W07 数值微分与积分

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第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
h h h 第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
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第5章
第5章
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第5章
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第5章
第5章
第5章
第5章
这里是既不依赖于被积函数，也不依赖于积分区间的常数，称为柯特斯系数。

式（5-3）称为牛顿－柯特斯求积公式。

i C
上式称为梯形求积公式第5章
第5章
第5章
02
k=
第5章
第5章
上Simpson 积分
达到精度[,]k k a b 2S ε时，可认为区间
第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
注意：被积函数一定要支持数组运算！第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
第5章
f=1./(y-x-(0.9-y)./5);第5章
积分的值第5章。

数值计算_第7章数值微分和数值积分

数值计算_第7章数值微分和数值积分数值微分和数值积分是数值计算中的两个重要内容，它们在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍数值微分和数值积分的概念、方法和应用，并分析其优缺点。

数值微分是通过数值方法来近似计算函数的导数。

在实际问题中，往往很难直接计算函数的导数，因此需要使用数值方法来进行近似计算。

常用的数值微分方法有中心差分法、向前差分法和向后差分法。

中心差分法是一种通过利用函数在特定点两侧的数据点来计算函数的导数的方法。

具体方法是用函数在该点两侧的差值来估计导数。

中心差分法具有较高的精度和稳定性，适用于函数光滑的情况。

向前差分法和向后差分法是一种通过利用函数在该点的数据点来计算函数的导数的方法。

向前差分法用函数在该点的后一点数据来估计导数，向后差分法用函数在该点的前一点数据来估计导数。

这两种方法的精度相对较低，但计算简单，适用于函数不太光滑的情况。

数值微分方法的优点是计算简单、直观易懂、易于实现。

缺点是对函数的平滑性和间隔大小要求较高，误差较大。

数值积分是通过数值方法来近似计算函数的积分。

在实际问题中，往往很难直接计算函数的积分，因此需要使用数值方法来进行近似计算。

常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和数值积分公式。

梯形法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用梯形面积来近似计算积分的方法。

辛普森法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用抛物线面积来近似计算积分的方法。

这两种方法的精度较高，适用于函数较光滑的情况。

数值积分公式是通过选取节点和权重，将积分转化为对节点函数值的加权求和。

常用的数值积分公式有高斯求积公式和牛顿-寇茨公式。

这些公式具有较高的精度和稳定性，适用于计算复杂函数的积分。

数值积分方法的优点是适用范围广、精度较高、计算稳定。

缺点是计算量较大、计算复杂、需要选取合适的节点和权重。

数值微分和数值积分在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。

第七章数值积分与数值微分 PPT

a
2
b
梯形公式
b
a
f
( x)dx
1 2
(b
a)
f
(a)
f
(b)
3
一般形式
数值积分公式得一般形式
一般地,用 f(x) 在 [a, b] 上得一些离散点
a x0 < x1 < ···< xn b
上得函数值得加权平均作为 f () 得近似值,可得
b
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi )
29
复合梯形公式
将 [a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ,其中
xi a i h,
h
b
a n
(i = 0, 1, …, n)
复合梯形公式
b
n1
f ( x) dx
a i0
xi 1 xi
f (x)
dx
n1 i0
h[ 2
f
(
xi
)
f ( xi1)]
余项
h 2
f (a)
n
Ai =A0 A1 An b a
i0
9
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
插值型求积公式
设求积节点为:a x0 < x1 < ···< xn b
n
若 f (xi) 已知,则可做 n 次多项式插值: Ln( x) li ( x) f ( xi )
i0
b
b
n
b
n
a f ( x)dx a Ln( x) dx f ( xi ) a li ( x) dx Ai f ( xi )
代数精度的验证方法

数值微分与积分

梯形求积公式
在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也是最重要三个公式,称为低阶公式（当n=0时的公式为矩形公式） 1）梯形(trapezoid)公式取n 1, 则x0 a , x1 b , h b a 1 1 ( 1) Cotes系数为 C0 (t 1)dt 0 2 1 1 ( 1) C1 0tdt 2 求积公式为 I1 ( f ) (b a) Ck(1) f ( xk )
间各自重复逐步上述过程。
§5.2 数值微分
化工领域的实际问题中时常需要求列表函数在节点和非节点处的导数值，这是数值微分所要解决的问题。数值微分方法可近似求出某点的导数值。
I f ( x)dx Ln ( x)dx
a a b b b n a
f ( x )l ( x)dx f ( x )
k 1
b
n
b
k
k
k 1
k
a k
l ( x)dx
其中：
Ak lk ( x)dx
a
b
a
一般地：令 x a th 得：
Ak h
数值积分
以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用，只能建立积分的近似计算方法数值积分就是一种常用的近似计算方法。数值积分方法不受以上几个问题的限制，在化学化工领域应用甚广，如反应热效应计算、热容计算、熵的计算、反应活化能的计算等。
如：某反应器中进行的反应，计算出口物料的焓值
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式
与梯形法求积公式相比，Simpson法求积公式是一个较高精度的求积公式。
复化法求积公式
Newton-Cotes公式当n大于7时，公式的稳定性将无法保证，因此,在实际应用中一般不使用高阶NewtonCotes公式而是采用低阶复合求积法在实际计算中为了保证计算的精度，往往首先用分点 xk=a+kh, (k=0,1,…,n)将区间［a,b］分成n个相等的子区间，而后对每个子区间再应用梯形公式或Simpson公式，分别得到：

数值计算第7章数值微分和数值积分

第7章数值微分和数值积分7.1 数值微分差商与数值微分当函数是以离散点列给出时，当函数的表达式过于复杂时，常用数值微分近似计算的导数。

在微积分中，导数表示函数在某点上的瞬时变化率，它是平均变化率的极限；在几何上可解释为曲线的斜率；在物理上可解释为物体变化的速率。

以下是导数的三种定义形式：（7.1）在微积分中，用差商的极限定义导数；在数值计算中返璞归真，导数取用差商（平均变化率）作为其近似值。

最简单的计算数值微分的方法是用函数的差商近似函数的导数，即取极限的近似值。

下面是与式（7.1）相应的三种差商形式的数值微分公式以及相应的截断误差。

向前差商用向前差商（平均变化率）近似导数有：（7.2）其中的位置在的前面，因此称为向前差商。

同理可得向后差商、中心差商的定义。

由泰勒展开得向前差商的截断误差：向后差商用向后差商近似导数有：（7.3）与计算向前差商的方法类似，由泰勒展开得向后差商的截断误差：中心差商用中心差商（平均变化率）近似导数有：（7.4）由泰勒展开得中心差商的截断误差：差商的几何意义微积分中的极限定义，表示在的斜率；差商表示过和两点直线的斜率，是一条过的割线。

可见数值微分是用近似值内接弦的斜率代替准确值切线的斜率。

图7.1 微商与差商示意图给出下列数据，计算，解：（(0.10) －设定最佳步长在计算数值导数时，它的误差由截断误差和舍入差两部分组成。

用差商或插值公式近似导数产生截断误差，由原始值的数值近似产生舍入误差。

在差商计算中，从截断误差的逼近值的角度看，越小，则误差也越小；但是太小的会带来较大的舍入误差。

怎样选择最佳步长，使截断误差与舍入误差之和最小呢？一般对计算导数的近似公式进行分析可得到误差的表示式，以中心差商为例，截断误差不超过而舍入误差可用量估计（证明略），其中是函数的原始值的绝对误差限，总误差为当时，总误差达到最小值，即（*）可以看到用误差的表达式确定步长，难度较大，难以实际操作。

数值积分与微分方程数值解法

数值积分与微分方程数值解法数值积分和微分方程数值解法是数值计算中的重要组成部分，在科学计算、工程分析和实际问题求解中起着不可或缺的作用。

本文将介绍数值积分的基本概念和常用方法，以及微分方程数值解法的应用和实现过程。

一、数值积分的基本概念和常用方法数值积分是求解定积分近似值的方法，通过将连续函数的积分转化为离散形式的求和，以达到近似计算的目的。

常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。

（1）矩形法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取点，用函数在相应点处的取值近似代替该子区间内的函数值，最后将所有子区间的函数值相加得到近似积分值。

（2）梯形法：与矩形法类似，但是将每个子区间近似为一个梯形，通过计算梯形的面积来近似计算积分值。

（3）辛普森法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取三个点，根据这三个点构造出一个二次函数，并用该二次函数的积分来近似计算积分值。

二、微分方程数值解法的应用和实现过程微分方程数值解法是对微分方程进行近似求解的方法，通过离散化微分方程来构造数值格式，然后通过数值计算来求解。

常用的微分方程数值解法包括常微分方程的欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法，以及偏微分方程的有限差分法、有限元法等。

（1）常微分方程数值解法：- 欧拉法：根据微分方程的定义，将微分项近似为差分项，通过迭代逼近真实解。

- 改进欧拉法：在欧拉法的基础上，通过利用两个点的斜率来逼近解的变化率，提高精度。

- 龙格-库塔法：通过多次迭代，根据不同的权重系数计算不同阶数的近似解，提高精度。

（2）偏微分方程数值解法：- 有限差分法：将偏微分方程中的一阶和二阶导数近似为差分项，通过离散化区域和时间来构造矩阵方程组，然后通过求解线性方程组来获得数值解。

- 有限元法：将区域进行剖分，将偏微分方程转化为变分问题，通过选取适当的试函数和加权残差法来逼近真实解。

总结：数值积分和微分方程数值解法是数值计算中重要的工具，能够帮助我们处理实际问题和解决科学工程中的复杂计算。

数值微分和数值积分

f (xi ) S(xi ) mi.
mi由“m关系式” 确定的方程组求得。
2005 10 21
2.2 数值积分
数值积分是用来求解定积分中被积函数是以离散点形式
(xi, f(xi)) 给出；或被积函数无法求出的情形。它是定积分计算的一种近似方法。
在微积分中，定积分是Riemann和的极限，即
L2 (x)

(x
x1)(x x2 ) 2h 2
f
(x0)
(x
x0 )(x x2 ) h2
f
( x1 )

(x
x0 )(x x1) 2h 2
f
( x2 )
f (x) L2 (x)
f (x0 2h 2
)
(
x

x1

x

x
2
)

f
( x1 ) h2
(x

x0

x
h0
h
• 设定最佳步长
计算数值微分时产生的误差有截断误差和舍入误差两部分组成。由数值微分公式产生截断误差，有原始数据产生舍入误差。
一般情况，步长 h 越小，误差也越小，但步长太小，会
引起误差的增长。因此，实际计算时，需要选择一个最佳步
长。用中心差商分析数值微分的误差。
∵ f(x0-h)≈f(x0+h) 有效数字严重损失
显然，对任意次数不超过 m 次的多项式 f(x) 有，
In( f ) = I( f )。
2.2.1 插值型数值微分
给定[a, b]上的点列 (xi, f(xi)), i = 0,1,2,…,n, 构造Ln(x), 则
b
b

数值计算方法第07章数值微分与数值积分方案

(n 1)!

(
xi
)
10
下面仅仅考察节点处的导数值。为简化讨论，假定所给
的节点是等距的，设步长为 h 。
(1)两点公式：两节点 x0 , x1 x0 h 的函数值 f ( x0 ), f ( x1) 。则线性插值函数
L1( x)
x x1 x0 x1
f
( x0 )
x x0 x1 x0
n
次插值多项式 Ln( x) f ( xk )lk ( x), 即得到
k0
b
n
b
f ( x)dx
a
f ( xk ) a lk ( x)dx
Ak
k0
插值型求积公式
Ak
b n ( x x j ) dx a j0, jk ( xk x j )
由节点决定, 与 f (x) 无关.
f ( x1 )
x x1 h
f ( x0 )
x x0 h
f ( x1 )
则
L1( x)

1 [ h
f
( x0 )
f
( x1 )]
(7.1)
L1( x0 )

1 [ h
f
( x0 )
f
( x1 )],
L1( x1 )

1 [ h
f
( x0 )
f
( x1)]
11
(2) 三点公式 : 已知 x0 , x1 x0 h,, x2 x0 2h 的函数值 f (x0 ), f (x1), f (x2 ) ,
本章主要介绍数据微积分的基本思想方法及常用的数值微分与数值积分公式。

数值微分与积分算法

数值微分与积分算法数值微分和积分算法是计算数学中常用的数值计算方法，它们通过离散化数学函数来估计导数和定积分的值。

本文将介绍数值微分和积分的基本概念，并介绍几种常用的数值方法。

1. 数值微分数值微分是计算函数导数的数值方法。

导数表示了函数在某一点的斜率或变化率。

常见的数值微分方法有：向前差分、向后差分和中心差分。

1.1 向前差分向前差分计算导数的方法是通过近似函数在某一点的切线斜率。

假设有函数f(x)，可选取小的增量h，并使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h1.2 向后差分向后差分与向前差分类似，也是通过近似函数在某一点的切线斜率。

使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / h1.3 中心差分中心差分是向前差分和向后差分的结合，计算导数时使用函数在点前后进行采样。

使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / (2h)2. 数值积分数值积分是计算函数定积分的数值方法。

定积分表示函数在某一区间上的面积。

常见的数值积分方法有：矩形法、梯形法和辛普森法则。

2.1 矩形法矩形法是通过将函数曲线分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积之和来近似定积分。

常见的矩形法有：左矩形法、右矩形法和中矩形法。

2.2 梯形法梯形法是通过将函数曲线分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积之和来近似定积分。

使用如下公式计算：∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/2) * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(xn)]2.3 辛普森法则辛普森法则是通过将函数曲线分割成若干个抛物线来近似定积分。

使用如下公式计算：∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/3) * [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 4f(x(n-1))+ f(xn)]3. 总结数值微分和积分是实际计算中常用的数值方法，它们通过将连续的数学问题离散化来进行数值计算。

数值微分与数值积分的计算方法

数值微分与数值积分的计算方法数值微分和数值积分是数学中一种非常重要的方法。

在实际生活和科学研究中，很多情况下，需要对函数进行微分或积分的计算。

然而，由于很多函数的解析式很难或者根本不能求出，因此需要采用一些数值方法来近似计算。

本文将讨论数值微分和数值积分的计算方法。

一、数值微分在数值计算中，常常会遇到需要求函数在某个点处的导数的问题。

这时候，我们就需要用到数值微分。

数值微分主要有三种方法：前向差分、后向差分和中心差分。

（一）前向差分前向差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。

其基本思想是求函数在当前点和向前一点的斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}$$其中，$h$表示步长。

（二）后向差分后向差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。

其基本思想是求函数在当前点和向后一点的斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}$$（三）中心差分中心差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。

其基本思想是求函数在当前点左右两个点的平均斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h}$$对于三种方法，其截断误差的阶分别为 $\mathcal{O}(h)$、$\mathcal{O}(h)$ 和 $\mathcal{O}(h^2)$。

二、数值积分数值积分是指用数值方法对某个函数在某一区间上的定积分进行近似计算的过程。

常见的数值积分方法有梯形法、辛普森法和龙贝格法。

下面将分别介绍这三种方法。

（一）梯形法梯形法是一种比较简单的数值积分方法。

其基本思想是将积分区间分成若干个小梯形，然后求出这些小梯形面积的和。

具体地，假设我们要对函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上进行积分，将该区间分成 $n$ 个小区间，步长为 $h=(b-a)/n$，则梯形法的计算公式为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b)\right]$$梯形法的截断误差的阶为 $\mathcal{O}(h^2)$。

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h n −1 复化Simpson公式：S n = ∑ (( f ( x k ) + 4 f ( x k + 1 ) + f ( xk＋1 )) 公式：复化公式 6 k =0 2
自适应求积公式
尽管复化法求积公式具有很高的精度，但是它必须采用等步长方法，尽管复化法求积公式具有很高的精度，但是它必须采用等步长方法，从而限制了它的效率。这里我们介绍一种更加灵活选取步长的方法，从而限制了它的效率。这里我们介绍一种更加灵活选取步长的方法，即自适应步长法。自适应步长法。
Matlab第五讲
数值积分与数值微分第5章章
引言1---数值微积分方法数值微积分方法引言
微积分是高等数学中的重要内容，微积分是高等数学中的重要内容，在化学工程上有许多非常重要的应用。程上有许多非常重要的应用。数值积分与数值微分，数值积分与数值微分，不同于高等数学中的微积分，后者主要是对函数采用解析方法求解，微积分，后者主要是对函数采用解析方法求解，而数值积分与微分适合求解没有或很难求出微分或积分表达式的实际化工问题的计算，例如：或积分表达式的实际化工问题的计算，例如：列表函数求微分或积分。表函数求微分或积分。对于微积分的解析求解，对于微积分的解析求解，Matlab可以通过符可以通过符号运算来实现，对于数值微分和积分，号运算来实现，对于数值微分和积分，Matlab也也有相应的函数。有相应的函数。
MATLAB函数函数
公式自适应Simpson求积公式（低阶）自适应Lobatto求积公式；精度高，最常用
quad quadl
quad函数函数
自适应Simpson法数值积分：quad（）法数值积分：自适应法数值积分（）基本调用格式： q=quad(fun,a,b) 基本调用格式：或 q=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…) 其中: fun－被积函数。可以是内置函数、m文件或函数句柄文件或函数句柄, 其中－被积函数。可以是内置函数、文件或函数句柄中的必须使用点运算符号。函数表达式中的必须使用点运算符号。 a, b－分别是积分的下限和上限；－分别是积分的下限和上限； q－积分结果。－积分结果。 tol－默认误差限，默认值为－默认误差限，默认值为1.e-6. trace-取0表示不用图形显示积分过程，非0表示显示积表示不用图形显示积分过程，取表示不用图形显示积分过程表示显示积分过程 p1,p2,…直接传递给函数直接传递给函数fun的参数。的参数。直接传递给函数的参数
Cotes系数为 C 系数为
(2) 0
1 2 1 = ∫ (t − 1)(t − 2 )dt = 4 0 6
−1 2 4 = ∫0 t(t − 2 )dt = 6 2 1 2 1 = ∫ (t − 1)tdt = 4 0 6
C
(2) 1
C
(2) 2
Simpson公式公式
求积公式为
(2) I 2 = (b − a )∑ Ck f ( xk ) k =0 2
，考虑该区间
S2 =
取计算需满足的精度为ε
s1 − s 2 < ε 当时，可认为区间 [ak , bk ] 上Simpson积分S 2 达到精度ε 积分
hk 1 1 3 [ f (ak ) + 4 f (ak + hk ) + 2 f (ak + hk ) + 4 f (ak + hk ) + f (bk )] 12 4 2 4
H ＝ n
∫
t2 t1
C pdT ,
C p = f (T )
数值积分的基本思路和方法
常用的数值积分的基本思路来自于插值法常用的数值积分的基本思路来自于插值法，它基本思路来自于插值法，通过构造一个插值多项式Pn(x)作为作为f(x)的近似表达通过构造一个插值多项式作为的近似表达的积分值作为f(x)的近似积分值。的近似积分值。式，用Pn(x)的积分值作为的积分值作为的近似积分值数值积分的方法很丰富数值积分的方法很丰富，最常用的插值型求积方法很丰富，公式是：等距节点的牛顿－柯特斯(Newton-Cotes) 公式是：等距节点的牛顿－柯特斯牛顿求积公式；求积公式；
j≠k
Ci = Ai /(b − a )
I = ∫ f ( x)dx ≈(b − a )∑ Ci f ( xi )
a i =0
b
n
（1））
是既不依赖于被积函数，也不依赖于积分区间的常数，这里 Ci 是既不依赖于被积函数，也不依赖于积分区间的常数，称为柯特斯系数。为柯特斯系数。式（1）称为牛顿－柯特斯求积公式。）称为牛顿－柯特斯求积公式。
a a b b b n a
∑ f ( x )l ( x)dx =∑ f ( x )∫
k =1
b
n
b
k
k
k =1
k
a k
l ( x)dx
其中：其中：
Ak =
∫
n
b a
lk ( x ) d x =
∫ ∏
a
x − xj xk − x j
dx
一般地：一般地：令 x = a + th 得：
j≠k
dx = hdt , xi − x j = (i − j )h, x − x j = (t − j )h
1 4 1 I 2 ( f ) = (b − a )[ f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( x2 )] 6 6 6 b−a a+b = [ f (a) + 4 f ( ) + f (式求积公式，也称三点公式或抛物线公式上式称为求积公式
b−a [ f ( x0 ) + f ( x1 )] 求积公式为 I1 ( f ) = (b − a)∑ C f ( xk ) = 2 k =0
1 (1) k
上式称为梯形求积公式, 上式称为梯形求积公式, 梯形求积公式
Simpson公式公式
b+a b−a 取n = 2 , 则x0 = a , x1 = , x2 = b , h = 2 2
梯形求积公式
在Newton-Cotes公式中公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也是最时的公式是最常用也是最公式中重要三个公式,称为低阶公式称为低阶公式（时的公式为矩形公式）重要三个公式称为低阶公式（当n=0时的公式为矩形公式）时的公式为矩形公式 1）梯形(trapezoid)公式）梯形公式取n = 1, 则x0 = a , x1 = b , h = b − a 1 1 ( 1) Cotes系数为 C0 = − ∫ (t − 1)dt = 系数为 0 2 1 1 ( 1) C1 = ∫ tdt = 0 2
1)被积函数以一组数据形式表示；被积函数以一组数据形式表示；被积函数以一组数据形式表示 2)被积函数过于特殊或原函数不能用初等函数表示，积分表中无被积函数过于特殊或原函数不能用初等函数表示，被积函数过于特殊或原函数不能用初等函数表示法找到可沿用的现成公式；法找到可沿用的现成公式； 3)有的原函数十分复杂难以计算。有的原函数十分复杂难以计算。有的原函数十分复杂难以计算
0≤ j≤ n j≠k
t− j 1 n t− j Ak = h ∫ ∏ dt = (b − a) ∫ ∏ dt 0 k− j n 0 j =0 k − j j =0
n ( − 1) Ci = ∫0 0∏≤ n ( t − j )d t n ⋅ k !⋅ ( n − k ) ! ≤ j j≠k n−k
引言2---数值微积分与插值拟合关系密切数值微积分与插值拟合关系密切引言
数值微分和数值积分与插值和拟合往往是密不可分的。可分的。如在进行数值微分时，常针对离散的数据点，如在进行数值微分时，常针对离散的数据点，先进行插值和拟合，得到函数后再进行微分，先进行插值和拟合，得到函数后再进行微分，这样可以减少误差；可以减少误差；而数值积分的基本思路也来自于插值法。值法。例如如果所积函数的形式比较复杂或以表格形式给出，形式给出，则可通过构造一个插值多项式来代替原函数，从而使问题简化。函数，从而使问题简化。
数值积分
以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用，很难发挥作用，以上这些现象很难发挥作用只能建立积分的近似计算方法数值积分就是一种常用的近似计算方法。数值积分就是一种常用的近似计算方法。数值积分方法不受以上几个问题的限制，值积分方法不受以上几个问题的限制，在化学化工领域应用甚广，如反应热效应计算、热容计算、工领域应用甚广，如反应热效应计算、热容计算、熵的计算、反应活化能的计算等。熵的计算、反应活化能的计算等。某反应器中进行的反应，如：某反应器中进行的反应，计算出口物料的焓值
积分法为例，以Simpson积分法为例，某区间 [ak , bk ] ，记 hk = bk − ak 积分法为例上的Simpson积分和二等分以后的两个积分和二等分以后的两个Simpson积分和：积分和：上的积分和二等分以后的两个积分和
S1 = hk 1 [ f (ak ) + 4 f (ak + hk ) + f (bk )] 6 2
§5.1.1 Newton-Cotes求积公式求积公式
方法概述
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用公式是指等距节点下使用Lagrange插值公式是指等距节点下使用插值多项式建立的数值求积公式多项式建立的数值求积公式
设函数f ( x ) ∈ C[ a , b ]
将积分区间[ a , b ]分割为n等份
需要了解更多的内容可查阅Matlab功能函数库（funfun）。功能函数库（需要了解更多的内容可查阅功能函数库）。