高中数学人教B版必修五1.2《应用举例》word学案2

1.2应用举例（一）学习目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度的实际问题。

通过解三角形的应用的学习，提高应用转化思想解决实际问题的能力，并体会数学的应用价值。

学习过程：课前完成(1)====∆AB AC C A ABC ，中，在2,45,60所用知识点 理由(2)====∆B A c a ABC ,30,10,25 中，已知在所用知识点 理由(3)====∆AC B AB BC ABC ,150,32,9 中，所用知识点 理由(4)=∠===∆C c b a ABC 则中，在.132,8,6所用知识点 理由课前完成1.AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。

可使用工具：卷尺，测角仪器） A2.解应用问题的基本步骤：例1例1 如图，A、B两点在河的两岸，测量者在A的同侧，B不可到达，设计一种测量A、B两点间的距离的方法。

（可用测量工具：卷尺、测角仪器）BA例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

（可使用工具：卷尺，测角仪器）A B解与三角形有关应用题的基本步骤是什么？1．如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向。

已测得隧道两端的两点A 、B 到某一点C 的距离a,b 及α=∠ACB ，求A 、B 两点之间的距离A C2. A 、 B 两小岛相距１０ 海里,从Ａ岛望Ｃ岛与Ｂ岛角)60BAC (60 =∠ １．巩固本节课所学内容2. 为了测量河的宽度，，在一岸边选定两点A,B ，望对岸的标记物线C ，测得 则河的宽度是,m 120AB ,75CBA ,30CAB ==∠=∠3.隔河可以看到两个目标Ａ、Ｂ，但不能到达，在岸边选取相距3km 的 C,D 两点，并间的距离为则角（岛成岛和岛望从C ,B ),45ACB 45A B C =∠测得D C B A ADB ADC BCD ACB ,,,,45,30,45,75 =∠=∠=∠=∠ 在同一个平面，求两目标A 、 B 间的距离。

1．2 应用举例(二)[学习目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.2.能够运用正、余弦定理解决力学或几何方面的问题．[学问链接] 有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学习物理离不开数学，数学在物理学中的应用格外广泛，本节课我们来争辩正、余弦定理在测量方面，及在物理中的力学、平面几何方面的应用．要点一 测量角度问题例1 如图在海岸A 处发觉北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B 处有一艘走奉命以103私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃跑．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里． 在△ABC 中，由余弦定理， 得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC ＝6(海里)． 又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠CDB ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题肯定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后依据条件，画出示意图，转化为三角形问题．跟踪演练1 甲船在A 点发觉乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝ACsin B 得：sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°. ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 要点二 正、余弦定理在几何中的应用例2 如图所示，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？解 设∠AOB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理， 得AB 2＝12＋22－2×2cos α＝5－4cos α，α∈(0，π)，于是，四边形OACB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △ABC＝12OA ·OB ·sin α＋34AB 2＝12×2×1×sin α＋34(5－4cos α) ＝sin α－3cos α＋543＝2sin(α－π3)＋543.由于0<α<π，所以当α－π3＝π2，α＝56π，即∠AOB ＝56π时，四边形OACB 面积最大．规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练2 如图所示，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC边上的高AD 的长．解 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，x >0， 由正弦定理得7x sin C ＝8xsin B .∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32.∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不合要求)． 由余弦定理得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15cos 60°， ∴x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝3或x ＝5. ∴AB ＝21或AB ＝35，在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ，∴AD ＝123或20 3.1．已知两座灯塔A ，B 与海洋观看站C 的距离相等，灯塔A 在观看站C 的北偏东40°，灯塔B 在观看站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B解析 如图，因△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危急区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危急区内的时间为( ) A ．0.5 h B ．1 h C ．1.5 h D ．2 h 答案 B解析 设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km ，AP ＝x . 在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ， 即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°， 化简得x 2－402x ＋700＝0. 设该方程的两根为x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20，即P 1P 2＝20，故t ＝P 1P 2v ＝2020＝1.故选B.3．一艘海轮从A 处动身，以40 n mile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 n mile B ．10 3 n mile C ．20 2 n mile D ．20 3 n mile答案 A解析 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°， ∠ABC ＝105°，AB ＝40×12＝20(n mile)．∴∠BCA ＝45°.∴由正弦定理可得AB sin 45°＝BCsin 30°.∴BC ＝20×1222＝102(n mile)．4．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则AB ＝________.答案 43解析 在△ADC 中，已知AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则由S △ADC ＝12·AC ·AD ·sin ∠DAC ，求得sin ∠DAC ＝12，即∠DAC ＝30°，∴ ∠BAC ＝30°.而∠ABC ＝60°，故△ABC 为直角三角形； ∵ AC ＝6，∴ AB ＝AC cos 30°＝632＝4 3.1．在求解三角形中，我们可以依据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必需检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种状况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先争辩，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．一、基础达标1．从高出海平面h m 的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为 ( )A ．2h m B.2h m C.3h m D ．22h m 答案 A解析 如图所示，BC ＝3h m ，AC ＝h m ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h (m)．2．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以每小时4 km 的速度向正北航行，同时，乙船自B 动身以每小时6 km 的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( ) A.1507分钟 B.157小时 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟答案 A解析 设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ， 两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x －514)2－257＋100∴当x ＝514小时＝1507分钟，y 2有最小值．∴y 最小．3．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西处40°，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为________ km. 答案6－1解析 由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×(－12)，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.4．在平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是________． 答案 16解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则a ＋b ＝9，a 2＋b2－2ab cos α＝17，a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65. 解得：a ＝5，b ＝4，cos α＝35，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16.5．两座灯塔A 和B 与海洋观看站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观看站C 的北偏东20°，灯塔B 在观看站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为________km. 答案3a解析 由于灯塔A 在观看站C 的北偏东20°，灯塔B 在观看站C 的南偏东40°，所以∠ACB ＝120°.又由于AC 和BC 的距离都是a km ，由余弦定理，得AB 2＝a 2＋a 2－2×a ×a ×cos 120°＝3a 2，所以A ，B 的距离是3a km.6.某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如右图)，其一角已破损，现测得如下数据：BC ＝2.57 cm ，CE ＝3.57 cm ，BD ＝4.38 cm ，B ＝45°，C ＝120°.为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01 cm)．解 如下图所示，将BD ，CE 分别延长相交于一点A ，在△ABC 中，已知BC 的长及角B 与角C ，可以通过正弦定理求AB ，AC 的长．将BD ，CE 分别延长相交于一点A ，在△ABC 中，BC ＝2.57 cm ，B ＝45°，C ＝120°， A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋120°)＝15°.∵BC sin A ＝AC sin B ，∴AC ＝BC sin B sin A ＝2.57sin 45°sin 15°. 利用计算器算得AC ≈7.02(cm)． 同理，AB ≈8.60(cm)．答 原玉佩两边的长分别约为7.02 cm,8.60 cm.7．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°. 求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°.由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile.(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°.解得：CD ＝83(n mile)．即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile. 二、力量提升8．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为________海里/时． 答案 20(6－2) 解析 由题意，得∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)(海里)．则v 货＝20(6－2) (海里/时)．9．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，马上测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇马上以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间． 解 如图所示，设所需时间为t 小时， 则AB ＝103t 海里，CB ＝10t 海里，在△ABC 中，依据余弦定理，则有 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°， 整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103(海里)，BC ＝10(海里)， 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝BC sin 120°AB ＝10×32103＝12，所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.10．为保障高考的公正性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点四周1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的大路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿大路行驶，问最长需要多少分钟检查员开头收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解 如图所示，考点为A ，检查开头处为B ， 设大路上C ，D 两点到考点的距离为1千米． 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732(千米)，AC ＝1(千米)， ∠ABC ＝ 30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1(千米)， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)． ∵BC12×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟． 所以最长需要5分钟检查员开头收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．11．某工厂生产产品后，留下大量中心角为60°，半径为R 的扇形边角料，现要利用边角料，从中剪裁出矩形毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？解 如图所示，矩形有两个顶点在半径OA 上，设∠AOP ＝θ， 则PM ＝R sin θ，∵扇形中心角为60°， ∴∠PQO ＝120°.在△OPQ 中，由正弦定理， 得OP sin 120°＝PQsin (60°－θ)，即PQ ＝23R sin(60°－θ)． ∴矩形MPQR 的面积为 S 1＝PM ·PQ ＝23R 2sin θsin(60°－θ)， sin θsin(60°－θ)＝sin θ(32cos θ－12sin θ) ＝32sin θcos θ－12sin 2 θ ＝34sin 2θ－1－cos 2θ4 ＝34sin 2θ＋14cos 2θ－14＝12sin(2θ＋30°)－14， 当sin(2θ＋30°)＝1时，取得最大值14，即θ＝30°时，sin θsin(60°－θ)≤14.此时S 1＝23R 2sin θsin(60°－θ)≤36R 2，故θ＝30°时，S 1取最大值36R 2，由θ＝30°确定P 点，通过做平行线不难确定出另三点． 三、探究与创新12．现有一块直径为30 cm 的圆形钢板，需截去直径分别为20 cm,10 cm 的圆形钢板各一块，现需在剩余的钢板中再截出同样大小的圆形钢板两块，问这两块钢板的半径最大为多少？解 如图，设⊙A ，⊙B 分别是直径为20 cm 和10 cm 的圆，⊙D 是直径为30 cm 的圆，则⊙A ，⊙B 相外切且与⊙D 内切，再设最终截下的两个最大的圆为⊙C ，⊙E ，则它们与⊙A ，⊙B 相外切，且与⊙D 相内切，连接AB 、AC 、BC 、CD .设⊙C 的半径为r ，在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝10＋r ， BC ＝5＋r ，AD ＝5，CD ＝15－r ， 由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝152＋(10＋r )2－(5＋r )22×15×(10＋r )＝30＋r 30＋3r .在△ADC 中，cos ∠DAC ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC＝52＋(10＋r )2－(15－r )22·5·(10＋r )＝5r －10r ＋10.故30＋r30＋3r ＝5r －10r ＋10，整理得7r 2＋40r －300＝0， ∴r ＝307或r ＝－10(舍去)．所以在剩余的钢板中还可以截出半径最大为307cm 的同样大小的圆形钢板两块．。

1.2 应用举例学习目标：1．通过回顾正弦定理、余弦定理的表达式及文字语言的叙述，进—步熟悉正、余弦定理的内容，作用及所解三角形的类型．能够联系勾股定理、三角形面积定理及三角形内角和公式等有关三角形问题灵活地解三角形．2．善于利用分类讨论的思想、先易后难、逐层推进的思想解决一些繁、难三角形问题，把对学生的思维训练贯穿整节课的始终．重点难点重点：灵活选用正弦定理、余弦定理并结合面积公式进行有关的三角形中的几何计算．难点：利用正、余弦定理进行边角互化及正弦、余弦定理与三角形有关性质的综合应用.知识点：三角形的面积公式问题导思：如图，△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h a，h b和h c.1．你能用△ABC 的边角分别表示h a ，h b ，h c 吗？ 答：h a ＝b sin C ＝c sin B .h b ＝c sin A ＝a sin C .h c ＝b sin A ＝a sin B .2．你能用边a 与高h a 表示△ABC 的面积吗？答：S △ABC ＝12ah a ＝12ab sin C ＝12ac sin B .三角形面积公式已知△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，其面积为S ，则S ＝ ＝ ＝ . 12ab sin C 12bc sin A 12ca sin B类型1：三角形中的面积计算例1：在△ABC中，已知∠C＝120°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．解：由正弦定理AB sin C ＝AC sin B， ∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12. 因为AB >AC ，所以∠C >∠B ，∴∠B ＝30°，∴∠A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12·23·2·sin 30°＝ 3.变式训练1：在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的长为________．【解析】由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32， 即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×12＝3. ∴BC ＝ 3.【答案】 3类型2：三角形中的证明问题例2：在△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋c(sin A－sin B)＝0.解：由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，则a sin B＝b sin A，a sin C＝c sin A，b sin C＝c sin B，所以左边＝a sin B－a sin C＋b sin C－b sin A＋c sin A－c sin B ＝(a sin B－b sin A)＋(b sin C－c sin B)＋(c sin A－a sin C)＝0＋0＋0＝0＝右边，所以原式成立．变式训练2：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A－2cos Ccos B＝2c－ab.求证sin Csin A＝2.证明：由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B， 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B .化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，又∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2.类型3：三角形中的综合问题例3：△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列且cos B ＝35.(1)求cos Asin A ＋cos Csin C 的值；(2)设BA →·BC →＝3，求a ＋c 的值．解：(1)由已知b 2＝ac ，及正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ，由cos B ＝35，则sin B ＝45.cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C＝sin (A ＋C )sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝1sin B ＝54.(2)由BA →·BC →＝3，得ac cos B ＝3，ac ＝3cos B ＝5，由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ×35， 得ac ＝a 2＋c 2－65ac ， a 2＋c 2＋2ac ＝215ac ＝21， ∴(a ＋c )2＝21.∴a ＋c ＝21.变式训练3：△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C，(1)求∠A的大小；(2)若a＝7，b＋c＝4，求△ABC的面积．解：(1)由已知条件得2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B .又∵sin B ≠0，∴cos A ＝12. 又∵0°<∠A <180°，∴∠A ＝60°.(2)由余弦定理得7＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 将b ＋c ＝4代入，得bc ＝3.故△ABC 面积为S ＝12bc sin A ＝334.课堂小结：1．对于三角形中的几何计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理和余弦定理算出需要的元素，就可以求出三角形的面积．证明三角恒等式的关键是用正、余弦定理实现边角转化．2．许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．3．解三角形问题除了应用正、余弦定理外，也经常用到内角和定理以及三角变换公式中的平方关系、两角和与差的正、余弦公式等.当堂检测：1．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( )A ．12B ．32C ．3D ．2 3【解析】S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝sin 60°＝32.【答案】B2．△ABC中，若∠A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝2203，则a的值为()A．20 6 B．25C．55 D．49【解析】由12bc sin A＝2203，∴c＝55.又a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2 401.∴a＝49. 【答案】D3．边长为a的等边三角形的高为________．【解析】高h＝a sin 60°＝3 2a.【答案】3 2a4．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，求AC 边上的高． 解：设AC 边上的高为h ，由余弦定理知cos B ＝32＋(13)2－162×3×13＝1313，∴sin B ＝23913， ∴S ＝12×3×13×23913＝332×2＝3 3. 又S ＝12×4×h ，∴2h ＝33，∴h ＝332， ∴AC 边上的高为332.5．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，cos A ＝13，a ＝3，探究△ABC 的面积S 的最大值．解：∵cos A＝13，∴sin A＝223，由正弦定理得b＝asin A·sin B＝364sin B，c＝asin A·sin C＝364sin C，∴bc＝(364)2sin B sin C＝278·12[cos(B－C)－cos(B＋C)]，又∵cos(B ＋C )＝－cos A ＝－13， ∴bc ＝2716[cos(B －C )＋13]≤94，∴S ＝12bc sin A ≤324. 故△ABC 的面积S 的最大值为324.。

数学必修五《1.2 应用举例（二）》教案教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：① 出示例1：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：测量方法→ 计算方法 师生一起用符号表示计算过程与结论.AC =sin sin()a βαβ-，AB = AE +h =AC sin α+h =sin sin sin()a αβαβ-+h . ② 练习：如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440︒'，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501︒'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ,求出山高CD (精确到1 m ) ③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？ 分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.解答:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,sin BC A = sin AB C , BC =sin sin AB A C=5sin15sin10︒︒≈7.4524(km )，CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m ). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？ 答案：20+2033(m ) 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.。

高中数学人教B版必修五第一章《1.2 应用举例》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1、知识与技能目标:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语,同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

2、过程与方法:通过解决“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题,初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法,进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力,提高运用数学知识解决实际问题的能力。

3、情感、态度与价值观:通过解决“测量”问题,体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题,培养学生的数学应用意识和探索问题、解决问题的能力,学习用数学的思维方式去解决问题,认识世界。

2学情分析
本节课是普通高中新课程人教B版《必修5》第一章1.2第一课时的内容 ,是在学习了正弦定理、余弦定理的基础上安排的一节应用举例课程,本节课主要介绍了正弦定理和余弦定理在测量距离中的应用。

正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的理论基础,让学生掌握建立“数学模型”的基本思想是本节课的重中之重。

通过对解斜三角形在实际中应用的讲解,让学生体会具体问题已可以转化为抽象的数学问题以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要的作用。

同时培养学生数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力,提高学生解决实际问题的能力。

激发学生学习数学的兴趣,并让学生体会数学的应用价值。

3重点难点
重点:如何将实际问题转化为数学问题,并利用解斜三角形的方法予以解决。

难点:如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。

4教学过程。

课题: §1.2解三角形应用举例第一课时授课类型：新授课●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。

其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程Ⅰ.课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

Ⅱ.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒75。

应用举例（二）教学目的：1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方式，明确解斜三角形知识在实际中有着普遍的应用；2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方式教学难点：实际问题向数学问题转化思路的肯定讲课类型：新讲课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方式：自学辅导法在上一节学习的基础上，引导学生按照上节所总结的转化方式及解三角形的类型，自己尝试求解应用题在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能力取得锻炼教学进程：一、温习引入：上一节，咱们一路学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方式，掌握了必然的解三角形的方式与技能这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方式加以解决二、讲解范例：例1讲义15页例3例2．讲义15页例4例3讲义16页例5例3 据气象台预报，距S岛300 ｋｍ的A处有一台风中心形成，并以每小时30 ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ之内的地域将受到台风的影响问：S岛是不是受其影响?若受到影响，从此刻起通过量少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由例4：海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北6O°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?三．课堂练习1直线AB外有一点C，∠ABC＝6O°，AB＝2OO ｋｍ，汽车以8O ｋｍ／ｈ速度由A 向B行驶，同时摩托车以5O千米的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小（答案：约13小时）2．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度四小结五．作业1．讲义17页32．讲义22页43．讲义23页5、7，应用举例（三）教学目的：1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方式，明确解斜三角形知识在实际中有着普遍的应用；2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方式教学难点：实际问题向数学问题转化思路的肯定讲课类型：新讲课一．正、余弦定理的应用回顾：（1）解三角形（2）证明三角恒等式（3）解决实际问题二应用举例1．讲义23页102．讲义23页113．据气象台预报，距S岛300 ｋｍ的正东方向的A处有一台风中心形成，并以每小时30ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ之内的地域将受到台风的影响问：（1）S岛是不是受其影响?（2）若受到影响，从此刻起通过量少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之转变S岛是不是受台风影响可转化为SB≤27O这一不等式是不是有解的判断，则需表示SB，可设台风中心通过ｔ小时抵达B 点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB解：设台风中心通过ｔ小时抵达B点，由题意，∠SAB＝9O°－3O°＝6O°在△SAB中，SA＝3OO，AB＝3Oｔ，∠SAB＝6O°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos SAB＝3OO2＋（3Oｔ）2－2·3OO·3O t cos6O°若S岛受到台风影响，则应知足条件｜SB｜≤27O 即SB2≤27O2化简整理得ｔ2－1Oｔ＋19≤O解之得5－6≤ｔ≤5＋6所以从此刻起，通过5－6小时S岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束持续时间：(5＋6)－（5－6）＝26小时答：S岛受到台风影响，从此刻起，通过（5－6）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为26小时。

1.2 应用举例整体设计教学分析本章通过章头图中的古建筑和台风问题实例，引入要学习的数学知识，由此可见实际测量在本章的中心地位．实际上解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等)的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．教学时要充分利用数形结合的方法，充分利用多媒体课件给学生以动态演示，加强直观感知．学习这部分知识有助于增强学生应用数学的意识和提高解决实际问题的能力．本节教材提出了四个问题：问题1和问题2为测量题．这类问题在我们的日常生活中比比皆是，学生对实际背景非常熟悉，这给教学带来了极大的便利．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法来解决，但用正弦定理和余弦定理就可以计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．问题3是介绍解决平衡力系的数学方法．学习此题教师应先引导学生简要地复习一下向量求和的平行四边形法则和三角形法则．问题4是解三角形方法用于天气预报的一个典型例子，有很好的教育价值．本节学习可增强学生的数学应用意识，激发学生学习数学的积极性．由于解决的是一些实际问题，在进行近似计算时，要求学生算法要简练、清楚，计算要准确．本节后的练习和习题都是解三角形应用的基本题，应要求学生全部掌握．三维目标1．通过巧妙的设疑，结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，使学生能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题．同时通过多媒体课件直观演示，加强学生的动态感知，帮助学生掌握常规解法，能够通过类比解决实际问题．2．通过对解斜三角形在实际中应用的讲解，让学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用，同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．3．通过本节的探究，引导学生经过自己的数学活动，从实际问题中提取数学模型，使学生经历发现和创造的过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．重点难点教学重点：掌握应用正弦定理和余弦定理解决测量问题的一般方法，并能应用正弦定理、余弦定理列方程求解一些实际问题，进一步熟悉数学建模的方法步骤，提高解决实际问题的能力．教学难点：将实际问题转化为数学问题，即根据实际问题建立数学模型．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(问题导入)本章引言中就提出了经常萦绕着我们的这么一个问题：“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以借助解直角三角形等方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法不能实施．上面的问题用以前的方法是不能解决的．那么我们用刚刚学习的正弦定理、余弦定理就可以解决以前不能解决的问题，究竟如何测量呢？下面我们就来探究这个问题，由此展开新课．思路 2.(情境导入)你有坐汽车(或者火车)经过山前水平公路的经历吗？如果身边带着测角仪，那么根据路标(100米杆)就会立即测算出你所看到的山的高度．利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来，在学生急切想知道如何测算山高的期待中展开新课．推进新课新知探究提出问题1提示学生先回顾正弦定理、余弦定理，并提问：若已知三角形的两边及其中一边的对角用哪个定理解三角形？若已知三角形的两角及其夹边又可选用哪个定理解三角形呢？2回忆过去的一些测量方法，如测量两点间的距离都有哪些测量方法？3如果底部可到达，如电线杆的高度应怎样测量？如果底部不能到达，如工厂的烟囱的高度应怎样测量呢？4对解题中的近似值要怎样处理才能减小误差呢？5解决实际问题的一般程序是什么？活动：教师先让学生回忆正弦定理、余弦定理的内容，学生很快回忆起来，若已知三角形的两边及其中一边的对角，则用正弦定理较好，鼓励学生多动手画图，特别是对想象能力较弱的学生，更应画出图形，在图形上标出已知的数据以加强直观感知．对于底部可到达的物体的高度问题，如测量电线杆的高度，利用初中的知识即可解决．如图1，只要测出∠B及BC即可算出AC的高度．对于底部不能到达的物体的高度又该怎样测量呢？图1图2教师引导学生分组讨论，充分发挥学生的想象力．学生会提出许多的方案．教师可一一指导，选出其中有代表性的方案作为本节教学的切入点，比如有的学生会提出：既然底部不可到达，则BC就不可测出，但解三角形至少需有一边，如此可否使原来的B点后退至B′点，测量BB′的距离．如图2，引导学生深入探究，效果将会更好．在具体解题过程中，教师可针对解题中的近似值处理问题，适时地提醒学生注意：(1)应根据题中对精确度的要求，合理选择近似值；(2)为避免误差的积累，解题过程中应尽可能地使用原始(已知)数据，少用间接求出的量．讨论结果：(1)～(4)略．(5)解决实际问题的一般程序是：(1)审题，逐字逐句地阅读题目，弄清题目的条件、要求，找出其中的数学关系；(2)建模，分析题目的变化趋势，选择适当的数学模型；(3)求解，也就是对所建立的数学模型进行数学解答得到数学结论；(4)还原，即把数学结论还原为实际问题的解答，包括检验是否符合实际意义等．本节所研究的问题都是把实际问题转化成解三角形的问题，然后利用正弦定理、余弦定理、三角函数等来解决．应用示例例1(教材问题1)活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，让学生明确建筑物的底部不可到达，需在宫墙外护城河畔的马路边选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．在动态的演示中让学生充分理解我们为什么要这样做．然后教师指导学生画出平面示意图，并在图上标出相关的数据，让学生自己思考怎样根据正弦定理和余弦定理计算出建筑物的高度．点评：解完本例后让学生总结测量的方法，本例的关键是选择观测点和测量的基线，与实物的实际高度仅有0.3 m的误差，可让学生分析误差产生的原因．变式训练如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A 处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD.(精确到1 m)解：如下图，在△ABC 中，∠BCA＝90°＋β，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α. 根据正弦定理，BC sin α－β＝AB sin 90°＋β， 所以AB ＝BCsin 90°＋βsin α－β＝BCcosβsin α－β. 解Rt△ABD，得BD ＝ABsin∠BAD＝BCcosβsinαsin α－β.将测量数据代入上式，得 BD ＝27.3cos50°1′sin54°40′sin 54°40′－50°1′＝27.3cos50°1′sin54°40′sin4°39′≈177(m)， CD ＝BD －BC≈177－27.3≈150(m)．答：山的高度约为150 m.例2(教材问题2)活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，明确要解决的问题．在实际生活中，这样的问题随处可见，如学生熟悉的河两岸的某两点之间的距离．在例1的类比下，学生很容易想到选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．本例可让学生画图探究．教师给予适时点拨．点评：结合例1可对这类测量问题进行小结，解决这类测量问题的关键是选择观测点和测量的基线．可让学生进一步探究，除了教材中的测量方法和计算，还有其他的方法吗？变式训练如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γ D．α，β，b答案：C解析：由a，b，γ利用余弦定理可求出AB.例3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD.活动：教师引导学生充分理解题目背景，引导学生画出图形．首先理解什么是仰角，西偏北25°是什么意思．本题的图形是一个立体几何图形，让学生充分理解图形中的各个已知量和要求的量．解：在△ABC 中，∠A＝15°，∠C＝25°－15°＝10°，根据正弦定理，BC sinA ＝AB sinC ，BC ＝ABsinA sinC ＝5sin15°sin10°≈7.452 4(km)， CD ＝BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1 047(m)．答：山的高度约为1 047 m.点评：此例即为本课导入时思路2提出的问题，切入生活实际．教师可提醒学生总结，我们是如何根据已知条件及所求的边长，恰当地选取我们需要的三角形的．知能训练1．为了测量河的宽，在河岸的一边选取两点A 和B ，观测对岸标记C 点，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB ＝120 m ，则河宽为__________ m.答案：20(3＋3)解析：由题意画出示意图，如下图，则∠ACB＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，知AB sin∠ACB ＝AC sin75°， ∴AC＝sin75°sin60°·120＝20(32＋6)． 在Rt△ACD 中，CD ＝ACsin45°＝20(3＋3)，即河的宽为20(3＋3) m.2．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝__________.答案：156米解析：在△DBC 中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得CD sin∠CBD ＝BC sin∠BDC， ∴BC＝30sin30°sin135°＝15 2. 在Rt△ABC 中，AB ＝BC·tan60°＝152×3＝156(米)，即塔高为156米．课堂小结先由学生自己回顾本节所学的测量底部不可到达的建筑物高度和测量地面上两个不能到达的地方之间的距离的方法，是如何从实际问题情境中寻求到解决问题的方案的，你是否能根据题意准确地画出示意图？你没有画出的原因是什么呢？在学生自己总结归纳而对本节有了一个整体认识的时候，教师可作进一步的归纳．解决实际问题的关键是建立数学模型，特别是画出示意图是准确迅速解这类数学问题的关键，也是本节要体现的技能，这在高考中体现得很突出，需要在反复的练习和动手操作中提高这方面的能力．作业课本本节习题1—2A 组1、2、3.设计感想本教案设计以情境教学、问题教学为主，教师引导和学生积极参与探究相结合，充分体现以学为主、逐步领悟的原则．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用．通过合作学习和相互提问补充的方法让学生多感受问题的演变过程，通过多媒体课件的演示让学生切身感受实际问题所反映的数学本质，让学生在轻松愉快的互动气氛中学到知识，提高能力．本教案设计的中心主线是在学生探究活动中提炼数学建模，不要求学生死记硬背解决实际问题的方法步骤．本教案的设计始终抓住本节乃至本章的这一重点，不在一些细枝末节上浪费时间．通过本节探究，学生基本上熟悉了解决实际问题的思想方法，下一步教师要在规范步骤等方面加以关注．备课资料一、拓展资源1．利用余弦定理证明正弦定理在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，求证：a sinA ＝b sinB ＝c sinC. 证明：由a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ， ∴sin 2A ＝1－cos 2A ＝1－b 2＋c 2－a 222bc 2＝2bc 2－b 2＋c 2－a 222bc 2＝2bc ＋b 2＋c 2－a 22bc －b 2－c 2＋a 24b 2c 2＝b ＋c ＋ab ＋c －a a ＋b －c a －b ＋c 4b 2c 2.∴a 2sin 2A ＝4a 2b 2c 2a ＋b ＋c －a ＋b ＋c a ＋b －ca －b ＋c . 记该式右端为M ，同理可得b 2sin 2B ＝M ，c 2sin 2C＝M ， ∴a 2sin 2A ＝b 2sin 2B ＝c 2sin 2C. ∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC . 2．如图，P 为△ABC 内的一点，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，记BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，求证：1sin 2θ＝1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C.证明：在△PAC 中，由正弦定理，得AP sinθ＝b sin∠APC. ∴∠APC＝180°－θ－(A －θ)＝180°－A.∴AP sinθ＝b sinA. 从而S △PAB ＝12c·APsinθ＝12c·bsinθsinA ·sinθ＝12bcsinA·sin 2θsin 2A ＝S △ABC ·sin 2θsin 2A .同理可得S △PBC ＝S △ABC ·sin 2θsin 2B ，S △PCA ＝S △ABC ·sin 2θsin 2C .相加后即得S △ABC ＝S △ABC (sin 2θsin 2A ＋sin 2θsin 2B ＋sin 2θsin 2C )．∴1sin 2θ＝1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C. 二、备用习题1．在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则塔高为( )A ．20(1＋33) m B ．20(1＋3) m C ．10(6＋2) m D ．20(6＋2) m2．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )A ．a ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，α，βD ．b ，α，β3．如图，B 、C 、D 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(α＜β)，则A 点离地面的高AB 等于 ( )A.asinαsinβcosβ－αB.asinαsinβsinβ－αC.asinαcosβsinβ－αD.acosαcosβcosβ－α4．如图，有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸( )A．5 m B．10 m C．10 2 m D．10 3 m5．如下图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC ＝15°，求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)6．如下图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得A点的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB ＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500 m，求塔高AB.参考答案：1．B 解析：如图，AB为楼，CD为塔，AM为水平线，则有AB＝20.∠DAM＝45°，∠CAM＝60°， ∴MD＝20，AM ＝20，CM ＝20 3. ∴CD＝20(1＋3)(m)．2．D 解析：由α，β，b 可利用正弦定理求出BC. 3．B 解析：在△ABC 中，CD ＝a ，∠DAC＝β－α， 由正弦定理，得a sin β－α＝ACsinα，∴AC＝asinαsin β－α.在Rt△ABC 中，AB ＝AC·sinβ＝asinα·sinβsin β－α.4．C 解析：在△ABC 中，由正弦定理，可知x sin45°＝10sin30°，∴x＝10 2 m.5．解：在△ACD 中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD ＝6 000 m ，∠ACD＝45°， 由正弦定理，有AD ＝CDsin45°sin60°＝63·CD.同理，在△BCD 中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD ＝6 000，∠BCD＝30°. 由正弦定理，有BD ＝CDsin30°sin135°＝22CD.又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°， 根据勾股定理，得AB ＝AD 2＋BD 2＝632＋222·CD＝426CD ＝1 00042 m. 答：炮兵阵地到目标的距离为1 00042 m.6．解：设AB 的高为x.∵AB 与地面垂直， ∴△ABM，△ABN，△ABP 均为直角三角形．∴BM＝x·cot30°＝3x ，BN ＝x·cot45°＝x ，BP ＝x·cot60°＝33x. 在△MNB 中，BM 2＝MN 2＋BN 2－2MN·BN·cos∠MNB， 在△PNB 中，BP 2＝NP 2＋BN 2－2NP·BN·cos∠PNB， 又∵∠BNM 与∠PNB 互补，MN ＝NP ＝500， ∴3x 2＝250 000＋x 2－2×500x·cos∠MNB，① 13x 2＝250 000＋x 2－2×500x·cos∠PNB.② ①＋②，得103x 2＝500 000＋2x 2，∴x＝2506(m)．答：塔高AB 为250 6 m.第2课时导入新课思路 1.(本章章头图导入)有的学生可能要问：正弦定理探究完了，余弦定理也探究完了，那么本章开始引言中提出的问题究竟怎样解决呢？也就是怎样算出几小时后某城市开始受到台风的侵袭和怎样测出海上航行的轮船的航速和航向呢？学过本节后就简单清晰了，由此展开新课．思路 2.(猜想导入)上节课我们探究了怎样测量不可到达的点的距离，又解决了怎样测量底部不可到达的建筑物高度的问题，这些都是距离问题，那么能否借助正弦定理、余弦定理测量一些角度的问题呢？回答是肯定的，由此展开新课．推进新课新知探究 提出问题1回忆前面是如何测量距离和高度的？2在测量距离和高度时，是怎样由三角形的一些已知边和角来求其他边的？ 3回忆上册中向量求和的平行四边形法则和三角形法则.4日常生活中还有一个例子，如航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，同时保持一定的航速和航向前进，还有如何预防台风的侵袭等，这些可否像前面探究的距离和高度那样，转化为解三角形模型来解决呢？活动：教师引导学生再次回忆正弦定理、余弦定理．为了提高学生兴趣，可换个提法，前面解决实际问题的顺序是“实际问题→数学建模→数学模型的解→实际问题的解”，我们如果不按这个步骤进行结果会怎样？通过这样反复强化，使学生的“数学建模”意识得以巩固，这里关键是找出已知量和未知量，画好平面示意图，确定需要解决的三角形．三角形模型应用很广泛，像航海确定方向等都离不开角，当然也就离不开解三角形，也就需要用正弦定理、余弦定理等有关的三角形知识来解决它．讨论结果： (1)～(4)略．应用示例例1(教材问题3)活动：本例题是解三角形与向量结合的典例，教师可引导学生复习向量的相关知识．利用多媒体课件明确所要探究问题的已知量和未知量，指导学生画出平面示意图，这是解好本问题的关键．点评：本例背景是我们人人都熟悉的三角形灯架，目的是让学生熟悉解决平衡力系的数学方法，解决问题的关键是把受力情况和角度都放在三角形中，然后用正弦定理解决．变式训练有两根柱子相距20 m ，分别位于电车的两侧，在两柱之间连接一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8 N ，则这条成水平的绳子的中点下降0.2 m ，求此时绳子所受的张力．解：如图所示，设重力作用点为C ，绳子AC 、BC 所承受的力分别记为CE →、CF →，重力记为CG →.由C 为绳子的中点，知|CE →|＝|CF →|. 由CE →＋CF →＝CG →，知四边形CFGE 为菱形． 又∵cos∠FCG＝cos∠DCB＝0.2102＋0.22≈0.02，∴|CE →|＝|CF →|＝12|CG →|cos∠FCG ＝8.90.02＝445，即绳子所受的张力为445 N.例2如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0. 1°，距离精确到0.01 n mile)活动：教师引导学生根据题意画出平面示意图，这是解决本类题目很重要的一方面．教师可就此点拨学生注意：画图、用图、识图是学好数学的一项基本功，能否准确画出示意图直接决定着解题的成败，这项基本功较弱的同学可就此加强自己的补弱训练．我们前面学习时有过这样的经历：有些选择题，甚至解答题，只要画出示意图，解答结果很快就出来了，这就是数形结合的强大威力之所在，提醒学生关注这一点．解：在△ABC 中，∠ABC＝180°－ 75°＋ 32°＝137°，根据余弦定理， AC ＝AB 2＋BC 2－2AB×BC×cos∠ABC ＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137° ≈113.15.根据正弦定理， BC sin∠CAB ＝ACsin∠ABC，sin∠CAB＝BCsin∠ABC AC ＝54.0sin137°113.15≈0.325 5，所以∠CAB≈19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.点评：本例综合运用了正、余弦定理，体现了正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的重要作用．解完本例后教师引导学生进行反思领悟，让学生把重点放在数学建模这一共性上和对一般方法的掌握上．变式训练如图，港口A 北偏东30°方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为31 n mile ，该轮船从B 处沿正西方向航行20 n mile 后到D 处，测得CD 为21 nmile ，问此时轮船离港口A 还有多远？解：由条件知∠CAD＝60°，设∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△BCD 中，由余弦定理，得 cosβ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD·BD ＝－17.∴sinβ＝1－cos 2β＝437.∴sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－cosβsin60°＝5314.在△ABC 中，由正弦定理，得CD sin∠CAD ＝ADsinα，∴AD＝CD·sinαsin∠CAD ＝15 n mile.答：此时轮船离港口还有15 n mile.例3(教材问题4)活动：为降低难度，本题已经给出了平面示意图，教学时，可先不让学生看这个图形，让学生通过阅读题意自己画出图形，然后对照题目给出的图形，以便找出偏差．或者教师以幻灯片的形式打出题意，稍后再出示示意图，留给学生足够的思考空间．点评：(1)本例右边的边注可作为本例的变式训练．在教材图116中，延长PQ 到Q′，使∠AQQ′＝40.3°，台风沿PQ 方向过点Q′时，则台风终止侵袭A 城．侵袭A 城的时间为台风经过Q 到Q′所用的时间．解△AQQ′，求出Q 与Q′的距离，然后除以台风移动的速度就可得到侵袭A 城的时间．(2)解完此题后教师引导学生总结应用正、余弦定理解斜三角形的解题方法．在解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．知能训练1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cosA ，sinA)．若m⊥n ，且acosB ＋bcosA ＝csinC ，则∠B＝__________.2．如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？答案： 1.π6解析：由题意，得3cosA －sinA ＝0，即tanA ＝ 3. 又∵0＜A ＜π，∴A＝π3.由正弦定理，得sinAcosB ＋sinBcosA ＝sin 2C ，即sinC ＝sin 2C. ∵sinC≠0，∴sinC＝1. 又∵0＜C ＜π，∴C＝π2.∴B＝π－(π2＋π3)＝π6.2．解：在△ABC 中，BC ＝30，∠B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠A＝15°.由正弦定理，知AC ＝30sin30°sin15°＝60cos15°＝15(6＋2)，∴A 到BC 所在直线的距离为AC×sin45°＝15(3＋1)≈40.98(海里)． ∵40.98海里＞38海里，∴船继续向南航行，没有触礁的危险．课堂小结先让学生回顾本节所探究的有关角度的知识过程，熟悉有关角的概念；回顾在本节实际问题的探究中，是怎样画出方位角的，是如何将实际问题转化为数学问题的，又是怎样灵活地选用正弦定理、余弦定理的．通过本节利用物体受力情况和航海、台风侵袭等实际问题，我们感受到数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分．作业课本本节习题1—2A 组4；习题1—2B 组3.设计感想本教案是根据课程标准，学生的认知特点，内容的安排而设计的，由于本节课的前面已经有了举例探究经验，因此设计的活动主要都是通过学生自己完成；只是教材一开始就呈现出台风侵袭城市的背景图，涉及到方位角，学生对图形难以把握，特别从空间的视角去审视的时候有些困难．因此教师应充分利用多媒体课件演示，让学生从动态中发现实物背景下的数学图形及有关的角度问题，引导学生自己画出平面示意图——这是解决本例的关键所在，教师不要怕在此浪费时间．本教案的设计意图还在于，通过本节课的展示，让学生体会到数学离不开生活，生活离不开数学，数学知识来源于生活而最终服务于生活；数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，而是让学生体会到数学的实用价值．备课资料一、备用习题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的关系是( ) A ．α＞β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180°2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°3．如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY 上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行．(1)起初，两人的距离是多少？(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离；(3)什么时候两人的距离最短？4．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援．(角度精确到1°)5．如图，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最近？6．在某时刻，A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心、300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长？7．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一般匀速直线行驶的船位于点A北偏东45°，且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝2626，0°＜θ＜90°)且与点A相距1013海里的位置C.(1)求该船的行驶速度；(单位：海里/时)(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． 参考答案： 1．B2．B 解析：由题意可画出平面示意图，如图，则∠ACB＝80°， ∵AC＝BC ， ∴∠ABC＝50°.因此灯塔A 在灯塔B 的北偏西10°.3．解：(1)∵甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA·OBcos60°＝32＋12－2×3×1×12＝7，∴起初两人的距离是7千米．(2)设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ，则AP ＝4t ，BQ ＝4t ，当0≤t≤34时，PQ 2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2(3－4t)(1＋4t)cos60°＝48t 2－24t ＋7；当t ＞34时，PQ 2＝(4t －3)2＋(1＋4t)2－2(4t －3)(1＋4t)cos120°＝48t 2－24t ＋7，∴PQ＝48t 2－24t ＋7.(3)PQ 2＝48t 2－24t ＋7＝48(t －14)2＋4，∴当t ＝14时，即在第15分钟末，PQ 最短．答：在第15分钟末，两人的距离最短． 4．解：连结BC ，由余弦定理，得。

人教版高中必修5(B版)1.2应用举例教学设计一、教材简介《人教版高中必修5(B版)》是适用于高中二年级学生的教材，主要包括语文、数学、英语、物理、化学、生物、地理等多个学科。

本文以该教材中的数学部分的第一章第二节作为教学对象，进行教学设计。

二、教学目标本节课的主要目标是学生能够通过实例理解线性规划的基本思想和方法，掌握如何列出数学模型并解决线性规划问题。

具体目标：1.了解线性规划的基本概念和解题思路；2.掌握线性规划模型的建立方法；3.能够通过现实问题进行线性规划模型的建立，并解决问题。

三、教学内容1. 基本概念介绍线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行解集、最优解等。

2. 解题思路介绍线性规划的解题思路，包括先画出可行域，再确定目标函数在可行域内的最优解。

3. 线性规划模型的建立通过实例来讲解线性规划模型的建立方法，包括确定决策变量、列出目标函数和约束条件等。

4. 实例分析通过几个实际问题，让学生应用线性规划模型来解决问题，如：生产问题、销售问题、调度问题等。

四、教学重点以线性规划模型的建立和列出目标函数和约束条件为重点。

五、教学难点学生对于线性规划模型的建立和列出目标函数和约束条件的理解和掌握。

六、教学方法1. 讲授法通过在黑板上讲解线性规划的基本概念和解题思路，让学生掌握线性规划的基本知识。

2. 练习法通过一些练习，让学生掌握线性规划模型的建立方法。

例如，通过实例来让学生列出目标函数和约束条件。

3. 案例法通过一些实际问题的案例，让学生学会如何应用线性规划模型来解决问题。

七、教学资源1.课本：《人教版高中必修5(B版)》；2.PPT：包括线性规划基本概念和解题思路，线性规划模型的建立方法和应用实例等。

八、教学评估1.课堂测试：通过解决一些类似于教学内容的问题来评估学生的掌握程度；2.课后作业：布置一些与课堂上所学内容相关的作业来巩固学生的知识。

九、教学计划1.课前10分钟：介绍课程的目标和内容，讲解线性规划的基本概念和解题思路；2.课前40分钟：讲解线性规划模型的建立方法，并通过实例进行演示；3.课后40分钟：通过一些实际问题的案例，让学生应用线性规划模型来解决问题；4.课后10分钟：课堂测试和总结。