直角三角形的判定(斜边、直角边)HL

直角边斜边定理hl证明直角边斜边定理是一个简单而重要的几何原理，它可以帮助我们计算和理解直角三角形的性质。

在本文中，我将详细介绍直角边斜边定理的概念和证明过程，希望能帮助读者更好地理解该定理的原理和应用。

1. 何为直角边斜边定理直角边斜边定理又被称为毕达哥拉斯定理，它阐述了直角三角形的边长关系。

直角三角形是一种具有一个内角为90度的三角形，其中包括一个直角，即一个内角等于90度的角。

根据直角边斜边定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 直角边斜边定理的证明过程为了证明直角边斜边定理，我们可以利用几何知识和代数运算。

假设直角三角形的两个直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。

我们可以通过以下证明过程来得到直角边斜边定理。

证明过程：（1）根据勾股定理，我们知道在任何三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

即 a^2 + b^2 = c^2。

（2）我们可以通过几何推导来证明这一点。

假设直角边 a 为底边，在直角三角形中构造一个以 a 为底边，长度为 b 的线段 perpendicular bisector。

这个线段将底边 a 平分，并且与斜边 c 相交于直角点和直角边 b 的中点。

（3）根据几何性质，我们知道这个线段将直角三角形分成了两个全等的直角三角形。

我们可以得到两个全等三角形中的对应边长关系，即 a = b 和直角边 a 的上半部分长度为 b/2。

（4）使用平行线性质，我们还可以得出斜边 c 分成的两条线段之间的关系。

即 c = a + b/2。

（5）将这些等式代入勾股定理的公式中，我们有 a^2 + b^2 = (a + b/2)^2，然后展开和化简这个方程，我们可以得到 a^2 + b^2 =c^2。

（6）根据这个推导过程，我们证明了直角边斜边定理，即直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

3. 直角边斜边定理的应用直角边斜边定理在几何学和实际生活中具有广泛的应用。

对于任何给定两条直角边的长度，我们可以利用直角边斜边定理来计算斜边的长度。

直角三角形全等的判定（HL）说课稿各位老师，大家好:我说课的课题是人教版八年级数学上册12。

2。

4直角三角形全等的判定。

我从以下四大部分来说课。

一、教材分析（一）教材所处的地位和作用:本节课探索的是直角三角形全等的条件.通过探究活动，使学生在实践中学习，是培养学生自主学习，合作交流的好素材。

三角形全等是贯穿这一章的主线，是初中阶段证线段和角相等的主要工具。

而探索斜边与直角边长度之比则是学习三角函数的基础。

因此，这节课有利于学生形成完整的数学知识结构，有利于培养学生的能力,是学习后续几何课程的基础。

（二）教学目标1学会推导斜边、直角边定理。

2.熟练利用斜边、直角边定理判断两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。

2. 经历探索三角形全等条件的过程,进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题的方法。

3.通过斜边、直角边定理的推导渗透变换的思想,培养学生一题多解的思维能力，拓宽学生的知识面，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦.(三) 教学重点,难点重点：“HL”公理的推导过程。

难点:如何用几何语言有条理的，清晰的阐述自己的观点。

二、教学方法的选择与应用本课采用师生互动的方式，以多媒体手段辅助教学,创设情境，以开放性的问题启发学生思考，引导学生总结出判定直角三角形全等的条件以及正确应用“HL”定理的方法。

三、学法指导充分利用素材和活动，引导学生经历观察，画图，猜想，证明等活动,体验几何学习的过程。

教学准备：圆规,直尺，多媒体.四、教学过程五、总结与反思1.今天所学的直角三角形全等的判定定理是什么？2.直角三角形全等有几种判定方法？六、作业课本P41 练习1题、2题用其它方法证明H L定理好，我今天的说课就到这里,如有不当之处,请各位老师批评、指正。

谢谢！大通民中:强玉琴2015。

10.19。

《11.2 三角形全等的判定》——直角三角形全等判定（HL）年级：八年级课型：新授执笔：许景初审核：时间：学生姓名：班别：学号：学习目标：1.理解判定两个直角三角形全等可以用已经学过的全等三角形判定方法来判定.2.掌握“斜边、直角边”公理，并能利用公理来判定两个直角三角形全等。

重点：熟练掌握“斜边、直角边”公理难点：利用公理来判定两个直角三角形全等学习过程：一．预习●导学1．判定两个三角形全等方法：，，，它们的共同点：2、判断：如图∠C＝∠C′＝90°,具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′是否全等？全等的在（）里填写理由；如果不全等的，在（）里打“×”：（1）AC＝A′C′,∠A＝A′（）（2）AC＝A′C′，BC＝B′C （）（3）AB＝A′B′，BC＝B′C （）（4）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′（）（5）AC＝A′C′，AB＝A′B′（）3．直角三角形 (“是”/“不是”)三角形中的一类， (“具有”/“不具有”)一般三角形所具有的性质,所以判定两个直角三角形全等可以，，，，。

二．学习●研讨（一）实验探究，尝试结论：课本13—14探究8例1．如图，已知线段ａ和ｃ (ａ＜ｃ),画一个Rt△ABC使∠C＝90°，一直角边CB＝ａ，斜边AB＝ｃ。

ｃ1．判定两个直角三角形全等的公理：（斜边、直角边公理）（可以简写成“公理”或“”）2．注意：（1）“HL”公理是仅适用于Rt△的特殊方法。

因此，判断两个直角三角形全等的方法除可以使用“”、“”、“”、“”外，还可以使用“HL”。

（2）应用HL 公理时，必须先有两个Rt △。

书写格式为：在Rt △______和Rt △______中， {______________,______________,== ∴Rt △______≌Rt △______（HL ） （二）巩固练习，达成目标： 1．已知：如图：ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，则____≌____。

hl定理是证明两个直角三角形全等的定理, 是的，HL定理是证明两个直角三角形全等的定理。

HL定理的内容是：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

HL定理的简写是“Hypotenuse-Leg”，其中H是斜边（Hypotenuse），L是直角边（Leg）。

这个定理是证明两个直角三角形全等的一种特殊判定方法，可以通过证明两个三角形的斜边和一条直角边对应相等来证明两个三角形全等。

它可以通过SSS （Side-Side-Side）或者SAS（Side-Angle-Side）等其他全等判定定理进行转换。

在证明两个直角三角形全等时，HL定理可以提供一种简单而有效的方法。

前提是一定要确保所比较的两个三角形都是直角三角形，否则这个定理不适用。

直角三角形全等的判定一、教学目标1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定．2．使学生掌握“斜边、直角边”公理，并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等．指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法)．由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质．因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法．二、教学重点和难点1．重点：“斜边、直角边”公理的掌握．2．难点：“斜边、直角边”公理的灵活运用．三、教学手段利用投影仪、教具(剪好的三角形硬纸片若干个)．四、教学过程(一)复习提问，回忆旧知1．三角形全等的判定方法有哪几种？2．三角形按角的分类．前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS．我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”，这些结论适用于一般三角形．我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形(如直角三角形)．特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？我们知道，斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等，两对直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等.如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全等呢？(二)带着问题，引入新课出示问题，幻灯片上一个舞台对两边直角三角形判定是否全等。

引起学生讨论1．可作为预习内容(投影仪)如图3-43，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=A＇C＇，∠C=∠C＇=Rt∠，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？研究这个问题，我们先做一个实验：把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起(教具演示)如图3-44，因为∠ACB=∠A＇C＇B＇=Rt∠，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“SSS”可证三角形全等，从而得到∠B=∠B＇．根据“AAS”公理可知，Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．三．鼓励动手，提出猜想2．下面我们再用画图的方法来验证：(同学们一同画图)例1 已知线段a，c(a＞c)如图3-45，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，一直角边CB=a，斜边AB=c．画法：(1)画∠MCN=90°如图3-45．(2)在射线CM上取CB=a．(3)以B为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A．(4)连结AB．△ABC就是所要画的直角三角形．此例题着重说明，如此画出的Rt△是唯一的(画出的线与射线CN只有一个交点)．3．把2中画出的三角形剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以完全重合，从而引出直角三角形全等判定公理——“HL”公理．(四)师生讨论，形成结论斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．要向学生说明“斜边、直角边”公理的条件，就是两边及其中一边的对角对应相等，但所对的角是直角，这是Rt△的特有物质所决定的，对于一般三角形并不成立．这就是说，Rt△是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质，以后我们还会遇到它的其它特殊性质．这是直角三角形全等的一个特殊的判定公理，其他判定公理同于任意三角形全等的判定公理．练习(利用投影仪作练习1、2)五．拓宽知识，深层思考1．具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇(其中∠C=∠C＇=Rt∠)是否全等？如果全等在()里填写理由，如果不全等在()里打“×”．(1)AC=A＇C＇，∠A=∠A＇ ( )(2)AC=A＇C＇， BC=B＇C＇ ( )(3)∠A=∠A＇，∠B=∠B＇ ( )(4) AB=A＇B＇，∠B=∠B＇ ( )(5) AC=A＇C＇， AB=A＇B＇ ( )2．如图3-46，已知∠ACB=∠BDA=Rt∠，若要使△ACB ≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来(有几种不同的方法就写几种)．理由：( )( )( )( )3.探讨给出任意两个条件能得到两个直角三角形全等吗？设计本练习要求学生执果索因，缺什么，找什么，这即可帮助学生熟悉基本定理，又是一种逆向思维的训练．例2 已知：如图3-47，在△ABC和△A＇B＇C＇中，CD、C＇D＇分别是高，并且AC=A＇C＇，CD=C＇D＇，∠ACB=∠A＇C＇B＇．求证：△ABC≌△A＇B＇C＇．分析：要证明△ABC≌△A＇B＇C＇，还缺条件，或证出∠A=∠A＇，或∠B=∠B＇，或再证明边BC=B＇C＇，观察图形，再看已知中还有哪些条件可以利用，容易发现高CD和C＇D＇可以利用，利用它可以证明△ACD≌△A＇C＇D＇或△BCD ≌△B＇C＇D＇从而得到∠A=∠A＇或∠B=∠B＇，BC=B＇C＇．找出书写顺序．证明：(略)．*讨论(发展思维)“边边角”与全等三角形的判定．我们知道有两边和其中一边对角对应相等的两个三角形未必全等．但是当两个三角形都是直角三角形时，由“边边角”便可断言它们全等(为什么？)，那么除此以外“边边角”是否还适用于其它种类的三角形呢？事实上，对两个钝角三角形、两个锐角三角形“边边角”也是成立的(验证方法与直角三角形类似)．这样，一般地我们便有如下结论：有两边和其中一边的对角对应相等的两个钝角三角形全等．有两边和其中一边的对角对应相等的两个锐角三角形全等．具体验证留给学生们，以上两个结论都是在学习“斜边、直角边”公理时引出的思考，而得出的结论．我们要问的是：既然“边边角”对直角三角形、钝角三角形、锐角三角形都成立，那么，它为什么对一般的三角形却不成立呢？你能说出其中的奥妙吗？六．归纳总结，形成系统由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”公理只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等，所以判定两个直角三角形的方法有五种：“SAS、ASA、AAS、SSS、LH”(四)练习教材P．109中练习1、2、3．(五)作业教材P．112中习题14.1组8、9、10．(六)板书设计。

直角三角形的性质、判定（HL ）1、如果一个△ABC 有一个角是直角，则它是直角三角形，记作Rt △ABC 。

直角三角形两锐角互余。

2、直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这个两个直角三角形全等，简称HL 。

3、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.4、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;5、直角三角形性质的逆定理（1）:如果一个三角形一边上的中线，等于这条边的一半，则这个三角形式直角三角形.（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.二、知识运用典型例题例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=14AB.例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=12AC. 则∠A=_____.例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.例4：如图3，AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ， 求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线AD CBAE DC BF 12 A12（2）AB=AC例5：已知如图，AE ⊥ED ，AF ⊥FD ，AF=DE ，EB ⊥AD ，FC ⊥AD ，垂足分别为B 、C.试说明EB=FC.例6：如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．三、知识运用课堂训练1、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:52、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .4、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.ABCD FEABCD E5、如图,AC=BD,AD ⊥AC,BC ⊥BD,求证:AD=BC.6、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE 。