高中数学_圆的参数方程教学设计学情分析教材分析课后反思

效果分析1、本节课首先复习了直线与圆，然后通过学生比较熟悉的例子，引入主题，从而引入课题，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣，使学生为了正确的认识圆及其应用，达到了预期的教学效果。

2、针对圆的代数角度和几何角度入手，本节课结合实例给学生直观解释，也使学生自然而准确地接受知识。

3、本节课总共设置两个探究题，通过学生自主探究、合作释疑，参与知识形成的过程，体现学生的主体地位，培养学生科学的探究能力。

课后反思利用课前预习和小组讨论，渲染生活中的圆例子，预设教学过程中所实施的教学方式的有效性、学生接受程度和学习状况，从而随时调整教学行为，反思、改善和完善教学方式。

在具体的教学过程中，指导学生的探究过程，鼓励学生勇敢提出自己的疑问，合作探究圆的标准方程的过程，培养学生自主学习和合作探究的能力。

通过评价量规、反思日记、自评互评等检查学生的理解和掌握程度，鼓励勇于尝试，进一步培养学生的自主学习能力。

通过限时小测、多媒体和反思日记展示学生的探究成果，监测学生的圆标准方程的理解程度，为教学提供更有效的策略解决方案。

1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)．圆的切线与弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下三个命题角度： (1)求圆的切线方程； (2)求弦长及切线长； (3)由弦长及切线问题求参数． (1)求直线被圆截得的弦长的常用方法①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB |＝2r 2－d 2.②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|. (2)圆的切线方程的求法①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二4、 解决有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长l 2、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，且r 2＝⎝⎛⎭⎫l 22＋d 2；(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2|y 1－y2|＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2(k≠0)．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．易错防范(1)求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条：过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；(2)善于根据图形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程；(3)掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质,有效运用它们来解题；(4)注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用；(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量；(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题；(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则；(8)充分运用韦达定理进行转化与化归；(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用.3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用,它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式；可以使我们更好地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养.达标检测1．(2018·安徽江南十校联考)直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是()A．[－2，2]B．[－22，22]C．[－2－1，2－1]D．[－22－1，22－1]解析：选D.圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2＝|m ＋1|2，若直线l 与圆C 恒有公共点，则|m ＋1|2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.2．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定解析：选A.因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2，0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交．3．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是( ) A ．{1，－1} B ．{3，－3}C ．{1，－1，3，－3}D ．{5，－5，3，－3}解析：选C.因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a |＝1，外切时，|a |＝3，所以实数a 的取值集合是{1，－1，3，－3}．4．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的公切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选D.圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心C 1(－1，－1)，半径长r 1＝2； 圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1， 所以圆心C 2(2，1)，半径长r 2＝1.所以d ＝（－1－2）2＋（－1－1）2＝13，r 1＋r 2＝3， 所以d ＞r 1＋r 2，所以两圆外离，所以两圆有4条公切线．5．(2018·兰州市诊断考试)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t ，0)，B (t ，0)，(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则当t 取得最大值时，点P 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，322 B.⎝⎛⎭⎫322，32C.⎝⎛⎭⎫32，332 D.⎝⎛⎭⎫332，32解析：选D.设P (a ，b )为圆上一点，由题意知，AP →·BP →＝0，即(a ＋t )(a －t )＋b 2＝0，a 2－t 2＋b 2＝0，所以t 2＝a 2＋b 2＝|OP |2，|OP |max ＝2＋1＝3，即t 的最大值为3，此时k OP ＝33，OP 所在直线的倾斜角为30°，所以点P 的纵坐标为32，横坐标为3×32＝332，即P ⎝⎛⎭⎫332，32.6．过原点且与直线6x －3y ＋1＝0平行的直线l 被圆x 2＋(y －3)2＝7所截得的弦长为________．解析：由题意可得l 的方程为2x －y ＝0，因为圆心(0，3)到l 的距离d ＝33＝1，所以所求弦长＝2r 2－d 2＝27－1＝2 6. 答案：267．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：因为∠AOB ＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |.又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝45π. 答案：45π8.如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.则圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．解析：如图，先求出点B 的坐标，进而求出圆C 在点B 处的切线方程，再求切线在x 轴上的截距．令(x －1)2＋(y －2)2＝2中的x ＝0，解得y ＝2±1，故B (0，2＋1)．直线BC 的斜率为2＋1－20－1＝－1，故切线的斜率为1，切线方程为y ＝x＋2＋1.令y ＝0，解得x ＝－2－1，故所求截距为－2－1. 答案：－2－19．已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)过切点A (4，－1)；(2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直．解：(1)因为k AC ＝－2＋11－4＝13，所以过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.(2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，所以m ＝±52，所以切线方程为2x ＋y ±52＝0.10．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2，1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心O 1(0，－1)，半径r 1＝2.设圆O 2的半径为r 2，由两圆外切知|O 1O 2|＝r 1＋r 2. 又|O 1O 2|＝（2－0）2＋（1＋1）2＝22， 所以r 2＝|O 1O 2|－r 1＝22－2.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，相减得AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 设线段AB 的中点为H ，因为r 1＝2，所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝ 2. 又|O 1H |＝|4×0＋4×（－1）＋r 22－8|42＋42＝|r 22－12|42，所以|r 22－12|42＝2，解得r 22＝4或r 22＝20.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.1．(2018·安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，125 B ．[0，1] C.⎣⎡⎦⎤1，125 D.⎝⎛⎭⎫0，125 解析：选A.因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.由a 2＋（2a －3）2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋（2a －3）2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.故选A. 2．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为________．解析：两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，故a 2＋4b 2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，1a 2＋1b2＝⎝⎛⎭⎫a 29＋4b 29⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥59＋2a 29b 2×4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 29a2，即a 2＝2b 2时等号成立，故1a 2＋1b 2的最小值为1.答案：13．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝（y 1y 2）24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径 r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. 4．(2018·湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设圆心C (a ，0)(a >－52)，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ，此时N 点的横坐标恒大于0即可．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4y ＝k （x －1）得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．学情分析学生在已经学习了高中学期的高中课程所有内容后，在思想和思维模式上已经适应了高中的课程和高中的教学方式。

教学设计【教学目标设计】1、知识与技能目标：理解参数方程及圆参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程.2、过程与方法：通过对参数方程的研究，了解参数的几何意义和物理意义.3、情感态度与价值观：初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，培养学生的数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想.【教学重点和难点】重点：理解参数方程及圆的参数方程，能熟练求出圆的参数方程；难点：能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能解决实际问题.【学法与教法】学法：(1)自主学习：引导学生通过动手计算，动手作图参与数学活动。

(2)探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。

(3)归纳学习：通过例题和练习归纳知识要点。

教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动师生互动、共同探索。

②导一一教师引导、循序渐进。

(1)新课引入一一由生活实例出发，激发学生的学习兴趣。

(2)得出圆心在原点的圆的参数方程一一数形结合，动手计算,组织学生自主探索。

(3)例题处理一一让他们在探索中自得知识。

(4)应用，归纳一一通过练习自己归纳知识。

【教学准备】教师准备：多媒体电脑、三角板、圆规.学生准备：直尺或三角板.【学习过程】知识点一参数方程的概念(1)参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点的坐标X, y都是某个变数”0,…)的函数\x=f t ,①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点Mx, {y=g ty),那么方程组①就叫做这条曲线的, t叫做,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫.(2)参数的意义—是联系变数x,尹的桥梁，可以是有——意义或―—意义的变数，也可以是的变数.特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化.知识点二圆的参数方程【典例分析】类型一参数方程及应用例1已知曲线C的参数方程是，，(f为参数).L K=2T+1(1)判断点(0, 1),必(5, 4)与曲线。

青春寄语：将青春握在手中，将希望铭记心头，带着希望与梦想，去追求，去奋斗！《圆的一般方程》学情分析对于直线和圆的标准方程，学生已经非常熟悉，在经历直线、圆的标准方程学习后，学生已经具备了一定的用方程研究几何对象的能力，本节课，学生将进一步挖掘圆的一般方程并与圆的标准方程对比，找出不同点，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。

另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。

因此，在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐。

高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。

根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识与技能目标：（1）圆的一般方程的代数特征，圆的标准方程与一般方程间的转化;（2）对圆的一般方程的认识、掌握和运用;（3）用相关点法求轨迹方程.过程与方法目标：（1）通过对圆的一般方程的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式。

（2）强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力。

情感、态度与价值观目标：通过对本节课知识的探究活动，加深学生对坐标法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神。

《圆的一般方程》效果分析学生是课堂的主体，通过学生表情的变化、思维的速度，回答问题、练习、测试、动手操作的准确性等信息反馈，可获知教学信息的传输是否畅通，亦可看出新知识新技能的掌握情况。

教学设计一、教学目标：1. 理解圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程2.理解圆心不在原点的圆的参数方程3.能将圆的参数方程和普通方程进行相互转化重点：圆心在原点及不在原点的圆的参数方程难点：圆的参数方程的应用和“观察、猜想、验证、证明”能力的培养二、课前复习1、圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程____________2、圆心为（a,b),半径为r 的圆的标准方程___________三、新课引入（一）情境创设思考：圆上任意一点坐标如何用它对应的角来表示？教师：引导学生回忆三角函数的定义学生：讨论回答坐标和角之间的关系（二）概念形成1、圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程点O 逆注:参数方程中参数θ的几何意义：0OM 绕时针旋转到OM 的位置时，0OM 转过的角度。

2、思考：圆心在（a,b ），半径为r 的圆的参数方程是什么呢？ 学生活动：小组讨论交流，小组代表暂时成果 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x教师：适当点拨3、圆的参数方程与普通方程的相互转化跟踪练习：1、写出下列圆的参数方程①圆心为（0,0），半径为3：_____________②圆心为（-2，-3），半径为1：___________2、若圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=1sin 51cos 5θθy x ，则其标准方程为_________ 3、已知圆的方程为066222=++-+y x y x ，则它的参数方程为________四、典例分析例1、已知点),(y x p 是圆032222=-++y x y x 上的一个动点，求（1）y x +的最小值（2）22y x +的最大值教师：提示学生用参数方程转化成三角函数求最值学生活动：讨论交流，代表上台讲解跟踪练习：如果实数y x ,满足方程03422=+-+x y x ，求：Z=y-x 的取值范围学生活动：上黑板展示具体步骤教师点评总结：圆的参数方程的作用例2、已知，点p 是圆1622=+y x 上的一个动点，点A 是x 轴上一定点，坐标为（12,0），当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？学生活动：讨论交流解决问题的办法，代表展示（相关点代入法） 教师点拨提示：能否用参数方程解决问题呢思考：比较参数方程和普通方程 哪个解决例2更简洁方便？五、课堂小结1、知识点2、思想方法：六、当堂检测1、圆的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x ，则圆的圆心坐标为_______2、直线1=+y x 与曲线⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x 的公共点有____个3、圆4)2(22=+-y x 的参数方程为___________七、作业基础题：同步练习基础检测拓展题：同步练习拓展训练学情分析本节课之前，学生已学习了圆的标准方程的形式、三角函数及参数方程的概念。

参数方程的教学设计【考纲学习】1．了解参数方程，了解参数的意义.2．选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.重点：参数方程常见的解题步骤.难点：参数方程常见的解题思路.【基本流程】一、创造学习氛围，鼓舞学生士气开场白：今年的高考我们山东数学也采用了全国卷，最后一题是二选一的必选题，其中之一就是极坐标与参数方程，大家想不想得满分呢？同学：想（大声）！老师：我们就撸起袖子加油干吧！！！（课件展示图片）然后出示这一模块的考情分析考情分析新课标Ⅰ卷对本章的考查通常以解答题的形式呈现，以极坐标或参数方程与直角坐标系方程或普通方程的互化为主要形式，考查直线与圆锥曲线的位置关系等，难度中等，分值为10分.近五年的试题分析点明今天的课题：参数方程二、知识梳理，双基自测学生默写后，提问展示，教师点评1.圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程：2.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的参数方程： 3.过定点),(00y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程：三、核心考点，分层突破考点一 圆的参数方程的应用老师：首先我们先来感受圆的参数方程的应用，大家先审题，找找思路，寻寻方法，然后给大约五分钟的时间计算，一定要仔细吆!计算过程教师巡视，发现问题，然后用展台展示有问题，也展示优秀的。

例1.（2018聊城一模）在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为0126422=+--+y x y x .在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2)4sin(=+πθρ.(1)写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A 、B,P 为圆C 上的任意一点，求⋅的取值范围.方法总结：利用圆的参数方程转化为求三角函数的最值问题.考点二 椭圆的参数方程的应用老师：椭圆的参数方程的应用与圆类似吗？下面让我们来走进2017年的真题，体会高考中的应用.给大家6分钟的时间，计算准确吆。

《圆的一般方程》第一课时教学设计二校区数学教研组一、教学内容分析本节内容是圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是在学习了直线方程的几种形式和圆的标准方程基础上学习的，本节对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都起着承前启后的作用。

二、学生情况分析学生在此之前已经学习了直线的方程、两条直线的位置以及圆的标准方程，对利用代数方法研究几何问题有了初步的了解，学生对直线与圆两种几何图形的相似之处比较清楚，但对于类比思想的应用比较模糊，而且学生们的代数运算能力比较薄弱。

三、教学目标知识与技能目标：理解并掌握圆的一般方程的定义；能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆的圆心坐标和半径。

方法与过程目标:通过类比推理，提高学生的观察与比较能力，对方程的分析，提高学生的严密的逻辑思维和概括等能力。

情感态度与价值观:通过学生的主动参与，通过老师与学生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养其探索精神。

四、教学重、难点分析：重点：由圆的一般方程求圆的标准方程。

难点：二元二次方程表示圆的条件。

五、教学方法与策略：教学中采用学生自主探索、合作交流、师生互动、问题引导式教学方法。

六、教具、教学媒体准备：多媒体教学。

七、教学过程1．复习引入问题1：直线的点斜式方程与一般式方程以及各自的特点。

设计意图：回顾直线的点斜式方程与一般式方程，为以后发现圆的标准方程与一般方程特点埋下伏笔。

师生活动：教师提出问题，学生回答。

问题2：生成直线的一般式方程的过程是怎样的？设计意图：引导学生联想直线的一般式方程产生的过程．为用相同的方法解决圆的一般方程打下基础。

师生活动：教师提出问题，学生回答，教师补充完善。

问题3：圆有没有一般式方程，我们该怎样研究？设计意图：激发学生的好奇心。

2.概念形成探究点一：.圆的一般方程1.探究圆的一般方程设计意图：引导学生类比直线的一般式方程的产生过程来探究圆的一般方程，增强学生的类比推理能力，通过学生们分组讨论，增强合作意识和表达见解的能力！师生活动：教师提出问题、学生们分组讨论，教师让学生表达自己的意见，教师加以补充完整。

教学设计一、教学目标：1. 理解圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程2.理解圆心不在原点的圆的参数方程3.能将圆的参数方程和普通方程进行相互转化重点：圆心在原点及不在原点的圆的参数方程难点：圆的参数方程的应用和“观察、猜想、验证、证明”能力的培养二、课前复习1、圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程____________2、圆心为（a,b),半径为r 的圆的标准方程___________三、新课引入（一）情境创设思考：圆上任意一点坐标如何用它对应的角来表示？教师：引导学生回忆三角函数的定义学生：讨论回答坐标和角之间的关系（二）概念形成1、圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程点O 逆注:参数方程中参数θ的几何意义：0OM 绕时针旋转到OM 的位置时，0OM 转过的角度。

2、思考：圆心在（a,b ），半径为r 的圆的参数方程是什么呢？ 学生活动：小组讨论交流，小组代表暂时成果 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x教师：适当点拨3、圆的参数方程与普通方程的相互转化跟踪练习：1、写出下列圆的参数方程①圆心为（0,0），半径为3：_____________②圆心为（-2，-3），半径为1：___________2、若圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=1sin 51cos 5θθy x ，则其标准方程为_________ 3、已知圆的方程为066222=++-+y x y x ，则它的参数方程为________四、典例分析例1、已知点),(y x p 是圆032222=-++y x y x 上的一个动点，求（1）y x +的最小值（2）22y x +的最大值教师：提示学生用参数方程转化成三角函数求最值学生活动：讨论交流，代表上台讲解跟踪练习：如果实数y x ,满足方程03422=+-+x y x ，求：Z=y-x 的取值范围学生活动：上黑板展示具体步骤教师点评总结：圆的参数方程的作用例2、已知，点p 是圆1622=+y x 上的一个动点，点A 是x 轴上一定点，坐标为（12,0），当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？学生活动：讨论交流解决问题的办法，代表展示（相关点代入法） 教师点拨提示：能否用参数方程解决问题呢思考：比较参数方程和普通方程 哪个解决例2更简洁方便？五、课堂小结1、知识点2、思想方法：六、当堂检测1、圆的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x ，则圆的圆心坐标为_______2、直线1=+y x 与曲线⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x 的公共点有____个3、圆4)2(22=+-y x 的参数方程为___________七、作业基础题：同步练习基础检测拓展题：同步练习拓展训练学情分析本节课之前，学生已学习了圆的标准方程的形式、三角函数及参数方程的概念。

第二章直线和圆的方程2.4 圆的方程2.4.2 圆的一般方程教学设计一、教学目标1. 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；2. 能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题；3. 初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法.二、教学重难点1. 教学重点圆的一般方程.2. 教学难点圆的一般方程的应用.三、教学过程（一）新课导入复习：圆心为()，，半径为r的圆的标准方程为222A a bx a y b r-+-=.()()问题1 以(12)，为圆心，2为半径的圆的标准方程是什么？-（学生自由回答）答：22-++=.(1)(2)4x y问题2 若将此方程展开，得到什么？答：222410+-++=.x y x y问题3 上面两个式子都能表示圆，由此我们得到圆的标准方程222x a y b r-+-=可()()以变形为220++++=（1）的形式.反过来，形如（1）的方程一定能通过恒等变x y Dx Ey F形变为圆的标准方程吗？（学生自主思考，举手回答，教师引导，并引出下面内容）（二）探索新知例如，对于方程222460-+-=-，因x y+--+=，对其进行配方，得22x y x y(1)(2)1为任意一个点的坐标()x y ，都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形. 所以，形如（1）的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程. 这表明，形如（1）的方程不一定是圆的方程.问题4 方程220x y Dx Ey F ++++=中的D ，E ，F 满足什么条件时，这个方程表示圆？ （学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师引导，讲解） 将方程（1）的左边配方，并把常数项移到右边，得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.① （1）当2240D E F +->时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程（1）表示以22DE ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（2）当2240D E F +-=时，方程（1）只有实数解22D Ex y =-=-，，它表示一个点22DE ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；（3）当2240D E F +-<时，方程（1）没有实数解，它不表示任何图形.因此，当2240D E F +->时，方程（1）表示一个圆. 我们把方程（1）叫做圆的一般方程.例1 求过三点12(00)(11)(42)O M M ，，，，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解：设圆的方程是220x y Dx Ey F ++++=.①因为12O M M ，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解. 把它们的坐标依次代人方程①，得到关于D ，E ，F 的一个三元一次方程组02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解这个方程组，得860D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.所以，所求圆的方程是22860x y x y +-+=. 故所求圆的圆心坐标是(43)-，，半径5r ==.求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； （3）解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，得到标准方程或一般方程.例2 已知线段AB 的端点B 的坐标是(43)，，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解：如图，设点M 的坐标是()x y ，，点A 的坐标是00()x y ，.由于点B 的坐标是(43)，，且M 是线段AB 的中点，所以004322x y x y ++==，. 于是有002423x x y y =-=-，.①因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足圆的方程，即2200(1)4x y ++=.②把①代入②，得22(241)(23)4x y -++-=，整理得2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这就是点M 的轨迹方程，它表示以3322⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心，半径为1的圆.（三）课堂练习1.以(12)-，5为半径的圆的方程为( ) A.22240x y x y +-+= B.22240x y x y +++= C.22240x y x y ++-= D.22240x y x y +--=答案：C解析：由圆心坐标为(12)-，，半径5r ，则圆的标准方程为：22(1)(2)5x y ++-=， 化为一般方程为：22240x y x y ++-=.故选C.2.方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是( ) A.2a <-或23a > B.223a -<<C.20a -<<D.223a -<<答案：D解析：方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆， ∴2224420()1a a a a +-+->， ∴23440a a +-<， ∴232()()0a a +-<， ∴223a -<<.故选D. 3.圆22220x y x y ++-=的半径为______.解析：由22220x y x y ++-=，得22(1)(1)2x y ++-=4.在平面直角坐标系中，经过三点()()()001120，，，，，的圆的方程为__________. 答案：2220x y x +-=解析：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点(00)(11)(20)，，，，，，则01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得：200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩， 则圆的方程为2220x y x +-=.5.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于()()0402A B --，，，两点，求圆C 的方程. 答案：设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 圆心,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线270x y --=上，27022D E ⎛⎫⎛⎫∴⨯----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即702ED -+=.① 又点()()0402A B --，，，在圆C 上， 1640420E F E F -+=⎧∴⎨-+=⎩，② 由①②，解得4,6,8D E F =-==， ∴圆C 的方程为224680x y x y +-++=.（四）小结作业 小结：1. 圆的一般方程；2. 应用圆的方程解决简单的数学问题. 作业： 四、板书设计2.4.2 圆的一般方程1. 圆的一般方程；2. 求圆的方程的步骤.2.4.2圆的一般方程高二数学编辑：审核:高二数学组使用时间：2020.10.22 【目标引领】学习目标核心素养1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养.2. 通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.【自学探究】思考：(1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？(2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念当________ 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．其中圆心为________ ，圆的半径为r＝________.(2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论①D2＋E2－4F＞0时表示________．②D2＋E2－4F＝0时表示点________.③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？【合作解疑】1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆．( ) (2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系． ( ) (3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化．( ) (4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件． ( )2．若方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋ 2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1C ．(1，＋∞)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15D ．R3．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则它的圆心坐标为________．4．过点(0,0)，(4,0)和(0,6)三点的圆的一般方程为________．【精讲点拨】类型一 求圆的一般方程例1 求过三点12(00)(11)(42)O M M ，，，，，的圆的方程，并求这个圆的 圆心坐标和半径.类型二 与圆有关的轨迹问题例2 已知线段AB 的端点B 的坐标是(43)，，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动， 求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【展示交流】1. 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．2．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M 的轨迹方程吗？【当堂达标】1．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( ) A ．一个点 B ．一个圆 C ．一条直线 D ．不存在2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ＜12B ．m ≤12C ．m ＜2D ．m ≤23．若圆x 2＋y 2－2kx ＋2y －4＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称，则实数k 等于________．4．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中心M 的轨迹方程是________．5．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，求其外接圆P 的方程．圆的一般方程课后反思圆的一般方程一节课是高中数学的一个重要内容，并为后面学习圆锥曲线打下基础。

圆的一般方程教学设计【一】教学背景分析1．教材结构分析《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.2.学情分析圆的一般方程是学生在学习过圆的标准方程之后进行研究的，但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强. 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3．教学目标1. 通过实例，掌握圆的一般方程及其特点；2.探究出将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程；4.通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究，提高探索发现及分析问题的实际能力；体验数形结合、化归与转化等数学思想方法；通过求圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．过程与方法：(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；[来源:](2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。

(3)增强学生应用数学的意识.情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。

(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.根据以上对教材、学情及教学目标的分析，我确定如下的教学重点和难点：教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“诱思探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设问题情境，直观的诱导了学生的思维过程. 2．学法分析众所周知，高中数学教学不但要传授给学生基本的数学知识与技能，更要注重过程与方法，态度情感与价值观，因此我在教学活动中，不断地设置问题，提出疑问，诱导学生主动思考，主动探究，讨论交流，使学生在积极的学习中解决问题。

2.1.2 圆的参数方程及应用(教学设计)教学目标：知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程。

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 教学过程： 一、复习回顾： 1、曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。

2、参数方程的求法：（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；（2）选取适当的参数；（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式； （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程。

二、师生互动，新课讲解: （一）、圆的参数方程探求 1、根据图形求出圆的参数方程）圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。

（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

（2）圆22020)()(r y y x x =-+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）例1：已知圆方程x 2+y 2+2x -6y +9=0，将它化为参数方程。

xyOr M M 0解： (x +1)2+(y -3)2=11cos 3sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩变式训练1： 1、圆O 的参数方程5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）(1)如果圆上点P 所对应的参数53πθ=，则点P 的坐标是____________ 5 (2)(,)_________.22Q Q θ-如果圆上点所对应的坐标是，则点对应的参数等于2、参数方程2cos 2sin x y θθ=-⎧⎨=⎩（θ为参数）表示的曲线是( ) A.圆心在原点，半径为2的圆 B.圆心不在原点，但半径为2的圆 C.不是圆 D.以上都有可能3.:2cos (1)________2sin ___________________x y θθ=+⎧⎨=-+⎩填空题参数方程表示圆心为半径为的圆，化为标准方程为 （2）把圆的方程x 2+y 2+2z-4y+1=0化为参数方程______________________例2（课本P24例2）如图，圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q （6，0）是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程。