参数估计的方法及其的应用共80页

高考数学知识点解析参数估计的方法与性质高考数学知识点解析：参数估计的方法与性质在高考数学中，参数估计是一个重要的知识点，它在统计学和概率论中有着广泛的应用。

理解和掌握参数估计的方法与性质，对于解决相关的数学问题以及在实际生活中的数据分析都具有重要意义。

一、参数估计的基本概念参数估计是指从样本数据中估计总体参数的值。

总体参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体方差等。

而样本则是从总体中抽取的一部分数据。

通过对样本数据的分析和处理，我们试图推测出总体参数的大致范围或准确值。

二、参数估计的方法1、点估计点估计是用一个具体的数值来估计总体参数。

常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。

（1）矩估计法矩估计法的基本思想是利用样本矩来估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。

例如，对于总体均值的估计，可以用样本均值来代替；对于总体方差的估计，可以用样本方差来代替。

（2）最大似然估计法最大似然估计法是基于样本出现的概率最大的原则来估计参数。

假设总体服从某种分布，通过求解使得样本出现概率最大的参数值，即为最大似然估计值。

2、区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数落在这个区间内的可能性较大。

这个区间被称为置信区间，而与之对应的概率称为置信水平。

三、参数估计的性质1、无偏性如果一个估计量的期望值等于被估计的参数，那么这个估计量就是无偏估计量。

无偏性意味着在多次重复抽样和估计的过程中，估计量的平均值会趋近于真实参数值。

2、有效性在多个无偏估计量中，方差越小的估计量越有效。

有效性反映了估计量的精度，方差小表示估计值的波动较小，更接近真实值。

3、一致性当样本容量无限增大时，如果估计量的值越来越接近被估计的参数，那么这个估计量就是一致估计量。

一致性保证了在样本量足够大时，估计量能够准确地反映总体参数。

四、参数估计在实际问题中的应用1、质量控制在生产过程中，通过对样本产品的检测和参数估计，可以推断出整批产品的质量情况，从而决定是否需要调整生产流程。

参数估计方法参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指根据样本数据推断总体参数的过程。

在实际应用中，我们往往需要利用已知数据来估计总体的各种参数，比如均值、方差、比例等。

参数估计方法有很多种，其中最常用的包括最大似然估计和贝叶斯估计。

本文将对这两种参数估计方法进行详细介绍，并分析它们的优缺点。

最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是建立在似然函数的基础上的。

似然函数是关于总体参数的函数，它衡量了在给定参数下观察到样本数据的概率。

最大似然估计的思想是寻找一个参数值，使得观察到的样本数据出现的概率最大。

换句话说，就是要找到一个参数值，使得观察到的样本数据出现的可能性最大化。

最大似然估计的优点是计算简单，且在大样本情况下具有较好的渐近性质。

但是，最大似然估计也有一些局限性，比如对于小样本情况下可能会出现估计不准确的问题。

另一种常用的参数估计方法是贝叶斯估计。

贝叶斯估计是建立在贝叶斯定理的基础上的，它将参数看作是一个随机变量，而不是一个固定但未知的常数。

在贝叶斯估计中，我们需要先假设参数的先验分布，然后根据观察到的样本数据，利用贝叶斯定理来计算参数的后验分布。

贝叶斯估计的优点是能够充分利用先验信息，尤其在小样本情况下具有较好的稳定性。

但是，贝叶斯估计也存在一些问题，比如对于先验分布的选择比较敏感，且计算复杂度较高。

在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的参数估计方法。

对于大样本情况，最大似然估计可能是一个不错的选择，因为它具有较好的渐近性质。

而对于小样本情况，贝叶斯估计可能更适合，因为它能够充分利用先验信息，提高估计的稳定性。

当然，除了最大似然估计和贝叶斯估计之外，还有很多其他的参数估计方法，比如矩估计、区间估计等，每种方法都有其特点和适用范围。

总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它涉及到如何根据已知数据来推断总体的各种参数。

最大似然估计和贝叶斯估计是两种常用的参数估计方法，它们各有优缺点，适用于不同的情况。

第七章 参数估计第一节 基本概念1、概念网络图{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧单正态总体的区间估计区间估计一致性有效性无偏性估计量的评选标准极大似然估计矩估计点估计从样本推断总体2、重要公式和结论例7．1：设总体),(~b a U X ，求对a, b 的矩估计量。

例7．2：设n x x x ,,,,21 是总体的一个样本，试证（1）;2110351321x x x ++=∧μ （2）;12541313212x x x ++=∧μ（3）.12143313213x x x -+=∧μ都是总体均值u 的无偏估计，并比较有效性。

例7．3：设n x x x ,,,,21 是取自总体),(~2σμN X 的样本，试证∑=--=ni i x x n S 122)(11 是2σ的相合估计量。

第二节 重点考核点矩估计和极大似然估计；估计量的优劣；区间估计第三节 常见题型1、矩估计和极大似然估计例7．4：设0),,0(~>θθU X ，求θ的最大似然估计量及矩估计量。

例7．5：设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥=--.,0,1)(/)(其他μθθμx e x f x其中θ>0, θ,μ为未知参数，n X X X ,,,21 为取自X 的样本。

试求θ,μ的极大似然估计量。

2、估计量的优劣例7．6：设n 个随机变量n x x x ,,,21 独立同分布，,)(11,1,)(122121∑∑==--===n i i n i i x x n S x n x x D σ 则（A ）S 是σ的无偏估计量；（B ）S 是σ的最大似然估计量； （C ）S 是σ的相合估计量；（D ）x S 与2相互独立。

例7．7：设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=,,0,0),(6)(3其他θθθx x xx fn X X X ,,,21 是取自X 的简单随机样本。

（1） 求θ的矩估计量∧θ；（2） 求∧θ的方差D （∧θ）；（3） 讨论∧θ的无偏性和一致性（相合性）。

参数估计的方法矩法一、矩的概念矩(moment )分为原点矩和中心矩两种。

对于样本n y y y ，，， 21，各观测值的k 次方的平均值，称为样本的k 阶原点矩，记为k y ，有∑==n i k i k y n y 11，例如，算术平均数就是一阶原点矩；用观测值减去平均数得到的离均差的k 次方的平均数称为样本的k 阶中心矩，记为k y y )(-或k μˆ，有∑-=-=ni k i k y y n y y 1)(1)(，例如，样本方差∑-=n i i y y n 12)(1就是二阶中心矩。

对于总体N y y y ，，， 21，各观测值的k 次方的平均值，称为总体的k 阶原点矩，记为)(k y E ，有∑==N i k i k y N y E 11)(；用观测值减去平均数得到的离均差的k 次方的平均数称为总体的k 阶中心矩，记为])[(k y E μ-或k μ，有∑-=-=N i k i k y N y E 1)(1])[(μμ。

二、矩法及矩估计量所谓矩法就是利用样本各阶原点矩来估计总体相应各阶原点矩的方法，即 ∑==n i ki k y n y 11→)(k y E(8·6)并且也可以用样本各阶原点矩的函数来估计总体各阶原点矩同一函数，即若))(，)，()，((k y E y E y E f Q 2=则)，，，(k y y y f Q 2ˆ= 由此得到的估计量称为矩估计量。

[例8.1] 现获得正态分布)，(2σμN 的随机样本n y y y ，，， 21，要求正态分布)，(2σμN 参数μ和2σ的矩估计量。

首先，求正态分布总体的1阶原点矩和2阶中心矩：⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅=⎰=∞+∞-∞+∞-μσμσπdy y y dy y yf y E 22exp 2)(21)()( (此处⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22exp σμ2)(y 表示自然对数底数e 的⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22σμ2)(y 的指数式，即][2)(22σμ--y e )22222exp σσμσπμμμ⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅-=⎰-=-∞+∞-∞+∞-dy y y dy y f y y E 2)(21)()()()][(2 然后求样本的1阶原点矩和2阶中心矩，为∑-==∑====n i i n i i y y n s y n y 12221ˆˆ)(1，1μμ 最后，利用矩法，获得总体平均数和方差的矩估计 ∑-==∑====n i i ni i y y n s y n y 12221ˆˆ)(1，1σμ故总体平均数和方差的矩估计值分别为样本平均数和样本方差，方差的分母为n 。