§1-8 相速、群体及色散特性

格式：pdf
大小：222.80 KB
文档页数：8

下载文档原格式

/ 8

波包（群速相速）和色散

一波包维基百科，自由的百科全书跳转到：导航搜索汉汉▼一个正在传播中，非色散的波包。

在物理学里，一个波包是一群平面波在空间的一个小区域内的叠和。

这些平面波都有不同的波数、波长、相位、波幅，都分别地建设性干涉于空间的一个小区域。

依据不同的演化方程，在传播的时候，波包的包络线（素描波包轮廓的曲线）可能会保持不变（没有色散，如图右），或者包络线会改变（有色散）。

在量子力学里，波包有个特别的意思：波包被铨释为粒子的概率波，而在任何位置，任何时间，概率波波幅的绝对值的平方，就是在那个位置，那个时间，找到粒子的概率密度。

在这方面，它的功能类似波函数。

类似在经典力学里的哈密顿表述，在量子力学里，应用薛定谔方程，我们可以追溯一个量子系统随着时间的演化。

波包是薛定谔方程的数学解答。

在某些区域内，波包所囊括的面积的平方，可以铨释为找到粒子处于那区域的概率密度。

采用坐标表现，波包的位置给出了粒子的位置。

波包越狭窄，粒子的位置越明确，而动量的分布越扩散。

这位置的明确性和动量的明确性，两者之间的轻重取舍是海森堡不确定原理的一个标准例子。

目录隐藏1 背景 2 波包计算范例 3 参考文献 4 参阅编辑背景早在十七世纪，牛顿就已创始地建议光的粒子观：光的移动是以离散的束包形式，称为光微粒。

可是，在许多实验中，光表现出了波动行为。

这使科学家们渐渐地倾向于波动观，认为光是一种传播于介质中的波动。

特别著名的一个实验是英国科学家托马斯杨在1801 年设计与研究成功的双缝实验。

这实验试图解答光到底是粒子还是波动的问题。

从这实验观测到的干涉图案给予光的粒子观一个致命的打击。

大多数的科学家从此接受了光的波动观。

在20 世纪初期，科学家开始发现经典力学内在的许多严重的问题，许多实验的结果，都无法用经典理论来解释。

一直到1930 年代，光的粒子性，才真正地被物理学家广泛接纳。

在这段时间，量子力学如火如荼的发展，造成了许多理论上的突破。

许多深奥的实验结果，都能够得到圆满合理的解释。

波动中的相速度与群速度

推导过程
从波动方程出发，结合相位的概念，可以推导出相速度的计算公式。
群速度计算公式及推导
群速度定义
群速度是指波包（由多个频率成分组成的波）在空间中传播的速度，用$v_g$表示。
群速度计算公式
群速度$v_g$与相速度$v_p$和频率$f$的关系为$v_g = frac{domega}{dk} = frac{d(2pi f)}{d(2pi/lambda)} = frac{d(lambda f)}{dlambda}$。
推导过程
从波动方程出发，结合波包的概念和傅里叶分析，可以推导出群速度的计算公式。
数值计算方法介绍
1 2转化为差分方程进行求解，可以得到相速度和群速度的数值解。
有限元法
将连续的物理问题离散化为有限个单元进行求解，适用于复杂结构和边界条件的波动问题。
3
物质波的相速度与群速度
在量子力学中，粒子具有波动性，其相速度和群速度对应于物质波的相应速度。这对于理解粒子的运动状态和相互作用具有重要意义。
量子隧穿效应
在量子隧穿过程中，粒子能够穿越经典力学中无法逾越的势垒。此时，相速度和群速度的概念有助于描述粒子在隧穿过程中的行为。
05
相速度与群速度在工程学中应用
光学领域应用举例
光的折射与色散
在光学中，相速度与群速度的概念对于理解光的折射和色散现象至关重要。不同频率的光在介质中的折射率不同，导致相速度和群速度发生变化。
脉冲光的传播
在脉冲光传播过程中，群速度决定了脉冲光的整体传播速度，而相速度则与脉冲光中各个频率分量的传播速度有关。
量子力学领域应用举例
机械工程
在机械工程中，相速度和群速度的概念对于机械波的传播和控制具有指导意义。例如，在振动分析中，通过分析机械波的相速度和群速度，可以了解振动在结构中的传播特性，为减振降噪设计提供依据。

微波：波速、相速、群速和能量传输速度的区别与联系

微波：波速、相速、群速和能量传输速度的区别与联系波速、相速、群速、能量传输速度1、定义波速（wave celerity）：单位时间内波形传播的距离，以波长与波周期之⽐表⽰.V=⼊/T.相速(phase velocity)：相速度,单⼀频率的正弦电磁波波的等相⾯（例如波峰⾯或波⾕⾯）在介质中传播的速度v=c/n，c为⾃由空间中的光速，n为介质对该频率电磁波的折射指数。

在理想介质中，电磁波的相速仅与介质参数有关.群速(group velocity)：（1）、波列作为整体的传播速度（2）波群传播的速度。

波的群速度，简称群速，是指波的包络传播的速度。

实际上就是波实际前进的速度。

群速是⼀个代表能量的传播速度。

概念引⼊原因：实⽤系统的信号总是由许多频率分量组成，在⾊散介质中，各单⾊分量将以不同的相速传播，因此要确定信号在⾊散介质中的传播速度就发⽣困难，为此引⼊群速的概念，它描述信号的能量传播速度。

能量传播速度：群速是波群的能量传播速度.2、相互关系（1）相关概念⾮⾊散介质：⽆线电波在介质中传播时，介电常数ε与频率⽆关，波的传播速度也与频率⽆关的介质；⾊散介质：与此相反，如果介电常数ε或传播速度v与频率有关的介质.正常⾊散：⼀切⽆⾊透明介质在可见光区域均表现为正常⾊散。

特点：波长变⼤时，由v=λf,频率不变，则V增⼤。

⽽n=c/v，则折射率值n变⼩，⾓⾊散率D变⼩。

反常⾊散：在某些波段会出现，波长变⼤时折射率值增⼤的现象，这称为反常⾊散。

反常⾊散同样是物质的普遍性质。

反常⾊散与选择吸收密切相关，即在发⽣物质的选择吸收波段附近出现反常⾊散。

⾓⾊散率：由夫琅和费衍射理论知，产⽣衍射亮条纹的条件（光栅⽅程）：dsinθ=kλ（k＝ 1， 2，…， n）光栅⽅程对λ微分，就可得到光栅的⾓⾊散率：ψ=Δθ/Δλ=k/dcos.⾓⾊散率是光栅、棱镜等分光元件的重要参数，随着k的增⼤，⾊散率也就越⼤。

它表⽰单位波长间隔内两单⾊谱线之间的⾓间距，当光栅常数d愈⼩时，⾓⾊散愈⼤；光谱的级次愈⾼，⾓⾊散也愈⼤。

《相速度和群速度》课件

它并不等于波的能量或信息传播的速度，这是群速度的概念。
相速度的物理意义
相速度决定了波在介质中的传播速度，即波峰和波谷的运动速度。
它决定了波的相位变化和干涉、衍射等物理现象的发生。
在某些情况下，相速度可以接近无穷大，例如在无损介质中传播的波。
相速度的计算方法
根据波动方程和介质的物理性质，可以求解波的相速度。
影响因素不同
相速度只与介质性质有关，而群速度不仅与介质性质有关，还与频率有关。
在某些介质中的行为不同
在色散介质中，相速度可以超过光速，而群速度不能超过光速。
相速度与群速度的联系
在某些情况下，两者可能相等
01
在无色散介质中，波的相速度和群速度是相等的。
两者都是描述波动现象的重要参数
02
相速度和群速度分别从不同的角度描述了波动现象，对于理解
展望
未来研究方向
随着科技的发展，相速度和群速度的研究将更加深入，未来可以进一步探索其在不同领域的应用
，如量子力学、生物医学等。
技术发展与挑战
随着通信、信号处理等技术的快速发展，对相速度和群速度的研究将面临更多挑战，需要不断探索新的理论和方法。
跨学科合作与交流
相速度和群速度的研究涉及到多个学科领域，未来需要加强跨学科的合作与交流，促进相关领域的发展。
波动现象的本质和传播规律具有重要意义。
两者都是波动方程的解
03
无论是相速度还是群速度，都是波动方程的解，用于描述波动
在介质中的传播行为。
PART 04
相速度和群速度的应用
REPORTING
通信领域的应用
相速度的应用
在通信领域中，相速度控制着信号的相位信息传递。通过调整相速度，可以实现对信号的相位调制，如调相（PM）和调频（FM）等，从而实现更高效、更可靠的数据传输。

高二物理竞赛光的色散课件

6）相速和群速关系的图像推导
已知：1 2 , v1 v2
由图可知：v1 t vg t 1, v2 t vg t 2
即：vP t vg t
图中又有：d td vP
则：vg
vP
t
vP
d vP
d
3）两列单色波迭加后的波包的群速
E1(x,t) E0 cos(k1x 1t)
E2 (x,t) E0 cos(k2x 2t)
令： (2 1) / 2,0 (1 2 ) / 2 k (k1 k2 ) / 2, k0 (k1 k2 ) / 2
设： 0, k k0
有： E(x,t) E1(x,t) E2 (x,t)
光的色散
1．色散概念
1）定义：介质折射率随光的频率或波长变化的现象
2）色散曲线：介质折射率随波长变化的函数关系
例如：n n() sin[ min () ]/ sin / 2 3）色散率：dn / d
介质折射率随波长的变化率
第八章光的吸收、色散和散射
1．群速问题的引出
1860～1862年间测定 CS 2 折射率时折射率法（n sin i1 / sin i2 ）测得：n' 1.64
5）瑞利群速公式
k vP,k
vg vP k
2 / ,dk
d vP dk
vP
2d d vP2 d
k
d
注 vP/ d 0时，vg vP
（3） d vP/ d 0时，vg vP
（4）无色散时，d vP/ d 0,vg vP
6）相速和群速关系的图像推导下图是两列波迭加的波包
速度法（n c / v）测得：n'' 1.758
两者差异很大，并非实验误差所致。瑞利找到了原因，提出了光的相速和群速概念。

电磁波传播的色散现象和群速

合成波振幅，包络为以频率 Δω传播的低频行波。行波因子，表向＋z向传播的行波。包络波，速度vg z 载波，速度vp
11:15
群速为：
dz Δω dω d (v p k ) dv p ω dv p = ≈ vg = = vp + vg = = vp + k dt Δk dk v p dω dk dk vp ⇒ vg = ω dv p 1− v p dω 讨论：
r r E1 ( z , t ) = ex Em cos[(ω0 + Δω )t − ( β 0 + Δβ ) z ] r r E2 ( z , t ) = ex Em cos[(ω0 − Δω )t − ( β 0 − Δβ ) z ]
则合成波电场： r r r 实数：E ( z , t ) = E1 ( z , t ) + E 2 ( z , t )11:15相速
相速：表示波的恒定相位点推进的速度，即为波传播的速度。
vp =
在理想媒质中：k = ω
ω
k
(k为波数)
με ,此时相速与频率无关的常数在导电媒质中： k = β − jα , 由于相位常数 β为与频率相关的函数，故
此时相速为与频率相关的函数——导电媒质（损耗媒质）为色散媒质
11:15
群速
载有信息的电磁波通常是由一个高频载波和以载频为中心向两侧扩展的频带所构成的波包，波包包络传播的速度就是群速。考察两个同幅、不同频率电磁波的叠加：设两个振幅为Em ，角频率分别为ω0+Δω和ω0-Δω的同向行波在空间中合成调制波。两行波相位常数分别为： 1 = β + Δβ , β 2 = β − Δβ β
电磁波的传播特性与介质参数有关当这些参数和传播常数随频率变化时不同频率电磁波的传播特性就会有所不同这就是色散效应这种媒质称为色散媒质

相速度和群速度

2. 复色波的速度该式表明：这个二色波是如图所示的、频率为、振幅随时间和空间在 0 到 2E0 之间缓慢变化的光波。这种复色波可以叫做波群或振幅调制波。 x
振动的合成.exe
2. 复色波的速度
对于上述复色波，其传播速度包含两种含义：等相位面的传播速度，称为相速度；等振幅面的传播速度，称为群速度。形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞，你会觉得电钻的钻头的螺纹在旋转时似乎以高速前进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的 “相速度”，虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢地向墙内推进，也就是说电钻的总的向前推进的速度就是“群速度”。
1.4 相速度和群速度 (Phase velocity and group velocity )
在前面的讨论中，提到了光波速这个物理量，下面讨论它的具体含义。 1. 单色光波的速度 2. 复色波的速度
1. 单色光波的速度
假设单色光波电场的表示式为
E E0 cos[(t (r )] （ 69）
dz m g = = dt km k
EE （z, t )cos （t kz）
E （z,t )=2E0 cos （mt km z）
(73)
m t km z =常数
dz m k m 0 dt dz m dt km
1 1 m = (1 2 )= 2 2 1 1 km = (k1 k2 )= k 2 2 dz m

k c
r r
(71)
2. 复色波的速度如前所述，实际上的光波都不是严格的单色光波，而是复色波，它的光电场是所包含各个单色光波电场的叠加，即
E E0l cos(l t kl z )

色散和群速度的关系

色散和群速度的关系一、引言色散和群速度是光学领域中两个重要的概念。

色散是光波中波长不同频率不同的现象，而群速度是光的传播速度。

色散和群速度之间存在着一定的关系，通过研究这种关系可以深入理解光的本质和光的传播规律。

二、色散的定义和分类色散是指光在透明介质中传播时，由于介质的不均匀性和非线性导致不同频率的光波具有不同的传播速度，从而产生波长变化的现象。

色散现象可以用光的折射率随波长的变化来描述。

根据波长对折射率的依赖关系，色散可以分为两种类型：正常色散和反常色散。

正常色散是指折射率随着波长的增加而减小的现象。

这种色散现象在大多数物质中发生，如水、玻璃等。

当光由空气进入这些物质时，低频成分的光波传播速度较高，而高频成分的光波传播速度较低，导致光波的波前变为凹面状，即波长变长。

反常色散是指折射率随着波长的增加而增大的现象。

这种色散现象在某些特殊的物质中发生，如某些光学玻璃和光纤等。

当光由空气进入这些物质时，低频成分的光波传播速度较低，而高频成分的光波传播速度较高，导致光波的波前变为凸面状，即波长变短。

三、群速度的定义和特性群速度是指介质中光的能量传输速度。

它可以通过介质中光的波包的传播速度来描述。

群速度可以用光的相速度和色散的关系来表示。

相速度是指波的相位的传播速度，是光波的特性之一。

光波的相位是指光波的起点和终点的时间差。

根据光波的频率和波长可得到相速度的公式：v_phase = λf，其中v_phase为相速度，λ为波长，f为频率。

色散的存在使得光波的相速度和群速度不完全相同。

群速度是指波包传播过程中其最大幅值的能量传输速度。

在光的传播中，光波的不同频率成分在介质中传播速度不同，导致波包的形状能发生变化。

这种变化称为群速度的谱宽展宽效应。

群速度可以用群速度和色散的关系来描述。

群速度与色散之间存在一定的关系，通过研究这种关系可以深入理解光波的特性，有助于光学应用的发展。

四、色散与群速度的关系色散和群速度之间的关系可以通过波包的传播来解释。

导波光学

导波光学清华大学电子工程系范崇澄等编著内容简介本书系1988年出版的同名教材的修改版。

全书由九章增至十二章，系统讨论了用于光通信、光传感和光信息处理的光波导的基本原理和特性。

内容包括光波理论的一般问题、平面与条形光波导、耦合波理论、阶跃和渐变折射率光导纤维中的场解、光波导中的损耗、信号沿光波导传输时的弥散、单模光纤中的双折射和偏振态的演化、光纤光栅、有源掺杂光纤以及光纤中的非线性等内容。

在叙述中强调基本物理概念和处理方法的思路，并介绍了本学科近期发展的某些重要成果。

本书适合于有关光通信、信息光电子学、电子物理、以及微波技术等专业的大学高年级学生及研究生阅读，并可作为有关领域的教学、科学研究和工程技术人员参考。

教学大纲总学时：60。

授课方式：讲课+自学。

主要内容（根据需要有所取舍）：第一章光导波理论的一般问题§1-1 导波光学的基本问题及研究方法§1-2 几何光学方法§1-3 波动光学方法及波动方程§1-4 电磁波在介质界面上的反射及古斯-汉欣位移§1-5 光波导中模式的基本性质§1-6 弱导近似§1-7 传播常数（本征值）的积分表达式及变分定理§1-8 相速、群速及色散特性§1-9 本地平面波方法§1-10 光束的衍射·几何光学及本地平面波方法的应用范围§1-11 介质波导与金属波导的若干比较第二章平面及条型光波导§2-1 用本地平面波方法平面光波导的本征值方程§2-2 用电磁场方法求解平面光波导§2-3 条形光波导的近似解析解§2-4 条形光波导的数值解法概述第三章耦合模理论§3-1 模式正交性的及模式展开§3-2 导波模式的激励§3-3 耦合模方程及耦合系数§3-4 耦合模理论的局限及其改进第四章导波光束的调制§4-1 光波调制的一般概念§4-2 晶体的电-光特性§4-3 光波导的电-光调制§4-4 定向耦合型调制器/开关第五章阶跃折射率光纤中的场解§5-1 数学模型及波动方程的解§5-2 模式分类准则及模式场图(本征函数)§5-3 导波模的色散特性及U值的上、下限§5-4 色散特性的进一步简化§5-5 弱导光纤中场的标量近似解—线偏振模§5-6 平均功率与功率密度§5-7 模式场的本地平面波描述第六章渐变折射率弱导光纤中的场解§6-1 无界抛物线折射率弱导光纤中场的解析解§6-2 WKB法求解导波模的本征函数及本征值§6-3 模式容积及主模式号·泄漏模§6-4 单模光纤的近似解法（一）——高斯近似§6-5 单模光纤的近似解法(二) -- 等效阶跃光纤近似（ESF）§6-6 单模光纤的近似解法(三) - 矩等效阶跃折射率近似及其改进§6-7 单模光纤的模场半径§6-8 单模光纤的截止波长第七章光波导中的传输损耗§7-1 损耗起因和损耗谱§7-2 本征吸收及瑞利散射损耗§7-3 杂质吸收§7-4 弯曲损耗§7-5 弯曲过渡损耗§7-6 连接损耗第八章信号沿线性光波导传输时的畸变§8-1 脉冲沿线性光波导传输时畸变的起因及描述方法§8-2 材料色散§8-3 g型多模光纤的模间弥散§8-4 单模光纤的色散§8-5 单模光纤的色散对系统色散的影响§8-6 新型石英系光纤第九章单模光波导中的双折射及偏振态的演化§9-1 双折射现象及其意义§9-2 双折射光纤的参数及其分类§9-3 光纤中的线双折射§9-4 光纤中的圆双折射§9-5 偏振态沿光纤的演化（一）—琼斯矩阵法§9-6 单模光纤中偏振态的演化(二)—邦加球法§9-7 偏振模色散在邦加球上的描述第十章光纤光栅§10-1 概述§10-2光纤布拉格光栅(FBG)的基本原理、结构和分析方法§10-3 常见的FBG§10-4 采样布拉格光栅(SBG)§10-5 长周期光纤光栅第十一章掺铒光纤放大器§11-1 引言§11-2 掺铒光纤放大器的基本工作原理与特性§11-3 EDFA内部物理过程的进一步讨论和Giles参数§11-4 EDFA的稳态工作特性§11-5 EDFA中的增益瞬态过程§11-6 EDFA的设计原则第十二章光纤中的非线性效应§12-1 引言§12-2 光纤中的非线性薛定鄂方程§12-3 光纤中的受激散射§12-4 光纤中的四波混频效应§12-5 自相位调制（SPM）§12-6 非线性色散光纤中信道内的噪声演化与调制不稳定性§12-7 信道间的串扰噪声：互相位调制(XPM)和受激拉曼散射(SRS) 结语。

相速度与群速度

相速度与群速度振动状态在空间的传播速度称为波速，又称相速度。

如沿x轴正方向传播的平面简谐波，其表达式为式中（ωt-kx）称为波相，当（ωt-kx）一定时，则ξ值一定。

当t增大时，x必须增大，才能保持（ωt-kx）不变。

这意味着用（ωt-kx）描述的振动状态随着时间的推移向x的正方向传播。

相速度即波相传播的速度，等于x对t的变化率，令ωt-kx＝常量将上式两边微分，经整理可得（1）u即所求相速度。

这里ω=2πv，，代入则得此即大家熟悉的相速度的公式。

从根本上讲，相速度的大小取决于媒质的性质。

弹性波由弹性媒质的力学性质决定，电磁波由媒质的折射率决定。

实验和理论证明，相速度的大小还与波的频率有关。

光的色散现象就是波速与频率有关的明显例证。

通常把相速度与频率无关的媒质称为无色散媒质；把相速度随频率而变的媒质称为色散媒质。

在无色散媒质中，只要用相速度描述波的传播即可，但是在色散媒质中，要描述任意一种波(如图1所示的非简谐波)的传播只有相速度就不够了，需要引入群速度的概念。

p/dλ≠0，vg≠vp），并且在正常色散区域（dvp/dλ＞0，dn/d λ＜0），群速度小于相速度（vg＜vp）；在反常色散区域（dvp/dλ＜0，dn/d λ＞0），群速度则大于相速度（vg＞vp）。

只有在无色散介质或真空中（dvp/dλ=0，dn/d λ=0），群速度才等于相速度（vg=vp）。

根据付里叶分析，任何一个复杂的波，都可以分解成许多不同频率成分的简谐波的叠加。

在色散媒质中，不同频率的简谐波传播速度不同，那么这许多简谐波合成的波是以什么速度传播呢？为了方便，以两个频率相近的等振幅简谐波的合成波的传播为例说明群速度的概念。

设合成波为（2）式（2）中或，或k2,所以变化缓慢，如图中虚线所示的包络线；而表示图中一个个小的波形。

令，，，，则式（2）可改写为在波传播过程中，一个个小的波形在向前传播的同时，整个波形即包络也在向前移动，二者移动速度可如下求得：令＝常量等式两边微分，可求得小波形移动的速度为（3）同样可求得包络移动的速度或称波群移动的速度为一般表示为：（4）U g即群速度。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

二、色散特性
相速与工作频率的关系称为色散特性。显然，我们更感兴趣的是导波模的色散特性。表示色散特性的常用方法包括如下几种：（1） β = f (ω)或ω = f (β ) ，见图 1-8-1。图中画出了三个导波模 a、b、c 的色散特性。由§ 1-5 的讨论可知,它们都夹在 (β / ω) = n 1 / c和(β / ω) = n 2 / c 的扇形区域 II 内。其中 b、c 的截止角频率为 ωcb 和ωcc 。模式 a 的截止频率最低（在本例中为 0），称为基模。当 ω → ∞ 时各模式
−2 −1 2
，或光强角谱 A (u ) 下降
。对 s 上述两种不同 E(r)的计算结果见表 1-10-1。表 1-10-1 光束的角谱及相关参数
E(r) A(u) ud θd
∞
高斯光束 exp(-r2/w2) exp[-(uw/2)2] 2/w 0.32λ/nw
阶跃光束 1, 0≤r<w 0, r>w 2J1(uw)/uw ≈ exp[-0.14(uw)2] 2.7/w 0.43λ/nw
2 2
(
2 1/ 2
（1-5-13）有该分量应为 [k n
2 0
2
(x ) − β 2 ]1/ 2 。二维限制光波导中，当 n = n (r ) 时，由式（1-5-13）
1/ 2
)
；当折射率为对称渐变分布（图 1-2-4）时，由式（1-2-8）、
2 2 v2 2 有该分量应为 k 0 n (r ) − β − 2 r
2
ˆ (r ) 是空间位置的函数。只要与波长相比，n(r)是空间位置的慢变函数，此近似就 k (r ) = n (r )k 0 k
二、用本地平面波概念确定波导模的本征值
1．波矢的横向分量前已述及，用本地平面波概念研究光波导中光的传播时，光的传播方向由几何学方法确定，其．．（即纵向传播常数β）可由横向谐振概念来确定, 相移则由 ∫ k • dr 求出。对于导波模式，其本征值．．．．．．．．．为此首先应求出波矢的横向分量。一维限制光波导中，折射率为对称阶跃分布（图 1-2-3a）时，由式（1-2-4）、（1-5-13）有波矢的横向分量为 k 0 n 1 − β
2m m ∞ ∞ ( n! xn − 1) x − αx n 计算中用到 J 0 ( x ) = ∑ , = 和 ≡ 。 e x dx exp( x ) ∑ 2 ∫0 α n +1 m = 0 (m!) 2 n =0 n!
。
2．横向谐振概念对于导波模，电磁波经横向内反射后应形成干涉加强，即波矢横向分量在一个空间周期内的积分值应为 2π的整数倍。其中除包括行进过程中的相移外,还应包括在全反射处的附加相位跃变,即
一个空间周期
∫ k • dr + 2(全反射的相位突变) = 2µπ
µ = 0, 1, 2K
(1-9-5)
1 1
− β2
)
1
2
d = µπ + 2φ
(1-9-7)
∫−x
tp
（1-9-8）
其中 xtp 由被积函数的零定确定，对应于式（1-2-12）。对于如图（1-2-8）所示的渐变折射率圆光纤，式（1-9-6）对应于
∫
2 rtp 2 2 ν2 1 2 ( ) − β − dr = µ + π ric k 0 n r 2
2 ∂n 2 ( ) n x , y k n + 0 F dA ∫A∞ ∂k 0 c2 ≈ 2 vp vg ∫ A∞ F dA
忽略折射率 n 随工作频率的变化，则式（1-8-3）、（1-8-4）分别简化为
（1-8-4)
2k 0 ∫ A∞ n 2 (x , y )F 2 dA d β2 ≈ 2 dk 0 ∫ A∞ F dA
部导波模 U 和 W 不能限于一定的范围之内。（4） b = f ( V ) ，见图 1-8-4。它的优点是纵坐标和横坐标都已归一化，且 b 对所有的导波模都在 0 和 1 之间，适当选取纵坐标的比例尺，可以得到足够的精度。
§ 1-9
本地平面波方法
本节将给出本地平面波方法的基本概念,并从横向谐振概念出发确定本征值应该满足的条件。
(1-8-7)
c2 ≥ 2 vg
∫
A∞
n 2 (x , y )F 2 dA
A∞
如果导波场存在的范围内 n (x , y ) = n = const ，则必有
∫
F 2 dA
(1-8-8)
vp vg =
且
c2 n2
(1-8-9) (1-8-10)
vg ≤
c c , vp ≥ n n
这正是微技术中金属边界波导管的一般结果。这时 F 对 TEM 模可理解为场的横向分量，对 TE、TM 模可理解为场的纵向分量；在两种情况下都是标量函数。式（1-8-7）和式（1-8-8）给出了二维弱导光波导中导波模相速的下限和群速的上限。在无损条件下，能速和群相速等；有损时，二者一般并不相同，本书中只有考虑小损耗情况，认为能速与群速仍然近似相等。
2．非均匀介质此时 e，h 与式（1-9-1）的不同在于： E 0 、 H 0 本身与空间位置有关，应表为 E 0 (r ) 、
2
H 0 (r ) 。此外，相位累积不再是 k • r而是 ∫ k (r ) • dr 。我们有 h = H 0 exp(− j∫ k • rdr ) e = E 0 exp(− j∫ k • rdr )
（2） β / k 0 = f ( V) ，见图 1-8-2。它的基本优点是纵坐标的比例可以足够大，从而得到满意的精度，且横坐标已经归一化。 ωcb 和ωcc 变为 Vcb 和Vcc ，但纵坐标仍未归一化。（3） U = f (V )或W = f ( V) ，见图 1-8-3。优点是纵坐标和横坐标全部归一化，缺点是对全
全反射的相位突变 2φ 由式(1-4-19)或式(1-4-21)确定，取决于折射率是突变还是渐变。必须指出,
k • dr 是以相位落后为正（因是 e jωt e − j ∫ k •dr ），而由式（1-4-9）（1-4-21）决定的 φ TE 和 φ TM
是以位领先为正。故式（1-9-5）应写成
∫ k • dr = 2µπ + 2[2φ] 其中 φ 表示 φ TE 或 φ TM 。
§1-8
相速、群体及色散特性
本节主要给出介质光波导中导波模相速和群速应满足的关系，以及色散特性的常用表示方法。
按定义，对于以 exp j(ωt − β z ) 表征的波，其相速和群速可分别写成
[
]
一、相速与群速
vp ≡
k ω =c 0 β β dk dω vg ≡ =c 0 dβ dβ
(1-8-1) (1-8-2)
θ d ≥ 90 o − θ ic
n2 θ d ≤ arcsin 1 − n 1
经典几何光学近似条件不同之处。
2
(1-10-1)
就是在光波导中应用几何光学或本地平面波的条件。下面将会发现，它比 a λ >>1 要苛刻，这是与
为了进一步探讨式（1-10-1），需要研究各种光束的光强角谱分布。为简便计，考虑折射率为 n 1 的均介质中圆柱形光束的散开。其电场径向分布函数 E(r ) 取为高斯型或阶跃型（图 1-10-2）。
∞ 0
0
∞ 0
(1-10-2)
其中 u 是子平面波波矢的 r 方向分量 k 0 n sin θ z ； θ z 是该子平面波波矢与 z 轴夹角。A(0)=1 说明：平行于 z 轴的子平面波，归一化角谱函数为 1。可以根据 A(u)定义一个表征光束发散的特征角 θ d ，它所对应的 u = k 0 n 1 sin θ d ≈ k 0 n 1θ d 使 A(u)下降到 A(0)的 e 至e
一、本地平面波的基本概念
1. 均匀介质由式（1-4-2），在均匀无界介质中电磁波的解可表示为平面波
e = E 0 exp(− jk • r ) h = H 0 exp(− jk • r )
之间满足如式（1-6-2）的关系， H 0 =
(1-9-1a) (1-9-1b)
ε0 ˆ nk × E 0 ，电磁场的能流密度的周期平均值为 µ0
它们分别表征着等相位面和信号包迹沿波导的传播速度。注意色散是指群速（而不是相速）与频率．．．．．．． 2 2 有关，即 d β /d ω ≠ 0 。物理上，造成色散的原因可能是材料折射率对波长的二阶导数不为零和波导．．效应使β和ω不呈线性关系，详细讨论见第八章。利用式（1-7-5）可以确定弱导光波导中导波模相速与群速之间关系。由于β对 F 是稳定的，在求
( )
(1-8-5)
c2 ≈ vp vg
∫
A∞
n 2 (x , y )F 2 dA
2
由于在式（1-7-5）中 (∇ t F)
2 ∫ A∞ F dA
(1-8-6)
恒非负值，则
A∞
c2 β2 = 2 ≤ v2 k0 p
由式（1-8-6），这意味着
∫
n 2 (x , y )F 2 dA
2 ∫ A∞ F dA
(1-9-3a) (1-9-3b)
而式（1-6-2）相应变为
H 0 (r ) =
ε0 ˆ (r ) × E (r ) n (r )k 0 µ0
(1-9-4)
在物理上，这种处理方法对应于把电磁场在一个局部区域内看成是平面电磁波，它的波矢可成立。在本地平面波情况下，射线管由 S • dA ∝ n (r ) E 0 (r ) dA守恒确定。
c
参见 A. W. Snyder and J. D. Love, Optical Waveguide Theory, Chapman and Hall, London, 1983, Ch. 10.