下载文档原格式
多元线性回归——模型、估计、检验与预测⼀、模型假设传统多元线性回归模型最重要的假设的原理为：1. ⾃变量和因变量之间存在多元线性关系，因变量y能够被x1,x2….x{k}完全地线性解释；2.不能被解释的部分则为纯粹的⽆法观测到的误差其它假设主要为：1.模型线性，设定正确；2.⽆多重共线性；3.⽆内⽣性；4.随机误差项具有条件零均值、同⽅差、以及⽆⾃相关；5.随机误差项正态分布具体见另⼀篇⽂章：回归模型的基本假设⼆、估计⽅法⽬标：估计出多元回归模型的参数注：下⽂皆为矩阵表述，X为⾃变量矩阵(n*k维)，y为因变量向量（n*1维）OLS（普通最⼩⼆乘估计）思想：多元回归模型的参数应当能够使得，因变量y的样本向量在由⾃变量X的样本所构成的线性空间G（x）的投影（即y’= xb）为向量y 在线性空间G(x)上的正交投影。
直⽩⼀点说，就是要使得(y-y’)’(y-y’)最⼩化，从⽽能够使y的预测值与y的真实值之间的差距最⼩。
使⽤凸优化⽅法，可以求得参数的估计值为：b = (x’x)^(-1)x’y最⼤似然估计既然已经在假设中假设了随机误差项的分布为正态分布，那么⾃变量y的分布也可以由线性模型推算出来（其分布的具体函数包括参数b在内）。
进⼀步的既然已经抽取到了y的样本，那么使得y的样本出现概率（联合概率密度）最⼤的参数即为所求最终结果与OLS估计的结果是⼀致的矩估计思想：通过寻找总体矩条件(模型设定时已经有的假设，即⽆内⽣性)，在总体矩条件中有参数的存在，然后⽤样本矩形条件来进⾏推导未知参数的解。
在多元回归中有外⽣性假设：对应的样本矩为：最终估计结果与OLS⽅法也是⼀样的。
三、模型检验1.拟合优度检验（1）因变量y是随机变量，⽽估计出来的y’却不是随机变量；（2）拟合优度表⽰的是模型的估计值y’能够在多⼤程度上解释因变量样本y的变动。
（3）y’的变动解释y的变动能⼒越强，则说明模型拟合的越好y-y’就越接近与假设的随机误差（4）⽽因变量的变动是由其⽅差来描述的。
实验报告课程名称金融计量学实验项目名称多元线性回归模型班级与班级代码实验室名称（或课室）专业任课教师xxx学号： xxx姓名： xxx实验日期： 2012年 5 月3日广东商学院教务处制姓名 xxx 实验报告成绩评语：指导教师（签名）年月日说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存多元线性回归模型一、实验目的通过上机实验,使学生能够使用 Eviews 软件估计可化为线性回归模型的非线性模型，并对线性回归模型的参数线性约束条件进行检验。
二、实验内容（一）根据中国某年按行业分的全部制造业国有企业及规模以上制造业非国有企业的工业总产值Y，资产合计K及职工人数L进行回归分析。
（二）掌握可化为线性多元非线性回归模型的估计和多元线性回归模型的线性约束条件的检验方法（三）根据实验结果判断中国该年制造业总体的规模报酬状态如何？三、实验步骤（一）收集数据下表列示出来中国某年按行业分的全部制造业国有企业及规模以上制造业非国有企业的工业总产值Y，资产合计K及职工人数L。
序号工业总产值Y（亿元）资产合计K（亿元）职工人数L（万人）序号工业总产值Y（亿元）资产合计K（亿元）职工人数L（万人）13722.73078.2211317812.71118.814321442.521684.4367181899.72052.1661 31752.372742.7784193692.856113.11240 41451.291973.8227204732.99228.25222 55149.35917.01327212180.232866.6580 62291.161758.77120222539.762545.6396 71345.17939.158233046.954787.9222 8656.77694.9431242192.633255.29163 9370.18363.4816255364.838129.68244 101590.362511.9966264834.685260.2145 11616.71973.7358277549.587518.79138 12617.94516.012828867.91984.5246134429.193785.9161294611.3918626.94218 145749.028688.0325430170.3610.9119 151781.372798.98331325.531523.1945 161243.071808.4433表1（二）创建工作文件（Workfile）。
第七章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验在本章中，继续讨论第五章的模型，但新的模型中，参数β满足J 个线性约束集，R β=q ，矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的，我们考虑不是过度约束的情况，因此，J ＜K 。
带有线性约束的参数的假设检验，我们可以用两种方法来处理。
第一个方法，我们按照无约束条件求出一组参数估计后，然后我们对求出的这组参数是否满足假设所暗示的约束，进行检验，我们在本章的第一节中讨论。
第二个方法是我们把参数所满足的线性约束和模型一起考虑，求出参数的最小二乘解，尔后再作检验，后者就是参数带有约束的最小二乘估计方法，我们在本章的第二节中讨论。
第一节 线性约束的检验 从线性回归模型开始，εβ+=X y （1）我们考虑具有如下形式的一组线性约束，JK JK J J K K K K q r r r q r r r q r r r =+++=+++=+++βββββββββ22112222212111212111这些可以用矩阵改写成一个方程q R =β （2）作为我们的假设条件0H 。
R 中每一行都是一个约束中的系数。
矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的。
因此，J 一定要小于或等于K 。
R 的各行必须是线性无关的，虽然J =K 的情况并不违反条件，但其唯一决定了β，这样的约束没有意义，我们不考虑这种情况。
给定最小二乘估计量b ，我们的兴趣集中于“差异”向量d=Rb －q 。
d 精确等于0是不可能的事件（因为其概率是0），统计问题是d 对0的离差是否可归因于抽样误差或它是否是显著的。
由于b 是多元正态分布的，且d 是b 的一个线性函数，所以d 也是多元正态分布的，若原假设为真，d 的均值为0，方差为R X X R R b Var R q Rb Var d Var ''='=-=-12)(])[(][][σ （3）对H 0的检验我们可以将其基于沃尔德（Wald ）准则：d d Var d J W 12])[()(-'==χ=)(])([)(112q Rb R X X R q Rb -'''---σ （4）在假设正确时将服从自由度为J 的2χ分布(为什么?)。
§5.1 多元线性回归模型及其假设条件 1．多元线性回归模型 多元线性回归模型：εi pi p iiix b xb x b b y +++++= 2211，n i ,,2,1 =2．多元线性回归模型的方程组形式 3．多元线性回归模型的矩阵形式4．回归模型必须满足如下的假设条件：第一、有正确的期望函数。
即在线性回归模型中没有遗漏任何重要的解释变量，也没有包含任何多余的解释变量。
第二、被解释变量等于期望函数与随机干扰项之和。
第三、随机干扰项独立于期望函数。
即回归模型中的所有解释变量Xj与随机干扰项u 不相关。
第四、解释变量矩阵X 是非随机矩阵，且其秩为列满秩的，即：n k k X rank 〈=,)(。
式中k 是解释变量的个数，n 为观测次数。
第五、随机干扰项服从正态分布。
第六、随机干扰项的期望值为零。
()0=u E 第七、随机干扰项具有方差齐性。
()σσ22=u i（常数）第八、随机干扰项相互独立，即无序列相关。
()()u u u u jiji,cov ,=σ=0§5.2 多元回归模型参数的估计建立回归模型的基本任务是：求出参数bb b p,,,,1σ的估计值，并进行统计检验。
残差：yy e iiiˆ-=；残差平方和：Q=()∑-∑==y y e i i ni iˆ212矩阵求解：X=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡x xxx x x x x x pn nnp p212221212111111，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=b b b b p B ˆˆˆˆ210ˆ ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-y y y y n n Y 121 ，()YB X X X ττ1ˆ-=1ˆ2--=p n Qσ要通过四个检验：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型预测检验。
§5.4 多元线性回归模型的检验一、R 2检验1．R 2检验定义R 2检验又称复相关系数检验法。
§5.1 多元线性回归模型及其假设条件 1．多元线性回归模型 多元线性回归模型：εi pi p iiix b xb x b b y +++++= 2211，n i ,,2,1 =2．多元线性回归模型的方程组形式 3．多元线性回归模型的矩阵形式4．回归模型必须满足如下的假设条件：第一、有正确的期望函数。
即在线性回归模型中没有遗漏任何重要的解释变量，也没有包含任何多余的解释变量。
第二、被解释变量等于期望函数与随机干扰项之和。
第三、随机干扰项独立于期望函数。
即回归模型中的所有解释变量Xj与随机干扰项u 不相关。
第四、解释变量矩阵X 是非随机矩阵，且其秩为列满秩的，即：n k k X rank 〈=,)(。
式中k 是解释变量的个数，n 为观测次数。
第五、随机干扰项服从正态分布。
第六、随机干扰项的期望值为零。
()0=u E 第七、随机干扰项具有方差齐性。
()σσ22=u i（常数）第八、随机干扰项相互独立，即无序列相关。
()()u u u u jiji,cov ,=σ=0§5.2 多元回归模型参数的估计建立回归模型的基本任务是：求出参数bb b p,,,,1σ的估计值，并进行统计检验。
残差：yy e iiiˆ-=；残差平方和：Q=()∑-∑==y y e i i ni iˆ212矩阵求解：X=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡x xxx x x x x x pn nnp p212221212111111，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=b b b b p B ˆˆˆˆ210ˆ ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-y y y y n n Y 121 ，()YB X X X ττ1ˆ-=1ˆ2--=p n Qσ要通过四个检验：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型预测检验。
§5.4 多元线性回归模型的检验一、R2检验1．R2检验定义R2检验又称复相关系数检验法。
是通过复相关系数检验一组自变量xx x m,,,21与因变量y 之间的线性相关程度的方法。
第7章含有定性信息的多元回归分析：二值(或虚拟)变量在前面几章中，我们的多元回归模型中的因变量和自变量都具有定量的含义。
就像小时工资率、受教育年数、大学平均成绩、空气污染量、企业销售水平和被拘捕次数等。
在每种情况下，变量的大小都传递了有用的信息。
在经验研究中，我们还必须在回归模型中考虑定性因素。
一个人的性别或种族、一个企业所属的产业（制造业、零售业等）和一个城市在美国所处的地理位置（南、北、西等）都可以被认为是定性因素。
本章的绝大部分内容都在探讨定性自变量。
我们在第7.1节介绍了描述定性信息之后，又在第7.2、7.3和7.4节中说明了，如何在多元回归模型中很容易地包含定性的解释变量。
这几节几乎涵盖了定性自变量用于横截面数据回归分析的所有流行方法。
我们在第7.5节讨论了定性因变量的一种特殊情况，即二值因变量。
这种情形下的多元回归模型具有一个有趣的含义，并被称为线性概率模型。
尽管有些计量经济学家对线性概率模型多有中伤，但其简洁性还是使之在许多经验研究中有用武之地。
虽然我们在第7.5节将指出其缺陷，但在经验研究中，这些缺陷常常都是次要的。
7.1 对定性信息的描述定性信息通常以二值信息的形式出现：一个人是男还是女；一个人有还是没有一台个人计算机；一家企业向其一类特定的雇员提供还是不提供退休金方案；一个州实行或不实行死刑。
在所有这些例子中，有关信息可通过定义一个二值变量(binary variable)或一个0-1变量来刻画。
在计量经济学中，对二值变量最常见的称呼是虚拟变量(dummy variable)，尽管这个名称并不是特别形象。
在定义一个虚拟变量时，我们必须决定赋予哪个事件的值为1和哪个事件的值为0。
比如，在一项对个人工资决定的研究中，我们可能定义female为一个虚拟变Array量，并对女性取值1，而对男性取值0。
这种情形中的变量名称就是取值1的事件。
通过定义male在一个人为男性时取值1并在一个人为女性时取值0，也能刻画同样的信息。
第四节 多元线性回归模型的假设检验根据样本观察值应用最小二乘法对多元线性回归模型进行估计时，与一元线性回归模型一样，必须对拟合优度（在第二节中已经介绍）、回归系数的显著性以及回归方程的显著性进行一系列的检验,在这一节将讨论这一系列问题。
一、 关于个别偏回归系数的假设检验虽然拟合优度2R 度量了估计的回归直线与样本观察值之间拟合程度，但是2R 本身却不能告诉我们估计的回归系数是否在统计上是显著的，也就是否显著不为零。
如果有的回归系数显著不为零，则其对应的解释变量对因变量的影响是重要的，否则就是不重要的，应该把这个解释变量从模型中剔出，重心建立更为简单的模型，因此，必须对回归系数的显著性进行检验。
同一元线性回归模型一样，在多元线性回归模型中，如果随机项i μ和解释变量i X 满足基本假定的要求，同样可以证明参数估计量i b 服从其均值和方差的正态分布。
由于总体方差2σ未知，在第三节中我们已经证明了2σ的无偏估计量为 2ˆσ，因此可用2ˆσ代替2σ，则OLS 估计量i b 服从自由度为)1(--k n 的t 分布，而不是正态分布。
即t )1(~)(---=k n t b S B b i i i （4-4-1） 具体检验步骤如下：1．提出假设：零假设 0H ：i B =0备则假设 1H ：i B ≠02. 在0H 成立的条件下,计算t 统计量t iii i i i C b b S B b σˆ)(=-= （4-4-2） 3．在给定显著性水平α的条件下，查表得临界值)1(2--k n t α4．判断 若t ≥)1(2--k n t α，则拒绝0H ：i B =0，接收1H ：i B ≠0。
这是因为接收1H 的概率保证程度很大，也就是说接收犯错误的概率很小，说明i B 所对应的解释变量i X 对因变量i Y 有显著影响。
若t ≤)1(2--k n t α，则接收0H ：i B =0，即i B 与0的差异不显著，这种情况下，只有接收0H ，犯错误的概率才会小。
可编辑修改精选全文完整版《宏观经济学教程》教材习题参考答案第一章总产出二、分析与思考1，在总产值中包含着中间产品的价值，如果以各部门的产值总和来合算总产出，则会出现重复计算。
2，因为这只是证券资产的交易，在这种交易中获得的利润或蒙受的损失与本期生产无关。
3，可能会，因为销售的产品可能是上年生产的产品。
GDP与GNP应该以后者，即本年生产的最终产品为口径。
因为它是用来衡量国家当年总产出水平的量的。
4，不是，因为个人可支配收入是GNP或GDP中减去折旧、间接税、公司利润、社会保障支付、个人所得税，再加上转移支付得到的。
5，购买住宅属于投资行为，因为西方国家的消费者购买或建造住宅一般都是使用银行贷款，而且住宅也像企业的固定资产一样，是一次购买、长期使用、逐步消耗的。
6，一般中间产品在当期生产中全部被消耗掉，其价值完全包含在产品的销售价格中。
而，固定资产在生产过程中则是被逐步消耗的，计入当期产品生产成本的仅仅是固定资产中部分被消耗掉的价值，即折旧。
7，不是。
因为总支出包括消费，投资，政府购买和净出口，并不只是在消费最终产品上。
8，不是。
总产出包括的是净出口，对外贸易规模大，如果进口大于出口，则总产出规模不会因对外贸易规模大而变大。
9，可以。
因为名义GDP与实际GDP的比率是消费价格平减指数，平减指数可以衡量物价水平变化，所以可用来衡量通货膨胀率。
10，不一定。
因为购买力平价在计算时有样本选择的典型性与权重确定上的困难，不能很好地反映两国货币实际比率。
三、计算题1，解：Y = C + I + G + NXGNP=8000+5000+2500+2000-1500=16000NNP= GNP-折旧NNP=16000-500=15500NI= NNP-间接税NI=15500-2000=13500PI=NI-公司未分配利润-公司所得税和社会保险税 + 政府转移支付PI=13500+500=14000DPI=PI-个人所得税DPI=14000-（3000-2000）=13000第二章 消费、储蓄与投资二、分析与思考1，不包括公共产品的消费。
第七章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验在本章中，继续讨论第五章的模型，但新的模型中，参数β满足J 个线性约束集，R β=q ，矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的，我们考虑不是过度约束的情况，因此，J ＜K 。
带有线性约束的参数的假设检验，我们可以用两种方法来处理。
第一个方法，我们按照无约束条件求出一组参数估计后，然后我们对求出的这组参数是否满足假设所暗示的约束，进行检验，我们在本章的第一节中讨论。
第二个方法是我们把参数所满足的线性约束和模型一起考虑，求出参数的最小二乘解，尔后再作检验，后者就是参数带有约束的最小二乘估计方法，我们在本章的第二节中讨论。
第一节 线性约束的检验 从线性回归模型开始，εβ+=X y （1）我们考虑具有如下形式的一组线性约束，JK JK J J K K K K q r r r q r r r q r r r =+++=+++=+++βββββββββ22112222212111212111这些可以用矩阵改写成一个方程q R =β （2）作为我们的假设条件0H 。
R 中每一行都是一个约束中的系数。
矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的。
因此，J 一定要小于或等于K 。
R 的各行必须是线性无关的，虽然J =K 的情况并不违反条件，但其唯一决定了β，这样的约束没有意义，我们不考虑这种情况。
给定最小二乘估计量b ，我们的兴趣集中于“差异”向量d=Rb －q 。
d 精确等于0是不可能的事件（因为其概率是0），统计问题是d 对0的离差是否可归因于抽样误差或它是否是显著的。
由于b 是多元正态分布的，且d 是b 的一个线性函数，所以d 也是多元正态分布的，若原假设为真，d 的均值为0，方差为R X X R R b Var R q Rb Var d Var ''='=-=-12)(])[(][][σ （3）对H 0的检验我们可以将其基于沃尔德（Wald ）准则：d d Var d J W 12])[()(-'==χ=)(])([)(112q Rb R X X R q Rb -'''---σ （4）在假设正确时将服从自由度为J 的2χ分布(为什么?)。
直觉上，d 越大，即最小二乘满足约束的错误越大，则2χ统计量越大，所以，一个大的2χ值将加重对假设的怀疑。
⎪⎭⎫⎝⎛'⎪⎭⎫ ⎝⎛='=-σεσεσσM ee s K n 222)( （5） 由于σ未知，（4）中的统计量是不可用的，用s 2替代σ2，我们可以导出一个F[J ，（n －K ）]样本统计量，令)/(]/)[(/)(])([)(22112K n s K n Jq Rb R X X R q Rb F ---'''-=--σσ （6） 分子是（1/J ）乘（4）中的W ，分母是1/（n －K ）乘（5）中的幂等二次型。
所以，F 是两个除以其自由度的卡方变量的比率。
如果它们是独立的，则F 的分布是F[J ，（n －K ）]，我们前边发现b 是独立于s 2分布的，所以条件是满足的。
我们也可以直接推导。
利用（5）及M 是幂等的这一事实，我们可以把F 写为)/()]/([])/([/}/)({])([}/)({11K n M M Jb R R X X R b R F -'-'''-=--σεσεσβσβ （7）由于⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛''=--σεσεσβT X X X R b R 1)()(F 统计量是)/(σε的两个二次型的比率，由于M )/(σε和T )/(σε都服从正态分布且它们的协方差TM 为0，所以二次型的向量都是独立的。
F 的分子和分母都是独立随机向量的函数，因而它们也是独立的。
这就完成了证明。
消掉（6）中的两个σ2，剩下的是检验一个线性假设的F 统计量，)/(/)(])([)(11K n e e Jq Rb R X X R q Rb F -'-'''-=-- Jq Rb R X X R s q Rb )(])([)(112-'''-=-- （8）我们将检验统计量Jq Rb R X X s R q Rb K n J F )(}])([{)(],[112-'''-=---和F 分布表中的临界值相比较，一个大的F 值是反对假设的证据。
注意：将wald 统计量中的2σ用2s 去替代，相应的就将J 维的卡方分布转换为维度为（J,n-K ）的F 分布。
第二节 参数带有约束的最小二乘估计 一、带有约束的最小二乘函数在许多问题中，要求其中的未知参数β满足某特定的线性约束条件：R β=q ，这里R 是J ×K 矩阵（J ＜K ），并假定它的秩为J 维向量，常常希望求β的估计βˆ，使得 2}:{2min ˆββββX Y X Y q R -=-= （9）满足条件（9）的称为β的具有线性约束R β=q 的最小二乘估计。
解βˆ的问题实际上是在约束条件 R β=q下求 ∑∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ni mj j ij i x Y X Y f 1212ββ 的限制极值点问题。
这个问题的一个拉格朗日解可写作)(2)()(*q R X y X y S -'+-'-=βλββ解b *和λ将满足必要条件02)(2**='+-'-=∂∂λβR Xb y X S 0)(2**=-=∂∂q Rb S λ展开可以得到分块矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡''q y X b R R X X λ*0 或Wd *=v假定括号中的分块矩阵是非奇异的，约束最小二乘估计量d *=W -1v⎥⎦⎤⎢⎣⎡=λ*bwhere⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=--------------11111111111111)')'(()'()')'(()')'((')'()'()')'((')'()'(R X X R X X R R X X R R X X R R X X X X R R X X R R X X X X W的解。
此外，若X ′X 是非奇异的，则用分块逆公式可以得到b *和λ的显示解)(])([)()')'((')'()')'((')'(')'()')'((')'()(')'()')'((')'(')'()')'((')'(')'()')'((')'(')'(11111111111111111111111111*q Rb R X X R R X X b q R X X R R X X Rb R X X R R X X y X X X q R X X R R X X e Xb X X X R R X X R R X X y X X X q R X X R R X X y X X X R R X X R R X X y X X X b -''''-=+-=++-=+-=--------------------------和)(])([11q Rb R X X R -''=--λ格林和西克斯（1991）表明b *的协方差矩阵简单地就是2σ乘以W -1的左上块，在X ′X 是非奇异的通常情况下，再一次可以得到一个显性公式1111212*)(])([)()(][-----'''''-'=X X R R X X R R X X X X b Var σσ，这样，-=][][*b Var b Var （一个非负定矩阵），Var[b *]的方差比Var[b]小的一个解释是约束条件提供了更多的信息价值。
二、对约束的检验的另一个方法令**Xb y e -=，我们来计算新的离差平方和**e e '。
)()(***b b X e b b X Xb y e --=---=则新的离差平方和是e e b b X X b b e e e e '≥-''-+'=')()(****22~'k n ee -χσ2)(2**~'J k n e e --χσ因为新的模型中参数的个数为k-J 个，J 个榆树条件是原模型中的J 个参数可以被其他k-J 个表示。
（此表达式中的中间项含有X ′e ，它是0）。
这说明我们可以将一个约束检验基于拟合的损失。
这个损失是，)(])([)(11**q Rb R X X R q Rb e e e e -'''-='-'-- 这出现在前边推导的F 统计量的分子上，我们得到统计量的另一个可选形式。
可选形式是)/(/)(],[**K n e e J e e e e K n J F -''-'=-最后，以SST=2)(y y -∑除F 的分子和分母，我们得到第三种形式，)/()1(/)(],[22*2K n R JR R K n J F ---=- 由于两个模型的拟合之差直接体现在检验统计量中，这个形式具有一些直观吸引力。
[实例]对数变换生产函数所有科布—道格拉斯模型的一般化是如下的对数变换模型，εββββββ++++++=2ln ln 2ln 2ln ln ln ln 62524321KL K L K L Y （10）无约束回归的结果在表1中给出。
表1 无约束回归的结果回归标准误差 0.17994 残差平方和 0.67993 R 平方 0.95486 调整R 平方0.94411变量 系数 标准误差 t 值 常数项 0.944216 2.911 0.324 LnL 3.61363 1.548 2.334 LnK－1.89311 1.016 －1.863 L 2ln 21 －0.96406 0.7074 －1.363 K 2ln 21 0.08529 0.2926 0.291 lnL ×lnK 0.31239 0.4389 0.71 系数估计量的估计协方差矩阵常数项 lnL lnK Ln2L/2 Ln2K/2lnL ×lnK常数项 8.472 LnL －2.388 2.397 LnK－0.3313 －1.231 1.033 L 2ln 21 －0.08760 －0.6658 0.5231 0.5004 K 2ln 21 0.2332 0.03477 0.02637 0.1467 0.08562 lnL ×lnK 0.36350.1831－0.2255－0.2880－0.1160 0.1927考虑了约束条件0654===βββ的模型就可以得到科布一道格拉斯模型：εβββ+++=K L Y ln ln ln 321 （11）这是一个条件约束下的无条件的多元线性回归模型。
