【真题】2018年湖南省娄底市中考数学模拟试卷及参考答案PDF

2018 年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2018?娄底） 2018 的相反数是（）1 1A．2018 B．2018C．﹣ 2018 D．﹣20182．（3分）（2018?娄底）一组数据﹣ 3，2，2，0，2，1 的众数是（）A．﹣ 3 B．2 C．0 D．13．（3 分）（2018?娄底）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有 210 万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107B．2.1×106C．21×105 D．2.1×1074．（3 分）（2018?娄底）下列运算正确的是（）A．a2?a5=a10B．（3a3）2=6a6C．（a+b）2=a2+b2D．（ a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣65．（3 分）（2018?娄底）关于 x 的一元二次方程x2﹣（ k+3）x+k=0 的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定6．（3分）（2018?娄底）不等式组2 -??≥ ??-2的最小整数解是（）3??- 1＞ - 4A．﹣ 1 B．0 C．1 D．27．（3分）（2018?娄底）如图所示立体图形的俯视图是（）A．B．C．第1页（共 30页）D ．??-28．（3 分）（2018?娄底）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（）??-3A ．x ＞2B ．x ≥2C ． x ≥ 2 且 x ≠3D ．x ≠39．（3 分）（2018?娄底）将直线 y=2x ﹣3 向右平移 2 个单位，再向上平移3 个单位后，所得的直线的表达式为（）A ．y=2x ﹣4B ．y=2x+4C ．y=2x+2D ．y=2x ﹣210．（ 3 分）（2018?娄底）如图，往竖直放置的在A 处由短软管连接的粗细均匀细管组成的 “U ”装置中注入一定量的水，水面高度为形6cm ，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到 AB 位置，则 AB 中水柱的长度约为（）A ．4cmB ．6 3cmC ． 8cmD ．12cm11．（ 3 分）（2018?娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 169，小正方形的面积为49，则 sin α﹣cos α=（）5 5 7 7 A ．B ．﹣ 13 C ． D ．﹣13 13 1312．（3 分）（ 2018?娄底）已知： [ x] 表示不超过 x 的最大整数． 例：[ 3.9] =3，[ ﹣﹣ ．令关于的函数（） ??+1??3+1k ] ﹣[ ]（k 是正整数）．例：f （3）=[] ﹣1.8] = 2 f k=[4 4 43 ）[ ] =1．则下列结论错误的是（4A ．f （1）=0B ．f （k+4）=f （k ）C ．f （ k+1）≥ f （k ）D ． f （ k ）=0 或 1二、填空题（木大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）13．（ 3 分）（2018?娄底）如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点 P 是2反比例函数 y= 图象上的一点， PA ⊥x 轴于点 A ，则△ POA 的面积为．??第2页（共 30页）14．（ 3 分）（2018?娄底）如图， P 是△ ABC的内心，连接PA、PB、PC，△ PAB、△ PBC、△ PAC的面积分别为S1、 S2、 S3．则 S1S2+S3．（填“＜”或“=或”“＞”）15．（ 3 分）（ 2018?娄底）从 2018 年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6 个科目中，自主选择 3 个科目参加等级考试．学生A 已选物理，还从思想政治、历史、地理 3 个文科科目中选 1 科，再从化学、生物 2 个理科科目中选 1 科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为．16．（ 3 分）（2018?娄底）如图，△ ABC 中， AB=AC， AD⊥ BC 于 D 点， DE⊥AB 于点 E，BF⊥AC于点 F，DE=3cm，则 BF= cm．17．（ 3 分）（2018?娄底）如图，已知半圆O 与四边形 ABCD的边 AD、AB、BC都相切，切点分别为D、 E、C，半径 OC=1，则 AE?BE= ．第3页（共 30页）18．（3 分）（2018?娄底）设 a1，a2，a3⋯⋯是一列正整数，其中 a1 表示第一个数， a2表示第二个数，依此类推， a n表示第 n 个数（ n 是正整数）．已知 a1 =1，4a n=（ a n+1﹣ 1）2﹣（ a n﹣1）2，则 a2018= ．三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分）19．（ 6 分）（2018?娄底）计算：（π﹣ 3.14）0+（1）﹣2﹣| ﹣ 12|+ 4cos30°．31+ 1 ??，其中 x= 2．20．（6 分）（2018?娄底）先化简，再求值：（ 2 ）÷ 2??+1 ??- 1 ?? +2 ??+1四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）21．（ 8 分）（2018?娄底）为了取得贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为 A、B、C、D 四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（ 1）求样本容量；（ 2）补全条形图，并填空：n= ；（ 3）若全市有 5000 人参加了本次测试，估计本次测试成绩为 A 级的人数为多少？22．（ 8 分）（2018?娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达 452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE 高 340m，为了24测量高楼 BC上发射塔 AB 的高度，在楼 DE底端 D 点测得 A 的仰角为α，sin α=，在25 顶端 E 点测得 A 的仰角为 45°，求发射塔 AB 的高度．第4页（共 30页）五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）23．（ 9 分）（2018?娄底）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买 A、B 两种型号的垃圾处理设备共10 台．已知每台 A 型设备日处理能力为 12 吨；每台 B 型设备日处理能力为15 吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买 A、B 两种设备的方案；（2）已知每台 A 型设备价格为 3 万元，每台 B 型设备价格为 4.4 万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于 40 万元时，则按 9 折优惠；问：采用（ 1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？24．（ 9 分）（ 2018?娄底）如图，已知四边形 ABCD中，对角线 AC、BD 相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过 O 点作 EF⊥BD，分别交 AD、 BC于点 E、F．（1）求证：△ AOE≌△ COF；（2）判断四边形 BEDF的形状，并说明理由．六、解答题（木本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）25．（ 10 分）（ 2018?娄底）如图， C、 D 是以 AB 为直径的⊙ O 上的点， ????=????，弦CD交 AB于点 E．（ 1）当 PB 是⊙ O 的切线时，求证：∠ PBD=∠ DAB；第5页（共 30页）2 2（2）求证： BC﹣ CE=CE?DE；（3）已知 OA=4，E 是半径 OA 的中点，求线段 DE 的长．26．（ 10 分）（2018?娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c 与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、 C（ 0， 3），D 是抛物线的顶点， E 是线段 AB 的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标；（2） F（x，y）是抛物线上的动点：①当 x＞1，y＞0 时，求△ BDF的面积的最大值；②当∠ AEF=∠DBE时，求点 F 的坐标．第6页（共 30页）2018 年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3 分）（2018?娄底） 2018 的相反数是（）1 1A．B．2018 C．﹣ 2018 D．﹣2018 2018【考点】 14：相反数．【专题】 11 ：计算题．【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解： 2018 的相反数是：﹣ 2018．故选： C．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3 分）（2018?娄底）一组数据﹣ 3，2，2，0，2，1 的众数是（）A．﹣ 3 B．2 C．0 D．1【考点】 W5：众数．【专题】 1 ：常规题型； 542：统计的应用．【分析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解．【解答】解：这组数据中 2 出现次数最多，有 3 次，所以众数为 2，故选： B．【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据．3．（3 分）（2018?娄底）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口第7页（共 30页）约有 210 万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107B．2.1×106C．21×105 D．2.1×107【考点】 1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】 511：实数．【分析】科学记数法的表示形式为a× 10n的形式，其中 1≤| a| ＜ 10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n是负数．【解答】解： 210 万=2.1×106，故选： B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中 1≤| a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．4．（3 分）（2018?娄底）下列运算正确的是（）A．a2?a5=a10B．（3a3）2=6a62 2+b2 ．（）（﹣）2﹣a﹣6C．（a+b） =a D a+2 a 3 =a【考点】 4I：整式的混合运算．【专题】 11 ：计算题； 512：整式．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解： A、原式 =a7，不符合题意；B、原式 =9a6，不符合题意；C、原式 =a2+2ab+b2，不符合题意；D、原式 =a2﹣a﹣6，符合题意，故选： D．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3 分）（2018?娄底）关于 x 的一元二次方程x2﹣（ k+3）x+k=0 的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根第8页（共 30页）C．无实数根D．不能确定【考点】 AA：根的判别式．【专题】 11 ：计算题．【分析】先计算判别式得到△ =（k+3）2﹣4× k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞ 0，然后可判断方程根的情况．222【解答】解：△ =（k+3）﹣4×k=k +2k+9=（k+1） +8，∴（ k+1）2+8＞0，即△＞ 0，所以方程有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△ =b2﹣4ac 有如下关系：当△＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根；当△ =0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0 时，方程无实数根．6．（3 分）（2018?娄底）不等式组 2 - ??≥ ??- 2的最小整数解是（）3??- 1＞ - 4A．﹣ 1 B．0 C．1 D．2【考点】 CC：一元一次不等式组的整数解．【专题】 11 ：计算题； 524：一元一次不等式 ( 组 ) 及应用．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式 2﹣ x≥ x﹣2，得：x≤2，解不等式 3x﹣1＞﹣ 4，得： x＞﹣ 1，则不等式组的解集为﹣ 1＜x≤2，所以不等式组的最小整数解为0，故选： B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．第9页（共 30页）7．（3 分）（2018?娄底）如图所示立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】 U2：简单组合体的三视图．【专题】 1 ：常规题型．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，故选： B．【点评】本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．??-2中自变量 x 的取值范围是（）8．（3 分）（2018?娄底）函数 y=??-3A．x＞2 B．x≥2 C． x≥ 2 且 x≠3 D．x≠3【考点】 E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围．【解答】解：根据题意得：??- 2 ≥0，??- 3 ≠0解得： x≥2 且 x≠ 3．故选： C．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；第 10 页（共 30 页）（ 3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．（3 分）（2018?娄底）将直线 y=2x﹣3 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2【考点】 F9：一次函数图象与几何变换．【专题】 46 ：几何变换．【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【解答】解： y=2（x﹣2）﹣ 3+3=2x﹣ 4．化简，得y=2x﹣4，故选： A．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．10．（ 3 分）（2018?娄底）如图，往竖直放置的在 A 处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”装置中注入一定量的水，水面高度为形6cm，现将右边细管绕 A 处顺时针方向旋转60°到 AB 位置，则 AB 中水柱的长度约为（）A．4cm B．6 3cm C． 8cm D．12cm【考点】 R2：旋转的性质．【专题】 11 ：计算题．【分析】 AB 中水柱的长度为 AC， CH 为此时水柱的高，设 CH=x，竖直放置时短软管的底面积为 S，易得 AC=2CH=x，细管绕 A 处顺时针方向旋转 60°到 AB 位置时，底面积为 2S，利用水的体积不变得到 x?S+x?2S=6?S+6?S，然后求出 x 后计算出 AC即可．【解答】解： AB 中水柱的长度为AC，CH 为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置第 11 页（共 30 页）时短软管的底面积为S，∵∠ BAH=90°﹣60°=30°，∴AC=2CH=x，∴细管绕 A 处顺时针方向旋转60°到 AB 位置时，底面积为2S，∵x?S+x?2S=6?S+6?S，解得 x=4，∴AC=2x=8，即AB 中水柱的长度约为 8cm．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．（ 3 分）（2018?娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 169，小正方形的面积为49，则 sin α﹣cosα=（）5 5 7 7A．B．﹣C．D．﹣13 13 13 13【考点】 KR：勾股定理的证明； T7：解直角三角形．【专题】 1 ：常规题型．【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sin α和 cosα的值，进而可求出 sin α﹣ cosα的值．【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是 7，大正方形的边长是13，2 2 2在 Rt△ABC中， AC +BC=AB ，即 AC2+（ 7+AC）2=132，2整理得， AC+7AC﹣60=0，第 12 页（共 30 页）解得 AC=5，AC=﹣ 12（舍去）， 2 2∴ BC= ????- ????=12，????5 ????12∴ sin α= = ， cos α= = ，????13 ????135 12 7∴ sin α﹣cos α= ﹣ =﹣ ，13 13 13 故选： D ．【点评】本题考查了勾股定理的证明， 锐角三角形函数的定义， 利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．12．（3 分）（ 2018?娄底）已知： [ x] 表示不超过 x 的最大整数． 例：[ 3.9] =3，[ ﹣??+1 ??3+11.8] =﹣ 2．令关于 k 的函数（）] ﹣[]（k 是正整数）．例：f （3）=[] ﹣ f k=[ 4443] =1．则下列结论错误的是（ ） [ 4A ．f （1）=0B ．f （k+4）=f （k ）C ．f （ k+1）≥ f （k ）D ． f （ k ）=0 或 1【考点】 CB ：解一元一次不等式组； E5：函数值． 【专题】 11 ：计算题．【分析】 根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【解答】 解： f （1）=[ 1+1 14 ] ﹣ [ ] =0﹣0=0，故选项 A 正确；4 ??+4+1 ??+4 ??+1 ?? ??+1 ??f （k+4）=[ ] ﹣[ 4 ] =[ 4 +1] ﹣[ +1] =[ ] ﹣[ ] =f （ k ），故选项 B 正 4 4 4 4确；、当4+1 ] ﹣[ 4 ] =1﹣1=0，而 f （ 3） =1，故选项 C 错误； C k=3 时， f （ 3+1） =[ 4 4 D 、当 k=3+4n （n 为自然数）时， f （k ）=1，当 k 为其它的正整数时， f （k ）=0， 所以 D 选项的结论正确；故选： C ．【点评】本题考查解一元一次不等式组、函数值，解答本题的关键是明确题意，第 13 页（共 30 页）可以判断各个选项中的结论是否成立．二、填空题（木大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）13．（ 3 分）（2018?娄底）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点P 是2反比例函数 y= 图象上的一点， PA⊥x 轴于点 A，则△ POA的面积为 1 ．??【考点】 G5：反比例函数系数k 的几何意义； G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】 1 ：常规题型．【分析】直接利用反比例函数的性质结合系数k 的几何意义得出答案．2【解答】解：∵点 P 是反比例函数 y= 图象上的一点， PA⊥x 轴于点 A，??1 1∴△ POA的面积为：AO?PA= xy=1．2 2故答案为： 1．【点评】此题主要考查了反比例函数系数 k 的几何意义，正确表示出△ POA的面积是解题关键．14．（ 3 分）（2018?娄底）如图， P 是△ ABC的内心，连接 PA、PB、PC，△ PAB、△ PBC、△PAC的面积分别为 S1、S2、S3．则 S1＜ S2+S3．（填“＜”或“=或”“＞”）【考点】 MI：三角形的内切圆与内心； K6：三角形三边关系； KF：角平分线的性质．【专题】 552：三角形； 559：圆的有关概念及性质．第 14 页（共 30 页）【分析】过 P 点作 PD⊥AB 于 D，作 PE⊥AC 于 E，作 PF⊥ BC于 F，根据内心的定义可得 PD=PE=PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解．【解答】解：过 P 点作 PD⊥ AB 于 D，作 PE⊥AC于 E，作 PF⊥BC于 F，∵ P 是△ ABC的内心，∴PD=PE=PF，1 1 1∵S1= AB?PD，S2= BC?PF，S3= AC?PE，AB＜BC+AC，222∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．【点评】考查了三角形的内切圆与内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心的定义得 PD=PE=PF．15．（ 3 分）（ 2018?娄底）从 2018 年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6 个科目中，自主选择 3 个科目参加等级考试．学生A 已选物理，还从思想政治、历史、地理 3 个文科科目中选 1 科，再从化学、生物 2 个理科科目中选 1 科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概1率为．6【考点】 X6：列表法与树状图法．【专题】 1 ：常规题型； 543：概率及其应用．【分析】先画出树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出选修地理和生物的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：第 15 页（共 30 页）由树状图可知，共有 6 种等可能结果，其中选修地理和生物的只有 1 种结果，1所以选修地理和生物的概率为，61故答案为：．6【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比．16．（ 3 分）（2018?娄底）如图，△ ABC 中， AB=AC， AD⊥ BC 于 D 点， DE⊥AB 于点 E，BF⊥AC于点 F，DE=3cm，则 BF= 6 cm．【考点】 KH：等腰三角形的性质； K3：三角形的面积．【专题】 1 ：常规题型．【分析】先利用 HL 证明 Rt△ ADB≌ Rt△ ADC，得出 S△ABC△ ABD ×=2S=21 1AB?DE=AB?DE=3AB，又 S ABC= AC?BF，将 AC=AB代入即可求出 BF．2 △2【解答】解：在 Rt△ADB 与 Rt△ADC中，????= ????，????= ????∴Rt△ADB≌ Rt△ADC，1∴S△ ABC=2S△ ABD=2× AB?DE=AB?DE=3AB，21∵S△ ABC=2AC?BF，1∴AC?BF=3AB，2第 16 页（共 30 页）∵AC=AB，1∴BF=3，2∴BF=6．故答案为 6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．17．（ 3 分）（2018?娄底）如图，已知半圆O 与四边形 ABCD的边 AD、AB、BC都相切，切点分别为D、 E、C，半径 OC=1，则 AE?BE= 1 ．【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；M5 ：圆周角定理； MC：切线的性质．【专题】 559：圆的有关概念及性质．【分析】想办法证明△ AEO∽△ OEB，可得???????? 2 = ，推出 AE?BE=OE ．=1 ????????【解答】解：如图连接 OE．∵半圆 O 与四边形 ABCD的边 AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥ CD，∠ OAD=∠OAE，∠ OBC=∠OBE，∴AD∥BC，∴∠ DAB+∠ABC=180°，∴∠ OAB+∠OBA=90°，∴∠ AOB=90°，∵∠ OAE+∠AOE=90°，∠ AOE+∠ BOE=90°，∴∠ EAO=∠EOB，第 17 页（共 30 页）∵∠ AEO=∠OEB=90°，∴△ AEO∽△ OEB，????????∴= ，????????2∴ AE?BE=OE=1，故答案为 1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．18．（3 分）（2018?娄底）设 a1，a2，a3⋯⋯是一列正整数，其中 a1 表示第一个数，a2 表示第二个数，依此类推，an 表示第 n 个数（ n 是正整数）．已知 a1 =1，4an= （a n+1﹣ 1）2﹣（ a n﹣1）2，则 a2018= 4035 ．【考点】 37：规律型：数字的变化类．【专题】 1 ：常规题型．2 2 2 2（+1）【分析】由 4a （ + ﹣1）﹣（ a ﹣1），可得（a + ﹣1）（﹣1） +4an= an 1 n n 1 = an n= an2，根据 a1，a2， a3⋯⋯是一列正整数，得出 an +1=an+2，根据 a1=1，分别求出a2=3，a3=5， a4=7，a5=9，进而发现规律 a n=2n﹣ 1，即可求出 a2018=4035．【解答】解：∵4a n=（a n+1﹣1）2﹣（ a n﹣ 1）2，∴（ a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n =（ a n +1）2，∵a1，a2，a3⋯⋯是一列正整数，∴ a n+1﹣ 1=a n+1，∴ an+1=an+2，∵a1=1，∴a2=3，a3=5，a4=7， a5=9，⋯，∴a n=2n﹣1，∴a2018=4035．故答案为 4035．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子a n+1=a n+2．第 18 页（共 30 页）三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分）19．（ 6 分）（2018?娄底）计算：（π﹣ 3.14）0+（1）﹣2﹣| ﹣ 12|+ 4cos30°．3【考点】 2C：实数的运算； 6E：零指数幂； 6F：负整数指数幂； T5：特殊角的三角函数值．【专题】 11 ：计算题．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答本题．【解答】解：（π﹣3.14）0+（1）﹣2﹣| ﹣ 12|+ 4cos30° 33=1+9﹣2 3+4×2=1+9﹣2 3+2 3=10．【点评】本题考查实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．1 1 ??，其中 x= 2．20．（6 分）（2018?娄底）先化简，再求值：（+ 2）÷ 2??+1??- 1 ?? +2 ??+1【考点】 6D：分式的化简求值．【专题】 11 ：计算题； 513：分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．??-1+1 ( ??+1) 2??+1【解答】解：原式 = ? =，( ??+1)( ??-1)?? ??-12+12．当 x= 2时，原式 ==3+22 - 1【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）21．（ 8 分）（2018?娄底）为了取得贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了第 19 页（共 30 页）扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为 A、B、C、D 四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（ 1）求样本容量；（ 2）补全条形图，并填空： n= 10 ；（ 3）若全市有 5000 人参加了本次测试，估计本次测试成绩为 A 级的人数为多少？【考点】 VC：条形统计图； V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体； VB：扇形统计图．【专题】 1 ：常规题型； 542：统计的应用．【分析】（1）用 B 等级人数除以其所占百分比可得；（2）总人数减去 A、B、D 人数求得 C 的人数即可补全条形图，用 D 等级人数除以总人数可得 n 的值；（3）总人数乘以样本中 A 等级人数所占比例即可得．【解答】解：（1）样本容量为 18÷30%=60；6（2） C 等级人数为 60﹣（ 24+18+6）=12 人， n%= ×100%=10%，60补全图形如下：第 20 页（共 30 页）故答案为： 10；24（ 3）估计本次测试成绩为 A 级的人数为 5000×60 =2000 人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（ 8 分）（2018?娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达 452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE 高 340m，为了24测量高楼 BC上发射塔 AB 的高度，在楼 DE底端 D 点测得 A 的仰角为α，sin α=，在25顶端 E 点测得 A 的仰角为 45°，求发射塔 AB 的高度．【考点】 TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】 11 ：计算题．【分析】作 EH⊥AC 于 H，设 AC=24x，根据正弦的定义求出 AD，根据勾股定理求出 CD，根据题意列出方程求出 x，结合图形计算即可．【解答】解：作 EH⊥ AC于 H，则四边形 EDCH为矩形，∴EH=CD，设AC=24x，24在Rt△ADC中， sin α=，25∴AD=25x，第 21 页（共 30 页）由勾股定理得， CD= 22 ，????- ????=7x∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠ AEH=45°，∴ AH=EH=7x，由题意得， 24x=7x+340，解得， x=20，则 AC=24x=480，∴ AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔 AB 的高度为 28m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）23．（ 9 分）（2018?娄底）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买 A、B 两种型号的垃圾处理设备共 10 台．已知每台 A 型设备日处理能力为 12 吨；每台 B 型设备日处理能力为 15 吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买 A、B 两种设备的方案；（2）已知每台 A 型设备价格为 3 万元，每台 B 型设备价格为 4.4 万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于 40 万元时，则按 9 折优惠；问：采用（ 1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？【考点】 FH：一次函数的应用； CE：一元一次不等式组的应用．第 22 页（共 30 页）【专题】 1 ：常规题型．【分析】（1）设购买 A 种设备 x 台，则购买 B 种设备（ 10﹣ x）台，根据购回的设备日处理能力不低于 140 吨列出不等式 12x+15（10﹣ x）≥ 140，求出解集，再根据 x 为正整数，得出 x=1，2，3．进而求解即可；（ 2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．【解答】解：（1）设购买 A 种设备 x 台，则购买 B 种设备（ 10﹣x）台，根据题意，得 12x+15（10﹣x）≥ 140，1解得 x≤3 ，3∵ x 为正整数，∴x=1， 2， 3．∴该景区有三种设计方案：方案一：购买 A 种设备 1 台， B 种设备 9 台；方案二：购买 A 种设备 2 台， B 种设备 8 台；方案三：购买 A 种设备 3 台， B 种设备 7 台；（ 2）各方案购买费用分别为：方案一： 3× 1+4.4×9=42.6＞ 40，实际付款： 42.6× 0.9=38.34（万元）；方案二： 3× 2+4.4×8=41.2＞ 40，实际付款： 41.2× 0.9=37.08（万元）；方案三： 3× 3+4.4×7=39.8＜ 40，实际付款： 39.8（万元）；∵37.08＜38.04＜39.8，∴采用（ 1）设计的第二种方案，使购买费用最少．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键．24．（ 9 分）（ 2018?娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线 AC、BD 相交于点O，且 OA=OC，OB=OD，过 O 点作 EF⊥BD，分别交 AD、 BC于点 E、F．（1）求证：△ AOE≌△ COF；（2）判断四边形 BEDF的形状，并说明理由．第 23 页（共 30 页）【考点】 KD：全等三角形的判定与性质．【专题】 555：多边形与平行四边形．【分析】（1）首先证明四边形 ABCD是平行四边形，再利用 ASA证明△ AOE≌△ COF；（2）结论：四边形 BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】（1）证明：∵ OA=OC， OB=OD，∴四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ EAO=∠FCO，在△ AOE和△ COF中，∠??????= ∠ ??????????= ????，∠??????= ∠ ??????∴△ AOE≌△ COF．（2）解：结论：四边形 BEDF是菱形，∵△AOE≌△ COF，∴AE=CF，∵ AD=BC，∴ DE=BF，∵ DE∥BF，∴四边形 BEDF是平行四边形，∵OB=OD， EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形 BEDF是菱形．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．第 24 页（共 30 页）六、解答题（木本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）25．（ 10 分）（ 2018?娄底）如图， C、 D 是以 AB 为直径的⊙ O 上的点， ????=????，弦CD交 AB于点 E．（ 1）当 PB 是⊙ O 的切线时，求证：∠ PBD=∠ DAB；2 2（2）求证： BC﹣ CE=CE?DE；（3）已知 OA=4，E 是半径 OA 的中点，求线段 DE 的长．【考点】 MR：圆的综合题．【专题】15 ：综合题； 559：圆的有关概念及性质； 55A：与圆有关的位置关系；55D：图形的相似．【分析】（1）由 AB是⊙ O 的直径知∠ BAD+∠ABD=90°，由 PB是⊙ O 的切线知∠PBD+∠ABD=90°，据此可得答案；（ 2 ）连接OC，设圆的半径为r ，则OA=OB=OC=r，证△ ADE∽ △ CBE 得2 2DE?CE=AE?BE=r﹣ OE ，由 ????=????知∠ AOC=∠ BOC=90°，根据勾股定理知2 2 2 2 2 2 2 2 2CE=OE +r 、 BC =2r ，据此得 BC ﹣CE=r ﹣OE ，从而得证；2 2（3）先求出 BC=4 2、CE=2 5，根据 BC ﹣CE=CE?DE计算可得．【解答】解：（1）∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB=90°，即∠ BAD+∠ ABD=90°，∵ PB是⊙ O 的切线，∴∠ ABP=90°，即∠ PBD+∠ ABD=90°，∴∠ BAD=∠PBD；（2）∵∠ A=∠C、∠ AED=∠CEB，∴△ ADE∽△ CBE，第 25 页（共 30 页）???????? ∴ = ，即 DE?CE=AE?BE ， ???????? 如图，连接 OC ，设圆的半径为 r ，则 OA=OB=OC=r ，22则 DE?CE=AE?BE=（OA ﹣OE ）（ OB+OE ）=r ﹣ OE ， ∵ ????=????，∴∠ AOC=∠BOC=90°，2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ CE=OE +OC =OE+r ，BC =BO +CO =2r ，2 2 2 2 2 2 2 则 BC ﹣CE =2r ﹣（ OE +r ） =r ﹣OE ， 2 2∴ BC ﹣ CE=DE?CE ；（ 3）∵ OA=4， ∴ OB=OC=OA=4，2 2∴ BC= ????+ ????=4 2， 又∵ E 是半径 OA 的中点，∴ AE=OE=2，则 CE= 2 2 2 + 2 2 ，????+ ????= 4 =2 52 2∵ BC ﹣ CE=DE?CE ，∴（ 4 2）2﹣（2 5）2=DE?2 5，6 5解得： DE= ．5【点评】 本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．第 26 页（共 30 页）26．（ 10 分）（2018?娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c 与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、 C（ 0， 3），D 是抛物线的顶点， E 是线段 AB 的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标；（2） F（x，y）是抛物线上的动点：①当 x＞1，y＞0 时，求△ BDF的面积的最大值；②当∠ AEF=∠DBE时，求点 F 的坐标．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 537：函数的综合应用．【分析】（1）根据点 A、B、 C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点 D 的坐标；（2）①过点 F 作 FM∥ y 轴，交 BD 于点 M ，根据点 B、 D 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BD 的解析式，根据点 F 的坐标可得出点 M 的坐标，利用三角形的面积公式可得出 S△BDF=﹣ x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；②过点 E作 EN∥BD交 y 轴于点 N，交抛物线于点 F1，在 y 轴负半轴取 ON′=ON，连接 EN′，射线 EN′交抛物线于点 F ，则∠ AEF ∠、∠∠，根据2 1= DBE AEF2 = DBEEN ∥BD结合点 E 的坐标可求出直线 EF1的解析式，联立直线 EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点 F1的坐标，同理可求出点 F2的坐标，此题得解．【解答】解：（1）将 A（﹣ 1， 0）、B（3，0）、C（0，3）代入 y=ax2+bx+c，??- ??+ ??= 0 ??=-19??+ 3??+ ??= 0，解得： ??= 2 ，??= 3 ??= 3第 27 页（共 30 页）。

娄底市2018年初中毕业学业考试试题卷数学一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里)1.2018的相反数是（ ）A ．12018B ．2018C ．-2018D ．12018- 2.一组数据-3，2，2，0，2，1的众数是（ ）A ．-3B ．2C ．0D ．13.随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（ ）A ．70.2110´B ．62.110´C ．52110´D ．72.110´4.下列运算正确的是（ ）A ．2510a a a ?B ．326(3a )6a =C ．222()a b a b +=+D ．2(2)(3)6a a a a +-=-- 5.关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=的根的情况是（ ）A.有两不相等实数根B.有两相等实数根C.无实数根D.不能确定 6.不等式组22314x x x ì-?ïïíï->-ïî的最小整数解是（ ） A ．-1B ．0C ． 1D ． 2 7.下图所示立体图形的俯视图是（ ）AB C D 8.函数23x y x -=-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x >B ．2x ³C ．2x ³或D ．3x ¹ 9.将直线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．22y x =+D ．22y x =-10.如图，往竖直放置的在A 处山短软管连接的粗细均匀细管组成的“U 形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm ，现将右边细管绕A 处顺时针方向旋转60o到AB 位置，则AB 中水柱的长度约为（ ）A ．4cmB ．63cmC ．8cmD ．12cm11.如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sin cos a a -=（ ）A ．513B ．513-C ．713D ．713- 12.已知: []x 表示不超过x 的最大整数例: [3.9]3,[ 1.8]2=-=-令关于k 的函数1()[][]44k k f x +=- (k 是正整数)例：313()[][]44f x +=-则下列结论错误．．的是（ ） A ．(1)0f = B ．(4)()f k f k +=C ．(1)()f k f k +?D ．()0f k =或1 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)13.如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点P 是反比例函数2y x=二图像上的一点， PA x ^轴于点A ，则POA D 的面积为 .14.如图， P 是ABC D 的内心，连接PA PB PC 、、，PAB PBC PAC D D D 、、的面积分别为123S S S 、、，则1S 23S S +.(填“<”或“=”或“>”)15.从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科日参加等级考试.学生A 已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科日中选1科.若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为 .16.如图，ABC D 中，AB AC =，AD BC ^于D 点，DE AB ^于点E ，BF AC ^于点F ，3cm DE =，则BF = cm .17.如图，已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD AB BC 、、都相切，切点分别为D E C 、、，半径1OC =，则AE BE ? .18.设123,,a a a K K 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n 个数(n 是正整数)已知11a =，2214(1)(1)n n n a a a +=---.则2018a = .19.计算: 021( 3.14)()3p --+-|12|4cos30-+o . 20.先化简，再求值: 2211()1121x x x x x +?+-++，其中2x =. 四、解答题（本大题2小题，每小题8分，共16分）21.为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A B C D 、、、四个不同的等级，绘制成不完整统计图如下图，请根据图中的信息，解答下列问题；(1)求样本容量；(2)补全条形图，并填空: n = ；(3)若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A 级的人数为多少?22.如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC 高达452m ，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE 高340m ，为了测量高楼BC 上发射塔AB 的高度，在楼DE 底端D 点测得A 的仰角为45o ，求发射塔AB 的高度.23.“绿水青山，就是金山银山”，某旅游景区为了保护环境，需购买A B 、两种型号的垃圾处理设备共10台，已知每台A 型设备日处理能力为12吨:;每台B 型设备日处理能力为15吨;购回的设备日处理能力不低于140吨.(1)请你为该景区设计购买A B 、两种设备的方案;(2)已知每台A 型设备价格为3万元，每台B 型设备价格为44万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠;问:采用(1)设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么?24.如图，已知四边形ABCD 中，对角线AC BC 、相交于点O ，且OA=OC ，OB OD =，过O 点作EF BD ^，分别交AD BC 、于点E F 、.(1)求证: AOE COF D @D ；(2)判断四边形BEDF 的形状，并说明理由.六、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)25.如图， C D 、是以AB 为直径的O e 上的点， »»ACBC =，弦CD 交AB 于点E .(1)当PB 是O e 的切线时，求证: PBDDAB ??；(2)求证: 22BC CE CE DE -=?；(3)已知OA=4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长.26.如图，抛物线2y ax bx c =++与两坐标轴相交于点(1,0)(3,0)(0,3)A B C -、、，D 是抛物线的顶点， E 是线段AB 的中点.(1)求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标;(2) (,)F x y 是抛物线上的动点；①当1,0x y >>时，求BDF D 的面积的最大值；②当AEFDBE ??时，求点F 的坐标.一、选择题1—5 CBBDA 6—10 BBCAC 11—12 DC二、填空题⒀、1 ⒁、＜⒂、⒃、6⒄、1 ⒅、4035三、解答题19、1020、=3+221、(1)60 (2)10 (3)200022、解：设AB的高度为x米，过点E作EF⊥AC于F，则FC＝DE＝340米∴BF＝452－340＝112米∴AF＝（112+x）米在Rt△AEF中，∠FAB＝∠AEF＝45°∴EF＝AF＝CD＝（112+x）米Rt△ACD中，sinａ=，则tanａ=Rt△ACD中，AC=（452+x）米tanａ＝AC/CD=解得X＝2823、解：（1）设购买x台A型，则购买（10－x）台B型12x+15（10－x）≥140解得x≤∵x是非负整数∴x＝3，2，1，0∴B型相应的台数分别为7，8，9，10∴共有3种方案：方案一，A 3台、 B 7台方案二，A 2台、B 8台方案三，A 1台、B 9台方案四，A 0台、B 10台（2）3x+4.4（10－x）≥40解得x≤∴x=2,1∴当x=2时，2×3＋4.4×8＝41.2（万元）41.2×0.9＝37.08（万元）当x=1时 1×3＋4.4×9＝42.6（万元）42.6×0.9＝38.34（万元）∵37.08＜38.34∴购买2台A型，8台B型费用最少24、（1）易证四边形ABCD是平行四边形，得AD∥BC则∠DAC＝∠BCA，易证△AOE≌△COF（ASA）（2）四边形BEDF是菱形理由如下：先证△DOE≌△BOF∴DE＝BF∴DE∥＝BF∴四边形DEBF是平行四边形又∵EF⊥BD∴平行四边形DEBF是菱形25、（1）∵AB是直径∴∠ADB＝90°即∠DAB+∠ABD＝90°又∵ PB是⊙O的切线，∴PB⊥AB∴∠ABP＝90°，即∠ABD+∠PBD＝90°∴∠PBD＝∠DAB（2）、∵弧AC＝弧BC∴∠BDC＝∠EBC又∵∠BCE＝BCD∴△BCE∽△DCB∴BC/CE=CD/BC∴BC2＝CE×CD∴BC2＝CE(CE+DE)∴BC2＝CE2+CE×DE∴BC2- CE2= CE×DE(3)连接OC∵E是OA的中点∴AE＝OE＝2∴BE＝4+2＝6∵弧AC＝弧BC∴∠AOC＝∠BOC＝90°Rt△ACD中，OC＝4由勾股定理得CE＝2√5∵弧BD＝弧BD∴∠DAB＝∠BCD又∵∠AED＝∠BEC∴△ADE∽△BCE∴AE/CE＝DE/BE∴=∴DE＝ (1.2)26、（1）y=-x2+2x+3D(1,4)(2) ∵x＞1,y＞0∴点F是直线BD上方抛物线上的动点则F（x, -x2+2x+3）过点F作FH⊥x轴交直线BD于M∵B（3，0） D（1，4）∴y BD=-2x+6则M（x, -2x+6）∴FM=-x2+2x+3-(-2x+6)= -x2+4x-3=-(x-2)2+1∴当x=2时，S最大值＝1（3）①当 FE∥BD，且点F在x轴上方抛物线上时，设CE的解析式为y=-2x+b∵直线CE过点E（1，0）∴b=2y CE=-2x+2联立y=-2x+2与y=-x2+2x+3解得F（2－√5，－2+2√5）②当F在x轴下方、y轴左侧抛物线上时，设直线EF与直线BD交于点H ∵∠AEF=∠HEB又∵∠AEF＝∠DBE∴∠HEB＝∠DBEHE=HB∴点Ｈ的横坐标为２又∵点Ｈ在直线y BD=-2x+6上∴Ｈ（２，２）∴yＥＨ＝２x-2联立y=2x-2与y=-x2+2x+3解得Ｆ（－，－2－２）综上所述Ｆ（－，－2－２）或（2－，－2+2）。

2018年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）2018的相反数是（）A．B．2018 C．﹣2018 D．﹣2．（3分）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（）A．﹣3 B．2 C．0 D．13．（3分）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107B．2.1×106C．21×105D．2.1×1074．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a5=a10B．（3a3）2=6a6C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣65．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定6．（3分）不等式组的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（3分）如图所示立体图形的俯视图是（）A． B． C．D．8．（3分）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠39．（3分）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣210．（3分）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm11．（3分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．B．﹣C．D．﹣12．（3分）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为．14．（3分）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC 的面积分别为S1、S2、S3．则S1S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）15．（3分）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为．16．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC 于点F，DE=3cm，则BF=cm．17．（3分）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=．18．（3分）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，则a2018=．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．20．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n=；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？22．（8分）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？24．（9分）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．2018年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）2018的相反数是（）A．B．2018 C．﹣2018 D．﹣【解答】解：2018的相反数是：﹣2018．故选：C．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3分）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（）A．﹣3 B．2 C．0 D．1【解答】解：这组数据中2出现次数最多，有3次，所以众数为2，故选：B．【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据．3．（3分）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107B．2.1×106C．21×105D．2.1×107【解答】解：210万=2.1×106，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a5=a10B．（3a3）2=6a6C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣6【解答】解：A、原式=a7，不符合题意；B、原式=9a6，不符合题意；C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；D、原式=a2﹣a﹣6，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．（3分）不等式组的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：解不等式2﹣x≥x﹣2，得：x≤2，解不等式3x﹣1＞﹣4，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，所以不等式组的最小整数解为0，故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．（3分）如图所示立体图形的俯视图是（）A． B． C．D．【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．8．（3分）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3【解答】解：根据题意得：，解得：x≥2且x≠3．故选：C．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．（3分）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2【解答】解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．化简，得y=2x﹣4，故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．10．（3分）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm【解答】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，∵∠BAH=90°﹣60°=30°，∴AC=2CH=x，∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，∴AC=2x=8，即AB中水柱的长度约为8cm．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．（3分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+（7+AC）2=132，整理得，AC2+7AC﹣60=0，解得AC=5，AC=﹣12（舍去），∴BC==12，∴sinα==，cosα==，∴sinα﹣cosα=﹣=﹣，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．12．（3分）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1【解答】解：f（1）=[]﹣[]=0﹣0=0，故选项A正确；f（k+4）=[]﹣[]=[+1]﹣[+1]=[]﹣[]=f（k），故选项B正确；C、当k=3时，f（3+1）=[]﹣[]=1﹣1=0，而f（3）=1，故选项C错误；D、当k=3+4n（n为自然数）时，f（k）=1，当k为其它的正整数时，f（k）=0，所以D选项的结论正确；故选：C．【点评】本题考查解一元一次不等式组、函数值，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为1．【解答】解：∵点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，∴△POA的面积为：AO•PA=xy=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出△POA的面积是解题关键．14．（3分）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC 的面积分别为S1、S2、S3．则S1＜S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的内心，∴PD=PE=PF，∵S1=AB•PD，S2=BC•PF，S3=AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．【点评】考查了三角形的内切圆与内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心的定义得PD=PE=PF．15．（3分）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果，所以选修地理和生物的概率为，故答案为：．【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC 于点F，DE=3cm，则BF=6cm．【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，∴S△ABC∵S=AC•BF，△ABC∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．17．（3分）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=1．【解答】解：如图连接OE．∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，∴∠EAO=∠EOB，∵∠AEO=∠OEB=90°，∴△AEO∽△OEB，∴=，∴AE•BE=OE2=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．18．（3分）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，则a2018=4035．【解答】解：∵4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n=（a n+1）2，∴（a n+1∵a1，a2，a3……是一列正整数，∴a n﹣1=a n+1，+1=a n+2，∴a n+1∵a1=1，∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，…，∴a n=2n﹣1，∴a2018=4035．故答案为4035．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子a n=a n+2．+1三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．【解答】解：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°=1+9﹣+4×=1+9﹣2+2=10．【点评】本题考查实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．【解答】解：原式=•=，当x=时，原式==3+2．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n=10；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？【解答】解：（1）样本容量为18÷30%=60；（2）C等级人数为60﹣（24+18+6）=12人，n%=×100%=10%，补全图形如下：故答案为：10；（3）估计本次测试成绩为A级的人数为5000×=2000人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．【解答】解：作EH⊥AC于H，则四边形EDCH为矩形，∴EH=CD，设AC=24x，在Rt△ADC中，sinα=，∴AD=25x，由勾股定理得，CD==7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔AB的高度为28m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？【解答】解：（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，解得x≤3，∵x为正整数，∴x=1，2，3．∴该景区有三种设计方案：方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；方案三：购买A种设备3台，B种设备7台；（2）各方案购买费用分别为：方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：42.6×0.9=38.34（万元）；方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：41.2×0.9=37.08（万元）；方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；∵37.08＜38.04＜39.8，∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键．24．（9分）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF．（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AD=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵OB=OD，EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠PBD；（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴=，即DE•CE=AE•BE，如图，连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，则DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，∵=，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，则BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，∴BC2﹣CE2=DE•CE；（3）∵OA=4，∴OB=OC=OA=4，∴BC==4，又∵E是半径OA的中点，∴AE=OE=2，则CE===2，∵BC2﹣CE2=DE•CE，∴（4）2﹣（2）2=DE•2，解得：DE=．【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）．（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0），将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3），∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3，∴S=FM•（y B﹣y D）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1．△BDF∵﹣1＜0，∴当x=2时，S取最大值，最大值为1．△BDF②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示．∵EF1∥BD，∴∠AEF1=∠DBE．∵ON=ON′，EO⊥NN′，∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0），∴点E的坐标为（1，0）．设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1，将E（1，0）代入y=﹣2x+b1，﹣2+b1=0，解得：b1=2，∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2．联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，，解得：，（舍去），∴点F1的坐标为（2﹣，2﹣2）．当x=0时，y=﹣2x+2=2，∴点N的坐标为（0，2），∴点N′的坐标为（0，﹣2）．同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2．联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，，解得：，（舍去），∴点F2的坐标为（﹣，﹣2﹣2）．综上所述：当∠AEF=∠DBE时，点F的坐标为（2﹣，2﹣2）或（﹣，﹣2﹣2）．【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、三角形的面积、平行线的性质以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）①根据三角形的面积公式找出S=﹣x2+4x﹣3；△BDF②联立直线与抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点F的坐标．。

2018年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3.00分）2018的相反数是（）A．B．2018 C．﹣2018 D．﹣2．（3.00分）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（）A．﹣3 B．2 C．0 D．13．（3.00分）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107B．2.1×106C．21×105D．2.1×1074．（3.00分）下列运算正确的是（）A．a2•a5=a10B．（3a3）2=6a6C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣65．（3.00分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定6．（3.00分）不等式组的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（3.00分）如图所示立体图形的俯视图是（）A． B． C．D．8．（3.00分）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠39．（3.00分）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣210．（3.00分）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm11．（3.00分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．B．﹣C．D．﹣12．（3.00分）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为．14．（3.00分）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）15．（3.00分）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为．16．（3.00分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF ⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=cm．17．（3.00分）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=．18．（3.00分）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a﹣1）2，则a2018=．n三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6.00分）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．20．（6.00分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8.00分）为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n=；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？22．（8.00分）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC 上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E 点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9.00分）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？24．（9.00分）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10.00分）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB 于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．26．（10.00分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．2018年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3.00分）2018的相反数是（）A．B．2018 C．﹣2018 D．﹣【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：2018的相反数是：﹣2018．故选：C．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3.00分）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（）A．﹣3 B．2 C．0 D．1【分析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解．【解答】解：这组数据中2出现次数最多，有3次，所以众数为2，故选：B．【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据．3．（3.00分）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107B．2.1×106C．21×105D．2.1×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：210万=2.1×106，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3.00分）下列运算正确的是（）A．a2•a5=a10B．（3a3）2=6a6C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣6【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a7，不符合题意；B、原式=9a6，不符合题意；C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；D、原式=a2﹣a﹣6，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3.00分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．（3.00分）不等式组的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2﹣x≥x﹣2，得：x≤2，解不等式3x﹣1＞﹣4，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，所以不等式组的最小整数解为0，故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．（3.00分）如图所示立体图形的俯视图是（）A． B． C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．8．（3.00分）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥2且x≠3．故选：C．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．（3.00分）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【解答】解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．化简，得y=2x﹣4，故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．10．（3.00分）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm【分析】AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，易得AC=2CH=2x，细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，利用水的体积不变得到x•S+x•2S=6•S+6•S，然后求出x后计算出AC即可．【解答】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，∵∠BAH=90°﹣60°=30°，∴AC=2CH=2x，∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，∴AC=2x=8，即AB中水柱的长度约为8cm．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．（3.00分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+（7+AC）2=132，整理得，AC2+7AC﹣60=0，解得AC=5，AC=﹣12（舍去），∴BC==12，∴sinα==，cosα==，∴sinα﹣cosα=﹣=﹣，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．12．（3.00分）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：f（1）=[]﹣[]=0﹣0=0，故选项A正确；f（k+4）=[]﹣[]=[+1]﹣[+1]=[]﹣[]=f（k），故选项B正确；C、当k=3时，f（3+1）=[]﹣[]=1﹣1=0，而f（3）=1，故选项C错误；D、当k=3+4n（n为自然数）时，f（k）=1，当k为其它的正整数时，f（k）=0，所以D选项的结论正确；故选：C．【点评】本题考查解一元一次不等式组、函数值，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为1．【分析】直接利用反比例函数的性质结合系数k的几何意义得出答案．【解答】解：∵点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，∴△POA的面积为：AO•PA=xy=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出△POA的面积是解题关键．14．（3.00分）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1＜S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）【分析】过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，根据内心的定义可得PD=PE=PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解．【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的内心，∴PD=PE=PF，∵S1=AB•PD，S2=BC•PF，S3=AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．【点评】考查了三角形的内切圆与内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心的定义得PD=PE=PF．15．（3.00分）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为．【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出选修地理和生物的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果，所以选修地理和生物的概率为，故答案为：．【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（3.00分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF ⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=6cm．【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S=2S△ABD=2×△ABCA B•DE=AB•DE=3AB，又S△ABC=AC•BF，将AC=AB代入即可求出BF．【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，△ABC=AC•BF，∵S△ABC∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．17．（3.00分）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=1．【分析】想办法证明△AEO∽△OEB，可得=，推出AE•BE=OE2=1．【解答】解：如图连接OE．∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，∴∠EAO=∠EOB，∵∠AEO=∠OEB=90°，∴△AEO∽△OEB，∴=，∴AE•BE=OE2=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．18．（3.00分）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a﹣1）2，则a2018=4035．n【分析】由4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，可得（a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n=（a n+1）2，根据a，a2，a3……是一列正整数，得出a n+1=a n+2，根据a1=1，分别求出1a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律a n=2n﹣1，即可求出a2018=4035．【解答】解：∵4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，∴（a n﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n=（a n+1）2，+1∵a1，a2，a3……是一列正整数，﹣1=a n+1，∴a n+1=a n+2，∴a n+1∵a1=1，∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，…，∴a n=2n﹣1，∴a2018=4035．故答案为4035．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的=a n+2．规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子a n+1三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6.00分）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答本题．【解答】解：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°=1+9﹣+4×=1+9﹣2+2=10．【点评】本题考查实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．（6.00分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=，当x=时，原式==3+2．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8.00分）为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n=10；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？【分析】（1）用B等级人数除以其所占百分比可得；（2）总人数减去A、B、D人数求得C的人数即可补全条形图，用D等级人数除以总人数可得n的值；（3）总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得．【解答】解：（1）样本容量为18÷30%=60；（2）C等级人数为60﹣（24+18+6）=12人，n%=×100%=10%，补全图形如下：故答案为：10；（3）估计本次测试成绩为A级的人数为5000×=2000人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8.00分）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC 上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E 点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．【分析】作EH⊥AC于H，设AC=24x，根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出CD，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可．【解答】解：作EH⊥AC于H，则四边形EDCH为矩形，∴EH=CD，设AC=24x，在Rt△ADC中，sinα=，∴AD=25x，由勾股定理得，CD==7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔AB的高度为28m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9.00分）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？【分析】（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据x为正整数，得出x=1，2，3．进而求解即可；（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．【解答】解：（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，解得x≤3，∵x为正整数，∴x=1，2，3．∴该景区有三种设计方案：方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；方案三：购买A种设备3台，B种设备7台；（2）各方案购买费用分别为：方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：42.6×0.9=38.34（万元）；方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：41.2×0.9=37.08（万元）；方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；∵37.08＜38.04＜39.8，∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键．24．（9.00分）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．【分析】（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；（2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF．（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AD=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵OB=OD，EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10.00分）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB 于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD=90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD=90°，据此可得答案；（2）连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，证△ADE∽△CBE得DE•CE=AE•BE=r2﹣OE2，由=知∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理知CE2=OE2+r2、BC2=2r2，据此得BC2﹣CE2=r2﹣OE2，从而得证；（3）先求出BC=4、CE=2，根据BC2﹣CE2=CE•DE计算可得．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠PBD；（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴=，即DE•CE=AE•BE，如图，连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，则DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，∵=，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，则BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，∴BC2﹣CE2=DE•CE；（3）∵OA=4，∴OB=OC=OA=4，∴BC==4，又∵E是半径OA的中点，∴AE=OE=2，则CE===2，∵BC2﹣CE2=DE•CE，∴（4）2﹣（2）2=DE•2，解得：DE=．【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．26．（10.00分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形=﹣x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；的面积公式可得出S△BDF②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，则∠AEF1=∠DBE、∠AEF2=∠DBE，根据EN ∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）．（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0），将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3），∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3，=FM•（y B﹣y D）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1．∴S△BDF∵﹣1＜0，取最大值，最大值为1．∴当x=2时，S△BDF②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示．∵EF1∥BD，∴∠AEF1=∠DBE．∵ON=ON′，EO⊥NN′，∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0），∴点E的坐标为（1，0）．设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1，将E（1，0）代入y=﹣2x+b1，﹣2+b1=0，解得：b1=2，∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2．联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，，解得：，（舍去），∴点F1的坐标为（2﹣，2﹣2）．当x=0时，y=﹣2x+2=2，∴点N的坐标为（0，2），∴点N′的坐标为（0，﹣2）．同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2．联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，，解得：，（舍去），∴点F2的坐标为（﹣，﹣2﹣2）．综上所述：当∠AEF=∠DBE时，点F的坐标为（2﹣，2﹣2）或（﹣，﹣2﹣2）．【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、三角形的面积、平行线的性质以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）①根据三角形的面积公式找出S=﹣x2+4x﹣3；△BDF②联立直线与抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点F的坐标．。

2018年省市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2018•）2018的相反数是（）A．B．2018 C．﹣2018 D．﹣2．（3分）（2018•）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（）A．﹣3 B．2 C．0 D．13．（3分）（2018•）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107B．2.1×106C．21×105D．2.1×1074．（3分）（2018•）下列运算正确的是（）A．a2•a5=a10B．（3a3）2=6a6C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣65．（3分）（2018•）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定6．（3分）（2018•）不等式组的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（3分）（2018•）如图所示立体图形的俯视图是（）A． B． C．D．8．（3分）（2018•）函数y=中自变量x的取值围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠39．（3分）（2018•）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣210．（3分）（2018•）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm11．（3分）（2018•）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．B．﹣C．D．﹣12．（3分）（2018•）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2018•）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为．14．（3分）（2018•）如图，P是△ABC的心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）15．（3分）（2018•）从2018年高中一年级学生开始，省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为．16．（3分）（2018•）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=cm．17．（3分）（2018•）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=．18．（3分）（2018•）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，则a2018=．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2018•）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．20．（6分）（2018•）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2018•）为了取得贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n=；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？22．（8分）（2018•）如图，九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2018•）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？24．（9分）（2018•）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2018•）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD 交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．26．（10分）（2018•）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．2018年省市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2018•）2018的相反数是（）A．B．2018 C．﹣2018 D．﹣[考点]14：相反数．[专题]11 ：计算题．[分析]直接利用相反数的定义分析得出答案．[解答]解：2018的相反数是：﹣2018．故选：C．[点评]此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3分）（2018•）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（）A．﹣3 B．2 C．0 D．1[考点]W5：众数．[专题]1 ：常规题型；542：统计的应用．[分析]众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解．[解答]解：这组数据中2出现次数最多，有3次，所以众数为2，故选：B．[点评]本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据．3．（3分）（2018•）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107B．2.1×106C．21×105D．2.1×107[考点]1I：科学记数法—表示较大的数．[专题]511：实数．[分析]科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．[解答]解：210万=2.1×106，故选：B．[点评]此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以与n的值．4．（3分）（2018•）下列运算正确的是（）A．a2•a5=a10B．（3a3）2=6a6C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣6[考点]4I：整式的混合运算．[专题]11 ：计算题；512：整式．[分析]各式计算得到结果，即可作出判断．[解答]解：A、原式=a7，不符合题意；B、原式=9a6，不符合题意；C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；D、原式=a2﹣a﹣6，符合题意，故选：D．[点评]此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3分）（2018•）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定[考点]AA：根的判别式．[专题]11 ：计算题．[分析]先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．[解答]解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．[点评]本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．（3分）（2018•）不等式组的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2[考点]CC：一元一次不等式组的整数解．[专题]11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)与应用．[分析]分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．[解答]解：解不等式2﹣x≥x﹣2，得：x≤2，解不等式3x﹣1＞﹣4，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，所以不等式组的最小整数解为0，故选：B．[点评]本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．（3分）（2018•）如图所示立体图形的俯视图是（）A． B． C．D．[考点]U2：简单组合体的三视图．[专题]1 ：常规题型．[分析]找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．[解答]解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，故选：B．[点评]本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．8．（3分）（2018•）函数y=中自变量x的取值围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3[考点]E4：函数自变量的取值围．[分析]根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的围．[解答]解：根据题意得：，解得：x≥2且x≠3．故选：C．[点评]函数自变量的围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．（3分）（2018•）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2[考点]F9：一次函数图象与几何变换．[专题]46 ：几何变换．[分析]根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．[解答]解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．化简，得y=2x﹣4，故选：A．[点评]本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．10．（3分）（2018•）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm[考点]R2：旋转的性质．[专题]11 ：计算题．[分析]AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，易得AC=2CH=x，细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，利用水的体积不变得到x•S+x•2S=6•S+6•S，然后求出x后计算出AC即可．[解答]解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，∵∠BAH=90°﹣60°=30°，∴AC=2CH=x，∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，∴AC=2x=8，即AB中水柱的长度约为8cm．故选：C．[点评]本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．（3分）（2018•）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．B．﹣C．D．﹣[考点]KR：勾股定理的证明；T7：解直角三角形．[专题]1 ：常规题型．[分析]分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．[解答]解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+（7+AC）2=132，整理得，AC2+7AC﹣60=0，解得AC=5，AC=﹣12（舍去），∴BC==12，∴sinα==，cosα==，∴sinα﹣cosα=﹣=﹣，故选：D．[点评]本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．12．（3分）（2018•）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1 [考点]CB：解一元一次不等式组；E5：函数值．[专题]11 ：计算题．[分析]根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．[解答]解：f（1）=[]﹣[]=0﹣0=0，故选项A正确；f（k+4）=[]﹣[]=[+1]﹣[+1]=[]﹣[]=f（k），故选项B 正确；C、当k=3时，f（3+1）=[]﹣[]=1﹣1=0，而f（3）=1，故选项C错误；D、当k=3+4n（n为自然数）时，f（k）=1，当k为其它的正整数时，f（k）=0，所以D选项的结论正确；故选：C．[点评]本题考查解一元一次不等式组、函数值，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2018•）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为1．[考点]G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．[专题]1 ：常规题型．[分析]直接利用反比例函数的性质结合系数k的几何意义得出答案．[解答]解：∵点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，∴△POA的面积为：AO•PA=xy=1．故答案为：1．[点评]此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出△POA的面积是解题关键．14．（3分）（2018•）如图，P是△ABC的心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1＜S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）[考点]MI：三角形的切圆与心；K6：三角形三边关系；KF：角平分线的性质．[专题]552：三角形；559：圆的有关概念与性质．[分析]过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，根据心的定义可得PD=PE=PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解．[解答]解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的心，∴PD=PE=PF，∵S1=AB•PD，S2=BC•PF，S3=AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．[点评]考查了三角形的切圆与心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由心的定义得PD=PE=PF．15．（3分）（2018•）从2018年高中一年级学生开始，省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为．[考点]X6：列表法与树状图法．[专题]1 ：常规题型；543：概率与其应用．[分析]先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出选修地理和生物的结果数，然后根据概率公式求解．[解答]解：画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果，所以选修地理和生物的概率为，故答案为：．[点评]此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（3分）（2018•）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=6cm．[考点]KH：等腰三角形的性质；K3：三角形的面积．[专题]1 ：常规题型．[分析]先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，又S△ABC=AC•BF，将AC=AB代入即可求出BF．[解答]解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC =2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，∵S△ABC=AC•BF，∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．[点评]本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．17．（3分）（2018•）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=1．[考点]S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MC：切线的性质．[专题]559：圆的有关概念与性质．[分析]想办法证明△AEO∽△OEB，可得=，推出AE•BE=OE2=1．[解答]解：如图连接OE．∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，∴∠EAO=∠EOB，∵∠AEO=∠OEB=90°，∴△AEO∽△OEB，∴=，∴AE•BE=OE2=1，故答案为1．[点评]本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．18．（3分）（2018•）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，则a2018=4035．[考点]37：规律型：数字的变化类．[专题]1 ：常规题型．[分析]由4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，可得（a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n=（a n+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出a n=a n+2，根据a1=1，分别求出+1a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律a n=2n﹣1，即可求出a2018=4035．[解答]解：∵4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，∴（a n﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n=（a n+1）2，+1∵a1，a2，a3……是一列正整数，﹣1=a n+1，∴a n+1=a n+2，∴a n+1∵a1=1，∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，…，∴a n=2n﹣1，∴a2018=4035．故答案为4035．[点评]本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规=a n+2．律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子a n+1三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2018•）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．[考点]2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．[专题]11 ：计算题．[分析]根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答本题．[解答]解：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°=1+9﹣+4×=1+9﹣2+2=10．[点评]本题考查实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．（6分）（2018•）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．[考点]6D：分式的化简求值．[专题]11 ：计算题；513：分式．[分析]原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．[解答]解：原式=•=，当x=时，原式==3+2．[点评]此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2018•）为了取得贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n=10；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？[考点]VC：条形统计图；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．[专题]1 ：常规题型；542：统计的应用．[分析]（1）用B等级人数除以其所占百分比可得；（2）总人数减去A、B、D人数求得C的人数即可补全条形图，用D等级人数除以总人数可得n的值；（3）总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得．[解答]解：（1）样本容量为18÷30%=60；（2）C等级人数为60﹣（24+18+6）=12人，n%=×100%=10%，补全图形如下：故答案为：10；（3）估计本次测试成绩为A级的人数为5000×=2000人．[点评]本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）（2018•）如图，九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．[考点]TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．[专题]11 ：计算题．[分析]作EH⊥AC于H，设AC=24x，根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出CD，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可．[解答]解：作EH⊥AC于H，则四边形EDCH为矩形，∴EH=CD，设AC=24x，在Rt△ADC中，sinα=，∴AD=25x，由勾股定理得，CD==7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔AB的高度为28m．[点评]本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2018•）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？[考点]FH：一次函数的应用；CE：一元一次不等式组的应用．[专题]1 ：常规题型．[分析]（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据x为正整数，得出x=1，2，3．进而求解即可；（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．[解答]解：（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，解得x≤3，∵x为正整数，∴x=1，2，3．∴该景区有三种设计方案：方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；方案三：购买A种设备3台，B种设备7台；（2）各方案购买费用分别为：方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：42.6×0.9=38.34（万元）；方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：41.2×0.9=37.08（万元）；方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；∵37.08＜38.04＜39.8，∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．[点评]本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键．24．（9分）（2018•）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．[考点]KD：全等三角形的判定与性质．[专题]555：多边形与平行四边形．[分析]（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；（2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；[解答]（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF．（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AD=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵OB=OD，EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．[点评]本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2018•）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD 交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．[考点]MR：圆的综合题．[专题]15 ：综合题；559：圆的有关概念与性质；55A：与圆有关的位置关系；55D：图形的相似．[分析]（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD=90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD=90°，据此可得答案；（2）连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，证△ADE∽△CBE得DE•CE=AE•BE=r2﹣OE2，由=知∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理知CE2=OE2+r2、BC2=2r2，据此得BC2﹣CE2=r2﹣OE2，从而得证；（3）先求出BC=4、CE=2，根据BC2﹣CE2=CE•DE计算可得．[解答]解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠PBD；（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴=，即DE•CE=AE•BE，如图，连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，则DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，∵=，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，则BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，∴BC2﹣CE2=DE•CE；（3）∵OA=4，∴OB=OC=OA=4，∴BC==4，又∵E是半径OA的中点，∴AE=OE=2，则CE===2，∵BC2﹣CE2=DE•CE，∴（4）2﹣（2）2=DE•2，解得：DE=．[点评]本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．26．（10分）（2018•）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．[考点]HF：二次函数综合题．[专题]537：函数的综合应用．[分析]（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形=﹣x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；的面积公式可得出S△BDF②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，则∠AEF1=∠DBE、∠AEF2=∠DBE，根据EN ∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．[解答]解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）．（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0），将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3），∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3，=FM•（y B﹣y D）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1．∴S△BDF∵﹣1＜0，取最大值，最大值为1．∴当x=2时，S△BDF②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示．∵EF1∥BD，∴∠AEF1=∠DBE．∵ON=ON′，EO⊥NN′，∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0），∴点E的坐标为（1，0）．设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1，将E（1，0）代入y=﹣2x+b1，﹣2+b1=0，解得：b1=2，∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2．联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，，解得：，（舍去），∴点F1的坐标为（2﹣，2﹣2）．当x=0时，y=﹣2x+2=2，∴点N的坐标为（0，2），∴点N′的坐标为（0，﹣2）．同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2．联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，，解得：，（舍去），∴点F2的坐标为（﹣，﹣2﹣2）．综上所述：当∠AEF=∠DBE时，点F的坐标为（2﹣，2﹣2）或（﹣，﹣2﹣2）．。

娄底市2018年初中毕业学业考试试题卷 数 学一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2018湖南娄底中考，1，3分，★☆☆） 2018的相反数是 （ ）A ．12018B ．2018C ．﹣2018D ．﹣120182. （2018湖南娄底中考，2，3分，★☆☆）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是 （ ）A ．﹣3B ．2C ． 0D ．13. （2018湖南娄底中考，3，3分，★☆☆）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万．请将“210万”用科学记数法表示为（ ）A ．0.21×107B ．2.1×106C ．21×105D ． 2.1×1074. （2018湖南娄底中考，4，3分，★☆☆）下列计算正确的是（ ）A ．a 2•b 5＝a 10B ．(3a 3)2＝6a 6C ．（a ＋b ）2＝a 2＋b 2D ．（a ＋2）(a ﹣3)＝ a 2﹣a ﹣65. （2018湖南娄底中考，5，3分，★☆☆） 关于x 的一元二次方程x 2﹣(k ＋3)x ＋k ＝0的根的情况是 （ ）A ．有两不相等实数根B ．有两相等实数根C ．无实数根D ．不能确定6. （2018湖南娄底中考，6，3分，★☆☆）不等式组⎩⎨⎧->--≥-41322x x x 的最小整数解是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 7. （2018湖南娄底中考，7，3分，★☆☆）图（1）所示立体图形的俯视图是（ ）图（1） A B C D8. （2018湖南娄底中考，8，3分，★☆☆）函数32--=x x y 中自变量x 的取值范围是（ ）A ．x >2B ．x ≥2C ．x ≥2且x ≠3D ．x ≠39. （2018湖南娄底中考，9，3分，★★☆）将直线y ＝2x ﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的直线的表达式为（ ）A ．y ＝2x ﹣4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝2x ＋2D ．y ＝2x ﹣210. （2018湖南娄底中考，10，3分，★★☆）如图（2），往竖直放置的在A 处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U ”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm ，现将右边细管绕A 处顺时针方向旋转60°到AB 位置,则AB 中水柱的长度约为( )A ．4cmB ．63cmC ．8cmD ．12cm图（2）11. （2018湖南娄底中考，11，3分，★★☆）如图（3），由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，则sinα﹣cosα＝（ ）A ．513B ．﹣513C ．713D ．﹣713图（3）12. （2018湖南娄底中考，12，3分，★★☆）已知：[x ]表示不超过x 的最大整数．例[3.9]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．令关于k 的函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=441)(k k k f (k 是正整数)．例：143413)3(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=f ．则下列结论错误的是（ ） A ．0)1(=f B ．)()4(k f k f =+ C ．)()4(k f k f ≥+ D ．0)(=k f 或1二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13. （2018湖南娄底中考，13，3分，★☆☆）如图（4），在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点P 是反比例函数y ＝2x图像上的一点，PA ⊥x 轴于点A ，则△POA 的面积为 ．图（4）14. （2018湖南娄底中考，14，3分，★★☆）如图（5），P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，则△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1 S2＋S3．（填“<”或“＝”或“>”）图（5）15. （2018湖南娄底中考，15，3分，★★☆）从2018年高一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试，学生A已选物理，还想从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科，若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率是．16. （2018湖南娄底中考，16，3分，★★☆）如图（6），△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝cm．图（6）17. （2018湖南娄底中考，17，3分，★★☆）如图（7），已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC＝1，则AE•BE＝．图（7） 18. （2018湖南娄底中考，18，3分，★★☆）设a 1，a 2，a 3，……是一列正整数，其中a 1表示第一个数，a 2表示第二个数，依次类推，a n 表示第n 个数（n 是正整数）.已知a 1＝1，4a n ＝（a n ＋1﹣1）2﹣（a n ﹣1）2.则a 2018＝ ．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19. （2018湖南娄底中考，19，6分，★☆☆）计算：︒+--+--30cos 412）31（）14.3（20π ． 20. （2018湖南娄底中考，20，6分，★★☆）先化简，再求值：1x 2)111x 1（22++÷-++x x x ，其中x ＝2． 四、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分．）21. （2018湖南娄底中考，21，8分，★★☆） 为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A 、B 、C 、D 四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图（8）所示，请根据图中的信息，解答下列问题：图（8）(1)求样本容量；(2)补全条形图，并填空:n ；(3)若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A 级的人数为多少?22. （2018湖南娄底中考，22，8分，★★☆）如图（9），长沙九龙仓国际金融中心主楼BC 高达452m ，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE 高340m ，为了测量高楼BC 上发射塔AB 的高度，在楼DE 底端D 点测得A 的仰角为α，sinα＝2425，在顶端E 点测得A 的仰角为45°，求发射塔AB 的高度.图（9）五、解答题：（本大题共2小题，每小题9分，共18分．）23. （2018湖南娄底中考，23，9分，★★☆） “绿水青山，就是金山银山”，某旅游景区为了保护环境，需购买A 、B 两种型号的垃圾处理设备共10台，已知每台A 型设备日处理能力为12吨；每台B 型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨.(1)请你为该景区设计购买A 、B 两种设备的方案；(2)已知每台A 型设备价格为3万元，每台B 型设备价格为4.4万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么?24. （2018湖南娄底中考，24，9分，★★☆）如图（10），已知四边形ABCD 中，对角线AC 、BC 相交于点O ，且OA ＝OC ，OB ＝OD ，过O 点作EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 、F .(1)求证： △AOE ≌△COF ；(2)判断四边形BEDF 的形状，并说明理由.[图（10）六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25. （2018湖南娄底中考，25，10分，★★★）如图（11），C、D是以AB为直径的⊙O上的点，AC＝BC，弦CD交AB于点E.（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；（2）求证：BC2－CE2＝CE•DE；（3）已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．图（11）26. （2018湖南娄底中考，26，10分，★★★）如图（12），抛物线y＝ax2＋bx＋c与两坐标轴相交于点A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3），点D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x>1，y>0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF＝∠DBE时，求点F的坐标．图（12）娄底市2018年初中毕业学业考试数学试题卷答案全解全析1.答案：C.解析：根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，2018的相反数是﹣2018．故选C.考查内容：相反数.命题意图：本题考查相反数的定义，难度较小.2.答案：B.解析：众数指一组数据中出现次数最多的数据，2出现的次数最多，所以众数是2．故选B. 考查内容：众数.命题意图：本题考查众数数的定义，难度较小.3.答案：B.解析：210万=2100000=2.1×106.故选B.考查内容：科学记数法.命题意图：本题考查用科学记数法表示较大的数的能力，难度较小.4.答案：D.解析：根据“同底数幂相乘，底数不变指数相加”，得a2•b5＝a7，A错误；根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”和“积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，得(3a3)2＝9a6，B错误；根据完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，C错误；根据多项式乘以多项式法则计算，D正确．故选D.考查内容：同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方；乘法公式；多项式的乘法.命题意图：本题考查幂的性质与整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．难度较小5.答案：A.解析：∵△=（k+3）2﹣4k=k2+6k+9﹣4k = k2+2k+9=（k+1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选A．考查内容：一元二次方程根的判别式.命题意图：本题考查利用根的判别式定理，判断一元二次方程根的情况的能力，难度较小.6.答案：B.解析：解不等式2﹣x≥x﹣2，得x≤2；解不等式3x﹣1＞﹣4，得x＞﹣1；则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，所以不等式组的最小整数解为0，故选B．考查内容：一元一次不等式组的整数解.命题意图：本题考查求一元一次不等式组的整数解的方法与步骤，难度较小.知识总结：根据快速确定不等式组解集的口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了．7.答案：B.解析：根据俯视图的定义，从上边看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，观察前后位置知B选项正确．故选B.考查内容：简单组合体的三视图．命题意图：本题考查识别几何体的俯视图的能力，难度较小.8.答案：C.解析：根据二次根式的性质“被开方数大于或等于0”有x≥2 ，“分式的分母不等于0”有x≠3，同时成立，所以x的范围是x≥2且x≠3．故选C.考查内容：函数自变量的取值范围.命题意图：本题考查根据解析式确定函数自变量的取值范围的能力，难度较小.9.答案：A.解析：根据解析式平移规律“左加右减，上加下减”，直线y＝2x﹣3向右平移2个单位，得到y＝2（x﹣2）﹣3，再向上平移3个单位，得到y＝2（x﹣2）﹣3+3，即y＝2x﹣4，故选A.考查内容：一次函数图象与几何变换．命题意图：本题考查解析式的平移规律的应用，难度中等.一题多解：点A（1，﹣1）在直线y＝2x﹣3上，点A（1，﹣1）向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点A´（3，2），设过点A´且平行于直线y＝2x﹣3的直线为y=2x+b，把点A´（3，2）代入，得2=2×3+b，解得b=﹣4，所以要求的直线的表达式为y＝2x﹣4，故选A.10.答案：C.解析：如图，AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S．∵∠BAH=90°﹣60°=30°，∴AC=2CH=2x.∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S．∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，∴AC=2x=8，即AB中水柱的长度约为8cm ，故选C ．考查内容：旋转的性质．命题意图：本题考查利用旋转的性质解决实际问题的能力，难度中等.11.答案：D.解析：如图，∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC 2＋（7＋AC ）2＝132，整理得AC 2＋7AC ﹣60＝0，解得AC ＝5，AC ＝﹣12（舍去），∴BC ＝7＋AC =12,∴sinα=AC AB =513，cosα=BC AB =1213，∴sinα﹣cosα＝513﹣1213＝﹣713．故选D.考查内容：勾股定理；锐角三角函数.命题意图：本题考查在直角三角形中，根据勾股定理，求锐角三角函数值的能力，难度中等.12.答案：C.解析：00041411)1(=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=f ，选项A 正确； (4)f k +=414k ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦﹣44k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1(1)4k +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦﹣(1)4k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=14k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦﹣4k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=()f k ，选项B 正确，选项C 不正确． 当k=3+4n （n 为自然数）时，f （k ）=1，当k 为其它的正整数时，f （k ）=0，所以选项D 的结论正确；故选C ．考查内容：解一元一次不等式组；函数值．命题意图：本题考查正确理解题意，以及合理推演的思维能力，难度中等.13.答案：1.解析：设出点P 的坐标，△POA 的面积等于点P 的横、纵坐标的积的一半，设点P 的坐标为（x ，y ）．∵P （x ，y ）在反比例函数y ＝2x的图象上，∴xy ＝2，∴△OPA 的面积S △POA ＝12xy ＝1． 考查内容：反比例函数系数k 的几何意义.命题意图：本题考查已知反比例函数系数k 值，求三角形面积的能力，难度较小.14.答案：<.解析：如图，过点P 作PD ⊥AB 于D ，作PE ⊥AC 于E ，作PF ⊥BC 于F ，∵P 是△ABC 的内心，∴PD=PE=PF=h ，∵S 1=12AB•PD=12AB•h ，S 2=12BC•PF=12BC•h ，S 3=12AC•PE=12AC•h ，S 2+ S 3=12BC•h +12AC•h=12（BC+ AC ）•h ，∵AB ＜BC+AC ，∴S 1＜S 2+S 3．考查内容：三角形面积之间的大小关系.命题意图：本题考查利用三角形的内心求作合适的辅助线，结合三角形面积公式与三角形三边之间的关系进行求解的能力，难度中等.15.答案：16解析：列表思想政治 历史 地理 化学思想政治、化学 历史、化学 地理、化学 生物 思想政治、生物 历史、生物 地理、生物共有6种等可能的结果数，其中选修地理和生物的的结果数为1，因此选修地理和生物的概率是16． 考查内容：列举法求概率.命题意图：本题考查学生利用列表法或树状图法求概率的能力，难度中等.一题多解：本题也可以这样解：画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果， 所以选修地理和生物的概率为16. 16.答案：6.解析：过D 作DG ⊥AC 于G ，∵BF ⊥AC ，∴DG ∥BF .∵ AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ，D 是BC 边中点，∴DG 是△BFC 的中位线.又∵DE ⊥AB ，∴DG ＝DE ＝3cm ，∴BF ＝2DG ＝6 cm .GF EDCBA考查内容：等腰三角形的性质；平行线的判定；中位线.命题意图：本题考查利用等腰三角形的性质和中位线定理计算的能力，难度中等.一题多解：本题也可以这样解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt △ADB 与Rt △ADC 中，∵，∴Rt △ADB ≌Rt △ADC （HL ），∴S △ABC =2S △ABD =2×12AB•DE= 3AB.又∵S △ABC =12AC•BF ，∴12AC•BF=3AB.∵AC=AB ，∴12BF=3，∴BF=6． 17.答案：1.解析：如图，连接OE ．∵半圆O 与四边形ABCD 的边AD 、AB 、BC 都相切，切点分别为D 、E 、C ，∴OE ⊥AB ，AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，∠OAD=∠OAE=12∠DAB ，∠OBC=∠OBE=12∠ABC ，∴AD ∥BC ，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠OAB+∠OBA=12∠DAB +12∠ABC =12（∠DAB+∠ABC ）=90°，∴∠AOB=180°﹣（∠OAB+∠OBA ）=90°.∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，∴∠OAE=∠BOE.∵∠AEO=∠OEB=90°，∴△AEO ∽△OEB ，∴AEOE=OEBE，∴AE•BE=OE 2=1.考查内容：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质.命题意图：本题考查利用切线的性质和相似三角形的判定与性质求成比例线段的长，难度中等.18.答案：4035.解析：当n ＝1时，根据4a n ＝（a n ＋1﹣1）2﹣（a n ﹣1）2有4a 1＝（a 2﹣1）2﹣（a 1﹣1）2.即4＝（a 2﹣1）2， a 2＝3；当n ＝2时，根据4a n ＝（a n ＋－1﹣1）2﹣（a n ﹣1）2有4 a 2＝（a 3﹣1）2﹣（a 2﹣1）2，12＝（a 3﹣1）2﹣4，a 3＝5；以此类推，a 4＝7，……，a 2018＝4035 考查内容：规律型：数字的变化类．命题意图：本题考查学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力，难度中等.一题多解：本题也可以这样解：∵4a n =（a n +1﹣1）2﹣（a n ﹣1）2，∴（a n +1﹣1）2=（a n ﹣1）2+4a n =（a n +1）2，∵a 1，a 2，a 3……是一列正整数，∴a n +1﹣1=a n +1，∴a n +1=a n +2，∵a 1=1，∴a 2=3，a 3=5，a 4=7，a 5=9，…，∴a n =2n ﹣1，∴a 2018=2×2018﹣1=4035． 19.解析：原式＝1+9﹣33=1+9﹣33=10． 考查内容：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值.命题意图：本题考查实数的运算，解答的关键是明确它们各自的计算方法，难度较小．20.解析：原式＝（1(1)(1)x x x -+-+ 1(1)(1)x x +-）×2(1)x x +=11)1()1(）1x （2-+=+⋅-+x x x x x x， 当x ＝2时，原式＝223)12(）12（）12（12122+=+-+=-+.考查内容：分式的化简求值.命题意图：本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键，难度中等．21.解析：（1）样本容量为18÷30%＝60；（2）C 等级人数为60﹣（24＋18＋6）＝12人，n %＝660×100%＝10%，n=10. 补全图形如下：（3）估计本次测试成绩为A 级的人数为500×144360 ＝200人．考查内容：条形统计图；扇形统计图；样本估计总体.命题意图：本题考查从条形统计图和扇形统计图获取必要信息的能力，难度中等. 22.解析：作EH ⊥AC 于H ，易证四边形EDCH 为矩形，∴EH ＝CD ，CH ＝DE ＝340 m.设AC ＝24x ，在Rt △ADC 中，sinα＝2425= ACAD ，∴AD ＝25x ，由勾股定理得，CD ＝AD 2-AC 2＝7x ，∴EH ＝7x ，在Rt △AEH 中，∵∠AEH ＝45°，∴AH ＝EH ＝7x ，由题意得，24x ＝7x ＋340，解得x ＝20，则AC ＝24x ＝480，∴AB ＝AC ﹣BC ＝480﹣452＝28. 答：发射塔AB 的高度为28m ．考查内容：解直角三角形的应用—仰角俯角问题．命题意图：本题考查利用锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念解决实际问题的能力，难度中等偏上.23.解析：（1）设购买A 种设备x 台，则购买B 种设备（10﹣x ）台，根据题意，得12x ＋15（10﹣x ）≥140，解得x ≤313．∵x 为正整数，∴x ＝1，2，3．∴该景区有四种设计方案：方案一：购买A 种设备1台，B 种设备9台； 方案二：购买A 种设备2台，B 种设备8台； 方案三：购买A 种设备3台，B 种设备7台； （2）各方案购买费用分别为：方案一：3×1＋4.4×9＝42.6＞40，实际付款42.6×0.9＝38.34（万元）； 方案二：3×2＋4.4×8＝41.2＞40，实际付款41.2×0.9＝37.08（万元）； 方案三：3×3＋4.4×7＝39.8＜40，实际付款39.8（万元）.∵37.08＜38.34＜39.8，∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少． 考查内容：一元一次不等式的应用.命题意图：本题考查列一元一次不等式解方案设计问题的能力，难度中等. 24.解析：（1）证明：∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO .在△AOE 和△COF 中，∵EAO FCO OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，，∴△AOE ≌△COF （ASA ）．（2）结论：四边形BEDF 是菱形，∵△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF .∵AD ＝BC ，∴AD ﹣AE ＝BC ﹣CF ，即DE ＝BF .∵DE ∥BF ，∴四边形BEDF 是平行四边形．∵OB ＝OD ，EF ⊥BD ，∴EB ＝ED ，∴□BEDF 是菱形．考查内容：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定；菱形的判定．命题意图：本题考查灵活运用所学四边形和全等三角形知识解决问题的能力，难度中等． 25.解析：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠DAB ＋∠ABD ＝90°，∵PB 是⊙O 的切线，∴PB ⊥AB ，∴∠ABP ＝90°，即∠PBD ＋∠ABD ＝90°，∴∠PBD ＝∠DAB ； （2）∵∠A ＝∠C ，∠AED ＝∠CEB ，∴△ADE ∽△CBE ，∴DE BE ＝AE CE ，即DE •CE ＝AE •BE ．如图，连接OC ，设圆的半径为r ，则OA ＝OB ＝OC ＝r ，则DE •CE ＝AE •BE ＝（OA ﹣OE ）（OB ＋OE ）＝r 2﹣OE 2．∵AC ＝BC ，∴∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∴CE 2＝OE 2＋OC 2＝OE 2＋r 2，BC 2＝BO 2＋CO 2＝2r 2，则BC 2﹣CE 2＝2r 2﹣（OE 2＋r 2）＝r 2﹣OE 2，∴BC 2﹣CE 2＝DE •CE ； （3）∵OA ＝4，∴OB ＝OC ＝OA ＝4，∴BC ＝OB 2+OC 2＝42．又∵E 是半径OA 的中点， ∴AE ＝OE ＝2，∴CE ＝OC 2+OE 2＝25.∵BC 2﹣CE 2＝DE •CE ，∴（42）2﹣（25）2＝DE •25，解得DE ＝655．考查内容：切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；勾股定理.命题意图：本题是圆的综合题，考查利用圆的性质和三角形的性质综合解决问题的能力，难度较大．26.解析：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2＋bx＋c，得9303a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，，，解得123abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3．∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4，∴顶点D的坐标为（1，4）．（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．设直线BD的解析式为y＝mx＋n（m≠0），将（3，0）、（1，4）代入y＝mx＋n，得304m nm n+=⎧⎨+=⎩，，解得26.mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BD的解析式为y＝﹣2x＋6．设点F的坐标为（x，﹣x2＋2x＋3），则点M的坐标为（x，﹣2x＋6），∴F M＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣2x＋6）＝﹣x2＋4x﹣3，∴S△BDF＝12F M•（x B﹣x D）＝﹣x2＋4x﹣3＝﹣（x﹣2）2＋1．∵﹣1＜0，∴当x＝2时，S△BDF取最大值，最大值为1．②过点E作EG∥BD交y轴于点G，交抛物线于点F，在y轴负半轴取OG′＝OG，连接EG′，射线EG′交抛物线于点F′，如图2所示．∵EG∥BD，∴∠AEF＝∠DBE．∵OG＝OG′，EO⊥GG′，∴∠AE G′＝∠AEF＝∠DBE．∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0），∴点E的坐标为（1，0）．设直线EF 的解析式为y ＝﹣2x ＋b ，将E （1，0）代入y ＝﹣2x ＋b ，得﹣2＋b ＝0，解得b ＝2， ∴直线EF 的解析式为y ＝﹣2x ＋2．联立直线EF 、抛物线组成方程组，得22+223y x y x x =-⎧⎨=-++⎩，，， 解得1125252x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，2225252x y ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩（舍去），∴点F 的坐标为（2﹣5，25﹣2）． 当x ＝0时，y ＝﹣2x ＋2＝2，∴点G 的坐标为（0，2），∴点G ′的坐标为（0，﹣2）． 同理，利用待定系数法可求出直线E G ′的解析式为y ＝2x ﹣2．联立直线EF ′、抛物线组成方程组，22223y x y x x =-⎧⎨=-++⎩，，， 解得：115252x y ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩，115252x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（舍去），∴点F ′的坐标为（﹣5，﹣25﹣2）．综上所述：当∠AEF ＝∠DBE 时，点F 的坐标为（2﹣5，25﹣2）或（﹣5，﹣25﹣2）．考查内容：待定系数法；二次函数的最值；平行线的性质.命题意图：本题是二次函数综合题，考查学生利用二次函数的知识解决问题的综合能力，难度较大.。

2018年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2018•娄底）2018的相反数是（ ）A ．12018B ．2018C ．﹣2018D ．﹣120182．（3分）（2018•娄底）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（ ）A ．﹣3B ．2C ．0D ．13．（3分）（2018•娄底）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（ ）A ．0.21×107B ．2.1×106C ．21×105D ．2.1×1074．（3分）（2018•娄底）下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 5=a 10B ．（3a 3）2=6a 6C ．（a +b ）2=a 2+b 2D ．（a +2）（a ﹣3）=a 2﹣a ﹣65．（3分）（2018•娄底）关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +3）x +k=0的根的情况是（ ）A ．有两不相等实数根B ．有两相等实数根C ．无实数根D ．不能确定6．（3分）（2018•娄底）不等式组{2−x ≥x −23x −1＞−4的最小整数解是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．27．（3分）（2018•娄底）如图所示立体图形的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D．8．（3分）（2018•娄底）函数y=√x−2x−3中自变量x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x≥2且x≠3D．x≠39．（3分）（2018•娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4B．y=2x+4C．y=2x+2D．y=2x﹣210．（3分）（2018•娄底）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A 处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6√3cm C．8cm D．12cm11．（3分）（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．513B．﹣513C．713D．﹣71312．（3分）（2018•娄底）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[k+14]﹣[k4]（k是正整数）．例：f（3）=[3+14]﹣[34]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0B．f（k+4）=f（k）C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2018•娄底）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=2x图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为．14．（3分）（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）15．（3分）（2018•娄底）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为．16．（3分）（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB 于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=cm．17．（3分）（2018•娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC 都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=．18．（3分）（2018•娄底）设a 1，a 2，a 3……是一列正整数，其中a 1表示第一个数，a 2表示第二个数，依此类推，a n 表示第n 个数（n 是正整数）．已知a 1=1，4a n =（a n +1﹣1）2﹣（a n ﹣1）2，则a 2018= ．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2018•娄底）计算：（π﹣3.14）0+（13）﹣2﹣|﹣√12|+4cos30°． 20．（6分）（2018•娄底）先化简，再求值：（1x+1+1x −1）÷x x +2x+1，其中x=√2．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2018•娄底）为了取得贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A 、B 、C 、D 四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n= ；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A 级的人数为多少？22．（8分）（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC 高达452m ，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE 高340m ，为了测量高楼BC 上发射塔AB 的高度，在楼DE 底端D 点测得A 的仰角为α，sinα=2425，在顶端E 点测得A 的仰角为45°，求发射塔AB 的高度．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2018•娄底）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？24．（9分）（2018•娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2018•娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，AĈ=BĈ，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．26．（10分）（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．2018年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2018•娄底）2018的相反数是（）A．12018B．2018C．﹣2018D．﹣12018【考点】14：相反数．【专题】11 ：计算题．【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：2018的相反数是：﹣2018．故选：C．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3分）（2018•娄底）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（）A．﹣3B．2C．0D．1【考点】W5：众数．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解．【解答】解：这组数据中2出现次数最多，有3次，所以众数为2，故选：B．【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据．3．（3分）（2018•娄底）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107B．2.1×106C．21×105D．2.1×107【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】511：实数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：210万=2.1×106，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2018•娄底）下列运算正确的是（）A．a2•a5=a10B．（3a3）2=6a6C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣6【考点】4I：整式的混合运算．【专题】11 ：计算题；512：整式．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a7，不符合题意；B、原式=9a6，不符合题意；C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；D、原式=a2﹣a﹣6，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3分）（2018•娄底）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C ．无实数根D ．不能确定【考点】AA ：根的判别式．【专题】11 ：计算题．【分析】先计算判别式得到△=（k +3）2﹣4×k=（k +1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．【解答】解：△=（k +3）2﹣4×k=k 2+2k +9=（k +1）2+8，∵（k +1）2≥0，∴（k +1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．（3分）（2018•娄底）不等式组{2−x ≥x −23x −1＞−4的最小整数解是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2【考点】CC ：一元一次不等式组的整数解．【专题】11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2﹣x ≥x ﹣2，得：x ≤2，解不等式3x ﹣1＞﹣4，得：x ＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x ≤2，所以不等式组的最小整数解为0，故选：B ．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．（3分）（2018•娄底）如图所示立体图形的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】1 ：常规题型．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，故选：B ． 【点评】本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．8．（3分）（2018•娄底）函数y=√x−2x−3中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2 B ．x ≥2 C ．x ≥2且x ≠3 D ．x ≠3【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．【解答】解：根据题意得：{x −2≥0x −3≠0， 解得：x ≥2且x ≠3．故选：C ．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．（3分）（2018•娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4B．y=2x+4C．y=2x+2D．y=2x﹣2【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【专题】46 ：几何变换．【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【解答】解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．化简，得y=2x﹣4，故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．10．（3分）（2018•娄底）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A 处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6√3cm C．8cm D．12cm【考点】R2：旋转的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，易得AC=2CH=x，细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，利用水的体积不变得到x•S+x•2S=6•S+6•S，然后求出x后计算出AC即可．【解答】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，∵∠BAH=90°﹣60°=30°，∴AC=2CH=x，∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，∴AC=2x=8，即AB中水柱的长度约为8cm．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．（3分）（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．513B．﹣513C．713D．﹣713【考点】KR：勾股定理的证明；T7：解直角三角形．【专题】1 ：常规题型．【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+（7+AC）2=132，整理得，AC2+7AC﹣60=0，解得AC=5，AC=﹣12（舍去），∴BC=√AB 2−AC 2=12，∴sinα=AC AB =513，cosα=BC AB =1213， ∴sinα﹣cosα=513﹣1213=﹣713， 故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．12．（3分）（2018•娄底）已知：[x ]表示不超过x 的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k 的函数f （k ）=[k+14]﹣[k 4]（k 是正整数）．例：f （3）=[3+14]﹣[34]=1．则下列结论错误的是（ ） A ．f （1）=0 B ．f （k +4）=f （k ） C ．f （k +1）≥f （k ） D ．f （k ）=0或1【考点】CB ：解一元一次不等式组；E5：函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：f （1）=[1+14]﹣[14]=0﹣0=0，故选项A 正确； f （k +4）=[k+4+14]﹣[k+44]=[k+14+1]﹣[k 4+1]=[k+14]﹣[k 4]=f （k ），故选项B 正确；C 、当k=3时，f （3+1）=[4+14]﹣[44]=1﹣1=0，而f （3）=1，故选项C 错误； D 、当k=3+4n （n 为自然数）时，f （k ）=1，当k 为其它的正整数时，f （k ）=0，所以D 选项的结论正确；故选：C ．【点评】本题考查解一元一次不等式组、函数值，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2018•娄底）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=2x图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为1．【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用反比例函数的性质结合系数k的几何意义得出答案．【解答】解：∵点P是反比例函数y=2x图象上的一点，PA⊥x轴于点A，∴△POA的面积为：12AO•PA=12xy=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出△POA的面积是解题关键．14．（3分）（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1＜S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）【考点】MI：三角形的内切圆与内心；K6：三角形三边关系；KF：角平分线的性质．【专题】552：三角形；559：圆的有关概念及性质．【分析】过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，根据内心的定义可得PD=PE=PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解．【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的内心，∴PD=PE=PF，∵S1=12AB•PD，S2=12BC•PF，S3=12AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．【点评】考查了三角形的内切圆与内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心的定义得PD=PE=PF．15．（3分）（2018•娄底）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为16．【考点】X6：列表法与树状图法．【专题】1 ：常规题型；543：概率及其应用．【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出选修地理和生物的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果，所以选修地理和生物的概率为16， 故答案为：16． 【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（3分）（2018•娄底）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，DE=3cm ，则BF= 6 cm ．【考点】KH ：等腰三角形的性质；K3：三角形的面积．【专题】1 ：常规题型．【分析】先利用HL 证明Rt △ADB ≌Rt △ADC ，得出S △ABC =2S △ABD =2×12AB•DE=AB•DE=3AB ，又S △ABC =12AC•BF ，将AC=AB 代入即可求出BF ． 【解答】解：在Rt △ADB 与Rt △ADC 中，{AB =AC AD =AD， ∴Rt △ADB ≌Rt △ADC ，∴S △ABC =2S △ABD =2×12AB•DE=AB•DE=3AB ， ∵S △ABC =12AC•BF ， ∴12AC•BF=3AB ，∵AC=AB ，∴12BF=3， ∴BF=6．故答案为6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．17．（3分）（2018•娄底）如图，已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD 、AB 、BC 都相切，切点分别为D 、E 、C ，半径OC=1，则AE•BE= 1 ．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MC ：切线的性质．【专题】559：圆的有关概念及性质．【分析】想办法证明△AEO ∽△OEB ，可得AE OE =OE BE，推出AE•BE=OE 2=1． 【解答】解：如图连接OE ．∵半圆O 与四边形ABCD 的边AD 、AB 、BC 都相切，切点分别为D 、E 、C ， ∴OE ⊥AB ，AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，∠OAD=∠OAE ，∠OBC=∠OBE ，∴AD ∥BC ，∴∠DAB +∠ABC=180°，∴∠OAB +∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∵∠OAE +∠AOE=90°，∠AOE +∠BOE=90°，∴∠EAO=∠EOB ，∵∠AEO=∠OEB=90°，∴△AEO∽△OEB，∴AEOE =OE BE，∴AE•BE=OE2=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．18．（3分）（2018•娄底）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，则a2018=4035．【考点】37：规律型：数字的变化类．【专题】1 ：常规题型．【分析】由4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，可得（a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n=（a n+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出a n+1=a n+2，根据a1=1，分别求出a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律a n=2n﹣1，即可求出a2018=4035．【解答】解：∵4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，∴（a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n=（a n+1）2，∵a1，a2，a3……是一列正整数，∴a n+1﹣1=a n+1，∴a n+1=a n+2，∵a1=1，∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，…，∴a n=2n﹣1，∴a2018=4035．故答案为4035．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子a n+1=a n+2．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2018•娄底）计算：（π﹣3.14）0+（13）﹣2﹣|﹣√12|+4cos30°．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答本题．【解答】解：（π﹣3.14）0+（13）﹣2﹣|﹣√12|+4cos30°=1+9﹣2√3+4×√3 2=1+9﹣2√3+2√3=10．【点评】本题考查实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．（6分）（2018•娄底）先化简，再求值：（1x+1+1x2−1）÷xx2+2x+1，其中x=√2．【考点】6D：分式的化简求值．【专题】11 ：计算题；513：分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x−1+1(x+1)(x−1)•(x+1)2x=x+1x−1，当x=√2时，原式=√2+1√2−1=3+2√2．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2018•娄底）为了取得贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n=10；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？【考点】VC：条形统计图；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】（1）用B等级人数除以其所占百分比可得；（2）总人数减去A、B、D人数求得C的人数即可补全条形图，用D等级人数除以总人数可得n的值；（3）总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得．【解答】解：（1）样本容量为18÷30%=60；（2）C等级人数为60﹣（24+18+6）=12人，n%=660×100%=10%，补全图形如下：故答案为：10；（3）估计本次测试成绩为A 级的人数为5000×2460=2000人． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC 高达452m ，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE 高340m ，为了测量高楼BC 上发射塔AB 的高度，在楼DE 底端D 点测得A 的仰角为α，sinα=2425，在顶端E 点测得A 的仰角为45°，求发射塔AB 的高度．【考点】TA ：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】11 ：计算题．【分析】作EH ⊥AC 于H ，设AC=24x ，根据正弦的定义求出AD ，根据勾股定理求出CD ，根据题意列出方程求出x ，结合图形计算即可．【解答】解：作EH ⊥AC 于H ，则四边形EDCH 为矩形，∴EH=CD ，设AC=24x ，在Rt △ADC 中，sinα=2425， ∴AD=25x ，由勾股定理得，CD=√AD2−AC2=7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔AB的高度为28m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2018•娄底）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？【考点】FH：一次函数的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【专题】1 ：常规题型．【分析】（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据x为正整数，得出x=1，2，3．进而求解即可；（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．【解答】解：（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，解得x≤31 3，∵x为正整数，∴x=1，2，3．∴该景区有三种设计方案：方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；方案三：购买A种设备3台，B种设备7台；（2）各方案购买费用分别为：方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：42.6×0.9=38.34（万元）；方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：41.2×0.9=37.08（万元）；方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；∵37.08＜38.04＜39.8，∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键．24．（9分）（2018•娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【专题】555：多边形与平行四边形．【分析】（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；（2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，{∠EAO=∠FCO OA=OC∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF．（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AD=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵OB=OD，EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2018•娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，AĈ=BĈ，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．【考点】MR：圆的综合题．【专题】15 ：综合题；559：圆的有关概念及性质；55A：与圆有关的位置关系；55D：图形的相似．【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD=90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD=90°，据此可得答案；（2）连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，证△ADE∽△CBE得DE•CE=AE•BE=r2﹣OE2，由AĈ=BĈ知∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理知CE2=OE2+r2、BC2=2r2，据此得BC2﹣CE2=r2﹣OE2，从而得证；（3）先求出BC=4√2、CE=2√5，根据BC2﹣CE2=CE•DE计算可得．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠PBD；（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴DE BE =AE CE，即DE•CE=AE•BE ， 如图，连接OC ，设圆的半径为r ，则OA=OB=OC=r ，则DE•CE=AE•BE=（OA ﹣OE ）（OB +OE ）=r 2﹣OE 2，∵AĈ=BC ̂， ∴∠AOC=∠BOC=90°，∴CE 2=OE 2+OC 2=OE 2+r 2，BC 2=BO 2+CO 2=2r 2，则BC 2﹣CE 2=2r 2﹣（OE 2+r 2）=r 2﹣OE 2，∴BC 2﹣CE 2=DE•CE ；（3）∵OA=4，∴OB=OC=OA=4，∴BC=√OB 2+OC 2=4√2，又∵E 是半径OA 的中点，∴AE=OE=2，则CE=√OC 2+OE 2=√42+22=2√5，∵BC 2﹣CE 2=DE•CE ，∴（4√2）2﹣（2√5）2=DE•2√5，解得：DE=6√55． 【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．26．（10分）（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】537：函数的综合应用．【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△BDF=﹣x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，则∠AEF1=∠DBE、∠AEF2=∠DBE，根据EN ∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，{a−b+c=09a+3b+c=0c=3，解得：{a=−1b=2c=3，。

2018年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2018•娄底）2018的相反数是（）A． B．2018 C．﹣2018 D．﹣2．（3分）（2018•娄底）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（）A．﹣3 B．2 C．0 D．13．（3分）（2018•娄底）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107 B．2.1×106C．21×105D．2.1×1074．（3分）（2018•娄底）下列运算正确的是（）A．a2•a5=a10B．（3a3）2=6a6C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣6 5．（3分）（2018•娄底）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根 D．不能确定6．（3分）（2018•娄底）不等式组＞的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（3分）（2018•娄底）如图所示立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．8．（3分）（2018•娄底）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3 9．（3分）（2018•娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2 10．（3分）（2018•娄底）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm11．（3分）（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．B．﹣C．D．﹣12．（3分）（2018•娄底）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f （k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2018•娄底）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为．14．（3分）（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）15．（3分）（2018•娄底）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为．16．（3分）（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF= cm．17．（3分）（2018•娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=．18．（3分）（2018•娄底）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，则a2018= ．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2018•娄底）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．20．（6分）（2018•娄底）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2018•娄底）为了取得贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n= ；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？22．（8分）（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2018•娄底）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？24．（9分）（2018•娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2018•娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE 的长．26．（10分）（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c 与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．2018年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2018•娄底）2018的相反数是（）A． B．2018 C．﹣2018 D．﹣【考点】14：相反数．【专题】11 ：计算题．【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：2018的相反数是：﹣2018．故选：C．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3分）（2018•娄底）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（）A．﹣3 B．2 C．0 D．1【考点】W5：众数．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解．【解答】解：这组数据中2出现次数最多，有3次，所以众数为2，故选：B．【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据．3．（3分）（2018•娄底）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107 B．2.1×106C．21×105D．2.1×107【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】511：实数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：210万=2.1×106，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2018•娄底）下列运算正确的是（）A．a2•a5=a10B．（3a3）2=6a6C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣6【考点】4I：整式的混合运算．【专题】11 ：计算题；512：整式．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a7，不符合题意；B、原式=9a6，不符合题意；C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；D、原式=a2﹣a﹣6，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3分）（2018•娄底）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根 D．不能确定【考点】AA：根的判别式．【专题】11 ：计算题．【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．（3分）（2018•娄底）不等式组＞的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【专题】11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2﹣x≥x﹣2，得：x≤2，解不等式3x﹣1＞﹣4，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，所以不等式组的最小整数解为0，故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．（3分）（2018•娄底）如图所示立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】1 ：常规题型．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．8．（3分）（2018•娄底）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥2且x≠3．故选：C．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．（3分）（2018•娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【专题】46 ：几何变换．【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【解答】解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．化简，得y=2x﹣4，故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．10．（3分）（2018•娄底）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm【考点】R2：旋转的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，易得AC=2CH=x，细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB 位置时，底面积为2S，利用水的体积不变得到x•S+x•2S=6•S+6•S，然后求出x后计算出AC即可．【解答】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，∵∠BAH=90°﹣60°=30°，∴AC=2CH=x，∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，∴AC=2x=8，即AB中水柱的长度约为8cm．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．（3分）（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】KR：勾股定理的证明；T7：解直角三角形．【专题】1 ：常规题型．【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+（7+AC）2=132，整理得，AC2+7AC﹣60=0，解得AC=5，AC=﹣12（舍去），∴BC==12，∴sinα==，cosα==，∴sinα﹣cosα=﹣=﹣，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．12．（3分）（2018•娄底）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f （k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1【考点】CB：解一元一次不等式组；E5：函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：f（1）=[]﹣[]=0﹣0=0，故选项A正确；f（k+4）=[]﹣[]=[+1]﹣[+1]=[]﹣[]=f （k），故选项B正确；C、当k=3时，f（3+1）=[]﹣[]=1﹣1=0，而f（3）=1，故选项C错误；D、当k=3+4n（n为自然数）时，f（k）=1，当k为其它的正整数时，f（k）=0，所以D选项的结论正确；故选：C．【点评】本题考查解一元一次不等式组、函数值，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2018•娄底）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为 1 ．【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用反比例函数的性质结合系数k的几何意义得出答案．【解答】解：∵点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，∴△POA的面积为：AO•PA=xy=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出△POA的面积是解题关键．14．（3分）（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1＜S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）【考点】MI：三角形的内切圆与内心；K6：三角形三边关系；KF：角平分线的性质．【专题】552：三角形；559：圆的有关概念及性质．【分析】过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，根据内心的定义可得PD=PE=PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解．【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的内心，∴PD=PE=PF，∵S1=AB•PD，S2=BC•PF，S3=AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．【点评】考查了三角形的内切圆与内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心的定义得PD=PE=PF．15．（3分）（2018•娄底）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为．【考点】X6：列表法与树状图法．【专题】1 ：常规题型；543：概率及其应用．【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出选修地理和生物的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果，所以选修地理和生物的概率为，故答案为：．【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（3分）（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF= 6 cm．【考点】KH：等腰三角形的性质；K3：三角形的面积．【专题】1 ：常规题型．【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，又S△=AC•BF，将AC=AB代入即可求出BF．ABC【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，∵S△ABC=AC•BF，∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．17．（3分）（2018•娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE= 1 ．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MC：切线的性质．【专题】559：圆的有关概念及性质．【分析】想办法证明△AEO∽△OEB，可得=，推出AE•BE=OE2=1．【解答】解：如图连接OE．∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，∴∠EAO=∠EOB，∵∠AEO=∠OEB=90°，∴△AEO∽△OEB，∴=，∴AE•BE=OE2=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．18．（3分）（2018•娄底）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，则a2018= 4035 ．【考点】37：规律型：数字的变化类．【专题】1 ：常规题型．【分析】由4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，可得（a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n=（a n+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出a n+1=a n+2，根据a1=1，分别求出a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律a n=2n﹣1，即可求出a2018=4035．【解答】解：∵4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，∴（a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n=（a n+1）2，∵a1，a2，a3……是一列正整数，∴a n+1﹣1=a n+1，∴a n+1=a n+2，∵a1=1，∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，…，∴a n=2n﹣1，∴a2018=4035．故答案为4035．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子a n+1=a n+2．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2018•娄底）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答本题．【解答】解：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°=1+9﹣+4×=1+9﹣2+2=10．【点评】本题考查实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．（6分）（2018•娄底）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．【考点】6D：分式的化简求值．【专题】11 ：计算题；513：分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=，当x=时，原式==3+2．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2018•娄底）为了取得贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n= 10 ；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？【考点】VC：条形统计图；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】（1）用B等级人数除以其所占百分比可得；（2）总人数减去A、B、D人数求得C的人数即可补全条形图，用D等级人数除以总人数可得n的值；（3）总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得．【解答】解：（1）样本容量为18÷30%=60；（2）C等级人数为60﹣（24+18+6）=12人，n%=×100%=10%，补全图形如下：故答案为：10；（3）估计本次测试成绩为A级的人数为5000×=2000人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】11 ：计算题．【分析】作EH⊥AC于H，设AC=24x，根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出CD，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可．【解答】解：作EH⊥AC于H，则四边形EDCH为矩形，∴EH=CD，设AC=24x，在Rt△ADC中，sinα=，∴AD=25x，由勾股定理得，CD==7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔AB的高度为28m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2018•娄底）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？【考点】FH：一次函数的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【专题】1 ：常规题型．【分析】（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据x为正整数，得出x=1，2，3．进而求解即可；（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．【解答】解：（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，解得x≤3，∵x为正整数，∴x=1，2，3．∴该景区有三种设计方案：方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；方案三：购买A种设备3台，B种设备7台；（2）各方案购买费用分别为：方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：42.6×0.9=38.34（万元）；方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：41.2×0.9=37.08（万元）；方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；∵37.08＜38.04＜39.8，∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键．24．（9分）（2018•娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【专题】555：多边形与平行四边形．【分析】（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；（2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF．（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AD=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵OB=OD，EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2018•娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE 的长．【考点】MR：圆的综合题．【专题】15 ：综合题；559：圆的有关概念及性质；55A：与圆有关的位置关系；55D：图形的相似．【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD=90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD=90°，据此可得答案；（2）连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，证△ADE∽△CBE得DE•CE=AE•BE=r2﹣OE2，由=知∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理知CE2=OE2+r2、BC2=2r2，据此得BC2﹣CE2=r2﹣OE2，从而得证；（3）先求出BC=4、CE=2，根据BC2﹣CE2=CE•DE计算可得．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠PBD；（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴=，即DE•CE=AE•BE，如图，连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，则DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，∵=，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，则BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，∴BC2﹣CE2=DE•CE；（3）∵OA=4，∴OB=OC=OA=4，∴BC==4，又∵E是半径OA的中点，∴AE=OE=2，则CE===2，∵BC2﹣CE2=DE•CE，∴（4）2﹣（2）2=DE•2，解得：DE=．【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．26．（10分）（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c 与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】537：函数的综合应用．【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△BDF=﹣x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，则∠AEF1=∠DBE、∠AEF2=∠DBE，根据EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）．（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0），将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3），。

数学试卷 第1页（共36页） 数学试卷 第2页（共36页）绝密★启用前湖南省娄底市2018年初中学业水平考试数 学卷150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.2018的相反数是( )A .12018B .2018C .2018-D .12018- 2.一组数据﹣3,2,2,0,2,1的众数是( )A .3﹣B .2C .0D .13.随着我国综合国力的提升,中华文化影响日益增强,学中文的外国人越来越多,中文已成为美国居民的第二外语,美国常讲中文的人口约有210万,请将“210万”用科学记数法表示为( )A .0.21107⨯B .62.110⨯C .52110⨯D .72.110⨯ 4.下列运算正确的是( )A .2510•a a a =B .32636a a =()C .222()a b a b +=+D .2236a a a a +-=()()--5.关于x 的一元二次方程230x k x k ++=()-的根的情况是( )A .有两不相等实数根B .有两相等实数根C .无实数根D .不能确定 6.不等式组22314x x x -≥-⎧⎨--⎩＞的最小整数解是( )A .1-B .0C .1D .27.如图所示立体图形的俯视图是( )ABCD8.函数y 3x =-中自变量x 的取值范围是 ( )A .2x ＞B .2x ≥C .2x ≥ 且3x ≠D .3x ≠9.将直线23y x =-向右平移2个单位,再向上平移3个单位后,所得的直线的表达式为( )A .24y x =-B .24y x =+C .22y x =+D .22y x =-10.如图,往竖直放置的在A 处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水,水面高度为6 cm ,现将右边细管绕A 处顺时针方向旋转60︒到AB 位置,则AB 中水柱的长度约为( )A .4 cmB.C .8cmD .12cm11.如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sin cos αα-=( )A .513B .513-C .713D .713-12.已知：[]x 表示不超过x 的最大整数.例：[]3.93=,[]1.82-=-.令关于k 的函数1()44k k f k +⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(k 是正整数).例： 3131434f +⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦（）.则下列结论错误的是( )A .(1)0f =B .4f k f k +=()()C .1f k f k +≥()()D .0f k =()或1毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共36页） 数学试卷 第4页（共36页）第Ⅱ卷(非选择题 共114分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)13.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点P 是反比例函数2y x=图象上的一点,PA x ⊥轴于点A ,则POA △的面积为 .14.如图,P 是ABC △的内心,连接P A 、PB 、PC ,PAB △、PBC △、PAC △的面积分别为1S 、2S 、3S .则1S 23S S +.(填“＜”或“=”或“＞”)15.从2018年高中一年级学生开始,湖南省全面启动高考综合改革,学生学习完必修课程后,可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势,从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中,自主选择3个科目参加等级考试.学生A 已选物理,还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科,再从化学、生物2个理科科目中选1科.若他选思想政治、历史、地理的可能性相等,选化学、生物的可能性相等,则选修地理和生物的概率为 .16.如图,ABC △中,AB AC =,AD BC ⊥于D 点,DE AB ⊥于点E ,BF AC ⊥于点F ,3cm DE =,则BF = cm .17.如图,已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD 、AB 、BC 都相切,切点分别为D 、E 、C ,半径1OC =,则AE BE = .18.设1a 1a ,2a ,3a ……是一列正整数,其中1a 表示第一个数,2a 表示第二个数,依此类推,n a 表示第n 个数(n 是正整数).已知11a =,221411n n n a a a +=-(-)(-),则2018a = .三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分6分)计算：1π 3.1402|4cos303-+--︒.20.(本小题满分6分) 先化简,再求值：22111121x x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+-++⎝⎭,其中x =.数学试卷 第5页（共36页） 数学试卷 第6页（共36页）21.(本小题满分8分)为了取得扶贫工作的胜利,某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试,随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本,并将成绩划分为A 、B 、C 、D 四个不同的等级,绘制成不完整统计图如图,请根据图中的信息,解答下列问题： (1)求样本容量；(2)补全条形图,并填空：n = ；(3)若全市有5 000人参加了本次测试,估计本次测试成绩为A 级的人数为多少？22.(本小题满分8分)如图,长沙九龙仓国际金融中心主楼BC 高达452 m ,是目前湖南省第一高楼,和它处于同一水平面上的第二高楼DE 高340 m ,为了测量高楼BC 上发射塔AB 的高度,在楼DE 底端D 点测得A 的仰角为α,24sin 25α=,在顶端E 点测得A 的仰角为45︒,求发射塔AB 的高度.23.(本题满分9分)“绿水青山,就是金山银山”.某旅游景区为了保护环境,需购买A 、B 两种型号的垃圾处理设备共10台.已知每台A 型设备日处理能力为12吨；每台B 型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨. (1)请你为该景区设计购买A 、B 两种设备的方案；(2)已知每台A 型设备价格为3万元,每台B 型设备价格为4.4万元.厂家为了促销产品,规定货款不低于40万元时,则按9折优惠；问：采用(1)设计的哪种方案,使购买费用最少,为什么？24.(本题满分9分)如图,已知四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,且OA OC =,OB OD =,过O 点作EF BD ⊥,分别交AD 、BC 于点E 、F . (1)求证：AOE COF △≌△；(2)判断四边形BEDF 的形状,并说明理由.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共36页） 数学试卷 第8页（共36页）25.(本题满分10分)如图,C 、D 是以AB 为直径的⊙O 上的点,AC BC =,弦CD 交AB 于点E . (1)当PB 是⊙O 的切线时,求证：PBD DAB ∠=∠； (2)求证：22•BC CE CE DE =-；(3)已知4OA =,E 是半径OA 的中点,求线段DE 的长.26.(本题满分10分)如图,抛物线2y ax bx c =++ 与两坐标轴相交于点10A (-，)、30B (，)、03C (，),D 是抛物线的顶点,E 是线段AB 的中点.(1)求抛物线的解析式,并写出D 点的坐标； (2)F x y (，)是抛物线上的动点：①当1x ＞,0y ＞时,求BDF △的面积的最大值； ②当AEF DBE ∠=∠时,求点F 的坐标.5 / 18湖南省娄底市2018年中考数学试卷数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】直接利用相反数的定义分析得出答案.解：2018的相反数是：2018-.故选：C. 【考点】相反数 2.【答案】B【解析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解.解：这组数据中2出现次数最多，有3次，所以众数为2，故选：B. 【考点】众数. 3.【答案】B【解析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中11|0|a ≤＜，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1＞时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数.解：6210 2.110=⨯万，故选：B. 【考点】科学记数法—表示较大的数 4.【答案】D【解析】各式计算得到结果，即可作出判断.解：A 、原式7a =，不符合题意；B 、原式69a =，不符合题意；C 、原式222a ab b =++，不符合题意；D 、原式26a a =--，符合题意，故选：D. 【考点】整式的混合运算. 5.【答案】A【解析】先计算判别式得到2234(1)8k k k ∆=+⨯=+-+()，再利用非负数的性质得到0∆＞，然后可判断方程根的情况.解：222342918k k k k k ∆=+⨯=+-+=++()()，∵210k +()≥，∴2180k ++()＞，即0△＞，所以方程有两个不相等的实数根. 故选：A.【考点】根的判别式. 6.【答案】B【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.解：解不等式22x x -≥-，得：2x ≤，6解不等式314x -＞-，得：1x -＞， 则不等式组的解集为12x -＜≤， 所以不等式组的最小整数解为0， 故选：B.【考点】一元一次不等式组的整数解. 7.【答案】B【解析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，故选：B.【考点】简单组合体的三视图. 8.【答案】C【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围.解：根据题意得：2030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：2x ≥且 3.x ≠ 故选：C.【考点】函数自变量的取值范围. 9.【答案】A【解析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解.解：223324y x x =--+=-().化简，得24y x =-，故选：A.【考点】一次函数图象与几何变换. 10.【答案】C【解析】AB 中水柱的长度为AC ，CH 为此时水柱的高，设CH x =，竖直放置时短软管的底面积为S ，易得2AC CH x ==，细管绕A 处顺时针方向旋转60︒到AB 位置时，底面积为2S ，利用水的体积不变得到266x S x S S S ⋅+⋅=⋅+⋅，然后求出x 后计算出AC 即可.解：AB 中水柱的长度为AC ，CH 为此时水柱的高，设CH x =，竖直放置时短软管的底面积为S ， ∵906030BAH ∠=︒-︒=︒，7 / 18∴2AC CH x ==，∴细管绕A 处顺时针方向旋转60︒到AB 位置时，底面积为2S ， ∵266x S x S S S ⋅+⋅=⋅+⋅，解得4x =， ∴28AC x ==，即AB 中水柱的长度约为8 cm. 故选：C.【考点】旋转的性质. 11.【答案】D【考点】勾股定理的证明、解直角三角形.【解析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC ，然后根据正弦和余弦的定义即可求sin α和cos α的值，进而可求出sin αcos α-的值.解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13， 在Rt ABC 中，222AC BC AB +=， 即()22AC 7AC 132++=，整理得，AC27AC 600+-=， 解得AC 5=，AC 12=-(舍去)，∴12BC ==，∴5sin 13AC AB α==，12cos 13BC AB α==， ∴5127sin αcos α131313-=-=-， 故选：D.812.【答案】C【解析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题.解： ()110101404f ⎡⎤⎡⎤-=-=⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦+⎣=，故选项A 正确；4141141444()(44)k k k k k f k f k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-==-=⎢⎥⎢⎥⎢++++⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣=⎦+++，故选项B 正确；C 、当k =3时， 41131110()44f +⎡⎤⎡⎤+=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而()31f =，故选项C 错误； D 、当34k n =+(n 为自然数)时，()1f k =，当k 为其它的正整数时，()0f k =，所以D 选项的结论正确； 故选：C.【考点】解一元一次不等式组、函数值. 二、填空题 13.【答案】1【解析】直接利用反比例函数的性质结合系数k 的几何意义得出答案.解：∵点P 是反比例函数2y x=图象上的一点，PA x ⊥轴于点A ， ∴POA △的面积为：11•122AO PA xy ==. 故答案为：1.【考点】反比例函数系数k 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征. 14.【答案】＜【解析】过P 点作PD AB ⊥于D ，作PE AC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ，根据内心的定义可得PD PE PF ==，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解.解：过P 点作PD AB ⊥于D ，作PE AC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ，∵P 是ABC △的内心， ∴PD PE PF ==， ∵112S AB PD =，212S BC PF =，312S AC PE =，AB BC AC +＜，9 / 18∴123S S S +＜. 故答案为：＜.【考点】三角形的内切圆与内心、三角形三边关系、角平分线的性质. 15.【答案】16. 【解析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出选修地理和生物的结果数，然后根据概率公式求解.解：画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果， 所以选修地理和生物的概率为16， 故答案为：16. 【考点】列表法与树状图法. 16.【答案】6.【解析】先利用HL 证明Rt Rt ADB ADC △≌△，得出12232ABCABDSSAB DE AB DE AB ==⨯⋅=⋅=，又12ABCSAC BF =⋅，将AC AB =代入即可求出BF .解：在Rt ADB △与Rt ADC △中， AB ACAD AD=⎧⎨=⎩，10∴R Rt ADB ADC △≌△， ∴122?•32ABCABDSSAB DE AB DE AB ==⨯==，∵12ABCSAC BF =⋅， ∴132AC BF AB ⋅=， ∵AC AB =， ∴132BF =， ∴6BF =. 故答案为6.【考点】等腰三角形的性质、三角形的面积. 17.【答案】1【解析】想办法证明AEO OEB ∽，可得AE OEOE BE=，推出21AE BE OE ==.解：如图连接OE .∵半圆O 与四边形ABCD 的边AD 、AB 、BC 都相切，切点分别为D 、E 、C ， ∴OE AB ⊥，AD CD ⊥，BC CD ⊥，OAD OAE ∠∠=，OBC OBE ∠∠=， ∴AD BC ∥，∴AB C 180DAB ︒∠+∠=.， ∴90OAB OBA ∠+∠=︒， ∴AOB 90∠=︒，∵90OAE AOE ∠+∠=︒，90AOE BOE ∠+∠=︒， ∴EAO EOB =∠∠， ∵90AEO OEB ==︒∠∠， ∴AEO OEB ∽，11 / 18∴AE OE OE BE=， ∴21AE BE OE ⋅== ，故答案为1.【考点】相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质.18.【答案】4035【解析】由()()2214111n n a a a =+---，可得()()()22211141n n n n a a a a +-=-+=+，根据1a ，2a ，3a ……是一列正整数，得出12n n a a +=+，根据11a =，分别求出234357a a a ===，，，59a =，进而发现规律21n a n =-，即可求出20184035a = .解：∵()()224111n n n a a a =+---，∴()()()22211141n n n n a a a a +-=-+=+，∵1a ，2a ，3a ……是一列正整数，∴11+1n n a a ++=，∴12n n a a +=+，∵11a =，∴23a =，35a =，47a =，59a =，…，∴21n a n =-，∴20184035a =.故答案为4035.【考点】规律型：数字的变化类.三、解答题19.【答案】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答本题.解：原式19410=+-=. 【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值.20.【答案】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值.解：原式211(1)1(1)(1)1x x x x x x x -+++=⋅=+--，当x == 【考点】分式的化简求值.四、解答题21.【答案】（1）用B 等级人数除以其所占百分比可得；（2）总人数减去A 、B 、D 人数求得C 的人数即可补全条形图，用D 等级人数除以总人数可得n 的值；（3）总人数乘以样本中A 等级人数所占比例即可得.解：（1）样本容量为1830%60÷=；（2）C 等级人数为6024186)12(-++=人，6%100%10%60n =⨯=， 补全图形如下：故答案为：10；（3）估计本次测试成绩为A 级的人数为245000200060⨯=人. 【考点】条形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，扇形统计图22.【答案】作EH AC ⊥于H ，设24AC x =，根据正弦的定义求出AD ，根据勾股定理求出CD ，根据题意列出方程求出x ，结合图形计算即可.解：作EH AC ⊥于H ，则四边形EDCH 为矩形，∴EH CD =，设24AC x =，在Rt ADC △中，24sin α=25， ∴25AD x =，13 / 18由勾股定理得，CD x =，∴7EH x =，在Rt AEH △中，45AEH ∠=︒，∴7AH EH x ==，由题意得，247340x x =+，解得，20x =，则24480AC x ==，∴48045228AB AC BC =-=-=，答：发射塔AB 的高度为28m.【考点】解直角三角形的应用——仰角俯角问题.五、解答题23.【答案】（1）设购买A 种设备x 台，则购买B 种设备()10x -台，根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式()121510140x x +-≥，求出解集，再根据x 为正整数，得出1x =，2，3.进而求解即可；（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解.解：（1）设购买A 种设备x 台，则购买B 种设备()10x -台，根据题意，得()121510140x x +-≥， 解得133x ≤，∵x 为正整数，∴1x =，2，3.∴该景区有三种设计方案：方案一：购买A 种设备1台，B 种设备9台；方案二：购买A 种设备2台，B 种设备8台；方案三：购买A 种设备3台，B 种设备7台；（2）各方案购买费用分别为：方案一：31 4.4942.640⨯+⨯=＞，实际付款：42.60.938.34⨯=（万元）；方案二：32 4.4841.240⨯+⨯=＞，实际付款：41.20.937.08⨯=（万元）；方案三：33 4.4739.840⨯+⨯=＜，实际付款：39.8（万元）；∵37.0838.0439.8＜＜，∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少.【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用.24.【答案】1）首先证明四边形ABCD 是平行四边形，再利用ASA 证明AOE COF △≌△；（2）结论：四边形BEDF 是菱形.根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（1）证明：∵OA OC OB OD ==，，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴EAO FCO ∠=∠，在AOE △和COF △中，EAO FCO OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴AOE COF △≌△.（2）解：结论：四边形BEDF 是菱形，∵AOE COF △≌△，∴AE CF =，∵AD BC =，∴DE BF =，∵DE BF ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，∵OB OD =，EF BD ⊥，∴EB ED =，∴四边形BEDF 是菱形.【考点】全等三角形的判定与性质.六、解答题25.【答案】（1）由AB 是O 的直径知90BAD ABD ∠+∠=︒，由PB 是O 的切线知90PBD ABD ∠+∠=︒，据此可得答案；（2）连接OC ，设圆的半径为r ，则OA OB OC r ===，证ADE CBE △∽△得22DE CE AE BE r OE ⋅=⋅=-，15 / 18由AC BC =知90AOC BOC ∠=∠=︒，根据勾股定理知222CE OE r =+、222BC r =，据此得2222BC CE r OE -=-，从而得证；（3）先求出BC =CE =22BC CE CE DE -=⋅计算可得.解：（1）∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，即90BAD ABD ∠+∠=︒，∵PB 是O 的切线，∴90ABP ∠=︒，即90PBD ABD ∠+∠=︒，∴BAD PBD ∠=∠；（2）∵A C ∠=∠、AED CEB ∠=∠，∴ADE CBE △∽△， ∴DE BE =AE CE，即DE CE AE BE ⋅=⋅， 如图，连接OC ，设圆的半径为r ，则OA OB OC r ===，则()22()DE CE AE BE OA OE OB OE r OE ⋅=⋅=-+=-，∵=AC BC ，∴90AOC BOC ∠=∠=︒，∴22222CE OE OC OE r =+=+，22222BC BO CO r =+=，则2222222(2)BC CE r OE r r OE -=-+=-，∴22BC CE DE CE -=⋅；（3）∵4OA =，∴4OB OC OA ===，∴BC =又∵E 是半径OA 的中点，∴2AE OE ==，则CE ==，∵22BC CE DE CE -=⋅，∴22DE -=⋅，解得：DE = 【考点】圆的综合题.26.【答案】（1）根据点A 、B 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D 的坐标；（2）①过点F 作FM y ∥轴，交BD 于点M ，根据点B 、D 的坐标，利用待定系数法可求出直线BD 的解析式，根据点F 的坐标可得出点M 的坐标，利用三角形的面积公式可得出243BDF Sx x =-+-，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；②过点E 作EN BD ∥交y 轴于点N ，交抛物线于点1F ，在y 轴负半轴取ON ON '=，连接EN '，射线EN '交抛物线于点2F ，则1AEF DBE ∠=∠、2AEF DBE ∠=∠，根据EN BD ∥结合点E 的坐标可求出直线1EF 的解析式，联立直线1EF 、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点1F 的坐标，同理可求出点2F 的坐标，此题得解.解：（1）将()10A -，、0(3)B ，、3(0)C ，代入2y ax bx c =++，09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++.∵()222314y x x x =-++=--+，∴顶点D 的坐标为(1)4，.（2）①过点F 作FM y ∥轴，交BD 于点M ，如图1所示.设直线BD 的解析式为()0y mx n m =+≠，将(3)0，、(1)4，代入y mx n =+， 304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：26m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线BD 的解析式为2 6.y x =-+∵点F 的坐标为2()23x x x -++，， ∴点M 的坐标为2()6x x -+，，∴22232(3)64FM x x x x x =-++--+=-+-， ∴()()22143212BDF B D S FM y y x x x =⋅-=-+-=--+.17 / 18∵10-＜，∴当2x =时，BDF S 取最大值，最大值为1.②过点E 作EN BD ∥交y 轴于点N ，交抛物线于点1F ，在y 轴负半轴取ON ON '=，连接EN '，射线EN '交抛物线于点2F ，如图2所示.∵1EF BD ∥，∴1AEF DBE ∠=∠.∵ON ON ='，EO NN ⊥'，∴21AEF AEF DBE ∠=∠=∠.∵E 是线段AB 的中点，()10A -，，0(3)B ，，∴点E 的坐标为(1)0，.设直线1EF 的解析式为12y x b =-+，将0(1)E ，代入12y x b =-+，120b -+=，解得：12b =，∴直线1EF 的解析式为22y x =-+.联立直线1EF 、抛物线解析式成方程组，22223y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩，解得：1122x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，2222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(舍去)，∴点1F的坐标为(22).当0x =时，222y x =-+=，∴点N 的坐标为(0)2，，∴点N '的坐标为(0)2-，.同理，利用待定系数法可求出直线2EF 的解析式为22y x =-.联立直线2EF 、抛物线解析式成方程组，22223y x y x x =-⎧⎨=-++⎩，解得：122x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(舍去)，∴点2F的坐标为(2)-.综上所述：当AEF DBE ∠=∠时，点F的坐标为(22)-或(2)-.【考点】二次函数综合题.。

2018年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2018•娄底）2018的相反数是（）A．B．2018 C．﹣2018 D．﹣2．（3分）（2018•娄底）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（）A．﹣3 B．2 C．0 D．13．（3分）（2018•娄底）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107B．2.1×106C．21×105D．2.1×1074．（3分）（2018•娄底）下列运算正确的是（）A．a2•a5=a10B．（3a3）2=6a6C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣65．（3分）（2018•娄底）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定6．（3分）（2018•娄底）不等式组＞的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（3分）（2018•娄底）如图所示立体图形的俯视图是（）A． B． C．D．8．（3分）（2018•娄底）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠39．（3分）（2018•娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣210．（3分）（2018•娄底）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm11．（3分）（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．B．﹣C．D．﹣12．（3分）（2018•娄底）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2018•娄底）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为．14．（3分）（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）15．（3分）（2018•娄底）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为．16．（3分）（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=cm．17．（3分）（2018•娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=．18．（3分）（2018•娄底）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，则a2018=．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2018•娄底）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．20．（6分）（2018•娄底）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2018•娄底）为了取得贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n=；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？22．（8分）（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2018•娄底）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？24．（9分）（2018•娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2018•娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．26．（10分）（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．2018年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2018•娄底）2018的相反数是（）A．B．2018 C．﹣2018 D．﹣【考点】14：相反数．【专题】11 ：计算题．【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：2018的相反数是：﹣2018．故选：C．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3分）（2018•娄底）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（）A．﹣3 B．2 C．0 D．1【考点】W5：众数．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解．【解答】解：这组数据中2出现次数最多，有3次，所以众数为2，故选：B．【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据．3．（3分）（2018•娄底）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A．0.21×107B．2.1×106C．21×105D．2.1×107【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】511：实数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：210万=2.1×106，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2018•娄底）下列运算正确的是（）A．a2•a5=a10B．（3a3）2=6a6C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣6【考点】4I：整式的混合运算．【专题】11 ：计算题；512：整式．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a7，不符合题意；B、原式=9a6，不符合题意；C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；D、原式=a2﹣a﹣6，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3分）（2018•娄底）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定【考点】AA：根的判别式．【专题】11 ：计算题．【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．（3分）（2018•娄底）不等式组＞的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【专题】11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2﹣x≥x﹣2，得：x≤2，解不等式3x﹣1＞﹣4，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，所以不等式组的最小整数解为0，故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．（3分）（2018•娄底）如图所示立体图形的俯视图是（）A． B． C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】1 ：常规题型．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．8．（3分）（2018•娄底）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥2且x≠3．故选：C．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．（3分）（2018•娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【专题】46 ：几何变换．【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【解答】解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．化简，得y=2x﹣4，故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．10．（3分）（2018•娄底）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm【考点】R2：旋转的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，易得AC=2CH=x，细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，利用水的体积不变得到x•S+x•2S=6•S+6•S，然后求出x后计算出AC即可．【解答】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，∵∠BAH=90°﹣60°=30°，∴AC=2CH=x，∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，∴AC=2x=8，即AB中水柱的长度约为8cm．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．（3分）（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】KR：勾股定理的证明；T7：解直角三角形．【专题】1 ：常规题型．【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+（7+AC）2=132，整理得，AC2+7AC﹣60=0，解得AC=5，AC=﹣12（舍去），∴BC==12，∴sinα==，cosα==，∴sinα﹣cosα=﹣=﹣，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．12．（3分）（2018•娄底）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1【考点】CB：解一元一次不等式组；E5：函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：f（1）=[]﹣[]=0﹣0=0，故选项A正确；f（k+4）=[]﹣[]=[+1]﹣[+1]=[]﹣[]=f（k），故选项B正确；C、当k=3时，f（3+1）=[]﹣[]=1﹣1=0，而f（3）=1，故选项C错误；D、当k=3+4n（n为自然数）时，f（k）=1，当k为其它的正整数时，f（k）=0，所以D选项的结论正确；故选：C．【点评】本题考查解一元一次不等式组、函数值，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2018•娄底）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为1．【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用反比例函数的性质结合系数k的几何意义得出答案．【解答】解：∵点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，∴△POA的面积为：AO•PA=xy=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出△POA的面积是解题关键．14．（3分）（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1＜S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）【考点】MI：三角形的内切圆与内心；K6：三角形三边关系；KF：角平分线的性质．【专题】552：三角形；559：圆的有关概念及性质．【分析】过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，根据内心的定义可得PD=PE=PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解．【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的内心，∴PD=PE=PF，∵S1=AB•PD，S2=BC•PF，S3=AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．【点评】考查了三角形的内切圆与内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心的定义得PD=PE=PF．15．（3分）（2018•娄底）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为．【考点】X6：列表法与树状图法．【专题】1 ：常规题型；543：概率及其应用．【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出选修地理和生物的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果，所以选修地理和生物的概率为，故答案为：．【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（3分）（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=6cm．【考点】KH：等腰三角形的性质；K3：三角形的面积．【专题】1 ：常规题型．【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，又S△△ABC=AC•BF，将AC=AB代入即可求出BF．ABC【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，∴S△ABC=AC•BF，∵S△ABC∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．17．（3分）（2018•娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=1．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MC：切线的性质．【专题】559：圆的有关概念及性质．【分析】想办法证明△AEO∽△OEB，可得=，推出AE•BE=OE2=1．【解答】解：如图连接OE．∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，∴∠EAO=∠EOB，∵∠AEO=∠OEB=90°，∴△AEO∽△OEB，∴=，∴AE•BE=OE2=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．18．（3分）（2018•娄底）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，a n表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，则a2018=4035．【考点】37：规律型：数字的变化类．【专题】1 ：常规题型．【分析】由4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，可得（a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n=（a n+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出a n+1=a n+2，根据a1=1，分别求出a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律a n=2n﹣1，即可求出a2018=4035．【解答】解：∵4a n=（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2，﹣1）2=（a n﹣1）2+4a n=（a n+1）2，∴（a n+1∵a1，a2，a3……是一列正整数，﹣1=a n+1，∴a n+1∴a n=a n+2，+1∵a1=1，∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，…，∴a n=2n﹣1，∴a2018=4035．故答案为4035．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现=a n+2．的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子a n+1三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2018•娄底）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答本题．【解答】解：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°=1+9﹣+4×=1+9﹣2+2=10．【点评】本题考查实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．（6分）（2018•娄底）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．【考点】6D：分式的化简求值．【专题】11 ：计算题；513：分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=，当x=时，原式==3+2．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2018•娄底）为了取得贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求样本容量；（2）补全条形图，并填空：n=10；（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？【考点】VC：条形统计图；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】（1）用B等级人数除以其所占百分比可得；（2）总人数减去A、B、D人数求得C的人数即可补全条形图，用D等级人数除以总人数可得n 的值；（3）总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得．【解答】解：（1）样本容量为18÷30%=60；（2）C等级人数为60﹣（24+18+6）=12人，n%=×100%=10%，补全图形如下：故答案为：10；（3）估计本次测试成绩为A级的人数为5000×=2000人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】11 ：计算题．【分析】作EH⊥AC于H，设AC=24x，根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出CD，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可．【解答】解：作EH⊥AC于H，则四边形EDCH为矩形，∴EH=CD，设AC=24x，在Rt△ADC中，sinα=，∴AD=25x，由勾股定理得，CD==7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔AB的高度为28m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2018•娄底）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？【考点】FH：一次函数的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【专题】1 ：常规题型．【分析】（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据x为正整数，得出x=1，2，3．进而求解即可；（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．【解答】解：（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，解得x≤3，∵x为正整数，∴x=1，2，3．∴该景区有三种设计方案：方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；方案三：购买A种设备3台，B种设备7台；（2）各方案购买费用分别为：方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：42.6×0.9=38.34（万元）；方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：41.2×0.9=37.08（万元）；方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；∵37.08＜38.04＜39.8，∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键．24．（9分）（2018•娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【专题】555：多边形与平行四边形．【分析】（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；（2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF．（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AD=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵OB=OD，EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2018•娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．【考点】MR：圆的综合题．【专题】15 ：综合题；559：圆的有关概念及性质；55A：与圆有关的位置关系；55D：图形的相似．【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD=90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD=90°，据此可得答案；（2）连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，证△ADE∽△CBE得DE•CE=AE•BE=r2﹣OE2，由=知∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理知CE2=OE2+r2、BC2=2r2，据此得BC2﹣CE2=r2﹣OE2，从而得证；（3）先求出BC=4、CE=2，根据BC2﹣CE2=CE•DE计算可得．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠PBD；（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴=，即DE•CE=AE•BE，如图，连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，则DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，∵=，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，则BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，∴BC2﹣CE2=DE•CE；（3）∵OA=4，∴OB=OC=OA=4，∴BC==4，又∵E是半径OA的中点，∴AE=OE=2，则CE===2，∵BC2﹣CE2=DE•CE，∴（4）2﹣（2）2=DE•2，解得：DE=．【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．26．（10分）（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】537：函数的综合应用．【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD 的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可得出S=﹣x2+4x﹣3，△BDF再利用二次函数的性质即可解决最值问题；②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，则∠AEF1=∠DBE、∠AEF2=∠DBE，根据EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）．（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0），将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3），∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3，=FM•（y B﹣y D）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1．∴S△BDF∵﹣1＜0，取最大值，最大值为1．∴当x=2时，S△BDF②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示．∵EF1∥BD，∴∠AEF1=∠DBE．∵ON=ON′，EO⊥NN′，∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0），∴点E的坐标为（1，0）．设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1，将E（1，0）代入y=﹣2x+b1，﹣2+b1=0，解得：b1=2，∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2．联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，，解得：，（舍去），∴点F1的坐标为（2﹣，2﹣2）．当x=0时，y=﹣2x+2=2，。