人大附中 高一数学测试 集合运算 附答案(完整资料).doc

高一数学集合的运算试题答案及解析1.若，则的值为【答案】-1【解析】由集合相等的概念可知有元素，又，则，故，根据集合中元素的互异性知，故。

【考点】集合相等的概念及集合中元素的互异性。

2.设全集，集合,则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，所以.故选D.【考点】集合的简单运算.3.设集合，，若, 则集合P的子集的个数为（）A．2个B．4个C．6个D．8个【答案】B【解析】，集合的子集有：共4个。

故B正确。

【考点】1集合的运算，2集合的子集。

4.已知，（1）设集合，请用列举法表示集合B；（2）求和．【答案】（1）；（2），【解析】（1）集合为以集合为定义域的函数的值域。

时，；时，；时，；时，。

可用例举法写出集合。

（2）根据交集和并集的定义可直接得出和。

试题解析：解：（1）B= 5分（2） 7分10分【考点】1函数的值域；1集合的运算。

5.设求 .【答案】.【解析】有并集定义得.【考点】并集概念.6.集合.（1）当时，求；（2）若是只有一个元素的集合，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）m＝3或m≥【解析】（1）两集合的交集即两集合的公共部分，所以应联立方程解方程组。

（2）要使是只有一个元素的集合，只需联立的方程只有一个根，消去y或x后整理出一元二次方程，当判别式等于0时，对称轴需在内，当判别式大于0时，函数的一个零点应在内。

试题解析：（1），所以。

（2）消去y整理可得。

因为是只有一个元素的集合，即此方程在只有一个根。

所以或解得m＝3或m≥【考点】集合运算一元二次函数图像7.若集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由集合的交集运算性质可知，故选C.【考点】集合交集的运算.8.已知全集则（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】找出全集U中不属于A的元素，确定出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，即可确定出所求的集合,∵全集U={1，2，3，4}，A={1，2}，∴∁UA={3，4}，又B={2，3}，则（∁UA）∪B={2，3，4},故选C.【考点】交、并、补集的混合运算．9.集合.（1）若A B=，求a的取值范围.（2）若A B=，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）A B=时，集合A集合B没有公共点，所以时成立。

高一数学集合的运算试题答案及解析1.设全集，集合,则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，所以.故选D.【考点】集合的简单运算.2.已知集合，，则（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以；又因为，所以.【考点】集合的运算.3.已知全集U=R，A={x|﹣3＜x≤6，}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0，}．求：（1）A∪B；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：由题意，先解出一元二次不等式，化简集合B，再求出集合B的补集，再由交、并的运算法则解出即可.规律总结：在处理集合间的运算问题时，往往先化简集合，再结合数轴求集合间的交、并、补集. 试题解析：（1），则；（2），则 .【考点】交、并、补集的运算.4.已知集合，，且，则实数的值是．【答案】.【解析】∵，，∴.【考点】集合间的关系.5.已知集合，则满足A∩B=B的集合B可以是( )A．{0，}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|0＜x＜}D．{x|x＞0}【答案】C【解析】利用复合函数的值域知识可得A={y|0<y},因为A∩B=B，所以B A，所以答案是C.【考点】(1)复合函数；（2）集合的运算.6.已知全集，设集合，集合，若，求实数a的取值范围.【答案】.【解析】先解方程，的x=a,-4将a,与-4比较进行讨论，再利用得进行求解.试题解析：因为，又因为2分当时满足，此时 4分当时若，则 6分当时，满足，此时 8分综合以上得：实数的取值范围,所以 10分.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算.7.已知全集则（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】找出全集U中不属于A的元素，确定出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，即可确定出所求的集合,∵全集U={1，2，3，4}，A={1，2}，∴∁UA={3，4}，又B={2，3}，则（∁UA）∪B={2，3，4},故选C.【考点】交、并、补集的混合运算．8.以知集合，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，即，，，【考点】指数不等式的运算和集合的运算9.集合，，则．【答案】【解析】根据，集合A与集合B中的公共元素为4,7，所以【考点】集合的运算10.已知集合，，则=A．B．C．D．【答案】A【解析】,,，故选：A.【考点】集合的运算11.已知，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求的范围.【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将代入得到集合，然后计算并集和交集；（Ⅱ）结合数轴由,集合B的左端点大于等于1，右端点小于等于4，于是，特别注意端点值是否可以取等号。

高一数学集合的运算试题答案及解析1.已知全集合，，，若，试确定实数的取值范围．【答案】．【解析】首先通过一元二次不等式化简集合A和B，然后求集合B的补集，进而求出，最后根据，则可写出其满足条件的的取值范围即可．试题解析：（1）由题意得：，，，所以，．因为，所以且∴，解得，所以的取值范围是．【考点】子集与交集、并集运算的转换．2.集合{1，2，3}的真子集共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】C【解析】本题考查子集的概念，如果一个集合由n个元素，那么它有个子集，真子集共有个.【考点】集合的子集个数.3.设不等式的解集为.（1）求集合；（2）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】（1）解一元二次不等式，首先将一元二次不等式整理成二次项系数为正的情形，然后求对应一元二次方程的根，最后根据根的情况及不等式类型写出解集. 由,得，（2）对含参数的不等式，首先观察能否因式分解，这是简便解答的前提，然后根据根的大小讨论解集情况. 不等式等价于，若，则，要，只需，若，则，要，只需，若，则，符合，综上所述，的取值范围为．解：（1），所以 3分所以不等式的解集 4分（2）不等式等价于 5分若，则，要，只需 7分若，则，要，只需 9分若，则，符合 11分综上所述，的取值范围为． 12分【考点】一元二次不等式解法4.若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}， B＝，则A∩B＝( )A．{x|－1≤x<0}B．{x|0<x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}【答案】B【解析】由于A＝{x|－1≤2x＋1≤3}={x|-1≤x≤1}，B＝，所以A∩B＝{x|0<x≤1}【考点】集合的运算．5.已知集合M＝{y｜y＝，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，＋∞）C．[2，＋∞）D．[1，＋∞）【答案】A【解析】,,,故选A.【考点】数集的交集6.表示自然数集，集合,则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】表示在集合A中但不在集合B中的自然数，故.【考点】本题考查集合的补集、交集运算.7.设全集，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，【考点】集合的运算8.满足A∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A共有( )A．10个B．8个C．6个D．4个【答案】D【解析】根据题意，分析可得，集合A中必须有元素0，可能含有元素1或-1，由此列举可得全部可能的集合集合A可能为{0}、{0，1}、{0，-1}、{0，1，-1}，共有4个；故选D【考点】子集与真子集．9.已知集合，（1）求：，；（2）已知，若，求实数的取值集合【答案】（1）；（2）【解析】（1）两个集合的交集是由两个集合的公共元素构成，而某个集合A补集是由全集中不属于集合A的元素构成的；（2），即集合C是集合B的子集，说明集合C中的元素都属于集合B试题解析：（1） 7分（2） 14分【考点】（1）交集与补集；（2）子集10.设集合是函数的定义域，集合是函数的值域.（Ⅰ）求集合;（Ⅱ）设集合，若集合，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先通过不等式组解得集合A,再利用指数不等式解得集合B,得到，（Ⅱ）先由得到进而得到.本题容易丢掉a=2.试题解析：（Ⅰ）由，得， 2分又， 2分2分（Ⅱ）， 2分而，， 2分【考点】1、定义域和值域的求法；2、子集的性质的应用.11.已知全集U={小于10的正整数}，集合M={3，4，5}，P={1，3，6，9}，则集合=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知全集是有限集,对有限集可用Venn图来解题由图可知集合在集合M,P的外部故选B【考点】主要考查集合运算12.已知,函数的定义域为(1)求；(2)求。

高一数学集合试题答案及解析1.已知全集，A是U的子集，且，，则的值为（）A．2B．8C．3或5D．2或8【答案】D【解析】因为全集，A是U的子集，且，，，所以A={2,3}，，解得或，故选D。

【考点】本题主要考查子集、并集、补集的概念。

点评：基本题型，首先应从条件出发，建立a的方程，列举法直观，易于理解。

2.已知集合M={}，P={}，则M P=（）A．B．（3，）C．{3，}D．{(3，)}【答案】D【解析】即求两个一次函数与图象的交点，并用点集形式给出．因为M={(x，y)|x+y=2}，P={(x，y)|x－y=4}，所以M∩P=={(3，－1)}，故选D。

【考点】本题主要考查交集的概念、二元一次方程组解法。

点评：本题主要考查交集的概念、二元一次方程组解法。

应特别注意结合中元素是有序数对。

3.已知全集，，，，则集合A=____________，B=_____________．【答案】{2，3}，{2，4}【解析】依题意可填充韦恩图如图，所以A={2，3}，B={2，4}。

【考点】本题主要考查交集、并集、补集的概念、集合的表示方法。

点评：此题考查了集合的交、并、补集等运算，结合韦恩图逐步填空可得解。

4.设集合A=，B=，当时，求．【答案】【解析】由已知必有，∴，或，当时集合B中的元素，且，与集合中元素的互异性矛盾，当时集合B适合题意，∴时得到．【考点】本题主要考查交集、并集的概念、集合中元素的性质。

点评：此题考查了集合的交、并运算，探究求得a，利用集合中元素的互异性，确定取舍。

细心解方程。

5.已知A={1，2}，B={x|x A}，则中的元素个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】集合中的元素可以是任意具有确定性的对象，如本题，集合B中的元素即是集合A的子集，即B={，{1}，{2}，{1，2}}．故选D【考点】本题主要考查补集的概念。

点评：理解补集的概念，将B中属于集合A的元素“去掉”，有余下的B中元素构成的集合就是。

一、选择题1．已知集合{}11M x Z x =∈-≤≤，{}Z (2)0N x x x =∈-≤，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,1B ．{}1,2-C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,22．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2D ．-1或24．若集合3| 01x A x x -=≥+⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{|10}B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎛-⎤⎥⎝⎦C ．(,1)[0,)-∞-+∞ D ．1[,0)(0,1)3-⋃5．在整数集Z 中,被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[]k ,即[]{5|}k n k n Z =+∈,0,1,2,3,4k =;给出四个结论:（1）2015[0]∈;（2）3[3]-∈;（3）[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃;（4）“整数,a b ”属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知{}lg M y y x ==，{}xN y y a ==，则MN =（ ）A ．0,B ．RC ．∅D ．,07．对于非空实数集A ，定义{|A z *=对任意},x A z x ∈≥．设非空实数集(],1C D ≠⊆⊂-∞．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有D C **⊆；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有C D *≠∅；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有CD *=∅；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必存在常数a ，使得对任意的b C *∈，恒有a b D *+∈．以上命题正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21xB x =>，则()R C A B =（ ）A ．{}|10x x -≤<B ．{}|06x x <≤C ．{}|20x x -≤<D ．{}|03x x <≤9．已知0a b >>，全集为R ，集合}2|{ba xb x E +<<=，}|{a x ab x F <<=，}|{ab x b x M ≤<=，则有（ ）A ． E M =（R C F ）B ．M =（RC E ）F C ．F E M =D ．FE M =10．设所有被4除余数为()0,1,2,3k k =的整数组成的集合为k A ，即{}4,k A x x n k n Z ==+∈，则下列结论中错误的是（ ）A ．02020A ∈B ．3a b A +∈，则1a A ∈，2b A ∈C ．31A -∈D ．k a A ∈，k b A ∈，则0a b A -∈11．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22B x m x m =-≤≤+．若R A C B A =，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5m >B ．3m <-C ．5m >或3m <-D ．35m -<<12．对于下列结论：①已知∅ 2{|40}x x x a ++=，则实数a 的取值范围是(],4-∞；②若函数()1y f x =+的定义域为[)2,1-，则()y f x =的定义域为[)3,0-；③函数2y =(],1-∞；④定义：设集合A 是一个非空集合，若任意x A ∈，总有a x A -∈，就称集合A 为a 的“闭集”，已知集合{}1,2,3,4,5,6A ⊆，且A 为6的“闭集”，则这样的集合A 共有7个． 其中结论正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．已知集合{|M m Z =∈关于x 的方程2420x mx +-=有整数解}，集合A 满足条件：①A 是非空集合且A M ⊆；②若a A ∈，则a A -∈．则所有这样的集合A 的个数为______．14．设集合{}1,2,4A =，{}2|40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =__________．15．若集合(){}2220A x Z x a x a =∈-++-<中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是_____.16．已知()2f x x ax b =++，集合(){}0A x f x =≤，集合(){}3B x f f x ⎡⎤=≤⎣⎦，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围是______.17．非空集合G 关于运算*满足：① 对任意,a b G ∈，都有a b G *∈；② 存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a *=*=，则称G 是关于运算*的融洽集，现有下列集合及运算：①G 是非负整数集，*运算：实数的加法； ②G 是偶数集，*运算：实数的乘法；③G 是所有二次三项式组成的集合，*运算：多项式的乘法；④{|,}G x x a a b Q ==+∈，*运算：实数的乘法； 其中为融洽集的是________18．若{}2230P x x x =--<,{}Q x x a =>,且P Q P =,则实数a 的取值范围是______.19．已知集合{}10,A x ax x R =+=∈，集合{}2280B x x x =--=，若A B ⊆,则a 所有可能取值构成的集合为______________20．若集合{}|121A x m x m =+<≤-，{}|25B x x =-≤<,若()()R R C A C B ⊇，则m 的取值范围是_____________．三、解答题21．设集合{}|34A x x =-≤≤，{|132}B x m x m =-≤≤- （1）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； （2）若AB B =，求实数m 的取值范围.22．已知全集为R ，函数()()lg 1f x x =-的定义域为集合A ，集合(){}16B x x x =->. （1）求AB ；（2）若{}11C x m x m =-<<+，()()R C AC B ⊆，求实数m 的取值范围.23．设全集U R =，集合{|2A x x =≤-或}{}5,|2x B x x ≥=≤．求（1）()UA B ⋃；（2）记(){},|23U A B D C x a x a ⋃==-≤≤-，且C D C ⋂= ，求a 的取值范围.24．设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求()UA B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足C C =B ∪，求实数a 的取值范围. 25．已知集合{|123}A x a x a =+≤≤+，{}2|7100B x x x =-+-≥. （1）已知3a =，求集合()R A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的范围．26．已知不等式3514x x -≤-的解集是A ，不等式1||2x m x ->的解集是B ． （1）当4m =时，求A B ；（2）如果A B ⊆，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】阴影部分可以用集合M N 、表示为()()M N C M N ⋃⋂，故求出M N 、、M N ⋃，M N ⋂即可解决问题． 【详解】解：由题意得，{}1,0,1M =-，{}0,1,2N ={}1,0,1,2M N ⋃=-，{}0,1M N ⋂=阴影部分为()(){}1,2M N C M N ⋃⋂=-故选B 【点睛】本题考查用韦恩图表示的集合的运算，解题时要能用集合的运算表示出阴影部分．2．C解析：C 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．C解析：C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.4．A解析：A 【分析】先根据分式不等式求解出集合A ，然后对集合B 中参数a 与0的关系作分类讨论，根据子集关系确定出a 的范围. 【详解】因为301x x -≥+，所以()()10310x x x +≠⎧⎨-+≥⎩，所以1x <-或3x ≥，所以{|1A x x =<-或}3x ≥，当0a =时，10≤不成立，所以B =∅，所以B A ⊆满足， 当0a >时，因为10ax +≤，所以1x a≤-， 又因为B A ⊆，所以11-<-a，所以01a <<， 当0a <时，因为10ax +≤，所以1x a≥-， 又因为B A ⊆，所以13a -≥，所以103a -≤<， 综上可知：1,13a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查分式不等式的求解以及根据集合间的包含关系求解参数范围，难度一般.解分式不等式的方法：将分式不等式先转化为整式不等式，然后根据一元二次不等式的解法或者高次不等式的解法（数轴穿根法）求出解集.5．C解析：C 【分析】根据新定义,对每个选项逐一判断,即可得到答案. 【详解】对于（1）,因为20155403÷=,余数为0,所以2015[0]∈,故（1）正确; 对于（2）,因为()3512-=⨯-+,所以33[]-∉,故（2）错误; 对于（3）,因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类,故[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃,故（3）正确;对于（4）,因为整数,a b 属于同一“类”,所以整数,a b 被5除的余数相同,从而-a b 被5除的余数为0,反之也成立,故“整数,a b ”属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故（4）正确．综上所述,正确的个数为:3个. 故选C ． 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是理解被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”,考查了分析能力和计算能力.6．A解析：A 【解析】 【分析】先化简集合M ，N ，再计算M ∩N 即可． 【详解】由已知易得M ＝R ，N ＝{y ∈R|y >0}，∴M ∩N ＝(0，+∞）． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了集合的交运算，化简计算即可，比较简单．7．B解析：B 【分析】根据题干新定义{|A z *=对任意},x A z x ∈≥，通过分析举例即可判断。

北京市人大附中2024届数学高一第二学期期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线x ＋（1＋m ）y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是（ ） A ．1B ．－2C ．1或－2D ．32-2．一个长方体共一顶点的三条棱长分别是3,3,6，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( ) A ．12πB ．18πC ．36πD ．6π3．已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则5a =（ ） A ．2B ．2或32C ．2或-32D ．-14．若直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2a =-或1a =B ．1a =C ．2a =-D ．23a =-5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．186．把函数cos 232y x x =+的图象经过变化而得到2sin 2y x =的图象，这个变化是（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 7．若关于x 的方程()f x a =，当0a >时总有4个解，则()f x 可以是（ ） A ．21x -B ．11x - C ．22x - D ．2log 2x -8．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是( ) A ．若m α⊥，n α⊥，则//m n B ．若//m n ，//m α，则//n αC ．若m a ⊂，n β⊂，则,m n 是异面直线D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n9．已知a ,b 是正实数,且2a b +=,则2222a b a b+++的最小值为( ) A ．103B ．3222+ C ．22 D ．21+10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =+，则2016a =（ ） A ．1B ．1-C ．2-D ．2016二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（ ）A ．M ＝{（3，2）}，N ＝{（2，3）}B ．M ＝{（x ，y ）|y ＝x }，N ＝{y |y ＝x }C ．M ＝{1，2}，N ＝{2，1}D ．M ＝{2，4}，N ＝{（2，4）}2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）A ．y =1x 2B ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3．函数f(x)=x x 2+1的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝05．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤27．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1 8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．f （x ﹣1）﹣1B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+110．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（0＜a≤10），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−xx的定义域为．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．13．已知一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围为．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数k的取值范围是．．15．函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，x∈(−12，12)，若f（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）17．（12分）设函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R）．（1）当a＝9时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．18．（13分）已知函数f(x)=x2+a(a∈R)．x（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若a＝2，判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．421．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 ． 25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 ．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{（x，y）|y＝x}，N＝{y|y＝x}C．M＝{1，2}，N＝{2，1}D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}解：对于A，集合M，N表示的点坐标不同，故A错误，对于B，集合M表示点集，集合N表示数集，故B错误，对于C，由集合的无序性可知，M＝N，故C正确，对于D，集合M表示数集，集合N表示点集，故D错误．故选：C．2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=1x2B．y=1x C．y＝x2D．y＝x解：y=1x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，A正确；y=1x是奇函数，不正确；y＝x2在区间（0，+∞）上是增函数；不正确；y＝x是奇函数，不正确．故选：A．3．函数f(x)=xx2+1的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=xx2+1的定义域为R，f（﹣x）=−xx2+1=−f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C；当x＞0时，f（x）＞0，可排除选项A、D．故选：B ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0解：∵x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，∴2x 1x 2=(x 1+x 2)2−(x 12+x 22)=9﹣5＝4，解得x 1x 2＝2，∵x 1+x 2＝3，x 1x 2＝2，∴x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：A ．5．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c解：因为a ＞b ＞c ，则a ＞b 且a ＞c ，所以a +a ＞b +c ，即2a ＞b +c ，故D 正确，当b ＜0时，ab ＜bc ，故A 错误，当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，|a |＜|b |＜|c |，故B 错误，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故C 错误，故选：D ．6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤2 解：由题意可知，“∀x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1≥0”为真命题，所以Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故选：D ．7．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1 C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1解：对于A ，f （x ）的定义域为[0，+∞），g （x ）的定义域为R ，故A 错误，对于B ，f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1，g （x ）＝x 2+1，f （x ）与g （x ）的定义域，值域，映射关系均相同， 故f （x ）与g （x ）图象完全相同，故B 正确，对于C ，f （x ）的值域为[0，+∞），g （x ）的值域为R ，故C 错误，对于D ，f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）的定义域为R ，故D 错误．故选：B ．8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由ab ＞0可得{a ＞0b ＞0或{a ＜0b ＜0， 当{a ＞0b ＞0时，由基本不等式可得b a +a b ≥2，当a ＝b 时，等号成立； 当{a ＜0b ＜0时，b a ＞0，a b ＞0，由基本不等式可得b a +a b ≥2，所以充分性满足； 当b a +a b ≥2时，设t =b a ，则有t +1t ≥2，由对勾函数的性质可得t ＞0，即b a ＞0，可得ab ＞0，所以必要性满足．故“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的充要条件．故选：C ．9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ﹣1）﹣1 B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+1 解：因为f （x ）=x+3x+1=1+2x+1的图象关于（﹣1，1）对称，则f （x ﹣1）﹣1的图象关于原点对称，即函数为奇函数．故选：A ．10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和am （0＜a ≤10），设此矩形菜园ABCD 的最大面积为u ，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u ＝f （a ）（单位：m 2）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意，设CD ＝x ，则AD ＝12﹣x ，所以矩形菜园ABCD 的面积S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x ＝﹣（x ﹣6）2+36，因为要将这棵树围在菜园内，所以{x ≥212−x ≥a，解得：2≤x ≤12﹣a ， 当12﹣a ＞6，也即0＜a ＜6时，在x ＝6处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝36，当12﹣a ≤6，也即6≤a ≤10时，在x ＝12﹣a 处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝a （12﹣a ），综上：u ＝f （a ）={36，0＜a ＜6a(12−a)，6≤a ＜10， 根据函数解析式可知，选项B 符合．故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−x x 的定义域为 （﹣∞，0）∪（0，3] ．解：因为f(x)=√3−x x， 所以{3−x ≥0x ≠0，解得x ≤3且x ≠0， 即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3]．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的 充分必要 条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）． 解：园采取了“无预约，不游园”的措施，意思就是说：游园的前提时预约，只有预约了才可以游园，不预约就不能游园．所以：“预约”是“游园”的 充分必要条件．故答案为：充分必要．13．已知一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，2） ． 解：一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，所以{a −2≠0Δ=16−12(a −2)＞03a−2＜0，解得a ＜2， 即实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．14．已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ．解：已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，因为函数f(x)=2x−1在x ∈[2，3]上单调递减，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （3）＝1，可得f （x 1）∈[1，2]，又因为g （x ）＝kx +2（k ＞0）在x ∈[﹣1，2]上单调递增，所以g （x ）max ＝g （2）＝2k +2，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣k +2，所以g （x 2）∈[﹣k +2，2k +2]，若x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，所以[1，2]⊆[﹣k +2，2k +2]，所以{−k +2≤12k +2≥2⇒⇒{k ≥1k ≥0，所以k ≥1． 实数k 的取值范围是：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，x ∈(−12，12)，若f （x ）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是 (−∞，−1)∪(−1，−12) ．解：由①可知，a +1≠0，即a ≠﹣1；由③可知，a ＜0；由②可知，−12＜a+12a＜12，即−1＜a+1a＜1，又a＜0，则a＜a+1＜﹣a，解得a＜−1 2；综上，实数a的取值范围为(−∞，−1)∪(−1，−12 )．故答案为：(−∞，−1)∪(−1，−12 )．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：（1）当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥12 }，A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{x|x≥12}；（2）若选①A∩B＝A，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，解得a≥1，故a的取值范围为{a|a≥1}；若选②∀x∈A，x∉B；当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，符合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a＞3，解得0＜a＜1 3，故a的取值范围为{a|a＜13 }；③若选“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a ＜0时，B ＝{x |x ≤1a}，不合题意；当a ＞0时，B ＝{x |x ≥1a }，则1a ≤1， 解得a ≥1，故a 的取值范围为{a |a ≥1}．17．（12分）设函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ）．（1）当a ＝9时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若不等式f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ），当a ＝9时，f （x ）＜0，即2x 2﹣9x +4＜0，整理得（2x ﹣1）（x ﹣4）＜0，解得12＜x ＜4， 故所求不等式的解集为(12，4)；（2）f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，即2x 2﹣ax +4≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤2x +4x 在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤(2x +4x )min ，又2x +4x ≥2√2x ×4x =4√2（当且仅当2x =4x 即x =√2时，取“＝“）． 所以a ≤4√2，故实数a 的取值范围为(−∞，4√2]．18．（13分）已知函数f(x)=x 2+a x (a ∈R)．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）若a ＝2，判断f （x ）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x 为非奇非偶函数；证明如下：当a ＝0时，f （x ）＝x 2，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝x 2，即f （x ）为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x ，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2−a x =x 2−a x ≠±f （x ），即为非奇非偶函数； （2）a ＝2时，f （x ）=x 2+2x ，设1≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2−2x 1x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12−x 22+2x 1−2x 2=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2−2x 1x 2）＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[1，+∞）单调递增． 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①B ＝∅时，2a ﹣3≥a ﹣2，解得a ≥1；②B ≠∅时，{a ＜12a −3≥−5a −2≤−3，解得a ＝﹣1；∴综上可得，a 的取值范围是a ≥1或a ＝﹣1．故选：C ．20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4解：设f （t ）＝t 3+2022t ，函数定义域为R ，f （﹣t ）＝（﹣t ）3+2022×（﹣t ）＝﹣t 3﹣2022t ＝﹣f （t ），∴f （t ）是奇函数，∀t 1＜t 2，有t 13＜t 23，则f （t 1）﹣f （t 2）＝t 13+2022t 1﹣（t 23+2022t 2）＜0，即f （t 1）＜f （t 2）． ∴函数f （t ）是增函数，由x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，所以√x +√y −2＝0，可得√x +√y =2，两边同时平方再利用基本不等式，有4＝x +y +2√xy ≤2（x +y ），当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x +y 的最小值为2，故选：C ．21．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对解：y ＝x （x +1）（x +2）（x +3）＝[x （x +3）][（x +1）（x +2）]＝（x 2+3x ）[（x 2+3x ）+2]，令a ＝x 2+3x ＝（x +32）2−94≥−94．y ＝a 2+2a ＝（a +1）2﹣1，∵a ≥−94，∴a ＝﹣1时，y 有最小值﹣1．故选：A ．22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760解：∵A 为{1，2，3}，{1，2，4}，[1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，且A 为互斥集，∴A 为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，要想1a +1b +1c 取得最大值，则a ，b ，c 要最小， 此时a ，b ，c ∈{1，2，4}，令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则1a +1b +1c =11+12+14=74． 故选：C ．二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ﹣1或0或3 ．解：∵x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，∴x ﹣1≠0，且 x =k−2x x， ∴x ≠0，且 x 2+2x ﹣k ＝0有一个实数根，结合x ≠0且x ≠1，可得k ＝﹣1或k ＝0或k ＝3．故答案为：﹣1或0或3．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ． 解：因为k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值， 易知x ≥0时，f （x ）＝﹣x +k +1单调递减，故此时f （x ）≤f （0）＝k +1；当x ＜0时，f （x ）=2−x+k 单调递增，结合x →0﹣时，f （x ）→2k，所以由题意只需k +1≥2k 即可，解得k ≥1，或k ≤﹣2（舍），故k 的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 2 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 {a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1} ．解：定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数，（1）所以若 f （x ）＝x ，则 f （1）＝1，f （2）＝2，所以f （x ）＝x 的定义域与值域均为A ＝{1，2}，同理若f （1）＝2，f （2）＝1，也满足题意，所以A 上的等域函数有2个；若a ＜0，则f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1≤﹣1＜0，因此 n ＜0，从而f （x ）在[m ，n ]上单调递增，{f(m)=m f(n)=n， 所以f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有两个不等的负实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有2个不等的负实根，所以{ Δ=(2a +1)2−4a(a −1)＞0x 1+x 2=2a+1a ＜0x 1x 2=a−1a ＞0，解得−18＜a ＜0； 若a ＝0，则f （x ）＝﹣1，不合题意；a ＞0 时，①若m ≤1≤n ，则f （x ）min ＝﹣1，因此m ＝﹣1，f （﹣1）＝4a ﹣1，f （n ）＝a （n ﹣1）2﹣1，若1≤n ≤3，则n ＝f （﹣1）＝4a ﹣1，令1≤4a ﹣1≤3，解得12≤a ≤1， 若n ＞3，则f （n ）＝n ，所以方程f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有大于3的实数根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有大于3的实数根，即Δ＝（2a +1）2﹣4a （a ﹣1）≥0，解得a ≥−18， 所以a ＞0时，x =2a+1±√8a+12a ，令2a+1+√8a+12a＞3，解得√8a +1＞4a ﹣1， 当4a ﹣1≤0时，即0＜a ≤14时，不等式显然成立，当a ＞14时，8a +1＞（4a ﹣1）2，解得0＜a ＜1，所以14＜a ＜1，所以0＜a ＜1满足题意， 综上，0＜a ≤满足题意；下面讨论a ＞1时是否存在[m ，n ]满足题意，②若n ≤1，则 f （x ）在[m ，n ]上是减函数，因此{f(m)=n f(n)=m，显然m ＝f （n ）≥﹣1， 令{a(m −1)2−1=n a(n −1)2−1=m，相减得a （m +n ﹣2）＝﹣1，即m ＝2−1a −n ，n ＝2−1a −m ， 因此有{a(m −1)2−1=2−1a −m a(n −1)2−1=2−1a −n ， 设g （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1﹣（2−1a −x ）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，整理得g （x ）＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a +1a −3，a ＞1时，由于g （1）=1a −2＜0，因此方程g （x ）＝0一个根大于1，一根小于1，不合要求； ③若1≤m ＜n ，则f （x ）在[m ，n ]上是增函数，因此{f(m)=m f(n)=n，即f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 在[1，+∞）上有两个不等实根， 即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0 在[1，+∞）上有两个不等实根，设h （x ）＝ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1，则h （1）＝﹣2＜0，所以h （x ）＝0 的两根一个大于1，一个小于1，不合题意，综上，a 的取值范围是{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．故答案为：2；{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B，若存在集合B1，B2，使得B1∩B2＝∅，B1∪B2＝B，S（B1）＝S（B2），则S（B）＝S（B1）+S（B2）＝2S（B1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，•，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，•，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，•，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+•+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，•，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。

人大附中2019-2020学年第一学期期中考试高一数学试卷I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）1.设集合{}{}=32,=13X x Z x Y y Z y ∈-<<∈-≤≤，则X Y ⋂=（ ） A. {}0,1B. {}1,0,1-C. {}0,1,2D.{}1,0,1,2-【答案】B 【解析】 【分析】根据表示元素的范围以及表示元素是整数先分别用列举法写出集合,X Y ，然后再计算X Y ⋂的结果.【详解】因为{}2,1,0,1X =--，{}1,0,1,2,3Y =-，所以{}1,0,1X Y ⋂=-. 故选：B.【点睛】本题考查集合集合的表示方法以及集合的交集运算，难度较易. 2.下列各组函数是同一函数的是（ ）A. x y x=与1y =B. y =1y x =-C. 2x y x=与y x = D. 321x x y x +=+与y x=【答案】D 【解析】 【分析】选项A 、C 中分析每组函数的定义域是否相同；选项B 中分析分析函数的值域；选项D 中分析函数的定义域和值域. 【详解】x y x=的定义域为{x|x≠0}，1y =的定义域为R ，故A 选项错误；y =值域为[)0,+∞，1y x =-值域为R ，故B 选项错误；2x y x=与的定义域为{x|x≠0}，y x =定义域为R ，故C 选项错误； 321x x y x +=+与y x=的定义域和值域均为R ，故D 选项正确. 故选：D .【点睛】判断两个函数是否为同一函数可以先从定义域进行分析，定义域不同，则不是同一函数；定义域相同则再分析对应关系，若对应关系也相同则为同一函数，若对应关系不相同则不是同一函数.3.下列函数中，在区间()0,2是增函数的是（ ） A. 1y x =-+ B. 245y x x =-+C. y =D. 1y x=【答案】C 【解析】 【分析】直接判断一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数在区间()0,2上的单调性即可得到结果. 【详解】1y x =-+、245y x x =-+、1y x=在区间()0,2是减函数， y =()0,2是增函数.故选：C.【点睛】一次函数的单调性判断：()0y kx b k =+≠，当0k >时在R 上递增，当k 0<时在R 上递减；二次函数的单调性判断：()20y ax bx c a =++≠，当0a >时在,2b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上递减，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；当0a <时在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递增，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减. 4.命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A. 对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B. 不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C. 存在x 0∈R ，使得x 02≥0D. 存在x 0∈R ，使得x 02＜0【答案】D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．【此处有视频，请去附件查看】5.已知函数()f x 的图象是两条线段（如图，不含端点），则13f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A. 13- B.13C. 23-D.23【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象先用分段函数的形式写出()f x 的解析式，然后根据分段函数的解析式计算出13f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【详解】由图象可知：()()()1,0,10,01,1,0x x f x x x x ⎧-∈⎪==⎨⎪+∈-⎩，所以112113333f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：B.【点睛】本题考查分段函数求值问题，难度较易.对于给定图象的函数，首先可考虑通过图象求出函数的解析式，然后再考虑计算函数值.6.已知,a b 是实数，则“0a b >>且0c d <<”是“a bd c<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】考虑“0a b >>且0c d <<”与“a bd c<”互相推出的成立情况，判断出是何种条件. 【详解】根据不等式的性质可知：由“0a b >>且0c d <<”可以推出“a bd c<”，但由“a bd c<”不能推出“0a b >>且0c d <<”，例如：1,2,3,4a d c b =-===，此时推不出“0a b >>且0c d <<”， 所以是充分不必要条件. 故选：A.【点睛】对于充分、必要条件的判断要分两步考虑：判断充分性是否满足、判断必要性是否满足，再根据判断的结果得到是属于四种条件中的何种条件.7.如图所示，是吴老师散步时所走的离家距离()y 与行走时间()x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值， 所以A 、B 、C 三个选项均不符合，只有D 选项符合题意. 故选：D .【点睛】本题考查实际问题中对应的函数图象问题，难度较易.8.已知集合{|523M x R x =∈--为正整数}，则M 的所有非空真子集的个数是（ ） A. 30 B. 31C. 510D. 511【答案】C 【解析】 【分析】根据523x --为正整数可计算出集合M 中的元素，然后根据非空真子集个数的计算公式22n -（n 是元素个数）计算出结果.【详解】因为523x --为正整数，所以M ={−12，0， 12，1，32，2，52，3，72}，所以集合M 中共有9个元素，所以M 的非空真子集个数为29-2=510，故选：C.【点睛】本题考查用列举法表示集合以及计算集合的非空真子集的个数，难度较易.一个集合中含有n 个元素则： 集合的子集个数为：2n ；真子集、非空子集个数为：21n -； 非空真子集个数为：22n -.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）9.方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为______________.【答案】(){}3,7-【解析】 【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对(),a b 的形式表示元素）. 【详解】因为322327x y x y +=⎧⎨-=⎩，所以37x y =⎧⎨=-⎩，所以列举法表示解集为：(){}3,7-.故答案为：(){}3,7-.【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式：(),x y .10.已知函数()2,02,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则方程()2f x x =的解集为__________.【答案】{}1,1- 【解析】 【分析】分别考虑0,0x x ≤>时()2f x x =的解，求出解时注意判断是否满足定义域的要求.【详解】当0x ≤时，22x x =+，所以1x =-或2x =（舍）； 当0x >时，22x x =-+，所以1x =或2x =-（舍）； 所以解集为：{}1,1-. 故答案为：{}1,1-.【点睛】本题考查函数与方程的简单应用，难度较易.已知()f x 是分段函数，求解方程()()f x g x =的解时，可以根据()f x 的定义域分段考虑，求出每一段符合要求的解，最后写出解集.11.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【答案】30 【解析】【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．12.若函数()()2212f x x a x =--+在区间()1,4上不是单调函数，那么实数a 的取值范围是__________. 【答案】（2，5） 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴以及开口方向与单调性的关系，判断出二次函数的对称轴在区间()1,4内，由此计算出a 的取值范围.【详解】因为函数f(x)=x 2-2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数， 所以对称轴x=a-1位于区间(1,4)上，即1＜a-1＜4，所以2＜a ＜5. 故答案为：()2,5.【点睛】判断二次函数的单调性，可以通过二次函数的开口方向以及对称轴来进行分析：开口向上，在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；开口向下，在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减. 13.几位同学在研究函数()()1xf x x R x=∈+时给出了下面几个结论：①函数()f x 的值域为()1,1-；②若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；③()f x 在()0,∞+是增函数；④若规定()()1f x f x =，且对任意正整数n 都有：()()()1n n f x f f x +=，则()1n xf x n x=+对任意*n N ∈恒成立.上述结论中正确结论的序号为__________. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】考虑0,0,0x x x ><=时对应函数的值域、单调性、奇偶性即可判断出①②③是否正确，利用归纳推理的思想判断()1n xf x n x=+是否正确.【详解】()f x 的定义域为R ，当0x >时()()110,111x f x x x ==-∈++且()f x 是单调递增的， 当0x <时()()111,011x f x x x==-+∈---且()f x 是单调递增的， 当0x =时()00f =， 又因为()()1xf x f x x--==-+-，所以()f x 是奇函数，由此可判断出①②③正确， 因为()()()2112x f x f f x x ==+，()()()3213xf x f f x x ==+，......， 由归纳推理可得：()1n xf x n x=+，所以④正确.故答案为：①②③④.【点睛】本题考查函数的值域、单调性、奇偶性的综合运用，难度较难. （1）分段函数的值域可以采用分段求解，最后再取各段值域的并集；（2）分段函数在判断单调性时，除了要考虑每一段函数单调性，还需要考虑到在分段点处各段函数的函数值的大小关系.14.函数()()2241,2f x x x g x x a =-+=+，若存在121,,12x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是___________. 【答案】33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】先根据1x 的范围计算出()1f x 的值域，然后分析()2f x 的值域，考虑当两个值域的交集不为空集时对应a 的取值范围即可.【详解】因为()2241f x x x =-+，所以当11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()111,2f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，因为()2g x x a =+，所以当21,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()[]21,2g x a a ∈++，由题意可知[]11,1,22a a ⎡⎤--++≠∅⎢⎥⎣⎦I ，当[]11,1,22a a ⎡⎤--++=∅⎢⎥⎣⎦I 时，112a +>-或21a +<-，所以32a >-或3a <-， 综上可知：33,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查根据函数值域的关系求解参数范围，难度一般. 当两个函数的值域的交集不为空集时，若从正面分析参数的范围较复杂时，可考虑交集为空集时对应的参数范围，再求其补集即可求得结果.三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤， 请将答案写在答题纸上的相应位置.）15.设全集是实数集R ，2{|2730}A x x x =-+≤，2{|0}B x x a =+<. （1）当4a =-时，求A B I 和A B U ； （2）若()R C A B B =I ，求实数a 的取值范围．【答案】⑴1[,2)2A B ⋂=，(2,3]A B ⋃=-.⑵1[,)4a ∈-+∞. 【解析】本试题主要是考查了集合的运算以及二次不等式的求解的综合运用。

高一数学集合的练习题及答案一、、知点：本周主要学集合的初步知，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之的关系及集合的运算等。

在行集合的运算要注意使用Venn。

本章知构集合的概念列法集合的表示法集合特征性描述法真子集包含关系子集相等集合与集合的关系交集集合的运算并集集1、集合的概念集合是集合中的不定的原始概念，教材中集合的概念行了描述性明：“一般地，把一些能确定的不同的象看成一个整体，就个整体是由些象的全体构成的集合〔或集〕〞。

理解句，把握4个关：象、确定的、不同的、整体。

象――即集合中的元素。

集合是由它的元素唯一确定的。

整体――集合不是研究某一一象的，它关注的是些象的全体。

确定的――集合元素确实定性――元素与集合的“附属〞关系。

不同的――集合元素的互异性。

2、有限集、无限集、空集的意有限集和无限集是非空集合来的。

我理解起来并不困。

我把不含有任何元素的集合叫做空集，做Φ。

理解它不妨思考一下“0与Φ〞及“Φ与{Φ}〞的关系。

几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要牢。

3、集合的表示方法1〕列法的表示形式比容易掌握，并不是所有的集合都能用列法表示，同学需要知道能用列法表示的三种集合：①元素不太多的有限集，如{0，1，8}②元素多但呈一定的律的有限集，如{1，2，3，⋯，100}③呈一定律的无限集，如{1，2，3，⋯，n，⋯}●注意a与{a}的区●注意用列法表示集合，集合元素的“无序性〞。

2〕特征性描述法的关是把所研究的集合的“特征性〞找准，然后适当地表示出来就行了。

但关点也是点。

学多加就可以了。

另外，弄清“代表元素〞也是非常重要的。

如{x|y＝x2}，{y|y＝x2}，{〔x，y〕|y＝x2}是三个不同的集合。

4、集合之的关系●注意区分“附属〞关系与“包含〞关系“附属〞关系是元素与集合之的关系。

“包含〞关系是集合与集合之间的关系。

掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“〞等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是根本要求。

高一数学集合的运算试题答案及解析1.已知集合，则下列式子表示正确的有（）①②③④A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C.【解析】由集合知，，即集合A包含两个元素1，-1.所以①，正确；由集合与集合之间的关系应为含于，即，所以②，不正确；由空集是任何非空集合的子集知，③正确；由任何非空集合是自身的子集，即④正确.所以其正确的个数为3个.故应选C.【考点】集合与集合的基本关系；元素与集合的关系.2.若，则的值为【答案】-1【解析】由集合相等的概念可知有元素，又，则，故，根据集合中元素的互异性知，故。

【考点】集合相等的概念及集合中元素的互异性。

3.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，若k－1∉A，且k＋1∉A，则称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．【答案】6【解析】由“孤立元”的定义可知，集合中不能存在一个与其他元素相差大于的元素。

故由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有。

【考点】这是新定义问题，注意对“孤立元”定义的理解。

4.已知集合集合.（1）若,求;（2）若,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）解不等式、可得集合A、B中的元素，然后求交集；（2）即集合A是集合B的子集，所以集合A中元素的范围比集合B中元素的范围小，依此来建立关于的不等式。

（1）当时，，解得，则.由，得，则.所以.6′（2）由，得.即.若，则解得.所以实数的取值范围是. .12′【考点】（1）解绝对值、分式不等式；（2）集合的运算；5.设关于的二次方程和的解集分别是集合和，若为单元素集，求的值.【答案】或.【解析】先解出集合，根据为单元素集，得到或，相当于二次方程只有一个根2或二次方程只有一个根3，从而将2或3代入方程中得到参数的取值，求出的取值之后，返代，得出，检验此时的是否为或，满足要求的就取，不满足要求的的值应该舍去.试题解析：解方程，得 2分由为单元素集得或 3分当时有或时不合题意6分当时有或时不合题意10分综上得或 12分.【考点】1.集合的运算；2.二次方程的解.6.已知集合A=，B=，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,,故选B.【考点】集合的运算7.已知全集则（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】找出全集U中不属于A的元素，确定出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，即可确定出所求的集合,∵全集U={1，2，3，4}，A={1，2}，∴∁UA={3，4}，又B={2，3}，则（∁UA）∪B={2，3，4},故选C.【考点】交、并、补集的混合运算．8.已知集合，集合,则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合为非负偶数集，所以【考点】本题考查集合的元素和运算.9.已知函数的定义域为集合，集合，集合．（1）求；（2）若 ()，求的值．【答案】（1）,（2）1．【解析】（1）求函数定义域，主要列出所有限制条件，本题一是要求分母不为零，二是要求偶次被开方数非负，结合两者得到函数定义域为；解对数不等式，注意真数要大于零及不等号的方向=，根据数轴求出集合的交集；（2）集合是解参数不等式，由于参数大于零，所以先求出集合为，再求出交集，由并结合数轴得，解此类问题需注意区间之间相互关系，并重视区间端点是否能取到.试题解析：（1）由题意得=.，=， 2分∴． 4分（2）由题意得=，∴， 6分∵，∴， 8分∴，又∵，∴=1． 10分【考点】函数定义域，解对数不等式，集合运算.A，则实数a的取值范围10.设全集U=R，A="{x|" x<－2,或x≥1}，B="{x|" a－1<x<a＋1}，B∁R是______.【答案】【解析】由题意得,由,又因为,即集合为非空集合,所以有,解得.故正确答案为.【考点】集合的运算11.设集合A＝{1,2,3},B＝{2,4,5},则______________【答案】【解析】集合的并集是由两集合的所有元素组成.【考点】1、集合的并集运算；2、集合元素的互异性.12.已知集合，，则=A．B．C．D．【答案】A【解析】,,，故选：A.【考点】集合的运算13.某班共50人，参加A项比赛的共有30人，参加B项比赛的共有33人，且A,B两项都不参加的人数比A,B都参加的人数的多1人，则只参加A项不参加B项的有人.【答案】9【解析】假设A,B都参加的设为x,所以仅参加A项的共(30-x)人,仅参加B项的共（33-x）人，都不参加的()人，有这些相加即：，解得：x=21,所以只参加A项不参加B共有30-21=9，所以填9.【考点】本题考查的内容是容斥原理，通过韦恩建立数学模型巧妙的解决.14.已知集合，.（Ⅰ）若，求()；（Ⅱ）若，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）解出集合，再根据确定集合，然后由数轴找出交集是；（Ⅱ）由可知,由子集概念求出的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）因为当时，.所以.又因为集合，所以().（Ⅱ）因为，所以.当时，有：，此时；当时，有：，解得.综上所述，实数的取值范围是.【考点】集合的基本运算.15.已知集合，，，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）.【解析】（1）根据全集，先求出集合的补集,再求；（2）由知，集合与有公共元素，所以.试题解析：（1）因为，集合，所以，又因为，结合数轴可知（2）结合数轴可知:当时，.【考点】集合的基本运算16.设集合，，若，则的范围是()A．B．C．D．【答案】B【解析】在数轴上画出集合A，B，如图，可知.这种与实数集有关问题借助于数轴可以很快得出结论.【考点】子集的概念．17.给出以下五个命题①集合与都表示空集.②是从到的一个映射.③函数是偶函数.④是定义在上的奇函数,则⑤是减函数.以上命题正确的序号为:【答案】②④【解析】①集合与都表示空集，不对，因为，中有元素，不是空集；②是从到的一个映射，正确，因为，对中任意一个元素，按，在中都有唯一一个元素与之对应；③函数是偶函数，不正确，定义域不关于原点对称；④是定义在上的奇函数,则，正确，因为，，；⑤是减函数，不对，只能说其在区间是减函数。

一、选择题1．由实数x ，﹣x ，|x | ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ）A ．-3或-1或2B ．-3或-1C ．-3或2D ．-1或2 3．已知集合A 、B 均为非空集合，定义{*|()A B x x A B =∈⋃且}()x A B ∉⋂，若{}1,0,1,2,3A =-，{}2|1,B x x t t A ==+∈，则集合*A B 的子集共（ ）A ．64个B ．63个C ．32个D ．31个4．对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的非空集合M 的个数是（ ）A ．11B ．12C ．15D ．165．在整数集Z 中,被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[]k ,即[]{5|}k n k n Z =+∈,0,1,2,3,4k =;给出四个结论:（1）2015[0]∈;（2）3[3]-∈;（3）[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃;（4）“整数,a b ”属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知{}lg M y y x ==，{}x N y y a==，则M N =（ ）A ．0,B ．RC ．∅D ．,0 7．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-．若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（ ）A ．3m ≥B ．23m ≤≤C ．3m ≤D ．2m ≥ 8．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{}1|21x B x +=>，则C B A =（ ） A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(3,)-∞-+∞ 9．已知集合A ={x |-3≤x -1＜1}，B ={-3，-2，-1，0，1，2}，若C ⊆A ∩B ，则满足条件的集合C 的个数是（ ）.A ．7B ．8C ．15D ．1610．已知集合{}21,A x y x y Z ==+∈，{}21,B y y x x Z ==+∈，则A 、B 的关系是（ ）A ．AB = B ．A BC ．B AD ．A B =∅11．已知全集U =R ，集合(){}{}20,1A x x x B x x =+<=≤，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,112．如果集合{}2210A x ax x =--=只有一个元素，则a 的值是（ ）A ．0B ．0或1C ．1-D ．0或1- 二、填空题13．若集合A 具有以下两条性质，则称集合A 为一个“好集合”.（1）0A ∈且1A ∈；（2）若x 、yA ，则x y A -∈，且当0x ≠时，有1A x ∈. 给出以下命题：①集合{}2,1,0,1,2P =--是“好集合”；②Z 是“好集合”；③Q 是“好集合”；④R 是“好集合”；⑤设集合A 是“好集合”，若x 、yA ，则x y A +∈； 其中真命题的序号是________.14．设集合{}1,2,4A =，{}2|40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =__________．15．集合1{}2|Ax x ≤＝＜，{|}B x x a ＝＜，若A B B ⋃=，则a 的取值范围是_______．16．非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G +∈；②存在e G ∈使得对于一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G 是非负整数集，⊕：实数的加法；②G 是偶数集，⊕：实数的乘法；③G 是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④{}2,,G x x a b a b Q ==+∈，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是________（请填写编号）17．已知集合(){}22112|2103x P x Q x x x m ⎧-⎫=-=-+-⎨⎬⎩⎭≤，≤,其中m >0,全集U =R .若“U x P ∈”是“∈U x Q ”的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为__________.18．已知非空集合{}|121A x m x m =+≤≤-，集合{}2|1030B x x x =+-≥，若A B =Φ，则实数m 的取值范围为__________19．设集合{}24,,3A m m m =+中实数m 的取值集合为M ，则R C M =_____. 20．已知全集U =R 集合1|1A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则U A _______.三、解答题21．在①{}23B x x =-<<，②{}35R B x x =-<<，③{}26B x x a =≥+且{}A B x x a ⋃=>这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题． 问题：已知非空集合{}8A x a x a =<<-，______，若AB =∅，求a 的取值集合． 22．已知集合A ={x |12x -≤≤}，B ={x |123m x m +≤≤+}（1）当m =1时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围 23．已知集合{}{}27,32A x x B x a x a =-<<=≤≤-.（1）若4a =，求A B 、()R C A B ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.24．已知集合{()(1)0}M xx t x =-+≤∣，{|21}N x x =|-|<. （1）当2t =时，求M N ⋃；（2）若N M ⊆，求实数t 的取值范围.25．已知集合{1,2,3}A =，2{|(1)0,}B x x a x a x R =-++=∈，若A B A ⋃=，求实数a ；26．已知集合()(){}|250A x x x k =++<（1）若()53A ⊆-，，求k 的取值范围. （2）若{}2|20B x x x =-->，且{}2A B Z ⋂⋂=-（Z 为整数集合），求k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据绝对值的定义和开平方、立方的方法,应对x 分0,0,0x x x >=<三种情况分类讨论,根据讨论结果可得答案.【详解】当0x >时，0x x x ===-<，此时集合共有2个元素，当0x =时，0x x x ====-=，此时集合共有1个元素，当0x <时，0x x -===>，此时集合共有2个元素，综上所述，此集合最多有2个元素.故选：A .【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断及根式的化简求值,其中解答本题的关键是利用分类讨论思想,对x 分三种情况进行讨论,是基础题.2．C解析：C【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}；若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性：a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}；a =−1时,1−a =2(舍)，本题选择C 选项.3．C解析：C【分析】先求集合B ，再求并集、交集、补集，最后根据元素确定子集个数.【详解】因为{}2|1,{1,2,5,10}B x x t t A ==+∈=，所以{}{}1,0,1,2,3510,1,2,A B A B =-=，，*{1,0,3,5,10}A B ∴=-因此集合*A B 的子集有5232=个，故选：C【点睛】本题考查并集、交集、补集定义以及子集个数，考查综合本分析求解能力，属基础题. 4．A解析：A【分析】根据题意，0M ∉且1M ∉，且2、4不同时在集合M 中，对集合M 分两种情况讨论：①2M ∉且4M ∉；②2和4有且只有一个在集合M 中，分别列举出符合条件的集合M ，即可得出答案.【详解】2111==，200==，由题意可知0M ∉且1M ∉，由于242=，所以，2和4不同时在集合M 中.①当2M ∉且4M ∉时，则符合条件的集合M 有：{}3、{}5、{}3,5，共3种； ②若2和4有且只有一个在集合M 中，则符合条件的集合M 有：{}2、{}2,3、{}2,5、{}2,3,5、{}4、{}3,4、{}4,5、{}3,4,5，共8种.综上所述，满足条件的非空集合M 的个数是3811+=.故选：A.【点睛】本题考查满足条件的集合个数的求解，列举出满足条件的集合即可，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.5．C解析：C【分析】根据新定义,对每个选项逐一判断,即可得到答案.【详解】对于（1）,因为20155403÷=,余数为0,所以2015[0]∈,故（1）正确;对于（2）,因为()3512-=⨯-+,所以33[]-∉,故（2）错误;对于（3）,因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类,故[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃,故（3）正确;对于（4）,因为整数,a b 属于同一“类”,所以整数,a b 被5除的余数相同,从而-a b 被5除的余数为0,反之也成立,故“整数,a b ”属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故（4）正确．综上所述,正确的个数为:3个.故选C ．【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是理解被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”,考查了分析能力和计算能力.6．A解析：A【解析】【分析】先化简集合M ，N ，再计算M ∩N 即可．【详解】由已知易得M ＝R ，N ＝{y ∈R|y >0}，∴M ∩N ＝(0，+∞）．故选A ．【点睛】本题主要考查了集合的交运算，化简计算即可，比较简单．7．C解析：C【分析】讨论,B B =∅≠∅两种情况，分别计算得到答案.【详解】当B =∅时：1212m m m +>-∴< 成立；当B ≠∅时：12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：23m ≤≤. 综上所述：3m ≤故选C【点睛】本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.8．A解析：A【分析】首先解得集合A ，B ，再根据补集的定义求解即可.【详解】解：{}2|230{|13}A x x x x x =--<=-<<，{}1|21{|1}x B x x x +=>=>-，{}C |3[3,)B A x x ∴=≥=+∞，故选A ．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题. 9．D解析：D【分析】推导出C ⊆A ∩B ={-2，-1，0，1}，由此能求出满足条件的集合C 的个数． 【详解】∵集合A ={x |-3≤x -1＜1}={x |-2≤x ＜2}，B ={-3，-2，-1，0，1，2}，C ⊆A ∩B ={-2，-1，0，1}，∴满足条件的集合C 的个数是：24=16．故选：D ．【点睛】本题考查满足条件的集合C 的个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．C解析：C【分析】由题意得出Z A ⊆，而集合B Z ，由此可得出A 、B 的包含关系.【详解】由题意知，对任意的x ∈Z ，21y x Z =+∈，Z A ∴⊆. {}21,B y y x x Z ==+∈，∴集合B 是正奇数集，则BZ ，因此，B A .故选：C.【点睛】 本题考查集合包含关系的判断，解题时要善于抓住代表元素，认清集合的特征，考查推理能力，属于中等题.11．C解析：C【分析】由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出()U C A B 、()A B ⋃，然后求交集即可.【详解】(){}20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，{|21}A B x x ⋃=-<≤，∴(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或01}x ≤≤，故选：C【点睛】本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.12．D解析：D【分析】由题意得知关于x 的方程2210ax x --=只有一个实数解，分0a =和00a ≠⎧⎨∆=⎩两种情况讨论，可得出实数a 的值.【详解】由题意得知关于x 的方程2210ax x --=只有一个实数解.当0a =，{}12102A x x ⎧⎫=--==-⎨⎬⎩⎭，合乎题意；当0a ≠时，则440a ∆=+=，解得1a =-.综上所述：0a =或1-，故选D.【点睛】本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题.二、填空题13．③④⑤【分析】取结合（1）可判断①的正误；取结合（2）可判断②的正误；利用好集合的定义可判断③④的正误；由可推导出再结合（1）可判断⑤的正误【详解】对于命题①但①错误；对于命题②但②错误；对于命题③解析：③④⑤【分析】取2x =，2y =-结合（1）可判断①的正误；取2x =结合（2）可判断②的正误；利用“好集合”的定义可判断③④的正误；由y A ，可推导出y A -∈，再结合（1）可判断⑤的正误.【详解】对于命题①，2P ∈，2P -∈，但()224P --=∉，①错误； 对于命题②，2Z ∈，但12Z ∉，②错误； 对于命题③④，显然，集合Q 、R 均满足（1）（2），所以，Q 、R 都是“好集合”，③④正确；对于命题⑤，当y A 时，由于0A ∈，则0y y A -=-∈，当x A ∈，则()x y x y A +=--∈，⑤正确.故答案为：③④⑤.【点睛】解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．14．【解析】因为所以为方程的解则解得所以集合解析：{}1,3【解析】因为{}1A B ⋂=，所以1x =为方程240x x m -+=的解，则140m -+=，解得3m =，所以2430x x -+=，(1)(3)0x x --=，集合{}1,3B =．15．【分析】根据可知A 为B 的子集利用数轴求解即可【详解】根据题意作图如下:由图可知实数的取值范围为【点睛】本题考查利用集合的并运算求参数的取值范围;数轴的合理运用是求解本题的关键;属于中档题常考题型解析：2a >【分析】根据A B B ⋃=,可知A 为B 的子集,利用数轴求解即可.【详解】根据题意,作图如下:由图可知,实数a 的取值范围为2a >.【点睛】本题考查利用集合的并运算求参数的取值范围;数轴的合理运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.16．①④【分析】逐一验证每个选项是否满足融洽集的两个条件若两个都满足是融洽集有一个不满足则不是融洽集【详解】①对于任意的两非负整数仍为非负整数所以取及任意的非负整数则因此是非负整数集：实数的加法是融洽集 解析：①④【分析】逐一验证每个选项是否满足“融洽集”的两个条件，若两个都满足，是“融洽集”，有一个不满足，则不是“融洽集”.【详解】①对于任意的两非负整数,,a b a b +仍为非负整数，所以a b G +∈，取0e =及任意的非负整数a ，则00a a a +=+=，因此G 是非负整数集，⊕：实数的加法是“融洽集”；②对于任意的偶数a ，不存在e G ∈，使得a e e a a ⊕=⊕=成立，所以②的G 不是“融洽集”；③对于{G 二次三项式}，若任意,a b G ∈时，则,a b 其积就不是二次三项式，故G 不是“融洽集”； ④{}2,,G x x a b a b Q ==+∈，设12,,x a b a b Q =+∈， 2122,,,()2,,x c c d Q x x a c b d a c b d Q =+∈+=+++++∈，所以12x x G +∈；取1e =，任意,11a G a a a ∈⨯=⨯=，所以④中的G 是“融洽集”.故答案为:①④.【点睛】本题考查对新定义的理解，以及对有关知识的掌握情况，关键是看所给的数集是否满足“融洽集”的两个条件，属于中档题.17．【分析】解出集合PQ 根据充分条件和必要条件关系得出两个集合的包含关系即可求出范围【详解】由题：是的必要不充分条件即P Q 解不等式所以0PQ 所以解得：故答案为：【点睛】此题考查根据充分条件和必要条 解析：9m ≥【分析】解出集合P ，Q ，根据充分条件和必要条件关系得出两个集合的包含关系即可求出范围.【详解】由题：“U x P ∈”是“∈U x Q ”的必要不充分条件, U Q U P ，即P Q ， 解不等式1123x --≤，12123x --≤-≤， 646x -≤-≤，210x -≤≤ 所以[]1122,103x P x ⎧-⎫=-=-⎨⎬⎩⎭≤， (){}()()()(){}22|210|110Q x x x m x x m x m =-+-=-+--≤≤，m >0,P Q ，所以11012m m +≥⎧⎨-≤-⎩，解得：9m ≥. 故答案为：9m ≥【点睛】此题考查根据充分条件和必要条件判断集合的包含关系求解参数范围，关键在于准确判断两个集合的包含关系，列出不等式组求解.18．或【分析】化简集合对集合是否为空集分类讨论若满足题意若根据条件确定集合的端点位置即可求解【详解】由得若满足题意；若可得或解得或；综上：或故答案为：或【点睛】本题考查集合间的运算不要遗漏空集情况属于中 解析：4m >或2m <【分析】化简集合B ，对集合A 是否为空集分类讨论，若A =∅满足题意，若A =∅，根据条件确定集合A 的端点位置，即可求解.【详解】由21030x x +-≥得25,[2,5]x B -≤≤∴=-，若,121,2A m m m =∅+>-<，满足题意；若,A A B ≠∅=∅，可得12115m m m +≤-⎧⎨+>⎩或121212m m m +≤-⎧⎨-<-⎩，解得4m >或m ∈∅；综上：4m >或2m <．故答案为：4m >或2m <【点睛】本题考查集合间的运算，不要遗漏空集情况，属于中档题．19．【分析】根据集合中的元素的互异性列出不等式组求解【详解】由题：集合则化简得：解得：即所以故答案为：【点睛】此题考查根据集合中元素的互异性求参数的取值范围需要注意不重不漏解析：{}4,2,0,1,4--【分析】根据集合中的元素的互异性，列出不等式组求解.【详解】由题：集合{}24,,3A m m m =+， 则224343m m m m m m ≠⎧⎪+≠⎨⎪+≠⎩，化简得：()()()441020m m m m m ⎧≠⎪+-≠⎨⎪+≠⎩，解得：()()()()()(),44,22,00,11,44,m ∈-∞----+∞，即()()()()()(),44,22,00,11,44,M =-∞----+∞，所以{}4,2,0,1,4R C M =--.故答案为：{}4,2,0,1,4--【点睛】此题考查根据集合中元素的互异性求参数的取值范围，需要注意不重不漏.20．【分析】先解分式不等式确定集合A 再求补集即可【详解】则故答案为：【点睛】本题考查补集运算准确求得集合A 是关键是基础题解析：[0,1)【分析】先解分式不等式确定集合A,再求补集即可【详解】()1|1=,0[1,)A x x ⎧⎫=≤-∞⋃+∞⎨⎬⎩⎭，则[0,1)U A故答案为：[0,1)【点睛】 本题考查补集运算，准确求得集合A 是关键，是基础题三、解答题21．答案见解析.【分析】选①：本题首先可根据A 是非空集合得出4a <，然后根据A B =∅得出3a ≥或82a -≤-，最后通过计算即可得出结果. 选②：本题首先可以根据A 是非空集合得出4a <，然后根据{}R 35B x x =-<<求出集合B ，最后根据A B =∅列出不等式组，通过计算即可得出结果.选③：本题首先可以根据A 是非空集合得出4a <，然后根据题意得出268a a +=-，最后通过计算即可得出结果.【详解】选①：因为A 是非空集合，所以8a a ->，解得4a <，因为{}23B x x =-<<，A B =∅，所以3a ≥或82a -≤-，解得3a ≥或10a ≥，综上所述，a 的取值集合是{}34a a ≤<.选②：因为A 是非空集合，所以8a a ->，解得4a <，因为{}R 35B x x =-<<，所以{3B x x =≤-或}5x ≥，因为A B =∅，所以3854a a a ≥-⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，解得34a ≤<，故a 的取值集合是{}34a a ≤<.选③：因为A 是非空集合，所以8a a ->，解得4a <，因为A B =∅，{}26B x x a =≥+，{}A B x x a ⋃=>，所以268a a +=-，解得2a =-或1，故a 的取值集合是{}2,1-．【点睛】关键点点睛：本题考查根据集合的运算结果求参数的取值范围，若两个集合的交集为空集，则这两个集合没有相同的元素，考查集合的混合运算，考查计算能力，是中档题. 22．（1）{}2；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）根据集合的交集运算求解即可；（2）讨论集合B 是否为空集，根据包含关系列出不等式，即可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）当m =1时，B ={x |2≤x ≤5}，因此AB ={2} （2）A B ⇔B A ⊆，则①当B =∅时，即123m m +>+，即2m <-，符合题意②当B ≠∅时，要满足B A ⊆，则12311232m m m m +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+≤⎩2212m m m ⎧⎪≥-⎪⇒≥-⎨⎪⎪≤-⎩122m ⇒-≤≤- 综上所述，当B A ⊆时，实数m 的取值范围时1(,2)2,2⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦=1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，解题的关键就是对含参集合分空集和非空集合两种情况讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中档题. 23．（1）(]2,10AB =-；[]()7,10R A B =；（2）3a <. 【分析】（1）直接按集合并集的概念进行运算，先求出A R 再与集合B 取交集；（2）根据并集的结果可得B A ⊆，分B =∅、B ≠∅两种情况进行讨论求解a 的取值范围.【详解】（1）4a =，[](]4,10,(2,7)2,10B A A B ==-⇒=-， (][)[],27,+()7,10R R A A B =-∞-∞⇒=（2）A B A B A ⋃=⇒⊆，①若321B a a a =∅⇒>-⇒<；②若32122133273a a a B a a a a a ≤-≥⎧⎧⎪⎪≠∅⇒>-⇒>-⇒≤<⎨⎨⎪⎪-<<⎩⎩. 综上所述，3a <.【点睛】本题考查集合的基本运算、根据两集合并集的结果求参数的范围，属于中档题. 24．（1）[1,3)-（2）[3,)+∞【分析】（1）可得出N ={x |1 <x <3 }，t =2时求出集合M ，然后进行并集的运算即可;（2）根据N M ⊆即可得出集合M ={x |-1≤x ≤t }，进而可得出t 的取值范围.【详解】（1）{|21}N x x =|-|<={13}xx <<∣， 当2t =时，{(2)(1)0}(1,2)M xx x =-+≤=-∣， [)1,3M N ∴⋃=-（2）N M ⊆，∴M ={x |-1≤x ≤t }，3t ∴≥，∴实数t 的取值范围[3,)+∞【点睛】本题主要考查了一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题.25．1a =或2或3【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆,分别讨论B =∅与B ≠∅的情况,进而求解即可【详解】由A B A ⋃=可得B A ⊆,若B =∅,则()2140a a ∆=+-<,解得a ∈∅；若B ≠∅,则()()10x a x --=,解得1x a =,21x =,①当1a =,则{}1B =,符合题意；②当2a =,则{}1,2B =,符合题意；③当3a =,则{}1,3B =,符合题意；综上,1a =或2或3【点睛】本题考查已知集合的包含关系求参数,考查分类讨论思想 26．(1)[] 3,5-；(2)5 3,?2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）对参数k 进行分类讨论，求得对应情况下不等式的解集，再根据集合之间的关系，求得k 的范围；（2）根据（1）中集合A 的解集，集合{}2A B Z ⋂⋂=-，对参数k 进行分类讨论，即可求得k 的范围.【详解】（1）对集合A ： 当52k =时，不等式的解集为空集，即A =∅，满足()53A ⊆-，； 当52k <时，不等式的解集为5,2A k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若满足()53A ⊆-，， 只需3k -≤，解得3k ≥-，又52k <，故53,?2k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭； 当52k >时，不等式的解集为5,2A k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若满足()53A ⊆-，，只需5k -≥-，解得5k ≤，又52k >，故5,52k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 综上所述若满足题意，则[]3,5k ∈-. （2）对集合B ：220x x -->，解得()(),12,B =-∞-⋃+∞此时B Z ⋂是小于等于2-的整数和大于等于3的整数的集合.对集合A ：由（1）知： 当52k =时，A =∅，不满足{}2A B Z ⋂⋂=-，故舍去； 当52k <时，5,2A k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若满足{}2A B Z ⋂⋂=-， 只需3k -≤，解得3k ≥-，又52k <，故可得53,?2k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭； 当52k >时，5,2A k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，显然不满足{}2A B Z ⋂⋂=-，故舍去. 综上所述，若满足题意，则53,?2k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查由集合之间的关系，求参数的范围，属中档题；本题中需要注意对参数的分类讨论，要做到不重不漏.。

2023北京人大附中高一（上）期中数 学2023年11月1日说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷18道题，共100分；Ⅱ卷8道题，共50分． Ⅰ卷、Ⅱ卷共26题，合计150分，考试时间120分钟． 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效Ⅰ卷（共18道题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1. 已知集合0,1,2,3A ，1,0,1,2B ，则A B =（ ）A. {}1,0,1,2,3−B. {}1,2C. {}0,1,2D. {}1,3−2. 已知命题:0p x ∃<，212x x +≤−，则p ⌝是（ ） A. 0x ∀≥，212x x +>− B. 0x ∃≥，212x x +≤C. 0x ∀<，212x x +>−D. 0x ∃<，212x x +>−3. 下列函数中，在定义域上单调递减的是（ ） A. 1y x =−B. y x =−C. 221y x x =−−−D.y =4. 已知x ，y ∈R ，若222x y +=，则（ ） A. xy 的最大值为1B. xy 的最大值为2C. xy 的最小值为1D. xy 的最小值为25. 已知关于x 的方程230x x a −+=的两个实根为1x ，2x ，且121x x −=，则a 的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知函数()21f x x =−，()()21g x x =+，下表列出了x m =时各函数的取值，则（ ）A. 3m =，15n =B. 3m =−，15n =C.3m =，81n =D. 3m =−，81n =7. “函数()f x 在区间[]1,2上不是．．增函数”的一个充要条件是（ ） A. “存在a ，[]1,2b ∈，使得a b <且()()f a f b =” B. “存在a ，[]1,2b ∈，使得a b <且()()f a f b ≥” C. “存在(]1,2a ∈，使得()()1f a f ≤” D. “存在()1,2a ∈，使得()()2f a f ≥”8. 如图，数轴上给出了表示实数a ，b ，c 的三个点，下列判断正确的是（ ）A. ab c >B. 12abc >C. 2c b a +<D. 2a c b +>9. 已知()R 1,Q 0,Qx f x x ∈⎧=⎨∈⎩，若对任意x ∈R ，均有()()xf x g x ≤，则函数()g x 可以是（ ）A. ()1g x x=B. ()g x x =C. ()2g x x =D. ()g x x =10. 如图，给定菱形ABCD ，点P 从A 出发，沿A B C −−在菱形的上运动，运动到C 停止，点P 关于AC 的对称点为Q ，PQ 与AC 相交于点M ，R 为菱形ABCD 边上的动点（不与P ，Q 重合），当AM x =时，PQR 面积的最大值为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置）11. 函数()f x =________． 12. 不等式233x −<的解集是________．13. {A y y ==，(){}210B x x a x a =−++=，B A ⊆，则实数a 的取值集合是________．14. 若存在()0,x ∈+∞，使得290x ax −+=，则实数a 的取值集合是________． 15. 对集合,A B ，定义(){},,A B a b a A b B ⊗=∈∈①若A B ⊗的元素个数为4，则,A B 可以为：A =________，B =________（写出一组即可）②若集合M 满足：存在M 的子集,A B ，使得A B ⊗的元素个数不小于100，且对任意(),a b A B ∈⊗，均有(),b a A B ∈⊗，则集合M 的元素个数的最小值是________．三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16. 已知集合{}260A x x x =−−≥，(),B m =−∞，其中m ∈R ．（1）若B A ⊆，求m 的取值集合； （2）若AB =R ，求m 的取值集合．17. 已知函数()bf x ax x=+的定义域为()0,∞+，36y x =−+与()y f x =的图象相交于点()()1,1A f ，()()2,2B f ．（1）求()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用单调性的定义证明． 18. 已知函数()223f x ax x =−−．（1）若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为{}13x x x ≤−≥或，求a 的值；（2）若关于x 的方程()0f x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，求12x x +的取值范围；（3）若当[)3,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19. 已知集合{}4A x x =<，{}2430B x x x =−+>，则{}x x A x A B ∈∉⋂=且（ ） A. ()1,3B. []1,3C. [][]4,13,4− D. ()()4,13,4−20. 若0xy ≠，则“1x y +=”是“12y x x y xy++=”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件21. 若()330000,x y a x y +=∈∈Z Z ，则称()00,x y 是关于x ，y 的方程33x y a +=的整数解．关于该方程，下列判断错误．．的是（ ） A. a ∃∈Z ，方程33x y a +=有无限组整数解 B. a ∃∈Z ，方程33x y a +=有且只有两组整数解 C. a ∀∈Z ，方程33x y a +=至少有一组整数解 D. 0a ∀≠，方程33x y a +=至多有有限组整数解二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．）22. 函数11y x x =−++的最小值为________． 23. 若[],1x a a ∀∈+，11,32y ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得1xy =，则实数=a ________．24. 若()00,x y 是方程组22143330x y x y ⎧+=⎪⎨⎪−−=⎩________．25. 设0a >，函数()222,,1,x x a f x x a a x a x a⎧+<−⎪=−+−≤≤⎨⎪>⎩，给出下列四个结论：①当2a =时，()f x 在(),0∞−上单调递增； ②当1a ≥时，()f x 存在最大值； ③设()()()111,M x f x xa ≤，()()()222,N x f x x a >，则1MN >；④若()y f x =，y x =−的函数图象有三个公共点，则a 的取值范围是()0,1．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26. 对非空数集T ，给出如下定义，定义1：若x ∀，y T ∈，当x y x y +≠−时，{},x y x y T +−≠∅，则称T 为强和差集；定义2：若x ∀，y T ∈，当x x y y +≠−时，{},x y x yT +−≠∅，则称T 为弱和差集．（1）分别判断{}0,1是否为强和差集，{}1,2是否是弱和差集，并说明理由； （2）若集合{}1,,A a b =是弱和差集，求A ；（3）若强和差集B 的元素个数为12，且1B ∈，求满足条件的集合B 的个数．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1. 【答案】C【分析】根据{}A B x x A x B ⋂=∈∈且求解即可. 【详解】因为0,1,2,3A ，1,0,1,2B，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：C 2. 【答案】C【分析】直接写出存在量词命题的否定.【详解】命题:0p x ∃<，212x x +≤−则p ⌝是0x ∀<，212x x +>−， 故选：C. 3. 【答案】D【分析】根据基本函数的单调性逐项判断即可.【详解】A 选项，1y x =−在R 上单调递增，不符合题意；B 选项，y x =−在(],0−∞上单调递增，在()0,∞+上单调递减，不符合题意；C 选项，()22211y x x x =−−−=−+在(],1−∞−上单调递增，在()1,−+∞上单调递减，不符合题意； D 选项，要使函数y =有意义，则100x x +≥⎧⎨≥⎩，解得0x ≥，所以函数y =[)0,∞+，因为y =[)0,∞+上单调递增，y =在[)0,∞+上单调递增，所以由函数单调性性质得y =在[)0,∞+上单调递增，所以y =[)0,∞+上单调递减，符合题意.故选：D 4. 【答案】A【分析】利用重要不等式求解.【详解】由不等式可知，222x y xy +≥，所以1xy ≤，当且仅当1x y ==±时取得等号，所以xy 的最大值为1，A 正确，B 错误； 由不等式可知，222x y xy ≥−+，所以1xy ≥−，当且仅当1,1x y ==−或1,1x y =−=时取得等号， 所以xy 的最小值为1−，CD 错误； 故选:A. 5. 【答案】B【分析】由韦达定理得到两根之和，两根之积，从而得到方程，求出a 的值，检验后得到答案. 【详解】由韦达定理得12123,x x x x a +==，故121x x −====，解得2a =，当2a =时，满足234210∆=−⨯=>，故a 的值为2. 故选：B 6. 【答案】B【分析】根据表格列出关于m 等式并解出，代入()f g m ⎡⎤⎣⎦求出n 即可. 【详解】由表知，()218f m m =−=，()()214g m m =+=，解得3m =−，所以()()416115f g m f n ==−==⎡⎤⎣⎦， 所以3,15m n =−=. 故选：B 7. 【答案】B【分析】由增函数的定义，结合全称命题的否定形式，即可判断选项. 【详解】若函数()f x 在区间[]1,2是增函数， 即任意[],1,2a b ∈，使得a b <且()()f a f b <， 则若函数()f x 在区间[]1,2不是增函数， 即存在[],1,2a b ∈，使得a b <且()()f a f b ≥. 故选：B 8. 【答案】D【分析】先在数轴上读出,,a b c 的范围及大小关系，再结合不等式性质即可判定选项. 【详解】由数轴可得112a −<<−，102b −<<，112c <<，所以112a <−<，102b <−<，则102ab c <<<，故选项A 错误；102abc <<，故选项B 错误； 因为102b −<<，即120b −<<，又112c <<，所以1212c b −<+<， 又112a −<<−，所以2c b a +>，故选项C 错误； 因为112a −<<−，112c <<，且由图可知a c <，即a c −< 所以102a c <+<， 又120b −<<所以2a c b +>，故选项D 正确； 故选：D. 9. 【答案】D【分析】根据题意，取特殊值验证的方法判断A ，B ，C ，根据()g x 满足的条件判断D. 【详解】对于A ，()1g x x=，当Q x ∈时，不妨取2x =，则(2)1f =， 此时122≤不成立，即()()xf x g x ≤不成立，A 错误；对于B ，()g x x =，当RQ x ∈时，不妨取x =(0f =，则0≤()()xf x g x ≤不成立，B 错误； 对于C ，()2g x x =，不妨取12x =，则1()12f =，此时1124≤不成立，即()()xf x g x ≤不成立，C 错误； 对于D ，()g x x =，当Q x ∈时，则()1f x =， 此时||x x ≤恒成立，即()()xf x g x ≤成立， 当RQ x ∈时，则()0f x =，此时0||x ≤恒成立，即()()xf x g x ≤成立，故对任意x ∈R ，均有()()xf x g x ≤，D 正确， 故选：D 10. 【答案】C【分析】分AM x AO =≤和AO AM x AC <=≤两种情况讨论PQR 面积的最大值，然后根据解析式判断图象即可.【详解】连接BD 交AC 于点O ，当AM x AO =≤时，点R 在点C 处时PQR 面积最大，此时()1tan 2y PQ CM x BAC AC x =⋅=∠⋅−， 当AO AM x AC <=≤时，点R 在点A 处PQR 面积最大，此时()1tan 2y PQ AM AC x BCA x =⋅=−∠⋅， BAC BCA ∠=∠且为定值，AC 为定值，设tan tan BAC BCA a ∠=∠=，AC b =，所以y 关于x 的函数为()y a b x x =−. 故选：C.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置）11. 【答案】()[),12,−∞−⋃+∞ 【分析】解分式不等式求得正确答案.【详解】依题意，20110x x x −⎧≥⎪+⎨⎪+≠⎩，解得1x <−或2x ≥，所以()f x 的定义域是()[),12,−∞−⋃+∞. 故答案为：()[),12,−∞−⋃+∞ 12. 【答案】(0,3)【分析】由题意可得3233x −<−<，求解即可. 【详解】解：因为233x −<， 所以3233x −<−<，026x <<， 即03x <<，所以不等式233x −<的解集为(0,3). 故答案为：(0,3) 13. 【答案】{}0a a ≥【分析】先求得集合A ，结合一元二次方程的根及包含关系求解即可.【详解】由题意，{{}0A y y y y ===≥，(){}()(){}21010B x x a x a x x a x =−++==−−=，当1a =时，{}1B =，满足B A ⊆，符合题意；当1a ≠时，{}1,B a =，要使得B A ⊆，则0a ≥，且1a ≠. 综上所述，实数a 的取值集合是{}0a a ≥. 故答案为：{}0a a ≥. 14. 【答案】{}|6a a ≥【分析】分析可得原题意等价于存在()0,x ∈+∞，使得9=+a x x，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为20,90>−+=x x ax ，整理得9=+a x x， 原题意等价于存在()0,x ∈+∞，使得9=+a x x，又因为96x x +≥=，当且仅当9x x =，即3x =时，等号成立， 可得6a ≥，所以实数a 的取值集合是{}|6a a ≥. 故答案为：{}|6a a ≥.15. 【答案】 ①. {}1,2（答案不唯一） ②. {}3,4（答案不唯一） ③. 10 【分析】根据题目中集合的新定义，结合元素与集合的关系求解即可. 【详解】设集合A 中元素个数为m ，集合B 中元素个数为n ， 根据题意可知集合A B ⊗的元素个数为mn ，若A B ⊗的元素个数为4，则,A B 可以为{}1,2A =，{}3,4B =， 若对任意(),a b A B ∈⊗，均有(),b a A B ∈⊗，则A B =，m n =， 又A B ⊗的元素个数不小于100，则2100mn m =≥，解得10m ≥， 因为,A B 是集合M 的子集，所以集合M 的元素个数的最小值是10. 故答案为：{}1,2（答案不唯一），{}3,4（答案不唯一），10三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16. 【答案】（1）(],2−∞−（2）[)3,+∞【分析】(1)先求出集合A ，再由B A ⊆可得m 的范围； (2)结合(1)中求出的A 集合以及并集的概念可得m 的范围. 【小问1详解】{}260={|2A x x x x x =−−≥≤−或3}x ≥，由于(),B m =−∞且B A ⊆，所以2m ≤−，即(],2m ∈−∞−； 【小问2详解】 因为AB =R ，所以3m ≥，即[)3,m ∈+∞.17. 【答案】（1）()4f x x x=−+ （2）单调递减；证明见解析【分析】（1）根据已知条件求出点A 与点B 坐标，然后代入函数()f x 的解析式中，列出方程组求解a ，b 的值进而求解函数()f x 的解析式；（2）根据单调性的定义，先作差，再因式分解，根据各因子的符号确定差的符号，进而根据定义确定函数单调性 【小问1详解】已知()()1,1A f ，()()2,2B f 为函数()bf x ax x=+与36y x =−+的交点， 因此可得：()1363f a b =+=−+=，()2232602bf a =+=−⨯+=， 解得：1a =−，4b =，即得：()4f x x x=−+. 【小问2详解】 函数()4f x x x=−+在()0,∞+上单调递减； 证明：设任意()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()12122112124444f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴−=−+−−+=−+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()211221212112121244441x x x x x x x x x x x x x x x x −+⎛⎫⎛⎫−=−+=−+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由于()12,0,x x ∈+∞，得120x x >，1240x x +>， 由12x x <，得210x x −>，()()120f x f x ∴−>，即()()12f x f x >∴函数()f x 在()0,∞+上单调递减.18. 【答案】（1）1 （2）()(),60,−∞−⋃+∞ （3）[)1,+∞【分析】（1）由题意可得1−和3为方程2230ax x −−=的两根，且0a >，进而结合韦达定理求解即可； （2）结合一元二次方程的根的判别式和韦达定理求解即可； （3）将问题转化为232a x x≥+对于[)3,x ∈+∞恒成立，令1103t t x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，进而结合二次函数的性质可得2max 32x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，进而求解即可. 【小问1详解】由题意，1−和3为方程2230ax x −−=的两根，且0a >，则213313a a ⎧−+=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩，解得1a =.【小问2详解】由题意方程2230ax x −−=有两个不相等的实数根1x ，2x ，则()()20Δ2430a a ≠⎧⎪⎨=−−⨯−>⎪⎩，即13a >−且0a ≠， 又122x x a+=， 则当103a −<<时，26a <−；当0a >时，20a>， 综上所述，12x x +的取值范围为()(),60,−∞−⋃+∞. 【小问3详解】由()0f x ≥，[)3,x ∈+∞，即2230ax x −−≥， 即232a x x≥+对于[)3,x ∈+∞恒成立， 令1103t t x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭， 则223232t t x x+=+，因为函数232y x x =+在10,3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以当13t =时，()2max 321t t +=，即2max 321xx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以1a ≥，即a 的取值范围为[)1,+∞．Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19. 【答案】B【分析】化简集合,A B ，求出A B ⋂，再由所求集合性质x A x A B ∈∉且求解即可.【详解】由题意得，{}44A x x =−<<，{1B x x =<，或}3x >， 则{41A B x x ⋂=−<<，或}34x <<， 则{}{}13x x A x A B x x ∈∉⋂=≤≤且， 故选：B.20. 【答案】A 【分析】化简12y x x y xy++=得1x y +=或1x y +=−，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】由12y x x y xy ++=可得()222211x y xy x y xy xy++=⇒+=， 所以1x y +=或1x y +=−， 所以“1x y +=”是“12y x x y xy++=”的充分而不必要条件， 故选：A 21. 【答案】C【分析】由3322()()x y xy x y x y +=+−+，结合整数a 的分解形式转化为求解方程组的整数解的情况即可. 【详解】选项A ，当0a =时，由330x y +=得22()()0x y x xy y +−+=， 解得yx =−，x ∀∈Z ，(,)x x −都是方程33x y a +=的整数解，故a ∃∈Z ，方程33x y a +=有无限组整数解. A 项判断正确；选项B ，当1a =时，由3322()()1x y x y x xy y +=+−+=， 由,x y ∈Z ，则x y +∈Z ，22x xy y −+∈Z ，又22223024y x xy y x y ⎛⎫−+=−+≥ ⎪⎝⎭， 由1(1)(1)=−⨯−与111=⨯，1仅有这2种整数分解的方法，所以2211x y x xy y +=−⎧⎨−+=−⎩（舍），或2211x y x xy y +=⎧⎨−+=⎩； 解得 01x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩，故方程331x y +=有且仅有(1,0),(0,1)两组整数解，即a ∃∈Z ，方程33x y a +=有且只有两组整数解，故B 项判断正确；选项C ，当3a =时，由313=⨯，331=⨯，3(3)(1)=−⨯−，3(1)(3)=−⨯−，3仅有这4种整数分解的方法，又220x xy y −+≥，所以2231x y x xy y +=−⎧⎨−+=−⎩（舍），或2213x y x xy y +=−⎧⎨−+=−⎩（舍）， 或2213x y x xy y +=⎧⎨−+=⎩①，或2231x y x xy y +=⎧⎨−+=⎩②； 方程组①消y 得，23320x x −−=，x =方程组②消y 得，23980x x −+=，此方程无解；故当3a =时，方程33x y a +=无整数解，所以选项C 判断不正确； 选项D ，若关于x ，y 的方程33x y a +=不存在整数解， 则满足至多有有限组整数解；若关于x ，y 的方程33x y a +=存在整数解()00,x y ．由00,x y ∈∈Z Z ，则a ∈Z ，0a ∀≠，整数a 至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为(1,2,3,,;,)i i i i a b c i n b c ==∈Z ，由3323()()a x y x y x xy y =+=+−+，得22,1,2,,iix y b i n x xy y c +=⎧=⎨−+=⎩，消y 得，22330i i i x b x b c −+−=，2,1,,i n =， 对于(1,2,,)i b i n =的每一个确定取值，此关于x 的二次方程最多有2个整数解，即方程组至多有2组整数解；故0a ∀≠，方程33x y a +=至多有2n 组整数解，故D 项判断正确. 故选：C.二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．）22. 【答案】2【分析】根据绝对值的定义，分类讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数11y x x =−++，当1x >时，函数2y x =为单调递增函数，可得2y >； 当11x −<≤时，函数2y =；当1x ≤−时，函数2y x =−为单调递减函数，可得2y ≥， 综上，可得函数的最小值为2. 故答案为：2. 23. 【答案】2 【分析】由1xy=，转化为1y x =，再根据x 的取值范围可确定y 的取值范围，然后结合11,32y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，分别讨论a 的范围，列出不等式组即可求解. 【详解】由1xy=，得1y x=，则该函数在(),0−∞和()0,+∞上均为单调递减函数， 又因为[],1x a a ∈+，则当0a >时，有11,1y a a ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，又11,32y ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，则有：1113112a a ⎧≥⎪⎪+⎨⎪≤⎪⎩，解得：2a =；当0a =时，有[]0,1x ∈，由11,32y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然1xy ≠，所以0a =不符合题意；当-10a <<时，有11,,1y a a ∞∞⎛⎤⎡⎫∈−⋃+ ⎪⎥⎢+⎝⎦⎣⎭，又11,32y ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，则此时11,,1a a ∞∞⎛⎤⎡⎫−⋃+ ⎪⎥⎢+⎝⎦⎣⎭为11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集，显然不成立，故此时a 没有实数解； 当1a =−时，有[]1,0x ∈−，由11,32y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然1xy ≠，所以1a =−不符合题意；当1a <−时，有111y a a ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，，又11,32y ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，得：1113112a a ⎧≥⎪⎪+⎨⎪≤⎪⎩，此时a 没有实数解；综上所述，实数2a =.故答案为：2.24. 【答案】12##0.5【分析】将()00,x y代入方程组，将所得等量关系代入所求代数式中化简消元即可求得结果.【详解】220000143330x yx y⎧+=⎪⎨⎪−−=⎩，220000334431y xx y⎧=−⎪∴⎨⎪−=−⎩，===41242xx−==−.故答案为：12.25. 【答案】①②③④【分析】先分析()f x的图像，再逐一分析各结论，对于①：结合图像即可判断；对于②：分段讨论()f x的取值范围，从而得以判断；对于③：结合图像分类讨论可知MN的范围；对于④：分段讨论()y f x=与y x=−的交点分布，进而列式求解.【详解】依题意，0a>，当x a<−时，()2f x x=+，其图像为一条右端点取不到的单调递增的射线；当a x a−≤≤时，()22=−+f x x a，开口向下，对称轴为y轴，与x轴交点为()(),0,,0a a−，其图象为抛物线22=−+y x a位于x轴上方（含x轴交点）部分；当x a>时，()1f x=，其图像是一条左端点取不到的单调递减的曲线；对于①：若2a=，则()f x的图像如下，由图像可知：()f x在(),0∞−上单调递增，故①正确；对于②：当1a≥时，则有：若x a<−时，()221f x x a=+<−+≤；若a x a−≤≤时，()22=−+f x x a显然取得最大值21a≥；若x a >时，()112f x =<≤−， 综上所述：()f x 取得最大值2a ，故②正确；对于③：当1a x a −≤≤时，结合图像，易知在1x a =，2x a >且接近于x a =处，()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小，当1x a =时，()10y f x ==，当2x a >且接近于x a =处，()221y f x =<−，此时1211MN y y >−>+>；当1x a <时，若02a <<时，部分射线在x轴上方，此时11>+>MN ；若2a ≥时，此时24>≥MN a ； 综上所述：1MN >，故③正确；对于④：当x a <−时，令2x x +=−，解得=1x −， 可知此时()y f x =与yx =−至多有1个交点；当a x a −≤≤时，由图象()f x 的图像可知：此时()y f x =与y x =−有且仅有1个交点；当x a >时，令1x =−，整理得10=x ，12=12−=（舍去），所以32x +=，可知此时()y f x =与y x =−至多有1个交点；综上所述：若()y f x =，y x =−的函数图象有三个公共点，可知()y f x =与yx =−在x a <−和x a >内均有1个交点；则0132a a a ⎧⎪>⎪⎪−>−⎨⎪+⎪<⎪⎩，解得01a <<， 所以a 的取值范围是()0,1，故④正确；故答案为：①②③④.三、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26. 【答案】（1）见解析；（2）{}1,0,1−、11,0,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭、{}1,0,2； （3）2个；【分析】（1）根据强和差集与弱和差集定义进行验证即可判断. （2）根据弱和差集定义讨论参数取值，进行求解.（3）根据强和差集定义，以及B 的元素个数为12，且1B ∈，讨论B 中元素关系，求出条件的集合B . 【小问1详解】由题{},0,1x y ∀∈，根据强和差集定义，当x y x y +≠−时， x 与y 的所有取值可能为 01x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=⎩，都满足{}{},0,1x y x y +−≠∅，所以{}01，是强和差集. {},1,2x y ∀∈，根据弱和差集定义，当x x y y +≠−时，x 与y 的所有取值可能为11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩， 其中22x y =⎧⎨=⎩时不满足{}{},1,2x y x y +−≠∅，所以{}1,2不是弱和差集. 【小问2详解】若集合{}1,,A a b =是弱和差集，则当11x y =⎧⎨=⎩时{}{},2,0x y x y +−=， 据题意有{}{}2,01,,a b ≠∅，若{}01,,a b ∉，则{}21,,a b ∈，当22x y =⎧⎨=⎩时{}{}4,01,,a b ≠∅{}41,,a b ⇒∈继续重复以上步骤{}81,,a b ∈，显然矛盾.所以必有{}01,,a b ∈，不妨0a =，则{}1,0,,0,1A b b b =≠≠.当1x y b =⎧⎨=⎩有{}{}1,11,0,b b b +−≠∅，若101b b +=⇒=−，此时{}1,0,1A =−为弱和差集.若112b b b −=⇒=,此时11,0,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为弱和差集.若112b b −=⇒=,此时{}1,0,2A =为弱和差集. 所以{}1,0,1A =−或11,0,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或{}1,0,2A = 【小问3详解】因为B 为强和差集且1B ∈，如果B 中有其它正数，设其最大值为(1)m m >， 根据强和差集定义得1,1,1m B m B m B +∉−∈−∈，即集合B 有一定的对称性，当x m y m =⎧⎨=⎩时，{}2,0m B ≠∅，所以0B ∈.所以以0，1为对称中心依次列出12元素的集合可得：{}5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6−−−−−与{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5−−−−−−，另根据定义可验证得一个强和差集的一个倍数也是强和差集，但必须满足1B ∈， 故满足条件的集合B 只有2个.【点睛】本题属于集合新定义题目，抓住定义分析题目，有理有据讨论即可.。

高一数学集合的运算试题答案及解析1.，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】集合的交集.2.已知全集,集合（1）求（2）求【答案】（1）（2）【解析】分别求出两集合A,B的解集，,再求出，分别求出，.由，得-6<x-1<6,解得-5<x<7，由，得（x-8）(2x-1)>0,解得x>8,或x<.(1);（2）.【考点】集合的运算.3.已知，.（1）求和；（2）定义且，求和.【答案】（1），；（2），．【解析】（1）分别求出与中不等式的解集，然后根据交集、并集的定义求出和；﹙2﹚根据元素与集合的关系，由新定义求得和．试题解析：（1），，；．（2），．【考点】1、指数与对数不等式的解法；2、集合的运算；3、创新能力．4.设求 .【答案】.【解析】有并集定义得.【考点】并集概念.5.知集合，集合.（1）当时，求；（2）若,求实数的取值范围；（3）若,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）时，先确定集合中的元素，然后可求出；（2），说明中的元素都在中且，从而求得的取值范围；（3），说明中的元素都不在中或为空集，因为空集与任何集合的交集也是空集，分两种情况讨论可求得的取值范围.试题解析：（I）当时，，则 4分（2）由知： 6分得，即实数的取值范围为 8分（做成为开区间者扣一分）（3）由得：①若即时，,符合题意 9分②若即时，需或得或，即 11分综上知即实数的取值范围为 12分（答案为者扣一分）.【考点】1.集合的运算；2.集合间的关系；3.分类讨论的思想.6.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合表示的是大于1而小于4的所有实数，所以．【考点】集合的交集运算．7.已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以，故选C.【考点】1.集合的运算；2.二次不等式的求解.A，则实数a的取值范围8.设全集U=R，A="{x|" x<－2,或x≥1}，B="{x|" a－1<x<a＋1}，B∁R是______.【答案】【解析】由题意得,由,又因为,即集合为非空集合,所以有,解得.故正确答案为.【考点】集合的运算9.集合，，则．【答案】【解析】根据，集合A与集合B中的公共元素为4,7，所以【考点】集合的运算10.已知，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求的范围.【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将代入得到集合，然后计算并集和交集；（Ⅱ）结合数轴由,集合B的左端点大于等于1，右端点小于等于4，于是，特别注意端点值是否可以取等号。

一、选择题1．已知集合{|0}M y y =≥，2{|1}N y y x ==-+，则MN =（ ）A ．()0,1B ．[]0,1C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞2．已知集合A 、B 均为非空集合，定义{*|()A B x x A B =∈⋃且}()x A B ∉⋂，若{}1,0,1,2,3A =-，{}2|1,B x x t t A ==+∈，则集合*A B 的子集共（ ）A ．64个B ．63个C ．32个D ．31个3．定义集合运算{},,A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈，设{0,1},{3,4,5}A B ==，则集合A B ⊗的真子集个数为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．84．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x xx b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集5．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，集合A 、B 是U 的子集，且A B U ⋃=，A B ⋂≠∅．若{}3,4=UAB ，则满足条件的集合A 的个数为（ ）A ．7个B ．8个C ．15个D ．16个6．已知集合()1lg 12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}22940B x x x =-+≥，则()RA B 为（ ）A ．()1,4B ．1,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．(4,1D ．(1,1+7．已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ） A ．77n =B ．49n ≤C ．64n =D ．81n ≥8．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{}1|21x B x +=>，则C B A =（ ）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(3,)-∞-+∞9．对于集合A 和B ，令{,,},A B x x a b a A b B +==+∈∈如果{2,},S x x k k Z ==∈{}|21,T x x k x Z ==+∈，则S T +=（ ）A ．整数集ZB ．SC ．TD ．{41,}x x k k Z =+∈10．已知集合{}21,A x y x y Z ==+∈，{}21,B y y x x Z ==+∈，则A 、B 的关系是（ ） A ．A B =B ．ABC ．B AD ．A B =∅11．若集合2{||31|2},{|0},1x A x x B x x -=-≥=≤-则()R C A B =（ ）A ．1[,2]3-B ．∅C ．1(,)(1,2]3-∞-⋃ D ．1,1(1,2]3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭12．如果集合{}2210A x ax x =--=只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0B ．0或1C ．1-D ．0或1-二、填空题13．设不等式20x ax b ++≤的解集为[]A m n =，，不等式()()2101x x x ++>-的解集为B ，若()(]213A B A B =-+∞=，，，∪∩，则m n +=__________. 14．若{}2230P x x x =--<,{}Q x x a =>,且P Q P =,则实数a 的取值范围是______.15．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若Ux A ∈，则2Ux A ∉，则同时满足条件①②③的集合A 的个数为______16．设集合{}24,,3A m m m =+中实数m 的取值集合为M ，则R C M =_____.17．设P Q 、是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：{},P Q x P Q x P Q =∈∉且，如果{P y y ==，{}|4,0x Q y y x ==>，则PQ =____________.18．对于任意集合X 与Y ，定义：①{|X Y x x X -=∈且}x Y ∉；②()X Y X Y ∆=-()Y X -，（X Y ∆称为X 与Y 的对称差）.已知{}{}221,R =90A y y x x B x x ==-∈-≤，，则A B ∆=_________.19．若集合{}2|20N x x x a =-+=，{}1M =，且N M ⊆，则实数a 的取值范围是_________20．若集合{}|121A x m x m =+<≤-，{}|25B x x =-≤<,若()()R R C A C B ⊇，则m的取值范围是_____________．三、解答题21．设集合{}|34A x x =-≤≤，{|132}B x m x m =-≤≤- （1）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； （2）若AB B =，求实数m 的取值范围.22．已知集合{}220,A x x x x R =+-=∈，集合{}20,B x x px p x R =++=∈. （1）若{}1A B ⋂=，求AB ；（2）若12,x x B ∈且22123x x +=，求p 的值.23．已知0a ≠，集合{}2|60A x x x =--<，{}2|280B x x x =+-≥，{}22|430C x x ax a =-+<，且()RC A B ⊆.求实数a 的取值范围. 24．已知集合{}25A x x =-≤≤，集合{}121B x p x p =+≤≤-，若AB B =，求实数p 的取值范围． 25．已知集合11{|216}8x A x +=≤≤，{|131}B x m x m =+≤≤-. （1）求集合A ； （2）若AB B =，求实数m 的取值范围.26．已知集合A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，集合1228xB x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭. (1)求AB ；(2)若集合{}21C x a x a =≤≤+，且()A B C ⋂⊇，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】∵集合{}2{|1}1N y y x y y ==-+=≤，{|0}M y y =≥，∴[]0,1M N ⋂=，故选B.2．C解析：C 【分析】先求集合B ，再求并集、交集、补集，最后根据元素确定子集个数.【详解】因为{}2|1,{1,2,5,10}B x x t t A ==+∈=， 所以{}{}1,0,1,2,3510,1,2,AB A B =-=，，*{1,0,3,5,10}A B ∴=-因此集合*A B 的子集有5232=个， 故选：C 【点睛】本题考查并集、交集、补集定义以及子集个数，考查综合本分析求解能力，属基础题.3．B解析：B 【分析】根据新定义得到{}{},,0,3,4,5A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈=，再计算真子集个数得到答案. 【详解】{0,1},{3,4,5}A B ==，{}{},,0,3,4,5A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈=其真子集个数为：42115-= 故选：B 【点睛】本题考查了集合的新定义问题，真子集问题，意在考查学生的应用能力.4．B解析：B 【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集.对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选B. 【点睛】本小题主要考查子集的判断，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于基础题.5．C解析：C 【分析】由题意知3、4B ∉，则集合A 的个数等于{}1,2,5,6非空子集的个数，然后利用公式计算出集合{}1,2,5,6非空子集的个数，即可得出结果. 【详解】由题意知3、4B ∉，且集合A 、B 是U 的子集，且A B U ⋃=，A B ⋂≠∅， 则AB 为集合{}1,2,5,6的非空子集，因此，满足条件的集合A 的个数为42115-=.故选C. 【点睛】本题考查集合个数的计算，一般利用列举法将符合条件的集合列举出来，也可以转化为集合子集个数来进行计算，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.6．A解析：A 【分析】解对数不等式求得集合A ，解一元二次不等式求得RB ，由此求得()RAB【详解】由于()1lg 12x -<=所以{(011,1A x x =<-<=+， 依题意{}2R2940B x x x =-+<，()()22944210x x x x -+=--<，解得142x <<，即R 1,42B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()()R1,4A B ⋂=．故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集和补集的运算，考查对数不等式和指数不等式的解法，属于中档题.7．A解析：A 【分析】先理解题意，然后分①当11x =±,10y =时,②当10x =,11y =±时, ③当10x =,10y =时,三种情况讨论即可. 【详解】解:由{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈, ①当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,②当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,这种情况和第①种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个, ③当10x =,10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个,综合①②③可得:A B ⊕的元素个数为6314077++=个, 故选:A. 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.8．A解析：A 【分析】首先解得集合A ，B ，再根据补集的定义求解即可. 【详解】 解：{}2|230{|13}A x x x x x =--<=-<<，{}1|21{|1}x B x x x +=>=>-，{}C |3[3,)B A x x ∴=≥=+∞，故选A ．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.9．C解析：C 【分析】由题意分别找到集合S ,T 中的一个元素，然后结合题中定义的运算确定S T +的值即可. 【详解】由题意设集合S 中的元素为：2,k k Z ∈，集合T 中的元素为：21,m m Z +∈， 则S T +中的元素为：()22121k m k m ++=++， 举出可知集合S T T +=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．C解析：C 【分析】由题意得出Z A ⊆，而集合B Z ，由此可得出A 、B 的包含关系.【详解】由题意知，对任意的x ∈Z ，21y x Z =+∈，Z A ∴⊆.{}21,B y y x x Z ==+∈，∴集合B 是正奇数集，则BZ ，因此，BA .故选：C. 【点睛】本题考查集合包含关系的判断，解题时要善于抓住代表元素，认清集合的特征，考查推理能力，属于中等题.11．D解析：D 【分析】解绝对值不等式求得集合A ，解分式不等式求得集合B ，求得集合A 的补集，然后求此补集和集合B 的并集，由此得出正确选项. 【详解】由|31|2x -≥得312x -≤-或312x -≥，解得13x ≤-或1x ≥，故1,13R C A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由201x x -≤-得()()12010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得12x <≤，所以()R C A B =1,1(1,2]3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合补集、并集的计算，属于基础题.12．D解析：D 【分析】由题意得知关于x 的方程2210ax x --=只有一个实数解，分0a =和0a ≠⎧⎨∆=⎩两种情况讨论，可得出实数a 的值. 【详解】由题意得知关于x 的方程2210ax x --=只有一个实数解. 当0a =，{}12102A x x ⎧⎫=--==-⎨⎬⎩⎭，合乎题意； 当0a ≠时，则440a ∆=+=，解得1a =-. 综上所述：0a =或1-，故选D. 【点睛】本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题.二、填空题13．【分析】计算得到根据得到得到答案【详解】则或即故故故答案为：【点睛】本题考查了不等式的解集根据集合的运算结果求参数意在考查学生的综合应用能力 解析：2【分析】计算得到()()2,11,B =--+∞，根据()(]213A B A B =-+∞=，，，∪∩得到[]1,3A =-，得到答案.【详解】()()2101x x x ++>-，则1x >或21x -<<-，即()()2,11,B =--+∞.()(]213A B A B =-+∞=，，，∪∩，故[]1,3A =-，故2m n +=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了不等式的解集，根据集合的运算结果求参数，意在考查学生的综合应用能力.14．【分析】先求出集合由已知条件中即可求出实数a 的取值范围【详解】由解得又因为且则所以即实数a 的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查了集合的交集运算在解答此类题目的方法是将其转化为子集问题在取答案时可以 解析：(],1-∞-【分析】先求出集合P ,由已知条件中P Q P =,即可求出实数a 的取值范围.【详解】由{}2230P x x x =--<,解得{}13P x x =-<<,又因为{}Q x x a =>,且PQ P =,则P Q ⊆,所以1a ≤-,即实数a 的取值范围是(],1-∞-.故答案为:(],1-∞- 【点睛】本题考查了集合的交集运算,在解答此类题目的方法是将其转化为子集问题,在取答案时可以画出数轴来得到结果,本题较为基础.15．8【分析】由条件可得：当则即则即但元素3与集合的关系不确定3属于时6属于的补集；3属于的补集时6属于；而元素5没有限制【详解】由①；②若则；③若则当则即则即但元素3与集合的关系不确定3属于时6属于的解析：8 【分析】由条件可得：当1A ∈，则2A ∉，即2UA ∈，则4UA ∉，即4A ∈，但元素3与集合A的关系不确定，3属于A 时，6属于A 的补集；3属于A 的补集时，6属于A ；而元素5没有限制． 【详解】由①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若Ux A ∈，则2Ux A ∉．当1A ∈，则2A ∉，即2UA ∈，则4UA ∉，即4A ∈，但元素3与集合A 的关系不确定，3属于A 时，6属于A 的补集；3属于A 的补集时，6属于A ； 而元素5没有限制．{1,4,6},{2,3,5},{2,3},{1,4,5,6},{1,3,4},{2,4,5},{2,A ∴=6},{1,3,4,5}，同时满足条件①②③的集合A 的个数为8个． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合的关系，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】根据集合中的元素的互异性列出不等式组求解【详解】由题：集合则化简得：解得：即所以故答案为：【点睛】此题考查根据集合中元素的互异性求参数的取值范围需要注意不重不漏 解析：{}4,2,0,1,4--【分析】根据集合中的元素的互异性，列出不等式组求解. 【详解】由题：集合{}24,,3A m m m =+，则224343m m m m m m ≠⎧⎪+≠⎨⎪+≠⎩，化简得：()()()441020m m m m m ⎧≠⎪+-≠⎨⎪+≠⎩， 解得：()()()()()(),44,22,00,11,44,m ∈-∞----+∞， 即()()()()()(),44,22,00,11,44,M =-∞----+∞， 所以{}4,2,0,1,4R C M =--. 故答案为：{}4,2,0,1,4--【点睛】此题考查根据集合中元素的互异性求参数的取值范围，需要注意不重不漏.17．【分析】根据函数性质求值域解出两个集合再根据新定义运算求交集并集进而求解【详解】对于P 集合即对于Q 集合即则故答案为：【点睛】本题考查函数的值域求法观察法集合的交集并集运算新定义题型属中等题 解析：{}01,2y y y ≤≤>【分析】根据函数性质求值域，解出两个集合，再根据新定义运算求交集并集，进而求解P Q ，【详解】对于P 集合，y =2,2x，[]0,2y ∈，即{}=02P y y ≤≤对于Q 集合，4xy =，()0,x ∈+∞，()1,y ∈+∞，即{}1Q y y => {}12P Q y y ⋂=<≤，{}0P Q y y ⋃=≥ 则{}01,2P Q y y y =≤≤> 故答案为：{}01,2y y y ≤≤>【点睛】本题考查函数的值域求法观察法，集合的交集并集运算，新定义题型，属中等题.18．【分析】先求出AB 再求得解【详解】由题得所以所以=故答案为：【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用考查集合的并集运算意在考查学生对这些知识的理解掌握水平解析：)()-3,13⎡⋃+∞⎣，【分析】先求出A,B,,A B B A --,再求A B ∆得解. 【详解】由题得[1,)A =-+∞,[3,3]B =-， 所以(3,),B A [3,1)A B -=+∞-=--，所以A B ∆=()()A B B A -⋃-=)()3,13⎡-⋃+∞⎣，. 故答案为：)()3,13⎡-⋃+∞⎣，【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．【分析】根据条件得到或分别计算得到答案【详解】则或当时解得；当时满足综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数忽略掉空集的情况是容易发生的错误 解析：[1,)+∝【分析】根据条件得到{}1N =或N =∅，分别计算得到答案. 【详解】N M ⊆，则{}1N =或N =∅当{}1N =时，{}{}2|201N x x x a =-+==，解得1a =；当N =∅时，{}2|20N x xx a =-+=，满足4401a a ∆=-<∴>.综上所述：1a ≥ 故答案为：[1,)+∝ 【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.20．【分析】由进行反推可分为集合和集合两种情况进行分类讨论【详解】由进行反推若则解得成立由可知集合因应满足解得综上所述故答案为：【点睛】本题考查根据集合的补集与包含关系求解参数问题是中档题型在处理此类题 解析：(),3-∞【分析】由()()R R C A C B ⊇进行反推，可分为集合A =∅，和集合A ≠∅两种情况进行分类讨论 【详解】由()()R R C A C B ⊇进行反推，若A =∅，则121m m +≥-，解得2m ≤，成立 由A ≠∅可知，集合{}|121UA x x m x m =≤+>-或，{}|25UB x x x =<-≥或因()()R R C A C B ⊇，应满足12215211m m m m +≥-⎧⎪-<⎨⎪->+⎩，解得()2,3m ∈综上所述，(),3m ∈-∞ 故答案为：(),3-∞ 【点睛】本题考查根据集合的补集与包含关系求解参数问题，是中档题型，在处理此类题型中，易错点为忽略端点处等号取不取得到的问题，解题时要特别仔细三、解答题21．（1）4m ≥；（2）2m ≤. 【分析】（1）根据已知条件得集合A 是B 的真子集，由此可得答案； （2）由于A B B =，故B 是A 的子集，分两种情况，分别列不等式求得m 的取值范围.【详解】(1) 由x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以AB ，13324m m -≤-⎧⎨-≥⎩等号不同时成立得4m ≥∴实数m 的取值范围为4m ≥ （2）由题意知B A ⊆ 当B =∅，3132,4m m m ->-<当B ≠∅，13324132m m m m -≥-⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩，324m ≤≤综上所述：实数m 的取值范围为2m ≤. 【点睛】本题主要考查集合的运算，根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 22．（1）12,,12A B ⎧⎫⋃=--⎨⎬⎩⎭；（2）)322p =-或)322p =或1p =-.【分析】（1）由{}1A B ⋂=可得1B ∈，求出p 后可求B ，从而可求A B .（2）利用韦达定理可得关于p 的方程，从而可求p 的值. 【详解】（1）因为{}1A B ⋂=，故1B ∈，所以2110p p +⨯+=，解得12p =-， 故20x px p ++=即为211022x x --=，其解为1211,2x x ==-，故11,2B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，而{}2,1A =-， 故12,,12A B ⎧⎫⋃=--⎨⎬⎩⎭. （2）因为12,x x B ∈，故12,x x 为20x px p ++=的根. 若12x x =，则12x x ==12x x ==，此时20x px p ++=有一个根为2或有一个根为，故)322p =-或)322p =.若12x x ≠，则12,x x 为20x px p ++=的两个不同的解，而22123x x +=即为()2121223x x x x +-=，所以2230p p --=，解得1p =-或3p =.又240p p ∆=->，故0p <或4p >，故3p =舍去.故p的值为)322p =-或)322p =或1p =-.【点睛】易错点点睛：本题中，注意12,x x B ∈的含义为12,x x 为方程的根，解析中要注意根据两者是否相等分类讨论. 23．22,00,33a ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 【分析】先化简集合,A B ,求出RA B ,再对a 分类讨论，根据()RC AB ⊆得解.【详解】{}{}2|60|23A x x x x x =--<=-<<， {}{2|2804B x x x x =+-≥=≤-或}2x ≥，∴{}|42RB x x =-<<，则(){}|22RAB x x =-<<，又∵{}()(){}22|430|30C x x ax a x x a x a =-+<=--<，∵0a ≠，∴当0a >时，{}|3C x a x a =<<， 当0a <时，{}|3C x a x a =<<.∵()RC AB ⊆，∴0232a a a >⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩或0322a a a <⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩， 解得203a <≤或203a -≤<.所以实数a 的取值范围是22,00,33a ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24．3p ≤【分析】根据题意，由集合的性质，可得若满足AB B =，则B A ⊆，进而分：①121p p +>-，②121p p +=-，③121p p +<-，三种情况讨论，讨论时，先求出p 的取值范围，进而可得B ，讨论集合B 与A 的关系可得这种情况下p 的取值范围，对三种情况下求得的p 的范围求并集可得答案． 【详解】解：根据题意，若A B B =，则B A ⊆；分情况讨论：①当121p p +>-时，即2p <时，B =∅， 此时B A ⊆，则AB B =，则2p <时，符合题意；②当121p p +=-时，即2p =时，{}{}333B x x =≤≤=， 此时B A ⊆，则AB B =，则2p =时，符合题意；③当121p p +<-时，即2p >时，{}121B x p x p =+≤≤-，若B A ⊆，则有21512p p -≤⎧⎨+≥-⎩，解可得33p -≤≤，又由2p >，则当23p <≤时，符合题意； 综上所述，满足A B B =成立的p 的取值范围为3p ≤．【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，易错点为遗漏B =∅的情况，考查了分类讨论的思想，属于中档题.25．（1）{|43}A x x =-≤≤；（2）43m ≤. 【分析】（1）解指数不等式，求得集合B ≠∅A .（2）由B =∅、B ≠∅两种情况进行分类讨论，由此求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）由已知：314222x -+≤≤，314x -≤+≤，{|43}A x x =-≤≤. （2）若B =∅时，131m m +>-，即1m <时符合题意； 若B ≠∅时，131m m +≤-，即1m ≥时有14313m m +≥-⎧⎨-≤⎩，得453m -≤≤，即413m ≤≤； 综上可得：m 的取值范围为43m ≤. 【点睛】本小题主要考查指数不等式的解法，考查根据交集的结果求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 26．(1)()3,0-；(2)312a -<<-或1a >. 【分析】(1)由已知条件分别计算出集合A 和集合B ,然后再计算出AB 的结果.(2)由已知条件()A B C ⋂⊇,则分类讨论C =∅和C ≠∅两种情况,求出实数a 的取值范围. 【详解】(1)已知集合A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩,则230x x -->,解得30x -<<,即()3,0A =-,集合1228x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,解得31x -<<,即()3,1B =-,所以()3,0A B ⋂=-(2)因为集合{}21C x a x a =≤≤+,且()A B C ⋂⊇,由(1)得()3,0A B ⋂=-, 则当C =∅时,21a a >+,即1a >,当C ≠∅时,212310a a a a ≤+⎧⎪>-⎨⎪+<⎩,得312a -<<-,综上,312a -<<-或1a >.【点睛】本题考查了集合的交集运算和子集运算,在含有参量的子集题目中需要注意分类讨论,尤其不要漏掉空集情况,然后求解不等式组得到结果.本题较为基础.。

2019年人大附中新高一分班考试数学试题真题一､选择题(本大题共17小题，共34分)1. 小雨利用几何画板探究函数()a y x b x c =--图象，在他输λ一组,,a b c 的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（ ）A. 0,0,0a b c >>= B. 0,0,0a b c <>=C. 0,0,0a b c >== D. 0,0,0a b c <=>【答案】B 2. 大于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如33235,37911=+=++，3413151719,=+++⋯若3m 分裂后，其中有一个奇数是103，则m 的值是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B3. 如图，AB 是半圆O 直径，按以下步骤作图：（1）分别以,A B 为圆心，大于AO 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接OP 与半圆交于点C ；（2）分别以,A C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点Q ，连接OQ 与半圆交于点D ；（3）连接,,,AD BD BC BD 与OC 交于点E .根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD 平分ABC ∠；②//BC OD ；③CE OE =；④2AD OD CE =⋅；所有正确结论的序号是（ ）的A. ①②B. ①④C. ②③D. ①②④【答案】D 4. 图1的摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟.若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，9号车厢才会运行到最高点？（ ）A. 10B. 20C. 152D. 452【答案】B 5. 某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用.已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘览车，回程有10人搭乘缆车.若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有多少人？（ ）参观方式缆车费用去程及回程均搭乘缆车300元单程搭乘缆车，单程步行200元A. 16B. 19C. 22D. 25【答案】A 6. 如图，坐标平面上有一顶点为A 的抛物线，此拋物线与方程式2y 的图形交于B C ､两点，ABC 为正三角形.若A 点坐标为()3,0-，则此拋物线与y 轴的交点坐标为何?（ ）A. 90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 270,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()0,9 D. ()0,19【答案】B7. 如图的七边形ABCDEFG 中，,AB ED 的延长线相交于O 点.若图中1,2,3,4∠∠∠∠的外角的角度和为220 ，则BOD ∠的度数为何？（ ）A. 40B. 45C. 50D. 60【答案】A 8. 如图，菱形ABCD 的边长为10，圆O 分别与AB AD ､相切于､E F 两点，且与BG 相切于G 点.若5AO =，且圆O 的半径为3，则BG 的长度为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C9. 桌面上有甲､乙､丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水.先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升.若过程中水没有溢出，则原本甲､乙两杯内的水量相差多少毫升？（ ）A. 80B. 110C. 140D. 220【答案】B10. 如图，坐标平面上，二次函数24y x x k =-+-的图形与x 轴交于､A B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且0k >.若ABC 与ABD △的面积比为1:4，则k 值为何？（ ）A. 1B. 12C. 43D. 45【答案】D 11. 如图的ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，､E F 在AB 上，直线AG 分别交DE BC ､于M N ､两点.若90,4,3,1B AB BC EF ∠==== ，则BN 的长度为何?（ ）A. 43 B. 32 C. 85 D. 127【答案】D12. 图(一)､图(二)分别为甲､乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图.若甲､乙两班学生的投进球数的众数分别为a b ､；中位数分别为c d ､，则下列关于a b c d ､､､的大小关系，何者正确？（ ）A. ,a b c d>> B. ,a b c d ><C. ,a b c d<> D. ,a b c d<<【答案】A 13. 如图的六边形是由甲､乙两个长方形和丙､丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲､乙的面积和等于丙､丁的面积和.若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ ）A. 12 B. 35 C. 2 D. 4-【答案】D14. 如图的矩形ABCD 中，E 点在CD 上，且AE AC <.若P Q ､两点分别在AD AE ､上，:4:1AP PD =，:4:1AQ QE =，直线PQ 交AC 于R 点，且Q R ､两点到CD 的距离分别为q r ､，则下列关系何者正确？（ ）A. ,q r QE RC <=B. ,q r QE RC<<C. ,q r QE RC== D. ,q r QE RC=<【答案】D 15. 下表为小洁打算在某电信公司购买一支MAT 手机与搭配一个号码的两种方案.此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费，若小洁每个月的通话费均为x 元，x 为400到600之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x 至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？（ ）甲方案乙方案号码的月租费(元)400600MAT 手机价格(元)1500013000注意事项：以上方案两年内不可变更月租费A. 500B. 516C. 517D. 600【答案】C 16. 如图的矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，有一圆过,,C D E 三点，且此圆分别与,AD BC 相交于,P Q 两点.甲､乙两人想找到此圆的圆心O ，其作法如下：(甲)作DEC ∠的角平分线L ，作DE 的中垂线，交L 于O 点，则O 即为所求；(乙)连接,PC QD ，两线段交于一点O ，则O 即为所求.对于甲、乙两人的作法，下列判䉼何者正确？（ ）A. 两人皆正确B. 两人皆错误C 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确【答案】A17. 如图，正六边形ABCDEF 中，P Q ､两点分别为,ACF CEF △△的内心.若2AF =，则PQ 的长度为何？（ ）.A. 1B. 2C. 2- D. 4-【答案】C 二､填空题(本大题共3小题，共9分)18. 如图，正方形ABCD 的边长是3,,P Q 分别在,AB BC 的延长线上，BP CQ =，连接,AQ DP 交于点O ，并分别与,CD BC 交于点,F E ，连接AE .下列结论：①AQ DP⊥②2OA OE OP=⋅③AOD OECFS S = 四边形④当1BP =时，1an 136t OAE ∠=其中正确结论的序号是__________.【答案】①③④19. 在等边ABC 中，M N P ､､分别是边AB BC CA ､､上的点(不与端点重合)，对于任意等边ABC ，下面四个结论中：①存在无数个MNP △是等腰三角形；②存在无数个MNP △是等边三角形；③存在无数个MNP △是等腰直角三角形；④存在一个MNP △在所有MNP △中面积最小.所有正确结论的序号是__________.【答案】①②③20. 如图，在Rt ABC 中，90C = ∠，记,x AC y BC AC ==-，在平面直角坐标系xOy 中，定义(),x y 为这个直角三角形的坐标，Rt ABC 为点(),x y 对应的直角三角形.有下列结论：①在x 轴正半轴上的任意点(),x y对应的直角三角形均满足AB =；②在函数2019(0)y x x=>的图象上存在两点边,P Q ，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函2(2020)1(0)y x x =-->图象上的任意一点P ，都存在该函数图象上的另一点Q ，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数22020(0)y x x =-+>的图象上存在无数对点,(P Q P 与Q 不重合)，使得它们对应的直角三角形全等.所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④三､解答题(本大题共9小题，第21-26题每题6分，第27-29题，每题7分，共57分)21. 如图，AM 是ABC 的中线，D 是线段AM 上一点(不与点A 重合)//DE AB 交AC 于点,//F CE AM ，连结AE.的（1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如图2，当点D 不与M 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.（3）如图3，延长BD 交AC 于点H ，若BH AC ⊥，且BH AM =.①求CAM ∠的度数；②当4FH DM ==时，求DH 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）①30°；②22. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和M ，给出如下定义：若M 上存在两个点,A B ，使AB =2PM ，则称点P 为 的“美好点”.（1）当 M 半径为2，点M 和点O 重合时.①点()()()1232,0,1,1,2,2P P P -中， O 的“美好点"是__________.②若直线2y x b =+上存在点P 为 O 的“美好点”，求b 的取值范围；（2）点M 为直线y x =上一动点，以2为半径作M ，点P 为直线4y =上一动点，点P 为 M 的“美好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围.【答案】（1）①P 1和P 2；②b （2）2≤m ≤6.23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过T e 外一点P 引它的两条切线，切点分别为,M N ，若60≤ 180MPN ∠< ，则称P 为T e 的环绕点.（1）当 O 半径为1时，①在()()()1231,0,1,1,0,2P P P 中，O 的环绕点是__________.②直线2y x b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若线段AB 上存在 的环绕点，求b 的取值范围；（2）T e 的半径为1，圆心为()0,t ，以(0)m m ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在T e 的环绕点，直接写出t 的取值范围.【答案】（1）①P 1，P 3；②1b ≤＜或1b ≤-＜；（2）-2<t ≤4.24. 在平面直角坐标系xOy 中，我们称横从坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点(),A p q 、()(),B m n m n ≤满足关于x 的多项式2x px q ++能够因式分解为()()x m x n ++，则称点B 是A 的分解点.例如()3,2A 、()1,2B 满足()()23212x x x x ++=++，所以B 是A 的分解点.（1）在点()15,6A 、()20,3A 、()32,0A -中，请找出不存在分解点的点__________；（2）点P 、Q 在纵轴上（P 在Q 的上方），点R 在横轴上，且点P 、Q 、R 都存在分解点，若PQR 面积为6，请直接写出满足条件的PQR 的个数及每个三角形的顶点坐标；（3）已知点D 在第一象限内，D 是C 的分解点，请探究OCD 是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点D 的坐标；若不可能，请说明理由.【答案】（1）2A ；（2）答案见解析；（3）OCD 不可能为等腰三角形，理由见解析.25. 已知关于x 的一元二次方程2104x bx c ++=（1）21c b =-时，求证：方程一定有两个实数根.（2）有甲､乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1,2,3,4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b ，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c ，利用列表法或者树状图，求b c ､的值使方程2104x bx c ++=两个相等的实数根的概率.【答案】（1）证明见解析；（2）16.26. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线():10l y kx k =-≠与函数(0)m y x x=>的图象交于点()3,2A .（1）求,k m 的值；（2）将直线l 沿y 轴向上平移(0)t t >个单位后，所得直线与x 轴，y 轴分别交于点,P Q ，与函数y =(0)m x x>的图象交于点C .①当2t =时，求线段QC 的长.②若23QC PQ<<，结合函数图象，直接写出t 的取值范围.【答案】（1）1,6k m ==；（2）①；②12t <<.27. 在平面直角坐标系xOy 中，拋物线2224y x ax a a =-+-+顶点为A ，点,B C 为直线3y =上的两个动点(点B 在点C 的左侧)，且3BC =.（1）求点A 的坐标(用含a 的代数式表示)；（2）若ABC 是以BC 为直角边的等腰直角三角形，求拋物线的解析式；（3）过点A 作x 轴的垂线，交直线3y =于点D ，点D 恰好是线段BC 三等分点且满足3BC BD =，若抛物线与线段BC 只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围.【答案】（1）(),4A a a -；（2）2(2)6y x =++或2(4)y x =-；（3）1a =或25a <≤.28. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，点C 关于直线AB 的对称点为D ，连接,BD CD ，过点B 作//BE AC 交直线AD 于点E .（1）依题意补全图形；（2）找出一个图中与CDB △相似的三角形，并证明；（3）延长BD 交直线AC 于点F ，过点F 作FH //AE 交直线BE 于点H ，请补全图形，猜想,,BC CF BH 之间的数量关系并证明.【答案】（1）答案见解析；（2）与CDB △相似的三角形是ABE △，证明见解析；（3）作图见解析；22BH FC BC CF ⋅=+，证明见解析.29. 新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与A 有公共点，则称几何图形G 的叫A 的关联图形，特别地，若A 的关联图形G 为直线，则称该直线为A 的关联直线.如图，M ∠为A 的关联图形，的直线l 为A 的关联直线.（1）已知 O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线22y x =+；②直线3y x =-+；③双曲线2y x=，是O 关联图形的是__________（请直接写出正确的序号）；（2）如图1，T e 的圆心为()1,0T ，半径为1，直线:l y x b =-+与x 轴交于点N ，若直线l 是T e 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围；（3）如图2，已知点()0,2B 、()2,0C 、()0,2D -，I 经过点C ，I 的关联直线HB 经过点B ，与I 的一个交点为P ；I 的关联直线HD 经过点D ，与I 的一个交点为Q ；直线HB 、HD 交于点H ，若线段PQ 在直线6x =上且恰为I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围.【答案】（1）①③；（2）11b +≤≤；（3）60h -≤<或02h <≤.的。