20000D ．408．设点P （y x ,）满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤+0011y y x y x ，则10),(-+=y x y x f 的最大值和最小值分别为（ ）A ．11,9--B ．9,211--C ．29,211--D ．11,29-9．我国储蓄存款采取实名制并收利息税，利息税由各银行储蓄点代扣代收，某人于2008年3月1日存入人民币1万元，存期一年，年利率为52.2％，到期时净得本金和利息共计4.10239元，则利息税的税率是 （ ） A ．5％ B ．8％ C ．15％ D ．20％ 10．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面βα,截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角βα--l 的平面角为65π，则球O 的表面积为（ ）A ．π4B ．π16C ．π28D ．π11211．若双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x （0,0>>>b m a ）的离心率之积大于1，则以m b a ,,为边长的三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形12．将函数()3233f x x x x =++的图象按向量a r平移后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 满足()()111g x g x -++=，则向量a r的坐标是（ ）A ．()1,1--B ．3(2,)2C ．()2,2D ．3(2,)2-- 二、填空题: （每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上） 13．已知9)2(x x a -的展开式中，493的系数为x ，则常数a 的值为 14．已知函数x a x f 2log )(-=的图象经过点A )1,1(，则不等式43)(>x f 的解集为 15．直线22222,,40B A C N M y xC By Ax +==+=++若两点相交于与圆，则ON OM ⋅（O 为坐标原点）等于16．给出下列命题：①已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>--+=)1(,1)1(,132)(3x ax x x x x x f 在点1=x 处连续，则4=a ； ②若不等式1|2||1|+->+a xx 对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 31<<a③不等式0|82|)2(2≥---x xx 的解集是{}2|≥x x④如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于222C B A ∆的三个内角的正弦值，则111C B A ∆为锐角三角形，222C B A ∆为钝角三角形.其中真命题的序号是（将所有真命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本题10分）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △3a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．18．（本题12分）某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答.（Ⅰ）求某选手第二次抽到的不是科技类题目的概率； （Ⅱ）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望E ξ. 19．（本题12分）如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，点1B 在底面ABC 上的射影恰好是BC 的中点，且1BC CA AA ==． （Ⅰ）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ； （Ⅱ）求证：1BC 1AB ⊥；（Ⅲ）求二面角11B AB C --的大小．B 1C 1A 1CBA20．（本题 12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足112,21,1n n n n n a a a a b a +==+=-，数列{}n b 的前n 项和 为2,n n n n S T S S =-.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1n n T T +>；21．（本题 12分）过点A （-4，0）向椭圆)0(12222>>=+b a by a x 引两条切线，切点分别为B,C ，且ABC ∆为正三角形.（Ⅰ）求ab 最大时椭圆的方程；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的椭圆，若其左焦点为F ，过F 的直线l 与y 轴交于点M ，与椭圆的一个交点为Q ，且||2||QF MQ =求直线l 的方程22．（本题12分） 已知函数()1In xf x x ax-=+。

江西省师大附中2010届高三年级三模试卷数学理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数5(2)12i i i +-等于（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1- 2．已知全集为U ＝R,集合2{|log 2}A x y x ==-，}062|{≤--=x xx B ，则B C A U ＝（ ）A ．{6|>x x }B ．}6|{≥x xC ．{|46}x x ≤<D ．}64|{≤≤x x 3．函数2()(cot 1)sin f x x x =-的最小正周期是（ ）A ．4π B ．2π C ．π D ．2π 4．已知函数112()log (421)x x f x +=-+的值域是[0,)+∞，则它的定义域可以是（ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(,1]-∞D ．(,0]-∞5．若圆01222=++-+y ax y x 与圆122=+y x 关于直线1-=x y 对称，过点),(a a C -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）A ．08442=++-y x yB ．02222=+--y x yC ．08442=+-+y x yD ．0122=---y x y6．表面积为16π的球面上有三点A 、B 、C ，∠ACB ＝60°，AB ＝3，则球心到截面ABC 的距离及B 、C 两点间球面距离最大值分别为（ ）A ．3，23πB ．3，3πC ．3，23πD ．3，3π7．跳格游戏：如右图，人从格外只能进入第1格，在格中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第8格的方法种数为（ ） A ．8种 B ．13种 C ．21种 D ．34种8．函数23)1(-+=x f y 为奇函数，)()(1x f y x f y ==-是的反函数，若,0)3(=f 则)3(1-f =（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ． 29．若多项式2012(1)m mm x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+满足:1232380m a a a ma +++⋅⋅⋅+=,则2344441111lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+ 的值是( ) A ．13 B ．14C ．15D ．1610．在数列}{n a 中，若22*1(2,,n n a a p n n N --=≥∈)p 为常数，则称}{n a 为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若}{n a 是等方差数列，则}{2n a 是等差数列；②})1{(n-是等方差数列；③若}{n a 是等方差数列，则),}({*为常数k N k a kn ∈也是等方差数列；④若}{n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确命题序号为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①②③④ D ．②③④ 11．下列命题中正确命题的个数是（ ）①经过空间一点一定可作一平面与两异面直线都平行；②已知平面α、β，直线a 、b ，若a αβ=，b a ⊥，则b α⊥； ③有两个侧面垂直于底面的四棱柱为直四棱柱； ④四个侧面两两全等的四棱柱为直四棱柱；⑤底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；⑥底面是等边三角形，∠APB ＝∠BPC ＝∠CP A ，则三棱锥P －ABC 是正三棱锥. A ．0 B ．1 C ．2 D ．312．若关于x 的方程||x x a a -=有三个不相同的实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(4,)+∞B ．(,4)-∞-C ．(4,4)-D ．(,4)(4,)-∞-+∞ 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上． 13．已知(1,1)a =，||1b =，则2a b +在a 方向上的投影取值范围是_____________. 14．已知点(,)m n 在直线cos sin 2x y θθ+=上，则22m n +的最小值为 . 15．如图，过点1A 作垂直于x 轴的垂线交曲线242y x x =++于点1P ，又过点1P 作x 轴的平行线交y 轴于点1B ，记点1B 关于直线y x =的对称点为2A ；……；依此类推.若数列{}n a 的各项分别为点列(1,2,3,)n A n =⋅⋅⋅的横坐标，且11a =，则n a = .16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若||||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1122OP OA OB =+，则动点P的轨迹为椭圆；③抛物线2(0)x ay a =≠的焦点坐标是1(,0)4a；④曲线221169x y -=与曲线2213510x yλλ+=--（35λ<且10λ≠）有相同的焦点.其中真命题的序号为____________写出所有真命题的序号.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤． 17．（本小题满分12分）设△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，(0,)2A B π∈、，若cos()b a A B =⋅+.（1）求证：2tan tan 2tan 1AB A =+；（2）当tan B 取最大值时，求cot C 的值.18．（本小题满分12分）今天你低碳了吗？近来国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0.785等，某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查.若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这二族人数占各自小区总人数的比例P 数据如下：率；（2）A 小区经过大力宣传，每周非低碳中有20%的人加入到低碳族的行列，如果两周后随机地从A 小区中任选25个人，记ξ表示25个人中的低碳族人数，求E ξ和D ξ.19．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项积为1n n n T T a =-且；数列{}n b 的前n 项和为1n n n S S b =-且. （1）设1n nc T =.①证明数列{}n c 成等差数列；②求证数列{}n a 的通项公式； （2）若(2)n n T nb n kn n N *+-≤∈对恒成立，求实数k 的取值范围.20．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是梯形BC ∥AD ，∠DAB ＝90°，AB ＝BB 1＝4，BC ＝3，AD ＝5，AE ＝3，F 、G 分别为CD 、C 1D 1的中点. （1）求证：EF ⊥平面BB 1G ； （2）求二面角E －BB 1－G 的大小. 21．（本小题满分12分）已知平面上两定点C (-1,0),D （1，0）和一定直线4:-=x l ，P 为该平面上一动点，作l PQ ⊥，垂足为Q ，且(2)(2)0.PQ PC PQ PC +⋅-=（1）问点P 在什么曲线上，并求出曲线的轨迹方程M ；（2）又已知点A 为抛物线22(0)y px p =>上一点，直线DA 与曲线M 的交点B 不在y轴的右侧，且点B 不在x 轴上，并满足2,AB DA p =求的最小值. 22．（本小题满分14分）已知函数()xf x e =（e 为自然对数的底数），()ln(())g x f x a =+（a 为常数），()g x 是实数集R 上的奇函数．（1）求证：()1()f x x x R ≥+∈；（2）讨论关于x 的方程：2ln ()()(2)g x g x x ex m =⋅-+()m R ∈的根的个数；（3）设*n N ∈，证明：1231n n nnn e n n n n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（e 为自然对数的底数）．高三数学（理）三模答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上． 13．1] 14．4 15．1232n -- 16．③④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤． 17．解析:（1）由正弦定理，2sin sin (cos cos sin sin )sin cos cos sin sin B A AB A B A A B A B =⋅-=⋅⋅-⇒2(1sin )sin sin cos cos A B A A B+=⋅⇒2222sin cos sin cos tan tan 1sin 2sin cos 2tan 1A A A A AB A A A A ⋅===+++ （2）1tan (0,)122tan tan B AA Aπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+当且仅当12tan tan A A=即tan A 时，tan B此时，tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++==-∵tan()tan tan A B C C +=-⇒=∴cot C =. 18．【解析】（1）记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A100335454212151542121451512121)(=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=A P （2）设A 小区有a 人，2周后非低碳族的概率258)511(212=-⨯⨯=a a P 2周后低碳族的概率25172581=-=P 依题意17(25,)25B ξ,所以17251725=⨯=ξE ,17813625252525D ξ=⨯⨯=.19．【解析】（1）①由1n n T a =-得：11(2)nn n T T n T -=-≥， 1111111,1n n n n n n n n n n T T T T T T T T T T ------⋅=-==-⋅，即11n n c c --=. 又111111,2T a a a =-==，1112c T ==∴数列{}n c 是以2为首项，1为公差的等差数列. ②11211n c c n n n =+-=+-=+，11n T n =+，11n n n a T n =-=+. （2）∵1n n S b =-，1111S b b =-=∴112b =，111(2)n n S b n --=-≥，11n n n n S S b b ---=-，12(2)n n b b n -=≥∴数列{}n b 是以12为首项，12为公比的等比数列.∴1111()()22n n n b b -==.∵(2)n n T nb n kn +-≤对*n ∈N 恒成立∴2()n n n T b k n-+≤对*n ∈N 恒成立，即112()12(1)n n k n n n -⋅+≤++对*n ∈N 恒成立 设11()()12n f n n =⋅+，则111(1)()22n f n n ++=⋅+∵11012n n >>++，111()()022n n +>>，∴()(1)f n f n >+ ∴当*n ∈N 时，()f n 单调递减.设2()(1)n g n n n -=+，则14(1)(1)()(1)(2)(1)(2)n ng n g n g n n n n n n --+=⋅+-=++++ ∴当14n ≤<时，()g n 单调递增；(4)(5)g g =；当5n ≥时，()g n 单调递减 设()()()L n f n g n =+，则(1)(2)(3)L L L <<，(3)(4)(5)(6)L L L L >>>>⋅⋅⋅∴(3)L 最大，且11(3)96L =.∴实数k 的取值范围为11[,)96+∞.20．【解析】（1）连接FG ∵F 、G 分别为CD 、C 1D 1的中点，∴FG CC 1 从而FG BB 1 ∴B 、B 1、F 、G 四点共面.连接BF 并延长与AD 的延长线交于点H . ∵F 为CD 的中点，且BC ∥AD . ∴△HFD ≌△BFC ∴DH ＝BC ＝3∴EH ＝DE +DH ＝5. 又∵BE ＝5，且F 为BH 的中点.∴EF ⊥BF ，又∵BB 1⊥平面ABCD ，且EF ⊂平面ABCD 内. ∴BB 1⊥EF ∴EF ⊥平面BB 1GF . 从而EF ⊥平面BB 1G . （2）二面角E －BB 1－G 的大小等于二面角F －BB 1－E 的大小 ∵EF ⊥平面FBB 1 且EB ⊥BB 1 FB ⊥BB 1 即∠EBF 为二面角F －BB 1－E 的平面角在△EFB 中，EB ＝5，EF ＝152DC =. ∴5sin 5EBF ∠=∴∠EBF ＝5arcsin 5 ∴二面角E －BB 1－G 的大小为5arcsin 5解法2：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AA 1为y 轴，AD 为Z 轴建立空间直角坐标系，则E （0，0，3）、F （2，0，4）、G （2，4，4）、B （4，0，0）、B 1（4，4，0） （1）(2,0,1)EF =、1(0,4,0)BB =、1(2,0,4)B G =-∵10EF BB ⋅=，1440EF B G ⋅=-+=∴EF ⊥BB 1，EF ⊥B 1G ∴EF ⊥平面BB 1G（2）∵EF ⊥平面BB 1G ∴(2,0,1)EF =为平面BB 1G 的一个法向量 设平面EBB 1的一个法向量为(,,)n x y z = (4,0,3)BE =- 1(0,4,0)BB =则143040n BE x z n BB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 解得0y =，取4z = ∴(3,0,4)n = 1025cos 5||||55EF n EF n EF n ⋅<⋅>===⋅⨯∴二面角E －BB 1－G 的大小为25arccos521．解：（1）由.0)2)(2(=-+PC PQ PC PQ 得.||2||PC PQ = 法一：动点P 到定点)0,1(-C 的距离与到定直线4:-=x l 的距离之比为常数， 所以点P 在椭圆上．由.1,3,232122===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==c b a c b c ca a c e所以所求的椭圆方程为.13422=+y x 法二：设),(y x P 代入.||2||PC PQ =得点P 的轨迹方程为.13422=+y x （2）椭圆的右焦点为D （1，0），点B 在椭圆221(20)43x y x +=-<≤上， 00000022002220000(,),2022,,.3322,2.9341,8.3422,2,A AB x y x x yAB DA x y y x A y px p x x p x t x t -<≤+===+==⋅-=-∴=+=+<≤设其中由知由点在抛物线上得y 又令则0 即2484t tp t t -+==-+,022t t <≤∴=当时p 最小 012,04p t x ∴===，又当时为椭圆与y 轴的交点.故p 的最小值为1422．解（1）证:令()1,()1x x h x e x h x e '=--=-,令()0100xh x e x '>⇒->⇒>时 ()0;0f x x '><时,()0f x '<. ∴min ()(0)0f x f ==∴()(0)0h x h ≥= 即1xe x ≥+.（2）∵()g x 是R 上的奇函数 ∴(0)0g = ∴0(0)ln()0g e a =+= ∴ln(1)0a += ∴0a = 故()ln xg x e x ==. 故讨论方程2ln (2)x x x ex m =⋅-+在0x >的根的个数.即2ln 2xx ex m x=-+在0x >的根的个数.()m R ∈ 令2ln (),()2xu x v x x ex m x==-+.注意0x >,方程根的个数即交点个数. 对ln (),(0)xu x x x =>, 221ln 1ln ()x x x x u x x x ⋅--'==,令()0u x '=, 得x e =，当x e >时,()0u x '<; 当0x e <<时,()0u x '>. ∴1()()u x u e e==极大， 当0x +→时,ln ()x u x x =→-∞； 当x →+∞时,ln lim ()lim 0x x x u x x→+∞→+∞==， 但此时()0u x >，此时以x 轴为渐近线。

安 徽 省2010年高三教学质量检测试卷（三）数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数3,1iz z i+=-则复数在复平面上的对应点在 （ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．已知集合2{|210,,}A x ax x a x =++=∈∈R R 只有一个元素，则a 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．—13．“12m =”是直线(2)310(2)(2)30m x my m x m y +++=-++-=与直线相互垂直的 （ ）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．等比数列123{},4,2,n n a n S a a a 的前项和为且成等差数列.若141,a S =则= （ ）A ．7B ．8C ．15D ．165．已知两点(1,0),(1A B O 为坐标原点，点C 在第三象限，且5,6AOC π∠=设 2,(),O C O A O B λλλ=-+∈R 则等于（ ）A ．—1B ．1C ．—2D ．26．如图，一个不透明圆柱体的正视图和侧视图（左视图）为两全等的正方形，若将它竖直放在桌面上，则该圆柱体在桌面上从垂直位置旋转到水平位置的过程中，其在水平桌面上的正投影不可能是 （ ）7．如图，正三棱锥S —ABC 中，∠BSC=40°，SB=2，一质点自点B 出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B 的最短路线的长为 （ ） A ．2 B ．3 C．D．8．在平面直角坐标系中，点A （1，2），B （3，1）到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数有 （ ） A ．3 B ．2 C ．4 D ．1 9．已知函数()()(1)(1),[1,1],()||y f x x f x f x x f x x =∈+=-∈-=R 满足且时，则函数5()log y f x y x ==与的图像的交点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．设函数223()cos 4sin3(),||1,()2x f x x t t t x t f x =++-∈≤R 其中将的最小值记为(),()g t g t 则函数的单调递增区间为（ ）A ．1(,)(1,)3-∞-+∞B ．1[1,]3--C ．1(,)3+∞D ．1[,1]3第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学(理工类)模拟试卷（三）数学试题(理工类)共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

5．考试结束，将试卷和答题卡一并收回。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1． 设条件p ：||x x =；条件q ：20x x +≥，那么p 是q 的什么条件A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分非必要条件 2． 已知2120012224(1),(1)()n n nn n n a a a a x b b x b x b x n N x x xx+-=+++++=++++∈， 记0120122,n n M a a a a N b b b b =++++=++++，则→∞n lim 23lim n M N M N →∞-+的值是 A ．2 B ．13- C ．0 D ．233． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，2007200512008,220072005S Sa =--=，则2008S 的值为A ．-2007B ．-2008C ．2007D ．20084． 已知23tan sin =αα，则αα44cos sin -的值是A ．-7B ．21-C ．43D ．21 5． 已知函数32()32,(0,2)f x x x x =-+∈的反函数为1()f x -，则A ．1113()()22ff --< B ．1113()()22ff --->- C ．1113()()22f f -->D ．1135()()22f f --< 6． 已知(),()f xg x 都是定义在R 上的函数, g (x )≠0,''()()()()f x g x f x g x <，()()x f x a g x =，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，在有穷数列(){}()f ng n ( n =1,2,…,10）中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1516的概率是A ．15B ．25C ．45D ．357． 从M 点出发三条射线MA ，MB ，MC 两两成60°，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点，若球的体积为323π，则OM 的距离为 A．B．C ．3D ．48． 点P 为双曲线1C ：()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为 A ．3B ．21+C ．13+D ．29． 如图所示，已知D 是面积为1的ABC ∆的边AB 上任一点，E 是边AC 上任一点，连结DE ，F 是线段DE 上一点，连结BF ，设123,,AD AB AE AC DF DE λλλ===，且23112λλλ+-=，记BDF ∆的面积为123(,,)s f λλλ=，则S 的最大值是【注：必要时，可利用定理：若,,,+∈R c b a 则3)3(c b a abc ++≤， （当且仅当c b a ==时，取“=”）】A ．12B ．13 C ．14D ．18 10．已知实数,x y 满足20200x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，每一对整数(,)x y 对应平面上一个点，则过这些点中的其中三点可作多少个不同的圆A ．70B ．61C ．52D ．43二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，向量),sin ,2(cos ),sin ,2(sinB Cb A B A =+= 12a b ⋅=，则tan tan A B ⋅= ． 12．设20)()(0)x f x a x x <=⎨⎪+≥⎩，要使函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则a 的值为 ． 13．如果O 是线段AB 上一点，则||||0OB OA OA OB +=，类比到平面的情形；若O 是ABC ∆内一点，有O OB S OA S OC S OCA OBC OAB =⋅+⋅+⋅∆∆∆，类比到空间的情形：若O是四面体ABCD 内一点，则有 ． 14．若,x y 满足条件||||1(0)ax y a +≤>，则（a ）(,)P x y 的轨迹形成的图形的面积为1，则a = ． （b ）2222xx y y a+++的最大值为 ． 15．第29届奥林匹克运动会于2008年在北京举行．29和2008是两个喜庆的数字，若使200829n n ++与200829之间所有正整数的和不小于2008，则n 的最小值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分)在ABC ∆中，设BC CA CA AB ⋅=⋅． （Ⅰ）求证：ABC ∆为等腰三角形；（Ⅱ）若||2BA BC +=且2[,]33B ππ∈，求BA BC ⋅的取值范围．17．（本小题满分13分）甲、乙两人参加一项智力测试．已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位参赛者都从备选项中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过．（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率．18．（本小题满分13分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，C 1C =CB =CA =2，AC ⊥CB ．D 、E 分别为棱C 1C 、B 1C 1的中点． （Ⅰ）求A 1B 与平面A 1C 1CA 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B -A 1D -A 的大小；（Ⅲ）试在线段AC 上确定一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ．如图，已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，过F 的直线（非x 轴）交椭圆于M 、N 两点，右准线l 交x 轴于点K ，左顶点为A ．（Ⅰ）求证：KF 平分∠MKN ；（Ⅱ）直线AM 、AN 分别交准线l 于点P 、Q ，设直线MN 的倾斜角为θ，试用θ表示 线段PQ 的长度|PQ |，并求|PQ |的最小值．20．（本小题满分12分）函数ln y x =关于直线1x =对称的函数为()f x ，又函数211(0)2y ax a =+>的导函数为()g x ，记()()()h x f x g x =+．（Ⅰ）设曲线()y h x =在点(1,(1))h 处的切线为l ， l 与圆22(1)1x y ++=相切，求a 的值；（Ⅱ）求函数()h x 的单调区间；（Ⅲ）求函数()h x 在[0，1]上的最大值．已知函数+∈=N x x f y ),(，满足：①对任意,a b N +∈，都有)()()(b af b bf a af >+)(a bf +；②对任意n ∈N *都有[()]3f f n n =．（Ⅰ）试证明：()f x 为N +上的单调增函数； （Ⅱ）求(1)(6)(28)f f f ++； （Ⅲ）令(3),n n a f n N +=∈，试证明：121111.424n n n a a a <+++<+2010级高三数学（理）模拟试题（三）参考答案一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分。

2010年数学高考模拟卷（三）佚名【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2010(000)002【总页数】4页(P47-48,F0003,F0004)【正文语种】中文【中图分类】G4一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的.1．已知集合M={0,1}，N={2x+1|x∈M}，则M∩N=( )A.{1}B.{0,1}C.{0,1,3}D.φ2．定义运算则满足的复数z为( )A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i3．在等差数列{an}中，a1>0，3a2=5a5，则前n项和Sn中最大的是( )图1A.S7B.S8C.S9D.S104．已知△ABC满足则△ABC的形状为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形5．已知正三棱锥ABCD的正视图、俯视图如图1所示，则该三棱锥的左视图的面积为( )图26．当图2所示的程序运行时，执行的循环次数与输出的结果分别是( )A.5,256B.4,256C.3,625D.4,6767．当<x<1时，f(x)=xlnx，则下列关系正确的是( )A.f 2(x)<f(x2)<f(x)B.f(x2)<f(x)<f 2(x)C.f(x)<f(x2)<f 2(x)D.f(x2)<f 2(x)<f(x)8．已知|a|=2|b|，命题p:关于x的方程x2+|a|x+a·b=0没有实数根；命题则命题p是命题q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件图39．如图3，A，B是椭圆的短轴端点，点M是椭圆上异于A,B的任意一点，直线MA，MB与x轴交点的横坐标分别为x1,x2，则x1·x2=( )A.4B.5C.9D.随点M的变化而变化10．某同学在电脑上进行数学测试，共10道题，答完第n题(n=1,2,3,…,10)，电脑都会自动显示前n题的正确率f(n)，则下列关系不可能成立的是( )A.f(1)=f(2)=f(3)=…=f(10)B.f(1)<f(2)<f(3)<…<f(10)C.f(5)=2f(10)D.f(8)<f(9)，且f(9)=f(10)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．若实数x,y满足则x2+y2的最小值是________．12．已知实数a,b,c成等差数列，点P(-1,0)在直线ax+by+c=0上的射影为点Q，则点Q的轨迹方程是________．13．为了解中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某校进行了如下的随机调查，向被调查者提出2个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第1个问题，否则就回答第2个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人(学号从1至800)中有240人回答了“是”，由此可以估计这800个人中闯过红灯的约________人．14．如果O是线段AB上一点，则类比到平面的情形：若O是△ABC内一点，有类比到空间的情形：若O是四面体ABCD内一点，则有________．15．若(x-1)n=xn+…+px2+qx+1(n∈N*)，且p+q=-14，则n=________．16．函数y=cos(2x+φ),φ∈(0,2π)在区间上单调递增，则实数φ的取值范围是________．图417．如图4，用红、黄、蓝3种颜色分别在标有数字1，2，3，…,9的9个小正方形中涂色，相邻(有公共边)的2个小正方形不能涂相同的颜色，其中标有1,3,5的小正方形涂相同的颜色，则不同的涂色方案有________种．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．(本题满分14分)袋中有大小相同的10个编号为1,2,3的球，1号球有1个，2号球有m个，3号球有n个．从袋中依次摸出2个球.已知在第1次摸出3号球的前提下，再摸出1个2号球的概率是(1)求m，n的值；(2)从袋中任意摸出2个球，记得到小球的编号数之和为ζ，求随机变量ζ的分布列和数学期望Eζ．图5 图619．(本题满分14分)已知在等腰梯形PDCB中(如图5)，为PB边上一点，且PA=1.将△PAD沿AD折起，使得PB⊥面PAD(如图6)．(1)求直线PD与BC所成角的余弦值；(2)试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的2个部分满足:VP-DCMA∶VM-ACB=2∶1，并求点M到平面APD的距离.20．(本题满分14分)设(1)求f(x)的解析式；(2)若函数的图像与直线y=k有且仅有4个不同的交点，求实数k的取值范围．21．(本题满分15分)已知圆动圆M与圆F外切且与直线相切．(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程.(2)过N(-1,0)的直线交曲线C于点A,B，又AB的中垂线交x轴于点E，求点E横坐标的取值范围.(3)在第(2)小题中，△ABE能否为正三角形？若能，求出此时点E的横坐标；若不能，请说明理由．22．(本题满分15分)已知函数f(x)=ln(x+1)．(1)若对任意的x>0，f(x)<px恒成立，求p的取值范围；(2)求证：当n∈N且n≥2时，参考答案1．A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．D 7．B8．C 9．C 10．D14．18．解 (1)记“第1次摸出3号球”为事件A，“第2次摸出2号球”为事件B，则解得m=3,n=6.(2)随机变量ζ的取值为3,4,5,6，ζ的分布列如表1所示.表1 ζ的分布列ζ3456P115152513因此数学期望Eζ=5．图719．解 (1)如图7，取AB的中点N，连结PN，DN.因为AB=2，DC=1，且ABCD为直角梯形，所以BC∥DN且又PB⊥面PAD，得PB⊥AP，且AP=1，AB=2，从而故因此直线PD与BC所成角的余弦值为(2)过点P，M作PS，MT垂直AB于点S，T．由第(1)小题，可知又由DA⊥AP,DA⊥AB，可得DA⊥平面PAB，从而平面ABCD⊥平面PAB，所以PS,MT垂直平面ABCD．设MT=h，则由VP-DCMA∶VM-A CB=2∶1，得解得即M为PB的中点．由DA⊥平面PAB可知DA⊥PB.又PB⊥AP，所以PB⊥面PAD．因此点M到平面PAD的距离为20．解 (1)由题意得f(x)= a·b=2cosx(1-cosx)+cos2x=2cosx-1.(2)由题意得①当x∈[0,π]时，②当x∈[π，2π]时，因此，图8g(x)的图像如图8所示，因此图像与直线y=k有且仅有4个不同的交点时，实数k的取值范围是[1,3)．21．解 (1)设动圆M的圆心为M(x,y)(y≠0),半径为r(r>0)．由圆可得解得y2=4x，因此动圆圆心M的轨迹方程C：y2=4x．图9(2)如图9,设直线l的方程为：y=k(x+1)，k≠0,S为AB的中点．直线l与曲线C 的方程联立，得即由Δ>0,得-1<k<1且k≠0.由AB的中点坐标可得AB的中垂线方程为令y=0，可得故点E横坐标的取值范围是(3,+∞)．(3)由第(2)小题可知因此于是若△ABE为正三角形，则解得故△ABE能为正三角形，此时点E的横坐标为22．(1)解设g(x)=f(x)-px=ln(x+1)-px(x>0)，则f(x)<px恒成立等价于g(x)<0恒成立．又①若p≥1，则g(x)在(0,+∞)上为减函数，因此g(x)<g(0)=0成立.②若p∈(0,1)，则令g′(x)=0，解得当时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当时,g′(x)<0,g(x)单调递减.于是令h(x)=x-lnx-1,x∈(0,1)，则所以h(x)在(0,1)上单调递减.而h(x)>h(1)=0，因此故g(x)<0不成立．③若p≤0，则g(x)=ln(x+1)-px>ln(x+1)>0，也不成立．综上所述，p的取值范围是[1,+∞)．(2)证明由第(1)小题可知，当p=1时，ln(x+1)<x(x>0)恒成立.故当x>0时，也恒成立，即不等式恒成立．于是，令x=1,2,3,…,n，将各不等式相加得故。