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三角形4心的概念
三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。
1.重心：三角形三条中线的交点，其证明定理有燕尾定理或塞瓦定理，应用定理有梅涅劳斯定理、塞瓦定理。
2.垂心：三角形三条高线的交点，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
3.内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
4.外心：三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点，用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
三角形的四心
重心：三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
外心：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
3、外心到三顶点的距离相等
垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
内心：三角形的三条内角平分线交于一点，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
2、内心到三角形三边距离相等。
三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的外心一般用字母O 表示。
性 质：1． 外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2． 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫垂心。
ABC ∆的垂心一般用字母H 表示。
性 质：1、顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D 、E 、F 分别为ABC V 三边BC 、CA 、AB 的中点，求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.证明：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.例 2 已知ABC ∆的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF +-==. 证明例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知 O 为三角形ABC 的重心和内心.求证 三角形ABC 为等边三角形.证明正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.。
三角形 “四心 ”定义与性质所谓三角形的 “四心 ”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心 定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC 的外心一般用字母 O 表示。
性质：1． 外心到三极点等距，即 OA OB OC 。
2． 外心与三角形边的中点 的连线垂直于三角形的这一边，即ODBC ,OE AC, OF AB .3. A1 BOC ,1 AOC , C12 BAOB 。
22二、三角形的内心定义：三角形三条角均分线 的交点叫做三角形的内心， 即内切圆圆心。
ABC 的内心一般用字母 I表示，它拥有以下性质： 性质：1.内心到三角形 三边等距 ，且极点与内心的连线均分顶角。
2.三角形的面积＝1三角形的周长 内切圆的半径．23. AE AF , BF BD ,CD CE ；AE BF CD 三角形的周长的一半。
4. BIC1 1 1 C 。
90A, CIA 90B ， AIB 90222三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫垂心。
ABC 的垂心一般用字母 H 表示。
性质：1、极点与垂心连线必垂直对边，即 AHBC , BHAC ,CHAB 。
四、三角形的 “重心 ”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC 的重心一般用字母 G 表示。
性质：1.极点与重心 G 的连线必均分对边。
2.重心定理：三角形重心与极点的距离等于它与对边中点的距离的2 倍。
即 GA 2GD, GB 2GE, GC 2GF三角形的三条中线订交于一点，这个交点称为三角形的重心 .三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三均分点 .例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为 2： 1. 已知D、E、F 分别为 V ABC 三边 BC、CA、AB 的中点，求证 AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2：1.证明：三角形的三条角均分线订交于一点，是三角形的内心 . 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等 .例 2已知ABC 的三边长分别为BC = a, AC = b, AB = c ，I为ABC 的内心，且I 在ABC 的边b +c - aBC、 AC、AB 上的射影分别为 D、E、F ，求证：AE = AF =.证明例 3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知O 为三角形 ABC 的重心和内心 .求证三角形 ABC 为等边三角形 .证明正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心 .。
三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心. 一、外心【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心.ABC ∆的重心一般用字母O 表示. 【性质】1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==.2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21.二、内心【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.ABC ∆的内心一般用字母I 表示. 【性质】1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径．3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半.4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 .三、垂心【定义】三角形三条高的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母H 表示. 【性质】1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,.2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的 垂心为A ，△ACH 的垂心为B .四、重心【定义】三角形三条中线的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母G 表示. 【性质】1.顶点与重心G 的连线必平分对边.2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍. 即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3CB AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31.三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅， 则点O 为ABC ∆的垂心.结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心.结论3：若点G 满足0=++GC GB GA ，则点G 为ABC ∆的重心.结论4：若点G 为ABC ∆所在的平面内一点，满足)(31OC OB OA OG ++=，则点G 为ABC ∆的重心.结论5：若点I 为ABC ∆所在的平面内一点，并且满足0=⋅+⋅+⋅IC c IB b IA a（其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的内心. 结论6：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心. 结论7：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AB AP =λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心.向量和“心”一、“重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．如图⑴.A'A【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心. 【解析】 由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．【解析】 由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.【命题4】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点图⑴图⑵图⑶图⑷AOP 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，由于 0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C ⋅⋅+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭．∵AB AB 与AC AC分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．图⑸ 图⑹B同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸. 【命题6】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．【解析】 由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心．【解析】 若222OA OB OC ==，则222OA OB OC ==，∴OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心，如图⑺.【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心. 【解析】 由于2OB OC+过BC 的中点，当(0)λ∈+∞，时，cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+⎪⎝⎭表示垂直于BC 的向量，所以P 在BC 垂直平分线上，图⑺图⑻动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻.练习：1.已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ） A ．2 B ．23C ．3D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23C ．45D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6.ABC ∆的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OC OB OA m OH ++=， 则实数m =7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 ,则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。
三角形“四心”定义与性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
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三角形的“四心”
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、
垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时,
四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心
定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，
即外接圆圆心。
ABC的重心一般用字母0表示。
性质：
1.外心到三顶点等距，即OA OB 0C。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一
边，即OD BC,OE AC,OF AB.
1
3. A BOC, B
2
二、三角形的内心
定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC的内心一
般用字母I表示，它具有如下性质:
性质：
1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
1
2. 三角形的面积= 三角形的周长内切圆的半径.
2
3. AE AF,BF BD,CD CE ；
AE BF CD 三角形的周长的一半。
1 1
4. BIC 90 — A, CIA 90 — B, AIB 90
2 2
三、三角形的垂心
定义：三角形三条高的交点叫重心。
性质：1. 顶点与垂心连线必垂直对边，即AH BC, BH AC,CH AB。
-AOC, C - AOB。
2 2
2. △ ABH的垂心为C , △ BHC的垂心为A , △ ACH的垂心为B。
ABC的重心一般用字母H表示。
只供学习与交流。
三角形的“四心”（内心、外心、重心、垂心）（曲老师推荐用）中考数学专题之：三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ?的重心一般用字母O 表示。
性质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ?的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝?21三角形的周长?内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ?的重心一般用字母H 表示。
性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ?的重心一般用字母G 表示。
性质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=.。
三角形的四心定义及其性质总结
三角形是几何图形中最常见的形状，许多几何中的问题都与它有关。
三角形的形态也极其复杂，可以根据它的内部特征和外部特征来分类。
其中，四心定义及其性质决定了三角形的结构特征，在几何图形学中非常重要，下面就四心定义及其性质进行总结。
四心定义是指重心、内心、外心和垂心四种中心，它们对三角形的特征有着重要的影响，如重心是三角形内任何两点连线的重点，内心是三角形内角平分线交点；外心是三角形外接圆的圆心；垂心是三角形内角垂线的交点。
四心定义的性质也极其复杂，其中最重要的性质有：
1、重心的性质：重心是三角形内任何两点连线的重点，同时也
是三角形三条边的重点，所有三角形的重心都在三角形内部，而且重心到三角形内角的距离都相等，构成了三角形的等腰三角形。
2、内心的性质：内心是三角形内角平分线的交点，由内心和三
角形的三个顶点构成的三条线段相等，所以又称之为等边三角形；内心到三角形三个顶点的距离都相等，也构成了三角形的等腰三角形。
3、外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，同时也是三角形
三条外边中点的重点，所有三角形的外心都在三角形外部。
4、垂心的性质：垂心是三角形内角垂线的交点， three medians of a triangle are concurrent at the orthocenter，以又称之为
正切点，垂心到三角形三个顶点的距离都不相等。
总之，四心定义及其性质是了解三角形结构特征不可或缺的知识，
在几何图形学中发挥着重要作用。
例如它可以帮助我们判断一个三角形是等腰三角形还是等边三角形，也可以用来求取一个三角形的边长、面积等其他参数。
三角形四心
一、重心：三条边的中线交于一点
性质：
1 、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰ 1 。
2 、重心和三角形
3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3 、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。
二、外心：三条边的垂直平分线交于一点。
该三角形外接圆的圆心，
性质：
1、外心到三角形三个顶点的距离相等
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形
外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。
三、垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点。
性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7 个点可以得到 6 个四点圆。
2、三角形外心 O、重心 G 和垂心H 三点共线，且 OG ︰ GH=1 ︰ 2 。
（此直线称为三角形的欧拉线（ Euler line））
3 、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的 2 倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、内心：三条内角平分线交于一点。
即三角形内切圆的圆心。
性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
2、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
三角形四心概念
三角形四心是指三角形内部或外部的四个特殊点，这些点分别是三角形的重心、垂心、内心和外心。
每个点都有其独特的性质和定义，它们在几何学中有着重要的作用，尤其是在解决与三角形相关的问题时。
下面是这四个心的概念。
1.重心（centroid）：
定义：三角形三条中线（即连接顶点与对边中点的线段）的交点。
性质：重心将每条中线分为两段，其中靠近顶点的部分是中线的2/3，靠近中点的部分是1/3。
重心到三个顶点的距离相等，且等于重心到对边中点的距离的2倍。
2.垂心（circumcenter）：
定义：三角形三条高线（即从顶点垂直于对边的线段）的交点。
性质：垂心到三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。
在锐角三角形中，垂心位于三角形内部；在直角三角形中，垂心位于直角顶点；在钝角三角形中，垂心位于三角形外部。
3.内心（incenter）：
定义：三角形三条角平分线（即从顶点出发平分内角的线段）的交点。
性质：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。
内心的连线（即内角平分线）也会将三角形的每个角平分成两个相等的角。
4.外心（circumcenter）：
定义：三角形三条中垂线（即从顶点垂直于对边的线段）的交点。
性质：外心到三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。
外心是外接圆的圆心，外接圆通过三角形的三个顶点。
这四个心在解决几何问题时非常有用，特别是在计算三角形的面积、角度、边长以及圆的半径等方面。
每个心都有其独特的几何特征和应用，对于理解和分析三角形的性质有着重要的意义。
三角形的四心定义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
三角形四心1.外心：三角形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。
△ABC 的外心一般用字母O 表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC 。
(2)∠A=AOB C AOC B BOC ∠=∠∠=∠∠21,21,21。
2.内心：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
△ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：(1)(2)∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D ，则D 与顶点B 、C 、内心I 等距(即D 为△BCI 的外心)。
(3)∠BIC=90º+21∠A ，∠CIA=90+21∠B ，∠AIB=90º+21∠C 。
3.垂心：三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。
△ABC 的垂心一般用字母H表示，它具有如下的性质： (1)顶点与垂心连线必垂直对边，即AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，CH ⊥AB 。
(2)若H 在△ABC 内，且AH 、BH 、CH 分别与对边相交于 D 、E 、F ，则A 、F 、H 、E ；B 、D 、H 、F ；C 、E 、H 、D ；B 、C 、E 、F ；C 、A 、F 、D ；A 、B 、D 、E 共六组四点共圆。
(3)△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。
4.重心：三角形三条中线的交点叫三角形的重心。
△ABC 的重心一般用字母G 表示，它有如下的性质：(1)顶点与重心G 的连线必平分对边。
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于 它与对边中点的距离的2倍。
(3)ABC AGBCGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
练习1、三角形的三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的 心；三个角的平分线的交点叫做三角形的 心；三条中线的交点叫做三角形的 心；三条高线的交点叫做三角形的 心。
三角形“四心”定义与性质
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心
定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，
即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：
1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一
边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠2
1,21,21。
二、三角形的内心
定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：
性 质：
1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯2
1三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；
=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2
190 。
三、三角形的垂心
定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：
1.顶点与垂心连线必垂直对边，
即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的
垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：
定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：
1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===
3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3
,3C B A
G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；
（2）)(31PC PB PA PG ++=
，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===3
1。
五、三角形“四心”的向量形式：
结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅， 则点O 为ABC ∆的垂心。
结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心。
结论3：若点G 满足0=++GC GB GA ，则点G 为ABC ∆的重心。
结论4：若点G 为ABC ∆所在的平面内一点，满足)(3
1OC OB OA OG ++=
， 则点G 为ABC ∆的重心。
结论5：若点I 为ABC ∆所在的平面内一点，并且满足0=⋅+⋅+⋅IC c IB b IA a
（其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的内心。
结论6：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。
结论7：设()+∞∈,0λ，则向量||||(
AC AC AB AB AP =λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。
