向量代数与空间解析几何PPT课件

格式：ppt
大小：1.53 MB
文档页数：82

下载文档原格式

向量代数与空间解析几何ppt课件

模：||a||=| |·||a||
0
>0: 与a相同
方向：
a
a=
<0: 与a相反
=0: a=0
运算律：
(1) (a)=()a= (a) 结合律
(2) (+)a=a+a (a+b)=a+ b
(3) 1·a=a, (–1)a= – a
分配律
2a 1a
2
定理1 b//a R , 使 b= a.
a 0，设 a°与a方向相同的一个单位向量，
R1 M1
P
P1 O
Q1
P2
M2 Q
N
y
Q2
P1P2 Q1Q2 R1R2 x
称 P1P2,Q1Q2,R1R2 为 M1M2 在Ox,Oy,Oz轴上的分向量 .
z
M 1 M 2P 1P 2Q 1 Q 2R 1R 2
R2
R
令 i, j, k 分别为沿Ox, Oy,
第 7章
向量代数与空间解析几何
§1 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
空间直角坐标系 Oxyz
z
坐标原点 O
坐标轴 Ox , Oy , Oz
坐标平面
O
y
•
xOy , yOz , xOz x
右手系
卦限
III z
II
VII
IV
x
VIII
I
o
y
VI
V
2. 点的投影空间一点M在直线(或轴上)的投影
M•
d |M 1 M 2 | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
由勾股定理
z

高等数学之空间解析几何与向量代数PPT课件

半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
A(x2 y2 z2 ) Dx Ey Fz G 0
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.机动目录上页下页 Nhomakorabea回结束
二、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 . o
x
M0
M
y
机动目录上页下页返回结束
例2. 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样
的曲面.
解: 配方得 (x 1)2 ( y 2)2 z2 5 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ),
M
解:在 xoy 面上， x2 y2 R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间中
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
机动目录上页下页返回结束
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
机动目录上页下页返回结束

向量代数与空间解析几何5课件

第一节空间直角坐标系
引我们学过平面直角坐标系，平面上的点都对应平面直角坐标系上的一个二维坐标.那么，在空间中，如何建立坐标系，以表示空间点呢？
一、空间直角坐标系及点的坐标
为了沟通空间图形与方程的关系，需要建立空间点与有序数组之间的联系．为此，我们引进空间直角坐标系．
在空间中取定一点 O 作为原点, 通过该点做三条相互垂直的数轴, 分别称为 x 轴、 y 轴和 z 轴, 统称为坐标轴.
d x2y2z2.
例1 在 z 轴上求一点 M , 使点 M 到点 A ( 1, 0, 2 ) 和点 B ( 1, - 3, 1 ) 的距离相等.
解因为所求的点 M 在 z 轴上, 故点 M 的坐标应为 ( 0 , 0 , z ) . 根据题意, 有
( 0 1 ) 2 ( 0 0 ) 2 ( z 2 ) 2 ( 0 1 ) 2 ( 0 3 ) 2 ( z 1 ) 2 , 解得 z = – 3 , 即点 M 的坐标是 ( 0 , 0 , – 3 ) .
各卦限内, 点的坐标符号为
Ⅰ: ( + , + , + ) , Ⅲ: ( – , – , + ) , Ⅴ: ( + , + , – ) , Ⅶ: ( – , – , – ) ,
Ⅱ: ( – , + , + ) , Ⅳ: ( + , – , + ) , Ⅵ: ( – , + , – ) , Ⅷ: ( + , – , – ) .
二、空间中两点间的距离对空间中两点 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 和 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 可用其坐标表示它们之间的距离 d . 过 M 1 , M 2 两点各做三个分别垂直于三条坐标轴的平面. 这 6 个平面围成以 M 1 , M 2 为顶点的长方体, 见图 6 – 4 .

向量代数与空间解析几何课件

第4章向量代数与空间解析几何4.1 空间直角坐标系4.1.1 坐标系在空间中任意取定点O ，从O 引出三条相互垂直的数轴，它们都以点O 为坐标原点，且一般具有相同的长度单位。

这三条数轴分别称为x 轴（横轴），y 轴（纵轴），z 轴（竖轴），统称为坐标轴，点O 称为坐标原点。

我们常用的是右手系，即用右手握着z 轴，当右手四指从x 轴正向转向y 轴正向时大拇指的指向就是z 轴的正向。

图4.1在此空间直角坐标系中，x 轴称为横轴，y 轴称为纵轴，z 轴称为竖轴，O 称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面，类似地有yOz 坐标面，zOx 坐标面。

这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M 与一组有序数),,(z y x 之间的一一对应关系。

有序数组),,(z y x 称为点M 的坐标；z y x ,,分别称为x 坐标，y 坐标，z 坐标图 4.2O这八个卦限中坐标的对应符号为：记忆起来也不难：前四个卦限的x 坐标和y 坐标和平面直角坐标系中四个象限的符号一样，z 坐标都是正的；后四个卦限的x 坐标和y 坐标和也平面直角坐标系中四个象限的符号一样，z 坐标都是负的。

4.1.2 空间两点间的关系设空间两点1111(,,)M x y z ，2222(,,)M x y z ，求它们之间的距离12d M M =。

过A 、B 两点各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图8-4所示的长方体。

2212221222212222212121()()()d M M M B BM M A AB BM x x y y z z ==+=++=-+-+-所以d =特别地，点(,,)M x y z 与原点O 的距离为 d OM ==4.2 向量代数4.2.1 向量的概念在现实世界中，我们常见到两类量：一类是数量，如温度、长度、质量等，这类量只有大小，没有方向也称为标量；还有一类量既有大小也有方向如力、速度、加速度等，这类量称为向量或矢量。

向量代数与空间解析几何—向量代数(高等数学课件)

1.二元极限定义
设＝＋＋ , ＝＋＋，则
由于 × ＝ × ＝ × ＝0， × ＝， × ＝， × ＝，
× ＝－， × ＝－， × ＝－.
因此 × = − − − + − .
即 = × .
2. 向量积的运算律
1.二元极限定义
向量积满足下列运算律：
（1）结合律
× = × = × ()；
（2）分配律
+ × = × + × ．
值得注意的是：向量的向量积一般不满足交换律.一般有： × = − ×
3. 向量积的坐标表达式
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
设λ是一实数，向量与λ的乘积仍然是一个向量：
当＞0时，λ的方向与的方向相同，它的模等于的λ倍；
当λ＜0时，λ的方向与的方向相反，它的模等于的倍。
当λ＝0时，λ还是零向量。
v
由此不难得到以下结论：向量与非零向量共线的充要条件是：存
（3）分配律
+ ∙=∙+∙
3. 数量积的坐标表达式
设＝＋＋，＝＋＋，则
· ＝（＋＋） · （＋＋）
= · ＋ · ＋ · ＋ · + ·
在唯一实数λ，使=λ.
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
向量与数量的乘法满足结合律、分配律：
λ（μ）＝（λμ）; （结合律）
（λ＋μ）＝λ＋μ;（分配律）
λ（＋）＝λ＋λvv.（分配律）
其中,λ,μ均为实数。
向量的线性运算

《高等数学》课件第7章空间解析几何与向量代数

右手定则,即以右手握住z 轴,当右手的四个手指从 x轴正向以角度转向 y 轴正向时,大拇指的指向就是z
2 轴的正向.
Ⅲ
yOz面
Ⅳ
xOy面
x
Ⅶ Ⅷ
z zOx面
Ⅱ
Ⅰ
•O
y
Ⅵ Ⅴ
二、空间两点间的距离公式
空间两点间的距离：P1( x1, y1, z1 )、P2( x2 , y2 , z2 )
z
P2
P1
ki j,
j i k, k j i , i k j.
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k ) i j jk ki 0
(2) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
向量积的坐标表达式
设
a
axi
ay j
azk,
b bxi by j bzk
ab
(a
x
i
a
y
j
az k
)
(bxi
by
j
bzk )
i i j j k k 0,
i j k,
jk i,
第七章向空量间代解数析几何与
目录
第一节空间直角坐标系第二节向量及其线性运算第三节向量的坐标第四节向量的数量积与向量积第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程第七节常见曲面的方程及图形
第一节空间直角坐标系
一、空间直角坐标系简介
三条垂直相交且具有相同长度单位的数轴,构成一个空间直角坐标系,交点O称为坐标原点,这三条轴分别叫做z 轴(横轴)、y 轴(纵轴)和x轴(竖轴).

高等数学之空间解析几何与向量代数12748-PPT精品文档

R (0 ,0 , z)
1 1 1 1
z

M
Q (0 , y,0 )
y
x P(x,0,0)
A (x, y,0 )
机动目录上页下页返回结束
二、空间两点间的距离
( x ,y , z ) , ( x ,y ,z ) 对两点 A 与B 则两点间的距离公式: 2 2 2 1 1 1
及B 等距例3. 在 z 轴上求与两点 A ( 3 , 5 , 2 ) ( 4 , 1 , 7 ) 离的点 . 解: 设该点为 M M A M B , ( 0 , 0 ,z ) , 因为
( 4 ) 1 (7z) 3 2 5 2 ( 2z)2
14 故所求点为解得 z 14 , M ( 0 , 0 , ). 9 9
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ;
机动目录上页下页返回结束
二、向量的线性运算
1. 向量的加法平行四边形法则:
b b a
2 M M )2 (32 )2 6 2 3 (5 7) (21
2 6 2 2 ( 3 1 ) ( 5 4 ) ( 2 3 ) M M 1 3
M M M M 2 3 1 3
M M M 即 1 2 3为等腰三角形 .
M1
M2
M3
机动目录上页下页返回结束
a
机动目录上页下页返回结束
3. 向量与数的乘法
• 坐标轴 • 坐标面
Ⅳ
yoz面

向量代数与空间解析几何—空间解析几何(高等数学课件)

1 + 1 + 1 + 1 = 0 ,
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；

3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式

第八章空间解析几何与向量代数.ppt课件

且平行平面3x 4y z 10 0
又与直线 x 1 y 3 z
3
12
相交的直线方程。
例3．已知质点M以 M0 1,1,1 为
起点，以21米／秒的速度，在向
量 R 2,3,6 的方向上作直线
运动，试求质点M的运动方程。
例4．求直线
L1
:
x 1 1
y 4
z
3 1
和
L2
:
x 2
y2 2
z 1
例2．在平行四边形 ABCD 中，
设 AB a , AD b ，试用
a和b 表示向量
MA ,MB ,MC和MD
。
例3．求解以向量为未知元的线性方
程组 5x3 ya 其中 3x2 yb
a=2,1, 2 b=1,1,-2
例4．已知两点
A x1, y1, z1 和 B x2, y2, z2
以及实数 1 ，在直线 AB
上求点 M ,使 AM MB 。
例5．已知空间一点 M 的坐
标为 3, 4,5 ，试在直角
坐标系 oxyz 中描出它
的位置。
例6．已知空间一点 M 的坐标
为 3,3, 2 ，试描出它关于坐标
面
oxy
oy ，坐标轴
和坐标
o 原点的对称点。
例7．求证以
M1 4,3,1 M2 7,1, 2 M3 5, 2,3
例14．设立方体一条对角线为 OM
一条棱为 OA ，且 OA a ，
求 OA在OM 方向上的投影
prj OA OM
。
§8-2 数量积向量积混合积
例1．试用向量证明三角形的余弦
定理。
例2．在 XOY 坐标面上，求出与

大学数学专业空间解析几何向量代数PPT课件

它们的和是零矢量.
C
证必要性设三矢量a，b，c可以
构成三角形ABC，即有AB a, BC A
B
b,CA c，那么AB＋BC＋CA＝AA 0,即a b c 0
充分性设a b c 0，作AB a, BC b, 那么AC
a b, 所以AC c 0, 从而c是 AC的反矢量，因此c＝
叫做矢量a1 , a2 ,, an的线性组合.
定理1.4.4 在n 2时，矢量a1, a2 ,, an线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合.
第34页/共137页
定理1.4.6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.
定义1.4.2 对于n(n 1)个矢量a1, a2 ,, an，如果存
r xe1 ye2 ze3 ,
(1.4 3)
并且其中系数x, y, z被e1 , e2 , e3 , r唯一确定.
这时e1, e2 , e3叫做空间矢量的基底.
第38页/共137页
定理1.4.3 如果矢量e1 , e2 , e3不共面，那么空间
任意矢量r可以由矢量e1 , e2 , e3线性表示，或说空间任意矢量r可以分解成矢量e1 , e2 , e3的线性组合，即
A
Q M
B
P
CB
由条件可知: BC = 2BP, AC = 2AQ.
S
Q
T
P
C
设AS = AP, B2T = BQ,
2
3

第七章空间解析几何与向量代数-PPT精品文档

设 AB , AD 例1 在平行四边形ABCD中， . a b 试用 a 和 b表示向量 MA 、MB 、 MC 和 MD ,
这里M是平行四边形对角线的角交点. D 解由于平行四边形的对角线互相平分 , 所以 C
M b a b AC 2 AM , 即 ( a b ) 2 AM , 于是 1 A B MA (ab). a 2 1 因为 MC (ab). MA , 所以 MC 1 2 又因 a b BD 2 MD , 所以MD (ba). 1 2 由于 MB 所以 MB (ab). MD ,
兰州交通大学数理与软件工程学院
Ⅲ
yoz 面
z
zox 面
Ⅱ Ⅳ
xoy 面
Ⅶ Ⅷ
o
y Ⅰ
Ⅵ Ⅴ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
兰州交通大学数理与软件工程学院
向量 r的坐标分解式： r OM x i y j z k 向径：以原点为起点，M为终点的向量，例如 r.
空间的点 ,y ,z) 有序数组 (x 特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C , O ( 0 , 0 , 0 )
兰州交通大学数理与软件工程学院
2
设 e a 表示与非零向量 a同方向的单位向量，按照向量与数的乘积的规定， a a |a |e ea . a |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
两个向量的平行关系 0 定理设向量 a ，那么，向量 b 平行于的充分必 a 要条件是：存在唯一的实数，使 b a.

向量代数与空间解析几何课件

空间曲线
空间中的曲线可以由三个参数方程表示，例如球面和抛物面。
曲面
曲面可以由两个或三个参数方程表示，例如球面和圆柱面。
空间解析几何中的常见问题与解决方法
求解点到直线的距离
使用点到直线距离公式，将点坐标和直线方程代入公式计算。
求解两直线交点
将两直线的方程联立求解，得到交点的坐标。
判断两线是否平行或垂直
向量的数量积
01
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作a·b
。
02
向量数量积的性质
数量积满足交换律、结合律、数乘律和分配律。
03
向量数量积的应用
在物理学中，向量数量积常用于描述力的做功、动量等物理量；在解析
几何中，向量数量积可用于计算向量的长度和向量的投影等。
向量的向量积
02
空间几何基础
空间直角坐标系
空间直角坐标系的定义
坐标轴上的单位向量
空间直角坐标系是三维空间中的一个固定坐标系，由三个互相垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。
与x轴、y轴和z轴正方向同向的单位向量分别记为i、j、k，它们的模都为1，且满足i×j=k，j×k=i，k×i=j。
空间点的坐标表示
在空间直角坐标系中，任意一点P的位置可以用三个实数x、y、z来表示，这三个实数称为点P的坐标。
向量的线性组合
向量线性组合的定义
如果向量a和b满足a=λb（λ为实数），则称向量a是向量b的线性组合。
向量线性组合的性质
线性组合满足交换律、结合律和数乘律。
向量线性组合的应用
在物理学、工程学等领域中，向量线性组合常用于描述力的合成与分解、速度和加速度的合成等。

高等数学第七章空间解析几何与向量代数课件.ppt

D
b a BD
2 MB
b M
MA
1 2
(
a
b
)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
b
a
)
首页
上页
返回
下页
结束
C B
第9页，共33页。
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
和
计算向量
的模、方向余弦和方向角 .
解: M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
首页
上页
返回
下页
结束
第21页，共33页。
3. 向量在轴上的投影与投影定理
z
r
在三个坐标轴上的分向量：
cos
x r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
首页
上页
返回
下页
结束
第19页，共33页。
cos x
r
cos y
r
cos rz
x x2 y2 z2
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

化简求得 z 14 ，从而所求M点 (0,0,为 14)
9
9
坐标系. Oy轴与Oy轴垂直，单位等长； Ox轴与Oy轴
交角120(或135)，单位长为Oy轴上的单位长的 2 倍
(或 1 倍) ；
2
2
直线. 空间中本来相互平行的直线在图中依然要保持
平行；
作图：作点 P(2,1,3), Q(1,2,-1), R(-2,-1,-1)
模：||a||=| |·||a||
0
>0: 与a相同
方向：
a
a=
<0: 与a相反
=0: a=0
运算律：
(1) (a)=()a= (a) 结合律
(2) (+)a=a+a (a+b)=a+ b
(3) 1·a=a, (–1)a= – a
分配律
2a 1a
2
定理1 b//a R , 使 b= a.
a 0，设 a°与a方向相同的一个单位向量，
第 7章
向量代数与空间解析几何
§1 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
空间直角坐标系 Oxyz
z
坐标原点 O
坐标轴 Ox , Oy , Oz
坐标平面
O
y
•
xOy , yOz , xOz x
右手系
卦限
III z
II
VII
IV
x
VIII
I
o
y
VI
V
2. 点的投影空间一点M在直线(或轴上)的投影
M•
M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), d |M 1 M 2 | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
特别地，点O (0, 0, 0) 与 M (x, y, z)之间的距离
dOM x2y2z2
例1. 在Oz轴上求与A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点. 解：设所求的点为M(0,0,z).
=〈a, b〉= 〈b, a〉
限定 0〈a, b〉向量在轴 u 上的投影
设aM1M2
O
PjruM1M2u2u1
a
b M2
a
M1
u1
u2
u
(1) Pju rM 1M 2||M 1M 2||cos= ||a|| cos〈a, u〉
(2) P j u ( a 1 r a 2 a n ) P j u a 1 r P j u a 2 r P j u a n r
x
z
o
y
4. 两点间距离数轴上两点 M1=x1, M2=x2, 有
d=| M1 M2|=| x2 – x1| (x2 x1)2 平面上两点 M1 (x1, y1), M2 (x2, y2), 有
d |M 1 M 2|(x 2 x 1 )2 (y 2 y 1 )2 设空间中两点M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), 是否应有
d |M 1 M 2 | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
由勾股定理
z
R2
R
R1 M1
M2 Q
P1 P2
P O
N
y
Q1
Q2
x
|M 1M 2||M 1N|2|N2 M |2 |M 1P|2|PN |2|N2 M |2 |x 2 x 1|2 |y 2 y 1|2 |z2 z 1|2 (x 2 x 1 )2 (y 2 y 1 )2 (z2 z 1 )2
由 ||a|| >0，故 ||a||·a° 也与 a 方向相同，且
于是
|| ||a||·a° || = ||a||·||a° ||= ||a||
a ||a||a。
而同时有
a。 1 a || a ||
称 a° 为 a 的单位向量. (常被用来表示向量 a 的方向.)
5. 向量在轴上的投影向量间的夹角
–a
2. 向量的加法 c = a + b
b a
平行四边形法则
b a
三角形法则
a1+a2+…+an 运算规律： (1) a+b=b+a (交换律) (2) (a+b)+c=a+(b+c) (结合律) (3) a+0=a (4) a+(–a)=0
3. 向量减法 a–b= a+(–b)
b
a –b
4. 数与向量的乘法
§2 向量的概念及其表示
1. 向量向量：既有大小又有方向的量
aB
模：向量的大小，记|| a ||, || AB || A
单位向量：模等于1的向量
零向量：模等于0的向量(方向任意) ，记0.
所有向量的共性：大小、方向，因此定义
a b
向量相等：①模相等, ②方向相同，记 a=b
负向量：与a的模相等而方向相反的向量， a 记 –a.
|A| M ( 0 4 ) 2 ( 0 1 ) 2 ( z 7 ) 2 6 1 6 z 4 z 2
|B | M ( 0 3 ) 2 ( 0 5 ) 2 ( z 2 ) 2 3 4 8 z z 2
由|AM|=|BM|，得 6 1 6 z 4 Biblioteka 2 3 4 8 z z 2•
M1
•M • M2 空间一点M在平面上的投影
3.点的直角坐标
z
R
M
O
P
Qy
x
M (x, y, z)
有序数组(x, y, z)称为点M的坐标，记为M(x, y, z)
x, y, z 分别称为点 M 的横、纵、立坐标.
討論题
原点O的坐标坐标轴上的点的坐标
坐标面上的点的坐标
各卦限中的点的坐标的符号
a1
M1
M2 a2 M3
u1
u2
u u3
5. 向量的分解和向量的坐标
例1. 设P1与P2为u轴上的两点，坐标分别为u1和u2；又
e为与u轴正向一致的单位向量，则 P1P2(u2u1)e
事实上, 若u1<u2, 有||P1P2 ||u2 u1，且 P1 P2 与e 同向，故
P1P2 (u2u1)e
若u1>u2, 有||P1P2 ||u1u2，且 P1 P2 与e 反向，故
R1 M1
P
P1 O
Q1
P2
M2 Q
N
y
Q2
P1P2 Q1Q2 R1R2 x
称 P1P2,Q1Q2,R1R2 为 M1M2 在Ox,Oy,Oz轴上的分向量 .
z
M 1 M 2P 1P 2Q 1 Q 2R 1R 2
R2
R
令 i, j, k 分别为沿Ox, Oy,
P 1 P 2 (u 1 u 2)e (u 2 u 1 )e
若u1=u2, 有|| P1P2 || 0，故 P1P2 0；又 (u2u1)e0
故也有
P1P2 (u2u1)e
设aM1M2
M 1M 2M 1NM 1RM 1PM 1QM 1R
但 M1PP1P2
z
R2
R
M1QQ1Q2 M1RR1R2 M1M2

向量代数与空间解析几何PPT课件

合集下载