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高中数学④2．1～2．2教材解读一、平面向量的基本概念 1．向量既有大小、又有方向的量叫做向量．注：向量有两个要素：大小和方向，二者缺一不可． 2．向量的表示①用一个小写字母表示向量，如a ，b 等．②用有向线段表示向量，以A 为起点，B 为终点的向量记为AB，注意起点写在前面、终点写在后面．3．向量的模向量AB 的大小，称作向量AB的长度（或称模），记作AB ．注：向量是不能比较大小的，但向量的模可以比较大小．4．零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0． 注：①=00；②零向量的方向是任意的．5．单位向量长度等于１个单位的向量，叫做单位向量． 6．平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a ，b 平行，记作∥a b ．注：①规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有a 0∥；②由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量；③两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上． 7．相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，记作a b =．注：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关；③对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的；④a b a b =⇒=；反之不成立． 8．相反向量与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -．注：①a 与a -互为相反向量；②-=00；③相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反的向量，反之不成立． 二、平面向量的线性运算 １．向量的加法运算（1）向量的和：已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作= AB a ，BC = b ，则向量AC叫做a 与b 的和，记作+a b ，即a b +=+= AB BC AC ． （2）向量的加法：求两个向量和的运算．（3）对于零向量与任一向量a ，有+=+=00a a a ．（4）向量的加法满足交换律与结合律，即a b b a +=+，()()a b c a b c ++=++． （5）向量加法运算的几何意义：①向量加法的三角形法则：如图1，根据定义，+=AB BC AC ；②向量加法的平行四边形法则：如图2，以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作ABCD ，则以A 为起点的对角线AC就是a 与b 的和．注：①向量加法的三角形法则，既适用于两向量不共线，也适用于两向量共线．而平行四边形法则只适用于两向量不共线，当两向量共线时，平行四边形法则就不适用了．但在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性．因此两种法则都应熟练掌握． ②两个向量的和仍是一个向量．1°．当向量a 与b 不共线时，+a b 的方向与a ，b 都不相同，且+<+a b a b ；2°．当向量a 与b 同向时，+a b ，a ，b 都同向，且a b a b +=+；3°．当向量a 与b 反向时，若a b >，则+a b 的方向与a 相同，且a b a b +=-；若a b <，则+a b 的方向与b 相同，且a b b a +=-；若a b =，则a b +=0．总之，一般地，若a b a b ++≤．2．向量的减法运算（1）向量a 与b 的差：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，即()a b a b -=+-． （2）向量的减法：求两个向量差的运算．（3）向量减法运算的几何意义：如图3，已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA a = ，OB b = ，则BA a b =-，即a b -可以表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．（可简记为：共起点，连两终点，指向被减向量的终点）． 注：①两个向量的差仍是一个向量；②要注意向量加法运算的三角形法则与减法运算的三角形法则的区别；③由向量的加、减法，可以得出两个常用的结论：1 ．首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，各向量的和为0，即：-+++++=122334110…n n n A A A A A A A A A A ． 2 ．平行四边形ABCD 中，有AB AD AC += ，AB AD DB -=．3．向量的数乘运算（１）向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，它的长度与方向规定如下： ①λλ=a a ；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反．特别地，当0λ=时，a λ=0． （2）设λμ，为实数，a b ，为向量，则有 ①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+（第一分配律）； ③()a b a b λλλ+=+（第二分配律）； 特别地，有()()()a a a λλλ-=-=-； ()a b a b λλλ-=-．注：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a b ，，以及任意实数λμμ12，，，恒有()a b a b λμμλμλμ±=±1212．4．向量共线的条件如果()a a ≠0与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使b a λ=．即()b a a b a λ≠⇔=0∥，（λ唯一确定）． 注：①a ≠0．否则b ≠0且a =0时，λ就不存在了；②此条件是由向量的数乘运算推出的，常用它证明几何中的三点共线和两直线平行的问题．但要注意直线平行与向量平行的区别．。
高中数学目录必修一第一章1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法第二章2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数图像（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图像2.2.2二次函数的性质与图像2.3函数的应用（1）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章基本初等函数（1）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（2）必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱棱锥棱台的结构特征1.1.3圆柱圆锥圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7柱锥台和球的体积1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的集中形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值输入输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单的随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相互关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用必修四第一章基本的初等函数（2）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图像与性质1.3.2余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2向量的分解和向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1且与或1.2.2非（否定）1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件必要条件1.3.2命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1曲线方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何1.2导数的运算1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分的基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与实践的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析选修4-4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点（a，∏/2）处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线与圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2双曲线的参数方程2.3.3抛物线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程。
更上一层楼基础•巩固
1.如图2-2-13,填空:
(1) AB + AD= _________
(2) AC + CD + DO 二 _________
⑶ AB+AD + CD = _________
(4) AC-^-BA + DO= _________
答案：(1) AC (2) AO (3) AD (4)0
解:如图.
3. 己知向量a 、b 、c 、d 分别表示下列位移：“向北10 km” “向南5 km” 东 5 km” .请说明向量 a+b, b+b, a+c, a+b+b, a+d+d 的意义.
解：(l)a+b 表示“向北5 km” ；
(2)b+b 表示“向南 10 km” ；
(3) a+c 表示“向西北10" km” ；
(4) a+b+b 表示“位移为0” ；
(5) a+d+d 表示“向东北10血 km”.
2. 2. 1 向量加法运算及其几何意义
2.如图 2-2-14, "向西10 km” “向
己知向量a 、
、
4.某人从点A向东位移60 m到达点B,又从点B向东偏北30°方向位移50 m到达点C,又从点C向北偏西60°方向位移30 m到达点D,选用适当的比例尺作图，求点D相对于点A 的位置.
解:如图2-2-16,构造了三个直角三角形：Z\CFB, ACED和Z\DMA.
在RtACFB 中，| CF |=50Xsin30° =25, | BF |=50Xcos30°=25^3.
在RtZXCED 中，| CE |=30Xcos30°=15^3, | DE |=30Xsin30° =15.
・・・ | DM |=| DE\ + \EM |=15+25=40,
\BM \=\BF\-\MF\=\BF\-\EC\= 25^3 -15^3 = 10^3.
・••在RtADMA 中，| 而 |二40, | 而 |二60+lOjJ.
・・・|乔|二丁402+（60 + 10語）2 ~87.
\DM I 40
tanZDAM=-^^ = ------------------- ~0. 517 3.
\AM | 60 + 10V3
由计算器计算得ZDAM二27° 18’・
・・・D在A点东偏北27°18’且距A87米处.
综合•应用
5.已知图2-2-15,电线A0与天花板的夹角为60°,电线A0所受拉力F产20 7；绳BO与墙壁垂直，所受拉力F2=12 N.求N和F2的合力.
解：如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F二F】+F尸OC.
在ZiOCA 中,|Fi|=24, | AC |=12, Z0AC=60° ,
AAOAC 为直角三角形.：.\OC |=24Xsin60° =24X —= 12^3. 2
・・・N 与F2的合力为12希N,与F2成90°角竖直向上.
6. 在小船过河时，小船沿垂直河岸方向行驶的速度为VF 3. 46 km/h,河水流动的速度v 2=2. 0 km/h,试求小船过河实际行驶速度的大小和方向.
解：如图，设OA 表示小船垂直于河岸行驶的速度，OB 表示水流的速度，以04、OB 为 邻边作O0ACB,则OC 就是小船实际航行的速度.
在 RtAOBC 中,| BC | = |vi|=3. 46, | OB | = |v 2|=2. 0.
所以质 | = J| 亦 $ + | 荒 $ =J3.46?+2.()2 5. 0.
所以ZBOC^60° .
所以小船实际航行速度的大小约为4 km/h,方向与水流方向约成60°角.
7. 雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s.现在有风， 风使雨滴以3.0 m/s 的速度水平向东移动，那么雨滴将以多大的速度着地?这个速度的方向 怎样？
解：如图，用OA 表示雨滴下落的速度，03表示风使雨滴水平向东的速度.
以04、OB 为邻边作OOACB, OC 就是雨滴实际下落的速度.
因为 tanZBOC- ' '
\OB\
73,
在 RtAOAC 中，|OA|二4, AC |=3,
：.\OC\ = yl\OA\2 -}-\AC\2=A/42+32 =5.
・・・ tanZAOC= = -=0. 75,
\0A\ 4
・・・ZA0C~37° .
・・・雨滴下降到地面的速度为5 m/s,与垂直方向成37°角.
回顾•展望
&如图2-2-16,在一场足球比赛中，中场队员在A点位置得球，将球传给位于B点的左边锋，随即快速直向插上•边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前.球到达C 点时前插的中场队员正好赶到,直接射门得分.若BC=20 m, ZABC=37° .
图2-2-16
(1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移;
(2)这一过程屮屮场队员的位移与球的位移是否相等?
解：⑴在RtAACB 中，| BC |=20,由邑」二tanZABC,
\BC\
A | AC | = | BC |tan37° ^20X0. 75=15.
・・・足球的位移为15 m,沿垂直球门的方向.
⑵这一过程中中场队员的位移与球的位移相等，即AC = AB^BC.。
