【华南师范大学】复变函数(级数、留数)含答案

第一篇 复变函数第一章 复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.（1） 72)52)(43(ii i −+；（2） .4218i i i +−2. 当x ，y 等于什么实数时，等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立？3.证明：（1）;2z z z = （2）1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值： （1）();35i −（2）().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围：（1）;65=−z（2）;12≥+i z（3）.i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域，并指出它是有界的还是无界的： （1）;32≤≤z（2）.141+<−z z9.将方程tt z 1+=（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章 复习题1.单项选择题（1）设iy x z +=，y x ≠||，4z 为实数，则（ ）.A ．0=xy B.0=+y x C ．0=−y x D.022=−y x（2）关于复数幅角的运算，下列等式中正确的是（ ）. A ．Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C ．2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += （3）=+31i （ ）.A ．ie 62πB.ie 62π−C ．ie 62π± D.i e62π±（4）2210<++<i z 表示（ ）. A ．开集、非区域 B.单连通区域 C ．多连通区域 D.闭区域（5）z i z f =−1，则()=+i f 1（ ）.A ．1 B.21i+ C ．21i− D.i −1 （6）若方程1−=z e ，则此方程的解集为（ ）.A ．空集 B.π)12(−=k z ，（k 为整数） C ．i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立？3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −，)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−，i i e41π+，i 3和ii )1(+值.第二章 导数1．下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域，并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f（3）(),dcz baz z f ++=（d c ,中至少有一个不为0）.3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值.4.证明：如果()z f 在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么是常数. （1）()z f 恒取实值. （2）)(z f 在区域D 内解析. （3）()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在？（1）())Re(z z f =；（2）())Im(z z f =.6.证明；,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章 复习题1.单项选择题（1）函数()z f w =在点0z 可导是可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（2）函数()z f w =在点0z 可导是连续的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（3）函数()),(),(y x iv y x u z f +=，则在()00,y x 点，v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（4）函数()22ix xy z f −=，那么（ ）. A ．()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C ．()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导（5）若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ，,),(xy y x v =()iv u z f +=，则()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C ．()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微（6）若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=， 那么()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C ．()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ （7）函数()z z z f = ，则（ ）. A ．()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C ．()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导（8）设()34−=′z z f ，且()i i f 31−=+，则()=z f （ ）.A ． i z z −−322 B. i z z 3322+− C ．i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域，并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点，而()z g 在0z 解析，那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数，那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章 积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .（1）自原点至1+i 的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫，其中C 为正向圆周，2=z .4.计算下列积分 ，其中C 为正向圆周，1=z . （1）;21dz z C ∫− （2）;4212dz z z C ∫++（3）;cos 1dz zC ∫ （4）;211dz z C∫−（5）;dz ze Cz ∫（6）().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分：（1）dz z C ∫−21，C ：12=−z ；（2）dz a z C ∫−221，C: a a z =−；（3）,3dz z zC ∫− C ：2=z ；（4）()()dz z z C∫++41122，C ：23=z ；（5）dz zzC ∫sin ，C ：1=z ； （6）dz z zC∫−22sin π，C ：2=z .6.计算下列各题： （1）∫−ii z dz e ππ32；（2）∫−iizdz ππ2sin ；（3）.)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分：（1）dz i z z C ∫+++2314，C ：4=z ，正向； （2）dz z iC ∫+122，C ：61=−z ，正向； （3）,cos 213dz z zC C C ∫+= 1C ：2=z ，正向，2C ：3=z ，负向；（4）dz i z C ∫−1，C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形； （5）()dz a z eC z∫−3；其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z ，正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线，a 为不等于0的任何复数，试就a 与a −跟C 的各种不同位置，计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章 复习题1.单项选择题.（1）设C 为θi e z =，θ从2π−到2π的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．i B.2i C ．-2i D.- i（2）设C 是从0=z 到i z +=1的直线段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1+i B.21i+ C ．i e4π− D. ie 4π（3）设C 为θi e z =，θ从0到π的一段，则=∫Czdz arg （ ）.A ．i 2−−π B. π− C ．i 2+π D. i 2−π（4）设C 为t i z )1(−=，t 从1到0的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1 B.-1 C ．i D.- i（5）设C 为1=z 的上半部分逆时针方向，则=−∫Cdz z )1(（ ）.A ．2i B.2 C ．-2i D.- 2（6）设C 为θi e z 21=，正向，则=−∫C z dz e e zsin （ ）.A ．sin1 B.e i 1sin 2π C ．e i 1sin 2π− D.0（7）=++∫=dz z z z 12221（ ）.A ．i π2 B.i π2− C ．0 D.π2 （8）设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度，则=+∫C dz z )1sin(（ ）.A ．0 B.2cos − C ．12cos − D. 12cos − （9）=++∫=+dz z z e z z 232)1(232（ ）. A ．0 B.i π32C ．i π2 D. i π2−（10）=++∫=dz z z zz 121682cos π（ ）A ．0 B.i π C ．i π− D. i π2.（11）=+∫=dz z zz 221（ ）.A ．0 B.i π2 C ．i π2− D. i π（12）=∫=dz z e z z12（ ）.A ．i π2 B. i π C ．0 D. π （13）1322z z z e dz ==∫（ ）.A ．i π2 B. i π16 C ．i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12，其中Γ是圆环域：221≤≤z 的边界.3.（1）证明：当C 为任何不经过原点的闭曲线时，则;012=∫dz zC（2）沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C（3）沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C ：2=z ，试求()i f ，()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C ：.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ，求().z f ′第四章 级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径：()为正整数）；p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内；在以i z i z z =−,142第四章 复习题1.单项选择题：()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛，能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章 留数1.判断下列函数奇点的类型，如果是极点，指出它的阶数：()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）.();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点？并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值，如果：求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分，C 为正向圆周：()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分：();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章 复习题1.单项选择题：()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型，并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题：(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为（）. (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).Ａ. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域 Ｂ. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题：1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇 积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章：,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.（1）以z =5为圆心，6为半径的圆；（2）以z =-2i 为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部；（3）i 和i 两点的连线的中垂线. 8.（1）圆环形闭区域，有界； （2）中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域，无界. 9．xy =1。

《复变函数》考试试题(一)一、 判断题（20分）:1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f （z)在z 0解析. （ ） 2。

有界整函数必在整个复平面为常数. （ ) 3。

若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。

( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)(（常数）. ( ）5。

若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。

( ） 6。

若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f （z)的可去奇点。

( ）8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ） 9。

若f (z )在区域D 内解析， 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10。

若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数。

（ ） 二.填空题(20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数)2。

=+z z 22cos sin _________. 3。

函数z sin 的周期为___________.4。

设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。

5。

幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。

6。

若函数f （z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________。

8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数。

9. zz sin 的孤立奇点为________ 。

10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三。

复变函数1到5章测试题及答案(总20页)--本页仅作预览文档封面，使用时请删除本页--- 2 -第一章 复数与复变函数(答案)一、 选择题1．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（B ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π-=，那么=z （A ）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+-3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（D ）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i（C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（C ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（B ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线- 3 -６．一个向量顺时针旋转3π，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（A ）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（D ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（B ） （A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（D ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（C ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B ） （A ）221=+-z z （B ）433=--+z z- 4 -（C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则12()f z z -=（C ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．000Im()Im()limz z z z z z →--（D ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（C ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（A ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 8arctan -π 3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z i 21+- 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 ie θ16- 5 -5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z522=++-z （或1)23()25(2222=+y x ） 的内部 ７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为 122=+y x８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 12i -+ 和 2i - 的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为()2211u v -+= 10．=+++→)21(lim 421z z iz 12i -+三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围． (]25,25[+-（或25225+≤+≤-z ）) 四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22. (当10≤≤a 时解为i a )11(-±±或)11(-+±a 当+∞≤≤a 1时解为)11(-+±a ) 五、设复数i z ±≠，试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或Im()0z =. 六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像.- 6 -(像的参数方程为π≤θ≤⎪⎩⎪⎨⎧θ=θ=20sin 215cos 217v u ．表示w 平面上的椭圆1)215()217(2222=+v u ) 七、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f .(1．)(z f 在复平面除去原点外连续，在原点处不连续； 2．)(z f 在复平面处处连续)第二章 解析函数（答案）一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( B )（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( B )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( D )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x- 7 -（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( C )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2 （C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x + 5．函数)Im()(2z z z f =在0z =处的导数( A )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在 6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( C )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2- 7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( C )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是( C )（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数- 8 -（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( A )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．i i 的主值为( D )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2e π-11．z e 在复平面上( A )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( C )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( D )（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是( B )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( C )（A ）αz 在复平面上处处解析 （B ）αz 的模为αz- 9 -（C ）αz 一般是多值函数 （D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍 二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(limi +1 2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 常数 3．导函数x v i x u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 xv x u ∂∂∂∂,可微且满足222222,xvy x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f i 827427- 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f ic xyi y x ++-222或ic z +2c 为实常数6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z i 处可导 7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 3,2,1,0),424sin 424(cos 28=π+π+π+πk k i k8．复数i i 的模为),2,1,0(2 ±±=π-k e k9．=-)}43Im{ln(i 34arctan -- 10 -10．方程01=--z e 的全部解为),2,1,0(2 ±±=πk i k三、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -= （;sin )(z z f -='）2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f x x ++-=（.)1()(z e z z f +='） 四、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. （c i z i z f )1(21)(2++-=.c 为任意实常数）第三章 复变函数的积分（答案）一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( D )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( D)（A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( B ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π44．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ( C)（A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( B) （A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( A ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）1 7．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c ⎰+'+'')()()(2)( ( C )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定 8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （ A ）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( A )（A ）i π22（B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22-10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰cdz i a zz 2)(cos ( C) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( C )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定12．下列命题中，不正确的是( D ) （A ）积分⎰=--ra z dz a z 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 （B ）2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析 （D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( D)(A)c iz +2 （B ） ic iz +2 （C ）c z +2 （D ）ic z +2 14．下列命题中，正确的是(C)（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =（B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( B )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v - （C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 2 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(23 i π103．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd z z f ,其中2≠z ，则=')3(f 0 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zzz i π6 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c z dz i z e 5)(π 12iπ 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内 解析8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为 C x y +-)(21229．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a -3 10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为),(y x u -三、计算积分 1.⎰=+-R z dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; （当10<<R 时，0； 当21<<R 时，i π8； 当+∞<<R 2时，0） 2.⎰=++22422z z z dz．（0） 四、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .（i π2）五、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(. （321ln 2)(ic c z c z f ++=（321,,c c c 为任意实常数））第四章 级 数（答案）一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( C )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在 2．下列级数中，条件收敛的级数为( C )（A ）∑∞=+1)231(n n i （B ）∑∞=+1!)43(n nn i （C ） ∑∞=1n n n i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为(D )（B ） ∑∞=+1)1(1n n i n （B ）∑∞=+-1]2)1([n n n in(C)∑∞=2ln n n n i （D ）∑∞=-12)1(n nnn i 4．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( A )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( D )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( D )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( B ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为( A )（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z - （D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n nn z c ，那么幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径=R ( C )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( B ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的 11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( D)（A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n （B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( B )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 2)()(( B )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+=,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n n n z c 的收敛域为( A ) （A ）3141<<z （B ）43<<z（C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( C )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题1．若幂级数∑∞=+0)(n n n i z c 在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为 发散2．设幂级数∑∞=0n nn z c 与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 12R R ≥ ．3．幂级数∑∞=+012)2(n n n z i 的收敛半径=R22 4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=00)()(n n n z z c z f 成立，其中=n c ),2,1,0()(!10)( =n z f n n 或（)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f ir z z n <<=-π⎰=-+ ）． 5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 )1(12)1(012<+-∑∞=+z z n n n n ．6．设幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n n z c 的收敛半径为2R． 7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 211<-<z ． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 nn nn z n z n ∑∑∞=∞=+00!11!1 ． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R π ．10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ∑∞=+--02)()1(n n nn i z i 三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式． （)2(,12110≥+===--n a a a a a n n n ，),2,1,0(})251()251{(5111 =--+=++n a n n n ） 四、求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数，并计算∑∞=122n n n 之值.（3)1()1()(z z z z f -+=，6）五、将函数)1()2ln(--z z z 在110<-<z 内展开成洛朗级数.（n n nk k z k n z z z z z z )1()1)1(()2ln(111)1()2ln(001-+--=-⋅⋅-=--∑∑∞==+）第五章 留 数(答案)一、选择题： 1．函数32cot -πz z在2=-i z 内的奇点个数为 ( D ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f的( B )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点 3．设0=z 为函数zz ex sin 142-的m 级极点，那么=m ( C ) （A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( D ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点5．∞=z 是函数2323z z z ++的( B ) (A)可去奇点 （B ）一级极点（C ） 二级极点 （D ）本性奇点6．设∑∞==0)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re k zz f s ( C ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( A ) (A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ D ）（A ） 21)(ze zf z -= （B ）z z z z f 1sin )(-= （C ）z z z z f cos sin )(+= (D) ze zf z 111)(--= 9．下列命题中，正确的是( C )（A ） 设)()()(0z z z z f m ϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级极点．（B ） 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s（C ） 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s（D ） 若0)(=⎰cdz z f ，则)(z f 在c 内无奇点10． =∞],2cos [Re 3zi z s ( A ) （A ）32- （B ）32 （C ）i 32 （D ）i 32- 11．=-],[Re 12i ez s i z ( B) （A ）i +-61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +65 12．下列命题中，不正确的是( D)（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s（B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若0z 为)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-= （D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(zf 的一级极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞ 13．设1>n 为正整数，则=-⎰=211z ndz z ( A ) (A)0 （B ）i π2 （C ）n i π2 （D ）i n π214．积分=-⎰=231091z dz z z ( B ) （A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）5i π 15．积分=⎰=121sin z dz z z ( C ) （A ）0 （B ）61-（C ）3i π- （D ）i π- 二、填空题 1．设0=z 为函数33sin z z -的m 级零点，那么=m 9 ．2．函数z z f 1cos 1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21 ±±=+=k k z k ππ处的留数=]),([Re k z z f s 2)2()1(π+π-k k． 3．设函数}1exp{)(22zz z f +=，则=]0),([Re z f s 0 4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)()([Re a z f z f s m - ． 5．设212)(zz z f +=，则=∞]),([Re z f s -2 ． 6．设5cos 1)(z z z f -=，则=]0),([Re z f s 241- ． 7．积分=⎰=113z z dz e z 12i π ．8．积分=⎰=1sin 1z dz z i π2 ． 三、计算积分⎰=--412)1(sin z z dz z e z z ．(i π-316) 四、设a 为)(z f 的孤立奇点，m 为正整数，试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是b z f a z m az =-→)()(lim ，其中0≠b 为有限数． 五、设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；若)(z f 是偶函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=．。

第五章 留 数一、选择题： 1．函数32cot -πz z在2=-i z 内的奇点个数为 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点3．设0=z 为函数zz e xsin 142-的m 级极点，那么=m ( )（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点5．∞=z 是函数2323z z z ++的( )(A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 二级极点 （D ）本性奇点 6．设∑∞==)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re k zz f s ( ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( ) (A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m 8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）（A ） 21)(z e z f z -= （B ）z z z z f 1sin )(-=（C ）z z z z f cos sin )(+=(D) ze zf z111)(--= 9．下列命题中，正确的是( ) （A ） 设)()()(0z z z z f mϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级极点．（B ） 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ） 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s （D ） 若0)(=⎰c dz z f ，则)(z f 在c 内无奇点10． =∞],2cos[Re 3ziz s ( ) （A ）32-（B ）32 （C ）i 32（D ）i 32-11．=-],[Re 12i e z s iz ( )（A ）i +-61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +65 12．下列命题中，不正确的是( )（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s （B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若0z 为)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=（D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(zf 的一级极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13．设1>n 为正整数，则=-⎰=211z ndz z ( ) (A)0 （B ）i π2 （C ）niπ2 （D ）i n π2 14．积分=-⎰=231091z dz z z ( ) （A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）5i π 15．积分=⎰=121sin z dz z z ( ) （A ）0 （B ）61- （C ）3i π- （D ）i π-二、填空题1．设0=z 为函数33sin z z -的m 级零点，那么=m ．2．函数zz f 1cos1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21ΛΛ±±=+=k k z k ππ处的留数=]),([Re k z z f s ．3．设函数}1exp{)(22z z z f +=，则=]0),([Re z f s 4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)()([Re a z f z f s ． 5．双曲正切函数z tanh 在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设212)(z zz f +=，则=∞]),([Re z f s ． 7．设5cos 1)(zzz f -=，则=]0),([Re z f s ． 8．积分=⎰=113z zdz e z．9．积分=⎰=1sin 1z dz z ． 10．积分=+⎰∞+∞-dx x xe ix21 ． 三、计算积分⎰=--412)1(sin z z dz z e zz ．四、利用留数计算积分)0(sin 022>+⎰a a d πθθ五、利用留数计算积分⎰∞+∞-+++-dx x x x x 9102242六、利用留数计算下列积分： １．⎰∞++0212cos sin dx x xx x ２．⎰∞+∞-+-dx x x 1)1cos(2七、设a 为)(z f 的孤立奇点，m 为正整数，试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是b z f a z m az =-→)()(lim ，其中0≠b 为有限数．八、设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；若)(z f 是偶函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=． 九、设)(z f 以a 为简单极点，且在a 处的留数为A ，证明Az f z f az 1)(1)(lim2=+'→. 十、若函数)(z Φ在1≤z 上解析，当z 为实数时，)(z Φ取实数而且0)0(=Φ，),(y x f 表示)(iy x +Φ的虚部，试证明)()sin ,(cos cos 21sin 202t d f tt t Φ=+-⎰πθθθθθπ)11(<<-t答案第五章 留 数一、1．（D ） 2．（B ） 3．（C ） 4．（D ） ５．（B ）６．（C ） ７．（A ） ８．（D ） ９．（C ） 10．（A ） 11．（B ） 12．（D ） 13．（A ） 14．（B ） 15．（C ）二、1．9 2．2)2()1(π+π-k k 3．0 4．m - 5．16．2- 7．241-8．12i π 9．i π2 10．e i π 三、i π-316. 四、12+πa a .五、π125.六、１．)(443e e e -π ２．e1cos π。

复变函数复习题详细答案复变函数复习题详细答案如下：1. 复数的代数形式和几何解释复数 \( z = a + bi \) 可以表示为平面上的一个点 \( (a, b) \)，其中 \( a \) 是实部，\( b \) 是虚部。

复数的模 \( |z| \) 表示该点到原点的距离，即 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

2. 复数的运算两个复数 \( z_1 = a + bi \) 和 \( z_2 = c + di \) 的加法和乘法运算如下：\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]\[ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]3. 复数的共轭和模复数 \( z = a + bi \) 的共轭为 \( \overline{z} = a - bi \)，模为 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

4. 复数的指数形式复数 \( z \) 可以表示为指数形式 \( z = re^{i\theta} \)，其中\( r = |z| \) 是模，\( \theta \) 是 \( z \) 的辐角，满足\( \cos\theta = \frac{a}{r} \) 和 \( \sin\theta = \frac{b}{r} \)。

5. 复数的对数复数 \( z \) 的对数定义为 \( \log z = \log r + i\theta \)，其中 \( r = |z| \)，\( \theta \) 是 \( z \) 的主辐角。

6. 复数的导数设 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 是复函数，其中 \( z = x +iy \)，则 \( f(z) \) 的导数为：\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partialv}{\partial x} \]前提是 \( u \) 和 \( v \) 的偏导数满足柯西-黎曼方程。

1、参考答案：D 2、参考答案：C 3、参考答案：B 4、参考答案：D 5、参考答案：C 6、参考答案：A 7、参考答案：B 8、参考答案：D 9、参考答案：D 10、参考答案：D 11、参考答案：C 12、参考答案：B 13、参考答案：A 14、参考答案：D 15、参考答案：B 16、参考答案：D 17、参考答案：B 18、参考答案：A 19、参考答案：A 20、参考答案：C填空题21、参考答案有一个奇点22、参考答案23、参考答案按段光滑曲线24、参考答案25、参考答案26、参考答案127、参考答案实部与虚部都是连续函数28、参考答案解析29、参考答案30、参考答案退化连续点集31、参考答案32、参考答案处处可导33、参考答案某个去心领域内34、参考答案35、参考答案36、参考答案无穷远点37、参考答案38、参考答案39、参考答案40、参考答案内闭一致收敛41、参考答案42、参考答案43、参考答案可去奇点44、参考答案聚点45、参考答案46、参考答案47、参考答案48、参考答案聚点49、参考答案条件收敛50、参考答案1、参考答案：C 2、参考答案：B 3、参考答案：A 4、参考答案：A 5、参考答案：B 6、参考答案：D 7、参考答案：D 8、参考答案：D 9、参考答案：C 10、参考答案：A 11、参考答案：C 12、参考答案：C 13、参考答案：A 14、参考答案：B 15、参考答案：B 16、参考答案：D 17、参考答案：D 18、参考答案：D 19、参考答案：D 20、参考答案：B 填空题21、参考答案聚点22、参考答案23、参考答案24、参考答案1 25、参考答案解析26、参考答案27、参考答案28、参考答案一致连续29、参考答案单连通区域30、参考答案无穷远点31、参考答案32、参考答案内闭一致收敛33、参考答案处处可导34、参考答案35、参考答案36、参考答案能达到它的最大最小值37、参考答案38、参考答案39、参考答案实部与虚部都是连续函数40、参考答案连续点集41、参考答案42、参考答案43、参考答案有一个聚点44、参考答案可去奇点45、参考答案46、参考答案有一个奇点47、参考答案48、参考答案149、参考答案绝对收敛50、参考答案1、参考答案：A2、参考答案：C 3、参考答案：C 4、参考答案：C 5、参考答案：C 6、参考答案：B 7、参考答案：B 8、参考答案：D 9、参考答案：A 10、参考答案：D 11、参考答案：D 12、参考答案：A 13、参考答案：C 14、参考答案：D 15、参考答案：B16、参考答案：D 17、参考答案：C 18、参考答案：C 19、参考答案：B 20、参考答案：A填空题21、参考答案内闭一致收敛22、参考答案二连通区域23、参考答案聚点24、参考答案无穷远点25、参考答案26、参考答案绝对收敛27、参考答案单连通区域28、参考答案有一个聚点29、参考答案可去奇点30、参考答案131、参考答案32、参考答案33、参考答案1 34、参考答案连续35、参考答案绝对收敛参考答案37、参考答案单连通区域38、参考答案39、参考答案恒等40、答案参考答案1 42、参考答案切线43、参考答案44、参考答案45、参考答案条件收敛46、参考答案47、参考答案某个去心领域内48、参考答案有一个奇点49、参考答案50、参考答案边界点1、参考答案：C 2、参考答案：B 3、参考答案：C 4、参考答案：B 5、参考答案：D 6、参考答案：A 7、参考答案：D 8、参考答案：A 9、参考答案：D 10、参考答案：C 11、参考答案：C 12、参考答案：C 13、参考答案：B 14、参考答案：D 15、参考答案：C 16、参考答案：C 17、参考答案：D 18、参考答案：C 19、参考答案：B 20、参考答案：C 填空题21、参考答案22、参考答案聚点23、参考答案绝对收敛24、参考答案25、参考答案退化连续点集26、参考答案27、参考答案28、参考答案29、参考答案30、（2 分）参考答案31、参考答案32、参考答案切线33、参考答案34、参考答案有一个聚点35、参考答案36、参考答案解析37、参考答案38、参考答案39、参考答案某个去心领域内40、参考答案连续点集41、参考答案恒等42、参考答案解析43、参考答案能达到它的最大最小值44、参考答案45、参考答案46、参考答案47、参考答案单连通区域48、参考答案绝对收敛49、参考答案50、参考答案按段光滑曲线。

习题一谜底之勘阻及广创作2． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i + （2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i -- （4）8214i i i -+- 解：（1）1323213i z i -==+, 因此：32Re , Im 1313z z ==-, （2）3(1)(2)1310i i i z i i i -+===---, 因此,31Re , Im 1010z z =-=, （3）133335122i i i z i i i --=-=-+=-, 因此,35Re , Im 32z z ==-, （4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此,Re 1, Im 3z z =-=,3． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin 22ii i e πππ=+= （2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22i r i re πθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 4． 求下列各式的值： （1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- （5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- （5=（6= 5．设12 ,z z i ==-试用三角形式暗示12z z 与12z z 解：12cos sin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-,所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+, 6． 解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1）z i += 由此25k i z i e i π=-=-, (0,1,2,3,4)k =（2）z ==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++,那时0,1,2,3k =,对应的4), 1), 1), )i i i i +-+--- 7． 证明下列各题：（1）设,z x iy =+z x y ≤≤+证明：首先,显然有z x y =≤+；其次,因 222,x y x y +≥ 固此有 2222()(),x y x y +≥+从而z =≥. （2）对任意复数12,,z z 有2221212122Re()z z z z z z +=++证明：验证即可,首先左端221212()()x x y y =+++,而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy =+++++-2222112212122()x y x y x x y y =+++++221212()()x x y y =+++, 由此,左端=右端,即原式成立.（3）若a bi +是实系数代数方程101100n n n a z a z a z a --++++=的一个根,那么a bi -也是它的一个根.证明：方程两端取共轭,注意到系数皆为实数,而且根据复数的乘法运算规则,()n n z z =,由此获得：10110()()0n n n a z a z a z a --++++=由此说明：若z 为实系数代数方程的一个根,则z 也是.结论得证.（4）若1,a =则,b a ∀≠皆有1a b a ab-=- 证明：根据已知条件,有1aa =,因此：11()a b a b a b a ab aa ab a a b a---====---,证毕. （5）若1, 1a b <<,则有11a b ab -<- 证明：222()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--,2221(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--,因为1, 1a b <<,所以, 2222221(1)(1)0a b a b a b +--=--< ,因而221a b ab -<-,即11a b ab-<-,结论得证. 7．设1,z ≤试写出使n z a +到达最年夜的z 的表达式,其中n 为正整数,a 为复数. 解：首先,由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+, 在上面两个不等式都取等号时n z a +到达最年夜,为此,需要取n z 与a 同向且1n z =,即n z 应为a 的单元化向量,由此,n a z a=, 8．试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件.解：要使三点共线,那么用向量暗示时,21z z -与31z z -应平行,因而二者应同向或反向,即幅角应相差0或π的整数倍,再由复数的除法运算规则知2131z z Arg z z --应为0或π的整数倍,至此获得：123,,z z z 三个点共线的条件是2131z z z z --为实数. 9．写出过1212, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程.解：过两点的直线的实参数方程为：121121()()x x t x x y y t y y =+-⎧⎨=+-⎩, 因而,复参数方程为：其中t 为实参数.10．下列参数方程暗示什么曲线？（其中t 为实参数）（1）(1)z i t =+ （2）cos sin z a t ib t =+ （3）i z t t=+ 解：只需化为实参数方程即可.（1）,x t y t ==,因而暗示直线y x =（2）cos ,sin x a t y b t ==,因而暗示椭圆22221x y a b+= （3）1,x t y t==,因而暗示双曲线1xy = 11．证明复平面上的圆周方程可暗示为 0zz az az c +++=,其中a 为复常数,c 为实常数证明：圆周的实方程可暗示为：220x y Ax By c ++++=, 代入, 22z z z z x y i+-==,并注意到222x y z zz +==,由此 022z z z z zz A B c i+-+++=, 整理,得 022A Bi A Bi zz z z c -++++= 记2A Bi a +=,则2A Bi a -=,由此获得 0zz az az c +++=,结论得证.12．证明：幅角主值函数arg z 在原点及负实轴上不连续. 证明：首先,arg z 在原点无界说,因而不连续.对00x <,由arg z 的界说不难看出,当z 由实轴上方趋于0x 时,arg z π→,而当z 由实轴下方趋于0x 时,arg z π→-,由此说明0lim arg z x z →不存在,因而arg z 在0x 点不连续,即在负实轴上不连续,结论得证.13．函数1w z=把z 平面上的曲线1x =和224x y +=分别映成w 平面中的什么曲线？解：对1x =,其方程可暗示为1z yi =+,代入映射函数中,得211111iy w u iv z iy y-=+===++, 因而映成的像曲线的方程为 221, 11y u v y y-==++,消去参数y ,得2221,1u v u y +==+即22211()(),22u v -+=暗示一个圆周. 对224x y +=,其方程可暗示为2cos 2sin z x iy i θθ=+=+代入映射函数中,得因而映成的像曲线的方程为 11cos , sin 22u v θθ==-,消去参数θ,得2214u v +=,暗示一半径为12的圆周. 14．指出下列各题中点z 的轨迹或所暗示的点集,并做图： 解：（1）0 (0)z z r r -=>,说明动点到0z 的距离为一常数,因而暗示圆心为0z ,半径为r 的圆周.（2）0,z z r -≥是由到0z 的距离年夜于或即是r 的点构成的集合,即圆心为0z 半径为r 的圆周及圆周外部的点集.（3）138,z z -+-=说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数,因而暗示一个椭圆.代入,z x iy ==化为实方程得（4）,z i z i +=-说明动点到i 和i -的距离相等,因而是i 和i -连线的垂直平分线,即x 轴.（5）arg()4z i π-=,幅角为一常数,因而暗示以i 为极点的与x 轴正向夹角为4π的射线. 15．做出下列不等式所确定的区域的图形,并指出是有界还是无界,单连通还是多连通.（1）23z <<,以原点为心,内、外圆半径分别为2、3的圆环区域,有界,多连通（2）arg (02)z αβαβπ<<<<<,极点在原点,两条边的倾角分别为,αβ的角形区域,无界,单连通（3）312z z ->-,显然2z ≠,而且原不等式等价于32z z ->-,说明z 到3的距离比到2的距离年夜,因此原不等式暗示2与3 连线的垂直平分线即x =2.5左边部份除失落x =2后的点构成的集合,是一无界,多连通区域.（4）221z z --+>,显然该区域的鸿沟为双曲线221z z --+=,化为实方程为 2244115x y -=,再注意到z 到2与z 到-2的距离之差年夜于1,因而不等式暗示的应为上述双曲线左边一支的左侧部份,是一无界单连通区域.（5）141z z -<+,代入z x iy =+,化为实不等式,得 所以暗示圆心为17(,0)15-半径为815的圆周外部,是一无界多连通区域.习题二谜底1．指出下列函数的解析区域和奇点,并求出可导点的导数.（1）5(1)z - （2）32z iz + （3）211z + （4）13z z ++ 解：根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数,商时分母不为0）,根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式,再注意到区域上可导一定解析,由此获得：（1）5(1)z -处处解析,54[(1)]5(1)z z '-=-（2）32z iz +处处解析,32(2)32z iz z i '+=+（3）211z +的奇点为210z +=,即z i =±, （4）13z z ++的奇点为3z =-, 2．判别下列函数在何处可导,何处解析,并求出可导点的导数.（1）22()f z xy x yi =+ （2）22()f z x y i =+（3）3223()3(3)f z x xy i x y y =-+- （4）1()f z z= 解：根据柯西—黎曼定理：（1）22, u xy v x y ==,四个一阶偏导数皆连续,因而,u v 处处可微,再由柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-解得：0x y ==,因此,函数在0z =点可导, 0(0)0x x z f u iv ='=+=, 函数处处不解析.（2）22, u x v y ==,四个一阶偏导数皆连续,因而,u v 处处可微,再由柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-解得：x y =,因此,函数在直线y x =上可导,()2x x y x f x ix u iv x ='+=+=,因可导点集为直线,构不成区域,因而函数处处不解析.（3）32233, 3u x xy v x y y =-=-,四个一阶偏导数皆连续,因而 ,u v 处处可微,而且 ,u v 处处满足柯西—黎曼方程 , x y y x u v u v ==-因此,函数处处可导,处处解析,且导数为（4）2211()x iy f z x iy x yz +===-+,2222, x y u v x y x y ==++, 2222222222, ()()x y y x x y u v x y x y --==++, 22222222, ()()y x xy xy u v x y x y --==++, 因函数的界说域为0z ≠,故此,,u v 处处不满足柯西—黎曼方程,因而函数处处不成导,处处不解析.3．当,,l m n 取何值时3232()()f z my nx y i x lxy =+++在复平面上处处解析？解：3232, u my nx y v x lxy =+=+22222, 2, 3, 3x y y x u nxy v lxy u my nx v x ly ===+=+, 由柯西—黎曼方程得：由（1）得 n l =,由（2）得3, 3n m l =-=-,因而,最终有4．证明：若()f z 解析,则有 222(())(())()f z f z f z x y∂∂'+=∂∂ 证明：由柯西—黎曼方程知,左端22=+222222()()x x x x uu vv uu vv uu vv uv vu u v ++++-=+=+ 2()f z '==右端,证毕.5．证明：若()f z u iv =+在区域D 内解析,且满足下列条件之一,则()f z 在D 内一定为常数.（1）()f z 在D 内解析 , （2）u 在D 内为常数,（3）()f z 在D 内为常数, （4）2v u =（5）231u v += 证明：关键证明,u v 的一阶偏导数皆为0！（1）()f z u iv =-,因其解析,故此由柯西—黎曼方程得 , x y y x u v u v =-= ------------------------（1） 而由()f z 的解析性,又有, x y y x u v u v ==- ------------------------（2）由（1）、（2）知,0x y x y u u v v ===≡,因此12, ,u c v c ≡≡即 12()f z c ic ≡+为常数（2）设1u c ≡,那么由柯西—黎曼方程得0, 0x y y x v u v u =-≡=≡,说明v 与,x y 无关,因而 2v c ≡,从而12()f z c ic ≡+为常数.（3）由已知,2220()f z u v c =+≡为常数,等式两端分别对,x y 求偏导数,得220220x x y y uu vv uu vv +=+=----------------------------（1） 因()f z 解析,所以又有 , x y y x u v u v ==--------------------------（2）求解方程组（1）、（2）,得 0x y x y u u v v ===≡,说明 ,u v 皆与,x y 无关,因而为常数,从而()f z 也为常数.（4）同理,2v u =两端分别对,x y 求偏导数,得再联立柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-,仍有（5）同前面一样,231u v +=两端分别对,x y 求偏导数,得考虑到柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-,仍有0x y x y u u v v ===≡,证毕.6．计算下列各值（若是对数还需求出主值）（1）2i e π- （2）()Ln i - （3）(34)Ln i -+（4）sin i （5）(1)i i + （6）2327解：（1）2cos()sin()22i e i i πππ-=-+-=- （2）1()ln arg()2(2)2Ln i i i k i k i ππ-=-+-+=-+, k 为任意整数,主值为：1()2ln i i π-=- （3）(34)ln 34arg(34)2Ln i i i k i π-+=-++-++4ln5(arctan 2)3k i ππ=+-+, k 为任意整数 主值为：4ln(34)ln5(arctan )3i i π-+=+- （4）..1sin 22i i i i e e e e i i i ----== （5）(2)2(1)44(1)i i k i k i iLn i i e e e ππππ++--++===24(cosln sin k e i ππ--=+, k 为任意整数（6）22224427(272)27333333279Ln ln k i ln k i k i e e e e e πππ+====,当k 分别取0,1,2时获得3个值：9, 4399(1)2i e π=-+, 8399(1)2i e π=-+ 7．求2z e 和2z Arge解：2222z x y xyi e e -+=,因此根据指数函数的界说,有2z e 22x y e -=, 222z Arge xy k π=+,（k 为任意整数）8．设i zre θ=,求Re[(1)]Ln z - 解：(1)ln 1[arg(1)2]Ln z z i z k i π-=-+-+,因此9．解下列方程： （1）1z e =+ （2）ln 2z i π=（3）sin cos 0z z += （4）shz i = 解：（1）方程两端取对数得：1(1)ln 2(2)3z Ln k i π=+=++（k 为任意整数）（2）根据对数与指数的关系,应有（3）由三角函数公式（同实三角函数一样）,方程可变形为因此,4z k ππ+= 即 4z k ππ=-, k 为任意整数 （4）由双曲函数的界说得 2z ze e shz i --==,解得 2()210z z e ie --=,即z e i =,所以(2)2z Lni k i ππ==+ ,k 为任意整数 10．证明罗比塔法则：若()f z 及()g z 在0z 点解析,且000()()0, ()0f z g z g z '==≠,则000()()lim ()()z z f z f z g z g z →'=',并由此求极限 00sin 1lim ; lim z z z z e z z→→- 证明：由商的极限运算法则及导数界说知000000000000()()()()lim ()lim lim ()()()()()lim z z z z z z z z f z f z f z f z z z z z f z g z g z g z g z g z z z z z →→→→----==----00()()f z g z '=', 由此,00sin cos lim lim 11z z z z z →→== 11．用对数计算公式直接验证：（1）22Lnz Lnz ≠ （2）12Lnz = 解：记i z re θ=,则（1）左端22()2ln (22)i Ln r e r k i θθπ==++,右端2[ln (2)]2ln (24)r m i r m i θπθπ=++=++,其中的,k m 为任意整数.显然,左端所包括的元素比右真个要多（如左端在1k =时的值为2ln (22)r i θπ++,而右端却取不到这一值）,因此两端不相等. （2）左端221]ln (2)22m i Ln re r m k i θπθππ+==+++ 右端11[ln (2)]ln ()222r n i r n i θθππ=++=++ 其中,k n 为任意整数,而 0,1m =不难看出,对左端任意的k ,右端n 取2k 或21k +时与其对应；反之,对右端任意的n ,当2n l =为偶数时,左端可取,0k l m ==于其对应,而当21n l =+为奇数时,左端可取2,1k l m ==于其对应.综上所述,左右两个集合中的元素相互对应,即二者相等.12．证明sin sin , cos cos z z z z ==证明：首先有 (cos sin )(cos sin )z x x x iy z e e y i y e y i y e e -=+=-== ,因此sin 2i z i ze e z i--==,第一式子证毕. 同理可证第二式子也成立.13．证明Im Im sin z z z e ≤≤ （即sin y y z e ≤≤）证明：首先,sin 222iz iziz iz y y y e e e e e e z e i ---+-+=≤=≤, 右端不等式获得证明.其次,由复数的三角不等式又有 sin 2222iz izy yy y iz iz e e e e e e e e z i --------=≥==,根据高等数学中的单调性方法可以证明0x ≥时2x xe e x --≥,因此接着上面的证明,有sin 2y y e e z y --≥≥,左端不等式获得证明.14．设z R ≤,证明sin , cos z chR z chR ≤≤证明：由复数的三角不等式,有sin 2222iz iz y y iz iz y y e e e e e e e e z ch y i ----+-++=≤===, 由已知,y z R ≤≤,再主要到0x ≥时chx 单调增加,因此有sin z ch y chR ≤≤,同理,cos 2222iz iz y yiz iz y y e e e e e e e e z ch y chR ----++++=≤===≤ 证毕.15．已知平面流场的复势()f z 为（1）2()z i + （2）2z （3）211z + 试求流动的速度及流线和等势线方程.解：只需注意,若记()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+,则流场的流速为()v f z '=,流线为1(,)x y c ψ≡,等势线为2(,)x y c ϕ≡,因此,有（1）2222()[(1)](1)2(1)z i x y i x y x y i +=++=-+++流速为()2()2()v f z z i z i '==+=-,流线为1(1)x y c +≡,等势线为 222(1)x y c -+≡（2）333223()3(3)z x iy x xy x y y i =+=-+- 流速为22()33()v f z z z '===,流线为2313x y y c -≡,等势线为 3223x xy c -≡（3）22221111()112z x iy x y xyi==+++-++ 流速为222222()(1)(1)z z v f z z z --'===++, 流线为 122222(1)4xy c x y x y≡-++, 等势线为 222222221(1)4x y c x y x y-+≡-++ 习题三谜底1．计算积分2()cx y ix dz -+⎰,其中c 为从原点到1i +的直线段 解：积分曲线的方程为, x t y t ==,即z x iy t ti =+=+,:01t →,代入原积分表达式中,得2．计算积分z ce dz ⎰,其中c 为（1）从0到1再到1i +的折线 （2）从0到1i +的直线解：（1）从0到1的线段1c 方程为：, :01z x iy x x =+=→, 从1到1i +的线段2c 方程为：1, :01z x iy iy y =+=+→,代入积分表达式中,得11(sin1cos1)(cos1sin1)11i e ei i i e i e +=-+-+=+-=-；（2）从0到1i +的直线段的方程为z x iy t ti =+=+,:01t →, 代入积分表达式中,得1100()(1)(cos sin )z t ti tc e dz e t ti dt i e t i t dt +'=+=++⎰⎰⎰, 对上述积分应用分步积分法,得3．积分2()cx iy dz +⎰,其中c 为（1）沿y x =从0到1i + （2）沿2y x =从0到1i + 解：（1）积分曲线的方程为z x iy t ti =+=+,:01t →, 代入原积分表达式中,得（2）积分曲线的方程为 2z x iy x x i =+=+, :01t →, 代入积分表达式中,得4．计算积分cz dz ⎰,其中c 为（1）从-1到+1的直线段 （2）从-1到+1的圆心在原点的上半圆周解：（1）c 的方程为z x =,代入,得（2）c 的方程为cos sin , :0z x iy i θθθπ=+=+→,代入,得5．估计积分212cdz z +⎰的模,其中c 为+1到-1的圆心在原点的上半圆周.解：在c 上,z =1,因而由积分估计式得222111222c c c cdz ds ds ds z z z ≤≤=++-⎰⎰⎰⎰c =的弧长π= 6．用积分估计式证明：若()f z 在整个复平面上有界,则正整数1n >时其中R c 为圆心在原点半径为R 的正向圆周. 证明：记()f z M ≤,则由积分估计式得122n n M M R R Rππ-==, 因1n >,因此上式两端令R →+∞取极限,由夹比定理,得()lim 0Rn R c f z dz z →+∞=⎰, 证毕. 7．通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为0的原因,其中积分曲线c 皆为1z =.（1）2(2)c dz z +⎰ （2）224cdz z z ++⎰ （3）22cdz z +⎰（4）cos c dz z ⎰ （5）z cze dz ⎰ 解：各积分的被积函数的奇点为：（1）2z =-,（2）2(1)30z ++=即1z =-±,（3）z = （4）, 2z k k ππ=+为任意整数,（5）被积函数处处解析,无奇点不难看出,上述奇点的模皆年夜于1,即皆在积分曲线之外,从而在积分曲线内被积函数解析,因此根据柯西基本定理,以上积分值都为0.8．计算下列积分：（1）240i z e dz π⎰ （2）2sin i i zdz ππ-⎰ （3）10sin z zdz ⎰解：以上积分皆与路径无关,因此用求原函数的方法：（1）42202400111()(1)222i i i z z e dz e e e i πππ==-=-⎰ （2）21cos2sin 2sin []224i i i ii i z z z zdz dz ππππππ----==-⎰⎰ （3）11110000sin cos cos cos z zdz zd z z z zdz =-=-+⎰⎰⎰9．计算 22c dz z a-⎰,其中c 为不经过a ±的任一简单正向闭曲线.解：被积函数的奇点为a ±,根据其与c 的位置分四种情况讨论：（1）a ±皆在c 外,则在c 内被积函数解析,因而由柯西基本定理（2）a 在c 内,a -在c 外,则1z a+在c 内解析,因而由柯西积分 公式：22112z a c cdz z a dz i i z a z a a z a ππ=+===-+-⎰⎰（3）同理,当a -在c 内,a 在c 外时,（4）a ±皆在c 内此时,在c 内围绕,a a -分别做两条相互外离的小闭合曲线12,c c ,则由复合闭路原理得： 注：此题若分解221111()2a z a z a z a=--+-,则更简单！ 10． 计算下列各积分解：（1）11()(2)2z dz i z z =-+⎰,由柯西积分公式 （2）23221izz i e dz z -=+⎰, 在积分曲线内被积函数只有一个奇点i ,故此同上题一样：（3）2232(1)(4)z dz z z =++⎰ 在积分曲线内被积函数有两个奇点i ±,围绕,i i -分别做两条相互外离的小闭合曲线12,c c ,则由复合闭路原理得：（4）4221z z dz z -=-⎰,在积分曲线内被积函数只有一个奇点1,故此（5）221sin 41z zdz z π=-⎰, 在积分曲线内被积函数有两个奇点1±,围绕1,1-分别做两条相互外离的小闭合曲线12,c c ,则由复合闭路原理得：（6）22, (1)nn z z dz n z =-⎰为正整数,由高阶导数公式 11． 计算积分312(1)zc e dz i z z π-⎰,其中c 为 （1）12z = （2）112z -= （3）2z = 解：（1）由柯西积分公式（2）同理,由高阶导数公式（3）由复合闭路原理30(1)z z e z ==-11()2!z z e z =''+12e =-, 其中,12,c c 为2z =内分别围绕0,1且相互外离的小闭合曲线. 12． 积分112z dz z =+⎰的值是什么？并由此证明012cos 054cos d πθθθ+=+⎰ 解：首先,由柯西基本定理,1102z dz z ==+⎰,因为被积函数的奇点在积分曲线外.其次,令(cos sin )z r i θθ=+,代入上述积分中,得 考察上述积分的被积函数的虚部,便获得2012cos 054cos d πθθθ+==+⎰,再由cos θ的周期性,得 即012cos 054cos d πθθθ+=+⎰,证毕. 13． 设(),()f z g z 都在简单闭曲线c 上及c 内解析,且在c 上 ()()f z g z =,证明在c 内也有()()f z g z =. 证明：由柯西积分公式,对c 内任意点0z ,00001()1()(), ()22c c f z g z f z dz g z dz i z z i z z ππ==--⎰⎰, 由已知,在积分曲线c 上,()()f z g z =,故此有 再由0z 的任意性知,在c 内恒有()()f z g z =,证毕. 14． 设()f z 在单连通区域D 内解析,且()11f z -<,证明 （1）在D 内()0f z ≠；（2）对D 内任一简单闭曲线c ,皆有()0()c f z dz f z '=⎰证明：（1）显然,因为若在某点处()0,f z =则由已知 011-<,矛盾！ （也可直接证明：()1()11f z f z -<-<,因此1()11f z -<-<,即0()2f z <<,说明()0f z ≠）（3）既然()0f z ≠,再注意到()f z 解析,()f z '也解析,因此由函数的解析性法则知()()f z f z '也在区域D 内解析,这样,根据柯西基本定理,对D 内任一简单闭曲线c ,皆有()0()cf z dz f z '=⎰,证毕. 15．求双曲线22y x c -= （0c ≠为常数）的正交（即垂直）曲线族.解：22u y x =-为调和函数,因此只需求出其共轭调和函数(,)v x y ,则(,)v x y c =即是所要求的曲线族.为此,由柯西—黎曼方程 2x y v u y =-=-,因此(2)2()v y dx xy g y =-=-+⎰,再由 2y x v u x ==-知,()0g y '≡,即0()g y c =为常数,因此02v xy c =-+,从而所求的正交曲线族为xy c ≡（注：实际上,本题的谜底也可观察出,因极易想到222()2f z z y x xyi =-=--解析）16．设sin px v e y =,求p 的值使得v 为调和函数.解：由调和函数的界说2sin (sin )0px px xx yy v v p e y e y +=+-=,因此要使v 为某个区域内的调和函数,即在某区域内上述等式成立,必需210p -=,即1p =±.17．已知22255u v x y xy x y +=-+--,试确定解析函数 解：首先,等式两端分别对,x y 求偏导数,得225x x u v x y +=+-----------------------------------（1）225y y u v y x +=-+- -------------------------------（2） 再联立上柯西—黎曼方程x y u v =------------------------------------------------------（3）y x u v =-----------------------------------------------------（4）从上述方程组中解出,x y u u ,得这样,对x u 积分,得25(),u x x c y =-+再代入y u 中,得 至此获得：2205,u x x y c =--+由二者之和又可解出 025v xy y c =--,因此200()5f z u iv z z c c i =+=-+-,其中0c 为任意实常数. 注：此题还有一种方法：由定理知 由此也可很方便的求出()f z .18．由下列各已知调和函数求解析函数()f z u iv =+ 解：（1）22, ()1u x xy y f i i =+-=-+, 由柯西—黎曼方程,2y x v u x y ==+,对y 积分,得212()2v xy y c x =++,再由x y v u =-得2()2y c x x y '+=-+,因此201(), ()2c x x c x x c '=-=-+,所以22011222v xy y x c =+-+,因()1f i =-,说明0,1x y ==时1v =,由此求出012c =,至此获得：2222111()(2)222f z u iv x xy y y x xy i =+=+-+-++,整理后可得：211()(1)22f z i z i =-+（2）22yv x y=+, (2)0f = 此类问题,除上题采纳的方法外,也可这样：222222222222()1()()()x y xy z i x y x y z zz -=-==++,所以 1()f z c z=-+,其中c 为复常数.代入(2)0f =得,12c =,故此（3）arctan , (0)yv x x=>同上题一样,()x x y x f z u iv v iv '=+=+22221x y z i zx y x y zz -=+==++, 因此0()ln f z z c =+,其中的ln z 为对数主值,0c 为任意实常数. （4）(cos sin )x u e x y y y =-,(0)0f =(sin sin cos )x x y v u e x y y y y =-=++,对x 积分,得再由y x v u =得()0c x '=,所以0()c x c =为常数,由(0)0f =知,0x y ==时0v =,由此确定出00c =,至此获得：()f z u iv =+=(cos sin )x e x y y y -(sin cos )x ie x y y y ++, 整理后可得 ()z f z ze =19．设在1z ≤上()f z 解析,且()1f z ≤,证明 (0)1f '≤ 证明：由高阶导数公式及积分估计式,得1112122z ds πππ=≤==⎰,证毕. 20．若()f z 在闭圆盘0z z R -≤上解析,且()f z M ≤,试证明柯西不等式 ()0!()n n n f z M R≤,并由此证明刘维尔定理：在整个复平面上有界且处处解析的函数一定为常数. 证明：由高阶导数公式及积分估计式,得11111!!!!()2222n n n n z z n n M n M n M f z ds ds R R R R R ππππ+++===≤==⎰⎰, 柯西不等式证毕；下证刘维尔定理：因为函数有界,无妨设()f z M ≤,那么由柯西不等式,对任意0z 都有0()Mf z R'≤,又因()f z 处处解析,因此R 可任意年夜,这样,令R →+∞,得0()0f z '≤,从而0()0f z '=,即 0()0f z '=,再由0z 的任意性知()0f z '≡,因而()f z 为常数,证毕.习题四谜底1． 考察下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限． （1）1n n z i n=+解：因为lim n n i →∞不存在,所以lim n n z →∞不存在,由定理4.1知,数列{}n z 不收敛．（2）(1)2n n iz -=+解：1sin )22i i θθ+=+,其中1arctan 2θ=,则()sin )cos sin nnn z i n i n θθθθ-⎤=+=-⎥⎣⎦．因为lim 0nn →∞=,cos sin 1n i n θθ-=,所以()lim cos sin 0nn n i n θθ→∞-= 由界说4.1知,数列{}n z 收敛,极限为0．（3）21n i n z e nπ-=解：因为21n i eπ-=,1lim 0n n →∞=,所以21lim 0n i n enπ-→∞= 由界说4.1知,数列{}n z 收敛,极限为0． （4）()n n zz z=解：设(cos sin )z r i θθ=+,则()cos 2sin 2n n z z n i n zθθ==+,因为lim cos 2n n θ→∞,lim sin 2n n θ→∞都不存在,所以lim n n z →∞不存在,由定理4.1知,数列{}n z 不收敛．2． 下列级数是否收敛？是否绝对收敛?(1)1!nn i n ∞=∑解：1!!n i n n =,由正项级数的比值判别法知该级数收敛,故级数1!nn i n ∞=∑收敛,且为绝对收敛． (2)2ln nn i n∞=∑解：222cos sin 22ln ln ln n n n n n n i i n n nππ∞∞∞====+∑∑∑,因为2cos11112ln ln 2ln 4ln 6ln 8n n n π∞==-+-++∑是交错级数,根据交错级数的莱布尼兹审敛法知该级数收敛,同样可知,2sin111121ln ln 3ln 5ln 7ln 9n n n π∞==-+-++∑也收敛,故级数2ln nn i n ∞=∑是收敛的． 又22111,ln ln ln 1n n n i n n n n ∞∞===>-∑∑,因为211n n ∞=-∑发散,故级数21ln n n∞=∑发散,从而级数2ln nn i n ∞=∑条件收敛．(3)0cos 2n n in∞=∑解：1110000cos 2222n n n nn n n n n n n n in e e e e --∞∞∞∞+++====+==+∑∑∑∑,因级数102nn n e ∞+=∑发散,故cos 2nn in∞=∑发散． (4)()35!nn i n ∞=+∑解：()35!nn n i n ∞∞==+=∑由正项正项级数比值判别法知该级数收敛,故级数()035!nn i n ∞=+∑收敛,且为绝对收敛．3． 试确定下列幂级数的收敛半径．(1)()01n n n i z ∞=+∑解：1lim 1n n n c i c +→∞=+=故此幂级数的收敛半径R =． (2)0!n n n n z n ∞=∑解：11(1)!11lim lim lim 1(1)!(1)n n n n n n n n c n n c n n en++→∞→∞→∞+=⋅==++,故此幂级数的收敛半径R e =．(3)1in n n e z π∞=∑解：11lim lim 1in n n n innc e c e ππ++→∞→∞==,故此幂级数的收敛半径1R =．(4)221212n nn n z ∞-=-∑解：令2z Z =,则22111212122n n n n n n n n z Z ∞∞--==--=∑∑112112lim lim 2122n n n n nn n c n c ++→∞→∞+==-,故幂级数11212n n n n Z ∞-=-∑的收敛域为2Z <,即22z <,从而幂级数221212n n n n z ∞-=-∑的收敛域为z <收敛半径为R ．4． 设级数0n n α∞=∑收敛,而0nn α∞=∑发散,证明0n n n z α∞=∑的收敛半径为1．证明：在点1z =处,0nn n n n z αα∞∞===∑∑,因为0n n α∞=∑收敛,所以0n n n z α∞=∑收敛,故由阿贝尔定理知,1z <时,0n n n z α∞=∑收敛,且为绝对收敛,即nnn z α∞=∑收敛．1z >时,0nn n n n z αα∞∞==>∑∑,因为0n n α∞=∑发散,根据正项级数的比力准则可知,0nn n z α∞=∑发散,从而0n n n z α∞=∑的收敛半径为1,由定理4.6,0n n n z α∞=∑的收敛半径也为1．5． 如果级数0n n n c z ∞=∑在它的收敛圆的圆周上一点0z 处绝对收敛,证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛． 证明：0z z <时,由阿贝尔定理,0n n n c z ∞=∑绝对收敛．0z z =时,00nnn n n n c z c z ∞∞===∑∑,由已知条件知,00n n n c z ∞=∑收敛,即nnn cz ∞=∑收敛,亦即0n n n c z ∞=∑绝对收敛．6． 将下列函数展开为z 的幂级数,并指出其收敛区域．（1）221(1)z +解：由于函数221(1)z +的奇点为z i =±,因此它在1z <内处处解析,可以在此圆内展开成z 的幂级数．根据例4.2的结果,可以获得24211(1),11n n z z z z z=-+-+-+<+．将上式两边逐项求导,即得所要求的展开式221(1)z +='24122211123(1),112n n z z nz z z z +-⋅-=-+++-+<+（）（）． （2）1(0,0)()()a b z a z b ≠≠--解：①a b =时,由于函数1(0,0)()()a b z a z b ≠≠--的奇点为z a =,因此它在z a <内处处解析,可以在此圆内展开成z 的幂级数．='1(1)nn z z a a a⋅++++=111()n n n z a a a -⋅+++=1211,n n n z z a a a-++++<． ②a b ≠时,由于函数1(0,0)()()a b z a z b ≠≠--的奇点为12,z a z b ==,因此它在min{,}z a b <内处处解析,可以在此圆内展开成z 的幂级数．=2121111()nnn n z z z z a b a aa b bb++-----++++-=22111111111[()()],min{,}nn n z z z a b a b b a b a b a ++-+-++-+<-．（3）2cos z解：由于函数2cos z 在复平面内处处解析,所以它在整个复平面内可以展开成z 的幂级数．4822cos 1(1),2!4!(2)!nnz z z z z n =-+-+-+<+∞．（4）shz解：由于函数shz 在复平面内处处解析,所以它在整个复平面内可以展开成z 的幂级数．321321()()()()sin ((1)),3!(21)!3!(21)!n n niz iz z z shz i iz i iz z z n n ++=-=--++-+=++++<+∞++（5）2sin z解：由于函数2sin z 在复平面内处处解析,所以它在整个复平面内可以展开成z 的幂级数．=221(2)(2)(1),22!2(2)!nn z z z n +++-+<+∞⨯⨯．（6）sin z e z 解：由于函数sin z e z 在复平面内处处解析,所以它在整个复平面内可以展开成z 的幂级数．(1)(1)sin 22iz iz i z i zzze e e e e z e i i-+---=⋅==22221(1)(1)(1)(1)(1(1)1(1))22!!2!!n n n n i z i z i z i z i z i z i n n ++--++++++-------=2122(1)(1)(2)22!!n n n i i i iz z z i n ⋅+--++++=32,3z z z z +++<+∞． 7． 求下列函数展开在指定点0z 处的泰勒展式,并写出展式成立的区域．（1）0,2(1)(2)zz z z =++解： 21(1)(2)21z z z z z =-++++,022111(2)222422414nnn z z z z ∞=-==⋅=-+-++∑, 011111(2)212333313nnn z z z z ∞=-==⋅=-+-++∑． 由于函数(1)(2)zz z ++的奇点为121,2z z =-=-,所以这两个展开式在23z -<内处处成立．所以有：210001(2)1(2)11()(2),23(1)(2)243323n n nn n n nn n n z z z z z z z ∞∞∞+===--=-=---<++∑∑∑．（2）021,1z z = 解：由于2111(1)(1)(1)(1),1111n n z z z z z z ==--+-++--+-<-+ 所以'11211()12(1)(1)(1),11n n z n z z z z --=-=--++--+-<．（3）01,143z i z=+- 解：1111134343(1)33133(1)131(1)13z z i i i z i i z i i===⋅---------------=100133(1)(1)13(13)(13)n n n n n n n n z i z i i i i ∞∞+==⋅--=-----∑∑． 展开式成立的区域：3(1)113z i i--<-,即13z i --< （4）0tan ,4z z π=解：'2tan sec z z =,''2tan 2sec tan z z z =,'''22tan 2sec (2tan 1)z z z =+,……,'24tan sec 24z z ππ===,''244tan 2sec tan 2z z zz zππ====,'''22448tan 2sec (2tan 1)3z z zz z ππ===+=……,故有 因为tan z 的奇点为,2z k k Z ππ=+∈,所以这个等式在44z ππ-<的范围内处处成立.8． 将下列函数在指定的圆域内展开成洛朗级数．(1)21,12(1)(2)z z z <<+-解：2221112()(1)(2)5211z z z z z z =--+--++, 222222002221212(1)(1)111n nn n n n z z z z z z∞∞+====-=-++∑∑, 故有2121220001112((1)(1))(1)(2)52n nn n n n n n n z z z z z ∞∞∞+++====-+-+-+-∑∑∑(2)21,01,1(1)z z z z z +<<<<+∞- 解：222112(1)(1)z z z z z z +=+--①在01z <<内 ②在1z <<+∞内 (3)1,011,12(1)(2)z z z z <-<<-<+∞--解：①在011z <-<内, ②在12z <-<+∞内20111111111(1)(1)1(1)(2)22122(2)(2)(2)12nnn n n n z z z z z z z z z z ∞∞+===⋅=⋅=-=-----+-----+-∑∑(4)1sin ,011z z<-<+∞-解：在01z <-<+∞内(5)cos,011zz z <-<+∞- 解：111cos cos(1)cos1cos sin1sin 1111z z z z z =+=----- 在01z <-<+∞内故有9． 将221()(1)f z z =+在z i =的去心邻域内展开成洛朗级数．解：因为函数221()(1)f z z =+的奇点为z i =±,所以它以点z i =为心的去心邻域是圆环域02z i <-<．在02z i <-<内又11001111()()(1)(1)()222(2)(2)12n n n n n n n n z i z i z i z i i i i i i i∞∞++==---=-⋅=--=---++∑∑ 故有222222001111()(1)()(1)()(1)()(2)(2)n n n n n n n n n n f z z i z i z z i i i ∞∞-++==++==⋅--=--+-∑∑ 10．函数()ln f z z =能否在圆环域0(0)z R R <<<<+∞内展开为洛朗级数？为什么？答：不能.函数()ln f z z =的奇点为,0,z z R ≤∈,所以对,0R R ∀<<+∞,0z R <<内都有()f z 的奇点,即()f z 以0z =为环心的处处解析的圆环域不存在,所以函数()ln f z z =不能在圆环域0(0)z R R <<<<+∞内展开为洛朗级数．习题五谜底1． 求下列各函数的孤立奇点,说明其类型,如果是极点,指出它的级． （1）221(1)z z z -+ 解：函数的孤立奇点是0,z z i ==±, 因222222221111111(1)(1)()()()()z z z z z z z z z i z z i z i z z i ----=⋅=⋅=⋅++-++-由性质5.2知,0z =是函数的1级极点,z i =±均是函数的2级极点． （2）3sin zz解：函数的孤立奇点是0z =,因32133sin 1((1))3!(21)!n nz z z z z z n +=-++-+,由极点界说知,0z =是函数的2级极点．（3）ln(1)z z+ 解：函数的孤立奇点是0z =,因0ln(1)lim1z z z→+=,由性质 5.1知,0z =是函数可去奇点． （4）21(1)z z e -解：函数的孤立奇点是2z k i π=,①0k =,即0z =时,因4223(1)2!!n zz z z e z n +-=++++ 所以0z =是2(1)z z e -的3级零点,由性质5.5知,它是21(1)z z e -的3级极点②2z k i π=,0k ≠时,令2()(1)z g z z e =-,'2()2(1)z z g z z e z e =-+,因(2)0g k i π=,'2(2)(2)0g k i k i ππ=≠,由界说5.2知,2(0)z k i k π=≠是()g z 的1级零点,由性质5.5知,它是21(1)z z e -的1级极点（5）2(1)(1)zzz e π++ 解：函数的孤立奇点是(21),z k i k Z =+∈,令2()(1)(1)z g z z e π=++,'2()2(1)(1)z z g z z e e z πππ=+++,''22()2(1)4(1)z z z g z e ze e z πππππ=++++ ①0z i =±时, 0()0g z =,'0()0g z =,''0()0g z ≠,由界说5.2知,0z i =±是()g z 的2级零点,由性质5.5知,它是21(1)(1)zz e π++的2级极点,故0z i =±是2(1)(1)zzz e π++的2级极点．②1(21),1,2,z k i k =+=±时,1()0g z =,'1()0g z ≠,由界说 5.2知,1(21),1,2,z k i k =+=±是()g z 的1级零点,由性质5.5知,它是21(1)(1)zz e π++的1级极点,故是2(1)(1)zzz e π++的１级极点． （６）21sin z解：函数的孤立奇点是0z =,1,2,z z k ==±= 令2()sin g z z =,'2()2cos g z z z =,①0z =时,因64222()sin (1)3!(21)!n nz z g z z z n +==-++-++,所以0z =是()g z 的2级零点,从而它是21sin z的2级极点． ②1,2,z z k ==±=时,()0g z =,'()0g z ≠,由界说 5.2知,1,2,z z k ==±=是()g z 的1级零点,由性质5.5知,它是21sin z 的１级极点． 2． 指出下列各函数的所有零点,并说明其级数．（1）sin z z解：函数的零点是,z k k Z π=∈,记()sin f z z z =,'()sin cos f z z z z =+①0z =时,因4222sin (1)3!(21)!n nz z z z z n +=-++-++,故0z =是sin z z 的2级零点．②,0z k k π=≠时,()0z k f z π==,'()0z k f z π=≠,由界说5.2知, ,0z k k π=≠是sin z z 的1级零点． （2）22z z e解：函数的零点是0z =,因242222(1)2!!n z z z z e z z n =+++++,所以由性质5.4知,0z =是22z z e 的2级零点．（3）2sin (1)z z e z -解：函数的零点是00z =,1z k π=,22z k i π=,0k ≠,记2()sin (1)z f z z e z =-,'22()cos (1)sin [2(1)]z z z f z z e z z e z z e =-++-①0z =时,0z =是sin z 的1级零点,,1z e -的1级零点,2z 的2级零点,所以0z =是2sin (1)z z e z -的4级零点．②1z k π=,0k ≠时,1()0f z =,'1()0f z ≠,由界说5.2知,1z k π=,0k ≠是()f z 的1级零点．③22z k i π=,0k ≠时,1()0f z =,'1()0f z ≠,由界说 5.2知,22z k i π=,0k ≠是()f z 的1级零点．3． 0z =是函数2(sin 2)z shz z -+-的几级极点？答：记()sin 2f z z shz z =+-,则'()cos 2f z z chz =+-,''()sin f z z shz =-+,'''()cos f z z chz =-+,(4)()sin f z z shz =+,(5)()cos f z z chz =+,将0z =代入,得：''''''(4)(0)(0)(0)(0)(0)0f f f f f =====,(5)()0f z ≠,由界说5.2知, 0z =是函数()sin 2f z z shz z =+-的5级零点,故是2(sin 2)z shz z -+-的10级极点．4． 证明：如果0z 是()f z 的(1)m m >级零点,那么0z 是'()f z 的1m -级零点．证明：因为0z 是()f z 的m 级零点,所以'''10000()()()()0m f z f z f z f z -=====,0()0m f z ≠,即''''2000()(())(())0m f z f z f z -====,'10(())0m f z -≠,由界说5.2知,0z 是'()f z 的1m -级零点．5． 求下列函数在有限孤立奇点处的留数． （1）212z z z+- 解：函数的有限孤立奇点是0,2z z ==,且0,2z z ==均是其1级极点．由定理5.2知,0011Re [(),0]lim ()lim22z z z s f z zf z z →→+===-+,0013Re [(),2]lim(2)()lim 2z z z s f z z f z z →→+=-==．（2）4231(1)z z ++解：函数的有限孤立奇点是z i =±,且z i =±是函数的3级极点,由定理5.2,423''''35111112123Re [(),]lim[()()]lim()lim 2!2()2()8z i z i z i z z s f z i z i f z i z i z i →→→+-=-===-++, 423''''35111112123Re [(),]lim[()()]lim()lim 2!2()2()8z i z i z i z z s f z i z i f z i z i z i →-→-→-++-=+===--．（3）241ze z-解：函数的有限孤立奇点是0z =,因22234443211(2)(2)2222(2)2!!2!3!!z n n n e z z z z z z n z z z n --=-----=-----所以由界说5.5知,2414Re [,0]3z e s z -=-．（4）21sin z z解：函数的有限孤立奇点是0z =, 因2232121111(1)1(1)sin ()3!(21)!3!(21)!nnn n z z z z z z n z zn z +---=-+++=-+++++所以由界说5.5知,211Re [sin ,0]6s z z=-． （5）1cos1z- 解：函数的有限孤立奇点是1z =,因。

复变函数习题总汇与参考答案(总21页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ）A （ac+bd, a ）B (ac-bd, b)C （ac-bd, ac+bd ）D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）}A |z|<RB 0<|z|<RC R<|z|<+∞D |z|>R3、若z=x+iy, 则y=(D) A B C D4、若A= ，则 |A|=（C ） A 3 B 0 C 1 D 2二、填空题1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv, 则v=（ 2xy ）2、复平面上满足Rez=4的点集为（ {z=x+iy|x=4} ）3、（ 设E 为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。

2zz +2z z -izz 2+iz z 2-)1)(4()1)(4(i i i i +--+4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，则{z n }以z o 为极限的充分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。

三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。

解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1|-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。

解：3、写出复数 的代数式。

解：4、求根式的值。

+∞→n lim +∞→n lim ππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 212312121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-ii i i -+-11327-解：四、证明题1、证明若 ，则a 2+b 2=1。

复变函数卷答案与评分标准一、填空题：1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。

定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。

（3分）定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。

（3分）定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =⎰ 。

（3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。

（3分）2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。

（3分）3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222i k i π++，其中k 为整数。

（3分） 4、设()2010sin z f z z+=，则()0Re z s f z ==2010。

（3分） 二、验证计算题（共16分）。

1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。

（8分）解：（1）22u x x ∂=+∂，222u x ∂=∂；2u y y∂=-∂，222u y ∂=-∂。

由于22220u u y x∂∂+=∂∂，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。

（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有22v u x y x∂∂==+∂∂，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++⎰ 2,v u y x y∂∂=-=∂∂又2()v y C x x ∂'=+∂ ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。

南海校区计算机工程系2009/2010学年（一）学期期中考试试卷《复变函数》试卷专业 电子信息工程 年级2008班级 姓名 学号一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、20002000)1()1(i i -++＝100122、)1(Ln i +＝12224ln ()i k ππ++。

3、⎰=-+1||)2)(12(d z z z zz ＝5i π。

4、dz z tgz i⎰+12cos 1（沿1到i 的直线段）＝22111122tgi tg i tg tg +--。

5、dz z zz ⎰=2＝0。

二、选择题（每小题3分，共15分）：1、 设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有,12||||21=+z z 则动点),(y x 的轨迹是 (B ).(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线 2、下列函数中为解析函数的是( C )(A) xyi y x 222-- (B) xyi x +2 (C) )2()1(222x x y i y x +-+- (D) 33iy x +3、 设函数iv u z f +=)(在区域D 内解析, 下列等式中错误的是(B ). (A) x v i x u z f ∂∂+∂∂=)(' (B) xv i y v z f ∂∂+∂∂=)(' (C) yv i y u z f ∂∂+∂∂=)(' (D) y u i x u z f ∂∂-∂∂=)('4、 设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数,则下列函数中为D 内解析函数的是( C ).(A) ),(),(y x iu y x v + (B) ),(),(y x iu y x v -(C) ),(),(y x iv y x u - (D) xv i x u ∂∂-∂∂ 5、 设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下命题中，正确的是（C ） （A ）若|)(|z f 在区域D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数. （B ）若))(Re(z f 在区域D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数. （C ）若)(z f 与)(z f 在区域D 内是解析，则)(z f 在D 内是一常数. (D ）若)(arg z f 在区域D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数. 三、计算题（15分）（1）⎰=+-+12d 12102sin e z z z z z z ． （2）⎰--c z z z d )1)(1(132，41:=z c ． 解：原式=11223e sin d ()()z z z z z z =+--⎰ 解：23110()()z z --=的根都在圆周 因为23,z z ==都不在圆1||z =的内部， 1||z =上，因此23111()()z z --在圆 23e sin ()()z zz z +--在圆1||z =的内部解析， 14z =的内部解析，由柯西—古由柯西—古萨基本定理，原式=0 萨基本定理，原式=0（3）I=z zz dz C+⎰||的值，其中C 为正向圆周|z|=2.解：222222222||C C C C C C C C z z z z z z z z I dz dz dz dz dz dz dz dz z z z ⋅=+=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为2z 在圆|z|=2的内部解析，由柯西—古萨基本定理，02C zdz =⎰ 因为0z =在圆|z|=2的内部，由柯西积分公式2224C dz i i zππ=⋅=⎰ 所以4I i π=四、（9分）计算积分 ⎰-+=C z z z dzI )2)(1(3 的值, 其中.2,1,|:|≠=r r z C解：当1||z r =<，3311212()()()()CCdzz z I dz z z z z+-==+-⎰⎰ 112()()z z +-在圆1||z r =<内部解析，且0z =在圆1||z r =<内部，由高阶导数公式，0003321111211212321321[]''|()''|[]|()()()()z z z i i I i z z z z z z πππ=====⋅-=-+--+-+ 2131384[]i iππ=--=-。

第 1 页 共 10 页《复变函数》习题及答案一、 判断题1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。

（ ）2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在。

（ ）3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。

( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。

（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。

（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。

（ ）7、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。

（ ）8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。

（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。

（ ）10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。

（ ）11、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。

（ ） 12、有界整函数必为常数。

（ ） 13、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。

( )14、若f (z )在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）。

（ ） 15、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。

（ ） 16、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。

（ ） 17、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。

（ ） 18、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。

（ ）19、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。