北京市人大附中高一数学上学期期中试题(含解析)

2018-2019学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合，，若，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．【答案】D【解析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．【详解】∵集合，，，∴a=2或a2=2，即a=2或，当a=2时，A={2，4，0}，B={2，4}，此时A∩B={2，4}，不合题意；当a=时，A={，2，0}，满足题意，当a=时，A={，2，0}，满足题意故选：D．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了元素的三要素，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．计算的结果是（）A．B．C．－D．－【答案】A【解析】先把化为，再利用对数的运算性质得到对数的值.【详解】，故选A .【点睛】对数有如下的运算规则：（1），；（2）；（3）；（4） .3．下列函数中，是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【详解】对于A，，所以为奇函数，不满足题意；对于B，的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足题意；对于C，，为奇函数，不满足题意；对于D，，为偶函数，满足题意.故选：D【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，比较基础．4．函数的零点所在的区间是（）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)【答案】B【解析】因为函数为上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数.又，，由零点存在定理可知在存在零点，故选B.【点睛】函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如；（2）估算函数的零点，如等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.5．已知，则函数的大致图像是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用平移变换即可得到函数的大致图像.【详解】∵∴函数的图象是由向右平移一个单位得到，故选：A【点睛】本题考查了函数的图象变换知识，属于基础题.6．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b【答案】B【解析】可利用为上的增函数得到的大小关系，再利用换底公式得到利用为上的增函数可得的大小关系，最后得到的大小关系.【详解】因为为上的增函数，故，故 .又由换底公式可知，因为上的增函数，故，故即，综上，，故选B.【点睛】本题考察对数的大小比较，属于基础题.7．已知，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因，故原不等式等价于在上恒成立，故可得实数的取值范围.【详解】因为，故，故在上恒成立等价于在上恒成立，故即，故选D.【点睛】一元二次不等式的恒成立问题，可通过其对应的二次函数的图像和性质来讨论，也可以用参变分离的方法把恒成立问题转化为一个新的函数的最值问题，特别地，如果一元二次不等式对应的函数解析式可以因式分解，则可以把恒成立的问题转为一元一次不等式的恒成立问题.8．设函数，其中表示不超过x的最大整数，若函数的图象与函数的图象恰有3个交点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用当时有，故函数在具有“局部周期性”，故可在平面直角坐标系中画出函数的图像，结合的图像与的图像有3个交点可以得到实数的取值范围.【详解】，而，故当时，，故在上的图像如图所示：因为的图像与的图像有3个交点，故，故，故选D.【点睛】不同函数图像的交点问题，关键在于正确刻画函数的图像，可以用图像变换的方法把复杂函数的图像归结基本初等函数的图像的平移或对称变换等，也可以根据解析式的特点先刻画函数的局部图像，再根据函数的性质得到其他范围上的图像.二、填空题9．计算：＝________.【答案】1【解析】利用对数的运算规则可得计算结果.【详解】因为，故填.【点睛】对数有如下的运算规则：（1），；（2）；（3）；（4） .10．已知集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】【解析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用可得实数的取值范围.【详解】如图，在数轴表示，因为，故，填.【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.11．函数的定义域为__________.【答案】【解析】解不等式可得函数的定义域.【详解】由题设有即，因，故，故函数的定义域为，填.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.12．已知＝，则＝_________；若，则________．【答案】－10或2【解析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时.【详解】，故，因为，故或者，解得或 .综上，填，或.【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值.13．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】根据函数在不单调可得且，从而得到实数的取值范围.【详解】若，则，在为减函数，不符题意，舎；若，则为二次函数，对称轴为，因为在不单调，故，所以，填.【点睛】含参数的多项式函数，我们要首先确定最高次项的系数是否为零，因为它确定了函数种类（一次函数、二次函数、三次函数等）.其中，一次函数的单调性取决于的正负，二次函数的单调性取决对称轴的位置及开口方向.14．如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为和，且是在映射作用下的象，则下列说法中：① 映射的值域是；② 映射不是一个函数；③ 映射是函数，且是偶函数；④ 映射是函数，且单增区间为，其中正确说法的序号是___________.说明：“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．【答案】③【解析】根据滚动的过程在坐标平面中画出的运动的轨迹后可得正确的选项．【详解】运动的轨迹如图所示：则映射是一个函数且为偶函数，的值域为，也是一个周期函数，周期为，其增区间为和，，故选③．【点睛】几何图形在坐标轴上的滚动问题，应在坐标系中根据滚动的过程刻画出动点的轨迹，再从轨迹中找出对应函数的性质（如值域、单调性、奇偶性、周期性等）．此类问题忌凭空想象．15．已知函数，若0＜＜＜，且满足，则下列说法一定正确的是______.① 有且只一个零点②的零点在内③ 的零点在内④的零点在内【答案】①②【解析】函数为上的增函数，结合，可知①、②正确，因，故的符号为两正一负或全负，从而③、④错误．【详解】因为，均为上的单调增函数，故为上的增函数．因为，，由零点存在定理可知有且只有一个零点且零点在内，故①、②正确．因，故的符号为两正一负或全负，而，故或者，若，则零点在内；若，则零点在内．故③、④错误．综上，填①②．【点睛】本题考察函数的零点．一般地，函数零点问题须结合函数的单调性和零点存在定理来讨论，其中函数单调性的判断可依据增函数的和为增函数，减函数的和为减函数，增函数与减函数的差为增函数或同增异减（针对复合函数）等原则来判断，零点所在区间的端点应该根据函数解析式的特点来选取．16．关于函数的性质描述，正确的是___① 的定义域为② 的值域为③ 在定义域上是增函数④的图象关于原点对称【答案】①②④【解析】函数的定义域为，故，所以为奇函数，故①④正确，又，故可判断②正确，③错误．【详解】由题设有，故或，故函数的定义域为，故①正确．当，，此时，为上的奇函数，故其图像关于原点对称，故④正确．又，当时，；当时，，故的值域为，故②正确．由可得不是定义域上增函数，故③错．综上，选①②④．【点睛】对函数的性质的研究，一般步骤是先研究函数的定义域，接下来看能否根据定义域简化函数解析式，使得我们容易判断函数的奇偶性和周期性，因为一旦明确函数的奇偶性或周期性，我们就可以在更小的范围上便捷地研究函数的其他性质，最后通过研究函数的单调性得到函数的值域．17．在同一直角坐标系下，函数与(,)的大致图象如图所示，则实数a的可能值为______①. ②. ③. ④.【答案】②③【解析】根据图像，底数须满足，逐个检验可得正确的结果．．【详解】由图像可知且，因为，故①错．，故②正确．，故③正确．，故④错误．综上，选②③．【点睛】本题为图像题，要求能从两个函数的图像的位置关系中得到参数满足的条件，并能利用指数、对数知识进行数的大小比较．不同类型的数值大小比较应找合适的中间数进行不等关系的传递．18．已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】因为是分段函数且为增函数，故，故可得实数的取值范围．【详解】因为为上的增函数，故，所以，填．【点睛】如果一个分段函数在为增函数（或减函数），那么该函数除了在每个分段上都是增函数（或减函数），分段处的端点处的函数值也应有相应的大小关系，后者在解题中容易忽视．19．非空有限数集满足：若，则必有．请写出一个满足条件的二元数集S ＝________．【答案】{0,1}或{－1,1}，【解析】因中有两个元素，故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设，根据题意有，所以必有两个相等元素．若，则，故，又或，所以（舎）或或，此时．若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时．综上，或，填或．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．20．已知直线上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数的图象上．请写出一个符合条件的实数a的值：________．【答案】只需满足或即可．【解析】的反函数为，故问题可以转化为与恰有一个公共点即可．【详解】的反函数为，故与的图像恰有一个公共点，当时，直线满足要求，当时，若与的图像恰有一个公共点，则（因为题设要求写出一个符合条件的实数，故可填一个负数即可，符合，待同学们学习了导数的相关知识后可求）【点睛】函数及其反函数的图像关于直线对称，因此与直线对称相关的函数问题可从反函数的角度去分析，一般地，函数的定义域就是反函数的值域，函数的值域就是反函数的定义域，而且单调函数必有反函数．三、解答题21．已知集合，.（1）求；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】（1）求出不等式的解后可得．（2）因为，故对任意的恒成立，参变分离后可得实数的取值范围．【详解】（1）由得，故，所以．（2）由题知，当时，恒成立，即：当时，恒成立．在区间上的值域为，所以，即实数m的取值范围是．【点睛】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式时注意二次项系数的符号．另外，集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题，此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围．22．已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求的解析式及值域；（2）判断在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．【答案】(1) , (2) 增【解析】（1）因为奇函数的定义域为，故可由得到的值及其函数解析式，结合指数函数的值域可得的值域．（2）利用单调性定义可证明为上的增函数．【详解】（1）由题知，，即：，故，．此时，为奇函数．因为，所以，，．（2）在上是增函数．证明：设，，则，，因为，，故，所以函数在上是增函数．【点睛】对于含参数的奇函数或偶函数，可利用特殊值求参数的值（注意检验），也可以利用恒等式或来求参数的值．而对于函数单调性的证明，定义法是关键，其基本步骤是作差、定号和给出结论（也可以作商，此时商应与1比较大小且要注意函数值的符号）．23．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？【答案】(1) (2)50000【解析】（1）依据参加培训的员工人数分段计算培训总费用．（2）依据（1）求出函数的最大值即可．【详解】（1）当时，；当时，，故（2）当时，元，此时x＝30；当时，元，此时．综上所述，公司此次培训的总费用最多需要元．【点睛】本题考察函数的应用，要求依据实际问题构建分段函数的数学模型并依据数学模型求实际问题的最大值，注意建模时理顺各数据间的关系．24．若函数的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数为“0-1函数”.（1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①；②.（2）若函数是“0-1函数”，求；（3）设，定义在R上的函数满足：① 对,R，均有；② 是“0-1函数”，求函数的解析式及实数a的值．【答案】(1) ①不是②是，详见详解；（2）；（3），．【解析】（1）依据定义检验是否有可判断两个函数是否为“”函数．（2）由可得值从而求得函数．（3）分别令和从而得到，利用为“”可得，从而得到，由可得．【详解】（1）①不是，因为图象不过点；②是，因为图象恒过和两点．（2）由得，，故；由得，，故．所以，．（3）令得，，令得，，所以，．由②知，，故，从而，，由②又知，，于是，故．【点睛】本题为关于函数的新定义问题，此类问题一般是依据定义验证具体函数是否满足或给出新定义函数，求参数的值或范围．对于给出运算规则的抽象函数，我们可以通过赋值法求出一些特殊点的函数值或者函数的解析式，赋何值需根据运算规则和我们求解的目标而定．。

北大附中第1学段终结性评价试卷数学必修1（国家必修）问题一、（共计28分） 有关函数的基本概念．阅读材料1．教材34页映射定义：设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的一个映射，这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()f x ．于是()y f x =，x 称作y 的原象．其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象()f x 构成的集合叫做映射f 值域． 依据阅读材料1，回答下列问题：1．（2分）依据阅读材料1中给出的映射的定义，做怎样的修改就能得到函数的定义，请在下面定义中直接修改．设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的一个映射，这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()f x ．于是()y f x =，x 称作y 的原象．其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象()f x 构成的集合叫做映射f 值域． 【答案】见解析．【解析】设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的一个映射，这时，称y 是x 在对应则f 的作用下的函数值，记作()f x ．于是()y f x =，x 称作自变量．其中A 叫做函数f 的定义域，由所有函数数值()f x 构成的集合叫做映射f 值域．2．（2分）结合你得到函数的定义，举一个不是函数的例子，并说明理由．（文字说明，代数表达式说明，画图说明均可）． 【答案】2y x =．【解析】在2y x =中，0x >时，一个x 值有2个值与之对应，例如：当1x =时，1y =±，故2y x =不是函数． 3．（2分）举出一个实际生活中的函数的例子．（文字说明，代数表达式说明或者画图说明均可）． 【答案】见解析．【解析】某种笔记本的单价是5元，买{}(1,2,3,4,5)x x ∈2个笔记本需要y 元，则5y x =，{}1,2,3,4,5x ∈． 4．（10分）我们在必修一模块的学习中复习和学习了以下常见的初等函数．．．．：一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数等．研究学习函数的三要素以及函数的有关性质，初步学习了部分函数的图象的画法．依据阅读材料1，请写出5个不同类型的初等函数的解析式，并且注明其定义域． （1）__________；（2）__________；（3）__________；（4）__________；（5）__________． 【答案】（1）21y x =+，x ∈R ；（2）21y x x =++，x ∈R ；（3）2x y =，x ∈R ；（4）2log y x =，(0,)x ∈+∞；（5）3y x =，x ∈R ．【解析】一次函数为(0)y ax b a =+≠，定义域是R ；二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，定义域是R ； 指数函数x y a =（0a >且1a ≠），定义域是R ；对数函数log a y x =，定义域是(0,)+∞；幂函数a y x =．常见的幂函数有y x =，定义域是R ；2y x =，定义域是R ；3y x =，定义域是R ；12y x =，定义域是[0,)+∞，1y x -=，定义域是(,0)(0,)-∞+∞．根据条件写出对应的初等函数的解析式及定义域即可． 5．（12分）按要求分别完成下列问题：（1）写出两个定义域和值域都是R 的函数；（可以是初等函数，也可以是任何你知道的函数）； ①__________；②__________．（2）写出两个定义域为R ，值域为(0,)+∞的函数；（可以是初等函数，也可以是任何你知道的函数）； ①__________；②__________．（3）写出两个定义域为(0,)+∞，值域为[0,)+∞的函数；（可以是初等函数，也可以是任何你知道的函数）．①__________；②__________．【答案】（1）①y x =，②1y x =+．（2）①2xy =，②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（3）①2(1)(0)y x x =->，②2(1)(0)y x x =->．【解析】（1）由于一次函数(0)y ax b a =+≠的定义域是R ，值域是R ，故y x =，1y x =+的定义域和值域都是R ，符合题意．（2）指数函数xy a =(0a >且1)a ≠的定义域为R ，值域为(0,)+∞，故函数2xy =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭符合题意．（3）二次函数2(1)y a x =-（其中0a >），(0,)x ∈+∞，对称轴为1x =，开口向上，∴min 10x y y===，即值域是[0,)+∞．故二次函数2(1)(0)y x x =->和22(1)(0)y x x =->定义域为(0,)+∞，值域是[0,)+∞，符合题意．二、（共计29分，附加题8分）有关函数的图象以及函数图象的变换（教材61页探索与研究的拓展）． 已知函数：（1）2()f x x =，21()(1)f x x =+，22()(1)f x x =-，23()1f x x =+，24()1f x x =-． （2）()2x g x =，11()2x g x +=，12()2x g x +=，12()2x g x -=，4()21x g x =-． 依据上述条件，完成下列问题：6．（8分）在下面的4个坐标系中，依次分别作出（1）中除函数()f x 以外的4个函数的图象，分别用简明扼要的语言叙述它们的图象与函数()f x 图象之间的关系．关系：__________；关系：__________；关系：__________；关系：__________．【答案】见解析． 【解析】关系：2()f x x =的图象向左平移1个单位可得到2()(1)f x x =+的图象．关系：2()f x x =的图象向右平移1个单位得到22()(1)f x x =-的图象．关系：2()f x x =的图象向上平移1个单位可得到2()1f x x =+的图象．关系：2()f x x =的图象向下平移1个单位得到2()1f x x =-的图象．7．（8分）在下面的4个坐标系中，依次分别作出（2）中除函数()g x 以外的4个函数的图象，验证你在第6问中的结论．【答案】见解析． 【解析】8．（4分）依据第6，7问中你总结的函数图象之间的关系，请你再举一组与上面（1）（2）两组不同类型的函数的例子，分别在下面写出相应的解析式，并在相应的坐标系中，作出函数的图象，验证你的结论．其中()h x =__________，1()h x =__________，2()h x =__________，3()h x =__________， 4()h x =__________．【答案】见解析．【解析】2()log h x x =，12()log (1)h x x =+，22()log (1)h x x =-，32()log 1h x =+，42()log 1h x x =-．9．（4分）探索说明函数()y f x =与()(0,0)y f x a b a b =++≠≠的图象之间的关系．【答案】见解析．【解析】由函数()y f x =的图象向右(0)a <或向左(0)a >平移()a 个单位长度，再向上(0)b >或向下(0)b <平移||b 个单位长度可得到函数()(0,0)y f x a b a b =++≠≠的图象．10．（5分）利用第9问的结论，画出函数1()1x x x ϕ+=-的图象． 解：因为函数122()111x x x x ϕ-+==+--， 所以可以将函数__________图象向__________平移__________个单位得以函数1y =__________的图象，再将函数1y 图象向平移__________个单位得到函数()x ϕ的图象．【答案】见解析． 【解析】因为函数122()111x x x x ϕ-+==+--， 所以可将函数2y x=的图象向右平移1个单位， 得到函数121y x =-的图象，再将函数1y 图象向上平移1个单位得到函数()x ϕ的图象．11．（附加题4分）说明函数()y f x =与(||)y f x =，|()|y f x =的图象之间的关系．【答案】见解析．【解析】要得到(||)y f x =的图象，只需将()y f x =的图象位于y 轴左侧的部分去掉，右边的部分以y 轴为对称轴翻折复制到左边，其余部分不变；要得到|()|y f x =的图象，只需将()y f x =的图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变．12．（附加题4分）已知函数22|log |,02()2log ,2x x x x x τ<⎧=⎨->⎩≤，若存在三个不同实数a ，b ，c 满足()()()a b c τττ==，则abc 的取值范围为__________．【答案】(2,4)【解析】作出函数22|log |,02()2log ,2x x x x x τ<⎧=⎨->⎩≤的图象，如图所示，∵存在三个不同的实数a ，b ，c 满足()()()a b c τττ==， ∴22|log ||log |a b =，即222log log log 0a b ab +==， ∴1ab =，∴abc c =，又∵(2,4)c ∈，故abc 的取值范围为(2,4)．三、（共计35分）有关函数的性质和函数性质的应用阅读材料2．高一某学生在复习数学必修一的模块考试过程中，整理复习函数的单调性和奇偶性定义如下：（1）函数的单调性：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的两个值1x ，2x ，改变量21x x x ∆=-，则：当21()()0y f x f x ∆=->时，就称函数()y f x =在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x ∆=-<，就称函数()y f x =在区间M 上是减函数；（2）函数的奇偶性：设函数()y f x =的定义域为D ，若()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数；若()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．13．（4分）阅读材料2中高一某学生总结的有关定义是否存在问题？若存在问题，请在原定义上分别指出并改正． 【答案】见解析．【解析】该学生总结的定义存在问题．定义函数的单调性中，如果取区间M 中的两个值1x ，2x 应改为如果取区间M 中任意的两个值12x x <；定义函数的奇偶性中，应加上条件，对于定义域中的任意一个x ．14．（6分）若将函数按照奇偶性来分类，可以将函数分为几类？分别是什么函数？请按照你的分类各举一个具体函数的例子．解：将函数按照奇偶性来分类，可将函数分为__________类． 分别是__________．对应的函数例子分别是：__________． 【答案】见解析．【解析】将函数按照奇偶性来分类，可将函数分为四类， 分别是奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数， 对应的函数列子分别是：3y x =，y x 2=，0y =，2x y =．15．（8分）阅读材料2中高一某学生在复习整理做过的题目中，发现有两个错题没有改过来，请你帮忙改正，并说明错误原因．（1）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且0x >时，2()23f x x x =--，则函数2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧-->⎪=⎨-++<⎪⎩；正确答案：__________；错误原因：__________．（2）函数1()f x x=的单调减区间是(,0)(0,)-∞+∞． 正确答案：__________；错误原因：__________． 【答案】（1）正确答案：2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪-++<⎩；错误原因：未考虑0x =时函数值，0x <时，解析式求解错误． （2）正确答案：(,0)-∞和(0,)+∞；错误原因：1y x=在定义域(,0)(0,)-∞+∞上不单调． 【解析】（1）当0x <时，0x ->， ∴22()()2()323f x x x x x -=----=+-， 又∵()f x 是定义在R 的奇函数，∴2()()23f x f x x x =--=--+，且(0)0f =， ∴函数2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+<⎩．（2）1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞， 但1()f x x=在定义域(,0)(0,)-∞+∞上不单调．16．（17分）已知函数2()xf x x m=+，()m ∈R ． （1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；解：①当0m =时，函数的定义域为D ，则(,0)(0,)D =-∞+∞，因为x D ∀∈，都有x D -∈， 又因为22()()()x xf x f x x x --==-=--，所以函数是奇函数； ②当0m >时，函数的定义域为R ，因为x ∀∈R ，都有x -∈R ， 又因为22()()()x xf x f x x m x m--==-=--++，所以函数是奇函数；③当0m <时，函数的定义域为1D ，则1D =__________， 因为1x D ∀∈，都是1x D -∈，又因为()f x -=__________，所以函数是__________； 综上，函数()f x 为定义域上的__________．（2）当1m =时，写出函数()f x 的单调增区间，并证明： 解：依题意，1m =时，函数2()1xf x x =+， 函数()f x 的定义域为R ，因为x ∀∈R ，都有x -∈R ， 又因为22()()()11x xf x f x x x --==-=--++，函数()f x 为奇函数，所以只需要考虑函数()f x 的图象在y 轴右侧的部分的单调性， 再由对称性可得函数的单调区间；所以当0x >时，1()1f x x x=+，设1()g x x x=+， 可知函数()g x 是函数()f x 的倒数函数； 函数1()g x x x=+的图象如图所示：（()g x 只需填写(0,)+∞的单调性） 所以函数()g x 在区间__________上，单调__________（递增、递减）． 所以函数()g x 在区间__________上，单调__________（递增、递减）． 所以当0x >时，函数()f x 在区间__________上单调递增．由函数()f x 是R 上是奇函数，所以函数()f x 在区间(1,0)-上单调__________（递增、递减）． 又因为(0)0f =，当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <， 所以在定义域R 内函数()f x 单调增区间是__________．用单调定义证明如下：__________． 所以21()()y f x f x ∆=-=__________． 所以0y ∆>，所以得证．（3）当4m =时，函数()f x 的值域为__________．（4）当1m =-时，根据已有函数相关知识，在给定坐标系画出函数()f x 的简图； 分析：当1m =-时，函数2()1xf x x =-； ①由函数()f x 的定义域，可以初步判断函数()f x 的奇偶性； ②由函数()f x 的定义域，可以初步判断函数()f x 可能有两条渐近线； ③当0x ≠时，1()1f x x x=-，设1()g x x x=-，函数()g x 是函数()f x 的倒数函数，同样也可以依据函数()g x 的图象考虑函数()f x 的图象和性质．④画图（在图中标出横坐标分别为．．．．．．．．．．．0，．12，．2的点．．）． （5）若函数()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围是__________．【答案】（1）{|x x ≠；22()()()x xf x f x x m x m---===--++；奇函数；奇函数．（2）(0,1)；递减；(1,)+∞；递增；(0,1)；递增；(1,1)-， 设任意1x ，2(1,1)x ∈-，且12x x <，2221211212212112212222222221121212(1)(1)()(1)()(1)()()11(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x y f x f x x x x x x x x x +-+----∆=-=-===++++++++． （3）11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（4）见解析． （5）(0,)+∞．【解析】（1）当0m <时，要使函数有意义，则20x m +≠，解得x ={1|D x x =≠， 又∵22()()()x xf x f x x m x m--==-=--++，∴函数是奇函数． （2）由()g x 的图象易知函数()g x 在区间(0,1)单调递减，在区间(1,)+∞单调递增， ∴1()()f xg x =在区间(0,1)递增，在区间(1,)+∞递减， 又∵()f x 是奇函数，∴()f x 在区间(1,0)-递增，在区间(,1)-∞-递减， ∴在定义域R 内函数()f x 单调增区间是(1,1)-， 证明如下：设任意1x ，2(1,1)x ∈-且，12x x <，则22212112211221222222211212(1)(1)()(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x y f x f x x x x x x x +-+--∆=-=-==++++++， ∵1x ，2(1,1)x ∈-且12x x <，∴210x x ->，120x x <，1210x x ->， ∴0y ∆>，∴得证． （3）当4m =时，函数2()4xf x x =+， 当0x =时，(0)0f =， 当0x ±时，21()44x f x x x x==++，令4()g x x x=+，则()(,4][4,)g x ∈-∞-+∞， ∴11(),00,44f x ⎡⎤⎛⎤∈- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦，综上所述，函数()f x 的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（4）当1m =-时，函数2()1xf x x =-， ∴函数()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，且()f x 是奇函数， 当0x ≠时，1()1f x x x=-， 设1()g x x x=-，则()g x 在[,1)-∞-上递增，且()0g x <，()g x 在(1,0)-上递增，且()0g x >，在(0,1)上递增，且()0g x <，在(1,)+∞递增，且()0g x >，∴()f x 在(,1)-∞-，(1,1)-，(1,)+∞单调递减，且当(,1)(0,1)x ∈-∞-时，()0f x <， 当(1,0)(1,)x ∈-+∞时，()0f x >，故图象如下：（5）当0m =时，1()f x x=，值域是(,0)(0,)-∞+∞，当0m >时，2()xf x x m =+，值域是⎡⎢⎣⎦， 当0m <时，2()xf x x m=+，值域是R ， 故若函数()f x 的值域是R ，则实数m 的取值范围是(0,)+∞．四、（共计8分）关于对数的发明，对数的功绩，对数的应用，教材122页阅读与欣赏的拓展． 阅读材料4．对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Napier ，15501617-），1614年，纳皮尔出版了《奇妙的对数》，在前言里，纳皮尔告诉我们他发明对数的动机；没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者了，这不仅浪费时间，而且容易出错是，因此，我开始考虑怎样消除这些障碍，经过长时间的思索，我终于找到了一些漂亮的简短法则对数log a b m =是实数，其中b ，a ，m 的关系是b m a =，对数具有一种奇妙的性质：可以把高一级的乘、除、乘方、开方运算分别转化为低一级的加、减、乘、除运算．进行大量的计算时，对数的这种功能可使计算的效率成倍地提高．比如计算642的近似值，若用64个2连乘，其繁琐与费时可以想象，如果利用对数的定义和运算公式，可以操作如下：因为64lg 264lg 2640.301019.5640=⋅≈⨯=，再利用对数表查表规则，查出 0.2640lg1.836≈，于是1919.26400.264019lg1.83619lg1.83610=+=+=⨯，可得642的近似值为191.83610⨯，就可以体会到对数的数字计算上的优越性！ 请依据上述材料，完成下列问题：17．（3分）写出你知道的对数运算公式（至少3个）． 【答案】见解析．【解析】log ()log log a a a MN M N =+；log log log aa a MM N N=-； log log n a a M n M =．18．（2分）利用阅读材料4，计算2log 5的近似值；（计算过程精确到0.0001，结果精确到0.01）． 【答案】见解析． 【解析】2lg5lg2lg2.50.30100.39790.6989log 5 2.32lg2lg20.30100.3010++====≈．19．（3分）利用阅读材料4（计算过程精确到0.0001，结果精确到0.01）． 【答案】见解析．【解析】31111lg3472lg(3.47210)(lg3.4723)(0.54063) 1.18023333=⨯=+=+=，利用对数表查出0.1802lg1.514≈，∴1.180210.1802lg10lg1.514lg15.14=+=+=，即lg15.14，15.14≈．附件．对数用表（部分及查表说明） 一、使用说明1．整数部分是一位非零数字．lg 2.573：在第1列找25再横行找“7”为4099，修正值“3”为5．所以lg2.5730.40990.00050.4104≈+=．2．整数部分不是一位非零数字的．用科学记数法表示10n N ⨯． 4lg 25730lg(2.57310)lg 2.5734 4.4104=⨯=+=3lg0.222573lg(2.57310)lg 2.573(3) 2.5896-=⨯=+-=-．3．查反对数时，正小数部分查表，整数部分决定小数点的位置．6.4104：由0.4104查出0.4104lg2.573=．则66.4104lg 2.5736lg(2.57310)lg 2573000=+=⨯=． 负的对数化负整数+正纯小数，再同样查．二、对数用表（部分）。

一、选择题1．(0分)[ID ：11825]设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．(0分)[ID ：11815]若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3．(0分)[ID ：11810]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．(0分)[ID ：11809]不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．(0分)[ID ：11808]已知函数()1ln 1xf x x-=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．(0分)[ID ：11798]在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件7．(0分)[ID ：11774]若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．(0分)[ID ：11773]如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()UM P S ⋂⋂D ．()()UM P S ⋂⋃9．(0分)[ID ：11791]已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）10．(0分)[ID ：11788]已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]11．(0分)[ID ：11785]定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．(0分)[ID ：11767]若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<13．(0分)[ID ：11762]已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数14．(0分)[ID ：11745]已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1-B ．12-C ．12D15．(0分)[ID ：11754]若函数()sin ln(f x x ax =⋅的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题16．(0分)[ID ：11922]设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a的取值范围是__________． 17．(0分)[ID ：11901]函数()f x =的定义域是______． 18．(0分)[ID ：11899]已知函数()32f x x x =+，若()()2330f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．19．(0分)[ID ：11883]已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21x f x =-，则()()1f f -的值为______．20．(0分)[ID ：11874]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 21．(0分)[ID ：11862]若幂函数()a f x x 的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.22．(0分)[ID ：11843]关于函数()2411x x f x x -=--的性质描述，正确的是__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数.23．(0分)[ID ：11839]用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．24．(0分)[ID ：11838]若集合(){}22210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则满足条件的实数k 的最小值是____.25．(0分)[ID ：11863]若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题26．(0分)[ID ：12023]已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．27．(0分)[ID ：11978]一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10﹪衰减. （Ⅰ）求t 年后，这种放射性元素质量ω的表达式；（Ⅱ）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需要的时间）．（精确到0.1；参考数据：）28．(0分)[ID ：11977]围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 29．(0分)[ID ：11952]设a 为实数，函数()()21f x x x a x R =+-+∈．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值； （2）若2a =，求函数()f x 的最小值；（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间,a b ，如果存在()00x a x b <<，满足()0()()m b m a m x b a-=-，则称函数()m x 是区间,a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2yx 是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．30．(0分)[ID ：11941]有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．D 3．C 4．C 5．D 6．B7．A8．C9．C10．A11．C12．B13．C14．C15．B二、填空题16．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为17．【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案【详解】由得且函数的定义域为：；故答案为【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法是基础的会考题型18．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内19．【解析】由题意可得：20．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力21．【解析】由题意有：则：22．①②③【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0解不等式可得f（x）的定义域可判断①；化简f（x）讨论0＜x≤1﹣1≤x＜0分别求得f（x）的范围求并集可得f（x）的值域可判断②；由f（﹣1）＝f（23．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题24．-2【解析】【分析】根据题意可知集合只有一个元素从而时满足条件而时可得到求出找到最小的即可【详解】只有2个子集；只有一个元素；时满足条件；②时；解得或2；综上满足条件的实数的最小值为﹣2故答案为﹣225．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.3．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．4．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<.【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．6．B解析：B【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.7．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.10．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.11．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.12．B解析：B 【解析】【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.13．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .14．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题16．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为解析：(1,0)(1,)【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.17．【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案【详解】由得且函数的定义域为：；故答案为【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法是基础的会考题型 解析：[)()1,00,∞-⋃+【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞； 故答案为[)()1,00,-⋃+∞． 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．18．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内解析：(1,3) 【解析】由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()()2330f a a f a -+-<22(3)(3)3313f a a f a a a a a ⇒-<-⇒-<-⇒<<点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内19．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-20．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.21．【解析】由题意有：则：解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 22．①②③【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0解不等式可得f （x ）的定义域可判断①；化简f （x ）讨论0＜x≤1﹣1≤x ＜0分别求得f （x ）的范围求并集可得f （x ）的值域可判断②；由f （﹣1）＝f （解析：①②③ 【解析】 【分析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f （x ）的定义域，可判断①；化简f （x ），讨论0＜x ≤1，﹣1≤x ＜0，分别求得f （x ）的范围，求并集可得f （x ）的值域，可判断②；由f （﹣1）＝f （1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f （x ）为奇函数，可判断③． 【详解】①，由240110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，可得函数()11f x x =--的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；②，由①可得f （x，即f （x，当0＜x ≤1可得f （x1，0]；当﹣1≤x ＜0可得f （x[0，1）．可得f （x ）的值域为（﹣1，1），故②正确；③，由f （x）＝﹣||x x 的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，f （﹣x）＝|x x＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，即有f （x ）的图象关于原点对称，故③正确．④，由f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）在定义域上不是增函数，故④错误； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．23．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题解析：6 【解析】试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，则函数()8,2{4,1241,1x x f x x x x x -+≥=+<<+≤则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6 考点：分段函数的最值问题24．-2【解析】【分析】根据题意可知集合只有一个元素从而时满足条件而时可得到求出找到最小的即可【详解】只有2个子集；只有一个元素；时满足条件；②时；解得或2；综上满足条件的实数的最小值为﹣2故答案为﹣2解析：-2 【解析】 【分析】根据题意可知，集合A 只有一个元素，从而2k =-时，满足条件，而2k ≠-时，可得到()24420k k ∆=-+=，求出k ，找到最小的k 即可.【详解】A 只有2个子集； A ∴只有一个元素；2k ①∴=-时，14A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足条件；②2k ≠-时，()24420k k ∆=-+=；解得1k =-或2；综上，满足条件的实数k 的最小值为﹣2. 故答案为﹣2. 【点睛】考查子集的概念，描述法和列举法表示集合的定义，以及一元二次方程实根个数和判别式∆的关系.25．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题 26．（1）1,0a b ==；（2）4k <. 【解析】 【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可. 【详解】 解：（1）()g x 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩.解得1a =且0b =. （2）()0f x k ->在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()221112224222x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<. 【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.27．（Ⅰ）ω=500×0.9t . （Ⅱ）6.6年 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）最初的质量为500g ， 经过1年，ω=500（1-10﹪）=500×10.9， 经过2年，ω=500×20.9， ……，由此推出，t 年后，ω=500×0.9t ． （Ⅱ）解方程500×0.9t =250．0.9t =0.5， lg 0.9lg 0.5t =，lg 0.56.6lg 0.9t =≈， 所以，这种放射性元素的半衰期约为6.6年．考点：指数函数应用题及只属于对数的互化点评：本题第一问由经过一年，二年……的剩余质量归纳出t 年后的剩余含量，第二问涉及到指数式与对数式的转化x a b =转化为log a x b =28．（Ⅰ）y =225x +2360360(0)x x-〉（Ⅱ）当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得360a x=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用29．（1）；（2）；（3）()0,2【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立，即()2211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax = x R ∈0a ∴=（2）当2a =时，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+< 所以()f x 在[)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝， 因为＜5，所以函数()f x 的最小值为． （3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)1(1g g g x --=--） 而(1)(1)1(1g g m --=--），存在()01,1x ∈-，使得()0g x m = 即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解；由21x mx m -++=得210x mx m -+-=解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m <<故m 的取值范围是()0,2考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．30．（1）1.70/min km ；（2）466；（3）9【解析】试题分析：（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；（2）还是代入求值即可；（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出1x 、2x ，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得129x x =． 试题解析：（1）将02x =，8100x =代入函数式可得：31log 81lg 22lg 220.30 1.702v =-=-=-= 故此时候鸟飞行速度为1.70/min km ． （2）将05x =，0v =代入函数式可得：310log lg 52100x =-即3log 2lg52(1lg 2)20.70 1.40100x ==⋅-=⨯= 1.43 4.66100x ∴==于是466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位． （3）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，依题意可得：13023012.5log lg 2100{11.5log lg 2100x x x x =-=-两式相减可得：13211log 2x x =，于是129x x =． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 考点：1．函数代入求值；2．解方程；3．对数运算．。

2021-2022学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中练习数学试题一、单选题1．已知全集{1U =，2，3，4，5}，{2A =，4，5}，{3B =，5}，则()U A B =⋃（ ） A ．{3} B ．{2，4} C ．{1，2，3，4} D ．{1，2，4，5}【答案】D【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案. 【详解】全集{1U =，2，3，4，5}，{3B =，5}，{1U B ∴=，2，4}，{2A =，4，5}，(){1U A B ∴=⋃，2，4，5}，故选：D2．下列图象中，以{}01M x x =≤≤为定义域，{}01N x x =≤≤为值域的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案． 【详解】对于A ，其对应函数的值域不是{}01N y y =≤≤，A 错误；对于B ，图象中存在一部分与x 轴垂直，即此时x 对应的y 值不唯一，该图象不是函数的图象，B 错误；对于C ，其对应函数的定义域为{|01}M x x =，值域是{|01}N y y =，C 正确； 对于D ，图象不满足一个x 对应唯一的y ，该图象不是函数的图象，D 错误； 故选：C ．3．命题“0x ∃∈R ，2010x x ++<”的否定是（ ） A ．不存在0x ∈R ，20010x x ++≥B ．0x ∃∈R ，20010x x ++≥C ．x ∀∈R ，210x x ++<D ．x ∀∈R ，210x x ++≥ 【答案】D【分析】根据特称命题的否定直接判断.【详解】根据特称命题的否定，可得命题“0x ∃∈R ，20010x x ++<”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++≥”. 故选：D4．设1x ，2x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ） A ．5 B ．5- C ．1 D ．1-【答案】B【分析】由题意利用韦达定理可得12+x x 和12x x ⋅的值，再根据22112121212()2x x x x x x x x x x +-⋅+=⋅，计算求得结果．【详解】由1x ，2x 是方程2330x x +-=的两个实数根， 可得123x x +=-，213x x ⋅=-，∴22112121212()29653x x x x x x x x x x +-⋅++===-⋅-. 故选：B 5．不等式2301xx ->-的解集为（ ） A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()2,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】将不等式化为()()1320x x --<，从而可得答案. 【详解】解：不等式2301xx ->-可转化成()()1320x x --<， 解得213x <<. 故选：D .6．在下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A ．()f x x =，()2g x =B ．()f x x =，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩C ．()1f x =，()x g x x= D ．()2f x x =，()()21g x x =+【答案】B【分析】根据相等函数的定义即可得出结果.【详解】若()f x 与()g x 表示同一个函数，则()f x 与()g x 的定义域和解析式相同.A ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为[0)+∞，，故排除A ； B ：0()0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，，，与()g x 的定义域、解析式相同，故B 正确；C ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{0}x x ≠，故排除C ；D ：()f x 与()g x 的解析式不相同，故排除D. 故选：B 7．“1x >”是“11x<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式性质和分式不等式的求解分别验证充分性和必要性即可得到结论. 【详解】当1x >时，11x <成立，故充分性成立；当11x<时，0x <或1x >，故必要性不成立 ∴“1x >”是“11x<”的充分不必要条件 故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到不等式的性质和分式不等式的求解的知识，属于基础题.8．在用“二分法”求函数()f x 零点近似值时，第一次所取的区间是[]3,5-，则第三次所取的区间可能是（ ） A ．[]1,5 B ．[]2,1- C ．[]1,3 D ．[]2,5【答案】C【分析】由第一次所取的区间是[]3,5-，取该区间的中点，可得第二次所取的区间，利用同样的方法得到第三次所取的区间. 【详解】因为第一次所取的区间是[]3,5-， 所以第二次所取的区间可能是[][]3,1,1,5-，则第三次所取的区间可能是[][][][]3,1,1,1,1,3,3,5---， 故选：C9．张老师国庆期间驾驶电动车错峰出行，并记录了两次“行车数据”，如表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：kW h /⋅公里）剩余续航里程（单位：公里） 2021年10月2日 20000.1253802021年10月3日 22000.124 166（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电数指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程，剩余续航里程)=剩余电量平均耗电量，下面对该车在两次记录时间段内行驶1公里的耗电量（单位：kW h /⋅公里）估计正确的是（ ）A ．0.104B ．0.114C ．0.118D ．0.124【答案】B【分析】根据题目中平均耗电量的定义，计算出行驶200公里的平均耗电量，即可求解． 【详解】由题意可得，累计200公里内的平均耗电量为kW h /⋅公里，故对该车在两次记录时间段内行驶1公里的耗电量为0.114kW h /⋅公里． 故选：B10．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >a D ．a >c >b【答案】A【分析】把给出的已知条件c ﹣b ＝4﹣4a +a 2右侧配方后可得c ≥b ，再把给出的两个等式联立消去c 后，得到b ＝1+a 2，利用作差可得b 与a 的大小关系． 【详解】由c ﹣b ＝4﹣4a +a 2＝（2﹣a ）2≥0，∴c ≥b ． 再由b +c ＝6﹣4a +3a 2① c ﹣b ＝4﹣4a +a 2②①﹣②得：2b ＝2+2a 2，即b ＝1+a 2． ∵22131()024a a a +-=-+＞，∴b ＝1+a 2＞a ．∴c ≥b ＞a ． 故选A ．【点睛】本题考查了不等式的大小比较，考查了配方法，训练了基本不等式在解题中的应用，是基础题．11．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB 上取一点C ，使得AC a =，BC b =，过点C 作CD AB ⊥交圆周于D ，连接OD .作CE OD ⊥交OD 于E .则下列不等式可以表示CD DE≥的是（ ）A ()20,0abab a b a b>>+ B ．)0,02a bab a b +>> C ()220,022a b a ba b ++>> D ．()2220,0a b ab a b +≥>>【答案】A【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD 和D E 的长度，利用CD >D E 即可得到答案.同时这是几何法构造基本不等式及其推论的一种方法.【详解】连接DB ，因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，所以在Rt ADB ∆中，中线22AB a bOD +==，由射影定理可得2CD AC CB ab =⋅=，所以CD ab =在Rt DCO ∆中，由射影定理可得2CD DE OD =⋅，即222CD ab abDE a b OD a b ===++，由CD DE ≥2abab a b+， 故选：A12．已知函数()f x 是定义在[]12,m m -上的偶函数，[]12,0,x x m ∀∈，当12x x ≠时，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()12f x f x -≤的解集是A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】先根据偶函数的定义域关于原点对称求出m ，再根据偶函数的对称性和题设给的[]0,x m ∈的增减性解题即可【详解】 ()f x 是定义在[]12,m m -上的偶函数，120m m ∴-+=，解得1m =，()f x 的定义域为[]1,1- 又[]12,0,1x x ∀∈，当12x x ≠时，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦()f x ∴在[]0,1x ∈单调递减，再由偶函数的对称性可知()()[][]11,11221,112x f x f x x x x⎧-∈-⎪-≤⇔∈-⎨⎪-≥⎩，解得10,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦答案选C【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽略()f x 所有括号中的取值都必须在定义域内二、多选题13．设函数()1,2,x QD x x Q∈⎧=⎨∉⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()D x 的值域为[]0,1B ．()()π 3.14D D >C ．()D x 是偶函数 D ．()D x 是单调函数【答案】BC【分析】由()D x 的值域为{}1,2判断A ，由()()π2 3.141D D =>=判断B ，根据奇偶性的定义判断C ；由()()()1231D D D ===判断D. 【详解】()D x 的值域为{}1,2，故A 错误；()()π2 3.141D D =>=，故B 正确；定义域关于原点对称，当x Q ∈时，x Q -∈，则()()1D x D x -==；当x Q ∉时，x Q -∉，则()()2D x D x -==，即()D x 是偶函数，故C 正确；因为()()()1231D D D ===，所以()D x 不是单调函数，故D 错误； 故选：BC三、填空题14．函数1()1f x x =+的定义域为_____________. 【答案】(,1)(1,2]-∞-⋃-【分析】根据题意列关于x 的不等式组即可求解.【详解】由题要使得()f x 有意义，则2010x x -≥⎧⎨+≠⎩，故2x ≤且1x ≠-，从而()f x 的定义域为(,1)(1,2]-∞-⋃-， 故答案为：(,1)(1,2]-∞-⋃-.15．满足{}{}11,2,3A ⊆⊆的集合A 的个数为____________个.【答案】4【解析】根据子集的定义即可得到集合A 的个数； 【详解】{}{}11,2,3A ⊆⊆，∴{}1A =或{}1,2或{}1,3或{}1,2,3，故答案为：4.【点睛】本题考查子集的定义，属于基础题.16．已知函数(3)1,1()1,1a x x f x ax x x a --≤⎧⎪=+⎨>⎪+⎩在(,)-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】(3,5]【分析】由分段函数在其定义域内单调得在各段单调，且在连接点处须注意函数值大小，得2301041a a a ->⎧⎪-<⎨⎪-⎩，从而求出实数a 的取值范围． 【详解】解：∵(3)1,1()1,1a x x f x ax x x a --≤⎧⎪=+⎨>⎪+⎩2(3)1,11,1a x x a a x x a --≤⎧⎪=⎨-+>⎪+⎩，且函数在(,)-∞+∞上单调递增， ∴2301041a a a ->⎧⎪-<⎨⎪-⎩， 解得：35a <≤， 故答案为：(3,5].【点睛】本题主要考查函数的单调性的性质，分段函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．17．已知定义在非零实数上的奇函数()f x ，满足()123f x f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则()1f 等于______. 【答案】3-【分析】由()123f x f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭可得()()1123f f +-=，再根据奇函数的定义，即可求解.【详解】∵()123f x f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴()()1123f f +-=，∵()f x 为定义在非零实数上的奇函数， ∴()()11f f -=-，即()()1123f f -=， ∴()13f =-. 故答案为：3-.18．已知函数()221x f x x =+，则()()()111122021232021f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.【答案】40412【分析】根据函数解析式求出1()f x ，进而可得1()()1f x f x+=，由此可得结果.【详解】因为22()1x f x x =+，所以2221()11()111()x f x x x==++， 所以22211()()111x f x f x x x +=+=++，所以11(1)(2)(2021)()()22021f f f f f ++++++ 11114041(1)[(2)()][(3)()][(2021)()]202023202122f f f f f f f =++++++=+=. 故答案为：4041219．函数2()20202021f x ax x =-+(a >0)，在区间[1t -，t +1](t ∈R )上函数()f x 的最大值为M ，最小值为N ．当t 取任意实数时，M -N 的最小值为2，则a =________. 【答案】2【解析】求得对称轴，要使M N -最小，1t -与t +1必关于对称轴对称，从而最大值为(1)f t +，最小值为()f t ，由(1)()2f t f t +-=及对称轴可求得a ．【详解】2()20202021f x ax x =-+ (a >0) 对称轴1010x a=要使M N -最小，1t -与t +1必关于对称轴对称 所以1010t a=① (1)()2f t f t +-=22(1)2020(1)202120202021a t t at t +-++-+-220202at a =+-= ②联立①②得2×1010+-a 2020=2 ∴a =2. 故答案为：2．20．若不等式22360x mx m -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是______.【答案】()(),63,-∞-⋃+∞【分析】利用变换主元法将m 看成自变量，将x 看成参数即可求解. 【详解】解：不等式22360x mx m -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立 将m 看成自变量，将x 看成参数，将不等式化为：()23260x m x -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立令()()2326g m x m x =-+-即()0g m >对一切[]2,1m ∈-恒成立等价于()()2010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即224120230x x x x ⎧+->⎨-->⎩ 解得：3x >或6x <-所以实数x 的取值范围是：()(),63,x ∈-∞-⋃+∞【点睛】关键点睛：当所给不等式或者等式有两个变量时，将已知变量看成自变量，所求变量看成参数，即变换主元法进行求解.四、双空题21．设2:20p x x -，:()(3)0q x m x m ---，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 __；若p ⌝是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是 __． 【答案】 (-∞，3)(2-⋃，)+∞ (-∞，3)(2-⋃，)+∞【分析】根据不等式的解法分别求出p ，q 的等价条件，结合充分、必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【详解】由220x x -，解得02x ，即:02p x ，由()(3)0x m x m ---，得+3m x m ，即:+3q m x m ，:<q x m ∴⌝或>+3x m ， 若p 是q ⌝的充分不必要条件， 则>2m 或+3<0m ，即>2m 或<3m -．:>2p x ⌝或<0x ，若p ⌝是q 的必要不充分条件，则>2m 或+3<0m ，即>2m 或<3m -，故答案为：(-∞，3)(2-⋃，+)∞；(-∞，3)(2-⋃，+)∞．五、解答题22．已知全集U =R ，非空集合A ，B 满足{}2230A x x x =--≤，{}131B x a x a =-≤≤+. (1)当1a =，求() U A B ⋂；(2)若A B B =，求实数a 的取值范围.【答案】(1){0x x <或}3x > (2)203a ≤≤【分析】（1）根据交集和补集的定义即可求出；（2）由题可得B A ⊆，根据包含关系列出不等式组可求.【详解】(1)（1）当1a =时，{}{}223013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}04B x x =≤≤， {}03A B x x ∴⋂=≤≤，(){ 0U A B x x ∴⋂=<或}3x >；(2)若A B B =，则B A ⊆，又A ，B 为非空集合，13111313a a a a -≤+⎧⎪∴-≥-⎨⎪+≤⎩，解得203a ≤≤. 23．已知函数()2x a f x x+=且()12f =. (1)判断并证明函数()f x 在其定义域上的奇偶性；(2)证明函数()f x 在()1,+∞上是增函数.【答案】(1)()f x 是奇函数，证明过程见解析；(2)证明过程见解析.【分析】（1）先求出函数的表达式，再利用奇偶性的定义即可判断；（2）根据单调性的定义进行证明即可.【详解】(1)函数()f x 在其定义域上是奇函数，证明过程如下. 证明：函数()2x a f x x+=且()12f = ∴12a +=，即1a =∴()211x f x x x x+==+ ∴()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称又()()1f x x f x x-=--=- ∴函数()f x 在其定义域上是奇函数(2)证明：设1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，则()()()121212211212121212111f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+--=-+⋅⋅-=-⋅12x x < 120x x ∴-<又1x ∀，()21,x ∈+∞121x x ∴⋅>，即1210x x ⋅->()()120f x f x -<∴函数()f x 在()1,+∞上是增函数.24．已知函数()22,0,0x tx x f x x tx x ⎧-+≥=⎨-<⎩（其中0t ≥）. (1)当2t =时，画出函数()f x 的图象，并写出函数()f x 的单调递减区间；(2)若()f x 在区间[]2,4-上的最大值为()h t ，求()h t 的表达式.【答案】(1)图象见解析，单调递减区间为(,0],[1,)-∞+∞(2)()24,010416,10t t h t t t +≤≤⎧=⎨->⎩【分析】（1）当2t =时，可得()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，结合二次函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意，分别求得()24t f x ≤，且(2)42,(4)416f t f t -=+=-，结合图象分类讨论，即可求解.【详解】(1)解：当2t =时，可得()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩， 结合二次函数的图象与性质，可得函数()f x 的图象，如图所示：可得函数()f x 的单调递减区间为(,0],[1,)-∞+∞.(2)由题意，函数()22,0,0x tx x f x x tx x ⎧-+≥=⎨-<⎩（其中0t ≥）， 若0x ≥时，()2222()244t t t f x x tx x =-+=--+≤，且(2)42,(4)416f t f t -=+=-， 若0x <时，令224t x tx -=，即22440x tx t --=，解得12x -=， （1122-≥-时，即)0421t ≤≤时，可得()()242h t f t =-=+， （2122-<-时，即4(21)t >，此时42t >， 由(2)(4)42(416)202f f t t t --=+--=-，若2020t -≥时，即10t ≤时，可得(2)(4)f f -≥，所以()()242h t f t =-=+； 若2020t -<时，即10t >时，可得(2)(4)f f -<，所以()()4416h t f t ==-，综上可得()f x 在区间[]2,4-上的最大值为()24,010416,10t t h t t t +≤≤⎧=⎨->⎩. 25．已知集合(){1,2,3,,2}A n n N *=∈，对于A 的子集S 若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素1a 、2a ，都有12a a m -≠，则称S 具有性质P .（1）当10n =时，判断集合{|9}B x A x =∈>和{}|31,C x A x k k N *=∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由；（2）若1000n =时，①如果集合S 具有性质P ，那么集合{(2001)|}D x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；②如果集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值.【答案】（1）集合B 不具有性质P ，集合C 不具有性质P ，理由见解析；（2）①集合D 具有性质P ，理由见解析；②1333，证明见解析.【分析】（1）当10n =时，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20A =，由题中所给新定义直接判断即可；（2）若1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =，①根据{(2001)|}D x x S =-∈，任取02001d x D =-∈，其中0x S ∈，可得0120012000x ≤-≤，利用性质P 的定义加以验证即可证明；②设集合S 有k 个元素，由①知： 任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 和2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 和集合D 中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过1000，然后利用性质P 的定义进行分析可得20002k k k t +≤+≤，即20002k k +≤解不等式即可求解. 【详解】（1）当10n =时，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,19,20A =，{}{}|910,11,12,13,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P ，因为对于集合B 中任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =，210b m =+使得12b b m -=成立，{}|31,C x A x k k N *=∈=-∈S 具有性质P .因为110m =<，对于该集合中任意一对元素1131c k =-，2231c k =-，11,k k N *∈ 都有121231c c k k -=-≠，（2）若1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =，①如果集合S 具有性质P ，那么集合{(2001)|}D x x S =-∈一定具有性质P ， 因为{(2001)|}D x x S =-∈，任取02001d x D =-∈，其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以{}01,2,3,,1999,2000x =，从而0120012000x ≤-≤，即t A ∈，所以D A ⊆，由集合S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ，使得对于S 中的一切元素12,s s 都有12s s m -≠，从集合{(2001)|}D x x S =-∈中任取一对元素112001d x =-，222001d x =-，其中12,x x S ∈，则由1212d d x x m -=-≠，所以集合{(2001)|}D x x S =-∈一定具有性质P ，②设集合S 有k 个元素，由①知：若集合S 具有性质P ，那么集合{(2001)|}D x x S =-∈一定具有性质P ， 任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 和2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 和集合D 中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过1000，不妨设S 中有2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,t b b b 不超过1000，由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤，使得对于S 中的一切元素12,s s 都有12s s m -≠，所以一定有12,,t b m b m b m S +++∉，又因为100010002000i b m +≤+=， 故12,,t b m b m b m A +++∈，即集合A 中至少有t 个元素不在集合S 中， 因此20002k k k t +≤+≤，所以20002k k +≤，解得：1333k ≤， 当{}1,2,3,,665,666,1334,1999,2000S =时，取667m =，易知对于集合S 中任意两个元素12,y y 都有12667y y -≠，即集合S 具有性质P ， 而此时集合S 中有1333个元素，因此集合S 中元素个数的最大值是1333.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是理解一个具有性质P 的含义，以及集合之间包含关系的判断，要求有较强的抽象思维能力，以及对数的分析.。

2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（ ）A ．M ＝{（3，2）}，N ＝{（2，3）}B ．M ＝{（x ，y ）|y ＝x }，N ＝{y |y ＝x }C ．M ＝{1，2}，N ＝{2，1}D ．M ＝{2，4}，N ＝{（2，4）}2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）A ．y =1x 2B ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3．函数f(x)=x x 2+1的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝05．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤27．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1 8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．f （x ﹣1）﹣1B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+110．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（0＜a≤10），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−xx的定义域为．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．13．已知一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围为．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数k的取值范围是．．15．函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，x∈(−12，12)，若f（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）17．（12分）设函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R）．（1）当a＝9时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．18．（13分）已知函数f(x)=x2+a(a∈R)．x（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若a＝2，判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．421．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 ． 25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 ．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{（x，y）|y＝x}，N＝{y|y＝x}C．M＝{1，2}，N＝{2，1}D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}解：对于A，集合M，N表示的点坐标不同，故A错误，对于B，集合M表示点集，集合N表示数集，故B错误，对于C，由集合的无序性可知，M＝N，故C正确，对于D，集合M表示数集，集合N表示点集，故D错误．故选：C．2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=1x2B．y=1x C．y＝x2D．y＝x解：y=1x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，A正确；y=1x是奇函数，不正确；y＝x2在区间（0，+∞）上是增函数；不正确；y＝x是奇函数，不正确．故选：A．3．函数f(x)=xx2+1的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=xx2+1的定义域为R，f（﹣x）=−xx2+1=−f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C；当x＞0时，f（x）＞0，可排除选项A、D．故选：B ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0解：∵x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，∴2x 1x 2=(x 1+x 2)2−(x 12+x 22)=9﹣5＝4，解得x 1x 2＝2，∵x 1+x 2＝3，x 1x 2＝2，∴x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：A ．5．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c解：因为a ＞b ＞c ，则a ＞b 且a ＞c ，所以a +a ＞b +c ，即2a ＞b +c ，故D 正确，当b ＜0时，ab ＜bc ，故A 错误，当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，|a |＜|b |＜|c |，故B 错误，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故C 错误，故选：D ．6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤2 解：由题意可知，“∀x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1≥0”为真命题，所以Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故选：D ．7．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1 C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1解：对于A ，f （x ）的定义域为[0，+∞），g （x ）的定义域为R ，故A 错误，对于B ，f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1，g （x ）＝x 2+1，f （x ）与g （x ）的定义域，值域，映射关系均相同， 故f （x ）与g （x ）图象完全相同，故B 正确，对于C ，f （x ）的值域为[0，+∞），g （x ）的值域为R ，故C 错误，对于D ，f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）的定义域为R ，故D 错误．故选：B ．8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由ab ＞0可得{a ＞0b ＞0或{a ＜0b ＜0， 当{a ＞0b ＞0时，由基本不等式可得b a +a b ≥2，当a ＝b 时，等号成立； 当{a ＜0b ＜0时，b a ＞0，a b ＞0，由基本不等式可得b a +a b ≥2，所以充分性满足； 当b a +a b ≥2时，设t =b a ，则有t +1t ≥2，由对勾函数的性质可得t ＞0，即b a ＞0，可得ab ＞0，所以必要性满足．故“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的充要条件．故选：C ．9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ﹣1）﹣1 B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+1 解：因为f （x ）=x+3x+1=1+2x+1的图象关于（﹣1，1）对称，则f （x ﹣1）﹣1的图象关于原点对称，即函数为奇函数．故选：A ．10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和am （0＜a ≤10），设此矩形菜园ABCD 的最大面积为u ，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u ＝f （a ）（单位：m 2）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意，设CD ＝x ，则AD ＝12﹣x ，所以矩形菜园ABCD 的面积S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x ＝﹣（x ﹣6）2+36，因为要将这棵树围在菜园内，所以{x ≥212−x ≥a，解得：2≤x ≤12﹣a ， 当12﹣a ＞6，也即0＜a ＜6时，在x ＝6处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝36，当12﹣a ≤6，也即6≤a ≤10时，在x ＝12﹣a 处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝a （12﹣a ），综上：u ＝f （a ）={36，0＜a ＜6a(12−a)，6≤a ＜10， 根据函数解析式可知，选项B 符合．故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−x x 的定义域为 （﹣∞，0）∪（0，3] ．解：因为f(x)=√3−x x， 所以{3−x ≥0x ≠0，解得x ≤3且x ≠0， 即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3]．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的 充分必要 条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）． 解：园采取了“无预约，不游园”的措施，意思就是说：游园的前提时预约，只有预约了才可以游园，不预约就不能游园．所以：“预约”是“游园”的 充分必要条件．故答案为：充分必要．13．已知一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，2） ． 解：一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，所以{a −2≠0Δ=16−12(a −2)＞03a−2＜0，解得a ＜2， 即实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．14．已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ．解：已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，因为函数f(x)=2x−1在x ∈[2，3]上单调递减，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （3）＝1，可得f （x 1）∈[1，2]，又因为g （x ）＝kx +2（k ＞0）在x ∈[﹣1，2]上单调递增，所以g （x ）max ＝g （2）＝2k +2，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣k +2，所以g （x 2）∈[﹣k +2，2k +2]，若x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，所以[1，2]⊆[﹣k +2，2k +2]，所以{−k +2≤12k +2≥2⇒⇒{k ≥1k ≥0，所以k ≥1． 实数k 的取值范围是：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，x ∈(−12，12)，若f （x ）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是 (−∞，−1)∪(−1，−12) ．解：由①可知，a +1≠0，即a ≠﹣1；由③可知，a ＜0；由②可知，−12＜a+12a＜12，即−1＜a+1a＜1，又a＜0，则a＜a+1＜﹣a，解得a＜−1 2；综上，实数a的取值范围为(−∞，−1)∪(−1，−12 )．故答案为：(−∞，−1)∪(−1，−12 )．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：（1）当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥12 }，A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{x|x≥12}；（2）若选①A∩B＝A，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，解得a≥1，故a的取值范围为{a|a≥1}；若选②∀x∈A，x∉B；当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，符合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a＞3，解得0＜a＜1 3，故a的取值范围为{a|a＜13 }；③若选“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a ＜0时，B ＝{x |x ≤1a}，不合题意；当a ＞0时，B ＝{x |x ≥1a }，则1a ≤1， 解得a ≥1，故a 的取值范围为{a |a ≥1}．17．（12分）设函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ）．（1）当a ＝9时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若不等式f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ），当a ＝9时，f （x ）＜0，即2x 2﹣9x +4＜0，整理得（2x ﹣1）（x ﹣4）＜0，解得12＜x ＜4， 故所求不等式的解集为(12，4)；（2）f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，即2x 2﹣ax +4≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤2x +4x 在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤(2x +4x )min ，又2x +4x ≥2√2x ×4x =4√2（当且仅当2x =4x 即x =√2时，取“＝“）． 所以a ≤4√2，故实数a 的取值范围为(−∞，4√2]．18．（13分）已知函数f(x)=x 2+a x (a ∈R)．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）若a ＝2，判断f （x ）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x 为非奇非偶函数；证明如下：当a ＝0时，f （x ）＝x 2，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝x 2，即f （x ）为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x ，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2−a x =x 2−a x ≠±f （x ），即为非奇非偶函数； （2）a ＝2时，f （x ）=x 2+2x ，设1≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2−2x 1x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12−x 22+2x 1−2x 2=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2−2x 1x 2）＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[1，+∞）单调递增． 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①B ＝∅时，2a ﹣3≥a ﹣2，解得a ≥1；②B ≠∅时，{a ＜12a −3≥−5a −2≤−3，解得a ＝﹣1；∴综上可得，a 的取值范围是a ≥1或a ＝﹣1．故选：C ．20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4解：设f （t ）＝t 3+2022t ，函数定义域为R ，f （﹣t ）＝（﹣t ）3+2022×（﹣t ）＝﹣t 3﹣2022t ＝﹣f （t ），∴f （t ）是奇函数，∀t 1＜t 2，有t 13＜t 23，则f （t 1）﹣f （t 2）＝t 13+2022t 1﹣（t 23+2022t 2）＜0，即f （t 1）＜f （t 2）． ∴函数f （t ）是增函数，由x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，所以√x +√y −2＝0，可得√x +√y =2，两边同时平方再利用基本不等式，有4＝x +y +2√xy ≤2（x +y ），当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x +y 的最小值为2，故选：C ．21．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对解：y ＝x （x +1）（x +2）（x +3）＝[x （x +3）][（x +1）（x +2）]＝（x 2+3x ）[（x 2+3x ）+2]，令a ＝x 2+3x ＝（x +32）2−94≥−94．y ＝a 2+2a ＝（a +1）2﹣1，∵a ≥−94，∴a ＝﹣1时，y 有最小值﹣1．故选：A ．22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760解：∵A 为{1，2，3}，{1，2，4}，[1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，且A 为互斥集，∴A 为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，要想1a +1b +1c 取得最大值，则a ，b ，c 要最小， 此时a ，b ，c ∈{1，2，4}，令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则1a +1b +1c =11+12+14=74． 故选：C ．二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ﹣1或0或3 ．解：∵x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，∴x ﹣1≠0，且 x =k−2x x， ∴x ≠0，且 x 2+2x ﹣k ＝0有一个实数根，结合x ≠0且x ≠1，可得k ＝﹣1或k ＝0或k ＝3．故答案为：﹣1或0或3．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ． 解：因为k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值， 易知x ≥0时，f （x ）＝﹣x +k +1单调递减，故此时f （x ）≤f （0）＝k +1；当x ＜0时，f （x ）=2−x+k 单调递增，结合x →0﹣时，f （x ）→2k，所以由题意只需k +1≥2k 即可，解得k ≥1，或k ≤﹣2（舍），故k 的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 2 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 {a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1} ．解：定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数，（1）所以若 f （x ）＝x ，则 f （1）＝1，f （2）＝2，所以f （x ）＝x 的定义域与值域均为A ＝{1，2}，同理若f （1）＝2，f （2）＝1，也满足题意，所以A 上的等域函数有2个；若a ＜0，则f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1≤﹣1＜0，因此 n ＜0，从而f （x ）在[m ，n ]上单调递增，{f(m)=m f(n)=n， 所以f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有两个不等的负实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有2个不等的负实根，所以{ Δ=(2a +1)2−4a(a −1)＞0x 1+x 2=2a+1a ＜0x 1x 2=a−1a ＞0，解得−18＜a ＜0； 若a ＝0，则f （x ）＝﹣1，不合题意；a ＞0 时，①若m ≤1≤n ，则f （x ）min ＝﹣1，因此m ＝﹣1，f （﹣1）＝4a ﹣1，f （n ）＝a （n ﹣1）2﹣1，若1≤n ≤3，则n ＝f （﹣1）＝4a ﹣1，令1≤4a ﹣1≤3，解得12≤a ≤1， 若n ＞3，则f （n ）＝n ，所以方程f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有大于3的实数根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有大于3的实数根，即Δ＝（2a +1）2﹣4a （a ﹣1）≥0，解得a ≥−18， 所以a ＞0时，x =2a+1±√8a+12a ，令2a+1+√8a+12a＞3，解得√8a +1＞4a ﹣1， 当4a ﹣1≤0时，即0＜a ≤14时，不等式显然成立，当a ＞14时，8a +1＞（4a ﹣1）2，解得0＜a ＜1，所以14＜a ＜1，所以0＜a ＜1满足题意， 综上，0＜a ≤满足题意；下面讨论a ＞1时是否存在[m ，n ]满足题意，②若n ≤1，则 f （x ）在[m ，n ]上是减函数，因此{f(m)=n f(n)=m，显然m ＝f （n ）≥﹣1， 令{a(m −1)2−1=n a(n −1)2−1=m，相减得a （m +n ﹣2）＝﹣1，即m ＝2−1a −n ，n ＝2−1a −m ， 因此有{a(m −1)2−1=2−1a −m a(n −1)2−1=2−1a −n ， 设g （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1﹣（2−1a −x ）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，整理得g （x ）＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a +1a −3，a ＞1时，由于g （1）=1a −2＜0，因此方程g （x ）＝0一个根大于1，一根小于1，不合要求； ③若1≤m ＜n ，则f （x ）在[m ，n ]上是增函数，因此{f(m)=m f(n)=n，即f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 在[1，+∞）上有两个不等实根， 即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0 在[1，+∞）上有两个不等实根，设h （x ）＝ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1，则h （1）＝﹣2＜0，所以h （x ）＝0 的两根一个大于1，一个小于1，不合题意，综上，a 的取值范围是{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．故答案为：2；{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B，若存在集合B1，B2，使得B1∩B2＝∅，B1∪B2＝B，S（B1）＝S（B2），则S（B）＝S（B1）+S（B2）＝2S（B1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，•，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，•，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，•，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+•+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，•，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。

人大附中2019-2020学年第一学期期中考试高一数学试卷I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）1.设集合{}{}=32,=13X x Z x Y y Z y ∈-<<∈-≤≤，则X Y ⋂=（ ） A. {}0,1B. {}1,0,1-C. {}0,1,2D.{}1,0,1,2-【答案】B 【解析】 【分析】根据表示元素的范围以及表示元素是整数先分别用列举法写出集合,X Y ，然后再计算X Y ⋂的结果.【详解】因为{}2,1,0,1X =--，{}1,0,1,2,3Y =-，所以{}1,0,1X Y ⋂=-. 故选：B.【点睛】本题考查集合集合的表示方法以及集合的交集运算，难度较易. 2.下列各组函数是同一函数的是（ ）A. x y x=与1y =B. y =1y x =-C. 2x y x=与y x = D. 321x x y x +=+与y x=【答案】D 【解析】 【分析】选项A 、C 中分析每组函数的定义域是否相同；选项B 中分析分析函数的值域；选项D 中分析函数的定义域和值域. 【详解】x y x=的定义域为{x|x≠0}，1y =的定义域为R ，故A 选项错误；y =值域为[)0,+∞，1y x =-值域为R ，故B 选项错误；2x y x=与的定义域为{x|x≠0}，y x =定义域为R ，故C 选项错误； 321x x y x +=+与y x=的定义域和值域均为R ，故D 选项正确. 故选：D .【点睛】判断两个函数是否为同一函数可以先从定义域进行分析，定义域不同，则不是同一函数；定义域相同则再分析对应关系，若对应关系也相同则为同一函数，若对应关系不相同则不是同一函数.3.下列函数中，在区间()0,2是增函数的是（ ） A. 1y x =-+ B. 245y x x =-+C. y =D. 1y x=【答案】C 【解析】 【分析】直接判断一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数在区间()0,2上的单调性即可得到结果. 【详解】1y x =-+、245y x x =-+、1y x=在区间()0,2是减函数， y =()0,2是增函数.故选：C.【点睛】一次函数的单调性判断：()0y kx b k =+≠，当0k >时在R 上递增，当k 0<时在R 上递减；二次函数的单调性判断：()20y ax bx c a =++≠，当0a >时在,2b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上递减，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；当0a <时在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递增，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减. 4.命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A. 对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B. 不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C. 存在x 0∈R ，使得x 02≥0D. 存在x 0∈R ，使得x 02＜0【答案】D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．【此处有视频，请去附件查看】5.已知函数()f x 的图象是两条线段（如图，不含端点），则13f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A. 13- B.13C. 23-D.23【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象先用分段函数的形式写出()f x 的解析式，然后根据分段函数的解析式计算出13f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【详解】由图象可知：()()()1,0,10,01,1,0x x f x x x x ⎧-∈⎪==⎨⎪+∈-⎩，所以112113333f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：B.【点睛】本题考查分段函数求值问题，难度较易.对于给定图象的函数，首先可考虑通过图象求出函数的解析式，然后再考虑计算函数值.6.已知,a b 是实数，则“0a b >>且0c d <<”是“a bd c<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】考虑“0a b >>且0c d <<”与“a bd c<”互相推出的成立情况，判断出是何种条件. 【详解】根据不等式的性质可知：由“0a b >>且0c d <<”可以推出“a bd c<”，但由“a bd c<”不能推出“0a b >>且0c d <<”，例如：1,2,3,4a d c b =-===，此时推不出“0a b >>且0c d <<”， 所以是充分不必要条件. 故选：A.【点睛】对于充分、必要条件的判断要分两步考虑：判断充分性是否满足、判断必要性是否满足，再根据判断的结果得到是属于四种条件中的何种条件.7.如图所示，是吴老师散步时所走的离家距离()y 与行走时间()x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值， 所以A 、B 、C 三个选项均不符合，只有D 选项符合题意. 故选：D .【点睛】本题考查实际问题中对应的函数图象问题，难度较易.8.已知集合{|523M x R x =∈--为正整数}，则M 的所有非空真子集的个数是（ ） A. 30 B. 31C. 510D. 511【答案】C 【解析】 【分析】根据523x --为正整数可计算出集合M 中的元素，然后根据非空真子集个数的计算公式22n -（n 是元素个数）计算出结果.【详解】因为523x --为正整数，所以M ={−12，0， 12，1，32，2，52，3，72}，所以集合M 中共有9个元素，所以M 的非空真子集个数为29-2=510，故选：C.【点睛】本题考查用列举法表示集合以及计算集合的非空真子集的个数，难度较易.一个集合中含有n 个元素则： 集合的子集个数为：2n ；真子集、非空子集个数为：21n -； 非空真子集个数为：22n -.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）9.方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为______________.【答案】(){}3,7-【解析】 【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对(),a b 的形式表示元素）. 【详解】因为322327x y x y +=⎧⎨-=⎩，所以37x y =⎧⎨=-⎩，所以列举法表示解集为：(){}3,7-.故答案为：(){}3,7-.【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式：(),x y .10.已知函数()2,02,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则方程()2f x x =的解集为__________.【答案】{}1,1- 【解析】 【分析】分别考虑0,0x x ≤>时()2f x x =的解，求出解时注意判断是否满足定义域的要求.【详解】当0x ≤时，22x x =+，所以1x =-或2x =（舍）； 当0x >时，22x x =-+，所以1x =或2x =-（舍）； 所以解集为：{}1,1-. 故答案为：{}1,1-.【点睛】本题考查函数与方程的简单应用，难度较易.已知()f x 是分段函数，求解方程()()f x g x =的解时，可以根据()f x 的定义域分段考虑，求出每一段符合要求的解，最后写出解集.11.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【答案】30 【解析】【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．12.若函数()()2212f x x a x =--+在区间()1,4上不是单调函数，那么实数a 的取值范围是__________. 【答案】（2，5） 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴以及开口方向与单调性的关系，判断出二次函数的对称轴在区间()1,4内，由此计算出a 的取值范围.【详解】因为函数f(x)=x 2-2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数， 所以对称轴x=a-1位于区间(1,4)上，即1＜a-1＜4，所以2＜a ＜5. 故答案为：()2,5.【点睛】判断二次函数的单调性，可以通过二次函数的开口方向以及对称轴来进行分析：开口向上，在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；开口向下，在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减. 13.几位同学在研究函数()()1xf x x R x=∈+时给出了下面几个结论：①函数()f x 的值域为()1,1-；②若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；③()f x 在()0,∞+是增函数；④若规定()()1f x f x =，且对任意正整数n 都有：()()()1n n f x f f x +=，则()1n xf x n x=+对任意*n N ∈恒成立.上述结论中正确结论的序号为__________. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】考虑0,0,0x x x ><=时对应函数的值域、单调性、奇偶性即可判断出①②③是否正确，利用归纳推理的思想判断()1n xf x n x=+是否正确.【详解】()f x 的定义域为R ，当0x >时()()110,111x f x x x ==-∈++且()f x 是单调递增的， 当0x <时()()111,011x f x x x==-+∈---且()f x 是单调递增的， 当0x =时()00f =， 又因为()()1xf x f x x--==-+-，所以()f x 是奇函数，由此可判断出①②③正确， 因为()()()2112x f x f f x x ==+，()()()3213xf x f f x x ==+，......， 由归纳推理可得：()1n xf x n x=+，所以④正确.故答案为：①②③④.【点睛】本题考查函数的值域、单调性、奇偶性的综合运用，难度较难. （1）分段函数的值域可以采用分段求解，最后再取各段值域的并集；（2）分段函数在判断单调性时，除了要考虑每一段函数单调性，还需要考虑到在分段点处各段函数的函数值的大小关系.14.函数()()2241,2f x x x g x x a =-+=+，若存在121,,12x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是___________. 【答案】33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】先根据1x 的范围计算出()1f x 的值域，然后分析()2f x 的值域，考虑当两个值域的交集不为空集时对应a 的取值范围即可.【详解】因为()2241f x x x =-+，所以当11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()111,2f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，因为()2g x x a =+，所以当21,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()[]21,2g x a a ∈++，由题意可知[]11,1,22a a ⎡⎤--++≠∅⎢⎥⎣⎦I ，当[]11,1,22a a ⎡⎤--++=∅⎢⎥⎣⎦I 时，112a +>-或21a +<-，所以32a >-或3a <-， 综上可知：33,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查根据函数值域的关系求解参数范围，难度一般. 当两个函数的值域的交集不为空集时，若从正面分析参数的范围较复杂时，可考虑交集为空集时对应的参数范围，再求其补集即可求得结果.三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤， 请将答案写在答题纸上的相应位置.）15.设全集是实数集R ，2{|2730}A x x x =-+≤，2{|0}B x x a =+<. （1）当4a =-时，求A B I 和A B U ； （2）若()R C A B B =I ，求实数a 的取值范围．【答案】⑴1[,2)2A B ⋂=，(2,3]A B ⋃=-.⑵1[,)4a ∈-+∞. 【解析】本试题主要是考查了集合的运算以及二次不等式的求解的综合运用。

2023-2024学年北京市中国人民大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，3}2．已知命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是（）A．∀x≥0，x2+x＞−12B．∃x≥0，x2+x≤12C．∀x＜0，x2+x＞−12D．∃x＜0，x2+x＞−123．下列函数中，在定义域上单调递减的是（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣|x|C．y＝﹣x2﹣2x﹣1D．y=1√x+1+√x5．已知关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，则a的值为（）A．1B．2C．3D．46．已知函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝（x+1）2，下表列出了x＝m时各函数的取值，则（）A．m＝3，n＝15B．m＝﹣3，n＝15C．m＝3，n＝81D．m＝﹣3，n＝817．“函数f（x）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是（）A．存在a∈（1，2）满足f（a）≤f（1）B．存在a∈（1，2）满足f（a）≥f（2）C．存在a，b∈[1，2]且a＜b满足f（a）＝f（b）D．存在a，b∈[1，2]且a＜b满足f（a）≥f（b）8．如图，数轴上给出了表示实数a，b，c的三个点，下列判断正确的是（）A．ab＞c B．abc＞12C．c+2b＜a D．a+c＞2b9．已知f（x）={1，x∈Q0，x∈∁R Q．若对任意x∈R，均有xf（x）≤g（x），则函数g（x）可以是（）A．g(x)=1B．g（x）＝x C．g（x）＝x2D．g（x）＝|x|x10．如图，给定菱形ABCD，点P从A出发，沿A﹣B﹣C在菱形的边上运动，运动到C停止，点P关于AC的对称点为Q，PQ与AC相交于点M，R为菱形ABCD边上的动点（不与P，Q重合），当AM＝x 时，△PQR面积的最大值为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f（x）=√x−2的定义域为．x+112．不等式|2x﹣3|＜3的解集是．13．A={y|y=√x}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}，B⊆A，则实数a的取值集合是．14．若存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则实数a的取值集合是．15．对集合A，B，定义A⊗B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}．①若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为：A＝，B＝．（写出一组即可）②若集合M满足：存在M的子集A，B，使得A⊗B的元素个数不小于100，且对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∈A⊗B，则集合M的元素个数的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（11分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．（Ⅰ）若B⊆A，求m的取值集合；（Ⅱ）若A∪B＝R，求m的取值集合．17．（12分）已知函数f（x）＝ax+b的定义域为（0，+∞），y＝﹣3x+6与y＝f（x）的图象相交于点A（1，xf（1）），B（2，f（2））．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．18．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣2x ﹣3．（Ⅰ）若关于x 的不等式f （x ）≥0的解集为{x |x ≤﹣1或x ≥3}，求a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，求x 1+x 2的取值范围； （Ⅲ）若当x ∈[3，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x ||x |＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}，则{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝（ ） A ．（1，3） B ．[1，3]C ．[﹣4，1]∪[3，4]D ．（﹣4，1）∪（3，4）20．若xy ≠0，则“x +y ＝1”是“yx +x y+2=1xy”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．若x 03+y 03=a （x 0∈Z ，y 0∈Z ），则称（x 0，y 0）是关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ）A ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解B ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解C ．∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解D ．∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有有限组整数解二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 22．函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的最小值为（6分）23．若∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，则实数a ＝（6分）24．若（x 0，y 0）是方程组{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，则代数式√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|的值为（6分）25．设a ＞0，函数f(x)={x +2，x ＜−a−x 2+a 2，−a ≤x ≤a −√x −1，x ＞a，给出下列四个结论：①当a ＝2时，f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增； ②当a ≥1时，f （x ）存在最大值；③设M （x 1，f （x 1））（x 1≤a ），N （x 2，f （x 2））（x 2＞a ），则|MN |＞1； ④若y ＝f （x ），y ＝﹣x 的函数图象有三个公共点，则a 的取值范围是（0，1）．其中所有正确结论的序号是（6分）三、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26．（12分）对非空数集T，给出如下定义：定义1：若∀x，y∈T，当x+y≠x﹣y时，{x+y，x﹣y}∩T≠∅，则称T为强和差集；定义2：若∀x，y∈T，当x+y≠|x﹣y|时，{x+y，|x﹣y|}∩T≠∅，则称T为弱和差集．（Ⅰ）分别判断{0，1}是否为强和差集，{1，2}是否是弱和差集，并说明理由；（Ⅱ）若集合A＝{1，a，b}是弱和差集，求A；（Ⅲ）若强和差集B的元素个数为12，且1∈B，求满足条件的集合B的个数．2023-2024学年北京市中国人民大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，3}解：A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．已知命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是（）A．∀x≥0，x2+x＞−12B．∃x≥0，x2+x≤12C．∀x＜0，x2+x＞−12D．∃x＜0，x2+x＞−12解：命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是∀x＜0，x2+x＞−12．故选：C．3．下列函数中，在定义域上单调递减的是（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣|x|C．y＝﹣x2﹣2x﹣1D．y=1√x+1+√x解：根据一次函数的性质可知，y＝x﹣1在R上单调递增，不符合题意；y＝﹣|x|，y＝﹣x2﹣2x﹣1在R上不单调，不符合题意；因为y=√x+1+√x在（0，+∞）上单调递增，故y=1√1+x+√x在（0，+∞）上单调递减，符合题意．故选：D．5．已知关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4解：∵关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝a，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=9﹣4a＝1，∴a＝2．故选：B ．6．已知函数f （x ）＝x 2﹣1，g （x ）＝（x +1）2，下表列出了x ＝m 时各函数的取值，则（ ）A ．m ＝3，n ＝15B ．m ＝﹣3，n ＝15C ．m ＝3，n ＝81D ．m ＝﹣3，n ＝81解：由题得：f （m ）＝m 2﹣1＝8且g （m ）＝（m +1）2＝4， 可得m ＝﹣3，故f [g （m ）]＝f （4）＝42﹣1＝15＝n ． 故选：B ．7．“函数f （x ）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是（ ） A ．存在a ∈（1，2）满足f （a ）≤f （1） B ．存在a ∈（1，2）满足f （a ）≥f （2） C ．存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）＝f （b ） D ．存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）≥f （b ）解：“函数f （x ）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是：存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）≥f （b ）． 故选：D ．8．如图，数轴上给出了表示实数a ，b ，c 的三个点，下列判断正确的是（ ）A ．ab ＞cB ．abc ＞12C ．c +2b ＜aD ．a +c ＞2b解：由图可知，﹣1＜a ＜−−12，−12＜b ＜0，12＜c ＜1，对于A ，由﹣1＜a ＜−12，−12＜b ＜0可得12＜−a ＜1，0＜−b ＜12，所以0＜ab ＜12，又12＜c ＜1，故ab ＜c ，故A 错误；对于B ，由0＜ab ＜12，12＜c ＜1，可得0＜abc ＜12，故B 错误；对于C ，由﹣1＜2b ＜0，12＜c ＜1，可得−12＜c +2b ＜1，又﹣1＜a ＜−12，所以c +2b ＞a ，故C 错误； 对于D ，由图可知，|a ﹣b |＜|b ﹣c |，即b ﹣a ＜c ﹣b ，整理得2b ＜a +c ，故D 正确． 故选：D ．9．已知f （x ）={1，x ∈Q 0，x ∈∁R Q．若对任意x ∈R ，均有xf （x ）≤g （x ），则函数g （x ）可以是（ ）A ．g(x)=1xB ．g （x ）＝xC ．g （x ）＝x 2D ．g （x ）＝|x |解：当x 为有理数时，f （x ）＝1，xf （x ）≤g （x ）⇔x ≤g （x ），排除A ，C 选项； 当x 为无理数时，f （x ）＝0，xf （x ）≤g （x ）⇔0≤g （x ），排除B 选项；只有D 正确． 故选：D ．10．如图，给定菱形ABCD ，点P 从A 出发，沿A ﹣B ﹣C 在菱形的边上运动，运动到C 停止，点P 关于AC 的对称点为Q ，PQ 与AC 相交于点M ，R 为菱形ABCD 边上的动点（不与P ，Q 重合），当AM ＝x 时，△PQR 面积的最大值为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：因为四边形ABCD 是菱形，且P 关于AC 的对称点为Q ，所以PQ ⊥AC ， 先研究P 从A 运动到B 的情况，设AC ＝a ，∠P AM ＝α，则PQ ＝2x •tan α，然后可得y =12PQ ⋅MC =x •（a ﹣x ）tan α，因为P 从A 运动到B 与P 从B 运动到C 时，对应的△PQR 面积最大值的变化规律是相反的， 所以设0＜x ≤a2，y ＝x •（a ﹣x ）tan α=[−(x −a 2)2+a 24]tanα，（0＜x ≤a2），显然tan α＞0，结合二次函数的性质可知，该函数开口向下，且在（0，a2）上单调递增，C 选项正确．故选：C ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f（x）=√x−2x+1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．解：要使函数有意义，只需x−2x+1≥0，解得x≥2或x＜﹣1，所以f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．12．不等式|2x﹣3|＜3的解集是（0，3）．解：|2x﹣3|＜3，则﹣3＜2x﹣3＜3，解得0＜x＜3，故所求的解集为（0，3）．故答案为：（0，3）．13．A={y|y=√x}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}，B⊆A，则实数a的取值集合是{a|a≥0}．解：A={y|y=√x}={y|y≥0}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}＝{x|（x﹣1）（x﹣a）＝0}，∵B⊆A，∴a≥0，∴实数a的取值集合是{a|a≥0}．故答案为：{a|a≥0}．14．若存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则实数a的取值集合是{a|a≥6}．解：存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则存在x∈（0，+∞），ax＝x2+9，即a=x+9x，设g（x）=x+9 x ，x+9x≥2√x⋅9x=6，当且仅当x＝3时，等号成立，故a≥6，所以实数a的取值集合是{a|a≥6}．故答案为：{a|a≥6}．15．对集合A，B，定义A⊗B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}．①若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为：A＝{1，2}，B＝{3，4}．（写出一组即可）②若集合M满足：存在M的子集A，B，使得A⊗B的元素个数不小于100，且对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∈A⊗B，则集合M的元素个数的最小值是10．解：①当A＝{1，2}，B＝{3，4}时，由题意可知：A⊗B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，此时A⊗B的元素个数为4，满足题意．②设集合A中元素的个数为m，集合B中元素的个数为n，根据题意可知A⊗B的元素个数为mn，若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为A＝{1，2}，B＝{3，4}，若对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∉A⊗B，则A＝B，m＝n，又A⊗B的元素个数不小于100，则mn＝m2≥100，解得m≥10，因为A，B是集合M的子集，所以集合M的元素个数的最小值是10．故答案为：①A＝{1，2}，B＝{3，4}（答案不唯一）；②10．三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（11分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．（Ⅰ）若B⊆A，求m的取值集合；（Ⅱ）若A∪B＝R，求m的取值集合．解：（Ⅰ）集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．若B⊆A，则m≤﹣2，∴m的取值集合是{m|m≤﹣2}；（Ⅱ）若A∪B＝R，则m≥3，∴m的取值集合为{m|m≥3}．17．（12分）已知函数f（x）＝ax+bx的定义域为（0，+∞），y＝﹣3x+6与y＝f（x）的图象相交于点A（1，f（1）），B（2，f（2））．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．解：（Ⅰ）根据题意，可得f（1）＝﹣3+6＝3，f（2）＝﹣6+6＝0，故{a+b=32a+b2=0，解得{a=−1b=4，所以f（x）的解析式为f(x)=−x+4x；（Ⅱ）函数f（x）=−x+4x在（0，+∞）上是减函数，理由如下：证明：设任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=(x2−x1)+(4x1−4x2)=(x2−x1)(1+4x1x2)，因为x1＜x2，且x1、x2都是正数，所以x2﹣x1＞0且1+4x1x2＞0，可得f（x1）＞f（x2）．因此f（x）=−x+4x在（0，+∞）上是减函数．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2x﹣3．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}，求a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，求x1+x2的取值范围；（Ⅲ）若当x∈[3，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）依题意﹣1，3是方程ax2﹣2x﹣3＝0的两根，所以﹣1+3=2a，﹣1×3=−3a，解得a＝1，故a的值为1．（Ⅱ）关于x的方程f（x）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，所以a≠0，所以x1+x2=2a，Δ＝4+12a＞0，解得a＞−1 3，当−13＜a＜0时，1a＜−3，所以2a＜−6，x1+x2∈（﹣∞，﹣6）；当a＞0时，2a∈(0，+∞)，即x1+x2∈（0，+∞）．综上所述：x1+x2的范围是（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）．（Ⅲ）函数f（x）＝ax2﹣2x﹣3对称轴是x=1 a ，当a＜0时，f（x）在[3，+∞）上f（x）≥0不恒成立，当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣3在[3，+∞）上f（x）≥0不成立，当1a ≤3时，即a≥13时，f（x）在[3，+∞）上单调递增，要使在[3，+∞）上f（x）≥0恒成立，则f（3）＝9a﹣6﹣3≥0，解得a≥1，即a≥1；当1a ＞3时，即0＜a＜13时，f(x)min=f(1a)=1a−2a−3=−1a−3，要使f （x ）≥0在[3，+∞）上恒成立，则−1a −3≥0，解得a ≤−13，矛盾．综上所述，f （x ）≥0在[3，+∞）上恒成立，则a 的取值范围是[1，+∞）．一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x ||x |＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}，则{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝（ ）A ．（1，3）B ．[1，3]C ．[﹣4，1]∪[3，4]D ．（﹣4，1）∪（3，4） 解：集合A ＝{x ||x |＜4}＝{x |﹣4＜x ＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}＝{x |x ＞3或x ＜1}，A ∩B ＝{x |﹣4＜x ＜1或3＜x ＜4}，故{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝{x |1≤x ≤3}．故选：B ．20．若xy ≠0，则“x +y ＝1”是“y x +x y +2=1xy ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由y x +x y +2=x 2+y 2+2xy xy =(x+y)2xy ，可得“y x +x y +2=1xy ”等价于“(x+y)2xy =1xy ”，即x +y＝±1．因此，由x +y ＝1可以得到y x +x y +2=1xy 成立，由y x +x y +2=1xy 不能推出x +y ＝1． 故“x +y ＝1”是“y x +x y +2=1xy ”的充分而不必要条件．故选：A ．21．若x 03+y 03=a （x 0∈Z ，y 0∈Z ），则称（x 0，y 0）是关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ）A ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解B ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解C ．∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解D ．∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有有限组整数解解：对于A ：当a ＝0时，由x 3+y 3＝0，得（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）＝0，解得y ＝﹣x ，∀x ∈Z ，（x ，﹣x ） 是方程x 3+y 3＝0的整数解，所以，∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解为真命题，故A 正确；对于B ：当a ＝1时，方程x 3+y 3＝1，因为x 0∈Z ，y 0∈Z ，所以有且仅有（0，1）和（1，0）时方程x 3+y 3＝1成立，因此，∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解为真命题，故B 正确．对于C ：当a ＝3时，由3＝1×3，3＝3×1，3＝（﹣3）×（﹣1），3＝（﹣1）×（﹣3），仅有这4种整数分解的方法，又x 2﹣xy +y 2≥0，所以{x +y =−1x 2−xy +y 2=−3，无解； 或{x +y =−3x 2−xy +y 2=−1，无解； 或{x +y =1x 2−xy +y 2=3，消去y 得3x 2﹣3x ﹣2＝0，解得x =3±√336，无整数解； 或{x +y =3x 2−xy +y 2=1，消去y 得3x 2﹣9x +8＝0，无解； 综上所述，方程x 3+y 3＝3无整数解，所以，∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解为假命题，故C 错误．对于D ：若关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 存在整数解（x 0，y 0 ）．由x 0∈Z ，y 0∈Z ，则a ∈Z ，∀a ≠0，整数a 至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为a ＝b i c i （i ＝1，2，3，⋯，n ；b i ，c i ∈Z ），由x 3+y 3＝（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）＝a ，得{x +y =b i x 2−xy +y 2=c i，i ＝1，2，3，⋯，n ， 消去y 得3x 2﹣3b i x +b i 2−c i ＝0，i ＝1，2，3，⋯，n ，对于b i （i ＝1，2，3，⋯，n ）的每一个确定的值，此关于x 的二次方程最多有2个整数解，即方程组至多有2组整数解．所以，∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有2n 组整数解，故D 正确．故选：C ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．）22．函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的最小值为 2 ．解：在数轴上，设﹣1、1、x 所对应的点分别是A 、B 、P ，则函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的含义是P 到A 的距离与P 到B 的距离的和，可以分析到当P 在A 和B 之间的时候，距离和为线段AB 的长度，此时最小．即：y ＝|x ﹣1|+|x +1|＝|P A |+|PB |≥|AB |＝2．故答案为：2．23．若∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，则实数a ＝ 2 ．解：∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，即∀x ∈[a ，a +1]，∃1x ∈[13，12]， 所以{1a =121a+1=13，解得a ＝2． 故答案为：2．24．若（x 0，y 0）是方程组{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，则代数式√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|的值为 12 ．解：因为（x 0，y 0）是方程组：{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，可得3y 0＝x 0﹣3， 所以|3y 0﹣1|＝|x 0﹣1﹣3|＝|x 0﹣4|，且（x 0﹣1）2+y 02=x 02−2x 0+1+3（1−x 024）=x 024−2x 0+4=14（x 0﹣4）2， 所以√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|=12|x 0−4||x 0−4|=12． 故答案为：12．25．设a ＞0，函数f(x)={x +2，x ＜−a−x 2+a 2，−a ≤x ≤a −√x −1，x ＞a，给出下列四个结论：①当a ＝2时，f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增；②当a ≥1时，f （x ）存在最大值；③设M （x 1，f （x 1））（x 1≤a ），N （x 2，f （x 2））（x 2＞a ），则|MN |＞1；④若y ＝f （x ），y ＝﹣x 的函数图象有三个公共点，则a 的取值范围是（0，1）．其中所有正确结论的序号是 ①②③④ ．解：依题意，a ＞0，当x ＜﹣a 时，f （x ）＝x +2，其图像为一条右端点取不到的单调递增的射线；当﹣a ≤x ≤a 时，f （x ）＝﹣x 2+a 2，开口向下，对称轴为y 轴，与x 轴交点为（﹣a ，0），（a ，0）， 其图象为抛物线y ＝﹣x 2+a 2 位于x 轴上方（含x 轴交点）部分；当x ＞a 时，f （x ）=−√x −1，其图像是一条左端点取不到的单调递减的曲线；对于①：若a ＝2，则f （x ）的图像如下：由图像可知：f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故①正确；对于②：当a≥1时，则有：若x＜﹣a时，f（x）＝x+2＜﹣a+2≤1；若﹣a≤x≤a时，f（x）＝﹣x2+a2，显然取得最大值a2＞1；若x＞a时，f(x)=−√x−1＜−√a−1≤﹣2．综上所述：f（x）取得最大值a2，故②正确；对于③：当﹣a≤x1≤a时，结合图像，易知在x1＝a，x2＞a且接近于x＝a处，M（x1，f（x1））（x1≤a），N（x2，f（x2））（x2＞a）的距离最小，当x1＝a时，y1＝f（x1）＝0，当x2＞a且接近于x＝a处，y2＝f（x2）＜−√a−1，此时|MN|＞y1﹣y2＞√a+1＞1；当x1＜a时，若0＜a＜2时，部分射线在x轴上方，此时|MN|＞√a+1＞1；若a≥2时，此时|MN|＞2a≥4；综上所述：|MN|＞1，故③正确；对于④：当x＜﹣a时，令x+2＝﹣x，解得x＝﹣1，可知此时y＝f（x）与y＝﹣x至多有1个交点；当﹣a≤x≤a时，由图象f（x）的图像可知：此时y＝f（x）与y＝﹣x有且仅有一个交点；当x＞a时，令−√x−1=−x，整理得x−√x−1=0，解得√x =1+√52或√x =⋅1−√52（舍去），所以x =3+√52， 可知此时y ＝f （x ）与y ＝﹣x 至多有一个交点；综上所述：y ＝f （x ）与y ＝﹣x 的图象有三个公共点，可知，y ＝f （x ）与y ＝﹣x 在x ＜﹣a 和x ＞a 内均有一个交点，则{a ＞0−a ＞−1a ＜3+√52，解得0＜a ＜1， 所以a 的取值范围是（0，1），故④正确．故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26．（12分）对非空数集T ，给出如下定义：定义1：若∀x ，y ∈T ，当x +y ≠x ﹣y 时，{x +y ，x ﹣y }∩T ≠∅，则称T 为强和差集；定义2：若∀x ，y ∈T ，当x +y ≠|x ﹣y |时，{x +y ，|x ﹣y |}∩T ≠∅，则称T 为弱和差集．（Ⅰ）分别判断{0，1}是否为强和差集，{1，2}是否是弱和差集，并说明理由；（Ⅱ）若集合A ＝{1，a ，b }是弱和差集，求A ；（Ⅲ）若强和差集B 的元素个数为12，且1∈B ，求满足条件的集合B 的个数．解：（Ⅰ）由题∀x ，y ∈{0，1}，根据强和差集定义，当x +y ≠x ﹣y 时，x 与y 的所有取值可能为{x =0y =1,，{x =1y =1，都满足{x +y ，x ﹣y }∩{0，1}≠∅， 所以{0，1}是强和差集．∀x ，y ∈{1，2}，根据弱和差集定义，当x +y ≠|x ﹣y |时，x 与y 的所有取值可能为{x =1y =1,，{x =1y =2,，{x =2y =2,，{x =2y =1， 其中{x =2y =2时不满足{x +y ，|x ﹣y |}∩{1，2}≠∅． 所以{1，2}不是弱和差集．（Ⅱ）若集合A ＝{1，a ，b } 是弱和差集，则当{x =1y =1时，{x +y ，|x ﹣y |}＝{2，0}，由题意有{2，0}∩{1，a ，b }≠∅，若0∉{1，a ，b }，则2∈{1，a ，b }，当{x =2y =2时，{4，0}∩{1，a ，b }≠∅⇒4∈{1，a ，b }继续重复以上步骤8∈{1，a ，b }，显然矛盾．所以必有0∈{1，a ，b }，不妨a ＝0，则A ＝{1，0，b }，b ≠0，b ≠1．当{x =1y =b，有{1+b ，|1﹣b |}∩{1，0，b }≠∅， 若1+b ＝0⇒b ＝﹣1，此时A ＝{1，0，﹣1}为弱和差集．若|1−b|=b ⇒b =12，此时A ={1，0，12}为弱和差集．若|1﹣b |＝1⇒b ＝2，此时，A ＝{1，0，2}为弱和差集．所以A ＝{1，0，﹣1}或A ={1，0，12}或A ＝{1，0，2}．（Ⅲ）因为B 为强和差集且1∈B ，如果B 中有其它正数，设其最大值为m （m ＞1），根据强和差集定义得m +1∉B ，m ﹣1∈B ，1﹣m ∈B ，即集合B 有一定的对称性，当{x =m y =m 时，{2m ，0}∩B ≠∅，所以0∈B ．所以以0，1为对称中心依次列出12元素的集合可得：{﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6}与{﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，另根据定义可验证得一个强和差集的一个倍数也是强和差集，但必须满足1∈B ，故满足条件的集合B 只有2 个．。

北京市人大附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试题【含答案】2020年11月4日说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷18道题，共100分，Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共25题，合计150分，考试时间120分钟 Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分）1．设全集{}2,3,4,5,6,7U =，集合{}2,4,5M =，{}3,5,7N =，则()UN M ⋂=（ ）． A ．{}5B ．{}3,7C ．{}2,3,4,5,7D ．{}2,3,4,6,72．下列函数中，既是奇函数，又是在区间()0,+∞上单调递增的函数为（ ）． A ．1y x -=B ．y x x =C ．y x =-D ．21y x =-3．已知命题:0p x ∀≥，20x ->，则p ⌝是（ ）． A ．0x ∃≥，20x -≤ B ．0x ∃<，20x -≤ C ．0x ∀≥，20x -≤D ．0x ∀≥，20x -<4．不等式2560x x -->的解集为（ ）． A ．{}32x x x ><-或 B ．{}23x x x ><-或 C ．{}61x x x ><-或D ．{}16x x -<<5．函数()35f x x =-的零点所在的区间是（ ）． A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4D ．()4,56．若a b >，则下列不等关系一定成立的是（ ）． A ．1ab> B ．11a b< C ．a b >D ．33a b -<-7．函数2x y x=的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．8．“2x <”是“2x <”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个正的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．0m > B ．0m ≥ C ．1m ≥D ．1m >10．若关于x 的不等式()()2121x x a x -+≥-对于一切()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(],4-∞ B ．[)4,+∞ C ．(],6-∞D ．[)6,+∞二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置） 11．函数()13xf x x-=+的定义域为______．12．若函数()()()2f x x x a =+-是偶函数，则()3f =______．13．奇函数()f x 的定义域为()1,1-，()f x 在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，如图所示，则不等式()f x x <的解集为______．14．已知函数()2f x x =，如果对[]10,1x ∀∈，[]20,1x ∀∈，使得()()12f xg x =成立，请给出一个满足上述条件的函数()g x ，则()g x 的解析式为______． 15．设函数()2,2,x x a x x a f x x ≥⎧=⎨-+<⎩①若x R ∃∈，使得()()11f x f x +=-成立，则实数a 的取值范围是______． ②若函数()f x 为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置）16．已知集合{}13A x a x a =-≤≤+，{}22150B x x x =-->． （1）当3a =时，求A B ⋂；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围．17．经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期．该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题．具体如下：年存储成本费T （元）关于每次订货量x （单位）的函数关系为()2bx acT x x=+，其中a 为年需求量，b 为每单位物资的年存储费，c 为每次订货费，某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨每吨存储费为120元年，每次订货费为2500元． （1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？18．已知函数()12f x x x=- （Ⅰ）判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并用函数单调性定义证明；（Ⅱ）关于x 的方程()()()0,f x b f x c b c R ++=∈有6个不同的实数根()1,2,3,4,5,6i x i =．则： （1）123456x x x x x x =______．（2）求b ，c 满足的条件．（直接写出答案） Ⅱ卷（共7道题，满分50分）一、选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 19．使不等式101x<<成立的一个充分不必要条件是（ ）． A ．102x << B ．1x > C ．2x >D ．0x <20．若指数函数()xf x a =的图象和函数()()351g x x x =+≥-图象相交，则（ ）． A ．10,2a ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦B ．1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．()10,1,2a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦21．已知函数()141,041341,44345,14x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩对于给定的()01m m R m ∈<<且存在[]00,1x m ∈-，使得()()00f f x x m =+，则m 的最大值为（ ）． A ．13 B ．23 C ．12-D ．34二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分，请把结果填在答题纸上的相应位置）22．设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______．23．自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用． 在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()x x f x ae be -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数2.71828e =…）（1）如果()f x 为单调函数．写出满足条件的一-组值：a =______，b =______． （2）如果()f x 的最小值为2，则a b +的最小值为______．24．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义()1,,0,i i A A i Aϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i A B ϕ⋂=且()1A B ⋃=； ②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋃=+；③设{}*2,A x x n n N ==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，对任意*i N ∈，都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=其中正确结论的序号为______．三、解答题（本小题14分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置） 25．已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈（Ⅰ）若集合{}1,3A =，直接写出小强数学集合S ，T（Ⅱ）若集合{}1234,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+（Ⅲ）若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S ，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值．参考答案和评分标准2020.11.4 阅卷须知：1．评分参考中所注分数，表示考生正确做了该步应得的该步骤分数． 2．其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分． 第Ⅰ卷（共17题，满分100分）一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BBACADABDC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）题号 11 12 13 14 15答案(]3,1-522,0,122⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22g x x =（答案不唯一）1a > 0a ≤或者1a =注：11题和13题如果未写成区间或者集合形式．三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 16．解：（1）由题可得：{}26A x x =≤≤ {}53B x x x =><-或则{}56A B x x ⋂=<≤（2）因为A B B ⋃=，则A B ⊆， 所以：33a +<-或15a -> 即：6a <-或6a >所以a 的取值范围为()(),66,-∞-⋃+∞ 【注：a 的取值范围写成不等式】 17．解：（1）有题意可得：()120600025002x T x x⨯=+，06000x <≤． 将300x =代入，得()30068000T =． 因此，该化工厂年存储成本费为68000元． （2）因为1206000250012060002500222x x ⨯⨯⨯+≥， 所以()60000T x ≥，当且仅当500x =，且(]5000,6000∈时，等号成立．因此，每次订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60000元． 18．解： （Ⅰ）证明：任取1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，则()()2121211122f x f x x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ ()()12121212121220x x x x x x x x x x ⎡⎤-=+-=-+>⎢⎥⎣⎦因为120x x <<，所以120x x -<，120x x >，12120x x +>． 所以()()210f x f x -<．即()()12f x f x >． 所以()f x 是()0,+∞上的减函数．【注：没有“任取”或者“∀”，体现任意性词语和符号】 （Ⅱ）（1）18-（2）0b <，0c =Ⅱ卷（共7道题，满分50分)一、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）题号 19 20 21 答案CDC二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）题号 22 2324 答案89a=1，1b =-（答案不唯一0ab <即可）2①③三、解答题 25．解：（1）根据题意，由{}1,3A =，则{}2,4,6S =，{}0,2T =； （2）由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =， 所以T 中也只包含四个元素， 即{}2131410,,,T x x x x x x =---， 剩下的324321x x x x x x -=-=-， 所以1423x x x x +=+；（3）设{}12,,k A a a a =⋅⋅⋅满足题意，其中12k a a a <<⋅⋅⋅<，则11213223122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<⋅⋅⋅<+<+<+<⋅⋅⋅<+<，21S k ∴≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<⋅⋅⋅<-，T k ∴≥，S T ⋂=∅，31S T S T k ⋃=+≥-， S T ⋃中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，21k S T a ∴⋃≤+，()*31214041k k a k N ∴-≤+≤∈， 1347k ≤，实际上当{}674,675,676,,2020A =⋅⋅⋅时满足题意， 证明如下：设{},1,2,,2020A m m m =++⋅⋅⋅，m N ∈，则{}2,21,22,,4040S m m m =++⋅⋅⋅，{}0,1,2,,2020T m =⋅⋅⋅-，依题意有20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多， 即{}674,675,676,,2020A =⋅⋅⋅时满足题意， 综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347．。

北京2023-2024学年第一学期期中练习（答案在最后）高一数学2023.10说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则M N ⋂=（）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1 C.{}2- D.{}2,1--2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，20012x x +≤”的否定为A.(0,)x ∀∈+∞，21x x +>2 B.(0,)x ∀∈+∞，212x x +≤C.(,0)x ∀∈-∞，212x x+≤ D.(],0x ∀∈-∞，21x x+>23.已知关于x 的方程220x x m -+=的两根同号，则m 的取值范围是（）A.1m ≤B.0m ≤C.01m <≤D.01m ≤≤4.已知函数()()()22111x x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则()()1f f -的值为（）A.3B.0C.1- D.2-5.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增且是奇函数的是（）A.1y x =+B.1y x x=-C.y x= D.2y x =7.已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A.b a c a-<+ B.2c ab< C.c c b a> D.b c a c<8.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，()31f x x =-，则(0)(4)f f +=（）A.12B.12- C.13D.13-9.已知当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(),8∞- B.(],8∞- C.[)8,+∞ D.()6,+∞10.对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是()A.若,A B ⊆则()()A B f x f x ≤B.()()1R A A f x f x =-ðC.()()()A B A B f x f x f x =⋅ D.()()()A B A B f x f x f x =+ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()f x =__________．12.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为()()0,4,2,0,()6,4，则()2f x ≤的解集为________.13.定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个论断：①()f x 在R 上单调递增；②1x >；③()()1f x f >.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：__________，_________推出___________.（把序号写在横线上）14.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过312m 的部分3元/3m 超过312m 但不超过318m 的部分6元/3m 超过318m 的部分9元/3m 若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.15.设函数()243,01,0x x x f x x x⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩.给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是R ；②()1212,(2,)x x x x ∀∈-+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-；③00x ∃>，使得()()00f x f x -=；④若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是()3,-+∞.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式260x x --<的解集为B .（1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.17.已知函数()231x f x x -=+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在()1,-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[]1,4上的值域.18.已知二次函数()f x 的最小值为1，且()()023f f ==.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]3,1--上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，确定实数m 的取值范围.19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()3R,0845mP x x x =∈≤≤+．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S 为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m 的值及用x 表示S ；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．20.已知()f x 是定义域为R 的函数，若对任意12,x x ∈R ，12x x S -∈，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联.（1）判断和证明函数()21f x x =+是否是[)0,∞+关联?是否是[]0,1关联?（2）若()f x 是{}3关联，当[)0,3x ∈时，()22f x x x =-，解不等式：()23f x ≤≤.北京2023-2024学年第一学期期中练习高一数学2023.10说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则M N ⋂=（）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1 C.{}2- D.{}2,1--【答案】D 【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合M N ⋂.【详解】因为集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则{}2,1M N ⋂=--.故选：D.2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，20012x x +≤”的否定为A.(0,)x ∀∈+∞，21x x +>2B.(0,)x ∀∈+∞，212x x +≤C.(,0)x ∀∈-∞，212x x +≤D.(],0x ∀∈-∞，21x x+>2【答案】A 【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，并将结论否定，即可得答案.【详解】命题“0(0,)x ∃∈+∞，20012x x +≤”的否定为“(0,)x ∀∈+∞，21x x +>2”.故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定的书写，是基础题.3.已知关于x 的方程220x x m -+=的两根同号，则m 的取值范围是（）A.1m ≤B.0m ≤C.01m <≤D.01m ≤≤【答案】C【解析】【分析】利用判别式和韦达定理解决.【详解】关于x 的方程220x x m -+=的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零，则有Δ4400m m =-≥⎧⎨>⎩，解得01m <≤.故选：C4.已知函数()()()22111x x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则()()1f f -的值为（）A.3B.0C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】先求()1f -，进而求出()()1ff -.【详解】由题意得，()()()211213f -=--⨯-=，则()()()13312f f f -==-+=-.故选：D.5.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求11a <的解集，再利用充分必要条件的概念即可判断.【详解】由11a <得10a a->，此不等式与不等式(1)0a a ->同解，解得a<0或1a >.所以，当1a >时，11a<一定成立，故充分性成立；当11a<即a<0或1a >时，1a >不一定成立，故必要性不成立.综上所述，“1a >”是“11a<”的充分不必要条件.故选：A.6.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增且是奇函数的是（）A.1y x =+ B.1y x x=-C.y x =D.2y x =【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性的定义即可得到答案.【详解】对于A ，当0x =时，10y =≠，所以1y x =+不是奇函数，故A 错误；对于B ，因为()1y f x x x==-的定义域为{}|0x x ≠，又()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭，所以1y x x =-为奇函数，因为1,y x y x==-在区间()0,∞+上单调递增，所以1y x x=-在区间()0,∞+上单调递增，故B 正确；对于C ，因为()y f x x ==的定义域为R ，又()()f x x f x -=-=，所以y x =为偶函数，故C 错误.对于D ，因为()2y f x x ==的定义域为R ，又()()()2f x x f x -=-=，所以2y x =为偶函数，故D 错误.故选：B.7.已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A.b a c a -<+B.2c ab< C.c c b a> D.b c a c<【答案】D 【解析】【分析】由数轴知0c b a <<<，不妨取=3,2,1c b a -=-=-检验选项得解.【详解】由数轴知0c b a <<<，不妨取=3,2,1c b a -=-=-，对于A ，2121-+>-- ，∴不成立.对于B ，2(3)(2)(1)->-- ，∴不成立.对于C ，3231-<---，∴不成立.对于D ，(3)1(3) 2-<´--´-，因此成立.故选：D ．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．8.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，()31f x x =-，则(0)(4)f f +=（）A.12B.12- C.13D.13-【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 为R 上的奇函数，求出()()0,4f f .【详解】因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，()()4413f f =--=，所以()()0413f f +=.故选：C9.已知当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(),8∞- B.(],8∞- C.[)8,+∞ D.()6,+∞【答案】A 【解析】【分析】将参数m 与自变量分离，利用基本不等式求得最值即可得出实数m 的取值范围.【详解】根据题意当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则2,01616m x x x xx +=+<>恒成立，只需min 16m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭<即可；易知当0x >时，由基本不等式可得168x x +≥=，当且仅当4x =时取等号；所以min816x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即8m <，所以实数m 的取值范围是(),8∞-.故选：A10.对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A Ux A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是()A.若,A B ⊆则()()A B f x f x ≤B.()()1R A A f x f x =-ðC.()()()A B A B f x f x f x =⋅D.()()()A B A B f x f x f x =+ 【答案】D 【解析】【分析】根据()()()1A Ux A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð,逐项分析,即可求得答案.【详解】 ()()()1A Ux A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð对于A, A B ⊆,分类讨论：①当x A ∈,则,x B ∈此时()()1A B f x f x ==②当x A ∉且x B ∉,即U x B ∈ð,此时()()0A B f x f x ==，③当x A ∉且x B ∈,即()U x A B ∈⋂ð时,()0,()1A B f x f x ==,此时()()A B f x f x ≤综合所述,有()()A B f x f x ≤,故A 正确;对于B ,1, ()1()0,A UU A x A f x f x x A∈⎧==-⎨∈⎩ðð,故(2)正确；对于C ,1,()0,()A B U x A Bf x x C A B ⋂∈⋂⎧=⎨∈⋂⎩()1,0,U U x A B x C A C B ∈⋂⎧=⎨∈⋃⎩1,1,0,0,U U x A x B x C A x C B ⎧∈∈⎧⎪=⋅⎨⎨∈∈⎪⎩⎩()()A B f x f x =⋅,故C 正确;对于D ,0,()()()1,()A B A B U x A Bf x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩,故D 错误.故选:D.【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()f x =__________．【答案】1[,)2+∞【解析】【详解】依题意，1210,2x x -≥≥.12.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为()()0,4,2,0,()6,4，则()2f x ≤的解集为________.【答案】{|14}x x ≤≤【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.【详解】当()2f x ≤时，由图象可知14x ≤≤，即()2f x ≤的解集为{|14}x x ≤≤.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.13.定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个论断：①()f x 在R 上单调递增；②1x >；③()()1f x f >.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：__________，_________推出___________.（把序号写在横线上）【答案】①.①（答案不唯一）②.②（答案不唯一）③.③（答案不唯一）【解析】【分析】根据单调性和范围即可推出不等式.【详解】①②推出③；证明：当()f x 在R 单调递增且当1x >时，有()(1)f x f >，得证.①③推出②；证明：当()f x 在R 单调递增且当()(1)f x f >时，有1x >，得证.①②无法推出③；取()()21f x x =-，此时满足1x >且()(1)f x f >，但不满足()f x 在R 单调递增.故答案为：①；②；③.（答案不唯一）14.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过312m 的部分3元/3m 超过312m 但不超过318m 的部分6元/3m 超过318m 的部分9元/3m 若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.【答案】320m ##20立方米【解析】【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量.【详解】设用水量为x 立方米，水价为y 元，则()3,01236612,1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得到：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当012x ≤≤时，036y ≤≤；1218x <≤时，3672y <≤；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，令99090x -=，则20x =（立方米），故答案为：320m .15.设函数()243,01,0x x x f x x x⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩.给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是R ；②()1212,(2,)x x x x ∀∈-+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-；③00x ∃>，使得()()00f x f x -=；④若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是()3,-+∞.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①③④【解析】【分析】对于①，利用二次函数与反比例函数的图像性质画出函数图1，结合图像即可判断；对于②，举反例排除即可；对于③，将问题转化为243y xx =-+与1y x=-有交点，作出图2即可判断；对于④，结合图1对123,,x x x 进行分析即可.【详解】对于①，因为()243,01,0x x x f x x x⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，所以由二次函数与反比例函数的图像性质可画出函数图象，如图1，由()f x 的图像易知()f x 的值域是R ，故①正确；对于②，易得()03f =，()11f =-，显然()f x 在()2,-+∞上并不单调递增，所以②说法不成立，故②错误；对于③，假设存在00x ∃>，()()00f x f x -=，则()()2000143x x x -+-+=-，即200143x x x -+=-，即243y xx =-+与1y x=-有交点，作出图像，如图2，显然假设成立，故③正确；对于④，由图1易知1222+=-x x ，则124x x +=-，因为()21f -=-，所以()310f x -<<，即3110x -<-<，解得31x >，所以12334413x x x x ++=-+>-+=-，即123x x x ++的取值范围是()3,-+∞，故④正确；综上：①③④正确.故答案为：①③④.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式260x x --<的解集为B .（1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|22}A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<（2）[0,1]【解析】【分析】（1）解绝对值不等式和二次不等式即可得解；（2）利用集合的包含关系得到关于a 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】因为||2x a -<，所以22x a -<-<，则22a x a -<<+，所以{|22}A x a x a =-<<+，因为260x x --<，所以(2)(3)0x x +-<，解得23x -<<，所以{|23}B x x =-<<【小问2详解】因为A B ⊆，因为22a a -<+恒成立，所以A ≠∅，所以2223a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，故a 取值范围为[0,1].17.已知函数()231x f x x -=+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在()1,-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[]1,4上的值域.【答案】（1）证明见解析（2）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）任取()12,1,x x ∈-+∞，且12x x <，通过计算()()12f x f x -的正负来判断单调性；（2）由函数()f x 在区间[]1,4上单调性求出最值即可.【小问1详解】任取()12,1,x x ∈-+∞，且12x x <，则()()()()()()()()()()()122112121212121223123152323111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x -+--+----=-==++++++，因为()12,1,x x ∈-+∞，12x x <，所以120x x -<，110x +>，210x +>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,-+∞上是增函数.【小问2详解】由（1）知()f x 在区间[]1,4上单调递增，所以()()min 112f x f ==-，()()max 41f x f ==，所以函数()f x 在区间[]1,4上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.已知二次函数()f x 的最小值为1，且()()023f f ==.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]3,1--上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，确定实数m 的取值范围.【答案】（1）()2243f x x x =-+，x ∈R（2）5m <【解析】【分析】（1）利用二次函数解析式的顶点式、待定系数法分析运算即可得解.（2）由题意将图象的位置关系转化为不等式，利用分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【小问1详解】解：由题意，设二次函数()()21=-+f x a x m ，0a >，∵()()023f f ==，∴()()22013213a m a m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：21a m =⎧⎨=⎩，∴()()22211243f x x x x =-+=-+，x ∈R .【小问2详解】解：∵在区间[]3,1--上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，∴2243221x x x m -+>++在区间[]3,1--上恒成立，即231m x x <-+在区间[]3,1--上恒成立，令()231g x x x =-+，则在区间[]3,1--上()m g x <恒成立，∴()min m g x <，∵函数()231g x x x =-+图象的对称轴为32x =，开口向上，∴函数()231g x x x =-+在区间[]3,1--上单调递减，∴()()min 15=-=g x g ，则5m <，∴实数m 的取值范围是(),5-∞.19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()3R,0845mP x x x =∈≤≤+．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S 为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m 的值及用x 表示S ；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．【答案】（1）15m =，1800845S x x =++（08x ≤≤）；（2）当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用S 取得最小值110万元.【解析】【分析】（1）利用给定条件，求出m 的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.【小问1详解】设隔热层厚度x ，依题意，每年的能源消耗费用为：345mP x =+，而当0x =时，9P =，则395m=，解得15m =，显然建造费用为8x ，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：45180040840884545S P x x x x x =+=⨯+=+++（08x ≤≤）.【小问2详解】由（1）知()180018008245104545S x x x x =+=++-++1026010110≥=⨯-=，当且仅当()180024545x x =++，即 6.25x =时取等号，所以当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用S 取得最小值110万元．20.已知()f x 是定义域为R 的函数，若对任意12,x x ∈R ，12x x S -∈，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联.（1）判断和证明函数()21f x x =+是否是[)0,∞+关联?是否是[]0,1关联?（2）若()f x 是{}3关联，当[)0,3x ∈时，()22f x x x =-，解不等式：()23f x ≤≤.【答案】（1）()f x 是[)0,∞+关联，不是[]0,1关联（2）{}15x x +≤≤【解析】【分析】（1）根据关联定义直接判断即可；（2）先根据关联定义确定函数()f x 满足的性质，再结合[)0,3x ∈时的解析式画出函数图像，结合图像即可求解.【小问1详解】任取12,x x ∈R ，若[)120,x x -∈+∞，则()()()[)121220,f x f x x x -=-∈+∞所以()f x 是[)0,∞+关联；若[]120,1x x -∈，则()()()[]121220,2f x f x x x -=-∈，所以()f x 不是[]0,1关联.【小问2详解】由题意知，当123x x -=时，()()123f x f x -=，即()()33f x f x +-=，由于当[)0,3x ∈时，()22f x x x =-，所以画出()f x 的图像如图，当[)0,3x ∈时，令()222f x x x =-=得1x =，令()220f x x x =-=得0x =或2x =，结合图像求出点()12A +，()5,3B ，所以当()23f x ≤≤时，15x +≤≤，。

2022北京人大附中高一（上）期中数 学2022年11月2日第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 1．下列表示同一集合的是（ ） A ．(){}3,2M =，(){}2,3N =B ．(){},M x y y x ==，{}N y y x ==C ．{}1,2M =，{}2,1N =D ．{}2,4M =，(){}2,4N =2．下列函数是偶函数且在()0,+∞单调递减的是（ ） A ．2y x = B ．y x =C ．1y x=D ．21y x =3．函数()21xf x x =+的图象是（ ） A ．B ．C ．D ．4．若123x x +=，22125x x +=，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（ ） A ．2320x x −+=B ．2320x x +−= C ．2320x x ++= D ．2320x x −−=5．已知a b c >>，则下列说法一定正确的是（ ） A ．ab bc > B ．a b c >> C ．22ac bc > D ．2a b c >+ 6．若命题“x R ∃∈，一元二次不等式210x mx ++<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2m ≤−或2m ≥B ．22m −<<C ．2m <−或2m >D ．22m −≤≤7．定义域与对应法则称为函数的两个要素，下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．()2f x =与()g x x =B ．()4211x f x x −=+与()21g x x =−C ．()f x =()g x x =D ．()f x =()1g x = 8．“0ab >”是“2b aa b+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．设函数()31x f x x +=+，则下函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x −−B ．()11f x −+C ．()11f x +−D ．()11f x ++10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和a m （010a <≤），设此矩形菜园ABCD 的最大面积为u ，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数()u f a =（单位：2m ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数()f x x=的定义域为______． 12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息“预约”是“游园”的______条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）13．已知一元二次方程()22430a x x −++=有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为______．14．已知函数()21f x x =−，()()20g x kx k =+>，若[]12,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈−，使()()12f x g x =成立，则实数k 的取值范围是______． 15．函数()()211f x ax a x =−++，11,22x ⎛⎫∈−⎪⎝⎭，若()f x 在定义域上满足： ①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．已知集合{}1,2,3A =，{}10B x ax =−≥ （Ⅰ）当2a =时，求A B ⋂与A B ⋃； （Ⅱ）若______，求实数a 的取值范围．请从①A B A ⋂=；②x A ∀∈，x B ∉；③“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件； 这三个条件中选择一个填入（Ⅱ）中横线处，并完成第（Ⅱ）问的解答 （如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 17．设函数()()224f x x ax a R =−+∈（Ⅰ）当9a =时，求不等式()0f x <的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≥对()0,x ∀∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围 18．已知函数()()2af x x a R x=+∈ （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性并证明；（Ⅱ）若a ＝2，判断()f x 在[)1,+∞的单调性，并用单调性定义证明第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）19．已知集合{}53A x x =−<<−，{}232B x a x a =−<<−，若A B A ⋃=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．{}1−C ．[){}1,1+∞⋃−D ．R20．已知0x >，0y >，3a +=，))3220222a +−=−，则x ＋y 的最小值是（ ） A ．1BC ．2D ．421．()()()()123f x x x x x =+++的最小值为（ ） A ．－1B ．－1.5C ．－0.9375D ．前三个答案都不对22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若{}{},,1,2,3,4,5A a b c =⊆，且A 为互斥集，则111a b c++的最大值为（ ）A ．116B ．1312C ．74D ．4760二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．） 23．关于x 的方程221x t xx x x−=−−的解集中只含有一个元素，则t 的所有可能取值集合为______． 24．已知0k ≥，函数1,02,0x k x y x x k−++≥⎧⎪=⎨<⎪−+⎩有最大值，则实数k 的取值范围是______．25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数()y f x =为集合A 上的等域函数 ①若{}1,2A =，则A 上的等域函数有______个；②若[],A m n ∃=，使()()211f x a x =−−为A 上的等域函数，a 的取值范围是______．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置） 26．对于正整数集合A ，记{}{},A a x x A x a −=∈≠，记集合X 所有元素之和为()S X ，()0S ∅=，若x A ∃∈，存在非空集合1A ，2A ，满足：①12A A ⋂=∅；②{}12A A A x ⋃=−；③()()12S A S A =称A 存在“双拆”，若x A ∀∈，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”（Ⅰ）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（Ⅱ）{}12345,,,,A a a a a a =，证明：A 不能“任意双拆”； （Ⅲ）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值参考答案Ⅰ卷1．C 2．D 3．B 4．A 5．D 6．D 7．B 8．C 9．A 10．B 11．()(],00,3−∞⋃ 12．必要不充分/必要 13．(),2−∞14．[)1,+∞15．()1,11,2⎛⎤−∞−⋃−− ⎥⎝⎦Ⅱ卷一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分） 19．C 20．C 21．A 22．C二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 23．{}1,3,0−24．[)1,+∞25．2；(]1,00,18⎛⎫−⋃ ⎪⎝⎭注：25题答案只要不对均得0分． 16．（共12分）解：（Ⅰ）当2a =时，{}1210,2B x x ⎡⎫=−≥=+∞⎪⎢⎣⎭∴{}1,2,3A B ⋂= ∴1,2A B ⎡⎫+∞=⎢⎣⋃⎪⎭（Ⅱ）若选条件①或③，则“A B A ⋂=”或者“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件． 可得A B ⊆法一：当0a =时，B =∅，不合题意； 当0a <时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，又{}1,2,3A =，不合题意； 当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，∴11a≤，解得1a ≥． 法二：由1，2，3B ∈，得10210310a a a −≥⎧⎪−≥⎨⎪−≥⎩，解得1a ≥综上所述：实数a 的取值范围为[)1,+∞ 若选条件②，∵x A ∀∈，x B ∉，∴A B ⋂=∅． 法一：当0a =时，B =∅，满足题意； 当0a <时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，又{}1,2,3A =，∴11a <，解得：0a <或1a >（舍），∴0a <； 当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，又{}1,2,3A =，∴13a >，解得：103a <<．法二：∵A B ⋂=∅，则1，2，3B ∉，即10210310a a a −<⎧⎪−<⎨⎪−<⎩，解得13a <综上所述：实数a 的取值范围为1,3⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭17．（共11分）解：（Ⅰ）当9a =时，()0f x <，即22940x x −+<，整理得()()2140x x −−<，（本步不是给分点，其它方法酌情给分） 解得142x <<． 故所求不等式的解集为1,42⎛⎫⎪⎝⎭．（没写成集合扣1分．） （Ⅱ）()0f x ≥对()0,x ∀∈+∞恒成立，即2240x ax −+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，法一：即42a x x≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，42x x +≥=42x x =即x =故42y x x =+在()0,x ∈+∞最小值为所以a ≤a的取值范围为(,−∞．法二：二次函数()224f x x ax =−+过()0,4当对称轴04ax =≤时符合题意，解得0a ≤； 当对称轴04a x =>时，只需2320a ∆=−≤，解得0a <≤综上所述a的取值范围为(,−∞．18．（共12分）解：（Ⅰ）当0a =时，()2f x x =，定义域为R 或{}0x x ≠均可，关于原点对称．此时()()f x f x −= ∴()f x 为偶函数； 当0a ≠时，()2af x x x=+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 此时()l 1f a =+，()11f a −=−，故()()l 1f f ≠−且()()11f f ≠−− ∴()f x 无奇偶性．（其他方法也可）综上，当0a =时，()f x 为偶函数；当0a ≠时，()f x 无奇偶性． （Ⅱ）若2a =，()22f x x x=+，()f x 在[)1,x ∈+∞上是单调递增的， 任取1x ，[)21,x ∈+∞，设12x x <()()()2221212112122112222x xf x f x x x x x x x x x x x −−=+−−=+−⎡⎤⎣⎦， ∵211x x >≥，∴121x x >，112x x +>，∴()12122x x x x +>，即()121220x x x x +−> 又210x x −>，1210x x >>， ∴()()210f x f x −>，所以()f x 在[)1,+∞上是单调递增． 26．（共15分）解：（Ⅰ）集合{}1,2,3,4可“双拆”，不可“任意双拆”． 集合{}1,3,5,7,9,11不可“双拆” （Ⅱ）不妨设12345a a a a a <<<<． 反证法，如果可以“任意双拆”若去掉的元素为1a ，将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534a a a a +=+①，或者5234a a a a =++②若去掉的元素为2a ，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a a a a +=+③，或者5134a a a a =++④；由①、③，得12a a =，矛盾；由②、③得12a a =−，矛盾； 由①、④，得12a a =−，矛盾；由②、④，得12a a =，矛盾 因此当5n =时，集合A 一定不能“任意分拆”； （Ⅲ）设集合{}12,,,n A a a a =由题可知()()1,2,,i S A a i n −=均为偶数，因此()1,2,,i a i n =均为奇数或偶数． 如果()S A 为奇数，则i a 也均为奇数，由于()12n S A a a a =+++，所以n 为奇数．如果()S A 为偶数，则i a 均为偶数． 此时设2i i a b =，则{}12,,,n b b b 也是可“任意分拆”的．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的可“任意分拆”集．此时各项之和也为奇数，则集合A 中元素个数n 为奇数．综上所述，集合A 中元素个数为奇数．当3n =时．显然任意集合{}123,,a a a 不可“任意分拆”．当5n =时，第（2）问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不可“任意分拆”． 故7n ≥当7n =时，集合{}1,3,5,7,9,11,13A =， 因为：3＋5＋7＋9＝11＋13，1＋9＋13＝5＋7＋11，9＋13＝1＋3＋7＋11，1＋3＋5＋11＝7＋13， 1＋9＋11＝3＋5＋13，3＋7＋9＝1＋5＋13，1＋3＋5＋9＝7＋11， 则集合A 可“任意分拆”．所以集合A 中元素个数n 的最小值是7。

2018-2019学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知命题：“”，则是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以命题是，故选D. 【考点】命题的否定.2．已知集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】，；．故选：D．【点睛】本题考查交集的运算，描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法是基础题3．下列图形是函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据函数的定义以及函数与图象之间的关系进行判断即可．【详解】A当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数B．满足函数的定义，则图象是函数图象C．当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数D．当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数故满足条件的图象是B，故选：B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的定义是解决本题的关键．比较基础．4．函数的定义域为，则函数定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据的定义域即可得出需满足：，从而得出的定义域．【详解】的定义域为；满足；；的定义域为．故选：B．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，已知的定义域求定义域的方法，是基础题5．“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用指数函数的单调性，结合充要条件推出结果即可．【详解】指数函数，是增函数，所以“”“”，“”“”，可得“”是“”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充要条件以及指数函数的单调性的应用，是基础题．6．已知集合，集合，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合代表不等式的解集，可求，再根据得到关于的不等式，即可得到的范围．【详解】因为集合，所以，又因为，故．故选：B．【点睛】本题考查集合的基本关系，解题时，要注意端点的取舍，本题属基础题．7．已知函数，函数在下列区间一定存在零点（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知函数解析式分别求得，，，，的值，再由函数零点的判定得答案．【详解】，，，，，，，由函数零点判定定理可知，在上一定存在零点．故选：A．【点睛】本题考查函数零点的判定，考查函数值的求法，熟记零点存在基本定理是关键，是基础题．8．年至年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，将年份作为自变量，当年电影放映场次作为函数值，下列函数模型中，最不适合近似描述这年间电影放映场次逐年变化规律的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数在第一象限内是增函数进行判断．【详解】由图象可知在第一象限内，是关于的增函数，A、B、C均合题意当时，在第一象限内是减函数，当时，在第一象限内没有图象，故不适合．故选：D．【点睛】本题考查函数模型的应用及函数的单调性判断，熟记基本初等函数的基本性质是关键，属于中档题．二、填空题9．比较大小：__________.【答案】【解析】根据指数函数的单调性即可比较出与的大小．【详解】是上的减函数；．故答案为：．【点睛】本题考查指数函数的单调性，根据函数单调性比较大小的方法，是基础题10．函数的值域为____________．【答案】【解析】利用指数函数的性质求解【详解】由指数函数的性质可知，，所以，故函数的值域为．故答案为：．【点睛】本题考查指数型函数的值域求法，熟记函数基本性质是关键，考查计算能力，属于基础题．11．函数的定义域为_______________．【答案】或【解析】可看出，要使得函数有意义，则需满足，解出的范围即可．【详解】要使有意义，则：；，或；的定义域为，或．故答案为：或．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，分式不等式的解法，考查计算能力，是基础题12．已知，（1）____________；（2）若函数有两个零点，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】（1）直接由分段函数解析式求解的值（2）画出函数的图象，数形结合得答案．（1）由已知可得，；（2）作出函数的图象如图，由图可知，要使函数有两个零点，则实数的取值范围为．故答案为：（1）；（2）．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数值的求法，考查函数零点的判定，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．13．已知，则____________；的解析式为____________．【答案】【解析】，由此利用，能求出；设，则，从而，由此能求出的解析式．【详解】，，设，则，，的解析式为．故答案为：，．【点睛】本题考查函数值、函数解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，14．对于函数，下列说法正确的是____________．①函数的定义域为；②函数为奇函数；③函数的值域为；④函数在定义域上为增函数；⑤对于，均有．【答案】①②④⑤【解析】①函数的分母恒成立，定义域为；②根据奇偶性的定义判断为定义域上的奇函数；③根据指数函数的图象与性质，求出函数的值域即可；④根据指数函数的性质，判断在定义域上为增函数；⑤根据为上的增函数，判断．【详解】对于①，函数，分母，定义域为，①正确；对于②，任意，有，函数为定义域上的奇函数，②正确；对于③，函数，，，，，的值域为，③错误；对于④，是增函数，是减函数，是增函数，函数在定义域上为增函数，④正确；对于⑤，对于，都有，且为上的增函数，所以，⑤正确．综上所述，正确的命题序号是①②④⑤．故答案为：①②④⑤．【点睛】本题主要考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了指数函数的性质与应用问题，是中档题．三、解答题15．（1）已知，求的值．（2）求值：．【答案】（1）6（2）1【解析】（1）将平方求解即可；（2）由对数运算性质求解即可【详解】（1），．（2）原式．【点睛】本题考查指数运算，对数运算，熟记运算法则及性质是关键，是基础题16．判别并证明函数的奇偶性．【答案】【解析】由奇函数定义判断即可【详解】是奇函数，证明如下：的定义域为，且；；是奇函数．【点睛】本题考查奇函数的定义及判断，熟记定义，及判断方法是关键，是基础题17．已知命题：方程有实根：命题：方程有两个不相等的实根，若“且”为真，求实数的取值范围．【答案】【解析】先求解p,q命题为真命题时m的范围，再利用命题真假求解即可【详解】方程有实根，则判别式，得或，方程有两个不相等的实根，则满足，得，即或，若“且”为真，则，同时为真命题，则得，即实数的取值范围是．【点睛】本题考查命题真假，二次方程根的情况，解决p,q命题为真命题时m的范围是关键，考查计算能力，是中档题18．已知函数是定义域为的奇函数，在上是减函数，且．（1）求与的值；（2）判别并证明函数在上的单调性；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）0，0（2）在上是减函数（3）或【解析】（1）直接代入求值即可；（2）利用定义判断即可；（3）由奇函数与单调性转化求解即可【详解】（1）是上的奇函数；，且；；（2）在上是减函数，证明如下：设，则：；在上是减函数；；；；在上是减函数；（3）①，即时，满足；②，即时，由得：；；；；③，即时，由得：；；；综上得，实数的取值范围为或．【点睛】本题考查函数单调性判断，利用奇偶性解不等式，熟记基本性质是关键，考查计算能力，是中档题19．已知函数．（1）当时，求函数的零点；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）1（2）【解析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程在上有两解，利用二次函数根的分布求解即可【详解】（1）时，，令可得，即．的零点是．（2）令，显然，则．有两个零点，且为单调函数，方程在上有两解，，解得：．的取值范围是．【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题20．已知函数，表示函数的次迭代函数，，．（1）若，求，，，；（2）若存在正整数，使得对于任意的正整数，均有成立，则称函数是次迭代周期函数，正整数为函数的选代周期．①若，求的选代周期；②若，判别是否为选代周期函数．若是，求出选代周期：若不是，请说明理由．【答案】（1），，，（2）①3；②不是【解析】（1）利用先求，，即可得（2）①由成立，计算求解即可的选代周期②反正法证明即可【详解】（1），，则，，，……于是．（2）①，，则，，，故的选代周期为，②，，则．第 11 页共 12 页，……，若为次迭代周期函数，则，，与矛盾．不是迭代周期函数．【点睛】本题考查函数的综合应用，注意新定义的理解运用，考查推理计算能力，是难题第 12 页共 12 页。