中考数学总复习专题八解直角三角形的应用试题 新人教版

初中数学解直角三角形的应用学习目标一、考点突破1. 弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、方位角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应。

2. 能够恰当地把实际问题转化为数学问题，从而利用直角三角形的知识解决实际问题。

二、重难点提示重点：将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。

难点：如何添作适当的辅助线构造直角三角形。

考点精讲常见应用问题类型1. 仰角和俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角。

2. 方位角：指北（或指南）方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方位角。

北西南东ABCDO60°70°30°45°3. 坡度和坡角：坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ＝h∶l。

坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，且i＝hl＝tanα。

BChlα【核心突破】（1）仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”。

（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平线。

（3）工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比为坡度（或坡比），坡度是坡角的正切，坡度越大，坡面越陡。

【重要提示】仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北（南）方向而言的。

典例精讲例题1如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图。

已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A. 10.8米B. 8.9米C. 8.0米D. 5.8米思路分析：延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA 中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到。

2023~2024学年新人教版九年级下《28.2 解直角三角形及其应用》高频题集考试总分：53 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 如图，在塔前的平地上选择一点，测出塔顶的仰角为，从点向塔底走到达点，测出塔顶的仰角为，则塔的高为（ ）A.B.C.D. 2.已知，，观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是( )A.B.C.D.AB C 30∘C B 100m D 45∘AB 50m3–√100m3–√50(−1)m3–√50(+1)m3–√Rt △ABC ∠BAC =90∘∠C =∠BADAB ×AC =BC ×AD△ABD ∽△CADA =BD ×CDB 2BC =6AB 1:3–√3. 河堤横断面如图所示，坝高米，迎水坡的坡长比为，则的长为（ ）A.米B.米C.米D.米4. 为了有效地利用土地，安徽省各大中城市兴建高楼，如图，小明在某高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为（ ）A.米B.米C.米D.米5. 如图所示，在两建筑物之间有一旗杆，高米，从点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角点，且俯角为，又从点测得点的俯角为，若旗杆底点为的中点，则矮建筑物的高为( )A.B.C.D.6. 如图，电线杆的高度为，两根拉线与互相垂直（，，在同一条直线上），若，则拉线的长度可以表示为( )BC =6AB 1:3–√AB 53–√43–√1263–√D 30∘60C 45∘82163527012A C α60∘A D β45∘G BC CD 2024−83–√24−43–√83–√CD =m AC BC A D B ∠CBA =αACA.B.C.D.7. 如图，一架飞机在点处测得水平地面上一个标志物的俯角为，水平飞行千米后到达点处，又测得标志物的俯角为，那么此时飞机离地面的高度为（ ）A.千米B.千米C.千米D.千米8. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点 ，，作直线 ，分别交 ，于点 ，，连接，则的周长为（ ）A.msin αm cos αmcos αm tan αA P αmB P βm cot α−cot βm cot β−cot αm tan α−tan βm tan β−tan α△ABC AC =BC =18∠B =75∘A C AC 12M N MN AC BC D E AE △AEC 18+63–√18+12–√B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）9. 如图，无人机在空中处测得地面，两点的俯角分别为，如果无人机距地面高度为米，，，在同一水平直线上，则，两点间的距离是__________米．（结果保留根号）10. 如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则＝________．11. 小明沿坡比为的山坡向上走了米．那么他升高了________米．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 10 分 ，共计20分 ）12. 如图，在中，已知点，是以为直径的上的弧，交于点，是 上一点（包括端点，点的坐标为．（1）若．①求的长；②求的最小值；18+122–√18+123–√18+62–√C A B ,60∘45∘CD 1003–√A D B A B 3⊙A O B(0,2)C y ⊙A tan ∠OCB 1:3–√100Rt △AOB O (0,0)，A (2,0)B (0,n),n >，32OD OA ⊙C AB D P OD O,D)E (0,)32n =2BD PB n =23–√∠POA =60∘（2）若，，求的长；（3）连接，若与相切的情况只存在一种，写出的取值范围，并说明理由．13. 如图，一幢居民楼临近山坡，山坡的坡度为，小亮在距山坡坡脚处测得楼顶的仰角为，当从处沿坡面行走米到达处时，测得楼顶的仰角刚好为，点，，在同一直线上，求该居民楼的高度．（结果保留整数，）n =23–√∠POA =60∘PB EP EP ODn OC AP AP i =1:3–√A C 60∘A 10P C 45∘O A B ≈1.733–√参考答案与试题解析2023~2024学年新人教版九年级下《28.2 解直角三角形及其应用》高频题集一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】D【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题锐角三角函数的定义【解析】本题根据等腰直角三角形，特殊的锐角三角函数值及锐角三角函数的定义，解直角三角形得到答案.【解答】解：在中，，，在中，，，，，，.故选．2.【答案】D【考点】作图—基本作图相似三角形的判定三角形的面积勾股定理Rt △ABD ∠ADB =45∘∴BD =AB Rt △ACB ∠C =30∘∴=tan AB BC 30∘∴BC ==AB AB tan 30∘3–√∵CD =100∴BC −BD =AB −AB =CD =1003–√∴AB =50(+1)(m)3–√D根据相似三角形的判定方法即可一一判断；【解答】解：由尺规作图可得：，故正确；，，，即，， 即，故正确；，，，故正确；是直角三角形，，故错误．故选．3.【答案】C【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】根据坡比求出的长，再根据勾股定理求出的长．【解答】解：∵河堤横断面迎水坡的坡比是，，∴，∴．故选．4.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】由于是和的公共直角边，可在中，根据的正切值，用表示出的长；同理可在中，根据的度数，用表示出的长；根据，即可求得的长．∠C =∠BAD A ∵∠BAC =90∘∴∠BAC =∠BAD +∠CAD =∠C +∠CAD =90∘∴∠ADC =90∘AD ⊥BC ∴=×AB ×AC =×BC ×AD S △ABC 1212AB ×AC =BC ×AD B ∵∠BAD =∠C ∠ADB =∠ADC =90∘∴△ABD ∽△CAD C ∵△ABD ∴A =B +A B 2D 2D 2D D AC AB AB 1:3–√BC =6m AC =6m 3–√AB ==12m A +B C 2C 2−−−−−−−−−−√C AB Rt △ABD Rt △ABC Rt △ABC ∠ACB AB BC Rt △ABD ∠D AB BD CD =BD −BC AB解：设楼高为．则，在中有：.解得．故选．5.【答案】B【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】根据点是中点，可判断是的中位线，求出，在和在中，利用特殊角的三角函数值分别求出、，继而可求出的长度．【解答】解：过点作于点，点是中点，，是的中位线，（米）.在中，，（米）．在中，（米），（米），米.故选.6.【答案】B【考点】AB x AB =CB =x Rt △ADB =DB AB 60+x x =tan60°=3–√x ≈82m A G BC EG △ABC AB Rt △ABC Rt △AFD BC DF CD D DF ⊥AF F ∵G BC EG//AB ∴EG △ABC ∴AB =2EG =24Rt △ABC ∵∠CAB =30∘∴BC =AB tan ∠BAC =24×=83–√33–√Rt △AFD ∵AF =BC =83–√∴FD =AF tan β=8×1=83–√3–√∴CD =AB −FD =(24−8)3–√B解直角三角形的应用锐角三角函数的定义【解析】根据同角的余角相等得，由，即可求出的长度．【解答】解：∵，，∴，在中，∵，.故选．7.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度．【解答】作交于点，如右图所示，，，∵＝，∴，∴，8.【答案】C【考点】作线段的垂直平分线∠ACD =∠CBD cos ∠ACD =CD AC AC ∠ACD +∠BCD =90∘∠CBD +∠BCD =90∘∠ACD =∠CBD Rt △ACD cos ∠ACD =CD AC ∴AC ==CD cos ∠ACD m cos αB PC ⊥AB AB C AC =PC tan αBC =PC tan βm AC −BC m =−PC tan αPC tan βPC ==m −1tan α1tan βm cot α−cot β等腰三角形的判定与性质线段垂直平分线的性质解直角三角形的应用【解析】根据题意得出垂直平分，然后根据垂直平分线的性质、等腰三角形的的性质及解直角三角形的知识来解答即可.【解答】解：由题意可得，垂直平分，∴，.在中，，,∴.在中，，，∴的周长为.故选.二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）9.【答案】【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【解答】解：∵无人机在空中处测得地面、两点的俯角分别为、，∴，，在中，∵，∴，在中，，∴．答：、两点间的距离为米．故答案为：．10.MN AC MN AC AD =CD =AC =912CE =AE △ABC AC =BC =18∠B =75∘∠C =−2∠B =180∘30∘Rt △CDE ∠CDE =90∘CE ==6CD cos 30∘3–√△AEC AC +CE +AE =18+6+6=18+123–√3–√3–√C 100(1+)3–√C A B 60∘45∘∠A =60∘∠B =45∘Rt △ACD tan A =CD AD AD ==1001003–√tan 60∘Rt △BCD BD =CD =1003–√AB =AD +BD =100+100=100(1+)3–√3–√A B 100(1+)3–√100(1+)3–√【考点】坐标与图形性质解直角三角形圆周角定理【解析】作直径，根据勾股定理求出，根据正切的定义求出，根据圆周角定理得到＝，等量代换即可．【解答】作直径，在中，＝，＝，则，，由圆周角定理得，＝，则，11.【答案】【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】设＝米，根据坡度的概念得到米，根据勾股定理计算即可．【解答】∵坡比为，∴设＝米，则米，由勾股定理得，＝，即＝，解得，＝，＝（舍去），∴＝米，三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 10 分 ，共计20分 ）12.2–√4BD OD tan ∠BDO ∠OCB ∠BDO BD Rt △OBD BD 6OB 2OD ==4B −0D 2B 2−−−−−−−−−√2–√tan ∠BDO ==OB OD 2–√4∠OCB ∠BDO tan ∠OCB =2–√450BC x AC =x 3–√1:3–√BC x AC =x 3–√B +A C 2C 2AB 2+(x x 23–√)21002x 150x 2−50BC 50解：(1)连接，如图，①∵，是的直径，，，；②连接，当点，，在同一条直线上时，最小，此时，，的最小值为；(2)作于点，如图，，，是等边三角形，，∴，∴，；(3)，理由：如解图③，连接，，由题意知，与相切于点；当点在右侧时，，若与相切，，，，OD A (2,0)，B (0,n)，n =2，∴B (0,2)∵OA ⊙C ∴OD ⊥AB ∵OA =OB =2∴AB =22–√∴BD =AB =122–√BC B P C PB BC ==+1222−−−−−−√5–√∴PB −15–√PH ⊥OB H ∵n =2，3–√∴OB =2，3–√∵∠POA =60∘CO =CP ∴△COP ∠POH =，∴OP =OC =130∘PH =OP =,OH =12123–√2BH =OB −OH =2−=3–√3–√233–√2∴PB ==B +P H 2H 2−−−−−−−−−−√7–√1.5<n <3CD ED EO ODO P EC ∠1≤∠CPE<180∘ED OD ∴∠1=，ED =EO =，∠2+∠390∘32=，∠A +∠OBA =90∘90∘∴∠2=∠OBA ∴EB =ED =32∴OB =3，即当时，点与点 重合，切于；当时，变长，，必存在点，使，此时，与相切；当时，变短，，而，∴不存在点，使，综上所述，则的取值范围为 ．【考点】切线的判定与性质解直角三角形【解析】略略略【解答】解：(1)连接，如图，①∵，是的直径，，，；②连接，当点，，在同一条直线上时，最小，此时，，的最小值为；(2)作于点，如图，，，是等边三角形，，∴OB =3n =3P D EP ODP n >3OD ∴∠1<90∘P ∠CPE=90∘EP OD n <3OD ∴∠1>90∘∠CPE ≥∠1P ∠CPE =90∘n 1.5<n <3OD A (2,0)，B (0,n)，n =2，∴B (0,2)∵OA ⊙C ∴OD ⊥AB ∵OA =OB =2∴AB =22–√∴BD =AB =122–√BC B P C PB BC ==+1222−−−−−−√5–√∴PB −15–√PH ⊥OB H ∵n =2，3–√∴OB =2，3–√∵∠POA =60∘CO =CP ∴△COP ∠POH =，∴OP =OC =130∘H =OP =,OH =–√∴，∴，；(3)，理由：如解图③，连接，，由题意知，与相切于点；当点在右侧时，，若与相切，，，，，即当时，点与点 重合，切于；当时，变长，，必存在点，使，此时，与相切；当时，变短，，而，∴不存在点，使，综上所述，则的取值范围为 ．13.【答案】解：如图，过点作于点，于点，∵山坡的坡度为，，∴可设，则．在中，，解得或（舍去），∴，则．∵，∴．设米，则米，米．在中，，PH =OP =,OH =12123–√2BH =OB −OH =2−=3–√3–√233–√2∴PB ==B +P H 2H 2−−−−−−−−−−√7–√1.5<n <3CD ED EO OD O P EC ∠1≤∠CPE<180∘ED OD ∴∠1=，ED =EO =，∠2+∠390∘32=，∠A +∠OBA =90∘90∘∴∠2=∠OBA ∴EB =ED =32∴OB =3n =3P D EP OD P n >3OD ∴∠1<90∘P ∠CPE=90∘EP OD n <3OD ∴∠1>90∘∠CPE ≥∠1P ∠CPE =90∘n 1.5<n <3P PE ⊥OB E PF ⊥CO F AP i =1:3–√AP =10PE =x AE =x 3–√Rt △AEP +(x =x 23–√)2102x =5x =−5PE =5AE =53–√∠CPF =∠PCF =45∘CF =PF CF =PF =m OC =(m +5)OA =(m −5)3–√Rt △AOC tan ==60∘OC OA m +5m −53–√m +5即，解得，∴（米）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】过点作于点，于点，解，求出，．解，得出．设米，则米，米．在中，由，求出，进而得到．【解答】解：如图，过点作于点，于点，∵山坡的坡度为，，∴可设，则．在中，，解得或（舍去），∴，则．∵，∴．设米，则米，米．在中，，即，解得，∴（米）．=m +5m −53–√3–√m =10(+1)3–√OC =10(+1)+5≈323–√P PE ⊥OB E PF ⊥CO F Rt △AEP PE =5AE =53–√Rt △CPF CF =PF CF =PF =m OC =(m +5)OA =(m −5)3–√Rt △AOC tan ===60∘OC OA m +5m −53–√3–√m =10(+1)3–√OC P PE ⊥OB E PF ⊥CO F AP i =1:3–√AP =10PE =x AE =x 3–√Rt △AEP +(x =x 23–√)2102x =5x =−5PE =5AE =53–√∠CPF =∠PCF =45∘CF =PF CF =PF =m OC =(m +5)OA =(m −5)3–√Rt △AOC tan ==60∘OC OA m +5m −53–√=m +5m −53–√3–√m =10(+1)3–√OC =10(+1)+5≈323–√。

中考数学试题分类汇总《解直角三角形及其应用》练习题（含答案）1．比较大小：sin60°＞tan30°（用“＞”或“＜”填空）．2．Rt△ABC中∠C＝90°，sin A＝，则tan A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C＝90°，sin A＝，∴∠A＝30°，∴tan30°＝．3．如图，在4×5的正方形网格中点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC＝．【分析】过点C作CE⊥AB于点E，利用面积法可求出CE的长，在Rt△BCE中，利用勾股定理可求出BE的长，再结合正切的定义可求出tan∠ABC的值．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示．∵S△ABC＝AC•3＝AB•CE，即×2×3＝×3•CE，∴CE＝．在Rt△BCE中，BC＝，CE＝，∴BE＝＝2，∴tan∠ABC＝＝．4．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（）A．B．C．D．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，作等腰三角形ABD，使AB＝AD，∠BAD＝∠BAC，且点C不在射线AD上，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BDE的值为（）A．B．C．D．【分析】先在Rt△BCA中求出AB，再利用“AAS”说明△ADE≌△ABC，求出BE、BD的长，最后在Rt △BDE中求出∠BDE的正弦．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°．∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10．在△ADE和△ABC中∵AB＝AD＝10，∠BAD＝∠BAC，∠DEA＝∠C＝90°，∴△ADE≌△ABC（AAS），∴AC＝AE＝6，BC＝DE＝8．∴BE＝AB﹣AE＝4．∴BD＝＝4．∴sin∠BDE＝＝＝．故选：C．6．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则∠A正切值是（）A．B．C．2D．【分析】取格点D，E，连接BD，可得∠ADB＝90°，再由勾股定理求得线段AD、AB的长，然后由锐角三角函数定义求解即可．【解答】解：取格点D，E，连接BD，如图，∵∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：AD＝＝2，BD＝＝，∴tan A＝＝＝，7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，使点C恰好落在A′B上，则tan∠A′AC的值为（）A．B．C．D．【分析】先利用勾股定理求出AC，再根据旋转的性质得出AB＝A′B＝5，从而求出A′C，然后在Rt △ACA′中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，∴AC＝＝＝3，由旋转得：AB＝A′B＝5，∴A′C＝A′B﹣BC＝5﹣4＝1，∵∠ACB＝90°，∴∠ACA′＝180°﹣∠ACB＝90°，在Rt△ACA′中，tan∠A′AC＝＝，8．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13m，若sinα＝，则小车上升的高度是（）A．5m B．6m C．6.5m D．12m【分析】根据正弦的定义列式计算，得到答案．【解答】解：设小车上升的高度是xm，∵sinα＝，∴＝，解得，x＝5，9．在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOD的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点C作CE∥AB，则∠AOD＝∠DCE，过点E作EF⊥CD于点F，则∠EFC＝90°，由图可得：CD＝＝，CE＝＝，＝4，∵，即4＝，∴EF＝，在Rt△CEF中，sin∠DCE＝＝＝，∴sin∠AOD＝．10．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，则tan B的值为．【解答】解：如图，连接格点A、D．在Rt△ABD中，∵AD＝3，BD＝4，∴tan B＝；11．如图是一种平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，右图是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝20cm，支撑板长CD＝DE＝16cm，支撑板顶端C点恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当∠BCD＝75°，∠CDE＝60°，则点A到直线DE 的距离是（）cm（结果保留根号）A．B．C．D．【解答】解：过点A作AH⊥DE延长线于H，过点C作CF⊥DE于F，CG⊥AH于G，∵CG∥EH，∴∠GCD＝∠CDE＝60°，∴∠ACG＝180°﹣60°﹣75°＝45°，在Rt△ACG中，AC＝10（cm），sin∠ACG＝＝＝，∴AG＝5（cm），在Rt△CDF中，CD＝16cm，∠CDE＝60°，∴CF＝CD•sin60°＝8m，∴GH＝CF＝8cm，∴AH＝（5+8）cm．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E是AC边上一点且CE＝2AE，将△BAE沿BE 翻折得△BFE，若EF∥AD，则tan∠CBE＝．【解答】解：延长EF交BC于H，如图：∵AB＝AC，D是BC边的中点，∴BD＝CD，AD⊥BC，∵EF∥AD，∴EH⊥BC，＝，∵CE＝2AE，∴CH＝2DH，设DH＝x，则CH＝2x，∴CD＝BD＝3x，∴BH＝BD+DH＝4x，设AE＝EF＝y，FH＝a，则CE＝2y，AC＝AB＝3y＝BF，在Rt△BFH中，BH2+FH2＝BF2，∴（4x）2+a2＝（3y）2①，在Rt△CEH中，CH2+EH2＝CE2，∴（y+a）2+（2x）2＝（2y）2②，由①②联立方程组，解得x＝a，y＝3a，∴BH＝4x＝4a，EH＝EF+FH＝y+a＝4a，∴tan∠CBE＝＝＝，13．如图，直角△ABC中，∠C＝90°，根据作图痕迹，若CA＝3cm，tan B＝，则DE＝cm．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，∴tan B＝＝，∴CB＝4（cm），∴AB＝＝＝5（cm），∵DE垂直平分线段AB，∴BE＝AE＝（cm），∵∠B＝∠B，∠DEB＝∠C＝90°，∴△CED∽△BCA，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），14．（2022·深圳坪山区一模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin B的值是．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴sin B＝＝，解直角三角形的应用15．春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在A处，测得“新”字底端D的仰角为60°，再沿着坡面AB向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为45°，坡面AB的坡度i＝1：，AB＝50m，AE＝75m（假设A、B、C、D、E在同一平面内）．（1）求点B的高度BF；（2）求“新”字的高度CD．（CD长保留一位小数，参考数据≈1.732）【分析】（1）由坡度的概念求出BF即可；（2）由勾股定理求出AF，再由锐角三角函数定义求出DE和CG，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过B作BG⊥CE于G，∵坡面AB的坡度1：，∴tan∠BAF＝1：＝，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝25（m）；（2）由勾股定理得，AF＝＝＝25（m），∴BG＝FE＝AF+AE＝（25+75）（m），在Rt△DAE中，tan∠DAE＝＝tan60°＝，∴DE＝AE＝75（m），∵∠CBG＝45°，∴△CBG是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（25+75）m，∵GE＝BF＝25m，∴CD＝CG+GE﹣DE＝25+75+25﹣75＝100﹣50≈13.4（m），答：“新”字的高度CD约为13.4m．16．小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为11米．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）【分析】过点D作DE⊥AB，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出AE，进而求出AB即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8米，∠ADE＝52°，BE＝CD ＝1米，在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24（米），∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）17．如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC 为（）A．（1.5+150tanα）米B．（1.5+）米C．（1.5+150sinα）米D．（1.5+）米【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BC＝CE+BE即可得出结论．【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：则四边形ADCE为矩形，AE＝150米，∴CE＝AD＝1.5米，在△ABE中，∵tanα＝＝，∴BE＝150tanα，∴BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（米），18．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD 为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是米．（结果保留根号）19．在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如图，学校大门高ME＝7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高BD＝1.5米，他站在点B处测得摄像头M的仰角为30°，站在点A处测得摄像头M的仰角为60°，求体温监测有效识别区域AB的长度．【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．【解答】解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME＝7.5米，∴CA＝EF＝BD＝1.5米，CD＝AB，设FC＝x，在Rt△MFC中，∵∠MCF＝60°，∴∠FMC＝30°，∴MC＝2FC＝2x，MF＝x，∵∠MDC＝30°，∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，∴CD＝CM＝2x，∵ME＝MF+EF，∴x+1.5＝7.5，解得x＝2，∴MC＝2x＝4（米），答：体温监测有效识别区域AB的长为4米．20．某地为了让山顶通电，需要从山脚点B开始接驳电线，经过中转站D，再连通到山顶点A处，测得山顶A的高度AC为300米，从山脚B到山顶A的水平距离BC是500米，斜面BD的坡度i＝1：2（指DF与BF的比），从点D看向点A的仰角为45°．（1）斜面AD的坡度i＝1：1；（2）求电线AD+BD的长度（结果保留根号）．【分析】（1）根据题意可得∠AED＝90°，∠ADE＝45°，然后在在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）设AE＝DE＝x米，则DE＝CF＝x米，从而表示出DF，BF的长，再利用斜面BD的坡度i＝1：2，列出关于x的方程，进行计算即可求出x的值，然后分别在Rt△BDF和Rt△ADE中，利用勾股定理求出AD，BD的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠AED＝90°，∠ADE＝45°，在Rt△ADE中，tan45°＝＝1，∴斜面AD的坡度i＝1：1，（2）由（1）得：AE＝DE，设AE＝DE＝x米，则DE＝CF＝x米，∵AC＝300米，BC＝500米，∴EC＝AC﹣AE＝（300﹣x）米，BF＝BC﹣CF＝（500﹣x）米，∴DF＝EC＝（300﹣x）米，∵斜面BD的坡度i＝1：2，∴＝，∴BF＝2DF，∴500﹣x＝2（300﹣x），解得：x＝100，∴BF＝400米，DF＝200米，AE＝DE＝100米，在Rt△BDF中，BD＝＝＝200（米），在Rt△ADE中，AD＝＝＝100（米），∴AD+BD＝（100+200）米，∴电线AD+BD的长度为（100+200）米．21．学校玩转数学小组利用无人机测量大树BC的高．当无人机在A处时，恰好测得大树顶端C的俯角为45°，大树底端B的俯角为60°，此时无人机距离地面的高度AD＝30米，求大树BC的高．（结果保留小数点后一位．≈1.414，≈1.732）【分析】延长BC，交过点A的水平线于点E，根据题意可得BE⊥AE，AD＝BE＝30米，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，然后进行计算即可解答．【解答】解：如图：延长BC，交过点A的水平线于点E，则BE⊥AE，AD＝BE＝30米，在Rt△ABE中，∠EAB＝60°，∴AE＝＝＝10（米），在Rt△AEC中，∠EAC＝45°，∴EC＝AE•tan45°＝10（米），∴BC＝BE﹣EC＝30﹣10≈12.7（米），∴大树BC的高约为12.7米．22．如图，广州塔与木棉树间的水平距离BD为600m，从塔尖A点测得树顶C点的俯角α为44°，测得树底D点俯角β为45°，则木棉树的高度CD是24米．（精确到个位，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.96）【解答】解：如图：延长DC，交过点A的水平线于点E，则BD＝AE＝600米，在Rt△AED中，∠EAD＝45°，∴DE＝AE•tan45°＝600×1＝600（米），在Rt△AEC中，∠EAC＝44°，∴EC＝AE•tan44°≈600×0.96＝576（米），∴CD＝DE﹣CE＝600﹣576＝24（米），∴木棉树的高度CD是24米，23．“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳地标性建筑之一，摩天轮采用了世界首创的鱼鳍状异形大立架，有28个进口轿厢，每个轿厢可容纳25人．小亮在轿厢B处看摩天轮的圆心O处的仰角为30°，看地面A处的俯角为45°（如图所示，OA垂直于地面），若摩天轮的半径为54米，则此时小亮到地面的距离BC为27米．（结果保留根号）【分析】过点B作BD⊥OA，垂足为D，根据题意可得AD＝BC，然后在Rt△DOB中，利用锐角三角函数的定义求出DO，DB的长，最后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出BC的长，即可解答．【解答】解：过点B作BD⊥OA，垂足为D，则AD＝BC，在Rt△ODB中，∠OBD＝30°，OB＝54米，∴OD＝OB＝27（米），DB＝OD＝27（米），在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴AD＝DB•tan45°＝27（米），∴AD＝BC＝27米，∴小亮到地面的距离BC为27米，24．如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°和北偏东15°．（1）求∠C的度数；（2）求B处船与小岛C的距离．（结果保留根号）【解答】解：（1）过点B作BE⊥AC与点E．由题意得，∠ABC＝105°，∠CAB＝45°，∴∠C＝180°﹣105°﹣45°＝30°；（2）由题意得，AB＝40×＝20（海里），在Rt△ABE中，BE＝AB•sin45°＝10（海里），在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，∴BC＝2BE＝20（海里），答：B处船与小岛C的距离为20海里．25．如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在A处．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知射线从肿瘤右侧10cm的B处进入身体，且射线与皮肤所成的夹角为∠CBA＝32.7°，则肿瘤在皮下的深度AC约为 6.4cm．[参考数据：sin32.7°≈0.54，cos32.7°≈0.84，tan32.7°≈0.64]【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝32.7°，BC＝10cm，∴AC＝BC•tan32.7°≈10×0.64＝6.4（cm），∴肿瘤在皮下的深度AC约为6.4cm，26．某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度BC为8米．【分析】根据坡度定义直接解答即可．【解答】解：∵坡度为i＝1：2，AC＝4米，∴BC＝4×2＝8（米），27．（2022·深圳坪山区二模）如图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图．其中AB段是助滑坡，倾斜角∠1＝37°，BC段是水平起跳台，CD段是着陆坡，倾斜角∠2＝30°，sin37°≈0.6，cos37°＝0.8．若整个赛道长度（包括AB、BC、CD段）为270m，平台BC的长度是60m，整个赛道的垂直落差AN是114m．则AB段的长度大约是（）A．80m B．85m C．90m D．95m【解答】解：过点C作CH⊥DN于H，设AB＝xm，则CD＝270﹣60﹣x＝（210﹣x）m，在Rt△CDH中，∠2＝30°，则CH＝CD＝（210﹣x）m，在Rt△ABM中，sin∠1＝，则AM＝AB•sin∠1≈0.6xm，由题意得：（210﹣x）+0.6x＝114，解得：x＝90，即AB＝90m，28．如图为某学校门口“测温箱”截面示意图，当身高1.7米的小聪在地面M处时开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°，当他在地面N处时，此时在额头C处测得A的仰角为58°，如果测温箱顶部A处距地面的高度AD为3.3米，求B、C两点的距离．（结果保留一位小数，sin58°≈0.8，cos58°≈0.5，tan58°≈1.6）【解答】解：如图，延长BC交AD于点E，∵BM＝CN＝1.7米，且BM⊥DM，CN⊥DM，∴BM∥CN，∴四边形BCNM是平行四边形，∵∠CNM＝∠BMN＝90°，∴平行四边形BCNM是矩形，同理，四边形CEDN是矩形，∴ED＝CN＝1.7米，∴AE＝AD﹣ED＝3.3﹣1.7＝1.6（米），在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝58°，∵，∴CE＝≈＝1（米），在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝45°，∵＝1，∴BE＝AE＝1.6（米），∴BC＝BE﹣CE≈1.6﹣1＝0.6（米），答：B、C两点的距离约为0.6米．29．如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，∴DE＝AD•tan∠EAD＝15×＝5（m），∴CE＝CD+DE＝（5+1.5）（m）．。

|类型1| 两直角三角形在高线同侧1.[2019·襄阳]襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱BC和塔冠BE)进行了测量.如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121 m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A 出发沿AC方向前进23.5 m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°.请你求出塔冠BE的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据:sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√2≈1.41)解:在Rt△ACB中，AC=121，∠A=37°，∴tan A=BCAC=BC121≈0.75，∴BC≈90.75，由题知AD=23.5，∴CD=AC-AD=97.5.在Rt△DCE中，∠EDC=45°，∴tan∠EDC=ECCD=1，∴EC=97.5，∴BE=EC-BC=97.5-90.75=6.75≈6.8.答:塔冠BE的高度约为6.8 m.2.[2019·衡阳]如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1∶√3(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.(结果精确到0.1米)(参考数据:√3≈1.73，√2≈1.41)解直角三角形的实际应用提分专练08解:过点D作DH⊥AB于点H，交AE于点F.作DG⊥BC于点G，则DG=BH，DH=GB.x米，设楼房AB的高为x米，则EB=√33∵坡度i=1∶√3，CD=10米，∴坡面CD的铅直高度DG为5米，坡面的水平宽度CG为5√3米，，在Rt△ADH中，tan∠ADH=AHDH∴DH=√3(x-5).x=√3(x-5)，∴5√3+10+√33解得x=15+5√3≈23.7(米).所以楼房AB的高度约为23.7米.3.[2019·宿迁]宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图3①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，车轮半径为32 cm，∠BCD=64°，BC=60 cm，坐垫E与点B的距离BE为15 cm.(1)求坐垫E到地面的距离.(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适.小明的腿长约为80 cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE'的长.(结果精确到0.1 cm，参考数据:sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)解:(1)如图①，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM=64°，EC=BC+BE=60+15=75(cm)，∴EM=EC sin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm)，故坐垫E到地面的距离为67.5+32=99.5(cm).(2)如图②所示，过点E'作E'H ⊥CD 于点H ，由题意知E'H=80×0.8=64(cm)， 则E'C=E 'Hsin∠ECH =64sin64°≈71.1(cm)，∴EE'=CE -CE'=75-71.1=3.9(cm).|类型2| 两直角三角形在高线异侧4.[2019·铜仁]如图，A ，B 两个小岛相距10 km ，一架直升机由B 岛飞往A 岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的h km ，当直升机飞到P 处时，由P 处测得B 岛和A 岛的俯角分别是45°和60°，已知A ，B ，P 和海平面上一点M 都在同一个平面上，且M 位于P 的正下方，求h.(结果取整数，√3≈1.732)解:由题意得，∠P AB=60°，∠PBA=45°，AB=10 km ，在Rt △APM 和Rt △BPM 中，tan ∠P AM=ℎAM =√3，tan ∠PBM=ℎBM =1， ∴AM=3=√33h ，BM=h.∵AM+BM=AB=10，即√33h+h=10， 解得h=15-5√3≈6. 答:h 约为6 km .5.[2019·海南]如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60°方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15°方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为10海里.(1)填空:∠BAC= ，∠C= ； (2)求观测站B 到AC 的距离BP .(结果保留根号)解:(1)30°45°(2)设BP=x海里.由题意，得BP⊥AC，则∠BPC=∠BP A=90°.∵∠C=45°，∴∠CBP=∠C=45°，则CP=BP=x.在Rt△ABP中，∠BAC=30°，则∠ABP=60°.∴AP=tan∠ABP·BP=tan60°·BP=√3x，∴√3x+x=10，解得x=5√3-5，则BP=5√3-5.答:观测站B到AC的距离BP为(5√3-5)海里.6.[2019·邵阳]某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB=OE；支架BC与水平线AD垂直.AC=40 cm，∠ADE=30°，DE=190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°，求OB的长度.(结果精确到1 cm；温馨提示:sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)解:设OE=OB=2x，∴OD=DE+OE=190+2x.∵∠ADE=30°，∴OC=12OD=95+x，∴BC=OC-OB=95+x-2x=95-x.∵tan∠BAD=BCAC ，∴2.14≈95-x40，解得:x≈9，∴2x=18，即OB的长度约为18 cm.|类型3| 其他类型7.[2019·泸州]如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20√2n mile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C 恰好在点B的正北方向上，且相距50 n mile，又测得点B与小岛D相距20√5n mile.(1)求sin∠ABD的值；(2)求小岛C，D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).解:(1)过D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AD=20√2，∠DAE=45°，∴DE=20√2×sin45°=20.在Rt△BED中，BD=20√5，∴sin∠ABD=EDBD =20√5=√55.(2)过D作DF⊥BC于F，在Rt△BED中，DE=20，BD=20√5，∴BE=√BD2-DE2=40.易知四边形BFDE是矩形，∴DF=EB=40，BF=DE=20，∴CF=BC-BF=30.在Rt△CDF中，CD=√DF2+CF2=50，∴小岛C，D之间的距离为50 n mile.8.[2019·镇江]在三角形纸片ABC(如图①)中，∠BAC=78°，AC=10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②).(1)∠ABC=°；(2)求正五边形GHMNC的边GC的长.(参考值:sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7)①②解:(1)30[解析]∵五边形ABDEF是正五边形，=108°，∴∠ABD=(5-2)×180°5∠DBG=∠BAC=78°，∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=30°，故答案为:30.(2)作CQ⊥AB于Q，在Rt△AQC中，sin∠QAC=QC，AC∴QC=AC·sin∠QAC≈10×0.98=9.8.在Rt△BQC中，∠ABC=30°，∴BC=2QC=19.6，∴GC=BC-BG=BC-AC=9.6.9.[2019·威海]如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH=α，木箱的长(FC)为2米，高(EF)和宽都是1.6米.通过计算判断:当sinα=3，木箱底5部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部.解:∵BH=0.6，sin α=35，∴AB=BHsinα=0.635=1，∴AH=0.8.∵AF=FC=2，∴BF=1，作FQ ⊥BG 于点Q ，作EP ⊥FQ 于点P ，∵FB=AB=1，∠EPF=∠FQB=∠AHB=90°，∠EFP=∠FBQ=∠ABH ， ∴△EFP ∽△ABH ，△FBQ ≌△ABH ， ∴EPAH =EFAB ，BQ=BH=0.6，即EP0.8=1.61， ∴EP=1.28，∴EP+BQ=1.88(米)<2米， ∴木箱上部顶点E 不会触碰到汽车货厢顶部.。

专题28.4 解直角三角形的应用中考真题专项训练（50道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了解直角三角形的应用中考真题的综合问题的所有类型！一．解答题（共50题）1．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α，cosα= 4．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，5C，D在同一平面内）．(1)求C，D两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：3≈1.7）使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：2≈1.41,3≈1.73）俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度为308米【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，分别在Rt三角形ACD中表示出CD和在Rt三角形BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解．根据题意得：∠ACD=30°，∠设AD=x，则BD=BA+AD=1000+在Rt三角形ACD中，CD=在Rt三角形BCD中，BD=CD ∴1000+x=3x⋅tan68°，解得：x=10003⋅tan68°―1=1.7×AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m 到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：3≈1.7）由题意得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m设AG＝x m，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，=x（m），∴FG=AGtan45°念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A 处测得烈士塔顶部点B 的仰角为45°，烈士塔底部点C 的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD 为10m ，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）善．某市政府为了实现5G 网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G 基站3000个，如图，在斜坡CB 上有一建成的5G 基站塔AB ，小明在坡脚C 处测得塔顶A 的仰角为45°，然后他沿坡面CB 行走了50米到达D 处，D 处离地平面的距离为30米且在D 处测得塔顶A 的仰角53°．（点A 、B 、C 、D 、E 均在同一平面内，CE 为地平线）（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan 53°≈43）(1)求坡面CB的坡度；(2)求基站塔AB的高．根据他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为∴CD=50（米），DM=30（米），根据勾股定理得：CM=CD2―DM2=40（米）∴坡面CB的坡度为；DMCM =3040=34,即坡面CB的坡度比为3:4；船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF=8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75）坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0,75,3≈1.73）地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC=31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G 处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC=42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD=BE，BC=DE．结果精确到0.1m）（参考数据：sin 31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【答案】6.9m【分析】根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后设CF＝x，则CD＝（x+3），先在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．(1)求A、C两点之间的距离；(2)求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．∴OD=AG=4.5m．答：OD的长为4.5m．【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解12．（2022·山东日照·中考真题）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC 长为260m．(1)求该滑雪场的高度h；(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．：根据题知坐索道车到达山项，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为30°，测得白塔顶部C的仰角的为37°．索道车从A 处运行到B处所用时间的为5分钟．(1)索道车从A处运行到B处的距离约为________米；(2)请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60, cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,3≈1.73）的长．(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC 方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度由题意得BD=a，CD∠B=∠D=∠CEB=90°∴四边形CDBE为矩形，则BE=CD=b，BD=在Rt∆ACE中，tan得AE=CE=CE×tanα15．（2022·湖南郴州·中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20m，背水坡BC 的坡度为i1=1:1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2=1:3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73．结果精确到0.1m）离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：测量项目测量数据从A处测得路灯顶部P的仰角αα=58°从D处测得路灯顶部P的仰角ββ=31°测角仪到地面的距离AB=DC=1.6m两次测量时测角仪之间的水平距离BC=2m计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米?（结果精确到0.1米．参考数据；cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60）【答案】3.5米【分析】延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，先得到四边形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的长度，再求出PF的长度，即可求出答案．【详解】解：如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，∵AB=DC=1.6，AB//DC∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，同理：四边形CDFE是矩形；∴AD=BC=2，EF=CD=1.6，在直角△PDF中，有PF=DF·tanβ=(AD+AF)·tanβ，在直角△PAF中，有PF=AF·tanα，∴(AD+AF)·tanβ=AF·tanα，即(2+AF)×tan31°=AF×tan58°，∴(2+AF)×0.6=AF×1.6，解得：AF=1.2；∴PF=1.2×1.6≈1.9；∴PE=PF+EF=1.9+1.6=3.5（米）；∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，正确的求出PF的长度．17．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，小欢从公共汽车站A出发，沿北偏东30°方向走2000米到达东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车东南方向的图书馆C处．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）(1)求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；(2)若小欢以100米/分的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A，那么她在15分钟内能否到达公共汽车站？【答案】(1)小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是1000米(2)小欢15分钟内能到达公共汽车站【分析】（1）过点A作AD⊥C于点D，根据B位于A的北偏东30°方向和AB＝2000米可得AD的长度；（2）根据45°角的余弦和AD的长可得AC的长度，再结合小欢的速度可得答案．，∵DC ⊥AM 于点E ，在A 处测得大树底端C 的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B 处，测得大树顶端D 的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM =30°（图中各点均在同一平面内）．(1)求斜坡BC 的长；(2)求这棵大树CD 的高度（结果取整数）．（参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43，3≈1.73）【答案】(1)斜坡BC 的长为30米(2)这棵大树CD 的高度约为20米【分析】（1）根据题意可得：∠CAE =15°，AB =30米，根据三角形的外角性质可求出∠ACB =15°，从而得出AB =BC =30米，即可得出答案．（2）在Rt △CBE 中，利用锐角三角函数的定义求出CE ，BE 的长，然后在Rt △DEB 中，利轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【答案】货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：过B作BD⊥AC于D，由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，则∠C=180°-30°-30°-70°=50°，在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，∴BD= BC sin50°≈20×0.766=15.32(海里)，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．20．（2022·山东青岛·中考真题）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）【答案】观光船从C处航行到D处的距离为462.5米【分析】过点C作CF⊥DE于点F，根据题意利用正切函数可得AB=496，由矩形的判定和性质得出CF=BE=296，结合图形利用锐角三角函数解三角形即可．【详解】解：过点C作CF⊥DE于点F，由题意得，∠D=40°,∠ACB=68°，测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD=EF=7m，测速仪C和E之间的距离CE=750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．(1)求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；(2)若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：3≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4）天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.75的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i=3:4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4,tan58°≈1.6）【详解】分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为∴∠BEA=∠BFN四边形BENF为矩形，∴BEx，ABE中，分构成如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC=60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE=3m，EF=8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：(1)求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；(2)求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73）．到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8m【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，∴四边形AMCB为矩形，∴MC=AB=8m，AB∥CM，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；(2)此时飞机的高度AB，（结果保留根号）【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．27．（2022·山西·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E 处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC 的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,3≈1.73）．【答案】58m【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则∠AGO=∠EHO=90°，再根据图形应用三角函数即可求解．【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则∠AGO=∠EHO=90°．京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH=40°，∠EFG=25°，∠ECB=36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）【答案】70【分析】过点E作EN⊥BC，交GF于点M，则四边形HBNM是矩形，可得HB=MN，在Rt∵AF=50，∠AFH=40°，在Rt△AHF中，AH=AF⋅sin∠AFH≈50×0.64=32（米），∵HG∥BC，∴∠EGF=∠ECB∵∠EFG=25°，∠ECB=36°，FG=7米∵FM=EMtan∠EFG,MG=EMtan∠EGF∴EM+EM=7，村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中DHAH≈0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB=AC=20cm，当∠BAC=120°时，伞完全打开，此时∠BDC=90°．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：3≈1.732）测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A 处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB 的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．(1)填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；(2)求楼CD的高度（结果保留根号）；(3)求此时无人机距离地面BC的高度．则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10(米)∵MN∥AE，∴∠PAF=∠MPA=60°．∵∠ADE=60°，∴∠PAF=∠ADE．∵∠DAE=30°，∴∠PAD=30°．∵∠APD=75°，∴∠ADP=75°．∴∠ADP=∠APD．∴AP=AD．∴△APF≌△DAE（AAS）．∴PF=AE=100．∴PG=PF+FG=100+10=110(米)∴无人机距离地面BC的高度为110米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．31．（2022·四川自贡·中考真题）在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1h20min，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83km的C处．（1）求该轮船航行的速度．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．古洞古部落”享誉巴渠，被誉为“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40∘，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60∘，CB＝5m,CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.2≈1.41,3≈1.73）【点睛】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．33．（2022·广东广州·中考真题）如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30°、60°,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达A′处.（1）求之间的距离（2）求从无人机A′上看目标的俯角的正切值.所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【详解】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．35．（2022·重庆·中考真题）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，其中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．(1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1:1.5，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1．5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60,sin31°≈0.52）m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)－，在=0.60，解得x=2.5，答：DM和BC的水平距离BM为2.5米．考点：解直角三角形．37．（2022·四川巴中·中考真题）2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为300和600，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73）BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，并已知tanθ1=1.082，tanθ2 =0.412．如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架CD的高（结果精确到1cm）？【答案】支架DC的高应为119cm．【分析】过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可．【详解】解：如图所示，过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm∵Rt△DAF中：∠DAF=θ1，DF=AFtanθ1，Rt△EAF中：∠EAF=θ2，EF=AFtanθ2，∴DE=DF-EF=AF（tanθ1-tanθ2）又∵AF=140cm，tanθ1=1.082，tanθ2=0.412，∴DE=140×（1.082-0.412）=93.8，∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8 cm≈119cm．答：支架DC的高应为119cm．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义进行解答是解答此题的关键．40．（2022·四川泸州·中考真题）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10 nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距82nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．根据题意可得，∠BAC=∠在Rt△ABC中，AC=BC=8∴AB=2BC=16(nmile)，在Rt△ADE中，AD=10 nmile=∴DE=AD•sin60°=10×32人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）【答案】(1)283米(2)经过点B到达点D较近【分析】（1）过E作BC的垂线，垂足为H，可得四边形ACHE是矩形，从而得到，ACHE是矩形，∴EH=AC=200米，根据题意得：∴DH=EH=200米，∴DE=2EH=30°，在Rt△ABC中，∴AB=2AC∴BC=AB2―BC2=2003（米），+100―200=2003―100（米）B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：3=1.732）；(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）由题意可得：。

解直角三角形的应用练习题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m考点：解直角三角形的应用．分析：根据已知得出AK=BD=12m，再利用tan30°==，进而得出CD的长．解答：解：∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，∴tan30°==，解得CK=4（米），即CD=CK+DK=4+1.6=（4+1.6）米．故选：A．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出tan30°==解答是解答此题的关键．2．（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．米D．50米考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．解答：解：过B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=BC=50米，∴BM=CM=50米，故选：B．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半．3．（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．解答：解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选：D．点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．4．（2014•西宁）如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到．解答：解：延长CB交PQ于点D．∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，∴==．设BD=5k米，AD=12k米，则AB=13k米．∵AB=13米，∴k=1，∴BD=5米，AD=12米．在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米，∴BC≈5.8米．故选：D．点评：本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．5．（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．解答：解：如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，∴∠DAB=15°，∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，∴∠CBA=45°．∴在直角△ABC中，sin∠ABC===，∴BC=20海里．故选：C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形．二．填空题（共5小题）6．（2009•仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°、35°，则广告牌的高度BC 为 3.5米（精确到0.1米）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题；压轴题．分析：图中有两个直角三角形△ABD、△ACD，可根据两个已知角度，利用正切函数定义，分别求出BD 和CD，求差即可．解答：解：根据题意：在Rt△ABD中，有BD=AD•tan52°．在Rt△ADC中，有DC=AD•tan35°．则有BC=BD﹣CD=6（1.28﹣0.70）=3.5（米）．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．7．（2009•安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了2（）m．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：压轴题．分析：利用所给角的正弦函数求两次的高度，相减即可．解答：解：由题意知：平滑前梯高为4•sin45°=4•=．平滑后高为4•sin60°=4•=．∴升高了2（）m．点评：本题重点考查了三角函数定义的应用．8．（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位．（≈1.4）考点：解直角三角形的应用．专题：调配问题．分析：如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56﹣BE）÷EF+1，列式计算即可求解．解答：解：如图，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米，CE=5×sin45°=5×≈3.5米，BE=BC+CE≈5.04，EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.14米，（56﹣5.04）÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17（个）．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．故答案为：17．点评：考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．9．（2014•十堰）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B 的距离是24海里．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．解答：解：∠CBA=25°+50°=75°．作BD⊥AC于点D．则∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，∠ABD=30°，∴∠CBD=75°﹣30°=45°．在直角△ABD中，BD=AB•sin∠CAB=20×sin60°=20×=10．在直角△BCD中，∠CBD=45°，则BC=BD=10×=10≈10×2.4=24（海里）．故答案是：24．点评：本题主要考查了方向角含义，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键．10．（2014•抚顺）如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为100米．考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过点P作PE⊥AB于点E，先求出∠APE及∠BPE、∠ABP的度数，由锐角三角函数的定义即可得出结论．解答：解：过点P作PE⊥AB于点E，∵∠APC=75°，∠BPD=30°，∴∠APB=75°，∵∠BAP=∠APC=75°，∴∠APB=∠BAP，∴AB=PB=200m，∵∠ABP=30°，∴PE=PB=100m．故答案为：100．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2014•南昌）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接DE．根据菱形的性质和角的和差关系可得∠CDE=∠BED=90°，再根据平行线的判定可得CD，EB的位置关系；（2）根据菱形的性质可得BE，DE，再根据三角函数可得BD，AD，根据AB=BD+AD，即可求解．解答：解：（1）猜想CD∥EB．证明：连接DE．∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30°的夹角，菱形的锐角为60°∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°，∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°，∴∠CDE=∠BED，∴CD∥EB．（2）BE=2OE=2×10×cos30°=10cm，同理可得，DE=10cm，则BD=10cm，同理可得，AD=10cm，AB=BD+AD=20≈49cm．答：A，B两点之间的距离大约为49cm．点评：此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题．12．（2014•铁岭）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tan∠CED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据：≈1.41，结果精确到0.1米）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据速度乘以时间得出CE的长度，通过坡度得到∠ECF=30°，作辅助线EF⊥AC，通过平角减去其他角从而得到∠AEF=45°即可求出AE的长度．解答：解：作EF⊥AC，根据题意，CE=18×15=270米，∵tan∠CED=1，∴∠CED=∠DCE=45°，∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°，∴EF=CE=135米，∵∠CEF=60°，∠AEB=30°，∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°，∴AE=135≈190.35米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是作辅助线EF⊥AC，以及坡度和坡角的关系．13．（2014•抚州）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732，可使用科学计算器）考点：解直角三角形的应用；菱形的性质．分析：（1）证明△CED是等边三角形，即可求解；（2）分别求得当∠CED是60°和120°，两种情况下AD的长，求差即可；（3）分别求得当∠CED是60°和120°，两种情况下DG的长度，即可求得x的范围．解答：解：（1）连接CD（图1）．∵CE=DE，∠CED=60°，∴△CED是等边三角形，∴CD=DE=20cm；（2）根据题意得：AB=BC=CD，当∠CED=60°时，AD=3CD=60cm，当∠CED=120°时，过点E作EH⊥CD于H（图2），则∠CEH=60°，CH=HD．在直角△CHE中，sin∠CEH=，∴CH=20•sin60°=20×=10（cm），∴CD=20cm，∴AD=3×20=60≈103.9（cm）．∴103.9﹣60=43.9（cm）．即点A向左移动了43.9cm；（3）当∠CED=120°时，∠DEG=60°，∵DE=EG，∴△DEG是等边三角形．∴DG=DE=20cm，当∠CED=60°时（图3），则有∠DEG=120°，过点E作EI⊥DG于点I．∵DE=EG，∴∠DEI=∠GEI=60°，DI=IG，在直角△DIE中，sin∠DEI=，∴DI=DE•sin∠DEI=20×sin60°=20×=10cm．∴DG=2DI=20≈34.6cm．则x的范围是：20cm≤x≤34.6cm．点评：本题考查了菱形的性质，当菱形的一个角是120°或60°时，连接菱形的较短的对角线，即可把菱形分成两个等边三角形．14．（2014•宿迁）如图是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB=CD=EF，∠AMF=90°，∠BAM=30°，AB=6m．（1）求FM的长；（2）连接AF，若sin∠FAM=，求AM的长．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：（1）分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N，DG⊥BC延长线于点G，FH⊥DE延长线于点H，根据AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，分别解Rt△ABN、Rt△DCG、Rt△FEH，求出BN、DG、FH的长度，继而可求出FM的长度；（2）在Rt△FAM中，根据sin∠FAM=，求出AF的长度，然后利用勾股定理求出AM的长度．解答：解：（1）分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N，DG⊥BC延长线于点G，FH⊥DE延长线于点H，在Rt△ABN中，∵AB=6m，∠BAM=30°，∴BN=ABsin∠BAN=6×=3m，∵AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，同理可得：DG=FH=3m，∴FM=FH+DG+BN=9m；（2）在Rt△FAM中，∵FM=9m，sin∠FAM=，∴AF=27m，∴AM==18（m）．即AM的长为18m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形，注意勾股定理的应用．15．（2014•邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD 中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．解答：解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．。

中考数学复习《解直角三角形的应用》专项检测卷(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，ABC 中4C ABC A ∠=∠=∠，BD 是AC 边上的高，求DBC ∠的度数．2．如图所示，ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由点A 向点C 运动（P 不与A ，C 重合），Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由点B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合）．连接PQ 交AB 于点D ．当30BQD ∠=︒时，求AP 的长．3．如图所示，已知Rt Rt ABC CDE ≌△△，且点B ，C ，D 在同一条直线上，试判断AC 与CE 的位置关系，并给予证明．4．如图，在ABC 中90ACB ∠=︒，O 是AB 的中点， 6.5CO =，BC=55BC =．(1)求AC 的长；(2)求cos OCA ∠与tan B ∠的值．5．如图，在ACB △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ．(1)求证：ACD B ∠=∠；(2)若AF 平分CAB ∠分别交CD 、BC 于E 、F ，求证：CEF CFE ∠=∠．6．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 是AB 边上一点，CE 交AD 于点M ，且DCM MAE ∠∠=．求证：AEM △是直角三角形．7．如图，在ABC 中9030ACB A ∠=︒∠=︒，，AB 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点D ，E ．(1)求证：2AE CE =；(2)连接CD ，请判断BCD △的形状，并说明理由．8．已知：如图，在ABC 中120AB AC A AB =∠=︒，，的垂直平分线MN 分别交BC ，AB 于点M N ，，求证2CM BM =：．9．如图所示，ABC 中,120AB AC BAC =∠=︒，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证：2BF CF =．10．如图，在四边形ABCD 中AD BC ∥，E 是BC 的中点，CA 平分BCD ∠，且AC AB ⊥，连接DE ，交AC 于F ．(1)求证：AD EC =；(2)若60B ∠=︒，试确定四边形ABED 是什么特殊四边形？请说明理由．11．已知：如图所示90ACB ∠=，AC=BC ，CD 是经过点C 的一条直线，过点A ，B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥垂足分别为E ，F ，猜想AE ，BF ，EF 三者之间的数量关系，并予以证明．12．如图①，直角三角形DEF 与直角三角形ABC 的斜边在同一直线上90ACB E ∠=∠=︒ 36EDF ∠=︒40ABC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，将三角形DEF 绕点D 按逆时针方向旋转，如图①，记ADF ∠为()0180αα︒<<︒，在旋转的过程中：(1)当α为多少度时DE BC ∥？(2)直接写出当α为多少度时DE BC ⊥？13．如图，四边形ABCD 中90A C ∠=∠=︒，BE ，DF 分别是ABC ∠，ADC ∠的平分线(1)1∠与2∠有什么关系，为什么？(2)BE 与DF 有什么位置关系？请说明理由．14．如图，在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，过点C 的直线MN AB ∥，D 在AB 边上一点．过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE ．(1)求证：CE AD =；(2)当点D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由．15．综合与实践问题情境：如图1，在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，连接CD ，将BCD △沿直线CD 折叠，点B 落在点E 处，连接AE ．独立思考：（1）在图1中，若2, 2.5BC CD ==，则AC 的长为__________． 实践探究：（2）在图1中，请你判断AE 与DC 的位置关系，并说明理由； 问题解决：（3）如图2，在Rt ABC △中90,60ACB B ∠=︒∠=︒，点D 是AB 的中点，连接CD ，将BCD 沿直线CD 折叠，点B 落在点E 处，连接AE ．请判断四边形CDAE 的形状，并说明理由．参考答案：1．10DBC ∠=︒2．23．AC CE ⊥4．(1)AC 的长为12 (2)12cos 13OCA ∠= 12tan 5B ∠= 7．(2)BCD △是等边三角形(2)菱形11．AE BF EF =+ 12．(1)4α=︒(2)94α=︒时 DE BC ⊥13．(1)1290∠+∠=︒(2)BE DF ∥14．(2)四边形BECD 是菱形15．（121（2）CD AE （3）四边形CDAE 是菱形。

中考数学复习《解直角三角形的应用》专项检测卷-附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5m，高BC为3m．他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°．A，B，C，D，E在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数）2．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆，地面上三点D，E与C在一条直线上，DE＝10.5m，EC＝5m．在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°．此时点A、B与E在一条直线上，求太阳能电池板宽AB的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√2≈1.41，√3≈1.73）3．为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB∥CD∥l，车轮半径为32cm，∠ABC＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为10cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为84cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0．lcm．参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）4．在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆AB的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长CD＝10米，坡度i＝3：4，小华在C处测得旗杆顶端A的仰角为60°，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°．求旗杆AB的高度．（点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上，结果保留根号）5．如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱BC与地面PC垂直（∠ACB＝90°），BC＝3米，支撑杆DE⊥AB于点E，∠BDE＝α且sinα=25，从点B观测点D的仰角为45°，又测得BE ＝4米．（1）求该支架的边BD的长；（2）求支架的边BD的顶端点D到地面PC的距离DF．（结果保留根号）6．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，且AB＝6米，OA：OB＝2：1．当点A位于最高点时，∠AOM＝127°．（1）求点A位于最高点时到地面的距离；（2）当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）7．某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平直线上）．已知测量仪高度AE＝CF＝1.65米，AC＝28米，求树BD的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75】8．如图，某工厂坐落在东西方向公路MN的北侧，H，E分别是矩形生产车间ABCD的入口和出口（AD∥MN，HE⊥BC），车间宽度EH＝80m，生产出来的产品沿北偏西53°的厂内道路EF运送到库房F存放，EF＝500m，工厂大门G在库房F南偏西26.6°的方向，求大门与车间入口之间的距离GH的长．（点G，B，H，C在直线MN上．参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）9．数学兴趣小组测量某楼房的高度．如图所示，楼房剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长39米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则楼顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）10．“工欲善其事，必先利其器”，如图为钓鱼爱好者购买的神器“晴雨伞”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AD，用绳子拉直AC后系在树干PQ上的点E处，使得A，C，E在一条直线上，AB＝AC＝2m，DQ＝3m．（1）垂钓时打开“晴雨伞”，若∠α＝60°，求遮蔽宽度BC（结果精确到0.01m）；（2）若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得∠BAC＝106°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，√3≈1.73）参考答案1．解：能，过B作BF⊥DE于F则EF＝BC＝3m，BF＝CE在Rt△ABC中，∵AB＝5m，BC＝3m∴AC=√AB2−BC2=4（m）在Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°∴AE＝DE设AE＝DE＝x m∴BF＝（4+x）m，DF＝（x﹣3）m在Rt△BDF中，tan38.7°=DFBF =x−34+x≈0.80解得x＝31∴DE＝31m答：信号塔DE的高为31m．2．解：过B作BM⊥ED于M，BN⊥CO于N ∴∠DMB＝90°，∠ONB＝90°∵∠BEM＝45，∠BDE＝37°，∠OCE＝90°∴△OEC，OBN是等腰直角三角形设BN＝MC＝x m∴ME＝（5﹣x）m，MD＝（5.5﹣x）m在Rt△BMD中，∠DMB＝90°∴tan∠BDM=BMDM =5−x5.5−x=0.75∴x＝0.5∵∠BEM＝45°，∠ECO＝90°∴OB=√22∴AB＝2OB=√2≈1.4（m）答：太阳能电池板宽AB的长度约为1.4m．3．解：过点E作EG⊥CD于点G∴∠EGC＝90°．∵BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为10cm ∴CE＝70（cm）．∵∠ABC＝64°，AB∥CD∴∠ECD＝64°．∴EG＝EC•sin64°≈70×0.90＝63（cm）．∵CD∥l，CF⊥l，l与⊙D相切，车轮半径为32cm ∴CF＝32（cm）．∴坐垫E到地面的距离为：63+32＝95（cm）．答：坐垫E到地面的距离为95cm；（2）过点E′作E′G′⊥CD于点G′∴∠E′G′C＝90°．∵小明的腿长约为84cm∴E′G′＝84×0.8＝67.2（cm）．∵∠ECD＝64°∴CE′=67.2sin64°=67.20.90≈74.67（cm）．∴EE′＝CE′﹣CE＝74.67﹣70＝4.67≈4.7（cm）．答：EE′长4.7cm．4．解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F由题意得：DF＝BE，BF＝DE∵坡长CD＝10米，坡度i＝3：4∴DECE=34∴设DE＝3x米，则CE＝4x米在Rt△CDE中，CD=√CE2+DE2=√(4x)2+(3x)2=5x（米）∴5x＝10解得：x＝2∴CE＝8米，DE＝BF＝6米设BC＝y米∴DF＝BE＝BC+CE＝（y+8）米在Rt△ABC中，∠ACB＝60°∴AB＝BC•tan60°=√3y（米）在Rt△ADF中，∠ADF＝45°∴AF＝DF•tan45°＝（y+8）米∵AB＝AF+BF∴√3y＝y+8+6解得：y＝7√3+7∴AB=√3y＝（21+7√3）米∴旗杆AB的高度为（21+7√3）米．5．解：（1）∵DE⊥AB∴△DBE是直角三角形在Rt△DBE中，sinα=BEDB=25∵BE＝4∴BD＝10即该支架的边BD的长为10米；（2）根据已知可得，在Rt△DBG中∠DBG＝45°，且BD＝10∴sin∠DBG=sin45°=DGDB即DG10=√22解得：DG=5√2在矩形GFCB中，GF＝BC＝3∴DF＝DG+GF＝（5√2+3）米．6．解：（1）过O作EF⊥OM于O，过A作AG⊥EF于G ∵AB＝6米，OA：OB＝2：1∴OA＝4米，OB＝2米∵∠AOM＝127°，∠EOM＝90°∴∠AOE＝127°﹣90°＝37°在Rt△AOG中，AG＝AO×sin37°≈4×0.6＝2.4（米）点A位于最高点时到地面的距离为2.4+3＝5.4（米）答：点A位于最高点时到地面的距离为5.4米；（2）过O作EF⊥OM，过B作BC⊥EF于C，过B1作B1D⊥EF于D ∵∠AOE＝37°∴∠BOC＝∠AOE＝37°，∠B1OD＝∠A1OE＝17.5°∵OB1＝OB＝2（米）在Rt△OBC中，BC＝sin∠OCB×OB＝sin37°×OB≈0.6×2＝1.2（米）在Rt△OB1D中，B1D＝sin17.5°×OB1≈0.3×2＝0.6（米）∴BC+B1D＝1.2+0.6＝1.8（米）∴此时水桶B上升的高度为1.8米．7．解：连接EF交树BD于点G．由题意知；AE⊥AC，CF⊥AC，BD⊥AC又∵AE＝CF＝1.65米∴四边形EAGB、CFGB是矩形．∴BG＝AE＝1.65米．∠DGE＝∠DGF＝90°AB＝EG，BC＝GF．在Rt△EGD中∵∠DEG＝45°∴AB＝DG＝EG＝（DB﹣1.65）米．在Rt△FGD中∵tan∠DFG=DGGF∴BC＝GF=DGtan∠DFG ≈DB−1.650.75米．∵AB+BC＝AC＝28∴DB﹣1.65+DB−1.65=280.75∴DB＝13.65≈13.7（米）．答：树BD的高度为13.7米．8．解：过F作FP⊥BG于P，延长EA交FP于Q则四边形PHEQ是矩形∴PQ＝EH＝80m，EQ＝PH在Rt△EFQ中，∠FQE＝90°，∠EFQ＝53°，EF＝500m∴FQ＝EF•cos53°≈500×3=300（m），EQ＝EF•sin53°≈500×45=400（m）5∴PH＝EQ＝400m，PF＝FQ+PQ＝300+80＝380（m）在Rt△PFG中，∠FPG＝90°，∠PFG＝26.6°∴PG＝PF•tan26.6°≈380×0.5＝190（m）∴GH＝PG+PH＝190+400＝590（m）答：大门与车间入口之间的距离GH的长约为590m．9．解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形∴FB＝PH，FH＝PB由i＝5：12，可以假设BP＝5x，AP＝12x∵PB2+P A2＝AB2∴（5x）2+（12x）2＝392∴x＝3或﹣3（舍去）∴PB＝FH＝15，AP＝36设EF＝a米，BF＝b米∵tan∠EBF=EFBF∴ab≈2∴a≈2b①∵tan∠EAH=EHAH =EF+HFAP+PH=EF+BPAP+BF∴a+1536+b≈1.2②由①②得a≈70.5，b≈35.25答：塔顶到地面的高度EF约为70.5米．10．解：（1）∵AB＝AC＝2m，AO⊥BC ∴BC＝2OC在Rt△AOC中，∠α＝60°∴OC＝AC•sin60°＝2×√32=√3（m）∴BC＝2OC＝2√3≈3.46（m）∴遮蔽宽度BC约为3.46m；（2）过点E作EF⊥AD，垂足为F由题意得：EF＝DQ＝3m当∠α＝60°时在Rt△AFE中，AF=EFtan60°=√3=√3（m）当∠BAC＝106°时∵AB＝AC，AO⊥BC∴∠EAF=12∠BAC＝53°在Rt△AFE中，AF=EFtan53°≈31.33≈2.26（m）∴点E下降的高度＝2.26﹣1.73≈0.5（m）∴点E下降的高度约为0.5m．第11页共11页。

人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 1 / 14解直角三角形的应用 测试题时间：100分钟 总分： 100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等 小明将PB 拉到 的位置，测得 为水平线 ，测角仪 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为A.B.C. D.2. 如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角 为 ，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角 为 ，则调整后的楼梯AC 的长为 A. B.C. D. 3. 一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为 现要在楼梯上铺一条地毯，已知 米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要A. 米B.米 C.米D. 米4. 上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处 如图 从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东 和北偏东 方向，那么在B 处船与小岛M 的距离为A. 20海里B. 海里C. 海里D. 海里 5. 如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为a ，那么滑梯长m 为A. B. C. D.6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为，则这个电视塔的高度单位：米为A. B. 61 C. D. 1217.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是A. 南偏东，千米B. 北偏西，千米C. 南偏东，100千米D. 北偏西，100千米8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为A. nmileB. nmileC. nmileD. nmile9.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度：，则坝底AD的长度为A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米10.如图是某水库大坝的横截面示意图，已知，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度：，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度：4，则大坝底端增加的长度CF是米．A. 7B. 11C. 13D. 20二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 3 / 1411. 为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形已知迎水坡面 米，背水坡面 米， ，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，，则CE 的长为______ 米12. 如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为 ，测得底部C 的俯角为 ，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米，那么该建筑物的高度BC 约为______ 米 精确到1米，参考数据：13. 小明沿着坡度i 为1： 的直路向上走了50m ，则小明沿垂直方向升高了______ 14. 如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角 为 ，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角 为 ，则调整后楼梯AC 长为______ 米15. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 的斜坡，从A 滑行至B ，已知 米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米 参考数据： ， ，16. 如图，为测量某栋楼房AB 的高度，在C 点测得A 点的仰角为 ，朝楼房AB 方向前进10米到达点D ，再次测得A 点的仰角为 ，则此楼房的高度为______ 米 结果保留根号 ．17. 如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为 、 ，如果此时热气球C 处的高度为200米，点A 、B 、C 在同一直线上，则AB 两点间的距离是______米 结果保留根号 ．18.如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m，CD长为，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为______19.如图，某堤坝的斜坡AB的斜角是，坡度是：，则______．20.某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为3米秒，则这架无人飞机的飞行高度为结果保留根号______ 米三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度该楼底层为车库，高米；上面五层居住，每层高度相等测角仪支架离地米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为，在B处测得四楼顶部点E的仰角为，米求居民楼的高度精确到米，参考数据：22.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为4米秒，求这架无人飞机的飞行高度结果保留根号人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析）23.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为，教学楼底部B的俯角为，量得实验楼与教学楼之间的距离．求的度数．求教学楼的高结果精确到，参考数据：，24.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，米，坡角，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为，其中点A、C、E在同一直线上．求斜坡CD的高度DE；求大楼AB的高度结果保留根号5 / 14四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为，测得大楼顶端A的仰角为点B，C，E在同一水平直线上，已知，，求障碍物B，C两点间的距离结果精确到参考数据：，26.如图，某湖中有一孤立的小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛，某同学在观光道AB上测得如下数据：米，，请求出小桥PQ的长，结果精确到米人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析）7 / 14答案和解析【答案】 1. A 2. B 3. D 4. B5. A6. C7. B8. B 9. D 10. C11. 8 12. 208 13. 2514. 15. 280 16.17. 18. 130 19.20.21. 解：设每层楼高为x 米，由题意得： 米， ， ，在 中， ，，在 中， ，， ，，解得： ，则居民楼高为 米． 22. 解：如图，作 ， 水平线，由题意得： ， ， ，， ， ，， ， ，则 ．23. 解： 过点C 作 ，则有 ， ，；由题意得： ，在 中， ， 在 中， ，教学楼的高 ， 则教学楼的高约为 ．24. 解：在 中， 米， ， ，米；过D作，交AB于点F，，，，即为等腰直角三角形，设米，四边形DEAF为矩形，米，即米，在中，，米，米，米，，，，在中，根据勾股定理得：，解得：，则米．25. 解：如图，过点D作于点F，过点C作于点H．则，在直角中，，，．在直角中，，，，．答：障碍物B，C两点间的距离约为．26. 解：设米，在直角中，，，在直角中，，，米，，解得：米．答：小桥PQ的长度约是米．【解析】1. 解：设，在中，，，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 9 / 14， ，．故选：A ．设 ，在 中，根据，列出方程即可解决问题．本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．2. 解：在 中，，， 在 中，，．故选B ．先在 中利用正弦的定义计算出AD ，然后在 中利用正弦的定义计算AC 即可．本题考查了解直角三角形的应用 坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成 ：m 的形式 把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度i 与坡角 之间的关系为： ． 3. 解：在 中， 米 ， 米 ，地毯的面积至少需要 米 ； 故选：D ．由三角函数表示出BC ，得出 的长度，由矩形的面积即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC 是解决问题的关键．4. 解：如图，过点B 作 于点N ．由题意得，海里， ．作 于点N ．在直角三角形ABN 中， ． 在直角 中， ，则 ， 所以 海里 ． 故选B ．过点B 作 于点 根据三角函数求BN 的长，从而求BM 的长．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．5. 解：，． 故选A ．根据三角函数的定义即可求解．本题考查了三角函数的定义，理解定义是关键． 6. 【分析】根据题意求出CE 的长，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出AE 的长，根据正弦的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解仰角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【解答】解：由题意得，，，，，，．故选：C．7. 解：第一艘快艇沿北偏西方向，第二艘快艇沿南偏西方向，，，，，第二艘快艇沿南偏西方向，，，第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西，千米．故选：B．根据题意得出以及，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离．此题主要考查了方向角以及勾股定理，正确把握方向角的定义是解题关键．8. 解：如图作于E．在中，，，，在中，，，故选：B．如图作于在中，求出PE，在中，根据即可解决问题．本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．9. 解：坝高12米，斜坡AB的坡度：，米，米，米，故选：D．先根据坡比求得AE的长，已知，即可求得AD．此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．10. 解：过D作于G，于H，，，背水坡CD的坡度：，背水坡EF的坡度：4，，，米，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 11 / 14 故选C ．过D 作 于G ， 于H ，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．11. 解：分别过A 、D 作 ， ，垂点分别为F 、G ，如图所示．在 中， 米， ，，， ．在 中， ， 米，．在 中， ，，，．即CE 的长为8米．故答案为8．分别过A 、D 作下底的垂线，设垂足为F 、 在 中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF 的值，也就得到了DG 的长；在 中，由勾股定理求CG 的长，在 中，根据正切函数定义得到GE 的长；根据 即可求解． 本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理 作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路．12. 解：由题意可得：， 解得： ，，解得： ，故该建筑物的高度为： ，故答案为：208．分别利用锐角三角函数关系得出BD ，DC 的长，进而求出该建筑物的高度． 此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 13. 解：如图，过点B 作 于点E ，坡度： ： ，：， ，，．他升高了25m ．故答案为：25．首先根据题意画出图形，由坡度为1： ，可求得坡角，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案．此题考查了坡度坡角问题此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．14. 解：在中，，，在中，，．故答案是：．先在中利用正弦的定义计算出AD，然后在中利用正弦的定义计算AC即可．本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．15. 解：如图在中，，这名滑雪运动员的高度下降了280m．故答案为280如图在中，，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．16. 解：在直角三角形ADB中，，，，在直角三角形ABC中，，，，，解得：．故答案为：．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17. 解：从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为、，，，，，是等腰直角三角形，，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 13 / 14在 中， ， ，，．故答案为： ．先根据从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为 、 可求出 与 的度数，再由直角三角形的性质求出AD 与BD 的长，根据 即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．18. 解：作 于E ， 于F ，斜坡CD 的坡比为1：2，即 ，，又 ，， ，由题意得，四边形BEFC 是矩形，， ，斜坡AB 的坡比为1：3，，即 ， ，故答案为：130m ．作 于E ， 于F ，根据坡度的概念分别求出AE 、DF ，结合图形计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比是解题的关键，掌握矩形的判定和性质的应用．19. 解： ： ，则 ．故答案是： ．根据坡度就是坡角的正切值即可求解．本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．20. 解：如图，作 ， 水平线，由题意得： ， ， ，， ，，， ，，．故答案为： ．作 ， 水平线，根据题意确定出 与 的度数，利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长，由 求出BC 的长，即可求出BH 的长．此题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．21. 设每层楼高为x 米，由 求出 的长，进而表示出 与 的长，在直角三角形 中，利用锐角三角函数定义表示出 ，同理表示出 ，由 求出AB 的长即可．此题属于解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．22. 如图，作 ， 水平线，根据题意确定出 与 的度数，利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长，由 求出BC 的长，即可求出BH 的长．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．23. 过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由求出BD的长，即为教学楼的高．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．24. 在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．此题考查了解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．25. 如图，过点D作于点F，过点C作于点通过解直角得到DF的长度；通过解直角得到CE的长度，则．本题考查了解直角三角形仰角俯角问题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．26. 设米，在直角和直角中分别利用x表示出AQ和BQ的长，根据，即可列方程求得x的值．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．。

新人教版数学九年级下册第28章28.2解直角三角形及其应用课时作业一、选择题1. 如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=33，则边BC的长为（）A.303cmB.203cmC.103cmD.53cm答案：C知识点：解直角三角形解析：解答：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tan∠BAC= BCAC，又AC=30cm，tan∠BAC=33，则BC=ACtan∠BAC=30×33=103cm．故选C．分析：此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察生活中的数学问题，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学来自于生活且服务于生活．因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知∠BAC的对边为BC，邻边为AC，根据∠BAC的正切值，即可求出BC 的长度．2. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米 B. 20米 C. 16米 D. 12米答案：D知识点：解直角三角形的应用解析：解答：∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC·tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入得，AB≈24×0.51≈12米．故选D．分析：本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BC·tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入进行计算即可．3. 如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）A.503米B. 1003米C 10031+米D.10031-米答案：D知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：在Rt△ABD中,∵∠ADB=45,°∴BD=AB.在Rt△ABC中, ∵∠ACB=30°,∴ABBC=tan30°=33.∴BC=3AB. 设AB=x（米）, ∵CD=100,∴BC=x+100. ∴x+100=3x,∴x=10031米.故选D．分析：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x（米），再利用CD=BC-BD=100的关系，进而可解即可求出答案．4. 某水坝的坡度i=1：3，坡长AB=20米，则坝的高度为（）A．10米B．20米C．40米D．20答案：A．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：如图：∵坡度i=1：3,∴设AC=x，BC=3x.根据勾股定理得AC2+BC2=AB2,则x 2+（3x ）2=202,解得x=10． 故选A ．分析：此题考查了坡比的概念，不仅要熟悉解直角三角形的知识，还要熟悉勾股定理． 画出图形，根据坡度的定义__-直角三角形中，坡角的正切值，然后利用解直角三角形的知识解答．5. 如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A ．103米B ．10米C ．203米D ．2033米 答案：A知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 解析：解答：∵在直角三角形ADB 中，∠D=30°, ∴ABBD=tan30°, ∴BD=tan 30ABo=3AB . ∴在直角三角形ABC 中，∠ACB=60°. ∴BC=tan 60AB o =33AB.∵CD=20,∴CD=BD-BC=3AB-33AB=20. 解得：AB=103． 故选A ．分析：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB 及CD=DC-BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．6. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503 m 答案：A知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 解析：解答：∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3,∴BCAC=33. ∵BC=50m, ∴AC=503m. ∴AB=22AC BC =100m.故选：A ．分析：此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比． 根据题意可得BCAC=33，把BC=50m ，代入即可算出AC 的长，再利用勾股定理算出AB 的长即可．7. 如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米 B ．2003米 C ．2203米 D ．100（3+1）米 答案：D知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100, ∵CD ⊥AB 于点D,∴在Rt △ACD 中，∠CDA=90°，tanA=CDAD .∴AD=tan CD A =10033=1003. 在Rt △BCD 中，∠CDB=90°，∠B=45°, ∴DB=CD=100米.∴AB=AD+DB=1003+100=100（3+1）米． 故选D ．分析：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD 为直角△ABC 斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD 与BD 的长． 图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可． 8. 为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ； ②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC ．能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 答案：C知识点：解直角三角形的应用解析：解答：此题比较综合，要多方面考虑，①因为知道∠ACB 和BC 的长，所以可利用∠ACB 的正切来求AB 的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③，因为△ABD∽△EFD可利用EF FDAB BD=，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选C．分析：本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据EF FDAB BD=即可解答．9. 如图，△ABC中，cosB=22，sinC=35，AC=5，则△ABC的面积是（）A. 212B. 12C.14D.21答案：A知识点：解直角三角形的应用解析：解答：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=22，sinC=35，AC=5，∴cosB=22=BDAB．∴∠B=45°．∵sinC=35=AD AC =5AD ，∴AD=3．∴CD=2253 =4． ∴BD=3．则△ABC 的面积是：12×AD ×BC=12×3×（3+4）=212． 故选A ．分析：此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD ⊥BC ，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．根据已知作出三角形的高线AD ，进而得出AD ，BD ，CD ，的长，即可得出三角形的面积． 10. （2011 荆州）在△ABC 中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB 的值是（ ） A.5714 B. 35 C. 217 D. 2114答案：D知识点：解直角三角形的应用 解析：解答：延长BA 作CD ⊥BD ， ∵∠A=120°，AB=4，AC=2， ∴∠DAC=60°，∠ACD=30°． ∴2AD=AC=2， ∴AD=1，CD=3， ∴BD=5， ∴BC=27， ∴sinB=327=2114．故选：D ．分析：此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，根据题意得出∠DAC=60°，∠ACD=30°是解决问题的关键．根据∠A=120°，得出∠DAC=60°，∠ACD=30°，得出AD=1，CD=3，再根据BC=27，利用解直角三角形求出．11. 如图所示，渔船在A 处看到灯塔C 在北偏东60°方向上，渔船正向东方向航行了12海里到达B 处，在B 处看到灯塔C 在正北方向上，这时渔船与灯塔C 的距离是（ ）A.123海里B.63海里C. 6海里D. 43海里 答案：D知识点：解直角三角形的应用-方向角问题 解析：解答：由已知得：∠BAC=90°-60°=30°， 在直角三角形ABC 中， BC=ABtan30°=12×33=43（海里）． 故选：D ．分析：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是先得∠BAC=30°，再解直角三角形ABC 即可．此题易得∠BAC=30°，再由直角三角形ABC 运用三角函数求得渔船与灯塔C 的距离BC ． 12. 如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB=α，那么AB 等于（ ）A. msin α米B.mtan α米C.mcos α米D. tan mα米 答案：B知识点：解直角三角形的应用解析：解答：在直角△ABC中，tanα=ABm，∴AB=mtanα．故选B．分析：此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算．在直角△ABC中，已知∠α及其邻边，求∠α的对边，根据三角函数定义即可求解．13. 如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A. (533+32)m B. (53+32)m C.533m D.4m答案：A知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：∵AD=BE=5米，∠CAD=30°，∴CD=ADtan30°=5×33=533（米）．∴CE=CD+DE=CD+AB=533+32（米）．故选A．分析：此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角三角形的综合运用能力．应先根据相应的三角函数值算出CD长，再加上AB长即为树高．14. 一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A. (303-50,30)B. (30, 303-50)C. (303,30)D.(30, 303) 答案：A知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：过点A作AC⊥x轴于C．在直角△OAC中，∠AOC=30°，OA=4×15=60海里，则AC=12OA=30海里，OC=303海里．因而A所在位置的坐标是（303，30）．小岛B在A的正西50海里处，因而小岛B所在位置的坐标是（303-50，30）．故选A．分析：本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．过点A作AC⊥x轴于C，根据已知可求得点A的坐标，从而根据已知求点B的坐标．15. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）A. 1033km B.533km C. 52km D. 53km答案：A知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：如图．由题意可知，AB=5km，∠2=30°，∠EAB=60°，∠3=30°．∵EF∥PQ，∴∠1=∠EAB=60°又∵∠2=30°，∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-60°-30°=90°．∴△ABC是直角三角形．又∵MN∥PQ，∴∠4=∠2=30°．∴∠ACB=∠4+∠3=30°+30°=60°．∴AC=sin ABACB=532=1033（km）．故选A．分析：本题是方向角问题在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答．根据已知作图，由已知可得到△ABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长．二、选择题1. 数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是____答案：103米知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：如图，根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，∵∠A=90°，∴在Rt△ABC中，AB=ACtan∠ACB=10×tan60°=10×3=103（米）．故答案为：103．分析：本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．由根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，然后再在Rt△ABC中，利用正切函数，即可求得旗杆的高度．2. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是____答案：210cm．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：过点B作BD⊥AC于D，根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴BD：CD=1：5，∴CD=5BD=5×54=270（cm），∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）．∴AC的长度是210cm．故答案为：210．分析：此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题．此题难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的长，继而求得答案．3. 如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°=____答案：2-3．知识点：解直角三角形的应用解析：解答：由已知设AB=AC=2x，∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD=12AC=x，则AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2，∴AD=3x，∴BD=AB-AD=2x-3x=（2-3）x，∴tan15°=BDCD=(23)xx=2-3．故答案为：2-3．分析：此题考查的知识点是解直角三角形，关键是由直角三角形中30°角的性质与勾股定理先求出CD与AD，再求出BD．此题可设AB=AC=x，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=AB-AD，从而求出tan15°．4. 如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是____米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）答案：12知识点：解直角三角形的应用解析：解答：由题意知BC=8，∠C=56°，故AB=BCtan56°≈8×1.483≈12米，故答案为12．分析：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求解．在直角三角形ABC中，根据BC=8，∠ACB=56°即可求得AB的长．5. 如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m的D 处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为____（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．答案：8.1 m．知识点：解直角三角形的应用解析：解答：如图，在Rt△ACE中，∴AE=CEtan36°=BDtan36°=9×tan36°≈6.57米，∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）． 故答案为：8.1．分析：本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE 的值是解题的关键． 根据CE 和tan36°可以求得AE 的长度，根据AB=AE+EB 即可求得AB 的长度，即可解题． 三、解答题1. 为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB ，如图，在山外一点C 测得BC 距离为200m ，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB 的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）答案：隧道AB 的长为245m ． 知识点：解直角三角形 解析：解答：过点C 作CD ⊥AB 于D ， ∵BC=200m ，∠CBA=30°， ∴在Rt △BCD 中，CD=12BC=100m ，BD=BCcos30°=200×32=1003≈173（m ）， ∵∠CAB=54°， 在Rt △ACD 中，AD=tan 45o CD ≈1001.38≈72（m ），∴AB=AD+BD=173+72=245（m ）． 答：隧道AB 的长为245m ．分析：此题考查了解直角三角形的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意把实际问题转化为数学问题求解．首先过点C作CD⊥AB于D，然后在Rt△BCD中，利用三角函数的知识，求得BD，CD的长，继而在Rt△ACD中，利用∠CAB的正切求得AD的长，继而求得答案．2. 如图所示，两个建筑物AB和CD的水平距离为30m，张明同学住在建筑物AB内10楼P 室，他观测建筑物CD楼的顶部D处的仰角为30°，测得底部C处的俯角为45°，求建筑物CD的高度．（3取1.73，结果保留整数．）答案：建筑物CD的高约为47 m．知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形．∴PE=BC=30．在Rt△PDE中，∵∠DPE=30°，PE=30，∴DE=PE×tan30°=30×33=103．在Rt△PEC中，∵∠EPC=45°，PE=30，∴CE=PE×tan45°=30×1=30．∴CD=DE﹢CE=30﹢103=30﹢17.3≈47（m）答：建筑物CD的高约为47 m．分析：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形，得到PE=BC=30，在Rt△PDE中，利用∠DPE=30°，PE=30，求得DE的长；在Rt△PEC中，利用∠EPC=45°，PE=30求得CE的长，利用CD=DE﹢CE即可求得结果．3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知CD⊥AB，BC=1（1）如果∠BCD=30°，求AC；（2）如果tan∠BCD=13，求CD．答案：（1）AC=3；（2）CD=31010知识点：解直角三角形解析：解答：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∵∠DCB=30°，∴∠B=60°，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴tan60°=ACBC=3，又BC=1，则AC=3；（2）在Rt△BDC中，tan∠BCD=BDCD=13，设BD=k，则CD=3k，又BC=1，利用勾股定理得：k2+（3k）2=1，解得：k=1010或k=-1010（舍去），则CD=3k=310 10．分析：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，比例的性质，以及特殊角的三角函数值，是一道多知识点的综合题．（1）根据直角三角形的两锐角互余，由∠BCD的度数求出∠B的度数，利用锐角三角函数定义表示出tanB，将tanB及BC的长代入，即可求出AC的长；（2）在直角三角形BDC中，由已知tan∠BCD的值，利用锐角三角函数定义得出BD与CD 的比值为1：3，根据比值设出BD=k，CD=3k，再由BC的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可求出CD的长．4. 如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据2≈1.41，3≈1.73）答案：A、C之间的距离为10.3海里．知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：作AD ⊥BC ，垂足为D ，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°， 设CD=x ，在Rt △ACD 中，可得AD=x ， 在Rt △ABD 中，可得BD=3x ，又∵BC=20，即x+3x=20，解得：x=10(3-1) ∴AC=2x ≈10.3（海里）． 答：A 、C 之间的距离为10.3海里．分析：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．作AD ⊥BC ，垂足为D ，设CD=x ，利用解直角三角形的知识，可得出AD ，继而可得出BD ，结合题意BC=CD+BD=20海里可得出方程，解出x 的值后即可得出答案．5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽AD=5米，斜坡AB 的坡度i=1：3（指坡面的铅直高度AE 与水平宽度BE 的比），斜坡DC 的坡度i=1：1.5，已知该拦水坝的高为6米．（1）求斜坡AB 的长；（2）求拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 答案：（1）斜坡AB 的长为610m ；（2）拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长为（37+610 +313）m ．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 解析：解答：（1）∵AE BE =i=13,AE=6， ∴BE=3AE=18，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得： AB=22AE BE=610，答：斜坡AB 的长为610m ；（2）过点D 作DF ⊥BC 于F ，可得四边形AEFD 是矩形，故EF=AD ，∵AD=5，∴EF=5，∵DF CF =i=23， DF=AE=6， ∴CF=32DF=9， ∴BC=BE+EF+CF=18+5+9=32，在Rt △DCF 中，根据勾股定理得：DC=22DF CF=313，∴梯形ABCD 的周长为：AB+BC+CD+DA=610+32+313+5=37+610+313， 答：拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长为（37+610+313）m ．分析：此题主要考查了坡度的定义以及勾股定理的应用，根据已知坡度定义得出BE ，FC 的长是解题关键．（1）根据坡度的定义得出BE 的长，进而利用勾股定理得出AB 的长；（2）利用矩形性质以及坡度定义分别求出CD ，CF ，EF 的长，进而求出梯形ABCD 的周长即可．。