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投影变换

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画法几何及工程制图第3章投影变换

画法几何及工程制图第3章投影变换

a
X
V H
a
b1 a1e1
b
β1
e
c
b e
c1
V面倾角
c
变换H面（求β1）
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-垂直面变换为平行面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
a
X
V H
a
a1
b c
Why X1轴这么选？
b
c
c1
实形
b1
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为平行面
目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位
置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有 利于求解的特殊位置。
1. 将投影面倾斜线变换成投影面平行线
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线
3. 将投影面倾斜线变换成投影面垂直线
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
6. 将投影面倾斜面变换成投影面平行面
m1
m2 a2 b2
d2
Why？
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例4]求变形接头两侧面ABCD和ABFE之间的夹角。
分析
当两平面的交线垂直于投影面时，两平面 在该投影面上的投影为两相交直线，它们的夹 角即反映两平面间的夹角。
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
线）和度量问题（实长、实形和倾角）。
实形
a c
c
实长
k
l
b
e a
a X
a
c
b k

投影变换

投影变换

投影变换投影变换就是要确定一个取景体积，其作用有两个：1). 确定物体投影到屏幕的方式，即是透视投影还是正交投影。

2). 确定从图象上裁剪掉哪些物体或物体的某些部分。

投影变换包括透视投影和正交投影（平行投影）。

●透视投影透视投影的示意图如下，其取景体积是一个截头锥体，在这个体积内的物体投影到锥的顶点，用glFrustum()函数定义这个截头锥体，这个取景体积可以是不对称的，计算透视投影矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。

void glFrustum(GLdouble left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far);该函数以透视矩阵乘当前矩阵left, right 指定左右垂直裁剪面的坐标。

bottom,top 指定底和顶水平裁剪面的坐标。

near,far 指定近和远深度裁剪面的距离，两个距离一定是正的。

程序函数gluPerspective()可以创建一个与调用glFrustum()所得到的同样形状的视图体，它创建的是一个沿视线关于x和y轴均对称的平截台体，在很多实际应用中都采用函数gluPerspective()。

void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect, GLdouble zNear,GLdouble zFar)；fovy是在x-z平面内视区的角度，其值必须在区间【0.0，180.0】内。

Aspect为长宽比，是平截台体的宽度与高度之比。

zNear和zFar的值是视点（沿z轴负向）与两个裁剪平面的距离。

参数恒为正。

图1透视投影示意图●正交投影正交投影的示意图见下：其取景体积是一个各面均为矩形的六面体，用glOrtho()函数创建正交平行的取景体积，计算正交平行取景体积矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。

void glOrtho(Gldouble left,Gldouble right,Gldouble bottom,Gldouble top,Gldoublenear,Gldouble far);该函数以正交投影矩阵乘当前矩阵。

投影变换

投影变换

V1
a1
b
X1
a
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替 旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后 找出其在新投影面上的投影。
二、新投影面的选择原则
（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1．新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2．新投影面必须垂直于一个不变投影面。
第3章 投影变换
§1 概 述
a' V b' a
A a1
V1 b1 B b H X1
§2 换面法
X
§1 概 述
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置时，其投影可能 反映线段的实长、平面的实形以及相应的倾角。而直线或平面 处于一般位置时，其投影就没有这些特性。 为了较容易地解决有关的作图问题，将几何元素与投影面 的相对位置变换成处于有利解题位置的方法称为投影变换。 投影变换有两种形式： （1）变换投影面法（换面法）——几何元素保持不动， 改变投影面的位置，使其处于有利解题的位置。 （2）旋转法——投影面保持不动，将几何元素旋转到有 利解题的位置。
a2 b2 d2 d c2 实形
d
[例题6] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a2
15
b2 d2 e1
e2 c2
e
d
e
d
休息会！ 迎接下个开心课程！
东华大学机械工程学院
a2 b2
[例题2]
求点C到直线AB的距离
提示
作图过程
作图
a1
c1 k1 b1 k'
b'2 k'2
a'2 c'2
距离
k

计算机图形学13投影变换

计算机图形学13投影变换
将x轴反向与U轴保持一致；
将坐标原点平移到点(a,b)。
01
平行投影
02
俯投影视图 将立体向xoy面作正投影，此时Z坐标取0;
03
投影变换 平行投影
使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同一平面； 最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致； 将坐标原点平移至点O
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。
湖北大学 数计学院
1
讨论(续)：
2
类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：
二点透视投影的变换矩阵
湖北大学 数计学院
在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用 当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
知投影方向矢量为（xp,yp,zp）
设形体被投影到XOY平面上
形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys)
∵投影方向矢量为(xp,yp,zp)
∴投影线的参数方程为：
01
03
02
04
05
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法 因为 所以 若令
则矩阵式为：

投影变换-高中数学知识点讲解

投影变换-高中数学知识点讲解

投影变换
1．投影变换
【知识点的知识】
将平面上每个点P 对应到它在直线l 上的投影P′（即垂足），这个变换称为关于直线l 的投影变换．变换的坐标公式和二阶矩阵为：
【解题方法点拨】
1．几种常见的线性变换
（1）恒等变换矩阵M＝；
（2）旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；
1/ 2
（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；
（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍，
k1，k2 均为非零常数；
（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M＝；
（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝，若沿y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝．（其中k 为非零常数）．
2．线性变换的基本性质
设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α+β＝．
（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M（λα）＝λMα，②M
（α+β）＝Mα+Mβ．
（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．
2/ 2。

投 影 变 换

投 影 变 换
的.根据投影方向与投影平面之间的关系，平行投 影又可以分为正投影与斜投影
透视投影
平行投影
1.1透视
在坐标系 oxyz 中来讨论投影，假定投影平面是z 0 , 设视点为
C (xc , yc , zc ) ，空间中任一点 Q (x, y, z) 在 z 0 平面上的投影为
P(xp , yp , 0) 。设 P，Q ，C 在 oxz 平面上的正投影分别为
x0 xr d xn
xn2
y
2 n
z
2 n
y0 yr d yn
xn2
y n2
z
2 n
(4.19)
z0 zr d zn
xn2
y
2 n
z
2 n
oz 轴和N方向一致，故有
(a31, a32 , a33 ) (xn , yn , zn )
xn2
yn2
z
2 n
(4.20)
计算x0, y0, z0和aij(i, j =1, 2, 3)的方法
P，Q ， C 则
xp xc x xc
zc
zc z
图示
透视投影的计算公式
整理后便有
同理可得
xp
xc
(x
xc )
zc zc
z
(4.13)
yp
yc
(y
yc )
zc zc
z
(4.14)
这两式便是透视投影的计算公式。把空间任一点 (x, y, z)
的坐标代入式（4.13）和式（4.14）便可求出在平面 z 0
ox 轴和向量U×N方向一致，设
i jk
U N x y z bi bj b k
u
u
u

投影变换

C N M D B a′1m′1b′1 V1
n′ ●
●
a′
m′
b′
XV H a c m ●
●
n
d b
d′1
.
a′1≡b●1≡m′1 ′
●
●
c′1
n′1
d′1
.
n′1
请注意各点的投 H V 1 影如何返回？ X1 求m点是难点。
圆半径=MN
c′1
●
例题4] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a′2
d
平面换面法小结
一 次 换 面 1．把一般位置平面变换为投影面垂直面
条件：需先在平面内作一条投影面的平行线
作图时：新的投影轴与该投影面平行线反映 实长的投影相互垂直
2．把投影面垂直面变换为投影面平行面 两 次 换 面
构造新的投影面与平面平行 作图时：新的投影轴与保留的平面具有积聚性 的投影相互垂直
§1 概述 §1 概述 §2 变换投影面法 §2 变换投影面法
§1 概 述
当空间几何元素对投影面处于特殊位置 时，则其投影或反映其真实形状，或具有积聚 性。 当我们图示、图解一般位置的空间几何元 素及其相互间的定位和度量问题时，如能把它 改变成特殊位置，则问题就可能比较容易地获 得解决 。 本章引入投影变换的方法来达到上述目的。
X1 H 1 V
.
aH
V1 X1
作图规律： 由点的不变投影向新投影轴作垂线， 并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于旧投影到旧轴的距离。
2.2.2 点的二次换面 ⑴ 新投影体系的建立
X2
V
H2
a2
按次序更换 V1
∇
ax2
a′ A ax

第6章 投影变换

AD C B a≡b≡d ≡ ≡ P X V H
b′ ′
a′ ′
d′ ′ b 距离 b’1. a2≡b2≡d2 c2
c a
.
d
. a’1 d’1
H X1 V 1
c
如何确定d 如何确定 1 c’1 点的位置？ 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
V1 H2 X2
例：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 已知两交叉直线 和 的公垂线的长度 ， N 为水平线， 的投影。 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M 为水平线 及 的投影
●
a′ ′ XV H a c
m′ ′
b′ ′
● ●
m
n
d b
d’1
.
●
a1≡b1≡m1
●
c1
n1
.
d1
n’1 圆半径=MN 圆半径
请注意各点的投 H V 1 影如何返回？ 影如何返回？ X1 求m点是难点。 点是难点。 点是难点
c’1
●
点作直线CD与 相交成 相交成60º角 例: 过C点作直线 与AB相交成 角。 点作直线
的实长及与H面的夹角 例：求直线AB的实长及与 面的夹角。 求直线 的实长及与 面的夹角。
面代替V面 投影体系中， 用 面代替 投影体系中 。 空间分析： V1面代替 面，在V1/H投影体系中，AB//V1。 b′ ′ 作图： 作图： a′′ V1 a′ ′ a’1
V
b′ ′ a
A
X
V
B
b’1
H
b a
4
6.2.1基本条件 基本条件
a'1 V1
6.2 换面法
X1
α
α b'1 O1

第3部分投影变换

4
在变换两个或两个以上的投影面时，点的新 投影的求法和原理与更换一个投影面时完全相 同。但必须指出，v面和H面必须交替变换。 如右图所示。
点的二次变换
5
➢3.2.2 换面法中六个基本问题
➢1.将一般位置直线变换成新投影面 平行线
若求直线的实长及其与投影面的倾 角时，可用变换一次投影面来解决。
6
例1：求直线AB的实长及与H面的夹角。
3 0 ax1
连a1b1,a1b2，即为实长；
O1
4）过b作直线垂直于OX轴，
X
V H
并量取
b1 H1 X1 V
bx1
b
a
ax
b
x
O b1
b1bx=b1bx1,b2bx=b2bx1， 连ab1、ab2,即为所求。 （该题有两解）。
a
b2
15
➢4.将一般位置平面变换成投影面垂直面
将一般位置平面变换成投影面垂直面时， 新投影面既要垂直于一般位置平面，又要垂直 于基本投影面，为此只要将一般位置平面内一 条投影面的平行线变成投影面的垂直线即可。
分析:
由于一次换 面可将一般位置 直线变换成投影 面平行线，利用 已知直线AB=30， 先求出新投影 a1b1，然后再返 回求旧投影ab。
14
作图步骤：
b2
1）在V面适当位置作
3
O1X1∥ab；
0
2）求得点A的H1投影a1；
3）以a1为圆心，以30mm为半 a1 径画圆弧，与过b垂直于O1X1 的直线交于两点b1、 b2 ，
17
倾斜面变换成垂直面(求1角)
如果要求△ABC对v面的倾角β1，可在此平 面上取一水平线AE，作H1面垂直AE，则 △ABC在H1面上的投影为一直线，它与X1轴 的夹角反映该平面对V面的倾角β1。具体 作图如右图所示。

画法几何与土木建筑制图 第6章 投影变换


b d c
b d c
b1
a1(d1)
c1
4、 投影面垂直面变换为投影面平行面
换H面
正垂面
“水平面”（实形）
换V面
b
铅垂面
“正平面”（实形）
V V1
a1
X1
b1
c1
A a
b
a
B
V X
a
H
c
C
X
a
b(c)
H
c
b(c) c1
b1
a1
实形
5、 一般位置线变换为投影面垂直线:二次换面
b a
a2 (b2) H2
（2）轨迹圆在旋转轴所平行面上的投影，为平行于投影轴的直线。
三、 换面法的投影规律
1. 换面法的投影规律（1）以点的一次变换为例-替换V面
替换投影面
V a
新投影面
V a 替换投影
A
a1 V1
X ax
新投影
旧轴
X ax
新投影
a1
a
ax1
X1 H
a
ax1
保留投影面
H
保留投影
新轴
X1
新投影到不变投影连线垂直于新投影轴:a1a ⊥ X1
新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距
V1称为新投影面；V称为被更换的投影面；H称为被保留的 投影面。 X1称为新投影轴；X称为被更换的投影轴。
二、 新投影面的选择原则
V1
a1
X1
b1
c1
A a
V
b
B
a
c
C
b(c) H
V1∥ABC
V1┴H
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： (1) 新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置(平行或垂直) (2) 新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个被保留的投影面。
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V X H
ax
a2
a ax1
H X1 P 1
.
ax2 .
a1
P2 P1 X 2
四、换面法的四个基本问题 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析： 用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。 b 作图： a P1 a a1
V
A
b
●
n
d b
d1
.
●
D
a1≡b1≡m1
●
c1
n1
d1
n1
H P1 X1
圆半径=MN
c1
●
求交叉两直线AB、CD间的距离。
b
m
d k a k d m a d 1 c c b c 1 k 1 m2 a2 b2 c2 k2 d2
V XH
b1
m1
a1
Why？
例3: 过C点作直线CD与AB相交成60º 角。
H X1 P 1
.
求C点到直线AB的距离， 就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB垂直 于投影面时，CD平行于投 影面，其投影反映实长。所 以，需要把直线AB变换成 投影面垂直线。
AD C B abd P c
X
V H
直线CD在P1 / P2两投 影体系中，平行于新 投影面P2。则CD直线 在P1平面中的投影有 什么特点?
c d a1 d1 .
距离
b b1 . a2 2d2
P1 P2
c2
如何确定d1 c1 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
X2
求C点到AB直线的距离。
a1
a k1 b1 c k' b c1
b'2 k'2 a'2
c'2
X V
H
a k
c
距离
b
Why？
例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB为水 M N 平线，求CD及MN的投影。
X2
V
P2
a2


ax2
按次序更换 P1
a ax

A



a 1

X
a
H

ax1 X1
P X1 —1 H P1 X2 — P2
先把V面换成平面P1， P1H，得到中间新投影体系: 再把H面换成平面P2， P2 P1，得到新投影体系:
⑵ 求新投影的作图方法
a

作图规律
a 2 a1 X 2 轴 a2ax2 = aax1
作图：
c ● a
●
n ●
●
m
V XH
a c 请注意各点的投 影如何返回？ m ●
●
d 求m点是难点。 空间及投影分析： Mn平行于X1轴 当直线AB垂直于投影 面时，MN平行于投影面， b 这时它的投影m1n1=MN,且 m1n1⊥c1d1。 A
C N M B a 1m 1b 1 P1
.
三、点的投影变换规律
⒈ 更换一次投影面 ⑴ 新投影体系的建立
V

a
a



A
a 1

P1
X
V H
ax
.
a1

ax
X


ax1
P1 H X1
ax1
H X1
a

a
V 旧投影体系 X — H A点的两个投影：a， a
P1 新投影体系 X1 — H A点的两个投影：a，a1
⑵ 新旧投影之间的关系
ad
a c b X
d k
实角
实长
a
将点线面与投影面的相对位置变换成有利于解题位置（特殊位置的直线或 平面），这种方法称为投影变换。
点的辅助投影
投影面变换的方法-变换投影面法（换面法）
V1
V
V
X1
X
X
H
X1
新投影面的选择必须符合以下两个条件： 1．新投影面必须和几何元素处于有利解题的位置。 2．新投影面必须垂直于原来投影面体系中的一个投影面。
a
e k m d f e d b b c k m a f c
通过Ｂ点，作平 面ＤＥＦ的垂线 ＢＫ，则ＢＫ直 线属于哪一个平 面？ 如果ＢＫ垂直于 平面ＤＥＦ，Ｂ Ｋ的正面投影， 应不应该垂直于 平面ＤＥＦ内正 平线的正面投影？
Ａ Ｂ Ｃ Ｋ 四点位不位于同 一个平面上？
a
c
例4 过点A作△ BCD的垂线AK并求真实距离。
c' k' b' V X H b a d k c H V X1 1 e d'1 b'1 k'1
a'
e' d'
a'1
c'1
真实距离
习题集16面第４题 A A源自Ⅰ ⅡDⅠ
D
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向 第二个平面作的垂线则此垂线必属于第一个平面。
d
a V XH c a c
b a1
● ● ●
d1
θ
c1
.
●
b1
.
d
a2≡ b2
●
b
c2
θ
●
●
d2
例题1: 正平线AB是正 方形ABCD的边，点C 在B的前上方，正方 形对V面的倾角θv＝ 45°，补全正方形的 两面投影。
c1 d 1 θv a1 b1 a' V X H d'
c'
要利用已知条件正方形对 V面的倾角θv＝45°，必须 把正方形变换成铅垂 面。
X
b a H
X1
H X1 P1 a1●
●
b1 a2b2
.
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？ 在一个平面内垂直于它们交线的直线 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 垂直于另一个平面 。 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法：
在平面内取一条 一般位置直线变换 V 投影面平行线，经一 能否只进行一次变换？ 成投影面垂直线，需经 次换面后变换成新投 几次变换？ 影面的垂直线，则该 a 平面变成新投影面的 垂直面。 思考： X 若变换H面，需在面 内取什么位置直线？ c
V H
a b c
H P1 X1
.
●
a1b1 .
c2
平面的实形
●
c1
X2轴的位置？ 与其平行
变换投影面法-六个基本问题
目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位置
的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有利 于求解的特殊位置。
1. 将投影面倾斜线变换成投影面平行线
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线
当直线或平面相对于投影面平行或垂直时，其投影具有重影性，可以较 容易求解空间点线面的定位问题（交点和交线）和度量问题（实长、实形和 倾角）。 a b
实形
c
b X a
c
实长
bc k
k
l d
e
a
c X b c a θ ed d
b
X ab k m l c c m b d
思路：只要把这个平面内的任意一条直线 变换成投影面垂直线，则平面ABC就变成 了投影面垂直面。
4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析：
需经几次变换？ 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 c b b2●
●
作 图：
a
X
AB是水平线
●
a2
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的
夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的平面 变换成投影面平行面。 ● 作 图： c 几个解？ 两个解！ a ● 2 a d b
X
V H
a c
●
d●
b
b2●
. .
d2
●
60°
●
D点的投影 如何返回？ c2 如何解？
a1b1
● ●
P
a
V
A B a
H
a1
b
b1
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
b
1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。 2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
投影面变换的方法-旋转法
V
V
X
X
H
即投影面保持不动，而将几何元素绕某一轴旋转到相对投 影面处于有利于解题的位置。
3. 将投影面倾斜线变换成投影面垂直线
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
6. 将投影面倾斜面变换成投影面平行面
五、换面法的应用
例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。 直线CD是P1 / P2两投 空间及投影分析： 作图: 影体系中的什么线？
c b a d b a
V

a
a1
.
a



A
a 1

P1
X
V H
ax ax1
H P1 X1

ax
X


ax1
H
X1
a
a
一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。
aa1 X1 a1ax1 = aax