2019北京人大附中高一(上)期末复习数学

高一数学 期中&必修1试题 第1页 共4人大附中2019~2020学年度第一学期期中高一年级数学 必修1模块考核试卷说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为模块成绩；Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．Ⅰ卷 （共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 一、选择题（每题5分，共40分）1．设集合{}|32X x x =∈-<<Z ，{}|13Y y y =∈-≤≤Z ，则XY =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．下列各组函数是同一函数的是（ ）A ．||x y x=与1y =B ．y =1y x =-C ．2x y x=与y x =D ．321x xy x +=+与y x =3．下列函数中，在区间()0,2上是增函数的是（ ）A ．1y x =-+B ．245y x x =-+C ．y =D ．1y x=4．命题“对任意x ∈R ，都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x ∈R ，都有20x < B ．不存在x ∈R ，使得20x < C ．存在0x ∈R ，使得200x ≥D ．存在0x ∈R ，使得200x <5．已知函数()f x 的图象是两条线段（如图，不含端点），则高一数学 期中&必修1试题 第2页 共4页1[()]3f f =（ ）A ．13-B ．13 C ．23- D ．236．已知,a b 是实数，则“0a b >>且0c d <<”是“a bd c<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．如下图，是吴老师散步时所走的离家距离（y ）与行走时间（x ）之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（ ）8．已知集合523M x x ⎧⎫=∈--⎨⎬⎩⎭R 为正整数，则M 的所有非空真子集的个数是（ ）A ．30B ．31C ．510D ．511二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9．方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为__________．10．已知函数()2,02,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则方程()2f x x =的解集为__________．11．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 12．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间()1,4上不是单调函数，那么实数a的取值范高一数学 期中&必修1试题 第3页 共4页围是__________．13．几位同学在研究函数()1xf x x=+()x ∈R 时给出了下面几个结论： ①函数 的值域为 ；②若 ，则一定有 ； ③ 在 是增函数；④若规定 ，且对任意正整数n 都有： ，则()1n xf x n x=+对任意 恒成立．上述结论中正确结论的序号为__________．14．函数()2241f x x x =-+，()2g x x a =+，若存在121,[,2]2x x ∈，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是__________．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．设全集是实数集R ，{}2|2730A x x x =-+≤，{}2|0B x x a =+<. （1）当4a =-时，求AB 和A B ； （2）若()A B B =R ð，求实数a 的取值范围.16．已知二次函数()()22,f x x bx c b c =++∈R .（1）已知()0f x ≤的解集为{}|11x x -≤≤，求实数,b c 的值； （2）已知223c b b =++，设1x 、2x 是关于x 的方程()0f x =的两根，且()()12118x x ++=，求实数b 的值；（3）若()f x 满足()10f =，且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间()3,2--，()0,1内，求实数b 的取值范围.高一数学 期中&必修1试题 第4页 共4页17．已知函数4()f x x x=+. （1）判断函数()f x 的奇偶性； （2）指出该函数在区间(0,2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）已知函数()()(),05,0,0f x x g x x f x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，当[]1,x t ∈-时()g x 的取值范围是[)5,+∞，求实数t 的取值范围.（只需写出答案）Ⅱ卷 （共7道题，满分50分）四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 18．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3，其定义如下表：则方程[()]1g f x x =+的解集为（ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}1,2,319．已知()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，且在(4,0]-上是增函数，()(3)f a f <，则a的取值范围是（） A ．()3,3-B．()(),33,-∞-+∞ C ．()4,3-- D ．()()4,33,4--20．已知函数2()25f x x ax =-+在[1,3]x ∈上有零点，则正数．．a 的所有可取的值的集合为（ ）A ．7[,3]3B ．)+∞C ．D ．(五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）高一数学 期中&必修1试题 第5页 共4页21．已知函数()f x =则函数()f x 的最大值为__________，函数()f x 的最小值点为__________．22．关于x 的方程()()g x t t =∈R 的实根个数记为()f t ． （1）若()1g x x =+，则()f t =__________；（2）若2,0,()2,0,x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a ∈R ，存在t 使得(2)()f t f t +>成立，则a 的取值范围是__________．23．对于区间[]()a b a b <，，若函数()y f x =同时满足：① ()f x 在[]a b ，上是单调函数；② 函数()y f x =，[]x a b ∈，的值域是[]a b ，， 则称区间[]a b ，为函数()f x 的“保值”区间.（1）写出函数2y x =的一个“保值”区间为__________；（2）若函数()2(0)f x x m m =+≠存在“保值”区间，则实数m 的取值范围为__________．六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数. （1）若函数()[]f x x =，求()1.2f ，()1.2f -的值；（2）若函数()()122x x f x x +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦R ，求()f x 的值域； （3）若存在m ∈R 且,m ∉Z 使得()([])f m f m =，则称函数()f x 是Ω函数,若函数()af x x x=+是Ω函数，求a 的取值范围.高一数学 期中&必修1试题 第6页 共4页人大附中2019~2020学年度第一学期期中高一年级数学练习& 必修1模块考核试卷答案20191108一卷一、选择题（每题5分，共40分）1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．C 二、填空题（每题5分，共30分） 9．(){}3,7- 10．{}1,1- 11．30 12．()3,0- 13．①②③④ 14．[5,0]-三、解答题（每题10分，共30分）15． 解：（1）因为1|32A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，-------------------1‘ 当4a =-时，{}|22B x x =-<<--------------------2‘所以1|22AB x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭-------------------------3‘{}|23A B x x =-<≤----------------------------4‘（2）1|32A x x x ⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭或ð----------------------5‘ 因为()AB B =ð，所以B A ⊆ð------------------6‘当B =∅即0a ≥时，满足B A ⊆ð-----------------7‘ 当B ≠∅即0a <时，-----------------------------8‘12≤，解得104a -≤<-----------------------9‘高一数学 期中&必修1试题 第7页 共4页综上，实数a 的取值范围为1,+4⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭---------------10‘ 16． 解：（1）法1：由题可知：-1，1为方程220x bx c ++=的两个根，-------------------1’所以，120,120.b c b c -+=⎧⎨++=⎩- -----------------------2’解之得：0,1b c ==-. ------------------------3‘法2：由题可知：-1，1为方程220x bx c ++=的两个根，-------------------1’由韦达定理，得-112-11bc +=-⎧⎨⨯=⎩，--------------2‘解之得：0,1b c ==-. ------------------------3‘（2）因为223c b b =++，()220f x x bx c =++=，所以222230x bx b b ++++=因为1x 、2x 是关于x 的方程222230x bx b b ++++=的两根， 所以22448120b b b ∆=---≥即32b ≤--------------------4‘ 所以12212223x x b x x b b +=-⎧⎨=++⎩----------------------------------5‘因为()()12118x x ++=，所以12127x x x x ++=，所以22237b b b -+++=----------6‘ 所以24b =，所以2b =或2b =-，因为32b ≤-，所以2b =-----------------------7‘ （3）因为()10f =，所以12c b =----------------------8‘设()()()2211g x f x x b x b x b =++=++--，则有高一数学 期中&必修1试题 第8页 共4页()()()()30200010g g g g ->⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪>⎩-------------------------------------------9‘ 解得1557b <<，所以b 的取值范围为15,57⎛⎫⎪⎝⎭.---------------------------10‘ 17． 解：（1）因为函数4()f x x x=+的定义域为 所以()(),00,x ∈-∞+∞时，()(),00,x -∈-∞+∞，（或写“函数4()f x x x=+的定义域关于原点对称”） 因为4()()f x x f x x-=--=-， 所以()f x 是奇函数.----------------------------------------------3‘（2）函数()f x 在区间(0,2]上是减函数；----------------------------------------------4’证明：任取(]12,0,2x x ∈，且1202x x <<≤-------------------------------------------5’()()()()121212124x x x x f x f x x x ---=-----------------------------------------------------6’ 因为1202x x <<≤所以220x ≥>，120x >>，所以124x x >，所以1240x x -<--------------------7’ 又因120x x -<，120x x >所以()()()()1212121240x x x x f x f x x x ---=>，所以()()12f x f x >----------------------------------------------------------------------------8‘高一数学 期中&必修1试题 第9页 共4页所以函数()f x 在区间(0,2]上是减函数. （3）实数t 的取值范围为[]0,1--------------10‘二卷四、选择题（每题6分，共18分） 18．C 19．D 20．C五、填空题（每题6分，共18分）21．3,1- 22．1，（1，+∞） 23．[01]，，311044⎡⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，， 六、解答题（本题共14分）24． 解：（Ⅰ）()1.21f = --------------------------2分()1.22f -=- --------------------------4分 （Ⅱ）方法1：因为11222x x +-=， 所以，只可能有两种情况：（1）存在整数t ，使得1122x x t t +≤<<+，此时122x x t +⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()0f x =； （2）存在整数t ，使得122x x t +<≤，此时11,22x x t t +⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1f x =. 综上，()f x 的值域为{0,1}. --------------------------------------------------------------9分 方法2：高一数学 期中&必修1试题 第10页 共4页------------------9‘（Ⅲ） 当函数()af x x x=+是Ω函数时， 若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾.若0a <，由于都在(0,)+∞单调递增，故()f x 在(0,)+∞上单调递增， 同理可证：()f x 在(,0)-∞上单调递增， 此时不存在(,0)m ∈-∞，使得 ()([])f m f m =， 同理不存在(0,)m ∈∞，使得 ()([])f m f m =， 又注意到[]0m m ≥，即不会出现[]0m m <<的情形，所以此时()af x x x=+不是Ω函数. 当0a >时，设()([])f m f m =，所以[][]a a m m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠， 当0m >时，高一数学 期中&必修1试题 第11页 共4页因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m <<+，所以2[][]([]1)m a m m <<+.当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m >>+，所以2[][]([]1)m a m m >>+.记[]k m =, 综上，我们可以得到：a 的取值范围为0a >且*2,k a k ∀∈≠N 且(1)a k k ≠+}. -------14分。

北京师大附中2019—2020学年度第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（模块卷）说明：1．本试卷分第I 卷（模块卷，100分）和第II 卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟．2．请将答案填写在答题纸上，考试结束后，监考人员只将答题纸收回．一、 选择题（4＇×10＝40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答题纸上．1．角α的终边上有一点)2,1(-，则αsin = （ ）A.55-B.552-C.55D.552 2．已知1sin ,tan 03αα= <，则cos α的值是 ( ）(A ) 13-(B )13(C ) 3-(D )33．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a //b ，则tan α＝ （ ）（A ）43 (B)－43 (C)34 (D) －344．如果奇函数)(x f 在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间]3,7[--上是（ ）A. 增函数且最小值是5-B.增函数且最大值是5-C. 减函数且最大值是5-D.减函数且最小值是5- 5．已知函数)5sin(3π+=x y 的图像为C ，为了得到函数)5sin(3π-=x y 的图像，只需把C 上所有的点（ ）A ．向左平行移动5π个单位； B ．向右平行移动5π个单位 C ．向左平行移动52π个单位 D ．向右平行移动52π个单位6．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 （ ）A.1B.1或4；C.4D.2或4 7．函数sin()(0)62y x x ππ=+≤≤的值域是 ( )A.[1,1]-B. 1[,1]2C. 1[2D. 8．如图，□ABCD 中，＝，＝，则下列结论中正确的是 （ ）（A ）AB ＋BD ＝a －b （B ）BC ＋AC ＝b （C ）BD ＝a ＋b（D ）AD －BA ＝a ＋b9．下列说法：①若0,a b a c a b c ⋅=⋅≠=且则 ②若0,0,0a b a b ⋅===则或 ③△ABC 中，若AB BC 0⋅>，则△ABC 是锐角三角形 ④△ABC 中，若AB BC 0⋅=，则△ABC 是直角三角形其中正确的个数是 （ ） (A )0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 3 10．函数x x f sin )(2=对于R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则21x x -的最小值为（ ） A ．4π B ． 2πC ． πD ． π2 二、填空题（4＇×5＝20分）：请将答案填在答题纸上．11．设向量a 与b的夹角为θ，且)3,3(=a ，)2,1(b ，则=θcos ______．12．函数⎩⎨⎧->-≤+=)1(,)1(,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= ；()3,f x =则x= ___. 13．已知向量a =(2,0)， b =(1,)x ，且a 、b 的夹角为3π，则x =_______． 14．（1）计算：16cos()3π-=___________________； （2）已知1sin 2α=，]2,0[πα∈，则=α___________ 15．已知52cos()3sin()22tan 2,4sin(2)9cos()x x x x x ππππ--+= =-++则_________．北京师大附中2019——2020学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷（答题纸）班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______二、填空题11．______________________________ 12．______________；________________ 13．______________________________ 14．_______________；_______________ 15．______________________________三、解答题16. 已知向量b a ,满足：||1,||2||7a b a b = =＝，－．（1）求|2|;a b －（2）若(2)a b ka b +⊥)（－，求实数k 的值．17. 已知函数m x x f ++=)42sin(2)(π的图象经过点,24π⎛⎫⎪⎝⎭． （Ⅰ）求实数的m 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及此时x 的值的集合； （III ）求函数()f x 的单调区间.18. 已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4．(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=125,求cos2α．北京师大附中2019——2020学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷第II 卷（综合卷）班级_______ 姓名_______ 学号_______一、填空题（5＇×2＝10分）1．函数]65,3[,3sin 2cos )(2ππ∈++=x x x x f 的最小值是_________．2．已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（共40分）3．在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高一第一学期期末考试数学试题及答案一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据6πθ=和1sin 2θ=之间能否推出的关系，得到答案. 【详解】 由6πθ=可得1sin 2θ=， 由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=，所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.2．已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b 的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°【答案】A【解析】根据向量的坐标表示，求得,a b 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】由题意，可得()3,1a =，()1,2b =， 设向量a ，b 的夹角为θ，则32cos 29114a b a bθ⋅===+⋅+⋅，又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒． 故选：A . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425- D ．2425【答案】D【解析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∴2234cos 1sin 1()55θθ=--=---=-，∴3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=． 故选：D ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】B【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>，所以c b a <<，选B. 5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【详解】依题意，3sin ,0,22cos tan sin ,.2x x x y x x x x πππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C. 故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-【答案】D 【解析】【详解】因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD =+，∴2AD AC AE =-+，∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-． 【考点】平面向量的几何运算7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B【解析】由题()()2sin 2f x x ωϕ==+，，平移后得到的函数是sin(2)3y x πϕ=++，其图象过点(0,1)P ,sin()13πϕ∴+=，因为0ϕπ<<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π=+,故选B.点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点()0,1P 确定ϕ的值时，要结合五点及0ϕπ<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性. 8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ①f （x ）221x x =+，②f （x ）＝x 3，③f （x ）＝cos 2πx ，④f（x ）＝tanx其中存在“稳定区间”的函数有（ ）A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①④【答案】A【解析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. 【详解】 ①f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足；②f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；③f （x ）＝cos 2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足；④f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力.9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 【答案】D【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．【考点】向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2xy =B ．23y x -=C ．1y xx =-D ．()2ln 1y x =+【答案】AD【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间(),0-∞上的单调性，由此判断正确选项. 【详解】对于A 选项，2x y =为偶函数，且当0x <时，122x x y -==为减函数，符合题意.对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意.对于C 选项，1y x x =-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln 1y x=+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.【答案】()()3,44,⋃+∞【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域. 【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为：()()3,44,⋃+∞ 【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题.12．在△ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 【答案】0【解析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.【答案】2【解析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案. 【详解】()tan 3tan 2παα+==.原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为：2. 【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____. 【答案】(]1,2【解析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案. 【详解】0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递. 故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤. 故答案为：(]1,2. 【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 【答案】2【解析】C ＝2202020444t t t t=≤++＝5当且仅当4t t =且t ＞0，即t ＝2时取等号【考点】基本不等式，实际应用 16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t有如下结论： ①函数()h t 为偶函数； ②函数()h t 的值域为2[1,1]2-；③函数()h t 的周期为2；④函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 【答案】③④.【解析】试题分析：因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π()sin 2f x x =是最小正周期为242ππ=的函数，所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可.根据π()sin 2f x x =的图像（如下图（1））与性质可知当2 1.5t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin2f t t π=，此时()sin12h t t π=+当 1.51t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos 12h t t π=+；当10t -≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos sin 22h t t t ππ=-；当102t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为1，此时()1sin 2h t t π=-；当112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为1，此时()1cos 2h t t π=-；当12t ≤≤时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为()sin2f t tπ=，此时()sincos22h t t t ππ=-作出()h t 的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为22[1,122-+，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为13[2,2],22k k k Z ++∈，故只有③④正确.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.分段函数.四、解答题17．已知不共线向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20. （1）求a •b ；（2）是否存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线？ （3）若（k a +2b ）⊥（-a kb ），求实数k 的值. 【答案】（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k = 【解析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案. （2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a bλ+=-，计算得到答案.（3）计算（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，展开计算得到答案. 【详解】（1）向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20，所以42-a 4a •b -32=b 4×9﹣4a •b -3×4＝20，解得a •b =1； （2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a bλ+=-，故,12m m λ==-，12λ=-. 即存在λ12=-，使得λa b +与-a 2b 共线；（3）若（k a +2b ）⊥（-a kb ），则（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，即k 2+a （2﹣k 2）a •b -2k 2=b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0，整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2. 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f（3π）=（1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间；（3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.【答案】（1）a =（2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值1-【解析】（1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案.（3）计算2x 6π+∈[6π，76π]，再计算最值得到答案.【详解】（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f （3π）=∴f（3π）12=（12a -=解得a =（2）由（1）可得f （x ）＝cosxcosx ﹣sinx ）=2x﹣sinxcosx 12122cos x +=-sin 2x =cos （2x 6π+），令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∈Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∈Z ， 可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∈Z ，（3）∵x ∈[0，2π]，可得：2x 6π+∈[6π，76π]，∴当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）取得最小值为﹣13-.2【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得,B D间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？【答案】（Ⅰ43；（Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A.【解析】(Ⅰ) 在BDC中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD∠，ABD△中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间. 【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∴sin BDC ∠=．(Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴116072721)4(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--⨯= ⎪⎝⎭．ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABDAD BAD BAD ⨯∠⨯∠===∠∠，∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ． 【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数.（1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x =＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由；（2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.【答案】（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x =<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析【解析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x =＜不是C 函数，得到答案. （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明. 【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∈（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0，即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2）， ∴f 1（x ）＝x 2是C 函数；()()210f x x x=＜不是C 函数，说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0， 即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2）， ∴()()210f x x x =＜不是C 函数；（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）. （i ）若f （m ）＜f （n ），记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n mT--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2，那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ）， 这与f （m ）＜f （n ）矛盾； （ii ）若f （m ）＞f （n ）， 记x 1＝n ，x 2＝n ﹣T ，α＝1n mT--，同理也可得到矛盾； ∴f （x ）在[0，T ）上是常数函数， 又因为f （x ）是周期为T 的函数，所以f （x ）在R 上是常数函数，这与f （x ）的最小正周期为T 矛盾.所以f （x ）不是R 上的C 函数. 【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.。

2019北京高一（上）期末数 学一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.若sinα=√33，0<α<π2，则cosα=( )A. −√63 B. −12 C. 12D. √632.集合M ={x|x =kπ2+π4,k ∈Z}，N ={x|x =kπ4,k ∈Z}，则( )A. M ⊆NB. N ⊆MC. M ∩N =⌀D. M ∪N =R3.下列命题中正确的是( )A. 共线向量都相等B. 单位向量都相等C. 平行向量不一定是共线向量D. 模为0的向量与任意一个向量平行 4.下列函数为奇函数，且在(−∞,0)上单调递减的是( ) A. f(x)=x −2 B. f(x)=x −1 C. f(x)=log 2 xD. f(x)=3x5.已知函数f(x)=sin(ωx +π4)(x ∈R,ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx 的图象，只要将y =f(x)的图象( )A. 向左平移π8个单位长度B. 向右平移π8个单位长度 C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度6.如图所示，函数y =cosx|tanx|(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是( )A. B.C. D.7.函数y =sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值，则ω的最小值是( ) A. 10π B. 20π C.37π2D.39π28.设偶函数f(x)=log a |x −b|在(−∞,0)上是增函数，则f(a +1)与f(b +2)的大小关系是( ) A. f(a +1)=f(b +2) B . f(a +1)>f(b +2) C. f(a +1)<f(b +2) D . 不能确定 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.求值：2log 214−(827) −23+lg 1100+(√2−1)lg1=______．10.已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(sinx,−cosx)，x ∈(0,π)，若a ⃗ //b⃗ ，则x 的值是______．11.若tanθ=3，则2sin 2θ−sinθcosθ−cos 2θ=______．12.若函数y =cos(ωx +π6)(ω∈N ∗)的一个对称中心是(π6,0)，则ω的最小值是______． 13.函数y =√sin(cosx)的值域是______．14.已知点O 为三角形ABC 内一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S △ABC S △AOC=______． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 15.求值：tan150∘cos(−210∘)sin(−420∘)sin1050∘cos(−600∘)．16.已知函数f(x)=log a (1−x)+log a (x +3)，其中a >0且a ≠1．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)有最小值而无最大值，求f(x)的单调增区间．17.已知g(x)=−x 2−3，f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，函数ℎ(x)=g(x)+f(x)是奇函数． (1)求a ，c 的值；(2)当x ∈[−1,2]时，f(x)的最小值是1，求f(x)的解析式．18.设函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，−π<φ≤π)在x =π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2． (1)求f(x)的解析式； (2)求函数g(x)=6cos 4x−sin 2x−1[f(x 2+π6)]2−2的值域．19.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，若y =f(x)x在(0,+∞)上为增函数，则称f(x)为“一阶比增函数”；若y =f(x)x 2在(0,+∞)上为增函数，则称f(x)为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2． (1)已知函数f(x)=x 3−2ℎx 2−ℎx ，若f(x)∈Ω1且f(x)∉Ω2，求实数h 的取值范围；(2)已知0<a <b <c ，f(x)∈Ω1且f(x)的部分函数值由下表给出，求证：d(2d +t −4)>0；xab c a +b +c f(x) ddt4(3)2x ∈(0,+∞)，f(x)<k}，请问：是否存在常数M ，使得∀f(x)∈ψ，∀x ∈(0,+∞)，有f(x)<M 成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．数学试题答案1. 【答案】D 【解析】解：∵sinα=√33，0<α<π2，∴cosα=√1−cos 2α=√1−(√33)2=√63． 故选：D ．由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 2. 【答案】A【解析】解：∵k ∈Z ； ∴k =2n 或2n +1，n ∈Z ；∴N ={x|x =nπ2,或x =nπ2+π4,n ∈Z}；又M ={x|x =kπ2+π4,k ∈Z}； ∴M ⊆N ． 故选：A ．根据k ∈Z 即可得出k =2n 或2n +1，n ∈Z ，从而得出N ={x|x =nπ2,或x =nπ2+π4,n ∈Z}，从而可得出M ⊆N ，从而选A ．考查描述法表示集合的定义，整数可分为奇数和偶数，奇数表示为x =2n +1，n ∈Z ，偶数表示为x =2n ，n ∈Z ． 3. 【答案】D【解析】解：对于A ，共线向量不一定相等，A 错误；对于B ，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，B 错误； 对于C ，平行向量一定是共线向量，C 错误；对于D ，模为0的向量是零向量，它与任意一个向量是平行向量，D 正确． 故选：D ．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行判断正误即可． 本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题． 4. 【答案】B【解析】解：A.f(x)=x −2=1x 2是偶函数，不满足条件．B.f(x)=x −1=1x 是奇函数，则(−∞,0)上是减函数，满足条件．C.f(x)是非奇非偶函数，不满足条件．D.f(x)是非奇非偶函数，不满足条件． 故选：B ．根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见的奇偶性和单调性.比较基础． 5.【答案】A【解析】解：由题知ω=2，所以f(x)=sin(2x +π4)=cos[π2−(2x +π4)]=cos(2x −π4)=cos2(x −π8)，故选：A ．由周期函数的周期计算公式：T =2πω，算得ω=2.接下来将f(x)的表达式转化成与g(x)同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题． 6. 【答案】C【解析】解：∵y =cosx|tanx|={sinx,0≤x <π2−sinx,π2<x ≤πsinx,π<x <32π，∴函数y =cosx|tanx|(0≤x ≤3π2且x ≠π2)的图象是C ．故选：C ．根据x 的取值情况分类讨论，去掉|tanx|中的绝对值符号，转化为分段函数，再识图即可．本题考查正切函数与正弦函数的图象，确定绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与识图能力，属于中档题． 7. 【答案】C【解析】解：函数y =sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值，∴9T +T 4≤1<10T ，即9⋅2πω+14⋅2πω≤1<10⋅2πω，求得37π2≤ω<20π，故ω的最小值为37π2， 故选：C ．由题意利用正弦函数的图象和性质可得9T +T 4≤1<10T ，即9⋅2πω+14⋅2πω≤1<10⋅2πω，由此求得ω的最小值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题． 8. 【答案】B【解析】解：∵f(x)=log a |x −b|为偶函数，∴b =0 ∵f(x)=log a |x −b|在(−∞,0)上是增函数， ∴0<a <1∴f(x)=log a |x −b|在(0,+∞)上单调递减， ∴0<a +1<b +2 ∴f(a +1)>f(b +2)． 故选：B ．由f(x)=log a |x −b|为偶函数，求出b =0，由f(x)=log a |x −b|在(−∞,0)上是增函数，求出0<a <1，从而f(x)=log a |x −b|在(0,+∞)上单调递减，由此能判断f(a +1)与f(b +2)的大小关系．本题考查两个函数值的大小的判断，考查函数的单调性、函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题． 9. 【答案】−3【解析】解：2log 214−(827) −23+lg 1100+(√2−1)lg1=14−[(23)3] −23−2+(√2−1)0 =14−94−2+1 =−3．故答案为：−3．由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解．本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用． 10. 【答案】3π4【解析】解：∵a ⃗ //b ⃗ ； −cosx −sinx =0； ∴sinx +cosx =0；∴(sinx +cosx)2=1+sin2x =0； ∴sin2x =−1； ∵x ∈(0,π)； ∴2x ∈(0,2π)；∴2x =3π2；∴x =3π4．故答案为：3π4． 根据a ⃗ //b ⃗ 即可得出sinx +cosx =0，两边平方即可得出1+sin2x =0，从而得出sin2x =−1，根据x 的范围即可求出2x 的范围，从而求出2x 的值，进而得出x 的值．考查平行向量的坐标关系，sin 2x +cos 2x =1，以及二倍角的正弦公式，已知三角函数值求角．11. 【答案】75【解析】解：∵tanθ=3，∴2sin 2θ−sinθcosθ−cos 2θ=2sin 2θ−sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tan 2θ−tanθ−1tan 2θ+1=75．故答案为：75．根据题意，将平方关系代入化为齐次式，再由商的关系将式子转化为关于tanθ式子，代入求值即可．本题考查了同角三角函数的基本关系的灵活应用，即“齐次化切”在求值中的应用，是常考的题型，注意总结． 12. 【答案】2【解析】解：∵函数y =cos(ωx +π6)(ω∈N ∗)的一个对称中心是(π6,0)， ∴ω⋅π6+π6=kπ+π2，k ∈z ，即∴ω=6k +2，故ω的最小值为2，故答案为：2．由题意根据余弦函数的对称性可得ω⋅π6+π6=kπ+π2，k ∈z ，由此ω的最小值．本题主要考查余弦函数的对称性，属于中档题． 13. 【答案】[0,√sin1]【解析】解：∵−1≤cosx ≤1，要使函数有意义则sin(cosx)≥0，则0≤cosx ≤1， 此时0≤sin(cosx)≤sin1， 则0≤√sin(cosx)≤√sin1， 即函数的值域为[0,√sin1]， 故答案为：[0,√sin1].根据根式的意义结合三角函数的有界性进行求解即可．本题主要考查函数的值域的计算，结合根式的应用以及三角函数的有界性是解决本题的关键． 14. 【答案】3【解析】解：如图，取BC 中点D ，AC 中点E ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ；OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴D ，O ，E 三点共线，即DE 为△ABC 的中位线；∴DE =32OE ，AB =2DE ； ∴AB =3OE ；∴S △ABC S △AOC=3．故答案为：3．可作出图形，取BC 的中点D ，AC 的中点E ，并连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，根据条件可以得到OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出DE 为△ABC 的中位线，这样即可得到AB =3OE ，从而便有S△ABC S △AOC=3．考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，三角形中位线的定义及性质，三角形的面积公式．15. 【答案】解：由诱导公式可得：tan150∘=tan(180∘−30∘)=−tan30∘=−√33，cos(−210∘)=cos210∘=cos(180∘+30∘)=−cos30∘=−√32， sin(−420∘)=−sin420∘=−sin(360∘+60∘)=−sin60∘=−√32，sin1050∘=sin(3×360∘−30∘)=−sin30∘=−12，cos(−600∘)=cos600∘=cos(3×180∘+60∘)=−cos60∘=−12， ∴原式=−√33⋅(−√32)(−√32)(−12)(−12)=−√3414=−√3．【解析】由条件利用诱导公式求得tan15∘、cos210∘、sin420∘、sin1050∘、cos(−600∘)的值，可得要求式子的值． 本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题．16. 【答案】解：(1)要使函数有意义，则{x +3>01−x>0，得{x >−3x<1，得−3<x <1， 即函数的定义域为(−3,1)，(2)f (x)=log a (1−x)+log a (x +3)=log a (1−x)(x +3)=log a (−x 2−2x +3)=log a (−(x +1)2+4)，设t =−(x +1)2+4，当−3<x <1时，0<t ≤4，若函数f(x)有最小值而无最大值，则函数ylog a t 为减函数，则0<a <1，要求f(x)的单调增区间，则等价于求t =−(x +1)2+4，在−3<x <1时的减区间， ∵t =−(x +1)2+4的单调递减区间为[−1,1)， ∴f(x)的单调递减区间为[−1,1)．【解析】(1)根据对数函数的成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域(2)根据复合函数单调性的性质确定0<a <1，结合复合函数单调性的关系进行求解即可． 本题主要考查对数函数的性质，结合复合函数单调性的关系求出a 的范围是解决本题的关键． 17. 【答案】解：(1)(法一)：f(x)+g(x)=(a −1)x 2+bx +c −3， 又f(x)+g(x)为奇函数， ∴ℎ(x)=−ℎ(−x)，∴(a −1)x 2−bx +c −3=−(a −1)x 2−bx −c +3对x ∈R 恒成立，∴{c −3=−c +3a−1=−a+1，解得{c =3a=1；(法二)：ℎ(x)=f(x)+g(x)=(a −1)x 2+bx +c −3， ∵ℎ(x)为奇函数，∴a −1=0，c −3=0， ∴a =1，c =3．(2)f(x)=x 2+bx +3，其图象对称轴为x =−b2， 当−b2≤−1，即b ≥2时，f(x)min =f(−1)=4−b =1，∴b =3；当−1<−b2≤2，即−4≤b <2时， f(x)min =f(−b2)=b 24−b 22+3=1，解得b =−2√2或b =2√2(舍)；当−b2>2，即b <−4时，f(x)min =f(2)=7+2b =1，∴b =−3(舍)， ∴f(x)=x 2+3x +3或∴f(x)=f 2−2√2x +3．【解析】(1)法一：化简ℎ(x)=g(x)+f(x)=(a −1)x 2+bx +c −3，由(a −1)x 2−bx +c −3=−(a −1)x 2−bx −c +3对x ∈R 恒成立得到{c −3=−c +3a−1=−a+1，从而求解，法二：化简ℎ(x)=g(x)+f(x)=(a −1)x 2+bx +c −3，由奇函数可得a −1=0，c −3=0，从而求解； (2)根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f(x)的最小值在何时取得，从而求f(x)的解析式． 本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题． 18. 【答案】解：(1)由题意可得：f(x)max =A =2，T 2=π2⇒T =π，于是ω=2πT=2ππ=2，故f(x)=2sin(2x +φ)，由f(x)在x =π6处取得最大值2可得：2×π6+φ=2kπ+π2⇒φ=2kπ+π6(k ∈Z)，又−π<φ<π，故φ=π6，因此f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x +π6)．(2)由(1)可得：f(x2+π6)=2sin[2(x2+π6)+π6]=2sin(x +π2)=2cosx ， 故g(x)=6cos 4x−(1−cos 2x)−1(2cosx)2−2=6cos 4x +cos 2x −24cos 2x −2=(3cos 2x +2)(2cos 2x −1)2(2cos 2x −1)=3cos 2x +22=32cos 2x +1，(cos 2x ≠12)， 令t =cos 2x ，可知0≤t ≤1且t ≠12，即cos 2x ∈[0,12)∪(12,1]， 从而g(x)∈[1,74)∪(74,52]，因此，函数g(x)的值域为[1,74)∪(74,52]．【解析】(1)先确定函数的周期，可得ω的值，利用函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，−π<φ<π)在x =π6处取得最大值2，即可求得f(x)的解析式；(2)由三角函数恒等变换的应用化简可得g(x)=32cos 2x +1，(cos 2x ≠12)，由cos 2x ∈[0,12)∪(12,1]，即可求得函数g(x)的值域．本题主要考查了由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查三角函数恒等变换的应用，函数的单调性，考查了转化思想和计算能力，正确求函数的解析式是关键，属于中档题． 19. 【答案】(1)解：y =f(x)x=x 2−2ℎx −ℎ，若f(x)∈Ω1，则ℎ≤0；y =f(x)x 2=x −2ℎ−ℎx ，y′=x +ℎx 2，当ℎ≥0，x >0时，y′>0，此时f(x)∈Ω2，不符合题意，舍去；当ℎ<0时，y ′=x 3+ℎx 2，此时函数f(x)x 2在x ∈(0,+∞)有极值点，因此f(x)∉Ω2．综上可得：当ℎ<0时，f(x)∈Ω1且f(x)∉Ω2． 因此h 的取值范围是(−∞,0)．(2)证明：由f(x)∈Ω1，若取0<x 1<x 2， 则f(x 1)x 1<f(x 2)x 2<f(x 1+x 2)x 1+x 2．由表格可知：f(a)=d ，f(b)=d ，f(c)=t ，f(a +b +c)=4， ∵0<a <b <c <a +b +c ， ∴d a <d b <t c <4a+b+c ，∴d <0，d <4aa+b+c ，d <4ba+b+c ，t <4aa+b+c ，∴2d +t <4，∴d(2d +t −4)>0．(Ⅲ)∵集合合ψ={f(x)|f(x)∈Ω2，且存在常数k ，使得任取x ∈(0,+∞)，f(x)<k}， ∴存在f(x)∈ψ，存在常数k ，使得f(x)<k 对x ∈(0,+∞)成立． 我们先证明f(x)≤0对x ∈(0,+∞)成立．假设存在x0∈(0,+∞)，使得f(x0)>0，记f(x0)x02=m>0∵f(x)是二阶比增函数，即f(x)x2是增函数．∴当x>x0时，f(x)x2>f(x0)x02=m>0，∴f(x)>mx2，∴一定可以找到一个x1>x0，使得f(x1)>mx12>k，这与f(x)<k对x∈(0,+∞)成立矛盾．即f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立．∴存在f(x)∈ψ，f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立．下面我们证明f(x)=0在(0,+∞)上无解．假设存在x2>0，使得f(x2)=0，∵f(x)是二阶增函数，即f(x)x2是增函数．一定存在x3>x2>0，使f(x3)x32>f(x2)x22=0，这与上面证明的结果矛盾．∴f(x)=0在(0,+∞)上无解．综上，我们得到存在f(x)∈ψ，f(x)<0对x∈(0,+∞)成立．∴存在常数M≥0，使得存在f(x)∈ψ，∀x∈(0,+∞)，有f(x)<M成立．又令f(x)=−1x(x>0)，则f(x)<0对x∈(0,+∞)成立，又有f(x)x2=−1x3在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)∈ψ，而任取常数k<0，总可以找到一个x n>0，使得x>x n时，有f(x)>k．∴M的最小值为0．【解析】(1)根据：f(x)∈Ω1且f(x)∉Ω2，可得y=f(x)x =x2−2ℎx−ℎ，利用二次函数的单调性可得−−2ℎ2=ℎ≤0；由y=f(f)x2=x−2ℎ−ℎx，y′=x+ℎx2，对h分类讨论可得：当ℎ≥0，此时f(x)∈Ω2；当ℎ<0时，y′=x3+ℎx2，函数f(x)x2在x∈(0,+∞)有极值点，可得f(x)∉Ω2.即可得出．(2)由f(x)∈Ω1，取0<x1<x2<x1+x2，可得f(x1)x1<f(x2)x2<f(x1+x2)x1+x2.由表格可知：f(a)=d，f(b)=d，f(c)=t，f(a+b+c)=4，0<a<b<c<a+b+c，利用“一阶比增函数”可得da <db<tc<4a+b+c，再利用不等式的性质即可得出．(3)根据“二阶比增函数”先证明f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立.再证明f(x)=0在(0,+∞)上无解.即可得出．本题考查了函数的单调性、导数的几何意义，掌握导数法在确定函数单调性和最值时的答题步骤是解答的关键，考查了推理能力与计算能力，本题难度较大．。

北大附中2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知变量a b 、已被赋值，要交换a b 、的值，采用的算法是（ ）A ．a b =，b a =B ．a c =，b a =，c b =C ．a c =，b a = ，c a =D ．c a =，a b =，b c =2.从某年纪1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）A ．1000名学生是总体B ．每个被抽查的学生是个体C ．抽查的125名学生的体重是一个样本D ．抽取的125名学生的体重是样本容量3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ． 34.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是（ ）A.抽签法B.有放回抽样C.随机抽样D.系统抽样5.下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是（ ）A.某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3: 2 :8 :2,从中抽取200人入样B 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样6.某学院A B C 、、三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为（ ）A ．30B ．40 C. 50 D ．607.当5x =，20y =-时，下边程序运行后输出的结果为（ ）A ．22，-22B ．22,22 C. 12，-12 D ．-12,128.现要完成下列3项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈;③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。

2019-2020学年第一学期高一年级数学指数函数与对数函数单元练习一、单选题(共15小题，每小题2分，共30分)1．若256(26)1x x x -+-=，则下列结果正确的是( )。

A ．x ＝2B ．x ＝3C ．x ＝2或x ＝3D ．以上都不对2．函数f (x )( )。

A ．(－∞，0)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，＋∞) 3．函数y ＝log 2x (1≤x ≤8)的值域是( )。

A ．RB ．[0，＋∞)C ．(－∞，3]D ．[0，3]4．已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a ＞0，a ≠1)的图像如右图所示，则a ，b 满足的关系是( )。

A ．0＜a －1＜b ＜1B ．0＜b ＜a －1＜1C ．0＜b －1＜a ＜1D ．0＜a －1＜b －1＜15．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图像如下图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图像是( )。

6．函数f (x )＝lg(21－x－1)的图像关于( )。

A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y ＝x 对称7．某企业2019年的产值为125万元，计划从2020年起平均每年比上一年增长20%，问哪一年这个企业的产值可达到216万元( )。

A ．2021年B ．2022年C ．2023年D ．2024年8.13212112,log ,log 33a b c -===，则 A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞b D ．c ＞b ＞a9．函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域为( )。

A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[4，＋∞)D ．[3，＋∞)10．若f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值是( )。

A.14B.12 C ．2 D ．411．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m ，长与宽的和为20 m ，则仓库容积的最大值为( )。

高一上数学期末练习题答案2020年01月03日班级：_________ 学号：__________ 姓名：____________一卷 （共18道小题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题纸上．） 1、命题2:2,10p x x ∀>->，则p ⌝是 （ ）（A ）22,10x x ∀>-≤ （B ）22,10x x ∀≤-> （C ）22,10x x ∃>-≤ （D ）22,10x x ∃≤-≤ C2、已知向量(1,3), (3,),t ==a b 若ab , 则实数t 的值为 ( )A. 9-B. 1-C. 1D. 9 D3、若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） A 、a b c d > B 、a b c d < C 、a b d c > D 、a b d c< 答案：D4、函数的大致图象是( B )5、用二分法求函数()lg 3=+-f x x x 零点的近似解，可以取的初始区间是 ( C ) A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)13y x=B （）A （）D （）C （）DCBA6、已知向量b a ,是两个单位向量，则“b a =”是“2=+b a ”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件CB8、已知函数22() x x M f x x x P ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，，，，其中M P =R ，则下列结论中一定正确的是 ( )A. 函数()f x 一定存在最大值B. 函数()f x 一定存在最小值C. 函数()f x 一定不存在最大值D. 函数()f x 一定不存在最小值 C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 9、计算：1241()log 20log 252-+-= ； 答案：410、已知()f x ＝1()2x，则2(log 3)f ＝___________.1311、向量(2，6)与向量)1012(2--a a ，方向相反，则a=________． 答案：1-12、如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点， 且2BD DC =. 若(,)AC mAB nAD m n =+∈R ，则____m n -=. -213. 有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%. 有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾将以此增长率持续增长. 请预测，从 年开始，快递业产生的包装垃圾将超过4000万吨. （参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） 202114、用[x ]表示不超过x 的最大整数，设函数()[]=-f x kx x ，当2=k 时，()f x 有_______个零点；若()f x 恰好有三个零点，则实数k 的取值范围是____________. 答案：2，233(,][,2)342三、解答题（本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）15、（本小题共11分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如下：(Ⅰ)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率； (Ⅱ)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；(Ⅲ)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为1x ，21s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ，21s 与22s 的大小. （只需写出结论）答案：35；15；12x x =，2212S S >16、（本小题共10分）已知函数2()f x x bx c =++，存在不等于1的实数0x 使得00(2)()f x f x -=.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用单调性定义证明； （Ⅲ）直接写出(3)c f 与(2)c f 的大小关系. 解：（Ⅰ）因为 实数0x 使得00(2)()f x f x -=，所以 220000(2)(2)x b x c x bx c -+-+=++， ……………………1分即0(24)(1)0b x +-=. 因为 01x ≠，所以 240b +=，即2b =-. ……………………3分 经检验，2b =-满足题意，所以 2b =-.（Ⅱ）函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，证明如下： ……………………4分 任取1x ，2x (1,)∈+∞，当12x x <时，12120,20x x x x -<+->.所以 1212()(2)0x x x x -+-<. ……………………6分所以 22121122()()2(2)f x f x x x x x -=--- ……………………7分 2212121212(22)()(2)0x x x x x x x x =---=-+-<，即12()()f x f x <.所以 函数()f x 在(1,)+∞上单调递增. ……………………8分 （Ⅲ）当0c =时，(3)(2)c c f f =；当0c ≠时，(3)(2)c c f f >. ……………………10分 注：直接答(3)(2)c c f f ≥，给2分；若只有(3)(2)c c f f >，给1分。

2019北京高一数学上学期期末汇编：集合一．选择题1．（2019秋•昌平区期末）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝{1，2} C．∁U A＝{3，4，5} D．∁U B＝{4，5，6}2．（2019秋•密云区期末）已知集合M＝{﹣1，0，1，3}，N＝{1，﹣3}，则集合M∩N中元素的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2019秋•海淀区校级期末）已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．14．（2019秋•海淀区期末）设集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}5．（2019秋•丰台区期末）设集合A＝{x|x＜5}，集合B＝{x|x﹣2≤0}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x＜5} C．{x|2＜x＜5} D．{x|2≤x＜5}6．（2019秋•平谷区期末）已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣4）＝0}，则A∩B等于（）A．∅B．{2} C．{4} D．{2，4}7．（2019秋•西城区期末）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，1} B．{﹣2，0} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，﹣1，0，1}8．（2019秋•东城区期末）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M9．（2019秋•石景山区期末）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x∈N|x＜3}，那么集合A∪B等于（）A．[﹣1，3）B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}10．（2019秋•朝阳区期末）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}二．填空题11．（2019秋•丰台区期末）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩∁U B＝．12．（2019秋•东城区期末）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B ＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．13．（2019秋•西城区期末）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中c∈R．①集合∁R A＝；②若∀x∈R，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是．三．解答题14．（2019秋•海淀区校级期末）已知集合A为非空数集，定义A+＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．（1）若集合A＝{﹣1，1}，直接写出集合A+及A﹣；（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，求证x1+x4＝x2+x3；（3）若集A⊆{x|0≤x≤2020，x∈N}，且A+∩A﹣＝∅，求集合A中元素的个数的最大值．15．（2019秋•密云区期末）对于正整数集合A＝{a1，a2，……，a n}（n∈N*，n≥3），如果任意去掉其中一个元素a i（i＝1，2，……，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}和{1，3，5，7，9，11，13}是否是“可分集合”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：五个元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}一定不是“可分集合”；（Ⅲ）若集合A＝{a1，a2，……，a n}（n∈N*，n≥3）是“可分集合”．①证明：n为奇数；②求集合A中元素个数的最小值．16．（2019秋•昌平区期末）对于任意的有限集合P，Q定义：①；②P*Q＝{x|f p（x）•f Q（x）＝1}；③card（P）表示集合P的元素个数．已知集合A＝{x|x＝k，k∈N*，1≤k≤2020}，B＝{x|x＝2k，k∈N*，1≤k≤2020}．（Ⅰ）求f A（2019），f B（2019）的值；（Ⅱ）求card（A*B）的值；（Ⅲ）对于任意的有限集合M，设n＝card（M*A）+card（M*B），求n的最小值．17．（2019秋•密云区期末）已知集合M＝{x|﹣2＜x≤3}，N＝{x|x≤a}．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求M∩N，M∪N；（Ⅱ）当a＝4时，求M∩N，M∪N；（Ⅲ）当M∩N＝∅时，求a的取值范围．18．（2019秋•东城区期末）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．19．（2019秋•东城区期末）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．20．（2019秋•西城区期末）设函数其中P，M是非空数集．记f（P）＝{y|y＝f（x），x ∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），求f（P）∪f（M）；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f（x）是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”的真假，并加以证明．21．（2019秋•朝阳区期末）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．22．（2019秋•石景山区期末）设非空集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为B．（Ⅰ）当a＝0时，求集合A，B；（Ⅱ）当A⊆B时，求实数a的取值范围．2019北京高一数学上学期期末汇编：集合参考答案一．选择题1．（2019秋•昌平区期末）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝{1，2} C．∁U A＝{3，4，5} D．∁U B＝{4，5，6}【答案】B【解答】解：集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∪B＝{0，1，2，3}，A∩B＝{1，2}，∁U A＝{3，4，5，6}，∁U B＝{0，4，5，6}，故选：B．【点评】本题考查了集合的交并补的运算，属于基础题．2．（2019秋•密云区期末）已知集合M＝{﹣1，0，1，3}，N＝{1，﹣3}，则集合M∩N中元素的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解答】解：因为集合M＝{﹣1，0，1，3}，N＝{1，﹣3}，则集合M∩N＝{1}；故交集中只有1个元素；故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（2019秋•海淀区校级期末）已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】C【解答】解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，四个选项中，只有0∈A，故选：C．【点评】本题考查了元素与集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（2019秋•海淀区期末）设集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}【答案】B【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：B．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5．（2019秋•丰台区期末）设集合A＝{x|x＜5}，集合B＝{x|x﹣2≤0}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x＜5} C．{x|2＜x＜5} D．{x|2≤x＜5}【答案】B【解答】解：∵A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝{x|x＜5}．故选：B．【点评】本题考查了描述法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．6．（2019秋•平谷区期末）已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣4）＝0}，则A∩B等于（）A．∅B．{2} C．{4} D．{2，4}【答案】D【解答】解：∵集合A＝{2，4，6}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣4）＝0}＝{2，4}，∴A∩B＝{2，4}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（2019秋•西城区期末）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，1} B．{﹣2，0} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，﹣1，0，1}【答案】C【解答】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（2019秋•东城区期末）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M【答案】C【解答】解：∵集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，∴M⫋N．故选：C．【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（2019秋•石景山区期末）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x∈N|x＜3}，那么集合A∪B等于（）A．[﹣1，3）B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}【答案】C【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x∈N|x＜3}＝{0，1，2}，∴集合A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（2019秋•朝阳区期末）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}【答案】D【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二．填空题11．（2019秋•丰台区期末）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩∁U B＝{1}．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，∴∁U B＝{1，5}，A∩∁U B＝{1}．故答案为：{1}．【点评】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．（2019秋•东城区期末）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B ＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．【答案】见试题解答内容【解答】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B．故答案为：A∩B．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．故答案为：A∪C．【点评】本题考查并集、交集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．（2019秋•西城区期末）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中c∈R．①集合∁R A＝{x|﹣2＜x＜3}；②若∀x∈R，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【答案】见试题解答内容【解答】解：①∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，∴∁R A＝{x|﹣2＜x＜3}；②∵对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，∴A∪B＝R，∵集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|x＞c}，∴c≤﹣2，∴c的取值范围是：（﹣∞，﹣2]，故答案为：{x|﹣2＜x＜3}，（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．三．解答题14．（2019秋•海淀区校级期末）已知集合A为非空数集，定义A+＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．（1）若集合A＝{﹣1，1}，直接写出集合A+及A﹣；（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，求证x1+x4＝x2+x3；（3）若集A⊆{x|0≤x≤2020，x∈N}，且A+∩A﹣＝∅，求集合A中元素的个数的最大值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意，由A＝{﹣1，1}，则A+＝{﹣2，0，2}，A﹣＝{0，2}；（2）由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，所以A﹣中也只包含四个元素，即A﹣＝{0，x2﹣x1，x3﹣x1，x4﹣x1}，剩下的x3﹣x2＝x4﹣x3＝x2﹣x1，所以x1+x4＝x2+x3；（3）设A＝{a1，a2，…a k} 满足题意，其中a1＜a2＜…＜a k，则 2a1＜a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a k＜a2+a k＜a3+a k＜…＜a k﹣1+a k＜2a k，∴|A+|⩾2k﹣1，a1﹣a1＜a2﹣a1＜a3﹣a1＜…＜a k﹣a1，∴|A﹣|⩾k，∵A+∩A﹣＝∅，由容斥原理|A+∪A﹣|＝|A+|+|A﹣|⩾3k﹣1，A+∪A﹣中最小的元素为0，最大的元素为2a k，∴|A+∪A﹣|⩽2a k+1，∴3k﹣1⩽2a k+1⩽4041（k∈N*），∴k≤1347，实际上当A＝{674，675，676，…，2020}时满足题意，证明如下：设A＝{m，m+1，m+2，…，2020}，m∈N，则A+＝{2m，2m+1，2m+2，…，4040}，A﹣＝{0，1，2，…，2020﹣m}，依题意有2020﹣m＜2m，即m＞673，故m的最小值为674，于是当m＝674时，A中元素最多，即A＝{674，675，676，…，2020}时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1347．【点评】本题考查的知识点是新定义，正确理解集合A+，A﹣的定义是解答的关键．15．（2019秋•密云区期末）对于正整数集合A＝{a1，a2，……，a n}（n∈N*，n≥3），如果任意去掉其中一个元素a i（i＝1，2，……，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}和{1，3，5，7，9，11，13}是否是“可分集合”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：五个元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}一定不是“可分集合”；（Ⅲ）若集合A＝{a1，a2，……，a n}（n∈N*，n≥3）是“可分集合”．①证明：n为奇数；②求集合A中元素个数的最小值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（Ⅰ）集合{1，2，3，4，5}不是“可分集合”，集合{1，3，5，7，9，11，13}是“可分集合”；（Ⅱ）不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，若去掉的元素为a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4①，或者a5＝a1+a3+a4②；若去掉的元素为a1，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4③，或者a5＝a2+a3+a4④．由①、③，得a1＝a2，矛盾；由①、④，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、③，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、④，得，a1＝a2矛盾．因此当n＝5时，集合一定不是“可分集合”；（Ⅲ）①设集合A＝{a1，a2，…，a n}的所有元素之和为M．由题可知，M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，因此a i（i＝1，2，…，n）均为奇数或偶数．如果M为奇数，则M﹣a i（i＝1，2，…，n）也均为奇数，由于M＝a1+a2+…+a n，所以n为奇数．如果M为偶数，则M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，…，b n}也是“可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”．此时各项之和也为奇数，则集合A中元素个数n为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．②当n＝3时，显然任意集合{a1，a2，a3}不是“可分集合”．当n＝5时，第（Ⅱ）问已经证明集合A＝{a1，a3，a4，a5}不是“可分集合”．当n＝7时，集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，因为：3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，9+13＝1+3+7+11，1+3+5+11＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A是“可分集合”．所以集合A中元素个数n的最小值是7．【点评】本题考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于难度较高的创新题．16．（2019秋•昌平区期末）对于任意的有限集合P，Q定义：①；②P*Q＝{x|f p（x）•f Q（x）＝1}；③card（P）表示集合P的元素个数．已知集合A＝{x|x＝k，k∈N*，1≤k≤2020}，B＝{x|x＝2k，k∈N*，1≤k≤2020}．（Ⅰ）求f A（2019），f B（2019）的值；（Ⅱ）求card（A*B）的值；（Ⅲ）对于任意的有限集合M，设n＝card（M*A）+card（M*B），求n的最小值．【答案】见试题解答内容【解答】（Ⅰ）f A（2019）＝2，f B（2019）＝，（Ⅱ）card（A*B）＝{x|f A（x）•f B（x）＝1}当f A（x）＝2且f B（x）＝时，所以x∈A且x∉B，那么x取值为：1，3，5，…，2019，共有＝1010个，当f A（x）＝且f B（x）＝2时，所以x∉A且x∈B，那么x取值为：2022，2024，…4040，共有＝1010个，所以card（A*B）＝1010+1010＝2020个．（Ⅲ）A＝{1，2，3，4，…，2020}，B＝{2，4，6，…，2020，2022，…4040}，A∪B＝{1，2，3，…，2020，2022，…4040}，A∩B＝{2，4，6，…2020}共1010个元素所以M中的元素a∈A∪B且a∉A∩B，所以当集合M为A∪B的子集与集合A∩B的并集时，n＝card（M*A）+card（M*B）的值最小，最小值为1011．【点评】本题属于新定义题，结合集合的交集并集，即可分析出答案，属于中档题．17．（2019秋•密云区期末）已知集合M＝{x|﹣2＜x≤3}，N＝{x|x≤a}．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求M∩N，M∪N；（Ⅱ）当a＝4时，求M∩N，M∪N；（Ⅲ）当M∩N＝∅时，求a的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为集合M＝{x|﹣2＜x≤3}，N＝{x|x≤a}．（Ⅰ）当a＝﹣1时，N＝{x|x≤﹣1}；∴M∩N＝（﹣2，﹣1]，M∪N＝（﹣∞，3]；（Ⅱ）当a＝4时，N＝{x|x≤4}；∴M∩N＝（﹣2，3]，M∪N＝（﹣∞，4]；（Ⅲ）当M∩N＝∅时，须有a≤﹣2；即a的取值范围是：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题主要考查了交集，并集及其运算，熟练掌握交集，并集的定义是解本题的关键．18．（2019秋•东城区期末）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意，因为A＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．因为全集U＝R，所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，（2）根据题意，∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，若B⊆∁U A，当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2，即m≥0或m≤﹣2，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．【点评】本题考查集合的补集运算，涉及集合的子集关系，属于基础题．19．（2019秋•东城区期末）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴f A（1）＝﹣1，f B（1）＝1，∴A*B＝{1，4，5}；（2）①当x∈A且x∈B时，f A（x）＝f B（x）＝﹣1，所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），②当x∈A且x∉B时，f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），③当x∉A且x∈B时，f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1．所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．④当x∉A且x∉B时，f A（x）＝f B（x）＝1．所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．综上，f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）因为A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，B*A＝{x|f B（x）•f A（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为（A*B）*C＝{x|f A*B（x）•f C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|f A（x）•f B*C （x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，所以（A*B）*C＝A*（B*C）．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．20．（2019秋•西城区期末）设函数其中P，M是非空数集．记f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），求f（P）∪f（M）；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f（x）是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”的真假，并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（Ⅰ）因为P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），所以f（P）＝[0，3]，f（M）＝（1，+∞），所以f（P）∪f（M）＝[0，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）是定义在R上的增函数，且f（0）＝0，所以当x＜0时，f（x）＜0，所以（﹣∞，0）⊆P．同理可证（0，+∞）⊆P．因为P∩M＝∅，所以P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}．（Ⅲ）该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f（P）∪f（M）＝R．首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，则0∉f（P），且0∉f（M），即0∉f（P）∪f（M），这与f（P）∪f（M）＝R矛盾．若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，所以x0∉f（P），且﹣x0∉f（M）．因为f（P）∪f（M）＝R，所以﹣x0∈f（P），且x0∈f（M）．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f（﹣x0）＝﹣x0，且f（﹣x0）＝﹣（﹣x0）＝x0，根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．综上，该命题为真命题．【点评】本题考查并集的求法，考查集合的求法，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（2019秋•朝阳区期末）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|﹣1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x＜﹣1或x＞6}，（Ⅱ）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；②B≠∅时，，解得，∴实数m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集、补集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．22．（2019秋•石景山区期末）设非空集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为B．（Ⅰ）当a＝0时，求集合A，B；（Ⅱ）当A⊆B时，求实数a的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，A＝{x|﹣1＜x＜0}，解不等式x2﹣2x﹣8＜0得：﹣2＜x＜4，即B＝{x|﹣2＜x＜4}，（Ⅱ）若A⊆B，则有：由于A≠∅，有，解得：﹣1＜a≤2，a的取值范围为：（﹣1，2]．【点评】本题考查了解二次不等式、集合间的包含关系及空集的定义，属简单题．。

北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题共10小题每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据6πθ=和1sin 2θ=之间能否推出的关系，得到答案.【详解】由6πθ=可得1sin 2θ=，由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件， 故选A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.2.已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b 的夹角为（ ）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示，求得,a b 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =，()1,2b =，设向量a ，b 的夹角为θ，则cos 91a b a bθ⋅===+⋅ 又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒． 故选：A .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A. 725-B.725C. 2425-D.2425【答案】D 【解析】 【分析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值．【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∴4cos 5θ===-， ∴3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=． 故选：D ．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负． 4.下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A. 2xy =B. 23y x-=C. 1y x x=- D.()2ln 1y x =+【答案】AD 【解析】 【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间(),0-∞上的单调性，由此判断正确选项.【详解】对于A 选项，2x y =为偶函数，且当0x <时，122xxy -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意.对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.5.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )A. c a b <<B. c b a <<C. b c a <<D.a b c <<【答案】B 【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>，所以c b a <<，选B.6.函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.【详解】依题意，3 sin,0,22cos tansin,.2x x xy x xx xπππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.如图，正方形ABCD中,E为DC的中点,若AD AC AEλμ=+,则λμ-的值为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 3-【答案】D【解析】【详解】因为E是DC的中点，所以1()2AE AC AD=+，∴2AD AC AE=-+，∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-．考点：平面向量的几何运算8.已知函数()()sinf x xωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A. 有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B. 有一条对称轴6x π=C. 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B 【解析】由题()()2sin 2f x x ωϕ==+，，平移后得到的函数是sin(2)3y x πϕ=++，其图象过点(0,1)P ,sin()13πϕ∴+=，因为0ϕπ<<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π=+,故选B.点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点()0,1P 确定ϕ的值时，要结合五点及0ϕπ<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.9.对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数：①f （x ）221x x =+，②f （x ）＝x 3，③f （x ）＝cos 2πx ，④f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ①②③ B. ②③C. ③④D. ①④【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. 【详解】①f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足；②f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；③f （x ）＝cos 2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足； ④f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力. 10.延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A. 满足2λμ+=的点P 必为C B 的中点B. 满足1λμ+=的点P 有且只有一个C. λμ+的最小值不存在D. λμ+的最大值为3 【答案】D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用． 二、填空题共6小题每小题5分共30分 11.函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.【答案】()()3,44,⋃+∞ 【解析】 【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域.【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为()()3,44,⋃+∞【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题. 12.在△ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 【答案】0 【解析】 【分析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力. 13.已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.【答案】2 【解析】 【分析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案.【详解】()tan 3tan 2παα+==. 原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为：2.【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14.若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____.【答案】(]1,2 【解析】 【分析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案.【详解】0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递.故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤. 故答案为：(]1,2.【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误. 15.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 【答案】2 【解析】C ＝2202020444t t t t =≤++＝5 当且仅当4t t=且t ＞0，即t ＝2时取等号考点：基本不等式，实际应用 16.已知函数π()sin2f x x =，任取t R ∈，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论： ①函数()h t 为偶函数；②函数()h t值域为[12-； ③函数()h t 的周期为2； ④函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k Z ++∈. 其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）【答案】③④. 【解析】试题分析：因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π()sin 2f x x =是最小正周期为242ππ=的函数，所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可. 根据π()sin2f x x =的图像（如下图（1））与性质可知当 1.51t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin2f t t π=，此时()cos12h t t π=+当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()1sin 2h t t π=-；当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin2f t t π=，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()sin cos 22h t t t ππ=-； 当112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为1，此时()1cos2h t t π=-；当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos22f t t t ππ+=+=，最大值为1，此时； 当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为()sin 2f t t π=，此时13[2,2],22k k k Z ++∈ 作出()h t 的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为，故只有③④正确.考点：1.三角函数的图像与性质；2.分段函数. 三、解答题共4小题共40分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.已知不共线向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20.（1）求a •b ；（2）是否存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线？（3）若（k a +2b ）⊥（-a kb ），求实数k 的值.【答案】（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k = 【解析】【分析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.（2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a b λ+=-，计算得到答案. （3）计算（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，展开计算得到答案.【详解】（1）向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20，所以42-a 4a •b -32=b 4×9﹣4a •b -3×4＝20，解得a •b =1；（2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a b λ+=-，故,12m m λ==-，12λ=-. 即存在λ12=-，使得λa b +与-a 2b 共线； （3）若（k a +2b ）⊥（-a kb ），则（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，即k 2+a （2﹣k 2）a •b -2k 2=b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0，整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18.已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）（a ∈R ），且f （3π）=（1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间；（3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.【答案】（1）a =2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值1- 【解析】【分析】 （1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()cos 262f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案.（3）计算2x 6π+∈[6π，76π]，再计算最值得到答案.【详解】（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）（a ∈R ），且f （3π）=∴f （3π）12=（122a -）=解得a =（2）由（1）可得f （x ）＝cosx cosx ﹣sinx ）=2x ﹣sinxcosx 1213322cos x +-=⨯-sin 2x 3-=cos （2x 6π+）3-， 令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∈Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∈Z ， 可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∈Z ， （3）∵x ∈[0，2π]，可得：2x 6π+∈[6π，76π]， ∴当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）3-取得最小值为﹣13-. 【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19.如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC ∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？【答案】（Ⅰ）37； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】【分析】(Ⅰ) 在BDC 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间.【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∴sin BDC ∠=． (Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴116072721)4(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--⨯= ⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABD AD BAD BAD ⨯∠⨯∠===∠∠， ∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20.f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数.（1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由；（2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.【答案】（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x=<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x=＜不是C 函数，得到答案.（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明.【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∈（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0， 即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2），∴f 1（x ）＝x 2是C 函数； ()()210f x x x=＜不是C 函数， 说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0， 即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2），∴()()210f x x x=＜不是C 函数； （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）. （i ）若f （m ）＜f （n ），记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n m T--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2， 那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ），这与f （m ）＜f （n ）矛盾；（ii ）若f （m ）＞f （n ），记x 1＝n ，x 2＝n ﹣T ，α＝1n m T--，同理也可得到矛盾； ∴f （x ）在[0，T ）上是常数函数，又因为f （x ）是周期为T 的函数，所以f （x ）在R 上是常数函数，这与f （x ）的最小正周期为T 矛盾.所以f （x ）不是R 上的C 函数.【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.。

2017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编函数的基本性质章节综合一、单选题1．（2019·北京师大附中高一期末）已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数,当0x ≥时，()()5πsin 01421()1(1)4x x x f x x ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程()()()2[]0,R f x af x b a b ++=∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭2．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ①f （x ）221x x =+，②f （x ）＝x 3，③f （x ）＝cos 2πx ，④f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①④3．（2021·北京·101中学高一期末）如图所示的是函数sin y x =（0x π≤≤）的图像，()A x y ，是图像上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交图像于另一点B （A ，B 可重合）.设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 的图像是A ．B ．C ．D ．4．（2018·北京·人大附中高一期末）如果幂函数()af x x =的图象经过点()2,4，则()f x 在定义域内A ．为增函数B ．为减函数C ．有最小值D ．有最大值5．（2017·北京八中高一期末）函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．（2019·北京师大附中高一期末）已知()(2),f x f x x R =-∈，当(1,)x ∈+∞时，()f x 为增函数．设(1),(2)a f b f ==，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．（2020·北京·清华附中高一期末）若函数()f x 的图象上存在一点()00,A x y 满足000x y +=，且000x y ≠，则称函数()f x 为“可相反函数”，在①sin y x =；②ln y x =； ③241y x x =++；④x y e -=-中，为“可相反函数”的全部序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③④D ．②③④9．（2018·北京·人大附中高一期末）已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是A ．0x a <B ．0x a >C ．0x c <D ．0x c >10．（2018·北京·人大附中高一期末）下列函数为奇函数的是 A ．2x y =B ．[]sin ,0,2y x x π=∈C ．3y x =D ．lg y x =11．（2018·北京·101中学高一期末）下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是 A ．y=e xB ．y=tanxC ．y=lnxD ．y=x 3+x12．（2018·北京·101中学高一期末）不等式2633x x -+>的解集是A ．（-3，2）B ．（-2，3）C ．（-∞，-3）（2，+∞）D ．（-∞，-2）（3，+∞）13．（2018·北京·101中学高一期末）已知函数()()g x f x x =-，若()f x 是偶函数，且()f 21=，则()g 2(-= ) A ．1B ．2C ．3D ．414．（2018·北京·101中学高一期末）函数()2ln 23y x x =-++的减区间是 A ．(]1,1-B ．[)1,3C ．(],1-∞D ．[)1,+∞15．（2017·北京八中高一期末）下列函数中，在区间()0+∞，上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+B ．y =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x=+二、多选题16．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．||2x y = B ．23y x -=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+三、填空题17．（2020·北京·清华附中高一期末）已知函数()212,1,1x x x f x x x -⎧+≤=⎨>⎩，若函数()y f x k =-恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是_____18．（2020·北京·清华附中高一期末）定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.若函数()2f x x mx=+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是____19．（2018·北京·人大附中高一期末）函数()2,,(0),0x x t f x t x x t⎧=>⎨<<⎩，在区间(0,)+∞上的增数，则实数t 的取值范围是________.20．（2019·北京·中央民族大学附属中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =+，则()()20f f -+=_________.四、解答题21．（2018·北京·人大附中高一期末）定义：若函数()f x 的定义域为D ，且存在非零常数T ，对任意x D ∈，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（1）下列函数[]21.2, 2.log , 3.xy y x y x ===（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）；（2）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：()()G x g x x =-为周期函数； （3）若()sin x x kx φ=+为线周期函数，求k 的值.22．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由； （2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.23．（2020·北京·清华附中高一期末）若函数()f x 定义域为R ，且存在非零实数T ，使得对于任意的()(),x R f x T Tf x ∈+=恒成立，称函数()f x 满足性质()P T(1)分别判断下列函数是否满足性质()P T 并说明理由 ①()sin 2f x x π= ②()cos2g x x π=(2)若函数()f x 既满足性质()2P ，又满足性质()3P ，求函数()f x 的解析式(3)若函数()f x 满足性质()1.01P ，求证：存在0x R ∈，使得()00.001f x <24．（2018·北京·人大附中高一期末）已知二次函数2()f x x bx c =++满足(1)(3)3f f ==-. （1）求b ，c 的值；（2）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =， （ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间为 ； （ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.25．（2018·北京·101中学高一期末）设函数()f x 的定义域为R +，且满足条件()f 41=，对任意1x ，2x R ∈﹢，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，且当12x x ≠时，有()()2121f x f x 0x x ->-．()1求()f 1的值；()2如果()f x 62+>，求x 的取值范围．26．（2019·北京师大附中高一期末）已知奇函数()f x 的定义域为[-1,1]，当[1,0)x ∈-时，1()()2x f x =-．（1）求函数()f x 在(0,1]上的值域； （2）若(0,1]x ∈时，函数21()()142y f x f x λ=-+的最小值为-2，求实数λ的值． 27．（2019·北京·101中学高一期末）正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，侧棱长为x . （1）求出其表面积S （x ）和体积V （x ）； （2）设()()()S x f x V x =，求出函数()f x 的定义域，并判断其单调性（无需证明）.参考答案1．C 【详解】作出()()()5sin 01421114xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩的图象如下，又∵函数y=f （x ）是定义域为R 的偶函数，且关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根， ∴x 2+ax+b=0的两根分别为1255,144x x =<<或12501,14x x <≤<<；由韦达定理可得12x x a +=-，若1255,144x x =<<，则9542a <-<，即5924a -<<-；若12501,14x x <≤<<，则914a <-<，即914a -<<-； 从而可知5924a -<<-或914a -<<-；故选C ．点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 2．A 【解析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. 【详解】 ①f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足；②f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；③f （x ）＝cos2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足； ④f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力. 3．A 【详解】[0,]2x π∈时，B x x π+=()2,B f x AB x x x π∴==-=-[0,]2x π∈时()f x 表示递减的一次函数所以选A.点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.如能求出具体解析式就可简化问题(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系4．C 【分析】由幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，得到2()f x x =，由此能求出函数的单调性和最值． 【详解】解：幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，()224a f ∴==，解得2a =，2()f x x ∴=，()f x ∴在(],0x ∈-∞递减，在[)0,x ∈+∞递增，有最小值，无最大值．故选C ． 【点睛】本题考查幂函数的概念和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 5．D 【分析】通过分类讨论20x k -≥和20x k -<，将(2)0f x k k --<转化成具体的不等式，再转化为最值问题，根据单调性求出最值，可得k 的取值范围. 【详解】 当12k ≤时，20x k -≥，(2)0f x k k ∴--<，可化为2(2)0x k k --<， 即存在[1,)x ∈+∞，使得22()440g x x kx k k =-+-<成立， 22()44g x x kx k k =-+-的对称轴为21x k =≤， 22()44g x x kx k k ∴=-+-在区间[1,)+∞单调递增，∴ 只要(1)0<g ，即21440k k k -+-<，解得：114k <<， 又12k ≤，1142k ∴<≤， 当12k >时，(2)0f x k k --<可化为2(2)0x k k ---<，此时不等式恒成立， 综上所述，14k >． 故选：D 【点睛】本题考查了不等式有解问题，通过分类讨论转化成最值问题，使问题得到了解决，分类讨论是高中数学经常用到的解题方法，属于中档题. 6．D 【分析】由f （x ）＝f （2﹣x ）可得出f （﹣1）＝f （3），根据f （x ）在（1，+∞）上为增函数可得出f （3）＞f （2）＞f （1），从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】∵f （x ）＝f （2﹣x ）； ∴f （﹣1）＝f （3）；∵x ∈（1，+∞）时，f （x ）为增函数； ∴f （3）＞f （2）＞f （1）； ∴c ＞b ＞a ． 故选D ． 【点睛】本题考查增函数的定义，关键是将自变量的取值通过条件转到同一个单调区间上，再根据增函数，比较函数值的大小． 7．B因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>，所以c b a <<，选B. 8．D 【分析】根据已知条件把问题转化为函数()f x 与直线y x =-有不在坐标原点的交点，结合图象即可得到结论. 【详解】解：由定义可得函数()f x 为“可相反函数”，即函数()f x 与直线y x =-有不在坐标原点的交点． ①sin y x =的图象与直线y x =-有交点，但是交点在坐标原点，所以不是“可相反函数”； ②ln y x =的图象与直线y x =-有交点在第四象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”； ③241y x x =++与直线y x =-有交点在第二象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”； ④x y e -=-的图象与直线y x =-有交点在第四象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”. 结合图象可得：只有②③④符合要求； 故选：D9．B 【详解】∵()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在∞（0，+）上是增函数0a b c ，＜＜＜，且()()()0f a f b f c <，f a f b f c （）、（）、（）∴ 中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：00f a f b f c （）＜，＜（）＜（）；或0f a f b f c （）＜（）＜（）＜； 由于实数0 x 是函数y f x =（）的一个零点， 当00f a f b f c （）＜，＜（）＜（）时，0a x b ＜＜，当0f a f b f c （）＜（）＜（）＜ 时，0x a ＞， 故选B 10．Cy=2x 为指数函数，没有奇偶性；y=sinx ，x ∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性； y=x 3定义域为R ，f （-x ）=-f （x ），为奇函数；y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f （-x ）=f （x ），为偶函数． 故选C ． 11．D 【详解】选项A,y=e x 是非奇非偶函数,不合题意;选项B, y=tanx 在每个单调区间上分别递增,但是在定义域内不是增函数,不合题意; 选项C, y=lnx 是非奇非偶函数,不合题意; 故选D. 12．A 【详解】函数3x y =单调递增，原不等式等价于26x x -+>，即260x x +-<，解得-3<x<2,故选A. 13．C 【详解】f （x ）是偶函数，且f （2）=1，则()21f -=,所以g （-2）= ()()223f ---=,故选C. 14．B 【分析】利用一元二次不等式的解法求出函数的定义域，在定义域内求出二次函数的减区间即可. 【详解】令2t x 2x 30=-++>，求得1x 3-<<， 故函数的定义域为()1,3-，且y lnt =递增， 只需求函数t 在定义域内的减区间．由二次函数的性质求得2t (x 1)4=--+在定义域内的减区间为[)1,3，所以函数()2y ln x 2x 3=-++的减区间是[)1,3，故选B ．【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）. 15．A 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法则，即可判断． 【详解】对A ，函数ln(2)y x =+在()2-+∞，上递增，所以在区间()0+∞，上为增函数，符合；对B ，函数y =[)1,-+∞上递减，不存在增区间，不符合；对C ，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，不存在增区间，不符合；对D ，函数1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法则的应用，属于容易题． 16．AD 【分析】利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，对于函数()2xf x =的定义域为R ，()()22xxf x f x --===，该函数为偶函数，当(),0x ∈-∞时，()122xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，则函数2xy =在区间(),0-∞上为减函数，合乎题意；对于B 选项，函数()23g x x-={}0x x ≠，()()g x g x -==，该函数为偶函数，由于该函数在区间()0,∞+上单调递减，则该函数在区间(),0-∞上为增函数，不合乎题意； 对于C 选项，函数()1h x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()11h x x x h x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数，不合乎题意；对于D 选项，()()2ln 1x x ϕ=+的定义域为R ，()()()()22ln 1ln 1x x x x ϕϕ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，该函数为偶函数， 由于函数()()2ln 1x x ϕ=+在区间()0,∞+上为增函数，在该函数在区间(),0-∞上为减函数，合乎题意.故选：AD. 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，属于基础题. 17．(][],1,013-⋃ 【分析】题目转化为()k f x =，画出函数图像，根据图像结合函数值计算得到答案. 【详解】()212,1,1x x x f x x x -⎧+≤=⎨>⎩，()0y f x k =-=，即()k f x =，画出函数图像，如图所示：()13f =，()11f -=-，根据图像知：(][]1,01,3k ∈-.故答案为：(][],1,013-⋃18．0m ≥##[0，)∞+##{|0}m m ≥【分析】 根据题意，方程2(1)(1)1(1)f f x mx --+=--，即20x mx m +-=在(1,1)-内有实数根，若函数2()g x x mx m =+-在(1,1)-内有零点．首先满足∆0，解得0m ，或4m -．对称轴为2m x =-．对m 分类讨论即可得出． 【详解】 解：根据题意，若函数2()f x x mx =+是[1-，1]上的平均值函数， 则方程2(1)(1)1(1)f f x mx --+=--，即20x mx m +-=在(1,1)-内有实数根， 若函数2()g x x mx m =+-在(1,1)-内有零点．则∆240m m =+，解得0m ，或4m -．g （1）10=>，(1)12g m -=-．(0)g m =-． 对称轴：2m x =-． ①0m 时，02m -，(0)0g m =-，g （1）0>，因此此时函数()g x 在(1,1)-内一定有零点．0m ∴满足条件． ②4m -时，22m -，由于g （1）10=>，因此函数2()g x x mx m =+-在(1,1)-内不可能有零点，舍去． 综上可得：实数m 的取值范围是[0，)∞+．故答案为：[0，)∞+．19．1t【分析】作出函数2,()(0),0x x t f x t x x t⎧=>⎨<<⎩的图象，数形结合可得结果. 【详解】解:函数2,()(0),0x x t f x t x x t⎧=>⎨<<⎩的图像如图.由图像可知要使函数2,()(0),0x x t f x t x x t ⎧=>⎨<<⎩是区间(0,)+∞上的增函数， 则1t .故答案为1t【点睛】本题考查函数的单调性，考查函数的图象的应用，考查数形结合思想，属于简单题目.20．6-【分析】根据当0x >时,2()f x x x =+直接求得()0f ,再跟根据()f x 是定义在R 上的奇函数,则()2(2)f f -=-代入2()f x x x =+求解即可.【详解】由题()()220(2)(0)(2+2)+06f f f f -+=-+=-=-.故答案为6-【点睛】本题主要考查奇函数的运用与求值计算,属于基础题型.21．（1）3；（2）证明见解析；（3）1k =.【分析】（1）根据新定义逐一判断即可；（2）根据新定义证明即可；（3）若()sin x x kx φ=+为线周期函数，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有()()sin sin x T k x T x kx T +++=++，可得22kT T =，解得k 的值再检验即可.【详解】（1）对于2x y =，()()2222x T x T T f x T f x ++==⋅=⋅，所以不是线周期函数，对于2log y x =，()()()2log f x T x T f x T +=+≠+，所以不是线周期函数，对于[]y x =，()[][]()1111+=+=+=+f x x x f x ，所以是线周期函数；（2）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，则存在非零常数T 对任意x ∈R ，都有()()g x T g x T +=+恒成立，因为()()G x g x x =-，所以()()()()()()()G x T g x T x T g x T x T g x x G x +=+-+=+-+=-=，所以()()G x g x x =-为周期函数；（3）因为()sin x x kx φ=+为线周期函数，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有()()sin sin x T k x T x kx T +++=++，所以()sin sin x T kT x T ++=+，令0x =，得sin T kT T +=，令x π=，得sin T kT T -+=，所以22kT T =，因为0T ≠，所以1k =，检验：当1k =时，()sin x x x φ=+，存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()()()2sin 22sin 22x x x x x x φππππφπ+=+++=++=+，所以()sin x x x φ=+为线周期函数，所以：1k =.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解和应用，以及特殊值解决恒成立问题.22．（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x=<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x=＜不是C 函数，得到答案. （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明.【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∈（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0，即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2），∴f 1（x ）＝x 2是C 函数；()()210f x x x=＜不是C 函数， 说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0， 即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2），∴()()210f x x x=＜不是C 函数；（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）.（i ）若f （m ）＜f （n ），记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n m T--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2， 那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ），这与f （m ）＜f （n ）矛盾；（ii ）若f （m ）＞f （n ），记x 1＝n ，x 2＝n ﹣T ，α＝1n m T--，同理也可得到矛盾； ∴f （x ）在[0，T ）上是常数函数，又因为f （x ）是周期为T 的函数，所以f （x ）在R 上是常数函数，这与f （x ）的最小正周期为T 矛盾.所以f （x ）不是R 上的C 函数.【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.23．(1)①②满足性质()1P ，理由见解析(2)()0f x =(3)证明见解析【分析】（1）计算()()1f x f x +=，()()1g x g x +=，得到答案.（2）根据函数性质变换得到()()213f x f x +=，()()312f x f x -=，()()121f x f x +=-，解得答案.（3）根据函数性质得到()()111.01 1.011.01n f n f +-⨯=⋅，取()1.01log 1000 1.01N f =，当n N >时满足条件，得到答案. (1) ()()()()1sin 2π1sin 2π2πsin 2πf x x x x f x +=+=+==⎡⎤⎣⎦，故()f x 满足()1P ；()()()()1cos 2π1cos 2π2πcos2πg x x x x g x +=+=+==⎡⎤⎣⎦，故()g x 满足()1P .(2)()()22f x f x +=且33f x f x ，故()()()()312213f x f x f x f x +=++=+=，()()()()213312f x f x f x f x +=-+=-=，()()121f x f x +=-，解得()0f x =.(3)()()1.01 1.01f x f x +=，故()()()()2311.01 1.01 1.01 1.012 1.01 1.01 1.01n f x f x f x f x n ++=-=-⨯=⋅⋅⋅=-⨯，取0x =得到()()11.01 1.01 1.01n f f n +=-⨯，即()()111.01 1.011.01n f n f +-⨯=⋅，取()1.01log 1000 1.01N f =，当n N >时，()11 1.010.0011.01n f +⋅<， 故存在0 1.01x n =-⨯满足()00.001f x <. 24．（1）4b =-；0c ；（2）5a >或50a -<<【详解】试题分析：（1）代值计算即可，（2）先根据函数的奇偶性求出()g x 的解析式，（i ）根据函数的解析式和二次函数的性质即可求出函数()g x 的单调减区间，（ii ）根据函数单调性性质可得20 4a a a a ＞＞⎧⎨-⎩ 或20,4.a a a a ≤⎧⎨-->⎩解得即可. 试题解析：二次函数2()f x x bx c =++满足(1)(3)3f f ==-，解得：4b =-；0c .（2）（ⅰ）.（ⅱ）由（1）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--. 若()g a a >，则 20,4;a a a a >⎧⎨->⎩或20,4.a a a a ≤⎧⎨-->⎩解得5a >或50a -<<. 综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<.25．（1）0 ； （2）x 10>.【分析】()1由()()()1212f x x f x f x ⋅=+，令12x x 1==，即可得结果；()2由()()2121f x f x 0x x ->-可得函数()f x 在定义域R 上是增函数，结合()()()f 16f 4f 42=+=，原不等式化为x 616+>，从而可得结果.【详解】()1由()()()1212f x x f x f x ⋅=+，可得()()()()f 1f 11f 1f 1=⨯=+，故()f 10=．()2由条件可得()()()f 16f 4f 42=+=，由()()2121f x f x 0x x ->-，可得函数()f x 在定义域R 上是增函数，再根据()f x 62+>， 可得()()f x 6f 16+>，x 616∴+>，x 10>．【点睛】本题主要考查函数的解析式、函数的单调性，属于中档题.函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解抽象函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．26．（1）(1,2]；（2）4λ=【分析】（1）利用函数的奇偶性、指数函数的单调性求出函数f （x ）在(]0,1上的值域．（2）根据f （x ）的范围，利用条件以及二次函数的性质，分类讨论求得实数λ的值．【详解】（1）设x ∈（0，1]，则﹣x ∈[﹣1，0）时，所以f （﹣x ）12x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2x ．又因为f （x ）为奇函数，所以有f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以当x ∈（0，1]时，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝2x ，所以()f x 在(]0,1上的值域为（1，2]，（2）由（1）知当x ∈（0，1]时，f （x ）∈（1，2]， 所以12f （x ）∈（12，1]． 令t 12=f （x ），则 12＜t ≤1， g （t ）14=f 2（x ）2λ-f （x ）+1＝t 2﹣λt +122t λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭124λ-， ①当122λ≤，即λ≤1时，g （t ）＞g （12），无最小值， ②当122λ≤＜1，即1＜λ≤2时，g （t ）min ＝g （2λ）＝124λ-=-2， 解得λ＝±（舍去）． ③当2λ＞1，即λ＞2时，g （t ）min ＝g （1）＝﹣2，解得λ＝4， 综上所述，λ＝4．【点睛】本题主要考查指数函数的单调性，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．27．（1）()4S x =+()V x =2）x，()f x 是减函数.【分析】（1）画出图形，分别求出四棱锥的高，及侧面的高的表达式，即可求出表面积与体积的表达式；（2）结合表达式，可求出x 的范围，即定义域，然后判断其为减函数.【详解】（1）过点S 作平面ABCD 的垂线，垂足为O ，取AB 的中点E ，连结,OE SE ，因为S ABCD -为正四棱锥，所以112EO AD ==，1AE =，SE =SO所以四棱锥的表面积为()1442S x AB SE AB BC =⨯⨯⋅+⋅=， 体积()13V x SO AB BC =⋅⋅=（2）()()()S x f x V x ===2201020x x x >⎧⎪-≥⎨⎪->⎩解得x > ()f x 是减函数.【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征，考查了表面积与体积的计算，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.。

2019-2020学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1. 设θ＝R ，则“θ=π6，是“sin θ=12”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 已知向量a →，b →在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a →，b →的夹角为( )A.45∘B.60∘C.90∘D.135∘3. 设θ为第三象限角，sin θ=−35，则sin 2θ＝（ ）A.−725 B.725C.−2425D.24254. 下列函数既是偶函数，又在(−∞, 0)上单调递增的是（ ） A.y ＝2|x| B.y ＝x −23C.y =1x −xD.y ＝ln (x 2+l)5. 已知f(x)是定义在(−∞, +∞)上的偶函数，且在(−∞, 0]上是增函数，设a ＝f(log 47)，b =f(log 123)，c ＝f(0.2−0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.c <a <bB.c <b <aC.b <c <aD.a <b <c6. 如图所示，函数y ＝cos x|tan x|(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是（ ） A. B.C. D.7. 如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD →=λAC →+μAE →，则λ−μ的值为( )A.3B.2C.1D.−38. 已知函数f(x)＝sin (ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)的最小正周期是π，将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数图象过点P(0, 1)，则函数f(x)＝sin (ωx +φ)( )A.有一个对称中心(π12, 0)B.有一条对称轴x =π6C.在区间[−π12, 5π12]上单调递减D.在区间[−π12, 5π12]上单调递增9. 对于函数f(x)，若存在区间M ＝[a, b](a <b)使得{y|y ＝f(x), x ∈M}＝M ，则称区间M 为函数f(x)的一个“稳定区间，给出下列四个函数：①f(x)=2xx 2+1，②f(x)＝x 3，③f(x)＝cos π2x ，④f(x)＝tan x 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A.①②B.②③C.③④D.①④10. 如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE =CD ．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A ，其中AP →=λAB →+μAE →，则下列叙述正确的是（ ）A.满足λ+μ=2的点P 必为BC 的中点B.满足λ+μ=1的点P 有且只有一个C.λ+μ的最大值为3D.λ+μ的最小值不存在二、填空题共6小题每小题5分共30分函数f(x)=1log 2(3−x)的定义域为________．在△ABC 中，cos A =35，cos B =45，则cos C ＝________．已知tan (3π+α)＝2，则sin (α−3π)+cos (π−α)+sin (π2−α)−2cos (π2+α)−sin (−α)+cos (π+α)=________．若函数y ＝log a (2−ax)在区间(0, 1)上单调递减，则a 的取值范围为________．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg/L ）随时间t （单位：ℎ）的变化关系为C =20t t 2+4，则经过 2 ℎ后池水中药品的浓度达到最大．已知函数f(x)＝sin π2x ，任取t ∈R ，记函数f(x)在区间[t, t +1]上的最大值为M t ，最小值为m t ，记ℎ(t)＝M t −m t ．则关于函数ℎ(t)有如下结论： ①函数ℎ(t)为偶函数； ②函数ℎ(t)的值域为[1−√22, 1]； ③函数ℎ(t)的周期为2；④函数ℎ(t)的单调增区间为[2k +12, 2k +32]，k ∈Z ． 其中正确的结论有________．（填上所有正确的结论序号）三、解答题共4小题共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程已知不共线向量a →，b →满足|a →|＝3，|b →|＝2，(2a →−3b →)⋅(2a →+b →)＝20． （1）求a →⋅b →；（2）是否存在实数λ，使λa →+b →与a →−2b →共线？（3）若(ka →+2b →)⊥(a →−kb →)，求实数k 的值．已知函数f(x)＝cos x(a cos x −sin x)−√3(a ∈R)，且f (π3)=−√3．（1）求a 的值；（2）求f(x)的单调递增区间；（3）求f(x)在区间[0, π2]上的最小值及对应的x 的值．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20∘方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40∘方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得B ，D 间的距离为21海里．(1)求sin ∠BDC 的值；(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？f(x)是定义在D上的函数，若对任何实数α∈(0, 1)以及D中的任意两数x1，x2，恒有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)，则称f(x)为定义在D上的C函数．(x<0)中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；（1）试判断函数f1(x)＝x2，f2(x)=1x（2）若f(x)是定义域为R的函数且最小正周期为T，试证明f(x)不是R上的C函数．参考答案与试题解析2019-2020学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【解答】设θ＝R ，若“θ=π6时，则“sin θ＝sin π6=12”故“θ=π6，能推出“sin θ=12”， 若“sin θ=12”则“θ=π6+2kπ，k ∈Z ；或θ＝5π6+2kπ，k ∈Z ； 故：“sin θ=12”不能推出“θ=π6，由充要条件可判断：θ＝R ，“θ=π6，是“sin θ=12”的充分不必要条件，2.【答案】 A【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】先求出2个向量的坐标，再利用两个向量的数量积的定义和公式求得cos θ的值，可得向量a →，b →的夹角为θ的值． 【解答】解：由题意可得a →=(3, 1)，b →=(1, 2).设向量a →，b →的夹角为θ，则θ∈[0∘, 180∘]， 则cos θ=a →⋅b →|a →|⋅|b →|=√9+1⋅√1+4=√22，∴ θ=45∘.故选A . 3.【答案】 D【考点】二倍角的三角函数 【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos θ的值，进而根据二倍角的正弦函数公式可求sin 2θ的值． 【解答】∵ θ为第三象限角，sin θ=−35， ∴ cos θ=−√1−sin 2θ=−45，∴ sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×(−35)×(−45)=2425． 4. 【答案】 B【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【解答】根据题意，依次分析选项： 对于A ，y ＝2|x|={2x ,x ≥02−x ,x <0，为偶函数，在(−∞, 0)上单调递减，不符合题意； 对于B ，y =x−23=√x 23，为幂函数，是偶函数，又在(−∞, 0)上单调递增，符合题意；对于C ，y =1x −x ，为奇函数，不符合题意；对于D ，y ＝ln (x 2+1)，既是偶函数，又在(−∞, 0)上单调递减，不符合题意； 5. 【答案】 B【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】由题意首先比较自变量的大小，然后结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果． 【解答】∵ f(x)是定义在(−∞, +∞)上的偶函数， ∴ b ＝f(−log 23)＝f(log 23)，∵ 2>log 23＝log 49>log 47>1，0.2−0.6>2， ∴ 0.2−0.6>log 49>log 47， ∵ 在(−∞, 0]上是增函数， ∴ 在[0, +∞)上为减函数， 则c <b <a ， 6.【答案】 C【考点】正切函数的图象【解析】根据x 的取值情况分类讨论，去掉|tan x|中的绝对值符号，转化为分段函数，再识图即可． 【解答】∵ y ＝cos x|tan x|={sin x,0≤x <π2−sin x,π2<x ≤πsin x,π<x <32π，∴ 函数y ＝cos x|tan x|(0≤x ≤3π2且x ≠π2)的图象是C ． 7.【答案】D【考点】向量的加法及其几何意义 【解析】利用平面向量的三角形法则，将AD →用AC →,AE →表示，再由平面向量基本定理得到λ，μ的值． 【解答】解：由题意，因为E 为DC 的中点， 所以AE →=12(AD →+AC →)，所以AD →=2AE →−AC →，即AD →=−AC →+2AE →， 所以λ=−1，μ=2， 所以λ−μ=−3. 故选D . 8.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据最小正周期是π，可得ω，通过变换规律后，图象过点P(0, 1)，求解φ，可得函数f(x)的解析式，即可判断各选项． 【解答】由题意，函数f(x)的最小正周期是π，即2πω=π，∴ ω＝2． ∴ f(x)＝sin (2x +φ)，f(x)的图象向左平移π6个单位，可得：sin (2x +π3+φ)，此时图象过P(0, 1)， 可得：π3+φ=π2+2kπ，k ∈Z ， ∵ 0<φ<π， ∴ φ=π6．∴ f(x)＝sin (2x +π6)，令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ是单调递增， 可得：−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ， ∴ C 选项不对， 令π2+2kπ≤2x +π6≤3π2+2kπ是单调递增，可得：π6+kπ≤x ≤2π3+kπ，k ∈Z ，∴ D 选项不对， 由2x +π6=kπ， 得x =12kπ−π12可得对称中心为(12kπ−π12, 0)，考查A 不对． 由2x +π6=kπ+π2， 得x =12kπ+π6，可得对称轴方程为x =12kπ+π6， 当k ＝0时，可得x =π6，∴ B 选项对．9.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 函数的值域及其求法【解析】根据已知条件可得，要让函数f(x)存在稳定区间，则函数y ＝x 与f(x)的图象至少有两个交点，所以判断给出的四个函数和函数y ＝x 的交点情况即可． 【解答】通过已知条件知：若f(x)存在稳定区间，则函数y ＝x 与f(x)图象至少有两个交点；①f(x)=2xx 2+1，通过图象可以看出，y ＝x 与f(x)=2xx 2+1的图象有3个交点，∴ 该函数存在稳定区间；所以①正确；②f(x)＝x3，x∈[−1, 1]时，f(x)∈[−1, 1]，即存在M＝[−1, 1]，使得{y＝f(x), x∈M}＝M；即该函数存在稳定区间；所以②正确；③f(x)＝cosπ2x，画出函数的图象，y＝x的图象，通过图象可以看出y＝x与f(x)＝cosπ2x的图象有1个交点，∴该函数不存在稳定区间；④f(x)＝tan x的图象以及y＝x的图象如图：即该函数不存在稳定区间．∴存在“稳定区间”的函数有：①②．10.【答案】C【考点】向量的加法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，λ≥0，μ≥0．当λ=μ=0时，λ+μ取得最小值0，此时点P与点A重合，故D错误；当λ=1，μ=1时，λ+μ=2，点P在点D处，故A错误；当λ=1，μ=0时，λ+μ=1，点P在点B处，当点P在线段AD的中点时，λ=μ=12，也有λ+μ=1，故B错误．故选C．二、填空题共6小题每小题5分共30分【答案】(−∞, 2)∪(2, 3)【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】由题意得：{3−x>03−x≠1，解得：x<3且x≠2，故函数的定义域是(−∞, 2)∪(2, 3)，【答案】【考点】两角和与差的三角函数【解析】由已知求出sin A，sin B的值，由cos C＝−cos(A+B)，然后展开两角和的余弦求解．【解答】在△ABC中，由cos A=35，cos B=45，可知A，B均为锐角，则sin A=√1−cos2A=45，sin B=√1−cos2B=35，∴cos C＝−cos(A+B)＝−cos A cos B+sin A sin B=−35×45+45×35=0．【答案】2【考点】运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式把tan(3π+α)＝2化简，得tanα＝2，再利用诱导公式化简所求表达式，令分式的分子分母同除cosα，得到只含有tanα的式子，把tanα＝2代入即可．【解答】由tan(3π+α)＝2，可得tanα＝2，则sin(α−3π)+cos(π−α)+sin(π2−α)−2cos(π2+α)−sin(−α)+cos(π+α)=−sinα−cosα+cosα+2sinαsinα−cosα=sinαsinα−cosα=tanαtanα−1=22−1=2，【答案】(1, 2)【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】因为a>0且a≠1，所以函数y＝2−ax在(0, 1)上单调递减，由复合函数的单调性可得：{a>12−a>0，即可求解出a的取值范围．【解答】∵a>0且a≠1，∴函数y＝2−ax在(0, 1)上单调递减，∴由复合函数的单调性可得：{a>12−a>0，解得：1<a<2，【答案】2【考点】基本不等式及其应用【解析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】C=20tt2+4=20t+4t≤2√t⋅t=5，当且仅当t＝2时取等号．因此经过2ℎ后池水中药品的浓度达到最大．【答案】③④【考点】函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法命题的真假判断与应用函数奇偶性的性质与判断【解析】可先求出函数f(x)的最小正周期为4，由周期性得到ℎ(t+4)＝M t−m t＝ℎ(t)，说明ℎ(t)是周期为4的函数，然后探索−2≤t≤2的函数f(x)的最值，以及ℎ(t)的解析式，最后画出它的部分图象，通过图象观察分析得到性质，从而判断正确的结论．【解答】∵f(x)＝sinπx2的最小正周期为2ππ2=4，∴M t+4＝M t，m t+4＝m t，∴ℎ(t+4)＝M t+4−m t+4＝M t−m t＝ℎ(t)，即ℎ(t)是周期为4的函数，∴对该函数的性质研究，只须探索t∈[−2, 2]的性质即可．画出函数f(x)＝sinπx2的部分图象，如右图，当−2≤t<−1.5，时，f(x)在区间[t, t+1]上的最小值为−1，最大值为f(t)＝sinπt2，∴ℎ(t)＝1+sinπt2；当−1.5≤t<−1时，f(x)在区间[t, t+1]上的最小值为−1，最大值为f(t+1)＝sinπt+π2=cosπt2，∴ℎ(t)＝1+cosπt2；当−1≤t<0时，f(x)在区间[t, t+1]上的最小值为f(t)＝sinπt2，最大值为f(t+1)＝sinπt+π2=cosπt2，∴ℎ(t)＝cosπt2−sinπt2；当0≤t<12时，f(x)在区间[t, t+1]上的最小值为sinπt2，最大值为1，∴ℎ(t)＝1−sinπt2；当12≤t<1时，f(x)在区间[t, t+1]上的最小值f(t+1)＝sinπt+π2=cosπt2，最大值为1，∴ℎ(t)＝1−cosπt2；当1≤t<2时，f(x)在区间[t, t+1]上的最小值为f(t+1)＝sinπt+π2=cosπt2，最大值为f(t)＝sinπt2，∴ℎ(t)＝sinπt2−cosπt2．画出ℎ(t)的部分图象，如右图，综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为[1−√22, √2]，函数的最小正周期为2，函数的单调增区间为[2k+12, 2k+32]，k∈Z，故①②错，③④正确．三、解答题共4小题共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程【答案】向量a→，b→满足|a→|＝3，|b→|＝2，(2a→−3b→)⋅(2a→+b→)＝20，所以4a→2−4a→⋅b→−3b→2=4×9−4a→⋅b→−3×4＝20，解得a→⋅b→=1；假设存在实数λ，使λa→+b→与a→−2b→共线，则以a→、b→为基底，得出坐标表示，λa→+b→=(λ, 1)，a→−2b→=(1, −2)，由共线定理得−2λ−1×1＝0，λ=−12，即存在λ=−12，使得λa→+b→与a→−2b→共线；若(ka→+2b→)⊥(a→−kb→)，则(ka→+2b→)⋅(a→−kb→)＝0，即ka→2+(2−k2)a→⋅b→−2kb→2=0，所以9k+(2−k2)×1−2k⋅4＝0，整理得k2−k−2＝0，解得k＝−1或k＝2．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】（1）由平面向量的数量积运算求出a →⋅b →的值；（2）假设存在实数λ，使λa →+b →与a →−2b →共线，由此列出方程求得λ的值； （3）由平面向量的数量积列方程求出k 的值． 【解答】向量a →，b →满足|a →|＝3，|b →|＝2，(2a →−3b →)⋅(2a →+b →)＝20， 所以4a →2−4a →⋅b →−3b →2=4×9−4a →⋅b →−3×4＝20， 解得a →⋅b →=1；假设存在实数λ，使λa →+b →与a →−2b →共线，则以a →、b →为基底，得出坐标表示，λa →+b →=(λ, 1)，a →−2b →=(1, −2)， 由共线定理得−2λ−1×1＝0，λ=−12， 即存在λ=−12，使得λa →+b →与a →−2b →共线；若(ka →+2b →)⊥(a →−kb →)，则(ka →+2b →)⋅(a →−kb →)＝0， 即ka →2+(2−k 2)a →⋅b →−2kb →2=0， 所以9k +(2−k 2)×1−2k ⋅4＝0， 整理得k 2−k −2＝0， 解得k ＝−1或k ＝2． 【答案】∵ f(x)＝cos x(a cos x −sin x)−√3(a ∈R)，且f (π3)=−√3．∴ f (π3)=12(12a −√32)−√3=−√3．解得a =√3．由（1）可得f(x)＝cos x(√3cos x −sin x)−√3=√3cos 2x −sin x cos x −√3=√3×1+cos 2x2−12sin 2x −√3=cos (2x +π6)−√32， 令2kπ+π≤2x +π6≤2kπ+2π，k ∈Z ，解得：kπ+5π12≤x ≤kπ+11π12，k ∈Z ，可得f(x)的单调递增区间为：[kπ+5π12, kπ+11π12]，k ∈Z ，∵ x ∈[0, π2]，可得：2x +π6∈[π6, 7π6]， ∴ 当2x +π6=π，即x =5π12时，f(x)＝cos (2x +π6)−√32取得最小值为−1−√32． 【考点】两角和与差的三角函数 三角函数的最值【解析】（1）由已知利用特殊角的三角函数值即可求解a 的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)＝cos (2x +π6)−√32，利用余弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（3）由已知可求范围2x +π6∈[π6, 7π6]，利用余弦函数的图象和性质即可得解． 【解答】∵ f(x)＝cos x(a cos x −sin x)−√3(a ∈R)，且f (π3)=−√3．∴ f (π3)=12(12a −√32)−√3=−√3．解得a =√3．由（1）可得f(x)＝cos x(√3cos x −sin x)−√3=√3cos 2x −sin x cos x −√3=√3×1+cos 2x2−12sin 2x −√3=cos (2x +π6)−√32， 令2kπ+π≤2x +π6≤2kπ+2π，k ∈Z ，解得：kπ+5π12≤x ≤kπ+11π12，k ∈Z ，可得f(x)的单调递增区间为：[kπ+5π12, kπ+11π12]，k ∈Z ，∵ x ∈[0, π2]，可得：2x +π6∈[π6, 7π6]， ∴ 当2x +π6=π，即x =5π12时，f(x)＝cos (2x +π6)−√32取得最小值为−1−√32． 【答案】解：(1)由已知可得CD =40×12=20，△BDC 中，根据余弦定理求得cos ∠BDC =212+202−3122×21×20=−17，∴ sin ∠BDC =4√37． (2)由已知可得∠BAD =20◦+40◦=60◦，∴ sin ∠ABD =sin (∠BDC −60◦)=4√37×12−(−17)×√32=5√314． △ABD 中，由正弦定理可得AD =BD×sin ∠ABD sin ∠BAD=21×sin ∠ABD sin ∠BAD=15，∴ t =1540×60=22.5分钟．即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ． 【考点】解三角形的实际应用余弦定理正弦定理【解析】（1）由已知可得CD=20，△BDC中，根据余弦定理求得cos∠BDC的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin∠BDC的值．（2）由已知可得∠BAD=60∘，由此可得sin∠ABD=sin(∠BDC−60∘)的值，再由正弦定理求得AD的值，由此求得海警船到达A的时间．【解答】解：(1)由已知可得CD=40×12=20，△BDC中，根据余弦定理求得cos∠BDC=212+202−3122×21×20=−17，∴sin∠BDC=4√37．(2)由已知可得∠BAD=20◦+40◦=60◦，∴sin∠ABD=sin(∠BDC−60◦)=4√37×12−(−17)×√32=5√314．△ABD中，由正弦定理可得AD=BD×sin∠ABDsin∠BAD =21×sin∠ABDsin∠BAD=15，∴t=1540×60=22.5分钟．即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A．【答案】对任意实数x1，x2及α∈(0, 1)，有f1(αx1+(1−α)x2)−αf1(x1)−(1−α)f1(x2)＝(αx1+(1−α)x2)2−αx12−(1−α)x22＝−α(1−α)x12−α(1−α)x22+2α(1−α)x1x2＝−α(1−α)(x1−x2)2≤0，即f1(αx1+(1−α)x2)≤αf1(x1)+(1−α)f1(x2)，∴f1(x)＝x2是C函数；f2(x)=1x(x<0)不是C函数，说明如下（举反例）：取x1＝−3，x2＝−1，α=12，则f2(αx1+(1−α)x2)−αf2(x1)−(1−α)f2(x2)＝f2(−2)−12f2(−3)−12f2(−1)=−12+16+12>0，即f2(αx1+(1−α)x2)>αf2(x1)+(1−α)f2(x2)，∴f2(x)=1x(x<0)不是C函数；假设f(x)是R上的C函数，若存在m<n且m，n∈[0, T)，使得f(m)≠f(n)．(i)若f(m)<f(n)，记x1＝m，x2＝m+T，α＝1−n−mT ，则0<α<1，且n＝αx1+(1−α)x2，那么f(n)＝f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)＝αf(m)+(1−α)f(m+T)＝f(m)，这与f(m)<f(n)矛盾；(ii)若f(m)>f(n)，记x1＝n，x2＝n−T，α＝1−n−mT，同理也可得到矛盾；∴f(x)在[0, T)上是常数函数，又因为f(x)是周期为T的函数，所以f(x)在R上是常数函数，这与f(x)的最小正周期为T矛盾．所以f(x)不是R上的C函数．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）对任意实数x1，x2及α∈(0, 1)，证得f1(αx1+(1−α)x2)≤αf1(x1)+(1−α)f1(x2)，结合C函数的定义，可得结论；取x1＝−3，x2＝−1，α=12，由此时f2(αx1+(1−α)x2)>αf2(x1)+(1−α)f2(x2)，可得f2(x)=1x(x<0)不是C函数；（2）假设f(x)是R上的C函数，若存在m<n且m，n∈[0, T)，使得f(m)≠f(n)．可得f(x)在R上是常数函数，这与f(x)的最小正周期为T矛盾，进而得到f(x)不是R上的C函数．【解答】对任意实数x1，x2及α∈(0, 1)，有f1(αx1+(1−α)x2)−αf1(x1)−(1−α)f1(x2)＝(αx1+(1−α)x2)2−αx12−(1−α)x22＝−α(1−α)x12−α(1−α)x22+2α(1−α)x1x2＝−α(1−α)(x1−x2)2≤0，即f1(αx1+(1−α)x2)≤αf1(x1)+(1−α)f1(x2)，∴f1(x)＝x2是C函数；f2(x)=1x(x<0)不是C函数，说明如下（举反例）：取x1＝−3，x2＝−1，α=12，则f2(αx1+(1−α)x2)−αf2(x1)−(1−α)f2(x2)＝f2(−2)−12f2(−3)−12f2(−1)=−12+16+12>0，即f2(αx1+(1−α)x2)>αf2(x1)+(1−α)f2(x2)，∴f2(x)=1x(x<0)不是C函数；假设f(x)是R上的C函数，若存在m<n且m，n∈[0, T)，使得f(m)≠f(n)．(i)若f(m)<f(n)，记x1＝m，x2＝m+T，α＝1−n−mT，则0<α<1，且n＝αx1+(1−α)x2，那么f(n)＝f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)＝αf(m)+(1−α)f(m+T)＝f(m)，这与f(m)<f(n)矛盾；(ii)若f(m)>f(n)，记x1＝n，x2＝n−T，α＝1−n−mT，同理也可得到矛盾；∴f(x)在[0, T)上是常数函数，又因为f(x)是周期为T的函数，所以f(x)在R上是常数函数，这与f(x)的最小正周期为T矛盾．所以f(x)不是R上的C函数．。

2018~2019学年北京海淀区中国人民大学附属中学高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共27小题，每小题3分，共81分）1.A.B.C.D.已知集合，，那么（ ）．2. A.B.C.﹒D.过点和点的直线的斜率为（ ）．3. A.B.C.D.已知角的终边经过点，那么（ ）．4. A.B.C.D.已知向量，，，那么的值为（ ）．5. A.B.C.D.函数的最小正周期是（ ）．6. A.B.C.D.已知直线与直线垂直，那么的值为（ ）．7. A.B.C.D.某学校为调查中学生对北京世园会的了解情况，计划从初一名学生和高一名学生中抽取名学生进行问卷调查，如果用分层抽样的方法抽取样本，那么高一应抽取的人数为（ ）．8. A. B.C.D.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）．9. A.B.C.D.直线与直线的距离为（ ）．10.A.B.C.D.计算：的结果为（ ）．11.A.B.C.D.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）．主视图侧视图俯视图12.A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）．13.A.B.C.D.在中，，，，则（ ）．14.A.B.C.D.盒子里装有标着数字，，，的大小、材质完全相同的张卡片，从盒子里随机抽取张卡片，抽到的卡片上数字之积为奇数的概率是（ ）．15.A.B.C.D.若向量，满足，且，，则（ ）．16.A.B.C.D.函数的零点所在的区间是（ ）．17.A.B.C.D.函数在区间上的最大值为，那么等于（ ）．18.甲乙A.B.C.D.某品牌服装店周一至周五这天甲、乙两款服装的销售量（单位：件）用茎叶图表示如图所示．如果用，分别表示两款服装销售量的平均数，，分别表示两款服装销售量的标准差，那么（ ）．，，，，甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙19.A.B.C.D.某社区共有户住户，五月份用水量的频率分布直方图如图所示，则五月份用水量不超过的住户数为（ ）．立方米用水量频率组距20.A.B.C.D.任取，满足的概率为（ ）．21.A. B.C.D.过点且与直线平行的直线方程为（ ）．22.A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形在中，已知，那么这个三角形是（ ）．23.A.B.C.D.已知幂函数的定义域为，则的值可能为（ ）．24.A.①B.②C.③D.④设是直线，，是两个不同的平面，在下列四个命题中：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的命题是（ ）．25.A.B.C.D.假设某种设备使用的年限（年）与所支出的维修费用（万元）有以下关系：使用年限维修费用如果对的线性回归方程，那么（ ）．该种设备使用年限为年时，维修费用为万元该种设备使用年限为年时，维修费用为万元该种设备使用年限每增加一年，维修费用平均增加万元该种设备使用年限每增加一年，维修费用平均增加万元26.A.外离B.外切C.内含D.内切已知，，那么这两个圆的位置关系不可能是（）．27.A. B.C.D.已知函数若存在，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）．二、解答题（本大题共4题，共19分）28.（1）（2）已知函数的一条对称轴方程为．．求的单调递减区间．29.（1）（2）如图，在三棱锥中，，．求证：．若点、分别是棱、上的点，且，求证：．30.（1）（2）（3）已知⊙，直线经过点．若直线与⊙相离，则实数的取值范围是 ．若直线与⊙相切，则切点的坐标为 ．设直线与⊙相交于、两点，为坐标原点，求证：．31.（1）（2）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，若某地上班族中的成员仅以自驾、公交、自行车三种方式通勤．研究数据表明：当中有的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间（单位：分钟）为，而公交、自行车群体的人均通勤时间不受的影响，恒为分钟．当时，自驾群体比公交、自行车群体的人均通勤少．求该地上班族的人均通勤时间的表达式；分析的单调性及其实际意义．三、不定项选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）32.A.B.C. D.将一组数据在平面直角坐标系中画成散点图，则图中直线最有可能是这组数据的回归直线的是（）．33.A.B.C.D.已知实数，满足，则当时，的可能取值是（ ）．34.A.B.C.D.如图，一张矩形纸张长，宽，，，，分别是其四边的中点，现将其沿途图中虚线折起，使得，，，四点重合为一点，得到一个多面体，下列关于该多面体的说法中，正确的有（ ）．面数小于体积小于外接球的半径为四、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）35.（1）（2）各个面为全等的正多边形的多面体称为正多面体，以正多面体的每个面的中心为顶点的多面体称为的“伴生多面体”．若正多面体的“伴生多面体”为正四面体，则的棱数为 ．棱长为的正方体的“伴生多面体”的体积是 ．36.（1）（2）已知直线，，可以围成一个三角形，则：实数的取值范围是 ．所围成的三角形面积的最小值为 ．37.（1）（2）在一副没有大小王的扑克牌中，把看成，看成，看成，看成．对于其中五张扑克牌：如果它们的花色都相同，则称这种组合为“同花”；如果它们是连续的，如，，，，，则称这种组合为“顺子”小波先从这副扑克牌中抽取了三张牌，牌面如下：他再从剩下的牌中抽取两张（不考虑抽取顺序），构成一个五张牌的组合．该组合为“同花”的情形共有种 ．该组合为“顺子”的概率是 ．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）38.12（1）（2）已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点为棱的中点．记过点且与垂直的平面为，过点且与垂直的平面为．设平面与正方体的表面相交形成的图形为．请在图中直接画出图形．图形的周长为 ．设，证明：．39.（1）（2）在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线上，圆与轴相切，且与轴的正半轴交于、两点，在的上方，且．求圆的标准方程．设点是以原点为圆心、为半径的圆上一动点，且点不在轴上，直线与圆相交于另一点，判断是否存在，使得直线与直线关于轴对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．。