微探究：角平分线所形成的角

证明命题三角形的两条内角平分线所夹的锐角【证明命题：三角形的两条内角平分线所夹的锐角】命题：在三角形ABC中，D为AB上一点，E为AC上一点，且满足AD=AE，则∠BDC=∠CDE。

引言：在初中阶段学习数学时，我们经常遇到各种各样的几何命题。

其中命题三角形内的角平分线所形成的相关角是一个常见而重要的几何知识点。

如何证明在一个三角形中，两条内角平分线所夹的角是锐角呢？在本文中，我们将从多个角度来证明这个命题，让我们一起深入探讨。

1. 命题的几何图示让我们来看一下三角形ABC中，D为AB上一点，E为AC上一点的几何图示。

根据题目所给的条件，根据定义作出角平分线BD和CE，所形成的角度如何？通过图示我们可以更直观地认识到这个问题。

2. 证明方法一：角平分线的定义和性质接下来，我们将运用角平分线的定义和性质来证明这个命题。

首先我们回顾一下角平分线的定义，然后通过画图和几何推理来论证命题的成立。

我们将逐步展示证明过程，并用文字和图像来详细描述。

3. 证明方法二：三角形相似性的运用除了角平分线的性质，我们还可以运用三角形的相似性来证明这个命题。

通过建立三角形的对应边比例关系，我们可以得出两条内角平分线所夹的锐角的成立。

这样的证明方法在实际解题中也是非常常见的。

4. 总结与回顾：深刻理解命题的重要性通过以上的证明方法，我们得到了命题的成立。

但是更重要的是，我们应该从中总结和回顾出一些重要的几何知识，并且更深入地理解命题的原理和应用。

只有这样，我们才能真正掌握这个知识点，并且在实际生活中更加灵活地运用它。

5. 个人观点和理解：命题的启发我想共享一下我对这个命题的个人观点和理解。

在我看来，几何知识是一种美妙而深刻的数学语言，通过不断地探索和发现，我们可以发现其中的奥秘和乐趣。

命题三角形的两条内角平分线所夹的锐角，正是这样一种启发，它让我们更深入地理解了三角形的性质和几何相似的原理。

结语：在本文中，我们从多个角度对命题三角形的两条内角平分线所夹的锐角进行了全面探讨和论证。

三角形内外角平分线与角的关系咱来说说三角形内外角平分线和角的那些事儿。

一、内角平分线与角的关系。

1. 一个内角平分线把这个角分成两个相等的角。

- 你看啊，在三角形里，假如有个角∠A，它的角平分线AD一出来，那就把∠A 分成了两个小角，∠BAD和∠CAD，这俩小角那可是一模一样大的。

就好像把一块蛋糕（∠A这个角），从中间（角平分线）平均切成了两块（∠BAD和∠CAD）。

2. 三角形内角平分线定理。

- 这个定理可有点意思呢。

如果AD是△ABC中∠A的平分线，它交BC于D点，那么就有AB/AC = BD/DC。

你可以想象成，角平分线AD就像一个裁判，它把BC边分成的两段BD和DC的比例，就和AB、AC这两条边的比例是一样的。

这就好像是三角形里的一种“平衡规则”，角平分线在这儿起着一种特殊的协调边和角关系的作用。

二、外角平分线与角的关系。

1. 外角平分线与相邻内角的关系。

- 三角形一个角的外角平分线和它相邻的内角是互补的关系。

比如说，在△ABC 中，∠A的外角∠CAE，它的平分线AF，那∠CAF和∠BAF把∠CAE平分了。

而∠CAE和∠BAC是互补的，也就是∠CAE+∠BAC = 180°。

这就好比一个在外面（外角），一个在里面（相邻内角），它们合起来就是一条直线的角度。

2. 三角形外角平分线定理。

- 如果AE是△ABC的外角∠CAE的平分线，交BC的延长线于E点，那么有AB/AC=BE/CE。

这就和内角平分线定理有点类似啦，外角平分线也在协调着边和角之间的比例关系。

只不过这里是涉及到边的延长线部分了。

就好像外角平分线在三角形外面也在按照自己的规则管理着边和角的关系呢。

三角形中两条角平分线组成的角总结初一数学几何类问题中，角平分线所组成的角是一个重点和难点，也是中考的一个高频考点。

如果同学们能够找出其中规律，掌握对应类型的模型和二级结论，对解题起到事半功倍，本文基于此，总结常见的三种模型，供大家参考学习。

1.三角形两内角角平分线组成的角：如图，△ABC 中∠ABC 与∠ACB 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？【结论】：∠BOC=90o +12∠A 【文字描述】：三角形的两内角平分线组成的角应为90o 与第三角的一半的和。

【证明】：在△ABC 中∠A+∠ABC+∠ACB=180o∴∠ABC+∠ACB=180o －∠A∵BO,CO 是∠ABC 与∠ACB 的角平分线∴∠OBC=12∠ABC ∠OCB =12∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB =12(∠ABC+∠ACB)∴∠OBC+∠OCB=12(180o －∠A)=90o －12∠A 在△BOC 中∠BOC=180o －(∠OBC+∠OCB)=180o －(90o －12∠A)即：∠BOC=90o+12∠A 。

【练习】：1．如图，在△ABC 中，BM 平分∠ABC ，CM 平分∠ACB ，若∠M ＝119°，则∠A ＝°．2．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠E ＝90°，则∠BDC °．2.三角形两外角角平分线组成的角：如图，△ABC 中，∠CBD 与∠BCE 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？【结论】：∠BOC=90o _12∠A 【文字描述】：三角形的两个外角角平分线所组成的角等于90o 与第三角的一半的差。

【证明】：在△ABC 中,∠A+∠ABC+∠ACB=180o∴∠ABC+∠ACB=180o －∠A∵∠ABC+∠CBD=180o ，∠ACB+∠BCE=180o∴∠CBD+∠BCE=360o －(∠ABC+∠ACB)=360o －180o +∠A=180o +∠A∵BO,CO 是∠DBC 与∠ECB 的角平分线∴∠OBC=12∠CBD ，∠OCB =12∠BCE ∴∠OBC+∠OCB=12∠CBD+12∠BCE =12∠CBD+∠BCE)∴∠OBC+∠OCB=12(180o +∠A )=90o +12∠A 在△BOC 中∠OBC+∠OCB+∠BOC=180o∴∠BOC=180o －(∠OBC+∠OCB)=180o －(90o +12∠A)=90o －12∠A【练习】：如图，已知点A 、B 分别在∠MON 的边ON 、OM 上（不与点O 重合），AD 平分∠BAN ，BC平分∠ABM ，直线AD ，BC 相交于点C ．（1）如图1，若∠MON ＝90°，试猜想∠ACB ＝°；（2）如图2，在（1）的基础上，若∠MON 每秒钟变小10°，经过了t 秒（0＜t ＜9），①试用含t 的代数式表示∠ACB 的度数；②并求出当t 取何值时，∠MON 与∠ACB 的度数相等；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC 平分∠ABO ，其它条件不改变，请直接写出∠BCD 与∠MON 的关系．3.三角形一内角角平分线与一外角角平分组成的角：如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACD 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？【结论】：∠O =12∠A （∠A =2∠O ）【文字描述】：三角形一外角角平分和一内角角平分所组成的角为第三角的一半。

角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。

在几何学中，角平分线具有一些重要的性质和应用。

本文将探讨角平分线的性质以及相关的几何问题。

一、角平分线的定义和性质在平面几何中，给定一个角，如果存在一条直线将这个角分成两个相等的部分，那么这条直线被称为这个角的平分线。

1. 角平分线等分角角平分线的主要性质是将一个角等分为两个相等的角。

设角AOB 为被平分的角，AC为其平分线，那么∠CAB = ∠CBO，∠CBA =∠CAO。

2. 角平分线垂直角当角的两边与平分线相交时，所形成的四个小角中，相邻的两个小角互为补角，即它们的和为90度。

这是因为角平分线将角分成两个相等的角，而补角的度数总是相等的。

3. 角平分线等分周角在一个凸多边形中，如果有一个角的两边分别与相邻两边的平分线相交，那么该角被平分成两个相等的角。

这个性质可以用来证明角平分线的存在和角平分线的长度。

二、角平分线的应用角平分线的性质在几何学中有许多重要的应用。

下面介绍两个常见的应用场景：1. 证明角平分线的存在在一些几何问题中，需要证明角的平分线是否存在，以及如何构造这条平分线。

通常可以利用角平分线等分角的性质进行证明。

通过使用尺规作图或其他几何方法，可以找到这条平分线并证明其存在。

2. 角平分线的长度在一些几何问题中，需要求解角平分线的长度。

根据角平分线性质，可以设计出一些方法来计算角平分线的长度。

比如，可以利用三角函数或相似三角形的性质，通过已知条件求解平分线的长度。

三、小结角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。

它具有等分角和垂直角的性质，在几何学中具有重要的应用。

通过证明角平分线的存在和求解角平分线的长度，可以解决一些与角平分线相关的几何问题。

在解题过程中，我们可以利用角平分线等分角、角平分线垂直角以及角平分线等分周角的性质来推导和计算。

熟练掌握角平分线的性质和应用，能够更好地解决几何学中与角平分线相关的问题。

角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。

它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。

这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。

在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。

在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。

以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。

角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。

第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。

换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。

这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。

第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。

这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。

第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。

这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。

利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。

角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。

它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。

通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。

1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。

角平分线的角度关系
角平分线是指一个角内，由顶点引出一条线段，使其把角分成
两个大小相等的角，这条线段就是这个角的角平分线。

对于一个三
角形，若它的内角的平分线作相交于点 O，则三角形内任意两个角
的平分线所成角度互相相等。

根据角平分线定理可知，平分线将角分成的两个小角相等，被
平分角的对边上的三角形的两个小角之和等于这个角的邻边对角和，即：
设三角形 ABC 中∠A 的平分线为 AD，则相交于 AD 点的 BC 边被分成 BD，DC 两段。

则有：
∠BAD = ∠CAD (平分线所分割的这个角)
∠ABD = ∠ACD (根据前面所述定理)
∠ADB + ∠BDA = ∠ADC + ∠CDA = ∠A (三角形内角和
为180°)
因此，AD 是∠A 的平分线，BAD、CAD 分别是∠BAC 的平分线。

同理，可得 CBE 为∠C 的平分线，而 BEA、AEC 为
∠ABC 的平分线。

角平分线定理在解决题目中，可以通过找到几个角的平分线，进而找到所求角的度数。

同时，在平面几何的证明中，角平分线定理也是一个常被用到的证明。

总之，角平分线是个重要且常用的概念。

以上是对“角平分线的角度关系”的简要介绍和讲述。

初中数学什么是角平分线的角度定理
角平分线的角度定理是指，在一个角的内部，从顶点引出一条线段，将该角分成两个相等的角。

具体来说，角平分线的角度定理可以总结为以下几点：
1. 定理1：角平分线将角分成两个相等的角。

假设在一个角的内部，有一条从顶点引出的线段，将该角分成两个小角。

如果这条线段恰好将该角分成两个相等的角，那么这条线段就是该角的角平分线。

2. 定理2：角平分线的垂足在角的内部。

角平分线的垂足是指角平分线与角的另一边的交点。

根据角平分线的角度定理，角平分线的垂足一定在角的内部，而不在角的外部或边上。

3. 定理3：角平分线与角的另一边相交，且与另一边的交点到角的两个边的距离相等。

假设在一个角的内部，有一条角平分线与角的另一边相交，交点到角的两个边的距离相等。

根据角平分线的角度定理，这条线段就是该角的角平分线。

4. 定理4：角平分线的角度相等。

如果两个角有一个公共的角平分线，那么这两个角的度数相等。

以上是关于角平分线的角度定理的基本内容。

角平分线的角度定理在几何学中非常重要，它可以用来证明两个角相等、构造角平分线等。

在解决与角度相关的问题时，我们可以利用角平分线的角度定理来推导和计算角度的关系。

希望这个解答对你有所帮助。

如果你有任何进一步的问题，请随时提问。

小专题(一) 与三角形的角平分线有关的角度计算模型1 两个内角平分线的夹角方法归纳：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三角度数的一半． 如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于点O ，则∠BOC ＝90°＋12∠A.1．如图，点O 是△ABC 的∠ABC 与∠ACB 两个角的平分线的交点，若∠BOC ＝118°，则∠A 的角度是________°.2．如图所示，在△ABC 中，BO 、CO 是角平分线．(1)∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，求∠BOC 的度数，并说明理由；(2)题(1)中，如将“∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°”改为“∠A ＝70°”，求∠BOC 的度数；(3)若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数．模型2 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角方法归纳：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于第三角度数的一半． 如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACE ，则∠BDC ＝12∠A.3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，∠A ＝50°，则∠D ＝________．4．如图，在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x ，y 轴上的两个动点，∠BAO 的平分线与∠ABO 的外角平分线相交于点C ，在A ，B 的运动过程中，∠C 的度数是一个定值，这个定值为________．5．(达州中考改编)如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2 014BC 和∠A 2 014CD 的平分线交于点A 2 015，求∠A 2 015的度数．6．如图，在△ABC 中，P 点是∠BCE 和∠CBF 的角平分线的交点，若∠A ＝60°，则∠P ＝________．7．一个三角形的三条外角平分线围成的三角形一定是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)模型4 角平分线与高线的夹角方法归纳：三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的一半． 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝12(∠B －∠C)．(其中∠B ＞∠C)8．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠EAD ＝10°，AD ⊥BC 于D ，AE 是∠BAC 的平分线，则∠C 的度数为________．9．如图，△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，F 为射线AE 上一点(不与E 点重合)，且FD ⊥BC.(1)若点F 与点A 重合，如图1，求∠EFD 的度数；(2)若点F 在线段AE 上(不与点A 重合)，如图2，求∠EFD 的度数；(3)若点F 在△ABC 外部，如图3，此时∠EFD 的度数会变化吗？是多少？10．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，∠B ＝20°，∠C ＝60°. (1)求∠CAD 、∠AEC 和∠EAD 的度数；(2)若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当∠B ＝30°，∠C ＝60°时，则∠EAD ＝________； 当∠B ＝50°，∠C ＝60°时，则∠EAD ＝________； 当∠B ＝60°，∠C ＝60°时，则∠EAD ＝________； 当∠B ＝70°，∠C ＝60°时，则∠EAD ＝________. (3)若∠B 和∠C 的度数改为用字母α和β来表示，你能找到∠EAD 与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．。

三角形两个外角角平分线形成的角三角形两个外角角平分线形成的角在数学中，我们经常会遇到各种有趣的几何形状和性质。

其中，三角形作为最简单的几何形状之一，具有丰富的性质和应用。

今天，我们将探讨三角形中一个非常有趣的性质：两个外角角平分线形成的角。

让我们回顾一下三角形的一些基本知识。

三角形是由三条线段组成的，每条线段称为三角形的边，而它们的端点称为三角形的顶点。

三角形的内角是指三角形内部的角度，而外角是指由一条边向外延伸形成的角度。

在任意一个三角形中，每个内角和对应的外角之和始终为360度。

这是一个很有趣的性质，意味着任何一个三角形的内角和外角的度数之和始终是一个固定值。

现在让我们来研究一个特殊性质。

在一个三角形中，如果我们取其中一个外角的角平分线和另一个外角的角平分线，这两条角平分线所形成的角度是否有什么特殊性质呢？让我们以一个具体的例子来说明。

假设我们有一个三角形ABC，其中A、B、C分别表示三个顶点，a、b、c分别表示三条边。

现在，我们选择由边AB的延长线形成的外角和由边AC的延长线形成的外角的角平分线。

这两条角平分线交于一点，我们将该交点记为D。

那么，我们选择的两个外角角平分线所形成的角，即∠BDC，它是否有特殊性质呢？让我们来研究一下。

我们可以发现∠BDC是一个内角，因为它是三角形BDC的角。

既然它是一个内角，根据前面提到的性质，它与对应的外角之和应该等于360度。

在这种情况下，对应的外角是∠BAC和∠BCA，它们之和为360度。

现在，我们来证明∠BDC是∠BAC和∠BCA的一半。

我们可以观察到角平分线BD和角平分线DC相交于角平分线的延长线上，即在三角形ABC的外部。

根据角平分线的性质，角平分线将对应的角分成两个相等的角。

∠BDC必然是∠BAC和∠BCA的一半。

通过这个例子的分析，我们可以得出结论：三角形两个外角的角平分线所形成的角度是对应内角的一半。

这个性质有很多应用和推广。

在解决与角平分线相关的几何问题时，我们可以利用这个性质来简化问题的分析和计算过程。