华师版2018七年级(下册)数学第九章多边形全章教案

第9章多边形9．1三角形9．1.1认识三角形第1课时三角形的概念1．了解三角形的基本元素与主要线段．2．能区分不同形状的三角形，按角、按边分类的两种方法．3．理解等腰三角形、等边三角形的概念．重点三角形内角、外角，等腰三角形、等边三角形等概念．难点三角形的外角．一、创设情境，问题引入在我们生活中几乎随时可以看见由各种形状的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面，在这些地面或墙面上，相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙．这些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙呢？换一些其他形状的行不行？为了解决这些问题，我们有必要研究多边形的有关性质．三角形是最简单的多边形，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题．让我们从三角形开始，探究其中的道理．二、探索问题，引入新知三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边．如图三角形的顶点采用大写字母A、B、C……等表示，整个三角形表示为△ABC.如图，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠ACB；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角．思考：(1)一个三角形(如△ABC)有多少个内角？多少个外角？答：三个内角，表示为∠ABC，∠ACB，∠BAC六个外角(三对)．(2)与内角相邻的外角有几个？它们是什么关系？答：两个，是一对对顶角．试一试：如图，三个三角形的内角各有什么特点？(1)中：三个内角均为锐角；(2)中：有一个内角是直角；(3)中：有一个内角是钝角．那么三角形按角来分，应如何分类？结论：三角形按角可以分为：所有内角都是锐角——锐角三角形；有一个内角是直角——直角三角形；有一个内角是钝角——钝角三角形．试一试：如图，三个三角形的边各有什么特点？(1)中：三角形的三边互不相等；(2)中：三角形有两条边相等；(3)中：三角形的三边都相等．结论：我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)．【例1】如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．分析：分别找出图中的三角形即可．解：图中共有7个，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF.【例2】如图，过A，B，C，D，E五个点中的任意三点画三角形．(1)以AB为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称；(2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．分析：(1)利用以AB为边画三角形，结合E，D，C的位置得出符合题意三角形；(2)利用网格中线段长得出等腰三角形和钝角三角形．解：(1)如图所示：以AB为边的三角形能画3个有：△EAB，△DAB，△CAB；(2)△ABD是等腰三角形，△EAB，△CAB是钝角三角形．三、巩固练习1．下列说法正确的有()①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①②B．①③④C．③④D．①②④2．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有________对．3．如图，以BC为边的三角形有几个？以A为顶点的三角形有几个？分别写出这些三角形．4．如图，直线a上有5个点，A1，A2，…，A5，图中共有多少个三角形？5．如图，BD是长方形ABCD的一条对角线，CE⊥BD于点E.(1)写出图中所有的直角三角形；(2)写出图中的锐角三角形和钝角三角形．四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．作业1．教材第82页“习题9.1”中第1题．2．完成练习册中本课时练习．教师在练习设计上主要采用了层层深入的原则，先是基础知识的练习；然后用三角形的知识解决实际问题；最后增加难度，让优等生在这个知识点上的学习更进一步．而每一道题都运用了本节课的知识，每一道题目的呈现方式又都不同．这样既能让后进生跟得上，又能让优等生吃得饱，从而让全班同学共同进步．从练习反馈中发现学生易错点，犯错的原因主要是学生未能认真审题．所以在以后审题教学中重视学抓关键词、培养审题习惯，提高解题效率．第2课时三角形的高、角平分线和中线1．掌握三角形的角平分线、中线和高的概念，并会用数学式子表示．2．掌握三角形的角平分线、中线和高的画法．重点认识三角形的中线、角平分线、高．难点三角形的中线、角平分线、高的应用．一、创设情境，问题引入如图，有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．(1)当汽车运动到点D点时，刚好BD＝CD，连结线段AD，则AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？(2)汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE＝∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？(3)汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？二、探索问题，引入新知分析上述问题并给出结论：(1)AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线．此时△ABD与△ADC的面积相等．(2)AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形中角平分线有三条．(3)AF是△ABC中BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线．下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高．(1)把锐角三角形换成直角三角形后，再试一试．(2)把锐角三角形换成钝角三角形后，再试一试．结论：1．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，并且都相交于三角形内一点；2．锐角三角形的三条高相交于三角形内一点，直角三角形的三条高相交于直角顶点，钝角三角形的两条高位于三角形的外部且三条高所在的直线相交于三角形外一点．例1.画出△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是()分析：作哪一条边上的高，即从哪条边所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可．解：过点C作AB边的垂线，正确的是C.【例2】 如图，已知△ABC 的周长为24 cm ，AD 是BC 边上的中线，AD ＝58AB ，AD ＝5 cm ，△ABD 的周长是18 cm ，求AC 的长．分析：由AD ＝58AB ，AD ＝5 cm ，可求出AB 的长度，结合△ABD 的周长是18 cm ，可求出BD 的长度，进而可求出BC 的长度，再根据△ABC 的周长为24 cm ，即可求出AC 的长．解：∵AD ＝58AB ，AD ＝5 cm ，∴AB ＝8 cm .又∵△ABD 的周长是18 cm ，∴BD ＝5 cm .又∵D 是BC 的中点，∴BC ＝2BD ＝10 cm .又∵△ABC 的周长为24 cm ，∴AC ＝24－8－10＝6(cm )．三、巩固练习1．一定在三角形内部的线段是( )A ．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B ．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C ．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D ．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2．如图，AD ⊥BC 于点D ，GC ⊥BC 于点C ，CF ⊥AB 于点F ，下列关于高的说法中错误的是( ) A ．△ABC 中，AD 是BC 边上的高 B ．△GBC 中，CF 是BG 边上的高 C ．△ABC 中，GC 是BC 边上的高 D ．△GBC 中，GC 是BC 边上的高错误! ,第3题图)3．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，点E 在CD 上，则图中以AD 为高的三角形有________个． 4．如图，已知△ABC 的周长为27 cm ，AC ＝9 cm ，BC 边上中线AD ＝6 cm ，△ABD 周长为19 cm ，则AB ＝________.,第4题图) ,第5题图)5．在△ABC 中，AD 为BC 边的中线，若△ABD 与△ADC 的周长差为3，AB ＝8，则AC ＝________.四、小结与作业 小结学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获，交流在学习过程中的体验与感受，以及可能存在的困惑，师生合作共同完成课堂小结．作业1．教材第76页“练习”． 2．完成练习册中本课时练习．让学生通过画、折等实践操作，理解三角形的中线、角平分线、高的概念和交点情况，并培养学生动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得不是教师传授的，而是学生自己探索得到的．9．1.2三角形的内角和与外角和1．掌握三角形的内角和与外角和．2．理解三角形的外角的两条性质．3．会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算．重点掌握三角形内角和及其外角和．难点三角形角的有关计算．一、创设情境，问题引入在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下结论：三角形的内角和为180°.那么，你能用几何知识进行证明吗？二、探索问题，引入新知如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3来表示△ABC的三个内角，证明：∠1＋∠2＋∠3＝180°.解：延长BC至点E，以C为顶点，在BE的上侧作∠DCE＝∠2，则CD∥BA.∵CD∥BA，∴∠1＝∠ACD，∵∠3＋∠ACD＋∠DCE＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.由三角形的内角和等于180°，可以得出：结论：直角三角形的两个锐角互余．如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角．三角形的外角与内角有什么关系呢？显然有：∠CBD(外角)＋∠ABC(相邻内角)＝180°那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？∵∠CBD＋∠ABC＝180°，∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，∴∠CBD＝∠ACB＋∠BAC.结论：三角形的外角有两条性质：1．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角．从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和．问：你能用“三角形的内角和等于180°”来说明图中∠1＋∠2＋∠3＝360°吗？∵∠1＋∠ACB＝∠2＋∠BAC＝∠3＋∠ABC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°×3，又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°×3－180°＝360°.结论：三角形的外角和等于360°.【例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C 的度数．分析：由AD是BC边上的高，∠B＝42°，可得∠BAD＝48°，再由∠DAE＝18°，可得∠BAE＝∠BAD－∠DAE ＝30°，然后根据AE是∠BAC的角平分线，可得∠BAC＝2∠BAE＝60°，最后根据三角形内角和定理即可推出∠C 的度数．解：∵AD是BC边上的高，∠B＝42°，∴∠BAD＝48°，∵∠DAE＝18°，∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝30°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAC＝2∠BAE＝60°，∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝78°.【例2】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．分析：在△ABD中，由三角形的外角的性质知∠3＝2∠2，因此∠4＝2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x.因为∠BAC＝63°，所以∠2＋∠4＝117°，即x＋2x＝117°，所以x＝39°；所以∠3＝∠4＝78°，∠DAC＝180°－∠3－∠4＝24°.三、巩固练习1．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的大小为()A．54°B．62°C．64°D．74°,第1题图),第2题图)2．如图，在△ABC中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则∠BAD＝()A．145°B．150°C．155°D．160°3．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于________．,第3题图),第4题图) 4．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于________．5．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．6．如图，AE，OB，OC分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，OD⊥BC，求证：∠1＝∠2.四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．作业1．教材第79页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．实践出真知，因此，在教学中尽量去引导学生从不同的角度去发现问题、思考问题，启发、诱导学生通过动手、动脑，与同学交流合作，大胆探索、猜想，并用自己所学的知识来解决问题，真正做到老师“导”学生“学”．教师一定要相信学生的能力，大胆放手，也许会有意想不到的收获．归纳、对比对于知识的掌握有着不可忽视的作用，教学中要及时引导学生总结，找出好的学习方法和解题捷径，并熟练应用．本节课中有的学生尽管知道了三角形外角的性质，却仍习惯性地用三角形内角和定理来求外角，费时费力，不利于知识的掌握，因此教师要注意让学生多运用三角形外角性质．9．1.3三角形的三边关系1．掌握和理解三角形三边的关系．2．认识三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题．重点三角形任何两边之和大于第三边的应用．难点已知三角形的两边求第三边的范围．一、创设情境、复习引入1．三角形的三个内角和是多少？三角形的外角有什么性质？2．在连结两点的所有线中最短的是哪一种？二、探索问题，引入新知做一做：画一个三角形，使它的三条边分别为：4 cm，3 cm，2.5 cm.画法步骤如下：(1)先画线段AB ＝4 cm ；(2)以点A 为圆心，3 cm 的长为半径画圆弧；(3)再以B 为圆心，2.5 cm 的长为半径画圆弧，两弧相交于点C ； (4)连结AC ，BC.△ABC 就是所要画的三角形．这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等．试一试： 现有长2 cm ，3 cm ，4 cm ，5 cm ，6 cm 的五条线段，你任意选三条线段画三角形，使它的三边长分别是你所选择的三条线段的长．你在画的过程中可能会遇到什么情况？这是为什么？在画三角形的过程中，你会发现有多种情况，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形．结论：三角形的任意两边的和大于第三边．你能用其它的依据说明“三角形的任意两边的和大于第三边”吗？做一做： 用3根木条钉一个三角形，拉三角形的顶点，这个三角形的形状会发生改变吗？三角形的大小会变吗？你知道这是为什么？用四根木条钉一个四边形，拉四边形的顶点，这个四边形的形状会发生改变吗？四边形的大小会变吗？你知道这是为什么？结论：如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．四边形具有不稳定性．三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用．例如桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构．【例1】 已知三角形三条边分别为a ＋4，a ＋5，a ＋6，求a 的取值范围． 分析：根据三角形两边之和大于第三边可得a ＋4＋a ＋5＞a ＋6再解即可．解：由题意得：⎩⎨⎧a ＋4>0，a ＋4＋a ＋5>a ＋6，解得：a ＞－3.【例2】 若a ，b ，c 分别为三角形的三边，化简：|a －b －c|＋|b －c －a|＋|c －a ＋b|分析：根据三角形的三边关系得出a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a ，再去绝对值符号，合并同类项即可．解：∵a 、b 、c 为三角形三边的长，∴a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a ，∴原式＝|a －(b ＋c)|＋|b －(c ＋a)|＋|(c ＋b)－a|＝b ＋c －a ＋a ＋c －b ＋c ＋b －a ＝－a ＋b ＋3c.三、巩固练习1．长度分别为2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，则x 的值可以是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．92．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( ) A ．2，3，4 B ．5，7，7 C ．5，6，12 D ．6，8，103．已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，化简|a ＋b －c|－|c －a －b|的结果为________．4．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8 m 和5 m 的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？5．如图，点O 是△ABC 内的一点，证明：OA ＋OB ＋OC ＞12(AB ＋BC ＋CA)．四、小结与作业小结先小组内交流收获与感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师作补充．作业1．教材第82页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．课堂上通过有趣的情境故事引出本节课的知识点，激发学生的学习兴趣，让学生在经过自己的思考后，教师启发诱导解决实际问题，让学生做学习的主人，并探讨多种不同问题，使探究过程活跃起来，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获．9．2多边形的内角和与外角和1．理解多边形的概念和正多边形的概念．2．了解多边形的内角、外角、对角线等概念．3．在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理．重点多边形内角和定理的探索和应用．难点多边形的内角和，外角和定理的推导．一、创设情境、复习引入什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？二、探索问题，引入新知试一试：四边形和五边形是怎样表示呢？如图(1)，三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：△ABC.如图(2)，四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：四边形ABCD.如图(3)，五边形是由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：五边形ABCDE.一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．注意：(1)我们现在研究的是如图(2)(3)的多边形，也就是凸多边形，如图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围．(2)与三角形类似，如图(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角．如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形．连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．如：正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等．试一试：我们知道三角形的三个内角和是180度，那么四边形、五边形、六边形……的内角和是多少？由下图可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180度，这样我们就可以求出多边形的内角和．根据我们的分析，完成下表：多边形3 4 5 6 …n的边数分成的三1 2 3 4 …n－2角形个数多边形的180°360°540°720°…(n－2)·180°内角和由此，我们可以得出：结论：n边形的内角和为(n－2)·180°.与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和．如图，四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．因为∠1＋∠DAB＝∠2＋∠CBA＝∠3＋∠DCB＝∠4＋∠ADC＝180°，又因为∠DAB＋∠CBA＋∠DCB＋∠ADC＝360°(四边形内角和等于360°)，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.所以四边形的外角和等于360°.根据n 边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得n边形的外角和，填表：多边形3 4 5 …n的边数多边形的3×180°4×180°5×180°…n×180°内角与外角的总和＝540°＝720°＝900°多边形的内角和180°360°540°…(n－2)·180°多边形的外角和360°360°360°…360°结论：任意多边形的外角和都为360°.【例1】如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，求每个内角的度数．分析：根据多边形内角和定理求解．解：∵五边形的内角和＝(5－2)·180°＝540°，又∵五边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数＝540°÷5＝108°.【例2】一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是几边形？分析：根据多边形内角和定理求解．解：设多边形为n边形，由题意得(n－2)·180°＝900°，解得n＝7.【例3】一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形是几边形？分析：根据任意多边形的外角和都为360°求解．解：设多边形为n边形，由题意，得n·72°＝360°解得n＝5.例4：如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30度，再沿直线前进10米，又向左转30度，……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了多少米？分析：根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以10米即可．解：∵小亮每次都是沿直线前进10米后向左转30度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷30°＝12，∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120(米)．故他一共走了120米．三、巩固练习1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是()A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形2．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是()A．6 B．12 C．16 D．183．如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是()A．4 B．5 C．6 D．74．七边形的内角和为________．5一个n边形的内角和是720°，则n＝________.6．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是________．7．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于________度．,第7题图),第8题图) 8．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝________.四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．作业1．教材第88页“习题9.2”中第1，2，3题．2．完成练习册中本课时练习．本节课通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n－2)·180°.这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握．由于多边形的外角和等于360°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理．通过练习情况来看学生本节课掌握的较好．9．3用正多边形铺设地面1．通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式．2．探索用多种正多边形拼地板的过程和原理．重点通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力．难点通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键．一、创设情境、复习引入回到开始提出的问题：某些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙？地砖或瓷砖的形状大多数是正多边形，是不是所有的正多边形都能铺满地面呢？二、探索问题，引入新知探究1：用相同的正多边形使用给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不相互重叠？通过学生动手拼图，使他们发现能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角相加恰好等于360°.下面再通过计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形．完成下表：正多边形 3 4 5 6 7 …n的边数 正多边形的内角和 180°360°540°720°900°…(n －2)180°正多边形每个内角度数60°90°108°120°900°7…（n －2）180°n当[360°÷（n －2）·180°n ]为正整数时，即2nn －2为正整数时，用这样的正多形就可以铺满地面．结论：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以拼成一个平面图形． 探究2：用多种正多边形用正三角形和正六边形能铺满地面吗？为什么？由正六边形和正三角形组成也能铺满地面．因为正六边形的内角为120°，正三角形的内角为60°，这样用2块正六边形和2块正三角形，它们内角之和为一个周角360°，所以能铺满地面．(即：2×120°＋2×60°＝360°)能不能用其他两种或两种以上的正多边形铺地板呢？如图①：是用正八边形和正方形拼成的．因为正八边形的内角为135°，正方形的内角为90°，那么用2个正八边形和1个正方形各一内角之和正好等于360°，所以可以铺满地板．(即：2×135°＋90°＝360°)如图②：是用正六边形、正方形、正三角形拼成的．因为正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°，正三角形的内角为60°，那么用1个正六边形，2个正方形和1个正三角形各一个内角之和为360°，所以可以铺满地面．(即：120°＋2×90°＋60°＝360°)结论：若几个正多边形的一个内角的和等于360°，那么这几个正多边形可铺满地面．【例1】 正八边形地板砖，能铺满地面，既不留下一丝空白，又不相互重叠吗？请说明理由． 分析：先算出正八边形每个内角的度数，再看每个内角度数能否整除360°.解：不能．∵正八边形每个内角是（8－2）×180°8＝135°，不能整除360°，∴不能密铺．点评：正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°.【例2】 某校要用地砖镶嵌艺术教室的地面，可以选择的方案有许多种，请你为其设计． (1)如果在以下形状的地砖中选取一种镶嵌地面，可以选择的有________．(填序号) ①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；⑤任意三角形；⑥任意四边形(2)如果在正三角形、正方形、正八边形这三种形状的地砖中，任意选取其中的两种，有几种可行的方案？(3)如果在正三角形、正六边形、正方形、正十二边形这四种形状的地砖中，任意选取其中三种，有几种可行的方案？分析：(1)由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能。

第九章多边形教案9.1 三角形一、三角形基本知识教学目标1.认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系.3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题.4.帮助学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的兴趣.(3)描述三角形的特点:板书:“不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”.教师提问:上述对三角形的描述中你认为有几个部分要引起重视.学生回答:a.不在一直线上的三条线段.b.首尾顺次相接.二、读一读指导学生阅读课本P71,第一部分至思考,一段课文,并回答以下问题:(1)什么叫三角形?(2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点?(3)三角形ABC用符号表示________.(4)三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的三边,AB可用边AB的所对的角C的小写字母c 表示,AC可用b 表示,BC可用a表示.三、做一做画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?同学们在画图计算的过程中,展示议论,并指定回答以上问题:(1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线.a.从B→Cb.从B→A→C(2)从B沿边BC到C的路线长为BC的长.从B沿边BA到A,从A沿边C到C的路线长为BA+AC.经过测量可以说BA+AC>BC,可以说这两条路线的长是不一样的.四、议一议1.在用一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系?2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系?3.三角形三边有怎样的不等关系?通过动手实验同学们可以得到哪些结论?三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.五、想一想三角形按边分可以,分成几类?按角分呢? (1)三角形按边分类如下: 三角形 不等三角形等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 等边三角形 (2)三角形按角分类如下: 三角形 直角三角形斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 六、练一练有三根木棒长分别为3cm 、6cm 和2cm,用这木棒能否围成一个三角形?分析:(1)三条线段能否构成一个三角形, 关键在捡判定它们是否符合三角形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构成一个三角形.(2)要让学生明确两条木棒长为3cm 和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形,这第三根木棒的长度应介于3cm 和8cm 之间,由于它的第三根木棒长只有2cm,所以不可能用这三条木棒构成一个三角形. 错导:∵3cm+6cm>2cm∴用3cm 、6cm 、2cm 的木棒可以构成一个三角形.错因:三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,这里3+6>2,没错,可6-3不小于2,所以回答这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构成.二、三角形的高、中线与角平分线教学目标1.经历析纸,画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线.2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线, 通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于点.⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩重点、难点1.重点:(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.(2)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.2.难点:(1)三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.(2)钝角三角形高的画法.(3)不同的三角形三条高的位置关系.教学过程一、看一看1.指导学生阅读课本P71-72的课文.2.仔细观察投影表中的内容,并回答下面问题.(1)什么叫三角形的高?三角形的高与垂线有何区别和联系? 三角形的高是从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段,而从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线这条垂线是直线.(2)什么叫三角形的中线?连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系?三角形的中线是连结一个顶点和它对边的中点的线段, 而过两点的直线有着本质的不同,一个代表的是线段,另一个却是直线.(3)什么叫三角形的角平分线?三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系?三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交, 这个角顶点与交点之间的线段,而角平分线指的是一条射线.3.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还是代表射线或直线?三角形的高、中线和角平分线都代表线段, 这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在这个顶点的对边上.二、做一做1.让学生在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.( 如果他们所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?钝角三角形的三条高在那里?)观察这三条高所在的直线的位置有何关系?三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内,直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.2.让学生在练习本上画三角形,并在这个三角形中画出它的三条中线.( 如果他们所画的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这些三角形的中线在哪里)?观察这三条中线的位置有何关系?三角形的三条中线都在三角形内部,它们交于一点,这个交点在三角形内.3.让学生在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系?无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形, 它们的三条角平分线都在三角形内,并且交于一点.三、三角形的稳定性教学目标：通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用重点：了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用难点：准确使用三角形稳定性与生产生活之中课前准备：小木条8个，小钉若干教学过程：一、看一看，想一想课本P73投影出来二、做一做1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？三、议一议从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。

第九章多边形（1）教学目的1．通过小结本章的知识结构，培养学生分析、归纳、总结的能力。

2．使学生体验三角形性质：三角形外角和、三角形的三边关系、多边形内角和、多边形外角和的探索过程，掌握三角形的性质，并会用它们进行有关计算。

3．使学生进一步理解某些正多边形能够铺满地面的道理。

4．理解三角形的三种重要线段——中线、角平分线和高的概念，并会画出这三种线段。

重点、难点1．重点：三边关系、三角形的外角性质，多边形的外角和与内角和以及高的画法。

2．难点：灵活应用三角形的性质进行有关计算。

复习过程一、小结本章的知识结构按教科书知识结构网络图讲(采用提问式，由学生叙述)不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，它具下如下的特性：①稳定性，只要三角形的三条边长度一定，它的形状、大小就完全确定了。

三角形形状的物体比较牢固，很难改变其形状与大小，这个特性在生产实践与生活中有许多有处。

②基础性，三角形是基本的封闭图形，是边数最少的多边形，在研究其他多边形时，常常作出对角线将其划分为三角形来研究，如多边形内角和、外角和的探索。

三角形的主要概念是：边、顶点、内角、外角以及三角形的三条主要线段——中线、角平分线、高。

三角形任意两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，注意“任意”的含义。

三角形内角和等于180°，外角的两个性质，这是平面几何中很重要的一个基本性质。

三角形按角可分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

按边可分为：三边都不相等的三角形、等腰三角形两类，而等边三角形是等腰三角形的特例。

二、例题1．下列各组中的数分别表示三条线段的长度，试判断以这些线段为边是否能组成三角形。

(1)3，5，2(2)a，b，a+b (a>0，b>0)(3)3，4，5(4)m+1，2m ，m+l(m>0)(5)a+1，2，a+5(a>0)2．如图(1)，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，AM ⊥BC ，AD ⊥BE ，那么∠2＝∠3＝∠4，你知道这是为什么?3．如图(2)，DC 平分△ABC 的外角，与 BA 的延长线于D ，那么∠BAC ＞∠B ，为什么?三、巩固练习选择题 1．在下列四组线段中，可以组成三角形的是( )①1，2，3 ②4，5，6③1，12 , 13④15，72，90 A ．1组 B ．2组 C 3组 D ．4组2．下列四种说法正确的个数是( )①一个三角形的三个内角中至多有一个钝角②一个三角形的三个内角中至少有2个锐角③一个三角形的三个内角中至少有一个直角④一个三角形的三个外角中至少有两个钝角A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．△ABC 中，三边长为6、7、x ，则x 的取值范围是( )A ．2<x<12B ．1<x<13C ．6<x<7D ．无法确定4．等腰三角形两边长分别是5和7，则该三角形周长为( )A ．17B ．19 C17或19 D ．无法确定四、作业1．教科书复习题A 组l －5。

华师大版七年级数学下册教案第9章多边形
第9章多边形
 9．1三角形
 9.1.1认识三角形
 9.1.2．三角形的外角和
 9．1．3．三角形的三边关系
 ９．２多边形的内角和与外角和
 9．3用正多边形拼地板
 9．3．1用相同的正多边形拼地板
 2．用多种正多边形拼地板
 小结与复习(一)
 小结与复习(二)(习题课)
 9．1三角形
 序言
 教学目的
 让学生步人社会、观察地面、墙面上的地砖、瓷砖的铺设，并亲手操作、拼摆，图案设计等活动，从中探索图形的性质，培养学生探索精神。

 重点：使学生通过观察、思考、自觉体会某些平面图形的性质。

 教学过程
 一、导入(提问)
 昨天你们已观察大街的人行道上，宾馆、饭店、自己家的地板，墙面。

它。

多边形内角和教案一、教学目标1、知识与技能目标：（1）了解多边形及有关的定义（2）理解并掌握多边形内角和公式。

2、过程与方法目标：（1）掌握类比归纳、转化的学习方法；（2）培养学生说理和简单推理的意识及能力。

3、情感、态度与价值观目标：让学生经历探索多边形内角和的过程，进一步培养学生的合情推理意识、主动探究的学习能力。

二、教学重、难点重点：1、探索多边形内角和公式。

2、计算多边形的内角和及依据内角和确定多边形边数。

难点：多边形内角和公式的推导。

三、教学过程：（一）创设情境，引入课题。

1、什么叫三角形？三角形的内角和是多少度？三角形的外角和是多少度？在现实生活中，你还见过哪些几何图形？2、请观察图片找出学过的几何图形？它们的内角和是多少度？今天我们就来探索多边形的内角和（板书课题，从学生感兴趣的问题出发，设置悬念，引入课题）学生通过观察发现：图片中有三角形、四边形、六边形、八边形（通过课件展示图片，让学生直观感受生活中处处有数学。

）（二）多边形的概念（自学课本83到84页）1、我们知道三角形的定义，那么什么叫叫做四边形呢？五边形呢？（学生回顾、表述）2、多边形的概念：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形，这样的图形叫做多边形(利用三角形、四边形的定义进行知识的迁移，获得多边形的概念)3、多边形的相关概念：正多边形、多边形的边、顶点、内角、外角、多边形的对角线。

（自学活动、利用课件展示）(三）多边形对角线的条数4、多边形对角线条数的探究（四）探究活动:多边形内角和公式的推导1、提出问题大家都知道三角形的内角和是180º，那么四边形的内角和，你知道吗？五边形、六边形的内角和呢？2、学生动手操作实践，自己探索。

方法一、从n边形一个顶点出发，把多边形分成（n-2）个三角形，然后用（n-2）个180º的和得到内角和。

方法二、从n边形内部一点出发，把n边形分成个n三角形，然后用n个180º的和减去一个周角360º得到内角和。

多边形的内角和与外角和教案【目标定位】一、教学目标知识目标：了解多边形的内角和与外角和公式,进一步了解转化的数学思想能力目标：1、让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。

2、通过把多边形转化为三角形,体会转化思想在几何中的运用,让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。

3、通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。

情感情感：通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质。

二、教学重点探索多边形的内角和及外角和公式三、教学难点用分割法把多边形转化成三角形推导多边形的内角和与外角和【方法阐释】利用小组交流共同探讨解决问题的办法；利用多媒体课件辅助课堂帮助学生进行理解；利用生活中的事例强化理论与实践的结合。

【教学过程】一、创设情境，轻松点题学生按照以下游戏规则以小组为单位进行游戏：在一个平面内，把一根橡皮筋用三个图钉固定（三个图钉不在一条直线上），我们可以围成什么图形？将一边的橡皮筋往外拉成一条折线，固定，该折线与三角形的另外两边围成一个什么图形？再把橡皮筋的一边又往外拉。

再固定，又围成一个什么图形？……不断的向外拉，结果又围成什么图形？如果上述情况不是向外拉而是往里推，那是什么图形？在游戏中让学生进一步认识上节课学习的各种多边形（包括凹多边形和凸多边形），同时引出话题：在数学课的学习中，我们随时会接触到多边形，今天，我们通过游戏又进一步认识了它们，但数学的研究是无止境的，这节课我们继续研究《多边形的内角和和外角和》（板书课题）〖设计意图〗借助游戏复习旧知识的同时强化学生的课堂参与意识，轻松自如导入新课的学习。

二、合作探究，点拨释疑活动一：探讨四边形的内角和问题1：你知道三角形的内角和是180度（出示教师使用的三角板教具），那么四边形的内角和是多少度？AB C〖设计意图〗回顾已学知识：三角形的内角和等于180°，为后继问题的解决作铺垫。

9.2 多边形的内角和与外角和教学目标【知识与技能】1.理解多边形的概念和正多边形的概念.2.了解多边形的内角、外角、对角线等概念.3、在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理.【过程与方法】经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会和别人交流自己的思想和方法.【情感态度】让学生体验猜想得到证实的喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学中充满着探索和创造.【教学重点】多边形内角和定理的探索和应用.【教学难点】多边形的内角和，外角和定理的推导.教学过程一、情境导入，初步认识什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？【教学说明】把学生的注意力自然的引入研究方向，为课题的研究做铺垫.二、思考探究，获取新知探究1 多边形的概念三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：△ABC.四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：四边形ABCD.五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：五边形ABCDE.一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形.注意：①我们现在只研究多边形，如图(2)，(3)；②图(4)也是多边形，但不是我们现在研究X围.③与三角形类似，如图(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角.探究2 正多边形如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等.连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.探究3 多边形的内角和我们知道三角形的三个内角和是180度，那么四边形、五边形、六边形……的内角和是多少？由下图可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180度，这样我们就可以求出多边形的内角和.根据我们的分析，完成下表：由此，我们可以得出：【归纳结论】n边形的内角和为(n-2)·180°.探究4 多边形对角线的条数你能根据上面的分析，总结出多边形对角线的条数吗？分析：n边形从一个顶点可以画出（n-3）条对角线，n边形共有n个顶点，这样n边形一共可以画n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两遍，所以n边形一共有n((3)2n n条对角线.探究5 多边形的外角和与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和.如图(1)四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4的度数.因为∠1+∠DAB=∠2+∠CBA=∠3+∠DCB=∠4+∠ADC=180°又因为∠DAB+∠CBA+∠DCB+∠ADC=360°（四边形内角和等于360°）所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°.所以四边形的外角和等于360°.根据n边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得n边形的外角和，填表：【归纳结论】任意多边形的外角和都为360°.【教学说明】我们是把多边形的问题转化成三角形，再由三角形内角和为180°，求出多边形内角和与外角和，从而使问题得到解决！三、运用新知，深化理解1.如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形是（）∶2，则n为（）A.6B.7C.8∶1，那么这个多边形是（）A.正六边形C.正十边形度，四个内角中最多可有个锐角.∶3∶5∶6，则这个四边形各内角顺次是度.6.多边形的每一个内角都相等，它的一个外角等于正十边形的一个内角的5.求这个多边形的边数.127.(1)一个多边形的内角和等于2340°，求它的边数；(2)一个正多边形的一个内角为150°，你知道它是几边形吗？°，求这个正多边形的边数.9.(1)四边形有几条对角线？(2)五边形有几条对角线？六边形呢？n边形呢？°，求(1)这个多边形的边数，(2)过一个顶点有几条对角线，(3)总对角线条数. 【教学说明】复习今天所学，了解学生学习效果.【答案】4.360, 35.24，72，120，1446. 67.解：(1)设边数为n，则有(n-2)·180°=2340°n-2=13, n=15；(2)设这个多边形为n边形，则有(n-2)·180°=150°nn=12这个多边形是十二边形.8.分析：正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是360°.解：设一个外角为x°，则内角为(x+36)°因为多边形的内角与相邻的外角互补；所以 x°+x°+36°=180°解得 x°=72°360°÷72°=5答：这个多边形是五边形.9.解：(1)四边形有两条对角线.(2)如图2，以A为顶点的对角线有两条AC、AD同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD分别表示同一条线段，所以只有5条，以此类推六边形有9条对角线，从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，那么n个顶点就有n(n-3)条，但其中每一条都重复计算一次，所以n边形一共有(3)2n n条对角线.10.解：(1)(n-2)·180°=1440° n=10(2)n-3=10-3=7答：这个多边形是十边形，过一个顶点的对角线有7条，共有35条对角线.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业1.布置作业:教材第88页“习题”中第1 、2、3题.2.完成练习册中本课时练习.教学反思本节课通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)·180°°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理.通过练习情况来看学生本节课掌握的较好.。

【精选】华师版七年级数学下册第九章《多边形》优秀教案9．1三角形9．1.1认识三角形第1课时三角形的概念【教学目标】1．了解三角形的基本元素与主要线段．2．能区分不同形状的三角形，按角、按边分类的两种方法．3．理解等腰三角形、等边三角形的概念．【重难点】重点三角形内角、外角，等腰三角形、等边三角形等概念．难点三角形的外角．【教学设计】一、创设情境，问题引入在我们生活中几乎随时可以看见由各种形状的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面，在这些地面或墙面上，相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙．这些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙呢？换一些其他形状的行不行？为了解决这些问题，我们有必要研究多边形的有关性质．三角形是最简单的多边形，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题．让我们从三角形开始，探究其中的道理．二、探索问题，引入新知三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边．如图三角形的顶点采用大写字母A、B、C……等表示，整个三角形表示为△ABC.如图，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠ACB；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角．思考：(1)一个三角形(如△ABC)有多少个内角？多少个外角？答：三个内角，表示为∠ABC，∠ACB，∠BAC六个外角(三对)．(2)与内角相邻的外角有几个？它们是什么关系？答：两个，是一对对顶角．试一试：如图，三个三角形的内角各有什么特点？(1)中：三个内角均为锐角；(2)中：有一个内角是直角；(3)中：有一个内角是钝角．那么三角形按角来分，应如何分类？结论：三角形按角可以分为：所有内角都是锐角——锐角三角形；有一个内角是直角——直角三角形；有一个内角是钝角——钝角三角形．试一试：如图，三个三角形的边各有什么特点？(1)中：三角形的三边互不相等；(2)中：三角形有两条边相等；(3)中：三角形的三边都相等．结论：我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)．【例1】如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．分析：分别找出图中的三角形即可．解：图中共有7个，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF.【例2】如图，过A，B，C，D，E五个点中的任意三点画三角形．(1)以AB为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称；(2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．分析：(1)利用以AB为边画三角形，结合E，D，C的位置得出符合题意三角形；(2)利用网格中线段长得出等腰三角形和钝角三角形．解：(1)如图所示：以AB为边的三角形能画3个有：△EAB，△DAB，△CAB；(2)△ABD 是等腰三角形，△EAB，△CAB是钝角三角形．三、巩固练习1．下列说法正确的有( )①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①②B．①③④C．③④D．①②④2．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC 为公共边的“共边三角形”有________对．3．如图，以BC为边的三角形有几个？以A为顶点的三角形有几个？分别写出这些三角形．4．如图，直线a上有5个点，A1，A2，…，A5，图中共有多少个三角形？5．如图，BD是长方形ABCD的一条对角线，CE⊥BD于点E.(1)写出图中所有的直角三角形；(2)写出图中的锐角三角形和钝角三角形．四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．作业1．教材第82页“习题9.1”中第1题．2．完成练习册中本课时练习．【教学反思】教师在练习设计上主要采用了层层深入的原则，先是基础知识的练习；然后用三角形的知识解决实际问题；最后增加难度，让优等生在这个知识点上的学习更进一步．而每一道题都运用了本节课的知识，每一道题目的呈现方式又都不同．这样既能让后进生跟得上，又能让优等生吃得饱，从而让全班同学共同进步．从练习反馈中发现学生易错点，犯错的原因主要是学生未能认真审题．所以在以后审题教学中重视学抓关键词、培养审题习惯，提高解题效率．第2课时三角形的高、角平分线和中线【教学目标】1．掌握三角形的角平分线、中线和高的概念，并会用数学式子表示．2．掌握三角形的角平分线、中线和高的画法．【重难点】重点认识三角形的中线、角平分线、高．难点三角形的中线、角平分线、高的应用．【教学设计】一、创设情境，问题引入如图，有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．(1)当汽车运动到点D点时，刚好BD＝CD，连结线段AD，则AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？(2)汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE＝∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？(3)汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF 这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？二、探索问题，引入新知分析上述问题并给出结论：(1)AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线．此时△ABD与△ADC 的面积相等．(2)AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形中角平分线有三条．(3)AF是△ABC中BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线．下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高．(1)把锐角三角形换成直角三角形后，再试一试．(2)把锐角三角形换成钝角三角形后，再试一试．结论：1．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，并且都相交于三角形内一点；2．锐角三角形的三条高相交于三角形内一点，直角三角形的三条高相交于直角顶点，钝角三角形的两条高位于三角形的外部且三条高所在的直线相交于三角形外一点．例1.画出△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是( )分析：作哪一条边上的高，即从哪条边所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可．解：过点C作AB边的垂线，正确的是C.【例2】如图，已知△ABC的周长为24 cm，AD是BC边上的中线，AD＝58 AB，AD＝5 cm，△ABD的周长是18 cm，求AC的长．分析：由AD＝58AB，AD＝5 cm，可求出AB的长度，结合△ABD的周长是18 cm，可求出BD的长度，进而可求出BC的长度，再根据△ABC的周长为24 cm，即可求出AC的长．解：∵AD＝58AB，AD＝5 cm，∴AB＝8 cm.又∵△ABD的周长是18 cm，∴BD＝5 cm.又∵D是BC的中点，∴BC＝2BD＝10 cm.又∵△ABC的周长为24 cm，∴AC＝24－8－10＝6(cm)．三、巩固练习1．一定在三角形内部的线段是( )A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2．如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是( )A．△ABC中，AD是BC边上的高B．△GBC中，CF是BG边上的高C．△ABC中，GC是BC边上的高D．△GBC中，GC是BC边上的高,第3题图)3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有________个．4．如图，已知△ABC的周长为27 cm，AC＝9 cm，BC边上中线AD＝6 cm，△ABD周长为19 cm，则AB＝________.,第4题图) ,第5题图) 5．在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，则AC＝________.四、小结与作业小结学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获，交流在学习过程中的体验与感受，以及可能存在的困惑，师生合作共同完成课堂小结．作业1．教材第76页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．【教学反思】让学生通过画、折等实践操作，理解三角形的中线、角平分线、高的概念和交点情况，并培养学生动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得不是教师传授的，而是学生自己探索得到的．9．1.2三角形的内角和与外角和【教学目标】1．掌握三角形的内角和与外角和．2．理解三角形的外角的两条性质．3．会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算．【重难点】重点掌握三角形内角和及其外角和．难点三角形角的有关计算．【教学设计】一、创设情境，问题引入在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下结论：三角形的内角和为180°.那么，你能用几何知识进行证明吗？二、探索问题，引入新知如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3来表示△ABC的三个内角，证明：∠1＋∠2＋∠3＝180°.解：延长BC至点E，以C为顶点，在BE的上侧作∠DCE＝∠2，则CD∥BA.∵CD∥BA，∴∠1＝∠ACD，∵∠3＋∠ACD＋∠DCE＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.由三角形的内角和等于180°，可以得出：结论：直角三角形的两个锐角互余．如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角．三角形的外角与内角有什么关系呢？显然有：∠CBD(外角)＋∠ABC(相邻内角)＝180°那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？∵∠CBD＋∠ABC＝180°，∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，∴∠CBD＝∠ACB ＋∠BAC.结论：三角形的外角有两条性质：1．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角．从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和．问：你能用“三角形的内角和等于180°”来说明图中∠1＋∠2＋∠3＝360°吗？∵∠1＋∠ACB＝∠2＋∠BAC＝∠3＋∠ABC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°×3，又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°×3－180°＝360°.结论：三角形的外角和等于360°.【例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C的度数．分析：由AD是BC边上的高，∠B＝42°，可得∠BAD＝48°，再由∠DAE＝18°，可得∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝30°，然后根据AE是∠BAC的角平分线，可得∠BAC＝2∠BAE＝60°，最后根据三角形内角和定理即可推出∠C的度数．解：∵AD是BC边上的高，∠B＝42°，∴∠BAD＝48°，∵∠DAE＝18°，∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝30°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAC＝2∠BAE ＝60°，∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝78°.【例2】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．分析：在△ABD中，由三角形的外角的性质知∠3＝2∠2，因此∠4＝2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x.因为∠BAC＝63°，所以∠2＋∠4＝117°，即x＋2x＝117°，所以x＝39°；所以∠3＝∠4＝78°，∠DAC＝180°－∠3－∠4＝24°.三、巩固练习1．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的大小为( )A．54°B．62°C．64°D．74°,第1题图) ,第2题图)2．如图，在△ABC中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则∠BAD＝( ) A．145°B．150°C．155°D．160°3．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于________．,第3题图) ,第4题图) 4．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于________．5．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．6．如图，AE，OB，OC分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，OD⊥BC，求证：∠1＝∠2.四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．作业1．教材第79页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．【教学反思】实践出真知，因此，在教学中尽量去引导学生从不同的角度去发现问题、思考问题，启发、诱导学生通过动手、动脑，与同学交流合作，大胆探索、猜想，并用自己所学的知识来解决问题，真正做到老师“导”学生“学”．教师一定要相信学生的能力，大胆放手，也许会有意想不到的收获．归纳、对比对于知识的掌握有着不可忽视的作用，教学中要及时引导学生总结，找出好的学习方法和解题捷径，并熟练应用．本节课中有的学生尽管知道了三角形外角的性质，却仍习惯性地用三角形内角和定理来求外角，费时费力，不利于知识的掌握，因此教师要注意让学生多运用三角形外角性质．9．1.3三角形的三边关系【教学目标】1．掌握和理解三角形三边的关系．2．认识三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题．【重难点】重点三角形任何两边之和大于第三边的应用．难点已知三角形的两边求第三边的范围．【教学设计】一、创设情境、复习引入1．三角形的三个内角和是多少？三角形的外角有什么性质？2．在连结两点的所有线中最短的是哪一种？二、探索问题，引入新知做一做：画一个三角形，使它的三条边分别为：4 cm，3 cm，2.5 cm.画法步骤如下：(1)先画线段AB＝4 cm；(2)以点A为圆心，3 cm的长为半径画圆弧；(3)再以B 为圆心，2.5 cm 的长为半径画圆弧，两弧相交于点C ；(4)连结AC ，BC.△ABC 就是所要画的三角形．这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等．试一试： 现有长2 cm ，3 cm ，4 cm ，5 cm ，6 cm 的五条线段，你任意选三条线段画三角形，使它的三边长分别是你所选择的三条线段的长．你在画的过程中可能会遇到什么情况？这是为什么？在画三角形的过程中，你会发现有多种情况，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形．结论：三角形的任意两边的和大于第三边．你能用其它的依据说明“三角形的任意两边的和大于第三边”吗？做一做： 用3根木条钉一个三角形，拉三角形的顶点，这个三角形的形状会发生改变吗？三角形的大小会变吗？你知道这是为什么？用四根木条钉一个四边形，拉四边形的顶点，这个四边形的形状会发生改变吗？四边形的大小会变吗？你知道这是为什么？结论：如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．四边形具有不稳定性．三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用．例如桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构．【例1】 已知三角形三条边分别为a ＋4，a ＋5，a ＋6，求a 的取值范围． 分析：根据三角形两边之和大于第三边可得a ＋4＋a ＋5＞a ＋6再解即可．解：由题意得：⎩⎨⎧a ＋4>0，a ＋4＋a ＋5>a ＋6，解得：a ＞－3. 【例2】 若a ，b ，c 分别为三角形的三边，化简：|a －b －c|＋|b －c －a|＋|c －a ＋b|分析：根据三角形的三边关系得出a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a ，再去绝对值符号，合并同类项即可．解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，∴原式＝|a－(b＋c)|＋|b－(c＋a)|＋|(c＋b)－a|＝b＋c－a＋a＋c－b＋c＋b－a ＝－a＋b＋3c.三、巩固练习1．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，则x的值可以是( ) A．4 B．5 C．6 D．92．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( )A．2，3，4 B．5，7，7C．5，6，12 D．6，8，103．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为________．4．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8 m和5 m的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？5．如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA＋OB＋OC＞12(AB＋BC＋CA)．四、小结与作业小结先小组内交流收获与感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师作补充．作业1．教材第82页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．【教学反思】课堂上通过有趣的情境故事引出本节课的知识点，激发学生的学习兴趣，让学生在经过自己的思考后，教师启发诱导解决实际问题，让学生做学习的主人，并探讨多种不同问题，使探究过程活跃起来，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获．9．2多边形的内角和与外角和【教学目标】1．理解多边形的概念和正多边形的概念．2．了解多边形的内角、外角、对角线等概念．3．在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理．【重难点】重点多边形内角和定理的探索和应用．难点多边形的内角和，外角和定理的推导．【教学设计】一、创设情境、复习引入什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？二、探索问题，引入新知试一试：四边形和五边形是怎样表示呢？如图(1)，三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：△ABC.如图(2)，四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：四边形ABCD.如图(3)，五边形是由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：五边形ABCDE.一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n 边形，又称为多边形．注意：(1)我们现在研究的是如图(2)(3)的多边形，也就是凸多边形，如图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围．(2)与三角形类似，如图(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角．如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形．连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．如：正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等．试一试：我们知道三角形的三个内角和是180度，那么四边形、五边形、六边形……的内角和是多少？由下图可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180度，这样我们就可以求出多边形的内角和．根据我们的分析，完成下表：多边形 3 4 5 6 …n的边数分成的三角形个数1 2 3 4 …n－2多边形的内角和180°360°540°720°…(n－2)·180°由此，我们可以得出：结论：n边形的内角和为(n－2)·180°.与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和．如图，四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．因为∠1＋∠DAB＝∠2＋∠CBA＝∠3＋∠DCB＝∠4＋∠ADC＝180°，又因为∠DAB＋∠CBA＋∠DCB＋∠ADC＝360°(四边形内角和等于360°)，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.所以四边形的外角和等于360°.根据n边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得n边形的外角和，填表：多边形的边数3 4 5 …n多边形的内角与外角的总和3×180°＝540°4×180°＝720°5×180°＝900°…n×180°多边形的内角和180°360°540°…(n－2)·180°多边形的外角和360°360°360°…360°结论：任意多边形的外角和都为360°.【例1】如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，求每个内角的度数．分析：根据多边形内角和定理求解．解：∵五边形的内角和＝(5－2)·180°＝540°，又∵五边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数＝540°÷5＝108°.【例2】一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是几边形？分析：根据多边形内角和定理求解．解：设多边形为n边形，由题意得(n－2)·180°＝900°，解得n＝7.【例3】一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形是几边形？分析：根据任意多边形的外角和都为360°求解．解：设多边形为n边形，由题意，得n·72°＝360°解得n＝5.例4：如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30度，再沿直线前进10米，又向左转30度，……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了多少米？分析：根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以10米即可．解：∵小亮每次都是沿直线前进10米后向左转30度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷30°＝12，∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120(米)．故他一共走了120米．三、巩固练习1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是( )A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形2．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是( )A．6 B．12 C．16 D．183．如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是( ) A．4 B．5 C．6 D．74．七边形的内角和为________．5一个n边形的内角和是720°，则n＝________.6．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是________．7．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于________度．,第7题图) ,第8题图) 8．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝________.四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．作业1．教材第88页“习题9.2”中第1，2，3题．2．完成练习册中本课时练习．【教学反思】本节课通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n－2)·180°.这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握．由于多边形的外角和等于360°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理．通过练习情况来看学生本节课掌握的较好．9．3用正多边形铺设地面【教学目标】1．通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式．2．探索用多种正多边形拼地板的过程和原理．【重难点】重点通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力．难点通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键．【教学设计】一、创设情境、复习引入回到开始提出的问题：某些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙？地砖或瓷砖的形状大多数是正多边形，是不是所有的正多边形都能铺满地面呢？二、探索问题，引入新知探究1：用相同的正多边形使用给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不相互重叠？通过学生动手拼图，使他们发现能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角相加恰好等于360°.下面再通过计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形．完成下表：正多边形3 4 5 6 7 …n的边数正多边形180°360°540°720°900°…(n－2)180°的内角和正多边形每个内角度数60°90°108°120°900°7…当[360°÷（n－2）·180°n]为正整数时，即2nn－2为正整数时，用这样的正多形就可以铺满地面．结论：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以拼成一个平面图形．探究2：用多种正多边形用正三角形和正六边形能铺满地面吗？为什么？由正六边形和正三角形组成也能铺满地面．因为正六边形的内角为120°，正三角形的内角为60°，这样用2块正六边形和2块正三角形，它们内角之和为一个周角360°，所以能铺满地面．(即：2×120°＋2×60°＝360°)能不能用其他两种或两种以上的正多边形铺地板呢？如图①：是用正八边形和正方形拼成的．因为正八边形的内角为135°，正方形的内角为90°，那么用2个正八边形和1个正方形各一内角之和正好等于360°，所以可以铺满地板．(即：2×135°＋90°＝360°)如图②：是用正六边形、正方形、正三角形拼成的．因为正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°，正三角形的内角为60°，那么用1个正六边形，2个正方形和1个正三角形各一个内角之和为360°，所以可以铺满地面．(即：120°＋2×90°＋60°＝360°)结论：若几个正多边形的一个内角的和等于360°，那么这几个正多边形可铺满地面．【例1】正八边形地板砖，能铺满地面，既不留下一丝空白，又不相互重叠吗？请说明理由．分析：先算出正八边形每个内角的度数，再看每个内角度数能否整除360°.解：不能．∵正八边形每个内角是（8－2）×180°8＝135°，不能整除360°，∴不能密铺．点评：正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°.【例2】某校要用地砖镶嵌艺术教室的地面，可以选择的方案有许多种，请你为其设计．(1)如果在以下形状的地砖中选取一种镶嵌地面，可以选择的有________．(填序号)①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；⑤任意三角形；⑥任意四边形(2)如果在正三角形、正方形、正八边形这三种形状的地砖中，任意选取其中的两种，有几种可行的方案？(3)如果在正三角形、正六边形、正方形、正十二边形这四种形状的地砖中，任意选取其中三种，有几种可行的方案？分析：(1)由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．(2)分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件，分别计算即可求出答案．(3)分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件，分别计算即可求出答案．解：(1)①正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；②正五边形每个内角是180°－360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺；③正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；④正八边形的每个内角为：180°－360°÷8＝135°，不能整除360°，不能密铺．⑤任意三角形⑥任意四边形都可以镶嵌平面．(2)正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°＋。