向量三点共线定理及其延伸应用汇总

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

向量三点共线定理及其延伸应用汇总1.如何判断三点共线？根据向量三点共线定理，只需判断向量AB和向量AC是否共线即可。

如果它们共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三点A、B、C 共线。

2.判断四点共面问题将四点依次相连，可以形成三个向量：向量AB，向量AC和向量AD。

如果这三个向量共面，则四点A、B、C、D共面。

这可以通过判断向量AB 和向量AC是否共线，以及向量AB和向量AD是否共线来进行。

3.判断平行四边形平行四边形是指具有两对平行的对边的四边形。

如果一个四边形ABCD是平行四边形，那么向量AB和向量CD是共线的，向量AD和向量BC 也是共线的。

因此，可以通过判断向量AB和向量CD是否共线，以及向量AD和向量BC是否共线来判断一个四边形是否为平行四边形。

4.求解向量坐标问题假设已知三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)在坐标平面上，现要求证这三个点共线。

可以将它们看作向量，向量AB=(x2-x1,y2-y1)和向量AC=(x3-x1,y3-y1)。

如果这两个向量共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三个点共线。

5.解决线段相交问题如果已知线段AB和线段CD，在平面上是否相交？可以将线段AB表示为向量AB，线段CD表示为向量CD。

如果向量AB和向量CD共线，那么线段AB和线段CD必定相交；反之，如果不共线，则线段AB和线段CD不相交。

6.判断三角形共线问题已知三角形ABC，如果顶点A、B和C共线，即向量AB和向量AC共线，则三角形ABC退化为一条线段。

7.探索顺、逆时针旋转问题已知三点A、B和C按照顺时针旋转形成的向量AB和向量AC是否共线？如果向量AB和向量AC共线，则这三点按顺时针方向排列；反之，如果不共线，则这三点按逆时针方向排列。

8.求解线段长度问题定理：若O为向量OA与向量OB的中点，则向量OA和向量OB共线且长度相等。

利用这个定理，可以求解线段长度。

向量中“三点共线”结论的推广及应用一、引例：（1）在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →=______AB →+______AC →（2）已知AP →＝43AB →，则OP →=______OA →+______OB → 结论：已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.变式.已知A ，P ，B 是共线的三点，O 为面内任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，若OP tOP '=u u u u v u u u v ，则tm tn +的值为_________二、三点共线例题分析例1．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，求实数p 的值．例2．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值．变式1．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，求m ＋n的值．变式2．如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，求1n ＋1m 的值．变式3．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.例3．已知O 是△ABC 内部一点，)(2PC PB AB +=，求△PBC 与△ABC 的面积之比．变式1．已知O 为三角形ABC 内一点，且满足()1OA OB OC O λλ++-=u u u v u u u v u u u v u v ，若OAB ∆的面积与OAC ∆的面积比值为13，则λ的值为变式2．已知P 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△AOB 与△AOC 的面积之比．。

平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一)对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ,使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二)三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ,存在唯一的一对实数x ,y 使得：OP xO A yOB =+ 且.OP xO A yOB =+ 例题精讲例1设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于()A.OM→B ．2OM→C ．3OM→D ．4OM→例2如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．例3如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB = ,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a = ,AD b = ,则AG =_______例4在△ABC 中，D 是△ABC 所在平面内一点,且AD →＝13AB →＋12AC →,延长AD 交BC 于点E ,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ－μ的值是．练习1．如图,在三角形ABC 中,BE 是边AC 的中线,O 是BE 边的中点,若AB →＝a ,AC →＝b ,则AO →＝()A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 2．(2019·济南调研)在△ABC 中,AN →＝14NC →,若P 是直线BN 上的一点,且满足AP →＝mAB →＋25AC →,则实数m 的值为()A ．-4B ．-1C ．1D ．43．在△ABC 中,13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为()A ．911B ．511C ．311D ．2114．如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝()A ．12AC →＋13AB→B ．12AC →＋16AB→C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB→6．(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ,μ∈R),则52μ－λ＝()A ．－12B ．1C.32D ．－37．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．8．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则APPM＝________．10．点G 是△OAB 的重心,P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点,且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =,OB y OQ =,证明：yx 11+是定值；11．在三角形ABC 中,AM ﹕AB =1﹕3,AN ﹕AC =1﹕4,BN 与CM 相交于点P ,且a AB =,b AC =,试用a 、b表示AP .12．已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,求yx 41+的最小值.PABCMN答案例1答案：D 解析：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →例2解：因为E 为线段AO 的中点，所以BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋1221(⨯BD →)=12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，所以λ＋μ＝12＋14＝34.例3解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG xAE x AC∴=+- , 1133AE AB a == ,AC a b=+ 12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AFλλ∴=+- 1144AF AD b ==，，1(1)4AG a b λλ∴=+-……………………………②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+ 例4解：设AE →＝xAD →，因为AD →＝13AB →＋12AC →，所以AE →＝x 3AB →＋x2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，所以x 3＋x 2＝1，解得x ＝65.又AE →＝λAB →＋μAC →.所以λ＝x 3＝25，μ＝x 2＝35，因此λ－μ＝－15.练习1、答案：D 解析：因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，所以AE →＝12AC →.因为O 是BE 边的中点，所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .2、答案：B解析：根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.3、答案：C 解析：,,B P N 三点共线，又2284111111AP m AB AC m AB AN m AB AN=+=+⨯=+ 8111m ∴+=311m ∴=4、答案：B 解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.5、答案：C 解析：如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6、答案：A 解析：AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因此E ，M ，F 三点共线．所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.因此52μ－λ＝－12.7、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.8、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝2，＝23，所以λ＋μ＝43.9、答案：4解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，因为A 、P 、M 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AP →＝λAM →.又知M 为BC 的中点，所以AP →＝12λ(a ＋b )．因为B 、P 、N 三点共线，所以存在唯一实数μ，使得BP →＝μBN →，又AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋μBN →＝AB →＋μ(AN →－AB →)＝AB →＋－(1－μ)a ＋2μb ，所以12λ(a ＋b )＝(1－μ)a ＋23μb ，μ＝12λ，＝12λ，解得λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，PM →＝15AM →.所以|AP →|∶|PM →|＝4∶1，即APPM＝4.10、证明： 因为G 是OAB 的重心，分析：211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OPx=∴=1OQ yOBOB y=∴= 111111()()3333OG OA OB OQ OG OP OQx y x y ∴=+=+∴=+又,,P G Q 三点共线，11133x y∴+=113x y∴+=11x y∴+为定值311、解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP xAB y AN x y =++=,AN ﹕AC=1﹕4,b AC AN 4141==1444y y x AP xAB AC xa xa b -∴=+=+=+……①又,,C P M 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++=∵AM ﹕AB=1﹕3∴a AB AM3131==，，133AP a b a b μλλλ-∴=+=+ ……………………………②由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩81,11x y y +=∴=321111AP a b∴=+12. 点P 落在ABC 的边BC 上∴B，P,C 三点共线AP xAB y AC=+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y ∴+=+⨯=+⨯+=++=++ x>0,y>040,0y xx y∴>>由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >> 2y x ∴=1x y += 12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9。

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a //),0(,的充要条件是：存在唯一的实数，使ba 由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOAyOB 且1xy。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0xy当点P 在线段AB 之外时，0xy笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OBa OA a OC，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（）A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S ,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP .,，则yx41的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上B ，P,C 三点共线A Px A By1xy　且x>0,y>014141444()1()()145y xy xx y x y xy x yxy x yx>0,y>040,y x xy由基本不等式可知：4424y x y x xyxy，取等号时4y x xy 224yx2y x 0,0x y 2y x 1x y 12,33xy，符合所以yx41的最小值为9点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13ANNC ，点P 是BC 上的一点，若211APmABAC ，则实数m 的值为（）A ．911B.511 C.311 D.211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN8111m311m，故选C例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO ABAC m AB AM ＝，AC nAN1()2AO mAM nAN 22m n AOAMAN又,,M O N 三点共线，由平面内三点共线定理可得：122m n 2m n 例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP，OB y OQ ，证明：yx11是定值；图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OGOAOB OAOB 1OP xOA OA OP x 1OQ yOB OBOQy111111()()3333OGOA OB OP OQ OGOPOQxy x y 又,,P G Q 三点共线，11133xy113xy11xy为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB ,14AFAD ,CE 与BF 相交于G点，记AB a ，ADb ，则AG _______A ．2177abB. 2377ab C. 3177ab D.4277ab分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

向量三点共线定理及其延伸应用汇总首先，我们来证明向量三点共线定理。

假设向量AB和AC共线，则存在一个实数k，使得AB=kAC。

又因为向量的相等意味着它们具有相同的长度和方向，所以AB和AC具有相同的方向，这表明点A、B、C共线。

反过来，假设点A、B、C共线，则可以找到一点O，使得向量OA和向量OB在同一条直线上。

将向量OB-OA=AB记作向量u，以及向量OC-OA=AC记作向量v，则AB=u+(−v)和AC=v，我们可以发现向量u和向量v具有相同的方向，因此它们共线。

在证明了向量三点共线定理之后，我们介绍一些具体的应用。

1.已知两个点A和B的坐标，求过这两点的直线方程假设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个点，我们可以使用向量的三点共线定理来求解过这两点的直线方程。

首先求得向量AB=(x2-x1,y2-y1)，然后选取其中一点作为直线的起点，将AB的坐标代入到直线方程中，可以得到直线的方程。

2.已知三个点A、B和C的坐标，判断它们是否共线可以将向量AB和向量AC进行比较，如果它们的比值相同，则说明向量AB和AC共线，即点A、B、C共线。

这个方法可以使用来判断三个点是否共线。

3.求平面上一个点到一条直线的距离假设直线的方程是Ax+By+C=0，平面上的一个点是P(x0,y0)，我们可以使用向量的方法来求解点P到直线的距离。

首先求得向量n=(A,B)，然后我们可以得到直线上一点Q(x,y)的坐标为Q(x,y)=P+λn，其中λ为实数。

将直线上一点的坐标代入到直线方程中，可以得到λ的值，然后计算点P到直线的距离，即为PQ的模。

4.求平面上一个点到两条直线的距离假设直线的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，平面上的一个点是P(x0,y0)，我们可以使用向量的方法来求解点P到这两条直线的距离。

首先求得向量n1=(A1,B1)和n2=(A2,B2)，然后我们可以得到直线上一点Q1(x,y)的坐标为Q1(x,y)=P+λn1，以及直线上一点Q2(x,y)的坐标为Q2(x,y)=P+μn2，其中λ和μ为实数。

数学中的三点共线定理是平面几何中的重要结论之一，它描述了三个点在同一平面上，且任意两点之间的直线段与第三点所在的直线重合或平行。

具体来说，如果三点A、B、C共线，那么向量AB与AC共线，也就是说任意两点所在直线上的射影与第三点所在的直线重合。

为了证明这个定理，我们可以使用以下步骤：
首先，假设三个点A、B、C不在同一条直线上，那么存在一条直线AB和AC。

根据向量共线定理，存在一个实数λ，使得向量AB和λAC共线。

这意味着向量AB和AC的终点连线与AC平行。

因此，第三点C所在的直线与AB平行或重合。

其次，如果三个点A、B、C在同一条直线上，那么显然它们是共线的。

因为此时任意两点A 和B之间的直线段与第三点C所在的直线重合。

最后，我们需要注意到三点共线的逆命题也是成立的。

如果存在一个实数λ，使得向量AB=λAC，那么A、B、C三点共线。

这是因为此时向量AB和AC的终点连线与AC平行，从而证明了三点共线。

在证明过程中，我们需要使用向量的相关性质和几何中的基本原理。

此外，我们可以使用向量坐标等方法进行更简便的证明。

总的来说，三点共线定理是平面几何中一个重要的基本结论，它为解决许多几何问题提供了有力工具。

希望以上解答能对您有所帮助，如果您还有其他问题，欢迎告诉我。

向量三点共线定理推论向量三点共线定理是向量的重要性质之一。

它是数学中的一条定理，用于判断三个向量是否共线。

在向量几何中，共线指的是一条直线上的所有点，而三点共线则是指三个点共同位于一条直线上。

这个定理在几何推导和问题解决中具有重要的应用价值。

我们来看一下向量三点共线定理的表述：对于三个向量a、b、c，如果存在一个实数k，使得向量c等于向量a乘以k再加上向量b，即c=ka+b，那么这三个向量就共线。

简言之，如果一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合，那么这三个向量就共线。

那么，为什么这个定理成立呢？从几何的角度来理解，向量的线性组合可以看作是对向量进行拉伸和平移的操作。

如果两个向量可以通过拉伸和平移得到第三个向量，那么这三个向量必然共线。

这是因为拉伸只改变向量的长度，平移只改变向量的起点，而不会改变向量的方向。

所以，如果一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合，那么它们必然在同一条直线上。

向量三点共线定理在几何证明和问题解决中有着广泛的应用。

在几何证明中，我们可以利用这个定理来证明某些结论。

例如，如果我们需要证明四个点共线，可以构造其中三个点的向量，然后判断第四个点是否可以表示为这三个向量的线性组合，从而得出结论。

在问题解决中，我们可以利用这个定理来求解一些未知量。

例如，如果我们已知两个点的坐标，并且还知道其中一点还有一个向量，我们可以利用向量三点共线定理来求解另一个点的坐标。

除了向量三点共线定理，还有一些相关的定理和推论可以帮助我们更好地理解和应用向量的共线性质。

例如，如果三个向量共线，那么它们的任意一个非零向量都可以表示为另外两个向量的线性组合。

这个推论可以用来求解向量的线性相关性，从而进一步研究向量的性质和关系。

在实际问题中，向量的共线性质也有着广泛的应用。

例如，在力学中，我们可以利用向量共线性来分析物体的平衡状态。

如果一个物体受到几个力的作用，我们可以将这些力表示为向量，并判断它们是否共线。

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

平面内三点共线的向量表示及其性质应用本文给出了三点共线向量表示的证法探究，以启迪思维和拓展思路之目的，另外又给出了三点共线向 量表示在解题中的应用。

，使得 PC= PA+( 1- )PB . 证法探究：分析： 初看欲证目标，始感实难下手。

我们不妨从结论出发探寻线路，欲 证 PC= PA + (1-) PB ，只需证PC = PA + PB - PBPC - PB = ( PA - PB )BC = BA BC // BA .这样证明思路有了。

证法：•••向量 BC 与向量 BA 共线，• BC = BA ,即 PC - PB = ( PA - PB ),PC = PA +PB - PB ,••• PC = PA + (1- ) PB .证毕，再思考一下实数 的几何意义究竟如何。

考察向量等式BC= BA ，结合图形，易知，当点 C在线段AB 上时，则BC 与BA 同向，有0W < 1;当点C 在线段AB 延长线上时，则 BC 与BA 反向， 有 <0;当点C 在线段BA 延长线上时，则 BC 与BA 同向，有 > 1. 此例题逆命题亦成立，即已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点， 若存在实数 ，，有PC = PA + PB , 且 +=1,则A , B , C 三点共线.故此逆命题可作三点共线判定方法。

为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下： 性质1：已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若 A , B , C 三点共线，则存在实数，使得 PC = PA + (1-) PB .或叙述为：已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若 A , B , C 三点共线，则存在实数，使得 PC = PA + PB ，则有 +=1.性质2 :已知 A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若存在实数， ，有PC= PA + PB ，且 + =1,则 A , B , C 三点共线.三点共线性质在解题中的应用：例1 •如图，在 ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线 AB 、 的两点M 、N ，若AB = mAM , AC =nAN ，则m n 的值为 ________________________ . 1——.解析：连结AO ,因为点O 是BC 的中点，所以有 AO = 1AB mAM2 2 21 1 因为M 、O 、N 三点共线，所以-m -n 1，故m n2 .221 uuir例题：如图，A ，B ，C 是平面内三个点, P 是平面内任意一点，若点 C 在直线AB 上，则存在实数1=1-=，简便求出m n 的值.例2 (湖北省2011届高三八校第一次联考)如图uuir 2,在厶 ABC 中, AN」NC，点P是BC上3的一点，若uuuAPuuu 2 uur mABAC , 则实数m的值为( )11, 9 B_5 小3 r 2A.— c.— D.—11 111 11uuu解：Q B, P,N 三点共线，又Q APuuumAB 2 UULT AC 11UUU 2 mAB— 11UULT 4AN UUU 8 UULT mAB AN 118 3m 1 m ，故选C 11 11 例3 (广东省2015届高三六校联考) 所示: 点G 是厶OAB 的重心,动点，且P 、G 、Q 三点共线•设 OP xOA , OQ yOB , 证明：Q 因为G 是VOAB 的重心, UUL T OG 1 UUU 2(OAUUU QOP uuu xOA UUU 1 UUU OA OP x UULT QOQ UUU yOB UUL T OG1 UUU 3(OA UULT OB) 1 1 uuu 3(XOP1 UULT -OQ) yUULT OG1 UUU OP 3x Q 分别是边OA 、OB 上的 BUUUOB) UU UOB1 证明：- 1 -是定值; 3?O Q又Q P,G,Q 三点共线, 13x例4.如图，在 ABC 中, OC !OA , 4 OD 2OB , OA a,OB AD 与BC 交于M 点，设(I)用a , b 表示OM ； (n)在已知线段 AC 上取一点 ■ - 4 OF qOB .求证：一 7pE , 37q 在线段BD 上取一点 F ，使EF 过点 解析：(I )因为B 、M 、C 三点共线, 1 — — 1 所以存在实数 m 使得OM = mOC (1 pOA ,M •设 0E m)OB=m OA (1 m)OB=— ma (1 m)b ;又因为 A 、M 、D 三点共线，所以存在实数 4 4 n 使得OM =nOA (11 m n, n)OD = na 1(1 n)b •由于a , b 不共线，所以有 42 1 m 弓(1 n), 解得,47, 1 7•故OM = 7(n)因为 1a 3b 7 E 、M 、F 三点共线，所以存在实数 pa (1)qb •结合(I),易得出 (1 使得OM = OE 1 7，消去、 3 )q 7，(1 )OF得, 7P 2 1 • 7q 点评：本题是以a , b 作为一组基底，其他向量都由它们线性表示•解(I) 中的实数,n 的几何意义为：m=^ = 4 |BC| 7 n =1 DM 1 =1, m , n €( o , 1 )；解(n)中的实数 |DA| 7 |FM|FE| 7p例5.如图, AP平行四边形 ABCD 中，点P 在线段AB 上，且 m , Q 在线段ADPB 上，且AQ QD PR n , BQ 与CP 相交于点"，求怎的值. QD解析：设PR =RC冲PR ，则= PC 1 • 1，BR =_1BA .BC+( 1-) BP .因为 APm ，所以BP1 ---- BA ， m 111PB且 BR= ----BC +-p AQ又•••nAD=n BC ， • BQ'BA AQ ，即 BQn BC BA.又••• BRQDn 1n 1n 1与BQ 共线，n 1 =0,解得n1 n 1 (1)(m'(m 1)(n1)'点评：我们先要确定好组基底BA, BC ，看准BR , BQ 如何由它们线性表示；而欲求目标数值， 因 P, R,C三点共线，中途要以 BP,BC 作基底，BR 由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1,得BR =——BC +（ 1 -------------- ）BP ;最终BR 与BQ 都得转化到由BA, BC 两基底线性表示，1 1此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果.例6 （汕头市东山中学 2014届高三第二次模拟考试）所示,在平行四边形 ABCD 中，uuu 1 uuu LULT 1 LULTUUU rUUUT r LULTAE-AB , AF — AD ,CE 与 BF 相交于 G 点，记 ABa ,ADb ，贝U AG3 42 r 1 r2 r3 r3 r 1 r4 r orA. -a 丄匕B. -a -bC. -aD. 4a -b77 77 7777'<■分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很 容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共 线定理求解。

向量三点共线定理及其扩展应用详解一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用一、问题的提出及证明。

1、向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是：.O A xOB yOC =+（O 为平面内任意一点），其中1x y +=。

那么1x y +<、1x y +>时分别有什么结证？并给予证明。

结论扩展如下：1、如果O 为平面内直线BC 外任意一点，则 当1x y +<时 A 与O 点在直线BC 同侧，1x y +>时， A 与O 点在直线BC 的异侧，证明如下： 设 O A xOB yOC =+且 A 与B 、C 不共线，延长OA 与直线BC 交于A 1点 设 1O A O A λ=（λ≠0、λ≠1）A 1与B 、C 共线 则 存在两个不全为零的实数m 、n1OA mOB nOC =+ 且1m n += 则 OA mOB nOC λ=+mnOA OB OC λλ⇒=+mx λ∴=、ny λ=1m nx y λλ++==（1）1λ> 则 1x y +< 则 111OA OA OA λ=<∴A 与O 点在直线BC 的同侧（如图[1]） （2）0λ<,则101x y λ+=<<，此时OA 与1OA 反向A 与O 在直线BC 的同侧（如图[2]）图[2]BCA 1OA OA 1BCA图[1]（3）1o λ<<，则1x y +>此时 111OA OA OA λ=>∴ A 与O 在直线BC 的异侧（如图[3]）图[3]2、如图[4]过O 作直线平行AB ，延长BO 、AO 、将AB 的O 侧区域划分为6个部分，并设OP xOA yOB =+, 则点P 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：（Ⅰ）区：0001x y x y <⎧⎪>⎨⎪<+<⎩ （Ⅱ）区：0001x y x y >⎧⎪>⎨⎪<+<⎩ （Ⅲ）区：0001x y x y >⎧⎪<⎨⎪<+<⎩（Ⅳ）区：0011x y x y >⎧⎪<⎨⎪-<+<⎩ （Ⅴ）区：00x y <⎧⎨<⎩ （Ⅵ）区：0010x y x y <⎧⎪>⎨⎪-<+<⎩（证明略）二、用扩展定理解高考题。

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线A P x AB y =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y ∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y x x y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+ m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+ 22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设x =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值；证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴=1OQ yOB OB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x yx y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量a,b（b^O\a//b的充要条件是：存在唯一的实数2,使心疝由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的0,存在唯一的一对实数x,y使得：OP = xOA + yOB且x+y = l。

特别地有：当点P在线段AB上时，x>0,y>0当点P在线段AB之外时，巧<0笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用，供同行交流。

例1 （06年江西高考题理科第1题）已知等差数列｛窟的前n项和为Sn,若OB =a x OA+a^OC,且A、B、C三点共线，（设直线不过点0）,则鼻二（）A. 100B. 101C. 200D. 201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a’+吐。

二1, ••”缈二沁字血= 100,故选A。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

—►—・---- ► 1 4例2已知P是AABC的边BC上的任一点，且:满足AP = xAB+yAQx.y w R，则一+ —xy 的最小值是—解：•.•点P落在“BC的边BC上.•.B, P,C三点共线••• AP = xAB + yAC :.x+y = \且x>0, y>01 4 J 4X 1 1 4x z x t y 4x . c y 4.v・•.一 + — = (- + —)xl = (- + —)x(x+y)=l + — + — + 4 = 5 + — + —x y x y x y x y x yV x>0, y>0 -.2：>0,—>0 由基本不等式可知：2 + 11>2 gx—=4,取等号时X y X y Vx yy 4 V* "»■»] 2 —=—.•・ y2 = 4x2 /. y = ±2x •/ x>0,y>0 :. y = 2x x+y = \ :.x = -,y = —,符合x y・ 3 ” 3所以丄+ 土的最小值为9 兀y点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.例3 （湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2,在AABC中，丽=1疋，点P是BC上的一点，^AP = mAB + — AC,则实数m的3 11值为（）A 9 n 5 厂3 n 2图2 A. — B. — C. — D.—11 11 11 11解：••• BP N三点共线,乂••• AP = mAB + — AC = mAB + —x 4AN = mAB + —AN11 11 118 3= 1 Hl = -j-y ,故选C例4 (07年江西高考题理科)如图3,在AABC中，点0是BC的中点，过点0的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若丽=mAM , AC = 的值为解：•••因为0是BC的中点，故连接A0,如图4,由向量加法的平行四边形法则可知：皿弓丽+0 ••• AB=mAM , AC = nANAO = — (mAM + nAN):,AO=^AM+!L AN2 2乂三点共线,由平面内三点共线定理可得:分严—2例5 （广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G是△OAB的重心，P、Q分别是边04、OB上的动点，且P、G、Q三点共线.设OP = xOA , OQ = yOB，证明：丄+丄是泄值：x yn证明：•••因为G是△OAB的重心,_ 2 1 - _ 1 _ _OG = -x-(OA + OB) = -(OA + OB)3 2 3OP = xOA•9OA = -OP - OQ = yOB x：.OB = -OQy^OG =L(OA+OB)=L(L OP+丄宛)乂・.・p,G,0三点共线，.•£+存1 .-4+7=3•••士为定值3例6 （汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示, 在平行四边形ABCD中，AE = ^-AB9 AF = -AD,CE与BF相交于G3 4点，i^AB = a, AD = b9则走=人2- 1 72- 3厂「3- 1 rA. —“ + ―彷B. -a + — b C・—a + —Z?7 7 7 7 7 7分析：本题是以平面儿何为背景，为载体, 想到点F、G、B以及E, G,C三点在一条直线上，4 -* 2 厂D. —u + — b7 7求向量的问题，可用平面内三点共线定理求解。

向量系数三点共线在数学中，当三个点的向量系数共线时，它们可以被表示为线性相关的向量。

这意味着这三个点位于同一条直线上。

这个概念在几何学和物理学中都有广泛的应用，让我们来看看为什么这个概念如此重要。

假设我们有三个点A、B和C，它们的向量分别是a、b和c。

如果这三个向量是线性相关的，那么它们可以通过一个非零标量k的线性组合来表示。

也就是说，存在不全为零的实数k1、k2和k3，使得ka + kb + kc = 0。

这个等式可以被解释为一个平面上的几何关系。

我们可以将这三个点看作是平面上的三个向量，它们的起点都位于原点O。

当这三个向量共线时，它们的终点必然位于同一条直线上。

为了更好地理解，让我们考虑一些实际的例子。

假设A、B和C分别是平面上的三个城市，它们的位置可以用向量来表示。

当这三个城市的位置向量线性相关时，意味着它们位于同一条直线上。

这可能表示它们在同一条铁路线或公路上，也可能表示它们在同一条航线上。

另一个例子是在物理学中的应用。

假设我们有一个物体在平面上运动，它的位置可以用向量表示。

当物体的位置向量随时间的变化呈线性相关时，意味着物体在直线上运动。

这是因为物体在直线上的运动可以用一个方向向量和一个位移向量来描述。

这个概念还可以应用于解析几何学中的问题。

例如，在平面上给定三个点的坐标，可以使用向量来判断它们是否共线。

如果这三个点的向量系数共线，那么它们的坐标也必然共线。

向量系数三点共线是一个重要的数学概念，在几何学、物理学和解析几何学中都有广泛的应用。

通过理解和应用这个概念，我们可以更好地理解和描述物体的运动、位置关系以及空间中的几何形状。

希望通过本文的介绍，读者能够对向量系数三点共线有一个更深入的理解。

三点共线的公式范文
三点共线是指三个点在同一条直线上。

要判断三个点是否共线，可以使用向量的方法或者斜率的方法。

1.向量的方法：
设三个点为A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃)，可以将AB和AC的向量表示为：
AB=B-A=(x₂-x₁,y₂-y₁)
AC=C-A=(x₃-x₁,y₃-y₁)
如果AB和AC的向量成比例，则说明三个点共线，即有：
(x₂-x₁)/(x₃-x₁)=(y₂-y₁)/(y₃-y₁)
2.斜率的方法：
设点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃)，可以计算AB和AC的斜率：
斜率AB=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)
斜率AC=(y₃-y₁)/(x₃-x₁)
如果斜率AB和斜率AC相等，则说明三个点共线。

需要注意的是，以上方法仅适用于三个点不在同一条垂线上的情况。

【例题】判断三个点是否共线：
A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)
方法1：向量的方法
AB=(3-1,4-2)=(2,2)
AC=(5-1,6-2)=(4,4)
(2/4)=(2/4)
所以三个点A、B、C共线。

方法2：斜率的方法
斜率AB=(4-2)/(3-1)=2/2=1
斜率AC=(6-2)/(5-1)=4/4=1
所以三个点A、B、C共线。

综上所述，对于任意三个点，只需要使用向量的方法或者斜率的方法进行计算，就可以判断它们是否共线。