三角形“四心”定义与性质知识讲解

初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。

2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。

在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

三角形四心三角形四心要点诠释：(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点.(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.1、三角形外心：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

三角形的三条垂直平分线必交于一点已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O求证：O点在BC的垂直平分线上证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO∵EO垂直平分AC，∴AO=CO∴BO=CO即O点在BC的垂直平分线上三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

3. 锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA（圆心角＝2同弧圆周角）6.S△ABC=abc/4R2、三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

三角形三条角平分线必交于一点证明己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC求证：OC平分∠ACB证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F∵AO平分∠BAC,∴OD=OF；∵BO平分∠ABC,∴OE=OF ；∴OD=OF∴O在∠ACB角平分线上∴CO平分∠ACB三角形内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△ABC=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)3、三角形的垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC 的重心一般用字母O 表示。

性质：1. 外心到三顶点等距，即OA OB OC 。

2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD BC ,OE AC ,OF AB .1 1 13. A BOC B AOC C AOB, ,2 2 2二、三角形的内心。

定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2. 三角形的面积＝12三角形的周长内切圆的半径．3. AE AF ,BF BD ,CD CE ；AE BF CD 三角形的周长的一半。

1 1 14. , 90 ，AIB C5.BIC 90 A CIA B 90 。

2 2 2三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC 的重心一般用字母H 表示。

性质：1. 顶点与垂心连线必垂直对边，即AH BC ,BH AC ,CH AB。

2. △ABH 的垂心为 C ，△BHC 的垂心为 A ，△ACH 的垂心为 B 。

1四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC 的重心一般用字母G 表示。

性质：4.顶点与重心G 的连线必平分对边。

5.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2 倍。

即GA 2GD , GB 2GE , GC 2GF6.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即x x x y y yA B C A B Cx , y .G G3 37.向量性质：（1）G A GB GC 0；1（2）( )PG PA PB PC ，38.S1BGC S S SCGA AGB3A BC。

五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为ABC 所在的平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA，则点O 为ABC 的垂心。

三角形四心及其性质总结三角形的四心是三角形内部以及外部的四个特殊点，它们是重心、垂心、外心和内心。

这四个特殊点在三角形的性质研究中起到了重要的作用。

下面我们对这四个特殊点及其性质进行详细总结。

一、重心：重心是三角形内部最重要的特殊点之一，也是最容易计算的一个点。

重心是由三角形的三条中线的交点确定的，其中中线是三角形的两个顶点与对边中点之间的线段。

重心的性质：1.重心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于中线的一半。

2.重心将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的重心都与大三角形的重心重合。

3.重心所在的直线与三角形的垂心所在的直线相交于三角形内部的其中一点。

4.重心到三角形的顶点的距离等于重心到该顶点所在直线上任一点的距离之和的二倍。

二、垂心：垂心是三角形内部的一个重要特殊点，它是由三角形的三条高的交点确定的，其中高是三角形的顶点与对边垂直的线段。

垂心的性质：1.垂心到三角形的三个顶点以及对边的距离互相相等。

2.垂心的连线与三角形的顶点构成的线段组成的三角形与原三角形形成的角互补。

3.垂心到三角形的边的垂直距离之和是最小的，也就是说垂心到三角形的边的距离最短。

三、外心：外心是三角形外接圆的圆心，它是由三角形的三个顶点的垂直平分线的交点确定的。

外心的性质：1.外心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于外心到三角形的任一边的垂直距离。

2.外心是垂心与三角形的三个顶点的中垂线的交点所确定的，也就是说外心是垂心、重心和媒心的垂线交点。

3.外心到三角形的每条边的距离等于外心到该边所在直线上任一点的距离之和的二倍。

4.外心是连接三角形顶点与对边上等腰三角形顶点的线段的垂直平分线的交点所确定的。

四、内心：内心是三角形内切圆的圆心，它是由三条三角形的角的平分线的交点确定的。

内心的性质：1.内心到三角形的每条边的距离相等，且等于内切圆的半径。

2.内心是连接三角形的每个顶点与对边上切点的线段的垂直平分线的交点所确定的。

三角形4心的概念
三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。

1.重心：三角形三条中线的交点，其证明定理有燕尾定理或塞瓦定理，应用定理有梅涅劳斯定理、塞瓦定理。

2.垂心：三角形三条高线的交点，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

3.内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

4.外心：三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点，用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

三角形 “四心 ”定义与性质所谓三角形的 “四心 ”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心 定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC 的外心一般用字母 O 表示。

性质：1． 外心到三极点等距，即 OA OB OC 。

2． 外心与三角形边的中点 的连线垂直于三角形的这一边，即ODBC ,OE AC, OF AB .3. A1 BOC ,1 AOC , C12 BAOB 。

22二、三角形的内心定义：三角形三条角均分线 的交点叫做三角形的内心， 即内切圆圆心。

ABC 的内心一般用字母 I表示，它拥有以下性质： 性质：1.内心到三角形 三边等距 ，且极点与内心的连线均分顶角。

2.三角形的面积＝1三角形的周长 内切圆的半径．23. AE AF , BF BD ,CD CE ；AE BF CD 三角形的周长的一半。

4. BIC1 1 1 C 。

90A, CIA 90B ， AIB 90222三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫垂心。

ABC 的垂心一般用字母 H 表示。

性质：1、极点与垂心连线必垂直对边，即 AHBC , BHAC ,CHAB 。

四、三角形的 “重心 ”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC 的重心一般用字母 G 表示。

性质：1.极点与重心 G 的连线必均分对边。

2.重心定理：三角形重心与极点的距离等于它与对边中点的距离的2 倍。

即 GA 2GD, GB 2GE, GC 2GF三角形的三条中线订交于一点，这个交点称为三角形的重心 .三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三均分点 .例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为 2： 1. 已知D、E、F 分别为 V ABC 三边 BC、CA、AB 的中点，求证 AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2：1.证明：三角形的三条角均分线订交于一点，是三角形的内心 . 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等 .例 2已知ABC 的三边长分别为BC = a, AC = b, AB = c ，I为ABC 的内心，且I 在ABC 的边b +c - aBC、 AC、AB 上的射影分别为 D、E、F ，求证：AE = AF =.证明例 3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知O 为三角形 ABC 的重心和内心 .求证三角形 ABC 为等边三角形 .证明正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心 .。

三角形“四心”定义与性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

三角形的“四心”（内心、外心、重心、垂心）（曲老师推荐用）中考数学专题之：三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ?的重心一般用字母O 表示。

性质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ?的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝?21三角形的周长?内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ?的重心一般用字母H 表示。

性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ?的重心一般用字母G 表示。

性质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=.。

三角形“四心”界说与性质之羊若含玉创作所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及心坎.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心.ABC ∆的重心一般用字母O 暗示.性 质：1.外心到三极点等距，即OC OB OA ==.2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21.二、三角形的心坎定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的心坎，即内切圆圆心.ABC ∆的心坎一般用字母I 暗示，它具有如下性质： 性 质：1.心坎到三角形三边等距，且极点与心坎的连线平分顶角.2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径．3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半.4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 .三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母H 暗示.性 质：1.极点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,.2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B .四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母G 暗示.性 质：1.极点与重心G 的连线必平分对边.2.重心定理：三角形重心与极点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三极点坐标的平均值．即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=.4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31.五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，知足⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心.结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，知足222222+=+=+，则点O 为ABC ∆的垂心.结论3：若点G 知足0=++GC GB GA ，则点G 为ABC ∆的重心. 结论4：若点G 为ABC ∆所在的平面内一点，知足)(31OC OB OA OG ++=，则点G 为ABC ∆的重心.结论5：若点I 为ABC ∆所在的平面内一点，并且知足=⋅+⋅+⋅c b a（其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的心坎. 结论6：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，知足⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心.结论7：设()+∞∈,0λ，则向量(=λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的心坎.。

第二十八讲 三角形的四心一、三角形的外心1．定义：三角形三边中垂线的交点（即外接圆的圆心）。

2．性质与判定：⑴ 点O 为△ABC 的外心OA OB OC ⇔==；⑵ 点O 为△ABC 的外心且90A ∠≤,2OB OC BOC A ⇔=∠=∠；⑶ 点O 为△ABC 的外心且90A ∠>,3602OB OC BOC A ⇔=∠=-∠。

二、三角形的重心1．定义：三角形三边中线的交点。

2．性质与判定：⑴ 点G 为△ABC 的重心⇔点G 分任一条中线之比为2:1；⑵ 点G 为△ABC 的重心⇔S △GBC = S △GAB = S △GCA =13S △ABC 。

三、三角形的内心1．定义：三角形三条角平分线的交点（即内切圆的圆心）。

2．性质与判定：点I 为△ABC 的内心⇔点I 到三边的距离相等且点I 在三角形内部；3．三角形面积与内切圆半径及三边关系：1()2S a b c r =++⋅。

四、三角形的垂心定义：三角形三高的交点。

五、四心间的关系三角形的四心之间有十分密切的关系，其中最典型的是欧拉线，三角形的垂心H 、重心G 以及外心三点共线且HG=2OG ；欧拉公式：22222,4OI R Rr OH R Rr =-=-； 对于正三角形来说，四心重合，这个点也叫做三角形的中心；对于锐角三角形来说，设点P 为△ABC 内一点，且P 点到BC 、CA 、AB 的距离分别为x,y,z ，则：⑴ 若P 为内心：::1:1:1x y z =⑵ 若P 为重心：111::::x y z a b c= ⑶ 若P 为外心：::cos :cos :cos x y z A B C =⑷ 若P 为垂心：111::::cos cos cos x y z A B C=【例1】如图，已知平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，AB=10，AC=9，DE=12。

求平行四边形ABCD 的面积。

思路点拨：设AC 交DE 于O ，可推出G 为△ABD 重心。