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第四章平面问题有限元分析及程序设计

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有限元分析——平面问题

有限元分析——平面问题

Re=
NT
s
Pstds
江西五十铃发动机有限公司
技术中心 12 /33
4、整体分析 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
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技术中心 4 /33
σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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技术中心 9 /33
重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
技术中心 5 /33
根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1

第4章 平面问题的有限元法-4收敛准则

第4章 平面问题的有限元法-4收敛准则
1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 7 9 11 13
8
9 10 11 12 13 14
2
4
6
8 10 12 14
(a)
(b)
图4-13
四. 单元节点i、j、m的次序 在前面章节中，我们曾指出，为了在计算中保证单元的 面积 不会出现负值，节点i、j、m的编号次序必须是逆时 针方向。事实上，节点i、j、m的编号次序是可以任意安排 的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对取绝对值，即可 得到正确的计算结果。在实际计算时，应该注意所选有限元 分析软件的使用要求。 五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 在前面讨论整体刚度矩阵时，已经提到，整体刚度矩阵 的奇异性可以提高考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位 移，以达到求解的目的。
B =2(d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最 多为N =2nB = 4n(d+1) 其中：d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。 例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点 总数都等于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a) 是按长边进行编号， d =7， N =488；而(b)是按短边进行 编号，d =2，N =168。显然(b)的编号方式可比(a)的编号 方式节省280个存储单元。
为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三 个条件，即 ⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当 节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生 应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力 ，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起 单元刚体位移的能力。 例如，三角形三节点单元位移模式中，常数项1、4 就 是用于提供刚体位移的。 ⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变 一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标 位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位 置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，

弹性力学与有限元分析-第四章 平面问题有限元分析及程序设计

弹性力学与有限元分析-第四章 平面问题有限元分析及程序设计
有限单元法及程序设计
第四章 平面问题有限元分析及程序设计
§4.1 平面问题单元离散 §4.2 平面问题单元位移模式 §4.3 平面问题单元分析 §4.4 平面问题整体分析 §4.5 平面问题有限元程序设计
有限元网格划分的基本原则
• 网格数目 • 网格疏密 • 单元阶次 • 网格质量 • 网格分界面和分界点 • 位移协调性 • 网格布局 • 结点和单元编号 • 网格自动剖分
f
y
面力
f
f y
xy
xy
基本量和方程的矩阵表示
位移
d
u
v
物理方程 简写为
x y
xy
E
1 2
1
0
1
0
0 0
x y
1
xy
2
D
§4.2 单元位移模式
几何方程：
ux
v y
xvuyT
只要知道了单元的位移函数，就可由几何方程求出应变，再由物理 方程就可求出应力。
（1）位移模式必须能够反映单元的刚体位移； （2）位移模式必须能够反映单元的常应变；
必要条件
（3）位移模式尽可能反映位移的连续性；
u12x3y12x5 23y5 23y v4 5x6y46y5 23x5 23x
u0 1
v0 4
5 3
2
刚体平动
刚体转动
充分条件
u
v
u0 v0
y x
作业： P141 6-1
u12x3y N iuiNjujN m um
其中， N i 、N j 、N m 是系数，是 x、 y 的线性函数；
可以求得：
N i a i b ix ciy2A (i, j, m )

有限元分析及应用第四章

有限元分析及应用第四章

则称ϕ1、ϕ２Lϕ n 线性相关；
(ii) 若 c1ϕ1 + c2ϕ 2 + L + cnϕ n ≡ 0
仅当
c1
才成立，则称
ϕ=1c、2
=L= ϕ２Lϕ
cn
n
≡0
线性无关。
（２） 线性空间的维数
若线性空间Ｅ满足
（i）任意 n+1 个元素一定线性相关。
（ii）存在着 n 个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ的维数为 n。
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosα ≤ a ⋅ b
上式为 Euclid 空间的三角不等式，此式仅是 Schwarz 不等式的一个特例。 ５、收敛性与完备性 （1）收敛性
∀ 点列{xn } ∈E（赋范线性空间），若存在
lim xn − x0 = 0
n →∞
则，x0 称为点列{xn }的强极限，读作：{xn }强收敛于 x0 ，注意模的定义不同收敛的涵
c1ϕ1 + c2ϕ 2
c1ϕ1′ + c2ϕ 2′
第 1 页 共 17 页
有限元分析与应用
霍战鹏
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成一种线性空
间，记作 C1[a, b]。 例４ Rn n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空
形的项点为结点，以结点处的函数值对单元内的位移场进行分片线性插值。根据第 3-4 节的
分析可知，对于这样定义的函数 u(x,y)在Ω上连续，且积分
y
∫∫ ∫∫ ∫∫ Ω
u 2dxdy
、
Ω
∂u ∂x
2 dxdy
、
Ω

有限元分析第四章

有限元分析第四章

19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )

有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.3程序设计,2.4矩形单元,2.5六节点三角形单元)

有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.3程序设计,2.4矩形单元,2.5六节点三角形单元)

2.3 平面问题有限元程序设计一、程序设计方法与结构分析程序的特点1．程序设计方法论简述借助计算机来完成某项工作，通常都要先编写相应的计算机程序，或叫程序设计。

完成一个结构分析或结构CAD系统也必然要经过程序设计才能实现。

程序设计要使用专门的程序语言。

我国结构程序设计中所采用的语言，在60年代和70年代初以ALGOL语言为主。

此后逐步广泛使用的主要是BASIC语言和FORTRAN语言，随着CAD 和人工智能技术的发展，PASCAL、 C、LISP、 PROLOG等有着各自特长的程序语言也逐步进入土木工程领域的计算机程序设计中。

过去人们通常认为，程序设计的中心问题就是学会使用一种程序语言，用以编写程序。

然而学会用程序语言编程只是整个程序设计中的一部分。

据有关资料介绍，编写程序在整个系统的研制过程中仅占15％的工作量。

在一个大型程序系统的整个存在阶段的工作量中，在系统投入使用后的维护工作量为原来研制工作量总和的两倍（这一点在作者所从事的软件开发工作中也得到充分的证明）。

维护工作量是如此之高，这就使我们必须注意到，在程序研制阶段便即应当考虑为以后的维护工作提供方便，哪怕是为此要增加一些额外的工作量也是值得的。

要编制一个好的程序系统并没有一种绝对的规则，就象是工程设计没有一种绝对规则一样。

但对于程序设计的好坏现在已逐渐形成了一套评价的客观标准。

这些标准大致分为以下几个主要方面：(1) 程序的可读性;(2) 正确性与可靠性;(3) 使用方便且效率高;(4) 软件的可移置性;(5) 易于调试与维护。

直到1970年代中期人们才认识到软件的维护是软件研究的一个关键领域。

造成软件维护工作量大的原因之一是与程序研制过程中所采用的设计方法不够科学化有关。

为了解决这一问题，人们开展了对于程序设计方法论的研究与实践，其目标是使软件正确、可靠和降低整个软件研制活动的费用。

总的来说，程序设计已从强调灵活的技巧和局部效率向着强调程序结构化和整体功能的方向发展。

4.5.14.5平面问题有限元分析步骤及计算实例


K
88
K 12 11 K21 1
K 12 31
K41 2
K22 1 K32 1
K 12 33
K43 2
K
44
2
由于[Krs]=[Ksr]T，又单元1和单元2的节点号按1、2、
3对应3、4、1，则可得：
K11 1
K33 2
3E 16
3 0
0 1
K21 1 K43 2
K12 1
3E 8
3 1 0
0 0 1
3 1 1
1 3 1
0 0 1
013
q/E 0
q/E 0
3E 8
8q
0 /(3E) 0
0 q1
0
0
单元应力可看作是单元形心处的应力值。
7）引入约束条件，修改刚度方程并求解
根据约束条件：u1 =v1=0；v2=0；u4=0和等效节点力列
阵：F 0 0 0 0 0 q / 2 0 q / 2T
五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 整体刚度矩阵的奇异性可以通过引入边界约束条件来排除弹性体的
刚体位移，以达到求解的目的。
（两种）方法 “化1置0法”
“乘大数法”
⑴修改后的总刚为非奇异，对应的总体平衡方程可求解； ⑵如果已知位移不等于0，采用第二种方法，固定约束用 第一种方法。 ※求解可以采用解方程组的任何一种方法。（高斯消去法 常用），可借用一些计算机软件：如Matlab，Excel等。
所以 q / E0 0 1/ 3 0 1/ 3 1 0 1T
习题和思考题
• 4.1三角形常应变单元的特点？ • 4.2平面问题有限元法的基本思想和解题步骤。 • 4.3简述形函数的概念和性质。 • 4.4平面问题整体刚度矩阵的推导过程。 • 4.5矩形单元的特点？ • 4.6有限元方法解的收敛准则。

有限元方法课件 第四章 平面三角形单元

第四章 平面三角形单元
第四章 平面三角形单元
§4–1 有限元法的基本思想 §4–2 三角形常应变单元 §4–3 形函数的性质 §4–4 刚度矩阵 §4–5 等效节点力载荷列阵 §4–6 有限元分析的实施步骤 §4–7 计算实例
§4-1 有限元法的基本思想
一、有限元法的基本思想 假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），
vi (Vi )
i ui (Ui )
m
um (Um )
o
x
图4-2 平面三角形单元
将 (d) 式代入 (b) 式的第一式，经整理后得到
u 1 2ai源自bi x ci yuiaj
bjx cj y
uj
am bm x cm yum
(e)
其中 同理可得
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j
这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为
u Ni ui N j u j N mum v Nivi N jv j Nmvm
(4-11)
也可写成矩阵形式
f
u v
Ni I
NjI
NmI e N e
(4-12)
式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数， 它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简 称形函数。矩阵 [N] 叫做形函数矩阵。三节点三角形单元的 形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍 为一条直线，即只要两单元在公共节点处保持位移相等。则 公共边线变形后仍为密合。
f N e
（4-1）
f ——单元内任一点的位移列阵； e——单元的结点位移列阵；
N ——单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐

平面问题的有限元分析


4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标的定义
Ai Apjm Aj Apmi Ak Apij
恒等关系：
A Ai Aj Am Aijm
P点位置可由3个比值来确定：
p(Li , Lj , Lm )
其中面积坐标：
Li Ai / A Lj Aj / A Lm Am / A
4)：单元推导。 对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中
包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元 各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或 柔度阵)。
对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约
束。 5)总装集成。 将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似
0
Nm
Ni
I22
单元内任意一点的位移可由节点位移表示为：
N j I22
d
u
v
Nδe
e ui vi u j v j um
Nm I22
T
vm
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
2）单元应变和单元应力
d
u
v
Nδe
代入
ε
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
其中
K rs
BrT DBshA
Eh
4(1 2 ) A
brbs
1
2
crcs
crbs
1
2
brcs
brcs
1
2
crbs
crcs
1
2
brbs
4.1 三角形常应变单元

第四章有限元单元法


¾ ADINA
★ FLUENT
¾ ANSYS
★ SAP
(3) 有限单元法的未来
应用需求：技术革新、设计理论、 制造方法
基础产业：汽车、船舶、冶金、飞机 高新产业：航天、微电系统、纳米器
件：
(3) 有限单元法的未来 待发展的方面
1) 新的材料本构模型和单元型式
2) 结构在复杂环境条件下的全寿命过程响应分析
人类认识自然的得力助手
力学或工程领域求解问题的两大法宝：解 析法和离散法
4.1.1 有限单元法的基本概念
解析法：
它从研究连续体中无限小的微分体入手，得出 描述连续体性质的微分方程。然后根据边界条 件、初始条件可解得一个通解。这个解可给出连 续体内任一点上所求参数的值。 核心是微分方程。 微分方程的建立过程是近似的，而微分方程的 求解过程是精确的。
E
• 长度分别为l1、l2 • 桁架的铰链处受到外力 X1、Y1、X2、Y2、X3、Y3
• 在1点和3点固定铰支 求解内力
铰接桁架
求解过程：
(1). 将结构划分成典型单元的集合——离散化(节点力、节点位移)
－－求解过程：
(2).分析每个单元上节点力和节点位移之间的关系 ――单元特性分析
轧机牌坊（三维实体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
出钢机部件分析（三维壳体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
万向接轴叉头（三维实体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
轧钢机刚度（三维实体问题，多体接触）
稳静态结构问题实例
沧州铁狮子（三维不规则实体，弹性）
稳静态结构问题实例
轧制过程仿真（三维实体，弹塑性、接触）
.500E+09
10000
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1 xm ym
(i, j, m)
N i 、N j 、 N m 是坐标 (x 、y ) 的 线性函数；
N i 、N j 、 N m 表明了单元的位移 形态（位移在单元的变化规律）
—称为形态函数，简称形函数
形函数的性质：
Ni
i
1
Ni j 0
Ni m 0
Ni oij
1 2
Nio
1 3
N ids
f
y
面力
f
f f
x y
应力
x y
应变
x y
xy
xy
基本量和方程的矩阵表示
位移
d
u
v
物理方程 简写为
x y
xy
E
1 2
1
0
1
0
0 0
x y
1
xy
2
D
§4.2 单元位移模式
几何方程：
T
ux
v y
xvuy
只要知道了单元的位移函数，就可由几何方程求出应变，再由物理 方程就可求出应力。
ui
vi
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
um
vm
dNe
N 称为形函数矩阵。
§4.2 单元位移模式
有限元分析中，应力转换矩阵、刚度矩阵都是依赖于位移模式建立 起来的，因此，位移模式必须能够反映弹性体的真实位移形态，才 能得到正确的解答。
位移模式需要满足的条件：
yj 0
00 1 xj
0 yj
3 4
=
u v
j j
1
xm
ym
0
0
0
5
u
m
0 0 0 1 xm ym 6 vm
§4.2 单元位移模式
位移模式的选取
因此， 1 、 2 、 3 是 u i 、u j 、u m 的线性函数； 同样， 4 、 5 、 5 是 v i 、v j 、v m 的线性函数； 代入位移场函数，则 u是 u i 、u j 、u m 的线性函数，即：
i j
1 2
ij
ANidxdy
1 3
A
m 1
1/3 i
1/2
j
(i, j, m)
§4.2 单元位移模式
位移函数：
u 1 2 x 3 y N iu i N ju j N m u m v 4 5 x 6 y N iv i N jv j N m v m
由于 N i 、N j 、N m 是坐标 (x 、y ) 的线性函数， 因此， u、v 也是 (ui,uj,um)、(vi,vj,vm) 的线性函数。
i 结点
j 结点
12xi3yiui 12xj3yjuj
45xi6yivi 45xj6yjvj
m 结点
12xm3ymum 45xm 6ymvm
§4.2 单元位移模式
写成矩阵形式
1 xi 0 0
yi 0 0 0 1 xi
0 1 ui
yi
2
vi
1 0
xj 0
有限单元法及程序设计
第四章 平面问题有限元分析及程序设计
§4.1 平面问题单元离散 §4.2 平面问题单元位移模式 §4.3 平面问题单元分析 §4.4 平面问题整体分析 §4.5 平面问题有限元程序设计
有限元网格划分的基本原则
网格数目 网格疏密 单元阶次 网格质量 网格分界面和分界点 位移协调性 网格布局 结点和单元编号 网格自动剖分
有限单元法：未知量是结点的位移分量
e u i v i u j v j u mv m T
那么单元内任意一点的位移跟结点位移有什么关系呢？
因此说，只要知道了位移场的分布，即可解决上述问题。
§4.2 单元位移模式
位移模式：单元位移场分布形式
建立一个坐标系，如下图所示：
y
vj
vi ui i (xi, yi)
u12x3y N iuiNjujN m um
其中， N i 、N j 、N m 是系数，是 x、 y 的线性函数；
可以求得：
N i a i b ix c iy2A (i, j, m )
其中：
ai
xj xm
yj ym
1 bi - 1
yj ym
1 ci 1
xj xm
1 A11
2
xi xj
yi yj
1 xm ym
同理，可求得 N j 、N m ，且下标可轮换 ；
注意：i, j, m 必须是逆时针 排列，否则面 积为负。
同理可得：
v 4 5 x 6 y N iv i N jv j N m v m
§4.2 单元位移模式
上式也可以写成：
1x y
1 xj yj
1 Ni 1
xm xi
ym yi
1 xj yj
因此， u、v 在坐标空间应该为一平面。
um
vm
m
m
ui
vi
i
uj
i
vj
j
j§4.2 单元位移模式来自位移写成向量形式：d u v N Niiu vii N Njju vjj N Nm mv um m
0 N iu u i i 0 N iv v i i N 0 ju u j j N 0 jv v j j N 0 m u u m m N 0 m v v m m
j (xj, yj) uj
vm um
m (xm, ym)
x
假定位移模式如下所示：
ufu(x,y) vfv(x,y)
三个结点的位移也必定满足 位移场函数，因此有：
ui fu(xi,yi) vi fv(xi,yi) uj fu(xj,yj) vj fv(xj,yj)
umfu(xm,ym) vmfv(xm,ym)
网格数量20万 最小网格尺度150m 最大网格尺度3500m
§4.1 平面问题单元离散
几个重要概念：
平面问题单元： 三角形单元 平面应力： 三角形板 平面应变： 三棱柱
平面问题结点： 绞结点 平面问题约束： 绞支座、链杆 平面问题荷载： 结点荷载和非结点荷载
基本量和方程的矩阵表示
体积力
f
fx
§4.2 单元位移模式
位移模式的选取
位移函数的选取是任意的，所选取的位移函数越接近于真实情况，所
求得的形变和内力结果就越准确。
最简单的位移场函数是线性函数，即：
u1 2x3y
v4 5x6y
其中， 1 、 2 、 3 、 1 、 2 、 3 是系数，由边界条件求得。
边界条件：在三个结点也应满足位移场函数；
（1）位移模式必须能够反映单元的刚体位移； （2）位移模式必须能够反映单元的常应变；
必要条件
（3）位移模式尽可能反映位移的连续性；
u12x3y12x5 23y5 23y v4 5x6y46y5 23x5 23x
u0 1
v0 4
5 3
2
刚体平动
刚体转动
充分条件
u
v
u0 v0
y x
作业： P141 6-1
§4.3 平面问题的单元分析