北京市人大附中2020-2021学年高一(10月份)段考数学试题(一)

北京市海淀区中国人民大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题（含解析）说明:本试卷共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟;考生务必按要求将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上.）1.若集合A ＝{x ∈Z ||x |＜3}，B ＝{x ∈Z |x 2﹣3x ﹣4＜0}，则A ∩B ＝（ ） A. {0，1，2} B. {﹣2，﹣1，0，1，2，3} C. {﹣1，0，1，2，3} D. {﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}【答案】A 【解析】 【分析】化简集合,A B 后利用集合的交集运算进行运算可得. 【详解】因为集合{2,1,0,1,2}A =--,{0,1,2,3}B =, 所以{0,1,2}A B ⋂=, 故选：A【点睛】本题考查了集合的交集运算,含绝对值不等式的解法,一元二次不等式的解法,属于基础题.2.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.【此处有视频，请去附件查看】3.已如函数f （x ）sinxx=，则f ′（π）+f ′（﹣π）＝（ ） A. ﹣2 B. 2 C. 2π-D. 0【答案】D 【解析】 【分析】利用导数公式以及导数的除法法则求导后,代入π和π-计算可得.【详解】因为f （x ）sinx x =,所以cos sin ()2x x x f x x-'=, 所以22cos sin cos()sin()()()()f f ππππππππππ-----''+-=+=-220ππππ-+=.故选:D【点睛】本题考查了导数公式以及导数的除法法则,属于基础题. 4.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因为，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件；故选A ． 考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件判定． 【此处有视频，请去附件查看】5.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数 A. 若e a+2a=e b+3b ，则a ＞b B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A【解析】【详解】若223a b e a b +=+，必有22a b e a e b +>+． 构造函数：()2xf x e x =+，则()()f a f b >，则()20xf x e ='+>恒成立，故有函数()2xf x e x =+在x ＞0上单调递增，所以a ＞b 成立．故选A ． 6.已知曲线y ＝2sin （x 4π+）cos （4x π-）与直线y 12=相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5|等于（ ） A. π B. 2πC. 3πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】 将2sin()cos()44y x x ππ=+-化为1sin 2y x =+,根据已知条件得到关于x 的方程,求出方程的解,进而得到12345,,,,P P P P P 的横坐标,从而可得15||PP 的值. 【详解】因为2sin()cos()2sin[()]cos()44244y x x x x πππππ=+-=---22cos ()1cos(2)1sin 242x x x ππ=-=+-=+,所以由11sin 22x +=,得1sin 22x =-,所以7226x k ππ=+或11226x k ππ=+,k Z ∈,所以712x k ππ=+或1112x k ππ=+,k Z ∈,所以12345,,,,P P P P P 的横坐标依次是7117117,,,,21212121212ππππππππ+++, 所以1577||221212PP ππππ=+-=. 故选:B【点睛】本题考查了诱导公式,降幂公式,简单的三角方程,本题是一道关于关于三角函数的问题,掌握三角函数的转换公式是答题的关键,属于中档题.7.函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证． 8.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈都有()()()63f x f x f +=+，当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，给出如下命题：①()30f =；②直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴；③函数()y f x =在[]9,6--上为增函数； ④函数()y f x =在[]9,9-上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为（ ） A. ①② B. ②④C. ①②③D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行判定【详解】①令3x =，则由()()()63f x f x f +=+，函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，可得：()()()()33323f f f f =-+=，故()30f =，故①正确②由()30f =可得：()()6f x f x +=，故函数()f x 是周期等于6的周期函数()f x Q 是偶函数，y 轴是对称轴，故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，故②正确③Q 当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，故()f x 在[]03，上为增函数 ()f x Q 是偶函数，故()f x 在[]30-，上为减函数Q 函数()f x 是周期等于6的周期函数故()f x 在[]96--，上为减函数，故③错误 ④Q 函数()f x 是周期等于6的周期函数()()()()93390f f f f ，∴-=-===故函数()y f x =在[]9,9-上有四个零点，故④正确 综上所述，则正确命题的序号为①②④ 故选D【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解．二、填空题（本大题共6道小题，每小题5分，共30分.请将每道题的最简答案填写在“答题纸”第9-14题的相应位置上.)9.函数()f x =________． 【答案】[2，+∞） 【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 10.计算112ex dx x ⎛⎫⎰+ ⎪⎝⎭【答案】2e 【解析】 【分析】先求出被积函数2x 1x +的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可． 【详解】解：1e⎰（2x 1x+）dx ＝（x 2+lnx ） 1|e＝e 2+lne ﹣1﹣ln 1 ＝e 2故答案为e 2【点睛】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题．11.如图，点P 是函数y ＝2sin （ωx +φ）（x ∈R ，ω＞0）图象的一个最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若△MPN 为直角三角形，则ω＝_____．【答案】4π 【解析】 【分析】结合题意得到||4MN =,所以周期8T =,再根据周期公式可得答案. 【详解】三角函数的最大值为2，即三角形MPN 的高为2， ∵△MPN直角三角形，∴根据对称性知△MPN 为等腰直角三角形，即MN ＝4，即三角函数的周期T ＝8，由T 2πω==8，得ω284ππ==， 故答案为:4π. 【点睛】本题考查了正弦型函数的周期性,根据题意得到||4MN =,是答题的关键,属于基础题.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinC ＝2sinA ，b 2﹣a 212=ac ，则sinB 等于_____．7【解析】 【分析】由sinC ＝2si n A 以及正弦定理得c ＝2a ，再由b 2﹣a 212=ac 得b 2=,然后由余弦定理可求得cos B ,根据同角公式可得sin B .【详解】由sinC ＝2si n A 以及正弦定理得c ＝2a ， 又b 2﹣a 212=ac ，得b 2﹣a 212=a ×2a ＝a 2， 即b 2＝2a 2，则b 2=，由余弦定理得cosB 22222222423322244a cb a a a a ac a a a +-+-====⋅，因为0B π<<,所以sinB 239771()1416164=-=-==， 故答案为:74. 【点睛】本题考查了正弦定理角化边,余弦定理,同角公式,属于基础题.13.已知函数()122,0,20x x c f x x x x ⎧⎪≤≤=⎨⎪+-≤<⎩，其中c >0.那么f (x )的零点是________；若f (x )的值域是，则c 的取值范围是________．【答案】 (1). －1和0 (2). (0,4] 【解析】 【分析】根据分段函数的概念，分x 为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f （x ）的零点．根据二次函数的图象与性质，求出当x∈[-2，0）时，函数f （x ）的值域恰好是[−14，2]，所以当0≤x≤c 时，f （x ）=12x 的最大值小于等于2，即可解出实数c 的取值范围. 【详解】当x≥0时，令12x =0，得x=0；当x ＜0时，令x 2+x=0，得x=-1或x=0（舍去） ∴f（x ）的零点是-1和0∵函数y=x 2+x=21124x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ，在区间[-2，-12）上是减函数，在区间（-12，0）上是增函数∴当x∈[-2，0）时，函数f （x ）最小值为f （-12）=-14，最大值是f （-2）=2 ∵当0≤x≤c 时，f （x ）=12x 是增函数且值域为[0c ] ∵f （x ）的值域是[−14，2]c ≤2，即0＜c≤4【点睛】函数的零点是实数，是方程f （x ）=0的根，若能直接解方程求解，解方程即可；若不方便解方程，可通过图象法，函数的零点也是函数y=f （x ）与x 轴的交点的横坐标.分段函数的值域，是每个分段区间内对应的函数的值域的并集.14.设集合 {}n P 1,2,,n =L ，*n N ∈．记 ()f n 为同时满足下列条件的集合 A 的个数：① n A P ⊆； ②若 x A ∈，则 2x A ∉；③若 n P x A ∈ð，则 n P 2x A ∉ð． 则（1） ()f 4=_____________；（2） ()f n 的解析式（用 n 表示）()f n =_____________．【答案】 (1). 4 (2). ()n2n 122,n ,f n 2,n .+⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数【解析】（1）当4n =时，{}41,2,3,4P =，符合条件的集合A 为{}{}{}{}2,1,4,2,3,1,3,4， 所以()44f =．（2）任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2L ，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是2k x m =⋅，其中m 为奇数，k N +∈．由条件知，若m A ∈，则m A k ∈⇔为偶数；若m A Ï，则m A k ∈⇔为奇数． 于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定．设n Q 是n P 中所有奇数的集合，因此()f n 等于n Q 的子集个数． 当n 为偶数（或奇数）时，n P 中奇数的个数是2n（或12n +）， 所以()2122,2,nn n f x n 为偶数为奇数+⎧⎪=⎨⎪⎩.点睛：本题主要考查了有关集合的创新性试题和函数的解析式的求解问题，其中解答中涉及到元素与集合的关系，求解函数的解析式，以及集合之间的包含关系等知识点的综合考查，试题比较新颖，具有一定的创新性，解答是需要认真审题，仔细作答，有一定的难度，属于难题.三、解答题（本大题共6道小题，共80分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程，请将解答题的答案填写在“答题纸”第15-20题的相应位置上.) 15.在ABC V 中，AC=6，4cos .54B C π==， （1）求AB 的长； （2）求()6cos A π-的值.【答案】（1）52（2）72620- 【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ，再利用正弦定理求AB 的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6A π-试题解析：解（1）因为4cos B=5，0B π<<，所以2243sin 1cos 1(),55B B =-=-= 由正弦定理知sin sin AC AB B C =，所以26sin 25 2.3sin 5AC CAB B⨯⋅===（2）在ABC V 中，A B C π++=，所以，于是cos cos()cos()cos cossin sin,444A B C B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==故42322cos 525210A =-⨯+⨯=-因为0A π<<，所以272sin 1cos 10A A =-=因此23721726cos()cos cossin sin66610102A A A πππ--=+=-+= 【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等. 【此处有视频，请去附件查看】 16.有时可用函数0.115ln ,(6)(){ 4.4,(6)4ax a xf x x x x +≤-=->-描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*x ∈N ），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.（1） 证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],(121,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.【答案】（1）见解析（2）乙科 【解析】【详解】⑴中，要证明掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降，只需利用函数的单调性证明(1)()f x f x +-单调递减即可；⑵中，根据题意，()60.85f =建立方程求a 的估计值，结合给出的范围，进行判断. ⑴证明：当7x ≥时，()()0.41(3)(4)f x f x x x +-=--，(3)(4)0x x -->，函数(3)(4)y x x =--单调递增，故()()1f x f x +-单调递减， 所以当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降. ⑵解：由题意知0.115ln0.85,6a a +=-整理可得0.05,6ae a =-所以(]0.050.05620.506123.0,123.0121,127.1e a e =⋅≈⨯=∈-由此可知，该学科为乙科.【此处有视频，请去附件查看】17.已知函数f （x ）＝cos （2x 23π+）+2sin （4x π-）sin （4π+x ）． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的对称轴方程，并求函数f （x ）在区间[12π-，2π]上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）[kπ23π-，kπ6π-]，k ∈Z ； （Ⅱ）最小值为﹣1，最大值为2． 【解析】【详解】（Ⅰ）f （x ）＝cos （2x 23π+）+2sin （4x π-）sin （4π+x ） ＝cos 2xcos23π-sin 2xsin 23π+2cos （4π+x ）sin （4π+x ） 12=-cos 2x sin 2x +sin （2π+2x ）12=-cos 2x sin 2x +cos 2x12=cos 2x sin 2x ＝cos （2x 3π+）， 由2k π﹣π≤2x 3π+≤2k π，k ∈Z 得k π23π-≤x ≤k π6π-，k ∈Z ， 即函数的单调递增区间为[kπ23π-，kπ6π-]，k ∈Z ． （Ⅱ）由2x 3π+=kπ得x 26k ππ=-，即函数的对称轴方程为x 26k ππ=-，k ∈Z ， 当122x ππ-≤≤时，6π-≤2x ≤π，6π≤2x 433ππ+≤， 所以当2x 3π+=π,即3x π=时，函数f （x ）取得最小值，最小值为f （x ）＝cosπ＝﹣1，当2x 36ππ+=,即12x π=-时，函数f （x ）取得最大值，最大值为f （x ）＝cos6π=． 【点睛】本题考查了两角和的余弦公式,诱导公式,函数的单调区间,对称轴,最大最小值,属于中档题.18.设函数f （x ）＝x ﹣x 2+3lnx ．（Ⅰ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）证明：曲线y ＝f （x ）在直线y ＝2x ﹣2的下方(除点(1,0)外)． 【答案】（Ⅰ）极大值3ln 3324-；无极小值； （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导后,得到函数的单调性,根据单调性可求得极值;（Ⅱ）令g （x ）＝f （x ）﹣2x +2＝﹣x 2﹣x +2+3lnx ，（x ＞0），转化为证明()0g x ≤,利用导数求得最大值即可证明结论.【详解】（Ⅰ）f （x ）的定义域是（0，+∞），f ′（x ）＝1﹣2x ()()2231323x x x x x x x--+-+++==， 令f ′（x ）＞0，解得：0＜x 32＜，令f ′（x ）＜0，解得：x 32＞， 故f （x ）在（0，32）递增，在（32，+∞）递减， 故f （x ）极大值＝f （32）3924=-+3ln 32=3ln 3324-；无极小值；（Ⅱ）令g （x ）＝f （x ）﹣2x +2＝﹣x 2﹣x +2+3lnx ，（x ＞0），g ′（x ）＝﹣2x ﹣1()()2223132323x x x x x x x x x x+---++-+==-=-， 令g ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜1，令g ′（x ）＜0，解得：x ＞1， 故g （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， 故g （x ）max ＝g （1）＝﹣1﹣1+2+3ln 1＝0，故曲线y ＝f （x ）在直线y ＝2x ﹣2的下方(除点(1,0)外)．【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值和最值,等价转化思想,易错警示:忽视函数的定义域,本题属于中档题.19.已知函数2(),()()xf x x ax bg x e cx d =++=+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+.（Ⅰ）求a b c d ,,,的值;（Ⅱ）若2x ≥-时,()()f x kg x ≤,求k的取值范围.【答案】（I ）4,2,2,2a b c d ====；（II ）2[1,e ].【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意()()02,02f g ==,由导数的几何意义可知()()'04,'04f g ==,从而可求得a b c d ,,,的值．（2） 由（1）知，()()()242,21x f x x x g x e x =++=+,令()()()F x kg x f x =-,即证2x ≥-时()0F x ≥．先将函数()()()F x kg x f x =-求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．试题解析：（1）由已知得()()02,02f g ==，()()'04,'04f g == 而()()()'2,'xf x x ag x ecx d c =+=++，4,2,2,2a b c d ∴====（4分）（2）由（1）知，()()()242,21xf x x xg x ex =++=+，设函数()()()()()22142,2xF x kg x f x kex x x x =-=+---≥-，()()()()'2224221x x F x ke x x x ke =+--=+-．由题设可得()00F ≥，即1k ≥，令()'0F x =得12ln ,2x k x =-=-, ．．（6分） ①若21k e ≤<，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()'0F x <，当()1,x x ∈+∞时，()'0F x >，即F （x ）在()12,x x ∈-单调递减，在()1,x +∞单调递增，故()F x 在1x x =取最小值()1F x ， 而()()2111111224220F x x x x x x =+---=-+≥．∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ．（8分） ②若2k e =，则()()()22'22x F x ex e e =+-，∴当2x ≥-时，()'0F x ≥，∴()F x 在()2,-+∞单调递增，而()20F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立， ③若2k e >，则()()22222220F kee k e ---=-+=--<，∴当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立． ．（10分）综上所述，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．（12分） 考点：用导数研究函数的性质． 【此处有视频，请去附件查看】20.对于集合M ，定义函数()1,1,.x MM f x x M -∈⎧=∉⎨⎩对于两个集合M ，N ，定义集合()(){|1}.M N M N x f x f x =⋅=-V 已知{2,A =4，6，8，10}，{1,B =2，4，8，16}．(Ⅰ)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B V ；(Ⅱ)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B +V V 的最小值；(Ⅲ)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B ⊆⋃，且()()P A Q B A B =V V V V ？【答案】(1)()11A f =,()11B f =-,{}Δ1,6,10,16A B =，(2)4，（3）128 【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义直接得到答案；（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X , ①a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-;②若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出()()ΔΔCard X A Card X B +的最小值．（Ⅲ）由P ，Q ⊆A ∪B ，且（P △A ）△（Q △B ）=A △B求出集合P ，Q 所满足的条件，进而确定集合对（P ，Q ）的个数． 试题解析：(Ⅰ)()11A f =,()11B f =-,{}Δ1,6,10,16A B =. (Ⅱ)根据题意可知：对于集合,C X ,①a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-; ②若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+.所以要使()()ΔΔCard X A Card X B +的值最小,2,4,8一定属于集合X ;1,6,10,16是否属于X 不影响()()ΔΔCard X A Card X B +的值;集合X 不能含有A B ⋃之外的元素. 所以当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,()()ΔΔCard X A Card X B +取到最小值4.(Ⅲ)因为()(){|1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-, 所以ΔΔA B B A =.由定义可知：()()()ΔA B A B f x f x f x =⋅.所以对任意元素x ,()()()()()()()ΔΔΔA B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =⋅=⋅⋅,()()()()()()()ΔΔΔA B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =⋅=⋅⋅.所以()()()()ΔΔΔΔA B C A B C f x f x =. 所以()()ΔΔΔΔA B C A B C =.由()()ΔΔΔΔP A Q B A B =知：()()ΔΔΔΔP Q A B A B =. 所以()()()()()ΔΔΔΔΔΔΔΔP Q A B A B A B A B =. 所以ΔΔP Q ∅=∅. 所以ΔP Q =∅,即P Q =. 因为,P Q A B ⊆⋃,所以满足题意的集合对(),P Q 的个数为72128=.点睛：本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合,C X ,若a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-;若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+，由此可得结论；(3)由题意易得ΔΔA B B A =，由定义可知：()()()ΔA B A B f x f x f x =⋅，易知()()()()ΔΔΔΔA B C A B C f x f x =，由()()ΔΔΔΔP A Q B A B =可得()()ΔΔΔΔP Q A B A B =，则结论易得.。

2020-2021学年北京人大附中高一上学期期中考试数学试题 2020年11月4日说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷18道题，共100分，Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共25题，合计150分，考试时间120分钟．Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分）1．设全集{2,3,4,5,6,7}U =，集合{2,4,5}M =，{3,5,7}N =，则()UN M =（ ）A ．{}5B ．{}3,7C ．{}2,3,4,5,7D ．{}2,3,4,6,72．下列函数中，既是奇函数，又是在区间(0,)+∞上单调递增的函数为（ ）A ．1y x -=B ．||y x x =C ．y x =-D ．21y x =-3．己知命题:0p x ∀≥，20x ->，则p ⌝是（ ） A ．0x ∃≥，20x -≤ B ．0x ∃<，20x -≤C ．0x ∀≥，20x -≤D ．0x ∀≥，20x -<4．不等式2560x x -->的解集为（ ） A ．{32}xx x ><-∣或 B ．{23}xx x ><-∣或C ．{61}xx x ><-∣或 D ．{16}xx -<<∣ 5．函数3()5f x x =-的零点所在的区间是（ ）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,56．若a b >，则下列不等关系一定成立的是（ ）A ．1a b> B ．11a b< C ．||||a b > D ．33a b -<-7．函数2||x y x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．“2x <”是“||2x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个正的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0m >B ．0m ≥C ．1m ≥D ．1m >10．若关于x 的不等式2(1)2(1)x x a x -+≥-对于一切(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．(,6]-∞D ．[6,)+∞二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置） 11．函数1()3xf x x-=+的定义域为______ 12．若函数()(2)()f x x x a =+-是偶函数，则(3)f =______13．奇函数()f x 的定义域为(1,1)-，()f x 在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，如图所示，则不等式()f x x <的解集为______14．已知函数2()f x x =，如果对1[0,1]x ∀∈，2[0,1]x ∀∈，使得()()12f x g x =成立，请给出一个满足上述条件的函数()g x ，则()g x 的解析式为______15．设函数2,()2,x x af x x x x a≥⎧=⎨-+<⎩①若x R ∃∈，使得(1)(1)f x f x +=-成立，则实数a 的取值范围是______②若函数()f x 为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是______三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的应位置）16．（本小题满分11分）已知集合{13}A x a x a =-≤≤+∣，{}22150B x x x =-->∣．（1）当3a =时，求A B ；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期．该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题．具体如下：年存储成本费T （元）关于每次订货量x （单位）的函数关系为()2bx acT x x=+，其中a 为年需求量，b 为每单位物资的年存储费，c 为每次订货费，某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨每吨存储费为120元年，每次订货费为2500元．（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？ 18．（本小题满分12分）已知函数1()2f x x x=- （Ⅰ）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性，并用函数单调性定义证明；（Ⅱ）关于x 的方程()|()|0(,)f x b f x c b c R ++=∈有6个不同的实数根(1,2,3,4,5,6)i x i =．则：（1）123456x x x x x x =______；（2）求b ，c 满足的条件．（直接写出答案）Ⅱ卷（共7道题，满分50分）一、选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 19．使不等式101x <<成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．102x << B ．1x > C ．2x >D ．0x <20．若指数函数()xf x a =的图象和函数()35(1)g x x x =+≥-图象相交，则（ ）A ．10,2a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦B ．1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．1,1(1,)2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭D ．10,(1,)2a ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦21．已知函数141,0413()41,44345,14x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩对于给定的(01)m m R m ∈<<且存在0[0,1]x m ∈-，使得()0f x ()0f x m =+，则m 的最大值为（ ）A ．13B ．23C ．12-D ．34二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分，请把结果填在答题纸上的相应位置）22．设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______23．自然下垂的铁链：空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()xxf x ae be-=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e =2.71828⋅⋅⋅）（1）如果()f x 为单调函数，写出满足条件的一组值：a =______，b =______． （2）如果()f x 的最小值为2，则a b +的最小值为______．24．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义1,()0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0()1i A B A B ϕ==且；②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()()()i i i AB A B ϕϕϕ=+；③设{}*2,A x x n n N ==∈∣，{}*42,B x x n n N ==-∈∣，对任意*i N ∈，都有()()i i A B A ϕϕ=()i B ϕ其中正确结论的序号为______三、解答题（本小题14分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置） 25．已知集合A 为非空数集，定义：{,,}S x x a b a b A ==+∈∣，{||,,}T x x a b a b A ==-∈∣（Ⅰ）若集合{1,3}A =，直接写出集合S ，T（Ⅱ）若集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+（Ⅲ）若集合{02020,}A xx x N ⊆≤≤∈∣，S ，S T =∅，记||A 为集合A 中元素的个数，求||A 的最大值．人大附中2020-2021学年度第一学期高一年级数学期中练习参考答案和评分标准2020．11．4阅卷须知：1．评分参考中所注分数，表示考生正确做了该步应得的该步骤分数． 2．其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分．第Ⅰ卷（共17题，满分100分）一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BBACADABDC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．） 题号1112131415答案(3,1]-522,0,122⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2()2g x x =（答案不唯一）1a >0a ≤或者1a =注：11题和13题如果未写成区间或者集合形式，0分 15题有两空，第一空3分，第二空2分．三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写岀文字说明证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分11分） 解：（1）由题可得：{26}A x x =≤≤∣ {53}B x x x =><-∣或则{56}A B x x =<≤∣ （2）因为AB B =，则A B ⊆，所以：33a +<-或15a -> 即：6a <-或6a > 所以a 的取值范围为(,6)(6,)-∞-+∞【注：a 的取值范围写成不等式不扣分】17．（本小题满分12分） 解：（1）有题意可得：12060002500()2x T x x⨯=+，06000x <≤． 将300x =代入，得(300)68000T =． 因此，该化工厂年存储成本费为68000元． （2）因为120600025002x x ⨯+≥， 所以()60000T x ≥，当且仅当500x =，且500(0,6000]∈时，等号成立．因此，每次订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60000元18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()2121211122f x f x x x x x ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭()()1212121212122x x x x x x x x x x ⎡⎤-=+-=-+⎢⎥⎣⎦因为12 0x x <<，所以120x x -<，120x x >，12120x x +>．所以()()210f x f x -<．即()()12f x f x >． 所以()f x 是(0,)+∞上的减函数．【注：没有“任取”或者“∀”，体现任意性词语和符号，扣1分】 （Ⅱ）（1）18-（2）0b <，0c =Ⅱ卷（共7道题，满分50分）一、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）注：第23题有两空，每空3分．第24题全部选对得6分，不选或有错选得0分，其他得3分 三、解答题（本小题满分14分） 25．（本小题满分14分）解：（1）根据题意，由{1,3}A =，则{2,4,6}S =，{0,2}T =； （2）由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含四个元素， 即{}2131410,,,T x x x x x x =---， 剩下的324321x x x x x x -=-=-， 所以1423x x x x +=+；（3）设{}12,,k A a a a =⋅⋅⋅满足题意，其中12k a a a <<⋅⋅⋅<，则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<⋅⋅⋅<+<+<+<⋅⋅⋅<+<， ∴||21S k ≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<⋅⋅⋅<-，∴||T k ≥， ∵ST =∅，||||||31S T S T k =+≥-，S T 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，∴||21k ST a ≤+，∴31214041(*)k k a k N -≤+≤∈， ∴1347k ≤，实际上当{674,675,676,,2020}A =⋅⋅⋅时满足题意， 证明如下：设{,1,2,,2020}A m m m =++⋅⋅⋅，m N ∈，则{2,21,22,,4040}S m m m =++⋅⋅⋅，{0,1,2,,2020}T m =⋅⋅⋅-， 依题意有20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多， 即674,675,67{}6,,2020A =⋅⋅⋅时满足题意， 综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347．。

2020-2021学年北京市清华附中高一（上）段考数学试卷（10月份）试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）命题p：∀x∈N.x3≥1.则￢p为（）A.∀x∈N.x3＜1B.∀x∉N.x3≥1C.∃x∉N.x3≥1D.∃x∈N.x3＜12.（单选题.4分）已知全集U={1.2.3.4.5}．集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.则B∩（∁U A）=（）A.{2.4}B.{1.3}C.{4.5}D.{2}3.（单选题.4分）若实数x.y满足2x+y=1.则x•y的最大值为（）A.1B. 14C. 18D. 1164.（单选题.4分）“x=1”是“x2=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题.4分）若b＜0＜a.d＜c＜0.则（）A.ac＞bdB. ac ＞bdC.a+c＞b+dD.a-c＞b-d6.（单选题.4分）若a.b∈R.且ab＞0.则下列不等式中.恒成立的是（）A.a2+b2＞2abB. a+b≥2√abC. ba +ab≥2D. 1a +1b≥2√ab7.（单选题.4分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2.+∞）.则bx+a＜0的解集是（）A. (−∞，12)B. (12，+∞)C. (−∞，−12)D. (−12，+∞)8.（单选题.4分）加工爆米花时.爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下.可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据.可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟9.（单选题.4分）若关于x的不等式kx2-kx＜1的解集为R则实数k的取值范围是（）A.（-4.0）B.（-4.0]C.[-4.0]D.（-∞.-4]∪[0.+∞）10.（单选题.4分）已知非空集合A.B满足以下两个条件（i）A∪B={1.2.3.4.5.6}.A∩B=∅；（ii）若x∈A.则x+1∈B．则有序集合对（A.B）的个数为（）A.12B.13C.14D.1511.（填空题.5分）集合{0.1}的子集的个数为___ ．12.（填空题.5分）已知集合A={x|y= √m−x }.B=（2-m.+∞）．若A∪B=R.且A∩B=∅.则m=___ ．13.（填空题.5分）若集合{x∈N*|x2+mx＜0}恰有3个元素.则实数m的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）已知集合A={x|x2-2x+a≥0}.B={x|x2-2x+a+1＜0}.若A∪B=R.则实数a的取值范围为___ ．15.（填空题.5分）已知a＞0.b＞0.a+b＞2.有下列4个结论：① ab＞1. ② a2+b2＞2. ③ 1a和1 b 中至少有一个数小于1. ④ 1+ab和1+ba中至少有一个小于2.其中.全部正确结论的序号为___ ．16.（问答题.14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．17.（问答题.14分）已知集合A={x|x2-（a+1）x-a＞0}．（1）若1∈A.求实数a的取值范围；（2）若集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.求实数a的取值范围．18.（问答题.14分）已知x+y=1.x.y∈R+．（1）求x2+y2+xy的最小值；（2）求√x+√y的最大值；（3）求x（1-3y）的最小值．19.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.函数y=x2+mx+n的图象经过点（1.0）.且对于任意的x∈R.总有y≥0．（1）求m.n的值；（2）若直线y=kx+2与函数y=x2+mx+n的图象交于不同的两点A（x1.y1）.B（x2.y2）.且x13+x23=14.求实数k的值．20.（问答题.14分）已知集合A.B为非空数集.定义A-B={x∈A且x∉B}．（1）已知集合A=（-1.1）.B=（0.2）.求A-B.B-A；（直接写出结果即可）（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}.Q=[1.2].若Q-P=∅.求实数a的取值范围．21.（问答题.15分）已知x.y∈（-1.1）．定义x*y= x+y1+xy．（1）求0* 13及12* 13的值；（2）求证：∀x.y∈（-1.1）.x*y∈（-1.1）；（3）若{x1.x2.x3.x4.x5.x6}= {−57，−16，−14，12，13，14} .求x1*x2*x3*x4*x5*x6的所有可能值构成的集合．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）段考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）命题p：∀x∈N.x3≥1.则￢p为（）A.∀x∈N.x3＜1B.∀x∉N.x3≥1C.∃x∉N.x3≥1D.∃x∈N.x3＜1【正确答案】：D【解析】：根据全称命题的否定方法.根据已知中的原命题.写出其否定形式.可得答案．【解答】：解：∵命题p：∀x∈N.x3≥1.∴￢p：∃x∈N.x3＜1.故选：D．【点评】：本题考查的知识点是全称命题.命题的否定.熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键．2.（单选题.4分）已知全集U={1.2.3.4.5}．集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.则B∩（∁U A）=（）A.{2.4}B.{1.3}C.{4.5}D.{2}【正确答案】：C【解析】：由全集U及A.求出A的补集.找出B与A补集的交集即可．【解答】：解：∵全集U={1.2.3.4.5}.集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.∴∁U A={4.5}.则B∩（∁U A）={4.5}．故选：C．【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算.熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.（单选题.4分）若实数x.y满足2x+y=1.则x•y的最大值为（）A.1B. 14C. 18D. 116【正确答案】：C【解析】：根据xy=x（1-2x）=-2（x- 14）2+ 18≤ 18.即可求出最大值．【解答】：解：∵实数x.y满足2x+y=1. ∴y=1-2x.∴xy=x（1-2x）=-2x2+x=-2（x- 14）2+ 18≤ 18.当x= 14 .y= 12时取等号.故选：C．【点评】：本题考查了二次函数的性质.考查了运算和转化能力.属于基础题．4.（单选题.4分）“x=1”是“x2=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：先判断由x=1能否推出“x2=1”.再判断由“x2=1”成立能否推出“x=1“成立.利用充要条件的定义判断出结论．【解答】：解：当x=1成立则“x2=1”一定成立反之.当“x2=1”成立则x=±1即x=1不一定成立∴“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件故选：A．【点评】：判断一个条件是另一个条件的什么条件.首先弄清哪一个是条件；再判断前者是否推出后者.后者成立是否推出前者成立.利用充要条件的定义加以判断．5.（单选题.4分）若b＜0＜a.d＜c＜0.则（）A.ac＞bdB. ac ＞bdC.a+c＞b+dD.a-c＞b-d【正确答案】：C【解析】：根据不等式的性质依次验证每个选项是否正确.即可判断【解答】：解：A：由b＜0＜a.d＜c＜0可知.bd＞0.ac＜0.则bd＞ac.故A不正确B：由d＜c＜0可知1c ＜1d＜0 .又b＜0＜a∴ a c ＜0，bd＞0∴ a c ＜bd.故B不正确C：∵b＜a.d＜c∴a+c＞b+d.故C正确D∵d＜c∴-d＞-c.又a＞b∴a-d＞b-c.故D不正确故选：C．【点评】：本题考查不等式的性质.要求熟练掌握不等式的性质．属于基础试题6.（单选题.4分）若a.b∈R.且ab＞0.则下列不等式中.恒成立的是（）A.a2+b2＞2abB. a+b≥2√abC. ba +ab≥2D. 1a +1b≥√ab【正确答案】：C【解析】：利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．【解答】：解：A．∵（a-b）2≥0.∴a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立.因此不正确．B．取a.b＜0时.a+b≥2 √ab不成立．C．∵ab＞0.∴ ab . ba＞0.∴ ba+ab≥2 √ba•ab=2.当且仅当a=b时取等号.正确．D．取a.b＜0时. 1a + 1b≥√ab故选：C．【点评】：本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．7.（单选题.4分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2.+∞）.则bx+a＜0的解集是（）A. (−∞，12)B. (12，+∞)C. (−∞，−12)D. (−12，+∞)【正确答案】：A【解析】：由题意知.x=2是方程ax+b=0的根.且a＜0.推出b=-2a.再代入bx+a＜0.解之即可．【解答】：解：由题意知.x=2是方程ax+b=0的根.且a＜0.所以b=-2a.所以不等式bx+a＜0可化为-2ax+a＜0.解得x＜12.故选：A．【点评】：本题考查一元一次不等式的解法.灵活运用不等式的逆向思维是解题的关键.考查学生的逻辑推理能力和运算能力.属于基础题．8.（单选题.4分）加工爆米花时.爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下.可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据.可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟【正确答案】：B 【解析】：由提供的数据.求出函数的解析式.由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】：解：将（3.0.7）.（4.0.8）.（5.0.5）分别代入p=at 2+bt+c.可得{0.7=9a +3b +c 0.8=16a +4b +c 0.5=25a +5b +c.解得a=-0.2.b=1.5.c=-2.∴p=-0.2t 2+1.5t-2.对称轴为t=- 1.52×(−0.2) =3.75．故选：B ．【点评】：本题考查了二次函数模型的应用.考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题.确定函数模型是关键．9.（单选题.4分）若关于x 的不等式kx 2-kx ＜1的解集为R 则实数k 的取值范围是（ ）A.（-4.0）B.（-4.0]C.[-4.0]D.（-∞.-4]∪[0.+∞）【正确答案】：B【解析】：对系数k 分类讨论.利用判别式即可求出结论．【解答】：解：当k=0时.不等式化为0＜1.对任意实数x 恒成立.所以k=0时满足条件；当k≠0时.不等式为kx 2-kx-1＜0的解集是R.所以 {k ＜0△=k 2+4k ＜0.解得-4＜k ＜0； 综上知.实数k 的取值范围是（-4.0]．故选：B ．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了分类讨论思想.是基础题．10.（单选题.4分）已知非空集合A.B 满足以下两个条件（i ）A∪B={1.2.3.4.5.6}.A∩B=∅；（ii ）若x∈A .则x+1∈B ．则有序集合对（A.B ）的个数为（ ）A.12B.13C.14D.15【正确答案】：A【解析】：对集合A 的元素个数分类讨论.利用条件即可得出．【解答】：解：由题意分类讨论可得：若A={1}.则B={2.3.4.5.6}；若A={2}.则B={1.3.4.5.6}；若A={3}.则B={1.2.4.5.6}；若A={4}.则B={1.2.3.5.6}；若A={5}.则B={2.3.4.1.6}；若A={6}.则B={2.3.4.5.1}.舍去．若A={1.3}.则B={2.4.5.6}；若A={1.4}.则B={2.3.5.6}；若A={1.5}.则B={2.3.4.6}；若A={2.4}.则B={1.3.5.6}；若A={2.5}.则B={1.3.4.6}；若A={3.5}.则B={1.2.4.6}；若A={1.3.5}.则B={2.4.6}．综上可得：有序集合对（A.B ）的个数为12．故选：A ．【点评】：本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．11.（填空题.5分）集合{0.1}的子集的个数为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：集合{0.1}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合.包括空集．【解答】：解：集合{0.1}的子集有：∅.{0}.{1}.{0.1}共4个．故答案为：4．【点评】：本题考查集合的子集个数问题.对于集合M的子集问题一般来说.若M中有n个元素.则集合M的子集共有2n个.此题是基础题．12.（填空题.5分）已知集合A={x|y= √m−x }.B=（2-m.+∞）．若A∪B=R.且A∩B=∅.则m=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：先求出A.根据条件得到B=C R A即可求解结论．【解答】：解：∵集合A={x|y= √m−x }=（-∞.m].B=（2-m.+∞）．又∵A∪B=R.且A∩B=∅.∴B=C R A=（m.+∞）.∴m=2-m⇒m=1.故答案为：1．【点评】：本题考查了交集及其运算.是基础题．13.（填空题.5分）若集合{x∈N*|x2+mx＜0}恰有3个元素.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]{m|-4≤m＜-3}【解析】：分情况解二次不等式.结合已知条件即可求解结论．【解答】：解：当m＞0时.x2+mx＜0⇒-m＜x＜0.∵{x∈N*|x2+mx＜0}恰有三个元素.此时没有正根.故舍去.当m＜0时.x2+mx＜0⇒0＜x＜-m.∵{x∈N*|x2+mx＜0}恰有三个元素.∴3＜-m≤4⇒-4≤m＜-3. 当m=0时.x2+mx＜0⇒x不存在.综上可得：实数m的取值范围为：{m|-4≤m＜-3}．【点评】：本题主要考查不等式的求解以及分类讨论思想的应用.属于中档题目．14.（填空题.5分）已知集合A={x|x2-2x+a≥0}.B={x|x2-2x+a+1＜0}.若A∪B=R.则实数a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][1.+∞）【解析】：求出集合A.B.由A∪B=R.能求出实数a的取值范围．【解答】：解：∵当a＜1时.集合A={x|x2-2x+a≥0}={x|x≤1- √1−a或x≥1+ √1−a }.当a≥1时.集合A的解集为R.当△=4-4（a+1）≤0时.即a≥0时.集合B的解集为∅.当a＜0时.集合B={x|x2-2x+a+1＜0}={x|1- √−a＜x＜1+ √−a }.若A∪B=R.则有1- √1−a≥1- √−a .且 1+ √−a≥1+ √1−a .解得不存在使不等式成立的实数a.故实数a的取值范围是[1.+∞）．故答案为[1.+∞）．【点评】：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题.两个集合的并集的定义.属于基础题．15.（填空题.5分）已知a＞0.b＞0.a+b＞2.有下列4个结论：① ab＞1. ② a2+b2＞2. ③ 1a和1 b 中至少有一个数小于1. ④ 1+ab和1+ba中至少有一个小于2.其中.全部正确结论的序号为___ ．【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】：取特殊值法可判断① ；利用基本不等式可判断② ；利用反证法.推出a+b≤2.与已知a+b＞2矛盾.从而可判断③ ④ ；．【解答】：解：已知a＞0.b＞0.a+b＞2.取a=2.b= 18 .则ab= 14＜1.故① 错误；a2+b2=（a+b）2-2ab≥（a+b）2-2 (a+b2)2= (a+b)22＞2.故② 正确；假设1a 和1b都不小于1.则1a≥1. 1b≥1.所以0＜a≤1.0＜b≤1.所以0＜a+b≤2.与a+b＞2矛盾.所以假设不成立.所以1a 和1b中至少有一个数小于1.故③ 正确；假设1+ab . 1+ba都不小于2.则1+ab≥2. 1+ba≥2.∵a＞0.b＞0.∴1+a≥2b.1+b≥2a.两式相加得：2+a+b≥2（a+b）.解得a+b≤2.这与已知a+b＞2矛盾.故假设不成立.∴ 1+ab . 1+ba中至少有一个小于2.故④ 正确．故正确结论的序号为② ③ ④ ．故答案为：② ③ ④ ．【点评】：本题主要考查基本不等式的应用.反证法的应用.考查逻辑推理能力以及计算能力．16.（问答题.14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．【正确答案】：【解析】：（1）不等式化为（x+1）（x-4）≥0.求出解集即可；（2）不等式化为x2-x+1＞0.利用判别式求出不等式的解集；（3）讨论a的取值.从而求出不等式x2≤a的解集．【解答】：解：（1）不等式x2-3x-4≥0可化为（x+1）（x-4）≥0.解得x≤-1或x≥4.所以不等式的解集为{x|x≤-1或x≥4}；（2）不等式-x2+x-1＜0可化为x2-x+1＞0.△=（-1）2-4×1×1=-3＜0.所以不等式的解集为R；（3）当a≥0时.解不等式x2≤a.得- √a≤x≤ √a；当a＜0时.不等式x2≤a无解；所以.a≥0时.不等式x2≤a的解集为-x|- √a≤x≤ √a }；a＜0时.不等式x2≤a的解集为∅．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了运算求解能力.是基础题．17.（问答题.14分）已知集合A={x|x2-（a+1）x-a＞0}．（1）若1∈A.求实数a的取值范围；（2）若集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）将1代入x2-（a+1）x-a＞0.解得即可.（2）集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.当x=2满足.x=3不满足时.或当x=2不满足.x=3满足时.解不等式组可得．【解答】：解：（1）1∈A .将1代入x 2-（a+1）x-a ＞0得1-（a+1）-a ＞0.解得a ＜0. 即a 的范围为（-∞.0）（2）集合B={2.3}.且A∩B 中恰好只有1个元素. 则说明x 2-（a+1）x-a ＞0有1个元素是2或3. 则当x=2满足.x=3不满足时.∴ {22−2(a +1)−a ＞032−3(a +1)−a ≤0 .即 {a ≥32a ＜23.此时解集为∅. 则当x=2不满足.x=3满足时.∴ {22−2(a +1)−a ≤032−3(a +1)−a ＞0 .解得 23 ≤a ＜ 32 . 综上所述a 的取值范围为[ 23 . 32 ）．【点评】：本题考查了元素和集合的关系.属于基础题． 18.（问答题.14分）已知x+y=1.x.y∈R +． （1）求x 2+y 2+xy 的最小值； （2）求 √x +√y 的最大值； （3）求x （1-3y ）的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）x 2+y 2+xy=（x+y ）2-xy=1-xy.然后利用基本不等式即可求解； （2）（ √x + √y ）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy .然后利用基本不等式即可求解； （3）由x （1-3y ）=（1-y ）（1-3y ）=3y 2-4y+1.然后结合二次函数的性质可求解．【解答】：解：（1）x 2+y 2+xy=（x+y ）2-xy=1-xy≥1-（ x+y 2 ）2= 34.当且仅当x=y= 12 时.取得最小值 34 ；（2）因为x+y=1.x.y∈R +.所以（ √x + √y ）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy ≤1+x+y=2.当且仅当x=y 时取等号.此时取得最大值2；（3）∵x.y∈R+.x+y=1.∴x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1.结合二次函数的性质可知.当y= 23时取得最小值- 13．【点评】：本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在求解最值中的应用.属于基础题．19.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.函数y=x2+mx+n的图象经过点（1.0）.且对于任意的x∈R.总有y≥0．（1）求m.n的值；（2）若直线y=kx+2与函数y=x2+mx+n的图象交于不同的两点A（x1.y1）.B（x2.y2）.且x13+x23=14.求实数k的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知函数过定点可得一个关于m.n的等式.再利用二次函数恒成立问题可再建立一个关于m.n的关系式.两式结合即可求解.（2）联立直线方程和二次函数方程可得一个关于x的二次方程.而x1.x2为该方程的根.则可由根与系数的关系得x1.x2的和与积.再利用立方和公式展开x 13+x23 .进而可以求解．【解答】：解：（1）由已知函数过点（1.0）可得：m+n+1=0… ① .又对任意x∈R.总有y≥0.则△=m2-4n≤0… ② .由① 得n=-1-m.代入② 得：m2+4m+4≤0.即（m+2）2≤0.所以m+2=0.则m=-2.n=1.故m.n的值分别为-2.1；（2）由（1）可得y=x2-2x+1.与y=kx+2联立方程可得：x2-（k+2）x-1=0.则方程的根为x1.x2.由根与系数的关系可得：{x1+x2=k+2 x1x2=−1 .所以x 13+x23 =（x1+x2）（x 12 -x1x2+x 22）=（k+2）[（x1+x2）2-3x1x2] =（k+2）[（k+2）2+3]=14.令k+2=t.则t3+3t-14=0.即t3-8+3t-6=（t-2）（t2+2t+4）+3（t-2）=（t-2）（t2+2t+7）=0.显然t-2=0.即t=2.所以k+2=2.即k=0.故实数k的值为0．【点评】：本题考查了二次函数的性质.涉及到恒成立问题以及立方和公式和高次方程求解等问题.考查了学生的运算转化能力.属于中档题．20.（问答题.14分）已知集合A.B为非空数集.定义A-B={x∈A且x∉B}．（1）已知集合A=（-1.1）.B=（0.2）.求A-B.B-A；（直接写出结果即可）（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}.Q=[1.2].若Q-P=∅.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据定义A-B={x∈A且x∉B}．即可求解A-B.B-A；（2）由Q-P=∅.结合定义A-B={x∈A且x∉B}．即可求解实数a的取值范围．【解答】：解：（1）由定义A-B={x∈A且x∉B}．集合A=（-1.1）.B=（0.2）.∴A-B=（-1.0].B-A=[1.2）．（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}={x|（x-2a）（x+a）≥0}.Q=[1.2].由Q-P=∅.可得Q⊆P.当a=0时.P=R.满足Q⊆P；当a＜0时.P={x|x≤2a或x≥-a}.由Q⊆P.可得{a＜0−a≤1.解得-1≤a＜0.当a＞0时.P={x|x≤-a或x≥2a}.由Q⊆P.可得{a＞02a≤1.解得0＜a≤ 12.综上可得.实数a的取值范围[-1. 12]．【点评】：本题考查对新定义的理解和应用.是基础题.解题时要认真审题．21.（问答题.15分）已知x.y∈（-1.1）．定义x*y= x+y1+xy．（1）求0* 13及12* 13的值；（2）求证：∀x.y∈（-1.1）.x*y∈（-1.1）；（3）若{x1.x2.x3.x4.x5.x6}= {−57，−16，−14，12，13，14} .求x1*x2*x3*x4*x5*x6的所有可能值构成的集合．【正确答案】：【解析】：（1）直接由新定义可求解；（2）等价转化为-1＜x+y1+xy＜1求证；（3）先判断x*y满足交换律和结合律.得到所要求解的式子结果唯一.再利用定义求解．【解答】：解：（1）0* 13 = 0+131+0•13=13. 12∗13=12+131+12•13=57；（2）证明：∵-1＜x＜1.-1＜y＜1.∴-1＜xy＜1.x-1＜0.y-1＜0.∴1+xy＞0.（x-1）（y-1）＞0.∴xy-（x+y）+1＞0.∴1+xy＞x+y.∴ x+y1+xy＜1．同理：（x+1）（y+1）＞0.即xy+（x+y）+1＞0.∴（x+y）＞-（1+xy）.∴ x+y1+xy＞−1 .∴ −1＜x+y1+xy＜1 .∵ x∗y=x+y1+xy.∴∀x.y∈（-1.1）.都有x*y∈（-1.1）成立．（3）由已知可得x*y=y*x.满足交换律．∵（x*y）*z= x+y1+xy ∗z =x+y1+xy+z1+x+y1+xy×z=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz.x*（y*z）=x* y+z1+yz =x+y+z1+yz1+x×y+z1+yz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz.∴（x*y）*z=x*（y*z）.满足结合律．∴x1*x2*x3*x4*x5*x6有唯一值．∴x1*x2*x3*x4*x5*x6= (−57)∗(−16)∗(−14)∗12∗13∗14=(−57)+(−16)1+(−57)×(−16)* (−14)+121+(−14)×12*13+141+13×14= (−3747)∗27∗713=(−3747)+271+(−3747)×27∗713=(−1117)∗713=−(1117)+7131+(−1117)×713=−16 ．∴x 1*x 2*x 3*x 4*x 5*x 6的所有可能值构成的集合为{ −16}．【点评】：本题考查对新定义的理解.属于中档题．。

北京市人大附中2020-2021学年度高一第一学期第一次检测化学试题可能用到的相对原子质量：H --1 、O—16、Na—23、S—32、Cl—35.5、K—39、Mn—55第Ⅰ部分选择题（40分）一、单选题1.下列科研成果不是由我国发明创造的是A.黑火药和造纸B.发现元素周期律C.发现、提取并人工合成青蒿素D.第一人工合成具有生理活性的蛋白质—结晶牛胰岛素2.下列与氧化还原反应无关的是A.利用天然气燃烧做饭B.利用碳酸氢钠治疗胃酸过多C.湿法炼铜D.利用活性铁粉做食品保鲜的双吸剂3.下列物质分类正确的是A. SO2、SiO2、CO、CO2均为酸性氧化物，也为非金属氧化物B. 干冰、氨气、冰水混合物、胆矾(CuSO4·5H2O)均为纯净物，也为化合物C. 稀盐酸、熔融氯化钠均能导电，它们均为电解质D. 纯碱、烧碱、氢氧化钙均为碱4.下列物质中，含有自由移动的Cl-的是A. KClO3B.液态HClC. MgCl2溶液D. NaCl晶体5.下列电离方程式中，错误的是A. Ba(OH)2 == Ba2+ + 2OH-B. NaHCO3 == Na+ + H+ + CO32-C. H2SO4 == 2H+ + SO42-D. NaHSO4 == Na+ + H+ + SO42-6.阿波罗宇宙飞船以N2H4(联氨)和N2O4为动力源，反应温度达2700℃。

反应方程式为：2 N2H4+ N2O4 == 3N2 + 4H2O，关于该反应的说法中正确的是A. 属于置换反应B. 联氨是氧化剂C. 联氨是还原剂D. 氮气只是还原产物7.常温时，在PH=13的无色透明溶液中一定能大量共存的一组离子是A. Na+、K+、NO3-、CO32-B. K+、Fe3+、Cl-、SO42-C. Na+、NO3-、SO42-、HCO3-D.NH4+、Ag+、SO42-、Cl-8.下列反应的离子方程式正确的是A. 盐酸与铁屑反应：2Fe+6H+=2Fe3++3H2B. 氢氧化钡与稀硫酸反应：Ba2++SO42-+H++OH-=BaSO4+H2OC. 醋酸与氢氧化钠溶液反应：H++ OH- = H2OD.小苏打治疗胃酸过多：HCO3-+ H+= H2O+CO29.下列说法正确的是A. SO2溶于水后所得水溶液能导电，所以是电解质SO2B. 固体Na2SO4不导电，所以Na2SO4是非电解质C. 电解质溶液导电的原因是溶液中有可以自由移动的离子D. 金属铜能导电，但铜是非电解质10.下列反应中水只作氧化剂的是A. 2F2+2H2O=4HF+O2B. 2Na+2H2O=2NaOH+H2C.3NO2 + H2O=2HNO3+NOD.2 H2O=2H2+O211.在下列转化中必须加入氧化剂才能实现的是A. S→H2SB. CuSO4→CuC. H2SO4→ CuSO4D.Fe2+→ Fe3+12.下列化学反应中，能用离子方程式2H++CO32-=H2O+CO2表示的是A.碳酸钙与稀盐酸B.碳酸钠与稀硫酸C.碳酸氢钠与稀硝酸D.碳酸钡与稀硫酸13.下列物质或离子只具有还原性的是A. SO2B. FeC. MnO4-D.HCl14.要除去KNO3溶液中混有的少量Ba(NO3)2杂质，操作正确的是A. 加入适量的Na2CO3溶液，过滤B. 加入足量的K2CO3溶液，过滤C. 先加入过量的K2CO3溶液，过滤，再向滤液在加入适量的稀盐酸D. 先加入过量的K2CO3溶液，过滤，再向滤液在加入适量的稀HNO315.试管壁上附着的硫可用CS2溶解清洗，也可倒入热的NaOH溶液将硫除掉，其反应方程式为3S+6NaOH=2Na2S+Na2SO3+3H2O,反应中氧化剂和还原剂的质量比为A.2：7B.7：2C. 2：1D.1：216.根据下列反应判断有关物质还原性由强到弱的顺序是H2SO3 + I2 + H2O = 2HI+H2SO4；2FeCl3 + 2HI = 2FeCl2 + 2HCl +I2A. H2SO3 > I- > Fe2+B. I- > Fe2+ > H2SO3C. Fe2+ > I- > H2SO3D. Fe2+ > I- > H2SO317. 下列化学方程式中电子转移不正确的是18. 下列有三个氧化还原反应：①2FeCl3 + KI =2FeCl2 + 2KCl + I2；②2FeCl2 + Cl2 = 2FeCl3；③2KMnO4 + 16HCl = 2KCl + 2MnCl2 + 8H2O + 5Cl2。

人大附中2020-2021学年度高三10月统一练习一、选择题共10小题：每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 01．已知集合{}1,0,1A =-，{}1B x x =∈<N ，则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}0D ．∅02．已知命题:(0,)P x ∃∈+∞，ln 0x x +<，则p ⌝为（ ）A ．(0,)x ∀∈+∞，ln 0x x +<B ．(0,)x ∃∉+∞，ln 0x x +<C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 0x x +≥D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 0x x +≥ 03．已知点5π2cos ,16P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是角α终边上一点，则sin α=（ ）A ．12BC ．12-D ． 04．已知向量(1,1)=a ，(2,1)=-b ，若(2)()λ+-a b a b ∥，则实数λ=（ ）A ．8B ．8-C ．2D ．2-05．以下选项中，满足log 2log 2a b >的是（ ）A ．2a =，4b =B ．8a =，4b =C ．14a =，8b = D ．12a =，14b =06．下列函数中，既是奇函数又在区间(1,1)-内是增函数的是（ ）A ．3()3f x x x =-B ．()sin f x x =C ．1()ln1xf x x-=+ D ．()e e x x f x -=+07．已知方程210x ax +-=在区间[0,1]上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(,2]-∞D ．[2,0]-08．已知a 是非零向量，m 为实数，则“m =a ”是22a m =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件09．已知0a >，若函数21,1()1,1x ax x x f x a x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足：当0πx ≤<时，()sin f x x =；当πx ≥时，()2(π)f x f x =-.若方程()0f x x m -+=在区间[0,5π]上恰有3个不同的实根,则m 的所有可能取值集合是（ ）A ．4π0,3⎡⎢⎣B ．4π0,3⎛ ⎝C ．[)4π0,3π,4π3⎡⎢⎣D ．4π0,(3π,4π)3⎡⎢⎣ 二、填空题共5小题：每小题5分，共25分．11．已知π1cos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=____．12．在ABC ∆中，已知2a =，cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆的面积为____．13．已知点(1,1)P ，O 为坐标原点，点,A B 分别在x 轴和y 轴，且满足PA PB ⊥，则()PA PB PO +•=____，PA PB +的最小值为____．14．已知函数()e (1)x f x a x =+-，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是____． 15．将函数sin y x =图象上各点横坐标变为原来的1(0)ωω>倍,再向左平移π5个单位,得到函数()f x 的图象.已知()f x 在[0,2π]上有且只有5个零点.在下列命题中: ①()f x 的图象关于点π,05⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；②()f x 在(0,2π)内恰有5个极值点； ③()f x 在区间π0,5⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减；④ω的取值范围是2530,1111⎡⎫⎪⎢⎣⎭．所有真命题的序号是____．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．在ABC ∆中，已知22cos a b c A +=．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若5a =，7c =，求b ．17．已知函数2()2cos sin (0)f x x x ωω=+>，若____，写出()f x 的最小正周期，并求函数()f x 在区间π5π,66⎛⎤⎥⎝⎦内的最小值． 请从①1ω=，②2ω=这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答．若选择多个条件分别作答，按第一个判分． 18．已知函数1()1f x x =+，()1g x x =-．求正实数a 的取值范围： （Ⅰ）任意1(0,)x a ∈，存在2(0,)x a ∈，使得12()()f x g x =成立； （Ⅱ）存在12,[,1]x x a a ∈+，使得12()()f x g x <成立．19．研究表明，在一节课40分钟的数学课中，学生的注意力指数()f x 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示．当(0,16]x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(10,40]x ∈时，曲线是函数0.8log ()y x a =+图象的一部分．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟，参考数据：541025=，553125=）20．已知函数()()ln (1)(1)f x x a x a x =+-+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得()f x 在(0,)+∞具有单调性？若存在，求所有a 的取值构成的集合；若不存在，请说明理由．21．对非空数集,A B ，定义{},A B x y x A y B -=-∈∈，记有限集T 的元素个数为T ．（Ⅰ）若{}135A =，，，{}1,2,4B =，求A A -，B B -，A B -； （Ⅱ）若4A =，*A ⊆N ，{}1,2,3,4B =，当A B -最大时，求A 中最大元素的最小值； （Ⅲ）若5A B ==，21A A B B -=-=，求A B -的最小值．。

北京市人大附中2024届高三10月质量检测练习数学试题一、单选题1．已知集合{}[]2,0,3A x x B =≤=，则A B = （）A ．{3}B ．{0}C ．[]0,2D ．{0，3}2．下列函数既是偶函数且又在()0,∞+上是单调递减函数的是（）A ．()cos 2f x x=B ．()exf x =C ．()lg f x x=D ．()23f x x-=3．已知角θ的终边过点()12,5P -，则tan θ=（）A ．512-B ．125-C ．125D ．5124．若0.32131,0.3,log 32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．a c b>>5．设,a b ∈R ，且0a b <<，则（）A ．11a b<B ．2b ab>C ．2a bab +>D ．2b a a b+>6．某物体做直线运动，若它所经过的位移s 与时间t 的函数关系为()212s t t t =+，则这个物体在时间段1,2内的平均速度为（）A ．2B ．32C ．3D ．527．已知{}12|2,0,log 1xA y y xB x x ⎧⎫==<=>⎨⎬⎩⎭，则“x A ∈”是“x B ∈”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，下列结论正确的是（）A ．()y f x =在=1x -处取得极大值B ．1x =是函数()y f x =的极值点C ．2x =-是函数()y f x =的极小值点D ．函数()y f x =在区间()1,1-上单调递减9．已知0a >且1a ≠，函数(),1,1x a x f x x a x ⎧≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 在区间[]0,2上的最大值比最小值大52，则a 的值为（）A ．12或2B ．23或2C ．2或72D ．12或7210．已知函数()11sin cos f x x x=+，在下列结论中：①2π是()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线π4x =对称；③()f x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上无最大值正确结论的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．函数()()22ln 1xf x x x =++-的定义域为．12．已知函数()πsin 0,02y x ωϕωϕ⎛⎫=+><≤ ⎪⎝⎭，且此函数的一段图象如图所示，则ω=；ϕ=．13．在ABC V 中，60,2,3A AC BC ︒===则ABC V 的面积等于．14．扶贫小组帮助某农户建造一个面积为100㎡的矩形养殖区，有一面利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，则最低造价需要准备元．15．对函数(),f x 若存在区间[,](),M a b a b =<使得{|(),},y y f x x M M =∈=则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”,给出下列四个函数:（1）(),x f x e =（2）3(),f x x =（3）π()cos ,2f x x =（4）()ln 1,f x x =+其中存在“稳定区间”的函数有.（把所有可能的函数的序号都填上）三、解答题16．已知函数()321233f x x x =+-(1)求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间和极值．17．已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期；(2)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值．18．某同学用“五点法”画函数()()||πsin 0,2f x A x k ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxm π3n 5π6p ()sin A x kωϕ++1614-1(1)求出实数m ，n ，p 的值；(2)求出函数()f x 的解析式；(3)将()y f x =图象向左平移()0t t >个单位，得到()y g x =的图象．若()y g x =为偶函数，求t 的最小值．19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足222sin sin sin sin sin 0A CB AC +-+=(1)求角B 的大小；(2)给出以下三个条件：条件①：22230a b c c -+-=：条件②：3a =；条件③：4ABC S =△从这三个条件中选择两个条件，使得ABC V 存在且唯一确定，请写出你选择的两个条件并回答下面的问题：（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）点M 为线段AB 中点，点N 为线段BC 中点，点P 为线段MN 上一个动点，记PA PC λ=⋅ ，直接写出λ的最大值．20．已知函数()()32111,e ln 32x f x x x ax g x x x x -=++=+(1)判断函数()y g x =零点的个数，并说明理由；(2)对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x '≤'-求实数a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，证明：0x ∀>，有()()g x f x ≥'．21．如图，T 是3行3列的数表，用(),1,2,3ij a i j =表示位于第i 行第j 列的数，且满足{}0,1ij a ∈．11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33a 数表中有公共边的两项称为相邻项，例如上表中11a 的相邻项仅有12a 和21a ．对于数表T ，定义操作ij ϕ为将该数表中的ij a 以及ij a 的相邻项从x 变为1x -，其他项不变，并将操作的结果记为()ij T ϕ．已知数表0T 满足{}0,,1,2,3ij a i j =∈．记变换ψ为n 个连续的上述操作，即1122:,,,n n i j i j i j ϕϕϕψ ，使得()()()112210211,,,n n i j i j n i j n T T T T T T ϕϕϕ-=== ，并记()0n T T =ψ(1)给定变换112233:,,ϕϕϕψ，直接写出()30T T =ψ．(2)若T '满足122122231a a a a ====，其他项均为0．ψ是含n 次操作的变换且有()0T T '=ψ，求n 的最小值．(3)若变换ψ中每个操作ij ϕ至多只出现一次，则称变换ψ是一个“优变换”，证明：任给一个数表(){}{}:,0,1,,1,2,3ij ij T a a i j ∈∈，存在唯一的一个“优变换”ψ，使得()0T T =ψ．参考答案：题号12345678910答案CDABDBBCDB1．C【分析】按照交集的运算法则直接计算即可.【详解】因为集合{}[]{}2,0,303A x x B x x =≤==≤≤，所以{}[]020,2A B x x ⋂=≤≤=.故选：C.2．D【分析】根据余弦函数，指数函数，对数函数及幂函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.【详解】对于A ，因为π3π044f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()cos 2f x x =在()0,∞+上不是单调递减函数，A 不符题意；对于B ，函数()e xf x =在()0,∞+上是单调递增函数，故B 不符题意；对于C ，当()0,x ∈+∞时，()lg lg f x x x ==在()0,∞+上单调递增，故C 不符题意；对于D ，()()()()21233,0,,0f x xxx ∞∞--==∈+⋃-，因为203-<，所以函数()23f x x -=在()0,∞+上单调递减，因为()()()123f x x f x --==，所以()23f x x -=是偶函数，故D 符合题意.故选：D.3．A【分析】根据正切函数的定义计算．【详解】由题意，55tan 1212α==--．故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的定义，属于简单题．4．B【分析】由指数函数和对数函数的性质即可得出答案.【详解】因为0.3110122a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，200.30.31b -=>=，1133log 3log 31c -===-，所以b a c >>.故选：B.5．D【分析】ABC 选项，可举出反例；D 选项，利用基本不等式进行求解.【详解】A 选项，当2,1a b =-=-时，111,12a b=-=-，故11a b >，A 错误；B 选项，当2,1a b =-=-时，21,2b ab ==，2b ab <，B 错误；C 选项，当2,1a b =-=-时，322a b +=-=，2a b+<，C 错误；D 选项，当0a b <<时，0,0b a a b >>，由基本不等式可得2b a a b +≥=，当且仅当ba ab=，即a b =时，等号成立，但a b ≠，故等号取不到，故2b aa b+>，D 正确.故选：D 6．B【分析】根据平均速度的公式计算.【详解】211211322212s v t ⎛⎫⨯+-+ ⎪∆⎝⎭===∆-.故选：B.7．B【分析】根据题意，化简集合,A B ，再由充分条件以及必要条件的定义判断即可.【详解】因为{}()2,00,1x A y y x ==<=，121log 10,2B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则B 是A 的真子集，所以“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件.故选：B 8．C【分析】根据导函数的正负即可求解()y f x =的单调性，即可结合选项逐一求解.【详解】由图象可知：当2x <-时，()()0,f x f x '<单调递减，当2x ≥-时，()()0,f x f x '≥单调递增，故2x =-是函数()y f x =的极小值点，()y f x =无极大值.故选：C 9．D【分析】按照a 与1的大小进行分类讨论，求出函数()f x 在[]0,2上的最值，从而可得a 的值.【详解】①当01a <<时，函数()f x 在[]0,1上是减函数，在(]1,2上也是减函数.∵()0011f a a ==>-+，∴函数的最大值为()01f =，而()()221f a a f =-+<=，∴函数()f x 的最小值为()22f a =-+，∴5212a -++=，解得()10,12a =∈，符合题意.②当1a >时，函数()f x 在[]0,1上是增函数，在(]1,2上是减函数.∵()11f a a =>-+，∴函数()f x 的最大值为()1f a =，而()22f a =-+，()001f a ==，当()1,3a ∈时，21a -+<，此时函数()f x 的最小值为()22f a =-+，因此有522a a -++=，无解；当[)3,a ∈+∞时，21a -+≥，此时函数()f x 的最小值为()01f =，因此有512a +=，解得()73,2a =∈+∞，符合题意.综上所述，实数a 的值为12或72.故选：D 10．B【分析】①②根据周期性和对称性满足的关系式判断；③利用换元法求函数()f x 在π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的最值情况.【详解】因为π11π112π07πππ7π44sin cos sin4444f f ⎛⎫⎛⎫-=+=-+=+= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭，所以2π不是()f x 的一个周期，故①错误；()11π,π11cos sin 2ππ11π2sin cos ,22cos sin 2x x x f x f x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎛⎫-=+=≠⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪---+< ⎪⎪⎩⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，故②错；()()()()222sin cos 11sin cos sin cos 1sin cos 1sin cos 2x x x x f x x x x x x x --=-+==----，π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则3,444x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭πππ，)1t ⎡∈-⎣，22211t y t t t ==--，在)1t ⎡∈-⎣上单调递增，所以无最大值，即函数()f x 在π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上无最大值，故③正确.故选：B.11．[2,1)-【分析】根据函数特征直接求定义域即可.【详解】由函数()()2ln 1x f x x =+-可知，202,,21101x x x x x +≥≥-⎧⎧∴-≤<⎨⎨-><⎩⎩，所以定义域为[2,1)-.故答案为：[2,1)-12．2π4【分析】由图知7π3ππ2882T =-=，2πT ω=可得ω的值，再由()3π2πZ 8k k ϕ⨯+=∈以及π02ϕ<≤求得ϕ的值.【详解】由7π3ππ2882T =-=，可得πT =，所以2π2π=2πT ω==，此时解析式为()sin 2y x ϕ=+，由()3π2πZ 8k k ϕ⨯+=∈，可得()3ππZ 4k k ϕ=-+∈，又因为π02ϕ<≤，所以1k =，π4ϕ=，故答案为：2；π4.13【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B ，C ，再利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积．【详解】因为60,2,A AC BC ︒===2,,sin sin sin 60sin BC AC A B B︒=∴=sin 1,90,30,B BC ︒︒∴=∴==12sin 302ABC S ︒=⨯⨯=!14．3200【分析】假设正面铁栅和两侧墙长，可构造等式100xy =；列出造价409020z x y xy =++，利用基本不等式求得最小值.【详解】设正面铁栅长为x ，两侧墙长为y ，则100xy =于是造价为409020z x y xy=++则：4090202020120020003200z x y xy xy xy =++≥==+=，当且仅当4090 100x y xy ==，即20153x y ，==时取等号本题正确结果：3200【点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，主要采用基本不等式求解和的最小值的方法.15．②③【详解】因为()x f x e =单调递增，所以若存在“稳定区间”则x e x =至少有两个解，而x e x >恒成立，所以()x f x e =不存在“稳定区间”；因为()3f x x =单调递增，所以若存在“稳定区间”则3x x =至少有两个解，显然成立，所以()3f x x =存在“稳定区间”；（3）因为[0,1],cos [0,1]2x x π∈∈,所以f(x)=π cos 2x 存在“稳定区间”；（4）因为()ln 1f x x =+单调递增，所以若存在“稳定区间”则ln 1x x +=至少有两个解，而ln 1x x +=只有一解x=1，所以()ln 1f x x =+不存在“稳定区间”；点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．16．(1)8100x y --=(2)递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，递减区间为()2,0-，极大值为23，极小值为23-.【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，由导数的几何意义即可得到结果.（2）根据题意，求导得()f x '，令()0f x '=即可得到极值点，从而得到结果.【详解】（1）因为()3212222633f =⨯+-=，且()22f x x x '=+，则()222228f '=+⨯=，所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为()682y x -=-，即8100x y --=.（2）因为()22f x x x '=+，令()0f x '=，解得2x =-或0x =，当(),2x ∞∈--时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；当()2,0x ∈-时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；所以()f x 的单调递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，单调递减区间为()2,0-，当2x =-时，()f x 有极大值为()()3122224333f -=⨯-+-=，当0x =时，()f x 有极小值为()203f =-.综上所述，递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，递减区间为()2,0-，极大值为23，极小值为23-.17．(1)()f x 的最小正周期为π.(2)最大值为2，最小值为1.【分析】（1）先化简()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭求出π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后由最小正周期公式求解即可.（2）求()f x 在闭区间上的最大值和最小值即可.【详解】（1）()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭)22sin cos cos 2sin 2x x x x x =+--+-，πsin 222sin 23x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为：2ππ2T ==.（2）由（1）可知，π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,363⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦x .所以当ππ232x -=时，max ()2f x =，当ππ236x -=时，min ()1f x =.所以当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的最大值为2，最小值为1.18．(1)π12m =，712n =π，1312p =π(2)()5sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π(3)π3【分析】（1）根据表格列方程，解方程得到m ，n ，p ；（2）根据表格得到sin 01πsin 62A k A k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程得到51A k =⎧⎨=⎩，然后结合（1）中结论即可得到()f x 的解析式；（3）根据图象的平移变换得到()g x ，根据()g x 为偶函数得到()0g 为最值，然后解方程求t 即可.【详解】（1）由题意得0ππ32π5π3π622πm n p ωϕωϕωϕωϕωϕ+=⎧⎪⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎪+=⎩，解得2π6π127π1213π12m n p ωϕ=⎧⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎩，所以π12m =，712n =π，1312p =π.（2）由题意得sin 01πsin 62A k A k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得51A k =⎧⎨=⎩，所以()5sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π.（3）由题意得()5sin 2216g x x t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭π，因为()g x 为偶函数，所以()05sin 2166g t ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭π或()04g =-，即sin 216t ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭π，即2,62t k k -=+∈πππZ ，解得,32k t k =+∈ππZ ，因为0t >，所以当0k =时，t 最小，最小为π3.19．(1)2π3B =(2)（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）6-【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到1cos 2B =-，得到2π3B =；（2）（Ⅰ）选择①②和①③求出边长均不合要求，选择②③，得到ABC V 存在且唯一，并求出5c =，7b =，得到sin A （Ⅱ）取AC 的中点H ，推出22PA PC PH CH ⋅=- ，并得到点P 与N 重合时，PH 最大值为52，并求出λ的最大值.【详解】（1）222sin sin sin sin sin 0A C B A C +-+=，由正弦定理得2220a c b ac +-+=，故2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，因为()0,πB ∈，所以2π3B =，（2）（Ⅰ）选择①②，222222030a c b ac a b c c ⎧+-+=⎨-+-=⎩，解得30ac c +=，又3a =，所以60c =，解得0c =，此时ABC V 不存在，选择①③，222222030a c b ac a b c c ⎧+-+=⎨-+-=⎩，解得30ac c +=，又0c >，故3a =-，不合要求，此时ABC V 不存在，选择②③，1sin 2ABC S ac B == 21π3n 23si c ⨯=5c =，又3a =，2220a c b ac +-+=，故2925150b +-+=，解得7b =，由于357+>，故满足ABC V 存在且唯一，由正弦定理得sin sin a b A B =，即372πsin sin 3A =，解得sin A ，（Ⅱ）取AC 的中点H ，连接PH ，则2PA PC PH += ，2PA PC CH -= ，两式平方后相减得22PA PC PH CH ⋅=- ，其中72CH = ，当点P 与M 重合或与N 重合时，PH 最大，当点P 与M 重合时，1322PH a == ，当点P 与N 重合时，1522PH c == ，故PH 最大值为52PH = ，故22PA PC PH CH λ=⋅=- 最大值为2549644-=-.20．(1)1个(2)(],1-∞-(3)证明见解析【分析】（1）先求定义域，转变为求1()e ln x k x x -=+的零点个数，求导，根据单调性与零点的存在性定理即可求；（2）任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-，可转化为()()12max max 2f x g x ''≤-，则求出()1max f x '，()2max g x '即可求出实数a 的取值范围；（3）指对缩放不等式可知()1e 11x x x -≥-+=，1ln 1x x≥-(需证明)，则可得12e ln 1x x x x x x -+≥+-，则不等式可证.【详解】（1）由()1e ln x g x x x x -=+，定义域为0+∞(,)，()y g x =的零点等价于1()e ln x k x x -=+的零点，11()e 0x k x x -'=+>，所以()y k x =在(0,)+∞上单调递增，又11e 1(1)10,()e 10ek k -=>=-<，所以()y k x =在1(,1)e上只有一个零点，所以()y k x =的零点个数为1个，则()y g x =的零点个数也为1个.（2）因为()321132f x x x ax =++，所以()221124f x x x a x a ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭，所以()f x '在区间(]0,1上单调递增，故()()max 12f x f a ''==+．因为()1eln x g x x x x -=+，所以()()111e e ln 11e ln 1x x x g x x x x x ---'=+++=+++．令()()11e ln 1x h x x x -=+++，则()()112e x h x x x-'=++，又(]0,1x ∈，所以()0h x '>，故()g x '在区间(]0,1上单调递增，所以()()max 13g x g ''==．又对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-，所以()()max max 2f x g x ''≤-，即232a +≤-，解得1a ≤-，故实数a 的取值范围为(],1-∞-．（3）令()1e -=-x s x x ，0x >，则()1e 1-'=-x s x ．令()0s x '=，解得1x =，则当()0,1x ∈时，()0s x '<，()s x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0s x '>，()s x 单调递增，所以()()10s x s ≥=，即1e x x -≥（当且仅当1x =时，等号成立）．令()1ln 1F x x x =+-，则()22111x F x x x x-'=-=．令()0F x '=，解得1x =，则当()0,1x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()10F x F ≥=，即1ln 1x x≥-+（当且仅当1x =时，等号成立），故11e ln 1x x x x-+≥-+（当且仅当1x =时，等号成立）．又0x >，所以12e ln 1x x x x x x -+≥+-．因为1a ≤-，所以221x x x x a +-≥++，故12e ln x x x x x x a -+≥++，即()()'≥g x f x ．21．(1)100010001(2)n 的最小值为3(3)证明过程见解析【分析】（1）按照题意进行求解即可；（2）先得到T '，分析得到T '的对称性和奇偶性质，当1n =，2n =时，不满足要求，3n =时，取变换111213:,,ϕϕϕψ，得到答案；（3）设A 是所有优变换的集合，B 是所有数表的集合，构造:f A B →，证明A 中的优变换和B 中数表为一一对应关系，证明出数表中的数据都可通过变换单独被改变，从而证明出结论.【详解】（1）0T 为000000000()1110T T ϕ=，故1T 为110100000()2221T T ϕ=，故2T 为100011010()3332T T ϕ=，故()30T T =ψ为100010001（2）T '为010111000由题意得，1113223133,,,,ϕϕϕϕϕ均改变了表格中的奇数个数据，定义为奇操作，12212332,,,ϕϕϕϕ均改变了表格中的偶数个数据，定义为偶操作，两次同样的操作，表格中数据不变，例如1111:,ϕϕψ不改变表格中数据，故n 的最大值为9，且变换满足交换律，例如1112:,ϕϕψ和1211:,ϕϕψ，结果相同，观察到T '是关于122232,,ϕϕϕ变换所在直线对称的，故变换也要关于这条直线轴对称，T '中有4个1，故相对于0T 改变了4个数，若1n =，通过验证，发现不能得到T '，若2n =，结合对称性和奇偶性，有1113:,ϕϕψ，2123:,ϕϕψ，3133:,ϕϕψ，1232:,ϕϕψ四种变换，经过验证，均不满足，若3n =，结合对称性和奇偶性，不妨取变换111213:,,ϕϕϕψ，()1110T T ϕ=，故1T 为110100000()2121T T ϕ=，故2T 为001110000()3132T T ϕ=，故()30T T =ψ为10111故n 的最小值为3；（3）设A 是所有优变换的集合，则A 中的优变换的个数为92，B 是所有数表的集合，则B 中的数表的个数为92，构造:f A B →，下面证明A 中的优变换和B 中数表为一一对应关系，由于,A B 中元素个数相同，要证每种变换都能等价变换为唯一的优变换，只需证每个数表都能通过变换得到，由（2）可知，11121322:,,,ϕϕϕϕψ可以得到以下数表，000000010由对称性可知，12212332,,,a a a a 可以单独被改变，又经过11:ϕψ变换得到110100000又1221,a a 可单独被改变，故可得到100000000即11a 可单独被改变，同理经过变换133133,,a a a 可单独被改变，经过22:ϕψ变换得到：111010又经过变换，12212332,,,a a a a 可单独被改变，可得到000010000故任给一个数表(){}{}:,0,1,,1,2,3ij ij T a a i j ∈∈，存在唯一的一个“优变换”ψ，使得()0T T =ψ.【点睛】新定义问题，要充分发掘题目中信息，将复杂问题抽丝剥茧，化难为简.（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。