1.2应用举例—测量高度-学案

1．2 应用举例(三)[学习目标] 1.能够运用正、余弦定理解决测量角度的实际问题.2.能够运用正、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题.3.把握三角形的面积公式的简洁推导和应用．[学问链接]前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持肯定的航速和航向呢？ [预习导引] 1．方位角从指北方向线顺时针转到目标方向线的水平角． 2．方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. 3．三角形常用面积公式 (1)三角形面积公式S ＝12ah .(2)三角形面积公式的推广 S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．要点一 测量角度问题例1 如图，在海岸A 处发觉北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私103海里/时的船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃跑．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里， 在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.∴BC ＝6海里．又∵BC sin A ＝ACsin ∠ABC ，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t ＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶． 又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题肯定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后依据条件，画出示意图，转化为三角形问题．跟踪演练1 甲船在A 点发觉乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里，B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝ACsin B得：sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°. ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.故甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 要点二 三角形的面积公式的拓展例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由于角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且B ＝π3，cos A ＝45，所以C ＝2π3－A ，sin A ＝35.于是sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310.又由于B ＝π3，b ＝3，所以在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝65.于是△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350. 规律方法 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，使之转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要留意方程思想在解题中的应用，另外也要留意三个内角的取值范围，以避开由三角函数值求角时消灭增根． 跟踪演练2 在△ABC 中，c ＝22，a >b ，tan A ＋tan B ＝5，tan A ·tan B ＝6，试求a ，b 及△ABC 的面积． 解 ∵tan A ＋tan B ＝5，tan A ·tan B ＝6，且a >b ， ∴tan A ＝3，tan B ＝2，A ，B 都是锐角．∴sin A ＝31010，cos A ＝1010，cos B ＝55，sin B ＝255，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得，a ＝6105，b ＝855. S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6105×855×22＝245.要点三 三角形的面积公式的应用例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．解 (1)由题意可知12ab sin C ＝34×2ab cos C .所以tan C ＝3，由于0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－A －π3 ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤3(0<A <2π3)． 当A ＝π3，即△ABC 为等边三角形时取等号，所以sin A ＋sin B 的最大值为 3.规律方法 题目条件或结论中若涉及三角形的面积的综合题，除依据题意机敏选用三角形的面积公式外．不少还要用到正、余弦定理及三角函数、三角恒等变换、方程等学问．跟踪演练3 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．解 (1)由于cos B ＝45，B ∈(0°，180°)，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103， 所以a ＝53.(2)由于△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40.所以a ＋c ＝210.1．一艘海轮从A 处动身，以40 n mile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 n mileB ．10 3 n mileC ．20 2 n mileD ．20 3 n mile 答案 A解析 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝105°， AB ＝40×12＝20(n mile)．∴∠BCA ＝45°. ∴由正弦定理可得 AB sin 45°＝BCsin 30°. ∴BC ＝20×1222＝102(n mile)．2．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12 D ．4答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π， ∴R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.3．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 23解析 ∵cos C ＝13，C ∈(0，π)，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 4．如图，两座灯塔A 和B 与海洋观看站C 的距离都是2千米，灯塔A 在C 的北偏东20°方向，灯塔B 在C 的南偏东40°方向，则灯塔A 与灯塔B 的距离为______千米． 答案 23解析 AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB＝22＋22－2×2×2×(－12)＝2 3.1.在求解三角形中，我们可以依据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必需检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种状况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先争辩，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．一、基础达标1．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危急区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危急区内的时间为( ) A ．0.5 h B ．1 h C ．1.5 h D ．2 h 答案 B解析 设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km 时，AP ＝x ，在△ABP 中， PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0.设该方程的两根为x 1，x 2，则P 点的位置有两处，即P 1，P 2.则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20，即P 1P 2＝20，故t ＝P 1P 2v ＝2020＝1.故选B.2．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的大小为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C ．由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45° .3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( ) A ．40 3 B ．20 3 C ．40 2 D ．202 答案 A解析 设另两边长为8x,5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2.两边长是16与10，三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.4．△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为________． 答案 49解析 由12bc sin A ＝2203，∴c ＝55，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401.∴a ＝49.5．在△ABC 中，若其面积S ＝a 2＋b 2－c 243，则角C ＝________.答案 π6解析 由已知得a 2＋b 2－c 243＝12ab sin C ，∴sin C ＝a 2＋b 2－c 223ab ＝33cos C ，即tan C ＝33.又角C 是△ABC 的内角，∴C ＝π6.6．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，求△ABC 的面积． 解 由正弦定理，得7sin 120°＝5sin C ，∴sin C ＝5314，且∠C 为锐角(∠A ＝120°)．∴cos C ＝1114.∴sin B ＝sin(180°－120°－∠C )＝sin(60°－∠C )＝32cos C －12sin C ＝32×1114－12×5314＝3314.∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×5×7×3314＝1534.7．甲船在A 处观看到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a n mile ，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的3倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?解 如图所示，设两船在C 处相遇，并设∠CAB ＝θ， 乙船行驶距离BC 为x n mile ， 则AC ＝3x ，由正弦定理得sin θ＝BC ·sin 120°AC ＝12，而θ<60°，∴θ＝30°，即∠ACB ＝30°，AB ＝BC ＝a .答 甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile. 二、力量提升8．在△ABC 中，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝154，则b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 C解析 依题意得，c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a ×14＝4a 2，所以b ＝c ＝2a .由于B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝154，又S △ABC ＝12ac sin B ＝12×b 2×b ×154＝154，所以b ＝2，选C. 9．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西处40°，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为________ km. 答案6－1解析 由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×(－12)，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.10．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．解 ∵tan B ＝12>0，∴B 为锐角．∴sin B ＝55，cos B ＝255. ∵tan C ＝－2<0，∴C 为钝角． ∴sin C ＝255，cos C ＝－55.∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝55·⎝⎛⎭⎫－55＋255·255＝35. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2sin A sin B sin C ＝2R 2×35×55×255＝1.∴R 2＝2512，R ＝536.∴πR 2＝2512π，即外接圆的面积为2512π.∴a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153， c ＝2R sin C ＝2153.11．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心马上把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，∴BC ＝207. 由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC，sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝217.∵∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB ＝277.∴cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30° ＝277×32－217×12＝2114. 三、探究与创新12．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，马上测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇马上以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间． 解 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t ，在△ABC 中，依据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°， 整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝BC sin 120°AB ＝10×32103＝12，所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.。

课题：应用举例课型：新授编号：03 时间：2011-9-8【学习目标】1.掌握用正弦定理、余弦定理解任意三角形的方法；2.会利用数学建模的思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题。

【学习重难点】重点是培养应用意识和实践能力，难点是实际问题数学化，利用解三角形解决相关实际问题。

课前自主预习【知识梳理】1.基本概念（1）在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，视线在水平线的角称为。

（2）把指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角叫方位角。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角，如北偏东600 。

2.距离问题（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题。

这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题，用就可解决问题。

（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题。

首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题。

3.高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物到一个的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。

3.角度问题测量角度就是在三角形内利用和求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角。

【基础自测】1.如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时最适合用数据（）A.ba,,α B.a,,βα C.γ,,ba D.ba,,β2.若P在Q的北偏东440，则Q在P的（）A.东偏北460B.东偏北440C.南偏西440D.西偏南4403.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东200 ，灯塔B在观测站C的南偏东400，则两塔的距离为。

4.在某次测量中，在A处测得同一平面上得B点仰角是600，C点的仰角为700，则B A C∠等于。

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1.2。

2 解决有关测量高度的问题一、知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.二、过程与方法本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导—-讨论—-归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.三、情感态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力。

教学重点1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力．日常生活中的实例体点现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外,特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程．教学难点能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件；教学准备直尺和投影仪教学过程导入新课师设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题.推进新课【例1】AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．[合作探究]师这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢？生 要求建筑物AB 的高，我只要能把A E 的长求出来,然后再加上测角仪的高度E B 的长就行了.师 对了，求AB 长的关键是先求A E ，那谁能说出如何求A E ？生 由解直角三角形的知识，在△ADC 中,如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出A E 的长．师 那现在的问题就转化成如何去求CA 的长，谁能说说？生 应该设法借助解三角形的知识测出CA 的长．生 为了求CA 的长，应该把CA 放到△DCA 中，由于基线DC 可以测量，且β也可以测量,这样在△DCA 中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出CA 的长．解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β,CD = A ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中,根据正弦定理可得)sin(sin βαβ-=a AC ，AB =A E+h=ac sinα+h=)sin(sin sin βαβα-a +h 。

测量高度幼儿园教案教学目标1.让幼儿能够理解高度的概念，并能够用常用的长度单位进行测量。

2.培养幼儿的观察能力，让他们能够观察、比较和分类不同物体的高度。

3.激发幼儿的好奇心和探究欲，让他们能够自主探索和尝试。

4.培养幼儿良好的礼仪意识和团队合作精神。

教学准备1.高低不同的小玩具（如车、飞机、动物等）。

2.一支尺子或者一支卷尺。

3.一张图纸或者一块黑板。

教学过程第一步：介绍高度的概念1.让幼儿观察班级内的物品，如课桌、椅子、书架等，询问他们这些物品有什么不同之处。

2.引导幼儿注意到这些物品都有一个共同的特征：它们都有高度。

3.解释什么是高度，以及高度的表现形式。

可以通过比如“这个小车有多高？”这个问题来让幼儿理解高度的概念。

第二步：测量高度1.通过比较班级内的不同物品，让幼儿发现他们的高度不同。

2.拿出尺子或者卷尺，向幼儿们展示如何测量物品的高度，让他们按照相同的方法尝试测量不同的物品的高度。

3.引导幼儿尝试使用常见的长度单位进行测量（如米、厘米、分米等），并理解它们之间的转换关系。

第三步：比较高度1.让幼儿以小组的形式合作，选择两个物品进行比较它们的高度。

2.引导幼儿讨论，分享各自测量的过程和结果，从而比较他们之间的高度大小。

3.让幼儿记录下测量结果，并将结果汇总在图纸或黑板上，比较不同物品之间的高度关系。

第四步：创意活动1.让幼儿自由选择不同的小玩具，用尺子或卷尺进行测量，记录下它们的高度信息。

2.引导幼儿创意地运用测量结果，实现想象力和创造力。

例如，让幼儿进行玩具飞机比赛，竞选最高的飞机，或者让幼儿建立一个高度排行榜。

3.在活动结束后，让幼儿分享他们的经验和创造性，在班级中引起欢乐的氛围。

教学总结通过本次课程的学习，幼儿们学习了高度的概念和测量方法，并能够用常见的长度单位进行测量。

同事，培养了幼儿的观察能力、创造性和团队合作精神。

对于今后的探究性学习上也有极大的参考意义。

高中测量高度问题教案教案标题：高中测量高度问题教案教案目标：1. 了解测量高度的基本概念和相关术语；2. 掌握使用三角函数和三角比例解决测量高度问题的方法；3. 培养学生的观察、测量和解决问题的能力；4. 提高学生的数学思维和推理能力。

教学步骤：引入活动：1. 引导学生回顾三角函数和三角比例的相关知识，例如正弦定理、余弦定理等；2. 提出一个实际问题，例如如何测量某个高楼的高度，引发学生思考。

知识讲解：1. 介绍测量高度的基本概念和术语，如水平线、垂直线、水平距离、观察角等；2. 解释使用三角函数和三角比例解决测量高度问题的原理和方法；3. 通过示例演示如何应用三角函数和三角比例计算高度。

实践活动：1. 将学生分成小组，每个小组选择一个高楼或其他高度测量的对象；2. 让学生观察并记录测量对象的相关数据，例如观察角度、水平距离等；3. 引导学生运用所学的知识和方法，计算出测量对象的高度；4. 学生互相交流和比较结果，讨论可能存在的误差和改进方法。

总结反思：1. 引导学生总结本节课所学的测量高度的方法和技巧；2. 让学生思考在实际应用中可能遇到的问题和困难；3. 鼓励学生提出自己的解决方案和改进建议。

延伸拓展：1. 提供更复杂的测量高度问题，让学生进一步应用所学的知识和方法；2. 鼓励学生进行实地测量，例如测量学校楼、树木等的高度；3. 引导学生进行相关研究，了解测量高度在不同领域的应用，如建筑、地质等。

教学评估：1. 观察学生在实践活动中的表现，包括观察和测量的准确性、计算的正确性等；2. 收集学生的解决问题的思路和方法，评估其数学思维和推理能力；3. 针对学生的表现和问题，给予及时的反馈和指导。

教学资源：1. 教材：高中数学教材相关章节；2. 工具：测量工具（如测量尺、测角器等）、计算器、投影仪等；3. 实践材料：高楼、树木等测量对象。

教学延伸：1. 教师可以邀请专业人士或相关领域的专家来讲解测量高度的应用案例，增加教学的实用性；2. 学生可以利用计算机软件或在线工具进行测量高度的模拟实验，加深对概念和方法的理解。

九年级数学下册测量物体的高度教案教学目标：1. 知识与技能：学生能够理解测量的基本概念，掌握测量物体高度的方法和技巧。

2. 过程与方法：学生能够运用不同的测量工具和方法来测量物体的高度，提高实际操作能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生的观察能力、思考能力和团队协作能力，激发学生对数学和科学的兴趣。

教学内容：第一章：测量概述1.1 测量的概念与意义1.2 测量工具的分类与使用第二章：测量物体的高度2.1 直接测量法2.2 间接测量法2.3 测量误差与精确度第三章：测量工具的使用技巧3.1 卷尺的使用方法3.2 标杆的使用方法3.3 测量仪器的使用方法第四章：实际物体高度的测量4.1 室内物体高度的测量4.2 室外物体高度的测量4.3 特殊物体高度的测量第五章：测量数据的处理与表达5.1 测量数据的整理与分析5.2 测量结果的表示方法教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际操作来解决问题，培养学生的实践能力。

2. 利用多媒体教学资源，展示不同测量工具的使用方法和实际测量场景，增强学生的直观感受。

3. 组织学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

教学评价：1. 通过课堂提问和小组讨论，评估学生对测量概念的理解和掌握程度。

2. 通过实际操作和测量任务，评估学生的测量技能和实际应用能力。

教学资源：1. 测量工具实物（如卷尺、标杆、测量仪器等）。

2. 多媒体教学课件和视频资料。

3. 测量任务手册和测量报告模板。

教学步骤：1. 导入：通过展示实际场景，引发学生对测量物体高度的兴趣和好奇心。

2. 讲解：介绍测量的概念和意义，讲解不同测量工具的使用方法和技巧。

3. 示范：进行实际测量操作，展示测量物体高度的步骤和注意事项。

4. 实践：学生分组进行实际测量任务，运用所学知识和技能进行操作。

5. 讨论：学生分组讨论测量结果，总结测量过程中的问题和解决方法。

6. 总结：教师引导学生总结测量物体高度的方法和技巧，强调测量误差和精确度的重要性。

张喜林制1.2 应用举例教材知识检索考点知识清单1．解三角形应用问题的基本思路： 实际问题 → →实际问题． 2．解三角形应用问题的一般步骤：(1)准确理解题意，分清已知与所求； (2)根据题意画出示意图；(3)建立数学模型，合理运用 求解，并作答.要点核心解读1．正弦定理、余弦定理的应用问题中的名词、术语(1)仰角与俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫 仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图1-2 -1①所示，角α为仰角，角β为俯角． (2)方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角，如东c45南（或东南方向），是指由正东方向向南偏,45o 如图1-2 -1②中.45o=α(3)方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如图1-2 -1③中的角.α(4)坡角：坡面与水平面的夹角，如图1-2 -1④中的角.α (5)坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即==lhi i (tan α为坡比，α为坡角），如图1-2 -1④，正确认识上述有关角的概念有助于正确地理解实际问题，是解斜三角形实际应用问题时不可缺少的知识．2．正弦定理、余弦定理应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的量．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的量．(3)实际问题抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由已知条件解三角形时，需选择使用正弦定理或余弦定理去求问题的解． 3．建模思想解斜三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形边、角的大小，从而得出实际问题的解，这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：4．正弦定理、余弦定理应用问题的解题步骤(1)准确理解题意，分清已知与所求。

数学下册《测量物体的高度》教案第一章：引入测量概念1.1 课程目标：让学生了解测量物体高度的意义和基本方法。

1.2 教学内容：引入测量的概念，让学生通过实际操作，了解测量物体高度的重要性。

1.3 教学方法：采用直观演示法，让学生通过观察和实际操作，理解测量物体高度的方法。

1.4 教学步骤：1.4.1 导入：通过提问方式引导学生思考测量物体高度的意义。

1.4.2 演示：教师通过实际操作，展示测量物体高度的方法，如使用尺子、卷尺等工具。

1.4.3 学生操作：学生分组进行实际操作，测量不同物体的高度，并记录结果。

1.4.4 分享：学生分享自己的测量结果，讨论测量方法的可行性和准确性。

1.5 作业布置：让学生在家中寻找不同物体，使用测量工具测量其高度，并记录在作业本上。

第二章：使用尺子测量高度2.1 课程目标：让学生学会使用尺子测量物体高度的方法。

教授使用尺子测量物体高度的正确方法。

2.3 教学方法：采用示范法，让学生通过观察和实践，掌握使用尺子测量高度的技巧。

2.4 教学步骤：2.4.1 导入：回顾上一章的内容，引导学生思考测量物体高度的方法。

2.4.2 示范：教师示范使用尺子测量物体高度的正确方法，强调注意事项。

2.4.3 学生操作：学生分组进行实际操作，使用尺子测量不同物体的高度，并记录结果。

2.4.4 分享：学生分享自己的测量结果，讨论测量方法的可行性和准确性。

2.5 作业布置：让学生在家中使用尺子测量不同物体的高度，并记录在作业本上。

第三章：使用卷尺测量高度3.1 课程目标：让学生学会使用卷尺测量物体高度的方法。

3.2 教学内容：教授使用卷尺测量物体高度的正确方法。

3.3 教学方法：采用示范法，让学生通过观察和实践，掌握使用卷尺测量高度的技巧。

3.4.1 导入：回顾前两章的内容，引导学生思考测量物体高度的方法。

3.4.2 示范：教师示范使用卷尺测量物体高度的正确方法，强调注意事项。

3.4.3 学生操作：学生分组进行实际操作，使用卷尺测量不同物体的高度，并记录结果。

1．2 应用举例(二)[学习目标] 1.能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关底部不行到达的物体高度测量的问题.2.巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的争辩、探究习惯.3.进一步培育同学学习数学、应用数学的意识及观看、归纳、类比、概括的力量．[学问链接] 现实生活中，人们是怎样测量底部不行到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？要点一 测量仰角求高度问题例1 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由AB sin 15°＝ADsin 45°， 得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)．即山的高度为800(3＋1) m.规律方法 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都依据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解． 跟踪演练1 如图，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选一基线AB ，AB ＝20 m ，在A 点处测得P 点仰角∠OAP ＝30°，在B 点处测得P 点的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度h .(结果保留两个有效数字)解 在Rt △AOP 中，∠OAP ＝30°，OP ＝h ， ∴OA ＝OP ·1tan 30°＝3h .在Rt △BOP 中，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ·1tan 45°＝h .在△AOB 中，AB ＝20，∠AOB ＝60°，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2×OA ×OB ·cos 60°， 即202＝(3h )2＋h 2－2·3h ·h ·12，解得h 2＝4004－3≈176.4，∴h ≈13(m)．答 旗杆高度约为13 m. 要点二 测量俯角求高度问题例2 如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD . 解 在△ABC 中， ∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α， ∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β. 依据正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β ＝h cos αsin βsin (α－β).答 山的高度为h cos αsin βsin (α－β).规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练2 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 答案 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303，BC ＝30tan 45°＝30，C ＝30°， AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30. 要点三 测量方位角求高度问题例3 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，求塔AB 的高度．解 在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理，得BC sin 45°＝CDsin 30°， BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC tan 60°＝10 6. 答 塔AB 的高度为10 6 m.规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练3 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.答案 30 2解析 如图，由已知条件， 得AC ＝60 km ，∠BAC ＝30°， ∠ACB ＝105°，∠ABC ＝45°.由正弦定理得BC ＝AC sin ∠BAC sin B＝302(km)1．已知两座灯塔A ，B 与海洋观看站C 的距离相等，灯塔A 在观看站C 的北偏东40°，灯塔B 在观看站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10° B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B解析 如右图，因△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( ) A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米D ．22h 米答案 A解析 如图所示， BC ＝3h ， AC ＝h ， ∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h (米)．3．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________. 答案 20 3 m ，4033 m 解析 甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203； 乙楼的高为203－20tan 30°＝203－20×33＝4033.1.在争辩三角形时，机敏依据两个定理可以查找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．2．测量底部不行到达的建筑物的高度问题．由于底部不行到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．一、基础达标1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( ) A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33 mB ．20⎝⎛⎭⎫1＋32 mC ．20(1＋3) mD ．30 m答案 A解析 如图，h ＝20tan 30°＋20tan 45°＝20⎝⎛⎭⎫1＋33(m)，故选A.2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，连续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A ．200 m B ．300 m C ．400 m D ．100 3 m 答案 B解析 法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300，故选B. 法二 由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos 2θ，即300＝2003cos 2θ.cos 2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300，故选B.3．一架飞机在海拔8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m. 答案 5 856.4 解析 宽＝8 000tan 30°－8 000tan 45°＝5 856.4(m)． 4．为测量某塔的高度，在A ，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．解 在△ABT 中，∠ATB ＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT ＝90°＋18.6°，AB ＝15(m)． 依据正弦定理，AB sin 2.8°＝ATcos 18.6°，AT ＝15×cos 18.6°sin 2.8°.塔的高度为AT ·sin 21.4°＝15·cos 18.6°sin 2.8°sin 21.4°≈106.19(m)．所以塔的高度为106.19 m.5．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D处时，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°. 求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24 (n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile. (2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°＝192， 解得CD ＝8 3 n mile.即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile. 二、力量提升6．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15 mB ．5 mC ．10 mD ．12 m答案 C解析 如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h . 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ， 即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°， ∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)．7．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔在这次测量中的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m 答案 D解析 由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ， 在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD 得，3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解之得h ＝500 m ．故选D. 8．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高h ＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α).解 在△ABP 中，∠ABP ＝180°－γ＋β，∠BP A ＝180°－(α－β)－∠ABP ＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α. 在△ABP 中，依据正弦定理，AP sin ∠ABP ＝AB sin ∠APB ，AP sin (180°－γ＋β)＝αsin (γ－α)，AP ＝a ×sin (γ－β)sin (γ－α)所以山高h ＝AP sin α＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α).9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.摸索究图中B 、D 间距离 km ，2≈1.414，与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01 6≈2.449).解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，∴CD ＝AC ＝0.1，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，∴BD ＝BA ，在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620.因此，BD ＝32＋620≈0.33 km ，故B 、D 的距离约为0.33 km.三、探究与创新10．为保障高考的公正性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点四周1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的大路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿大路行驶，问最长需要多少分钟检查员开头收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解 如图所示，考点为A ，检查开头处为B ， 设大路上C ，D 两点到考点的距离为1千米． 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732(千米)，AC ＝1(千米)， ∠ABC ＝ 30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°， ∴BC ＝AC ＝1(千米)，在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)．∵BC12×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．所以最长需要5分钟检查员开头收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．。