九年级数学上册 第1章 二次函数章末总结提升练习 (新版)浙教版

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第1章二次函数》期末综合复习训练（附答案）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0，则（）A．a＞0，b2﹣4ac＝0B．a＜0，b2﹣4ac＞0C．a＞0，b2﹣4ac＜0D．a＜0，b2﹣4ac＝02．已知抛物线C：y＝x2+3x﹣10，将抛物线C平移得到抛物线C′，若两条抛物线C和C′关于直线x＝1对称，则下列平移方法中，正确的是（）A．将抛物线C向右平移个单位B．将抛物线C向右平移3个单位C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位3．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+24．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于05．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（）A．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＜0B．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＞0C．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＞0D．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＜07．在同一坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝bx2+ax的图象只可能是（）A．B．C．D．8．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b+c＞0；⑤关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣3之间，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（3，0）且对称轴为直线x＝1．有四个结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＝0；③a﹣b+c＝0；④若m＞n＞0，则x＝1﹣m时的函数值小于x＝1+n时的函数值，其中正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．410．如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．11．把二次函数y＝﹣x2+3x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为．12．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣3，﹣2），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．13．已知函数y＝x2﹣2mx+2015（m为常数）的图象上有三点：A（x1，y1），B（x2，y2），C （x3，y3），其中x1＝m﹣，x2＝m+，x3＝m﹣1，则y1、y2、y3的大小关系是．14．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为．16．对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，下列正确的说法是．①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时，y随x的增大而减小，则m＝1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1；④如果当x＝﹣2时的函数值与x＝2022时的函数值相等，则当x＝2020时的函数值为﹣3．17．已知抛物线y＝﹣x2+ax+b经过点A（1，0），B（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标．18．如图是某个二次函数的图象．（1）求该二次函数关系式；（2）补全函数图象；（3）若抛物线上点P（m，n）到y轴的距离不大于2，请根据图象直接写出n的取值范围．19．已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a≠0）的图象经过点A（4，﹣6），与y轴交于点B，顶点为C（m，n）．（1）求点B的坐标；（2）求证：4a+b＝0；（3）当a＞0时，判断n+6＜0是否成立？并说明理由．20．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．21．如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B 在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上存在一点P，使得△PBO的面积是△ABO面积的两倍，求P 点的坐标以及△ABP的面积．22．已知抛物线y＝x2+bx+a﹣1过点（2+a，m），（2﹣a，m），（a，n）．（1）求b的值；（2）当0＜a＜2时，请确定m，n的大小关系；（3）若当0＜a≤x≤2+a时，y有最小值3，求a的值．23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b＞0），交x轴于点A、B，交y轴于点C，已知A的横坐标为﹣1．（1）求点B的坐标．（用含b的代数式表示）（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，平移线段CB，使点C与D重合，此时点B恰好落在抛物线上，求b的值．参考答案1．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0，∴a＜0，＝0即b2﹣4ac＝0．故选：D．2．解：∵抛物线C：y＝x2+3x﹣10＝（x+）2﹣，∴抛物线对称轴为x＝﹣．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣10）．则与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x＝1对称，就是要将B点平移后以对称轴x＝1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移5个单位．故选：C．3．解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线C1的顶点为（1，2），∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，故选：A．4．解∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．故选：B．5．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，得2a+b＝0，故①正确；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故②正确；该函数图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），∴点A（3，0），∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3，故④错误；故选：B．6．解：∵直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，∵点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，∴y1＝ax12﹣2ax1+c，y2＝ax22﹣2ax2+c，当x1＜x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，∴ax12﹣2ax1+c﹣（ax22﹣2ax2+c）＜0，整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，∵x1﹣x2＜0，∴a（x1+x2﹣2）＞0，故A，B不符合题意；当x1＞x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，∴ax12﹣2ax1+c﹣（ax22﹣2ax2+c）＜0，整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，∵x1﹣x2＞0，∴a（x1+x2﹣2）＜0，故C不符合题意，D符合题意；故选：D．7．解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y 轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b同号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确，故选：D．8．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴2a+b＝0，故①②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点（4，y）与（﹣2，y）关于直线x＝1对称，∵x＝4时，y＜0，∴x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），∴n＝a+b+c＞0，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，∴关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣1之间，故⑤错误；∴正确结论的有①②③④共4个，故选：D．9．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，故①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（3，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴横坐标是1﹣m的点的对称点的横坐标为1+m，∵若m＞n＞0，∴1+m＞1+n，∴x＝1﹣m时的函数值小于x＝1+n时的函数值，故④正确．故选：C．10．解：设y＝y2﹣y1，∵y1＝kx，y2＝ax2+bx+c，∴y＝ax2+（b﹣k）x+c，由图象可知，在点A和点B之间，y＞0，在点A的左侧或点B的右侧，y＜0，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意；故选：B．11．解：y＝﹣x2+3x+3＝﹣（x2﹣12x+36）+9+3＝﹣（x﹣6）2+12．故答案为y＝﹣（x﹣6）2+12．12．解：∵二次函数图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，∴这个点的坐标为（﹣1，0）或（1，0），设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，当该函数过原点、（﹣3，﹣2），（﹣1，0）时，，解得，，即该二次函数的解析式为y＝x2x；当该函数过原点、（﹣3，﹣2），（1，0）时，，解得，，即该二次函数的解析式为y＝x2+x；由上可得，该二次函数的解析式为y＝x2x或y＝x2+x，故答案为：y＝x2x或y＝x2+x．13．解：在二次函数y＝x2﹣2mx+2015，对称轴x＝m，在图象上的三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），|m﹣1﹣m|＜|m﹣﹣m|＜|m+﹣m|，则y1、y2、y3的大小关系为y3＜y1＜y2．故答案为y3＜y1＜y2．14．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．15．解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．故答案为：6．16．解：①由于△＝4m2+12＞0，它的图象与x轴有两个公共点，故①符合题意；②由于对称轴是直线x＝m，抛物线开口方向向上，所以当x≤1时，y随x的增大而减小，此时m≤1，故②不符合题意；③如果将y＝x2﹣2mx﹣3＝（x﹣m）2﹣3﹣m2的图象向左平移3个单位后的抛物线解析式是：y＝（x﹣m+3）2﹣3﹣m2，将（0，0）代入，得到（0﹣m+3）2﹣3﹣m2＝0．解得m＝1，故③不符合题意；④如果当x＝﹣2时的函数值与x＝2022时的函数值相等，则该抛物线对称轴是直线x＝m＝1010，所以当x＝2020时，y＝x2﹣2mx﹣3＝20202﹣20202﹣3＝﹣3，即该函数的函数值为﹣3，故④符合题意．故答案是：①④．17．解：（1）根据题意得到：，解得，因而抛物线的解析式是：y＝﹣x2+5x﹣4．（2）∵y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的顶点坐标为（，）．18．解：（1）根据图象知，抛物线的顶点坐标为（1,4），∴设二次函数关系式为y＝a(x﹣1)²+4，又∵函数图象过（3,0），∴0＝4a+4，解得a＝﹣1，∴函数解析式为：y＝﹣(x﹣1)²+4；（2）由（1）函数解析式知，函数与y轴的交点为（0,3），函数与x轴的另一交点为（﹣1,0），∴图象补全如右图所示；（3）由图知，当x＝1时函数有最大值为4，∴n≤4，当x＝﹣2时P（m，n）到y轴的距离等于2，此时n有最小值，n＝﹣(﹣2﹣1)²+4＝﹣5，综上所述，n的取值为﹣5≤n≤4．19．解：（1）∵x＝0时，y＝﹣6∴点B坐标为（0，﹣6）（2）证明：∵二次函数的图象经过点A（4，﹣6）∴16a+4b﹣6＝﹣6∴4a+b＝0（3）当a＞0时，n+6＜0成立，理由如下：∵n＝∴n+6＝∵a＞0，4a+b＝0即b≠0∴b2＞0∴＜0∴n+6＜0成立20．解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点坐标为（3，4）；（2）∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵顶点坐标为（3，4），∴当x＝3时，y最大值＝4，∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，∴当x＝1时，y最小值＝0，∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，∴当x＝4时，y最小值＝3．∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，当x＝t+3时，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，∴m﹣n＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m＝4，i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）；ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），③当t≥3时，y随着x的增大而减小，当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），综上所述，t＝3﹣或．21．解：（1）在直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，∴A（0，4），B（4，0），将A（0，4），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，可得，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）设P点坐标为（x，﹣x2+x+4），∵△PBO的面积是△ABO面积的两倍，∴×4×丨﹣x2+x+4丨＝2××4×4，解得：x1＝6，x2＝﹣4，又∵点P位于第三象限，∴x＝6舍去，当x＝﹣4时，y＝﹣x2+x+4＝﹣8，∴P点坐标为（﹣4，﹣8），设直线PB的解析式为y＝kx+b1，将P（﹣4，﹣8），B（4，0）代入，可得，解得：，∴直线PB的解析式为y＝x﹣4，在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴直线PB与y轴交于点（0，﹣4），如图，过点P作PM⊥y轴，连接PB交y轴于点N，连接AP，∴△ABP的面积＝AN•（PM+OB）＝×8×8＝32．22．解：（1）∵（2+a，m），（2﹣a，m）是抛物线上的两点，∴对称轴为直线x＝＝2，∴＝2，∴b＝﹣4；（2）如图，∵（2+a，m），（a，n）是抛物线上两点，∴当a＝1，2+a＝3时，m＝n，由图可知，①当0＜a≤1时，m≤n；②当1＜a＜2时，m＞n；（3）如图，①当0＜a≤2时，在x＝2时y取最小值，此时y最小值＝a﹣5，令a﹣5＝3，则a＝8（不合题意，舍），②当a＞2时，在x＝a时y取最小值，此时y＝x2+4x+a﹣1＝a2﹣4a+a﹣1＝a2﹣3a﹣1，令a2﹣3a﹣1＝3，解得：a＝4或a＝﹣1（舍去），综上所述：a＝4．23．（1）∵y＝﹣x2+bx+c，∴对称轴为直线，∴，∵A点横坐标为﹣1，∴B（b+1，0）．（2）对称轴直线x＝与x轴交点为（，0），把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：﹣1﹣b+c＝0，即c＝b+1，∵平移线段CB，使C与D重合点，∴B平移后得点，∵点B在抛物线上，∴，解得，∵b＞0，∴．。

第一章二次函数能力提升测试一.选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）21.,y ax bx c y bx a=++=+二次函数的图象如图所示则一次函数的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A.m＞1B.m＞0C.m＞﹣1D.﹣1＜m＜03.若二次函数y=x2＋bx的图像的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx=5的解为（）A.120,4x x== B.121,5x x== C.121,5x x==- D.121,5x x=-=4.对于二次函数y=﹣x2+2x.有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0.其中正确的结论的个数为（）A.1B.2C.3D.45.二次函数的最大值为（ C ）A.3B.4C.5D.66.将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣1）2+4 B.y=（x﹣4）2+4( )B．C.y=（x+2）2+6 D.y=（x﹣4）2+67.已知二次函数的图象如图所示，记，.则下列选项正确的是（）A. B.C. D.m.n的大小关系不能确定8.同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）9.二次函数（）的图象如图所示，下列说法：①，②当时，，③若（，）.（，）在函数图象上，当时，，④，其中正确的是（）A.①②④B.①④C.①②③D.③④10.如.图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A.①②③B.①③④C.①③⑤D.②④⑤二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 温馨提示：填空题应把最简洁，最正确的答案填出来！11.如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向上平移，使它经过点A (0，3)，那么所得新抛物线的表达式是_______________ 12.抛物线y =x 2+2x +3的顶点坐标是13.已知抛物线p ：y =ax 2+bx +c 的顶点为C ，与x 轴相交于A.B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x 轴的对称点为C ′，我们称以A 为顶点且过点C ′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC ′为抛物线p 的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，则这条抛物线的解析式为_____________________ 14.定义：给定关于x 的函数y ，对于该函数图象上任意两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，都有y 1﹤y 2，称该函数为增函数. 根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有_____________（填上所有正确答案的序号）① y = 2x ； ② 1+-=x y ； ③()02>=x x y ； ④xy 1-= 15.二次函数的图象如图，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B .C 在 二次函数的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA =120°，则菱形OBAC 的面积为16.如图，已知直线分别交轴.轴于点.，是抛物线上的一个动点，其横坐标为，过点且平行于轴的直线交直线于点，则当时，的值是三.解答题（共7题，共66分）17（本题8分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100 110 120 130月销量（件）200 180 160 140（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是元；②月销量是件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？18.（本题8分）如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B. （1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；19.（本题8分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； (2)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？20.（本题10分）随着我市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

浙教版数学九年级上册《二次函数》综合提高卷一．选择题（共10小题，满分31分） 1．（2分）（2016•贵阳模拟）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y=x 2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为（ ）A ． 12.75米B ． 13.75米C ． 14.75米D ． 17.75米2．（3分）（2016•贵阳模拟）如图，Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，设直线x=t 截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）（2015•安徽）如图，一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y=ax 2+（b ﹣1）x+c 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（3分）（2014•龙岩）定义符号min{a ，b}的含义为：当a ≥b 时min{a ，b}=b ；当a ＜b 时min{a ，b}=a ．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x 2+1，﹣x}的最大值是（ ） A ． B． C ． 1 D ． 05．（3分）（2015•潍坊模拟）若函数y=的自变量x 的取值范围是全体实数，则c的取值范围是（ ）A ． c ＜1B ． c =1C ． c ＞1D ． c ≤16．（3分）（2013•资阳）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是（ ）A ． ﹣4＜P ＜0B ． ﹣4＜P ＜﹣2C． ﹣2＜P ＜0D ． ﹣1＜P ＜07．（3分）（2012•怀化校级模拟）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么a+b+c 的取值范围是（ ）A ． ﹣2＜a+b+c ＜0B ． 0＜a+b+c ＜2C ． ﹣4＜a+b+c ＜0D ． 0＜a+b+c ＜48．（3分）（2003•武汉）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c ＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c＞0；④b2﹣2ac＞5a2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（3分）（2001•金华）用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）A．m2B．m2C．m2D．4m210．（5分）（2013•泰安模拟）如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分25分）11．（4分）（2011•扬州）如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为．12．（4分）（2015•金堂县二模）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C 的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为．13．（4分）（2013•大连）如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为．14．（4分）（2013•荆门）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B （m+6，n），则n=．15．（4分）（2013•长春模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是．16．（5分）（2013•庐江县校级模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＞；④b＜1．其中正确的结论是．三．解答题（共5小题，满分44分）17．（8分）（2012•新密市自主招生）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式；（2）P是此抛物线的对称轴上一动点，当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；（3）M（x，y）是此抛物线上一个动点，当△MOB的面积等于△OAB面积时，求M的坐标．18．（8分）（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．19．（8分）（2015•湖州模拟）如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C 的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．20．（8分）（2015•温州模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，4），B（4，0），C（﹣1，0）三点．过点A作垂直于y轴的直线l．在抛物线上有一动点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）是否存在点P，使得以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P位于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的右侧．若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式．21．（12分）（2015•深圳模拟）已知正方形OABC中，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B（4，4）．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、B．点P（t，0）是x轴上一动点，连接AP．（1）求此二次函数的解析式；（2）如图①，过点P作AP的垂线与线段BC交于点G，当点P在线段OC（点P不与点C、O重合）上运动至何处时，线段GC的长有最大值，求出这个最大值；（3）如图②，过点O作AP的垂线与直线BC交于点D，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象上是否存在点Q，使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．浙教版数学九年级上册《二次函数》综合提高卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分31分）1．（2分）（2016•贵阳模拟）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y=x2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为（）A．12.75米B．13.75米C．14.75米D．17.75米考点：二次函数的应用．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：以点D为原点，DC方向为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=x2+bx+c，把A（0，20），B（50，30）代入，可求出抛物线的解析式，根据坡度1：5，可求得斜坡所在直线的解析式，即可表示MG的长，即可求出下垂的电缆与地面的最近距离；解答：解：如图，以点D为原点，DC方向为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=x2+bx+c，易知：A（0，20），B（50，30），代入解析式可求得：b=﹣，c=20，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+20，∵斜坡的坡度为1：5，∴斜坡所在直线的解析式为：y=x，设一条与x轴垂直的直线x=m与抛物线交于M，与斜坡交于G，则MG=m2﹣m+20﹣m=（m﹣25）2+13.75，∴当m=25时，MG的最小值为13.75，即下垂的电缆与地面的最近距离为13.75m；故选B．点评：本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用．2．（3分）（2016•贵阳模拟）如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象．分析：Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．解答：解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]、开口向上的二次函数图象；故选D．点评：本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征．3．（3分）（2015•安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．分析：由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．解答：解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，∵﹣＞0，a＞0∴﹣=﹣+＞0∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∵a＞0，开口向上，∴A符合条件，故选A．点评：本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．（3分）（2014•龙岩）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A．B．C．1D．0考点：二次函数的最值；正比例函数的性质．专题：新定义．分析：画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．解答：解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=﹣x2+1与正比例函数y=﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．令﹣x2+1=﹣x，即x2﹣x﹣1=0，解得：x=或，∴A（，），B（，）．观察图象可知：①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为；③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．综上所示，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选：A．点评：本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．5．（3分）（2015•潍坊模拟）若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值范围是（）A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤1考点：二次函数的性质；分式有意义的条件；函数自变量的取值范围．专题：计算题；压轴题．分析：先根据分式的意义，分母不等于0，得出x2﹣2x+c≠0，再根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质，可知当二次项系数a＞0，△＜0时，有y＞0，此时自变量x的取值范围是全体实数．解答：解：由题意，得△=（﹣2）2﹣4c＜0，解得c＞1．故选C．点评：本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．难点在于分母是关于自变量x的二次函数，要使自变量x的取值范围是全体实数，必须满足△＜0．6．（3分）（2013•资阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是（）A．﹣4＜P＜0 B．﹣4＜P＜﹣2 C．﹣2＜P＜0 D．﹣1＜P＜0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：求出a＞0，b＞0，把x=1代入求出a=2﹣b，b=2﹣a，把x=﹣1代入得出y=a﹣b+c=2a﹣4，求出2a﹣4的范围即可．解答：解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的左边，∴﹣＜0，∴b＞0，∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0，∴a=2﹣b，b=2﹣a，∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2，当x=﹣1时，y=a﹣b+c=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，∵b＞0，∴b=2﹣a＞0，∴a＜2，∵a＞0，∴0＜a＜2，∴0＜2a＜4，∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．故选：A．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．7．（3分）（2012•怀化校级模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么a+b+c的取值范围是（）A．﹣2＜a+b+c＜0 B．0＜a+b+c＜2 C．﹣4＜a+b+c＜0 D．0＜a+b+c＜4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线与y轴的交点为（0，﹣2），∴c=﹣2，∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x=＞0，又∵a＞0，∴b＜0由图象可知：当x=﹣1时y=0，∴a﹣b+c=0又∵c=﹣2，∴a=2+b，又∵a＞0，b＜0，∴﹣2＜b＜0∴a﹣b+c=0可整理为：a+b+c=2b，又∵﹣2＜b＜0，∴﹣4＜2b＜0，故﹣4＜a+b+c＜0．故选C．点评：考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．8．（3分）（2003•武汉）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c ＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c＞0；④b2﹣2ac＞5a2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），把点（﹣1，0）代入解析式，结合4a+2b+c＞0，即可整理出a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，结合a＜0，故可求出a+c＞0；（3）画草图可知c＞0，结合a﹣b+c=0，可整理得﹣a+b+c=2c＞0，从而求得﹣a+b+c＞0；（4）把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c=0，可得出2a+c＞0，再由a＜0，可知c＞0则c﹣2a＞0，故可得出（c+2a）（c﹣2a）＞0，即b2﹣2ac﹣5a2＞0，进而可得出结论．解答：解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c（a ＜0）经过点（﹣1，0），所以原式可化为a﹣b+c=0﹣﹣﹣﹣①，又因为4a+2b+c ＞0﹣﹣﹣﹣②，所以②﹣①得：3a+3b＞0，即a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，即2a+c＞0，∴a+c＞﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，故a+c＞0；（3）因为4a+2b+c＞0，可以看作y=ax2+bx+c（a ＜0）当x=2时的值大于0，草图为：可见c＞0，∵a﹣b+c=0，∴﹣a+b﹣c=0，两边同时加2c得﹣a+b﹣c+2c=2c，整理得﹣a+b+c=2c＞0，即﹣a+b+c＞0；（4）∵过（﹣1，0），代入得a﹣b+c=0，∴b2﹣2ac﹣5a2=（a+c）2﹣2ac﹣5a2=c2﹣4a2=（c+2a）（c﹣2a）又∵4a+2b+c＞4a+2（a+c）+c＞0即2a+c＞0①∵a＜0，∴c＞0则c﹣2a＞0②由①②知（c+2a）（c﹣2a）＞0，所以b2﹣2ac﹣5a2＞0，即b2﹣2ac＞5a2综上可知正确的个数有4个．故选D．点评：此题是一道结论开放性题目，考查了二次函数的性质、一元二次方程根的个数和图象的位置之间的关系，同时结合了不等式的运算，是一道难题．9．（3分）（2001•金华）用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）A．m2B．m2C．m2D．4m2考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：设窗的高度为xm，宽为m，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．解答：解：设窗的高度为xm，宽为（）m，故S=．∴，即S=．∴当x=2m时，S最大值为m2．故选C．点评：本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算．10．（5分）（2013•泰安模拟）如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．B．C．D．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．解答：解：如图∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点，∴x2﹣x﹣=x﹣2，解得：x=1或x=，当x=1时，y=x ﹣2=﹣1，当x=时，y=x ﹣2=﹣，∴点A的坐标为（，﹣），点B的坐标为（1，﹣1），∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延长BB′，AA′相交于C，∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=，∴A′B′==．∴点P运动的总路径的长为．故选A．点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．二．填空题（共6小题，满分25分）11．（4分）（2011•扬州）如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为x=﹣3．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：探究型．分析：先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，此方程就化为求函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论．解答：解：∵P的纵坐标为1，∴1=﹣，∴x=﹣3，∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，∴x=﹣3．故答案为：x=﹣3．点评：本题考查的是二次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，能把方程的解化为两函数图象的交点问题是解答此题的关键．12．（4分）（2015•金堂县二模）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C 的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为8．考点：二次函数综合题；解一元二次方程-直接开平方法；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．专题：计算题；压轴题．分析：当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．解答：解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8；故答案为：8．点评：本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次方程等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．13．（4分）（2013•大连）如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x 轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣x+．考点：二次函数图象与几何变换．专题：压轴题．分析：先求出点A的坐标，再根据中位线定理可得顶点C的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出b的值，再求出点D的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，把点A、D的坐标代入进行计算即可得解．解答：解：∵令x=0，则y=，∴点A（0，），根据题意，点A、B关于对称轴对称，∴顶点C的纵坐标为×=，即=，解得b1=3，b2=﹣3，由图可知，﹣＞0，∴b＜0，∴b=﹣3，∴对称轴为直线x=﹣=，∴点D的坐标为（，0），设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，则，解得，所以，y=x2﹣x+．故答案为：y=x2﹣x+．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的对称性确定出顶点C的纵坐标是解题的关键，根据平移变换不改变图形的形状与大小确定二次项系数不变也很重要．14．（4分）（2013•荆门）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B （m+6，n），则n=9．考点：抛物线与x轴的交点．专题：压轴题．分析：首先，由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c；其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=b2+c+9，所以把b2=4c代入即可求得n的值．解答：解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．又∵点A（m，n），B（m+6，n），∴点A、B关于直线x=﹣对称，∴A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=b2+c+9∵b2=4c，∴n=×4c+c+9=9．故答案是：9．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．15．（4分）（2013•长春模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是．考点：二次函数综合题．专题：综合题；压轴题．分析：顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C与D点重合，可以知道顶点坐标为（1，3）且抛物线过（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点为（3，0），由此可求出a；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2）且抛物线过（﹣2，0），则它与x轴的另一个交点为（8，0），由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围．解答：解：∵顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，∴当顶点C与D点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y=a（x﹣1）2+3，∴解得﹣≤a≤﹣；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y=a（x﹣3）2+2，∴解得﹣≤a≤﹣；∵顶点可以在矩形内部，∴﹣≤a≤﹣．故答案为：﹣≤a≤﹣．点评：本题主要考查了抛物线的解析式y=ax2+bx+c中a、b、c对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨论，加以解决．16．（5分）（2013•庐江县校级模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc ＞0；②a+b+c=2；③a＞；④b＜1．其中正确的结论是②③．考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x=＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故①错误；②当x=1时，函数值为2＞0，∴②a+b+c=2对当x=﹣1时，函数值=0，即a﹣b+c=0，（1）又a+b+c=2，将a+c=2﹣b代入（1），2﹣2b=0，∴b=1所以④b＜1错误；③∵对称轴x=﹣＞﹣1，解得：＜a，∵b=1，∴a＞，所以③对；故其中正确的结论是②③．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=﹣1时，可确定a﹣b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．三．解答题（共5小题，满分44分）17．（8分）（2012•新密市自主招生）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式；（2）P是此抛物线的对称轴上一动点，当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；（3）M（x，y）是此抛物线上一个动点，当△MOB的面积等于△OAB面积时，求M的坐标．考点：二次函数综合题．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）在Rt△OAB中，已知∠BOA的度数和AB的长，可求出OA的值，即可得到点A的坐标；由于△OBC由△OAB折叠所得，那么∠BOA=∠BOC、且OA=OC，过C作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，通过解直角三角形可得到点C的坐标；最后利用待定系数法可求出抛物线的解析式．（2）以P、O、C为顶点的等腰三角形并没有确定腰和底，所以要分情况讨论：①CP=OP、②OC=CP、③OC=OP；首先设出点P的坐标，在用表达式表示出△OPC三边长后，按上面所列情况列方程求解即可．（3）在直线OB两边，到OB的距离等于的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，求出即可．解答：解：（1）由已知条件，可知OC=OA==2，∠COA=60°，C点的坐标为（，3），设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所求抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．（2）由题意，设P（，y），则：OP2=y2+3、CP2=（y﹣3）2=y2﹣6y+9、OC2=12；①当OP=CP 时，6y=6，即y=1；②当OP=OC 时，y2=9，即y=±3（y=3舍去）；③当CP=OC 时，y2﹣6y﹣3=0，即y=3±2；∴P点的坐标是（，1）或（，﹣3）或（，3﹣2）或（，3+2）；（3）过A作AR⊥OB于R，过O作ON⊥MN于N，MN与y轴交于点D．∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=2，OB=4，由三角形面积公式得：4×AR=2×2，AR=，∵△MOB的面积等于△OAB面积，∴在直线OB两边，到OB的距离等于的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，∠NOD=∠BOA =30°，ON=，则OD=2，求出直线OB的解析式是y=x，则这两条直线的解析式是y=x+2，y=x﹣2，解，，解得：，，，此时，M1（，3）、M2（，）．M3（2，0）．M4（﹣，﹣）．点评：该题主要考查：利用待定系数法确定函数解析式、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及三角形面积的解法等基础知识；类似（2）题的等腰三角形判定题，通常都要根据不同的腰和底进行分类讨论，以免漏解．18．（8分）（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．考点：二次函数综合题．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）∵△PAC 为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x 轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN =+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．19．（8分）（2015•湖州模拟）如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C 的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题；压轴题；分类讨论．分析：（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度数即可；（2）利用图②中的函数图象，求得点P的运动时间与路程解决即可；（3）利用特殊角的三角函数，三角形的面积以及配方法解决问题；（4）分两种情况进行列方程解决问题．解答：解：（1）如图，过点B作BE⊥OA于E，则OE=5，BE=5，OA=10，∴AE=5，。

第一章 二次函数能力提升测试卷(A)一.选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.将二次函数y =x 2﹣2x +3化为y =（x ﹣h ）2+k 的形式，结果为（ ）A.y =（x +1）2+4B.y =（x +1）2+2C.y =（x ﹣1）2+4D.y =（x ﹣1）2+22.在同一坐标系中，一次函数y =﹣mx +n 2与二次函数y =x 2+m 的图象可能是（ ）A. B. C. D.3.如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换。

已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是12+=x y ，则原抛物线的解析式不可能的是（ ）A.12-=x yB.562++=x x yC.442++=x x yD.1782++=x x y4.某同学在用描点法画二次函数y =ax 2+bx +c 的图象时，列出了下面的表格：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y …﹣11 ﹣21﹣2﹣5 …由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（ ） A.﹣11B.﹣2C.1D.﹣55.若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）.（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A.a（x 0﹣x1）（x0﹣x2）＜0B.a＞0C.b2﹣4ac≥0D.x1＜x0＜x26.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A.B两点，与y轴交于点C，且∠OBC=45°，则下列各式成立的是（）A．b﹣c﹣1=0 B.b+c﹣1=0C. b﹣c+1=0D.b+c+1=07.已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C.若D为AB的中点，则CD的长为（）A. B. C. D.8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动.则运动过程中所构成的△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.9.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0;②当﹣1≤x≤3时，y＜0;③若（x1，y1）.（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2;④9a+3b+c=0;其中正确的是（）第9题图第10意图10.如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1.y2.若y1≠y2，取y1.y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2.例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0.下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或.其中正确的是（）A.①②B.①④C.②③D.③④二.填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11.二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（，）.12.已知二次函数y=－x2－2x＋3的图象上有两点A(－7，y)，B(－1 8，y)，则1y2y.（用>.<.=填空）.213.某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来.14.已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，则抛物线的解析式 .15.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是.16.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示.下列说法正确的是 (填正确结论的序号).①abc＜0；②a－b＋c＜0；③3a＋c＜0；④当－1＜x＜3时，y＞0.三.解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.17.（6分）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1.（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根.18、（8分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1.x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q.（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A.B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值.19.（8分）已知二次函数y=﹣x2+2x+m.（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标.20.（10分）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A.B.C.D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E.F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）.（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？21.（10分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x－6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。

巧用抛物线对称性解题►类型之一二次函数与三角形的综合图3－ZT－11．如图3－ZT－1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________．2．如图3－ZT－2，在平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA＝8，AB＝AC＝10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足S△COE＝S△ADE，求过点B，C，E的抛物线的函数表达式．图3－ZT－23．如图3－ZT－3，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图象经过点A(3，0)，B(4，1)，且与y轴交于点C，连结AB，AC，BC.(1)求该二次函数的表达式；(2)判断△ABC的形状．图3－ZT－34．如图3－ZT－4，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，已知C(0，5)，M为它的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；(2)求△MAB的面积；(3)求△MCB的面积．图3－ZT－45．如图3－ZT －5，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P ，且点P 在x 轴上方．若S △PAB ＝8，请求出此时点P 的坐标．图3－ZT －56．如图3－ZT －6，一小球从斜坡上点O 抛出，球的抛出路线可以用二次函数y ＝－x 2＋4x 刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画．(1)请用配方法求二次函数图象最高点P 的坐标； (2)小球的落点是A ，求点A 的坐标；(3)连结抛物线的最高点P 与点O ，A 得△POA ，求△POA 的面积；(4)在OA 上方的抛物线上存在一点M (点M 与点P 不重合)，使△MOA 的面积等于△POA 的面积，请直接写出点M 的坐标．图3－ZT －6► 类型之二 二次函数与特殊四边形的综合图3－ZT －77．边长为1的正方形OA 1B 1C 1的顶点A 1在x 轴的正半轴上，将正方形OA 1B 1C 1绕顶点O 顺时针旋转75°得正方形OABC (如图3－ZT －7)，使点B 恰好落在函数y ＝ax 2(a ＜0)的图象上，则a 的值为( )A ．－23B ．－12C ．－2D ．－238．如图3－ZT －8，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．3－ZT －83－ZT －99．二次函数y ＝3x 2的图象如图3－ZT －9，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y ＝3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA ＝120°，则菱形OBAC 的面积为__________．10．如图3－ZT －10，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－43x ＋2过点B (1，0)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线与y 轴的交点C 的坐标及与x 轴的另一交点A 的坐标； (3)以AC 为边在第二象限画正方形ACPQ ，求P ，Q 两点的坐标．图3－ZT －1011．如图3－ZT －11，已知抛物线y ＝－14x 2－12x ＋2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C .(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)E 是此抛物线上的点，F 是其对称轴上的点，求以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积．(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图3－ZT －11详解详析1．(1＋2，2)或(1－2，2)[解析]∵△PCD 是以CD 为底的等腰三角形， ∴点P 在线段CD 的垂直平分线l 上．如图，作CD 的垂直平分线交抛物线于点P 1，P 2，交y 轴于点E ，则E 为线段CD 的中点．∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ， ∴C (0，3)，而D (0，1)，∴点E 的坐标为(0，2)， ∴点P 的纵坐标为2.在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝2，可得－x 2＋2x ＋3＝2，解得x ＝1±2，∴点P 的坐标为(1＋2，2)或(1－2，2)． 2．解：如图，过点D 作DG ⊥x 轴于点G . ∵OA ＝8，AC ＝AB ＝10， ∴A (0，－8)，BO ＝OC ＝6， ∴B (6，0)，C (－6，0)． ∵S △COE ＝S △ADE ，∴S △CBD ＝S △AOB ＝12×8×6＝24，∴12×BC ×||y D ＝24，解得||y D ＝4， ∴D 为AB 的中点，∴D (3，－4)．联合C 点坐标可求得直线CD 的函数表达式为y ＝－49x －83，∴E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83.设过B ，C ，E 三点的抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋6)(x －6)， 将E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83代入，得a ＝227，∴过点B ，C ，E 的抛物线的函数表达式为y ＝227(x ＋6)(x －6)＝227x 2－83.3．解：(1)把A (3，0)，B (4，1)代入y ＝ax 2＋bx ＋3中，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋3＝0，16a ＋4b ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－52，∴该二次函数的表达式为y ＝12x 2－52x ＋3.(2)△ABC 是直角三角形．理由：过点B 作BD ⊥x 轴于点D ， 易知点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝45°.又∵点B 的坐标为(4，1)， ∴AD ＝BD ， ∴∠DAB ＝45°，∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC是直角三角形．4．解：(1)∵A (－1，0)，B (5，0)，∴可设表达式为y ＝a (x ＋1)(x －5)．将C (0，5)代入，得a ＝－1，∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)(x －5)＝－x 2＋4x ＋5.∴M (2，9)．(2)S △MAB ＝12AB ·||y M ＝12×6×9＝27. (3)过点M 作MD ⊥y 轴于点D ，则S △MCB ＝S 梯形MDOB －S △DCM －S △COB ＝12×(2＋5)×9－12×2×4－12×5×5＝15. 5．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根为x ＝－1或x ＝3，∴－1＋3＝－b ，－1×3＝c ，∴b ＝－2，c ＝－3，∴该抛物线的函数表达式是y ＝x 2－2x －3.(2)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－4)．(3)设点P 的纵坐标为y P ，∵S △PAB ＝8，∴12AB ·|y P |＝8. ∵AB ＝3＋1＝4，∴|y P |＝4，∴y P ＝±4.∵点P 在x 轴上方，∴y P＝4.把y P ＝4代入表达式，得4＝x 2－2x －3，解得x ＝1±2 2，∴点P 的坐标为(1＋2 2，4)或(1－2 2，4)．6．解：(1)∵y ＝－x 2＋4x ＝－(x 2－4x )＝－(x 2－4x ＋4)＋4＝－(x －2)2＋4，∴最高点P 的坐标为(2，4)．(2)点A 的坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝74， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，74.(3)如图，过点P 作PB ⊥x 轴交OA 于点B ，则点B 的坐标为(2，1)，∴PB ＝3，∴S △POA ＝S △OPB ＋S △APB ＝12×3×2＋12×3×32＝214. (4)如图，过点P 作PM ∥OA 交抛物线于点M ，连结OM ，则△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋b ， ∵直线PM 过点P (2，4)，∴12×2＋b ＝4，解得b ＝3，∴直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋3. 根据题意，可列方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝154， ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，154.7．D [解析] 如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，连结OB .依题意得∠AOE ＝75°，∠AOB ＝45°，∴∠BOE ＝30°.∵OA ＝1，∴OB ＝ 2.∵∠OEB ＝90°，∴BE ＝12OB ＝22，∴OE ＝62， ∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22. 将其代入y ＝ax 2(a ＜0)，得a ＝－23. 故选D.8．－2 [解析] 连结BC，与AO交于点D.观察图象，根据二次函数的图象与其表达式的系数之间的关系可知a<0，c>0.由图象可知，点A是抛物线的顶点，设点A的坐标为(0，c)，则OA＝c，∵四边形ABOC 是正方形，∴AO ＝BC ，AD ＝OD ，△ABD ，△ACD 是等腰直角三角形，∴AD ＝OD ＝c 2. ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴BD ＝c 2. ∵BD ＝c 2，OD ＝c 2， ∴点B 的坐标为(－c 2，c 2)． 将点B 的坐标代入二次函数表达式y ＝ax 2＋c ，可得c 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 22＋c ， 整理，得ac ＝－2.9．2 3 [解析] 连结BC 交OA 于点D .∵四边形OBAC 为菱形，∴BC ⊥OA .∵∠OBA ＝120°，∴∠OBD ＝60°，∴OD ＝3BD .设BD ＝t ，则OD ＝3t ，∴B ()t ，3t . 把B (t ，3t )代入y ＝3x 2，得3t ＝3t 2，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝1.∴BD ＝1，OD ＝3，∴BC ＝2BD ＝2，OA ＝2OD ＝2 3，∴菱形OBAC 的面积为12×2×2 3＝2 3.10．解：(1)将B (1，0)代入y ＝ax 2－43x ＋2，得a －43＋2＝0，∴a ＝－23， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－23x 2－43x ＋2. (2)当y ＝0时，－23x 2－43x ＋2＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－3.当x ＝0时，y ＝2，∴抛物线与x 轴的另一交点A 的坐标为(－3，0)，与y 轴的交点C 的坐标为(0，2)．(3)如图，过点P ，Q 分别作PH ⊥y 轴，QG ⊥x 轴，H ，G 分别为垂足．∵四边形ACPQ 是正方形，∴易知△AOC ≌△QGA ≌△CHP ，∴AO ＝QG ＝CH ＝3，OC ＝GA ＝HP ＝2，∴P (－2，5)，Q (－5，3)．11．解：(1)当x ＝0时，y ＝2，∴C (0，2)．当y ＝0时，－14x 2－12x ＋2＝0， 解得x 1＝－4，x 2＝2，∴B (－4，0)，A (2，0)．(2)易得对称轴为直线x＝－1.当AB为对角线时，如图①，图①由点F 的横坐标为－1，易知点E 的横坐标也是－1，∴E (－1，94)， ∴▱AEBF 的面积为AB ×94×12×2＝272； 当AB 为边时，如图②，图②∵AB ＝6，∴EF ＝6，∴E (5，－274)或E ′(－7，－274)， ∴以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为AB ×274＝6×274＝812. 综上，以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为272或812. (3)存在，设点M 的坐标为(－1，t )．∵A (2，0)，C (0，2)，∴AC ＝22，MC ＝1＋（t －2）2，AM ＝9＋t 2.①当AC＝MC时，22＝1＋（t－2）2，解得t＝2±7，即M(－1，2＋7)或M(－1，2－7)；②当MC＝AM时，1＋（t－2）2＝9＋t2，解得t＝－1，即M(－1，－1)；③当AC＝AM时，22＝9＋t2，此方程无解．综上，此抛物线的对称轴上存在点M，使得△ACM是等腰三角形，点M的坐标为(－1，2＋7)或(－1，2－7)或(－1，－1)．感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。

二次函数本章总结提升问题1 抛物线的平移抛物线y＝ax2经过怎样的平移可以得到抛物线y＝a(x－m)2＋k?例 1 已知某抛物线和坐标轴的交点坐标分别为(3，0)，(－1，0)和(0，－3)，回答下列问题：(1)求该抛物线的函数表达式；(2)请对该抛物线给出一种平移方案，使平移后的抛物线经过原点．【归纳总结】问题2 二次函数的图象及性质结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方向、顶点坐标，说明二次函数在什么情况下取得最大(小)值．例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1－T－1所示，有下列说法：①2a＋b＝0；②当－1≤x≤3时，y＜0；③若点(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a＋3b＋c＝0.其中正确的是( )图1－T－1A．①②④B．①④C．①②③ D．③④【归纳总结】问题3 求二次函数的表达式用待定系数法求二次函数的表达式的方法有哪些？例3 已知一条抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)求该抛物线的顶点坐标．【归纳总结】用待定系数法求二次函数的表达式问题4 二次函数与一元二次方程的关系结合抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系，说明方程ax2＋bx＋c＝0的根的各种情况．例4 2016·荆门若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为( )A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7C．x1＝1，x2＝－7 D．x1＝－1，x2＝7例5 已知抛物线y＝x2－2(m－1)x＋m2－7与x轴有两个不同的交点．(1)求m的取值范围；(2)若抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(3，0)，求点B的坐标．【归纳总结】问题5 二次函数最值问题的实际应用在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归纳为求二次函数的最大值或最小值．请举例说明如何分析、解决这样的问题．例 6 2017·湖州湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000 kg 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元(总成本＝放养总费用＋收购成本)．(1)设每天的放养费用是a 万元，收购成本为b 万元，求a 和b 的值．(2)设这批淡水鱼放养t 天后的质量为m (kg)，销售单价为y 元/kg.根据以往经验可知：m 与t 的函数关系为m ＝⎩⎪⎨⎪⎧20000（0≤t ≤50），100t ＋15000（50＜t ≤100），y 与t 的函数关系如图1－T －2所示．①分别求出当0≤t ≤50和50＜t ≤100时，y 与t 之间的函数表达式；②设将这批淡水鱼放养t 天后一次性出售所得利润为W 元，求当t 为何值时，W 最大，并求出最大值．(利润＝销售总额－总成本)图1－T －2【归纳总结】二次函数的实际应用注意：(1)当题目中没有给出平面直角坐标系时，选取的平面直角坐标系不同，所得函数表达式也不同．(2)在求二次函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响．(3)建立函数模型解决实际问题时，题目中没有明确函数类型时，要对求出的函数表达式进行验证，防止出现错解．问题6 二次函数与几何的综合几何图形在二次函数的应用中怎样体现？例7 2017·镇江如图1－T－3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x 轴、y轴上，点B的坐标为(4，t)(t＞0)．二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象经过点B，顶点为D.(1)当t＝12时，顶点D到x轴的距离等于________；(2)E是二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合)．求OE·EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；(3)矩形OABC的对角线OB，AC相交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y＝x2＋bx(b ＜0)的图象于点M，N，连结DM，DN.当△DMN≌△FOC时，求t的值．图1－T－3【归纳总结】二次函数与几何综合二次函数常常与三角形、四边形、圆等几何图形综合，考查以下几类问题：(1)线段数量关系、最值问题；(2)面积数量关系、最值问题；(3)存在性问题：包含特殊三角形、特殊四边形、直线与圆相切等．详解详析【整合提升】例1解：(1)∵抛物线与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)，∴设抛物线的函数表达式为y＝a(x－3)(x＋1)(a≠0)．∵当x＝0时，y＝－3，∴－3＝(0－3)(0＋1)a，∴a＝1，∴y＝(x－3)(x＋1)，即y＝x2－2x－3.(2)在抛物线上取一点P(1，－4)，∵将点P向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得点P′(0，0)，∴将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后所得的抛物线经过原点(0，0)．注：(2)题答案不唯一．例2[解析] B ∵函数图象的对称轴为直线x＝－b2a＝－1＋32＝1，∴b＝－2a，即2a＋b＝0，故①正确；∵抛物线开口向上，∴a>0.又∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，∴当－1≤x≤3时，y≤0，故②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，∴若点(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，当1<x1<x2时，y1<y2；当x1<x2<1时，y1>y2，故③错误；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(3，0)，∴当x＝3时，y＝0，即9a＋3b＋c＝0，故④正确．故选B.例3 [解析] 本题可用待定系数法求抛物线的函数表达式，求该抛物线的顶点坐标可将表达式配方成顶点式．解：(1)设这个抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由抛物线过A(－2，0)，B(1，0)，C(2，8)三点，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝－4.∴所求抛物线的函数表达式为y ＝2x 2＋2x －4. (2)∵y＝2x 2＋2x －4＝2(x 2＋x －2)＝2(x ＋12)2－92，∴该抛物线的顶点坐标为(－12，－92)．[点评] 求抛物线的顶点坐标除了可以将一般式配方成顶点式外，还可以直接运用顶点坐标公式(－b 2a ，4ac －b24a)求得．例4 [答案] D例5 [解析] (1)根据b 2－4ac>0确定m 的取值范围；(2)可以把x ＝3，y ＝0代入表达式，求出m 的值，但要注意m 的值应符合(1)中的要求．解：(1)∵抛物线y ＝x 2－2(m －1)x ＋m 2－7与x 轴有两个不同的交点， ∴方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－7＝0有两个不同的实数根， ∴b 2－4ac>0，即4(m －1)2－4(m 2－7)>0， 解得m<4.(2)把x ＝3，y ＝0代入表达式，得 9－6(m －1)＋m 2－7＝0，即m 2－6m ＋8＝0，解得m 1＝2，m 2＝4. ∵m<4，∴m ＝2，∴函数表达式为y ＝x 2－2x －3. 令y ＝0，则x 2－2x －3＝0， 解得x 1＝3，x 2＝－1， ∴点B 的坐标为(－1，0)．例6 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10a ＋b ＝30.4，20a ＋b ＝30.8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.04，b ＝30.即a 的值为0.04，b 的值为30. (2)①当0≤t≤50时，设y 与t 之间的函数表达式为y ＝k 1t ＋n 1，把点(0，15)和(50，25)的坐标分别代入y ＝k 1t ＋n 1，得⎩⎪⎨⎪⎧15＝n 1，25＝50k 1＋n 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝15，n 1＝15.∴y 与t 之间的函数表达式为y ＝15t ＋15； 当50＜t≤100时，设y 与t 之间的函数表达式为y ＝k 2t ＋n 2，把点(50，25)和(100，20)的坐标分别代入y ＝k 2t ＋n 2，得⎩⎪⎨⎪⎧25＝50k 2＋n 2，20＝100k 2＋n 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－110，n 2＝30.∴y 与t 之间的函数表达式为y ＝－110t ＋30. ②由题意得， 当0≤t≤50时，W ＝20000⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋15－(400t ＋300000)＝3600t ， ∵3600＞0，∴当t ＝50时，W 最大值＝180000；当50＜t≤100时，W ＝(100t ＋15000)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋30－(400t ＋300000)＝－10t 2＋1100t ＋150000＝－10(t －55)2＋180250.∵－10＜0，∴当t ＝55时，W 最大值＝180250.∵180000<180250，∴当t ＝55天时，W 最大，最大值为180250.例7 解：(1)14(2)∵二次函数y ＝x 2＋bx(b<0)的图象与x 轴交于点E ，∴E(－b ，0)，∴OE ＝－b ，EA ＝4＋b.∴OE ·EA ＝－b(b ＋4)＝－b 2－4b ＝－(b ＋2)2＋4.∴当b ＝－2时，OE ·EA 有最大值，其最大值为4.此时二次函数的表达式为y ＝x 2－2x.(3)如图，过点D 作DG⊥MN，垂足为G ，过点F 作FH⊥CO，垂足为H.∵△DMN ≌△FOC ，∴MN ＝CO ＝t ，DG ＝FH ＝2.∵D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2，－b 24， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＋t 2，－b 24＋2，即N(t －b 2，8－b 24)． 把x ＝t －b 2，y ＝8－b 24代入y ＝x 2＋bx ， 得8－b 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －b 22＋b·t －b 2，解得t ＝±2 2. ∵t ＞0，∴t ＝2 2.。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题章末总结提升第1课时(见A 本11页), 探究点 1 二次函数的对称性)【例1】 2017·临沂 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝4.5；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m ．其中正确结论的个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4变式 在直角坐标系中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2(m≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B.(1)若该抛物线在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，并且在3＜x ＜4这一段位于直线AB 的上方，则该抛物线的解析式为__y ＝2x 2－4x －2__．(2)抛物线的图象在－1<x<0这一段位于x 轴的下方，在3<x<4这一段位于x 轴的上方，求m 的值．【解析】 (1)y ＝2x 2－4x －2(2)由(1)可得对称轴为直线x ＝1，由抛物线的轴对称性得，当－1＜x ＜0这一段位于x 轴的下方， 则在2＜x ＜3这一段位于x 轴的下方， 所以，抛物线过点(3，0)，代入，求得m ＝23., 探究点 2 二次函数的增减性)【例2】 若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫114，y 2为二次函数y ＝－x 2＋4x ＋c 图象上的两点，则y 1－y 2的值为( A )A ．正数B ．负数C ．0D ．无法确定变式图变式 抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线l 相交于点A(－1，0)，C(2，3)两点，与y 轴交于点N ，抛物线的顶点为D.(1)写出抛物线及直线l 的函数关系式：__y ＝－x 2＋2x ＋3与y ＝x ＋1__．(2)B 为直线l 上的任意一点，过点B 作BD∥y 轴交抛物线于点D ，当BD 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．解：(1)y ＝－x 2＋2x ＋3与y ＝x ＋1 (2)当点D 在直线l 上方时．BD ＝－x 2＋2x ＋3－(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2，当x ＝12时，BD 最大，故－1≤x≤12，BD 随x 的增大而增大；当点D 在直线l 下方时．当x≥2时，BD 随x 的增大而增大． 故x 的取值范围为－1≤x≤12或x≥2., 探究点 3 二次函数数与形的结合性)例3图【例3】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c(a ＜0)的图象过菱形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，∠BAC ＝120°，则ac 的值是__－23__．变式图变式 如图，△ABC 是边长为4 cm 的等边三角形，动点P 从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿A→C→B 运动，到达B 点即停止运动，过点P 作PD⊥AB 于点D ，设运动时间为x(s)，△ADP 的面积为y(cm 2)，则能够大致反映y 与x 之间函数关系的图象是( B )A ．B ．C ． D.第1题图1．已知抛物线y ＝x 2＋bx －3的部分图象如图所示，若y ＜－3，则x 的取值范围是( B ) A ．－1＜x ＜4 B ．0＜x ＜2C ．x ＜－1或x ＞4D ．x ＜0或x ＞22．2017·广州中考 a≠0，函数y ＝a x 与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( D )A ．B ．C ． D.3．2017·宁波中考抛物线y ＝x 2－2x ＋m 2＋2(m 是常数)的顶点在( A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限第4题图4．龙岩中考已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则|a －b ＋c|＋|2a ＋b|＝( D )A ．a ＋bB ．a －2bC ．a －bD ．3a5．资阳中考已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且图象过A(x 1，m)，B(x 1＋n ，m)两点，则m ，n 的关系为( D )A ．m ＝12nB ．m ＝14nC ．m ＝12n 2D ．m ＝14n 26．已知抛物线y ＝－(x －a)2＋a ＋2，当a 取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是__y ＝x ＋2__．抛物线与y 轴交点为C ，当－1≤a≤2时，C 点经过的路径长为__92__． 7．2017·乐山中考已知二次函数y ＝x 2－2mx(m 为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y 的最小值为－2，则m 的值是2．8．已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象上，当x 1＝1，x 2＝3时，y 1＝y 2.(1)①求m 的值；②若抛物线与x 轴只有一个公共点，求n 的值；(2)若P(a ，b 1)，Q(3，b 2)是函数图象上的两点，且b 1＞b 2，求实数a 的取值范围． 解：(1)①∵当x 1＝1，x 2＝3时，y 1＝y 2， ∴1＋m ＋n ＝9＋3m ＋n ，∴m ＝－4； ②∵抛物线与x 轴只有一个公共点，∴Δ＝m 2－4n ＝0，即16－4n ＝0，∴n ＝4. (2)∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴当P(a ，b 1)，Q(3，b 2)在对称轴的右侧，则a ＞3时，b 1＞b 2；当P(a ，b 1)，Q(3，b 2)在对称轴的两侧，而当x 1＝1，x 2＝3时，y 1＝y 2，则a ＜1时，b 1＞b 2.∴实数a 的取值范围为a ＜1或a ＞3.第9题图9．2017·北京中考在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴交于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C.(1)求直线BC 的表达式；(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，与直线BC 交于点N(x 3，y 3)，若x 1<x 2<x 3，结合函数的图象，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．解：(1)由抛物线y ＝x 2－4x ＋3 与x 轴交于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，令y ＝0，解得x ＝1或x ＝3,∴点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3与y 轴交于点C ，令x ＝0，解得y ＝3, ∴点C 的坐标为(0，3)．设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3. (2)由y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x ＝2, 直线l 垂直轴，由图知P ，Q 关于直线x ＝2对称．∴x 1＋x 2＝4.∵x 1<x 2<x 3，∴由图可知－1<y<0，∴－1<y 3<0，即－1<－x 3＋3<0.即3<x 3<4， ∴7<x 1＋x 2＋x 3<8,∴x 1＋x 2＋x 3的取值范围为7<x 1＋x 2＋x 3<8.第2课时(见A 本13页), 探究点 4 二次函数与方程、不等式的关联性)【例4】 已知，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)和一次函数y ＝x －1的图象交于A(－2，－3)，B(1，0) 两点，则方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＋1＝0(a≠0)的根为( C )A ．x 1＝－2，x 2＝－3B ．x 1＝1，x 2＝0C ．x 1＝－2，x 2＝1D ．x 1＝－3，x 2＝0变式 122请你根据表格信息回答问题：当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围是__x<－1或x>5__．, 探究点 5 二次函数与生活实际的结合应用)【例5】 小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚横截面为抛物线，有关数据如图所示，已知小燕的身高1.40米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围有__6__米．例5图变式 2017·绍兴中考某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m ．设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m 2)．(1)如图1，问饲养室长x 为多少时，占地面积y 最大？(2)如图2，现要求在图中所示位置留2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．变式图解：(1)∵y＝x·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252，∴当x ＝25时，占地面积最大，即饲养室长x 为25 m 时，占地面积y 最大． (2)∵y＝x·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338，∴当x ＝26时，占地面积最大，即饲养室长x 为26 m 时，占地面积y 最大； ∵26－25＝1≠2， ∴小敏的说法不正确．, 探究点 6 二次函数与几何知识的结合应用)【例6】 如图所示，分别过点P i (i ，0)(i ＝1，2，…，n)作x 轴的垂线，交y ＝12x 2的图象于点A i ，交直线y ＝12x 于点B i .则1A 1B 1＋1A 2B 2＋…＋1A nB n的值为( D )例6图A.2nn ＋1B ．2C.2n （n ＋1）D.2n ＋1变式 2017·安顺中考如图所示，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B ，C 两点的抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．变式图解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ， ∴B(3，0)，C(0，3)，把B ，C 两点坐标代入抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)∵y＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴抛物线对称轴为x ＝2，P(2，－1)， 设M(2，t)，且C(0，3)，∴MC ＝22＋（t －3）2＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2＝25， ∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC ＝MP ，MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，①当MC ＝MP 时，则有t 2－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32；②当MC ＝PC 时，则有t 2－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此时M(2，7)；③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)；综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)．1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x 轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为__1__.第1题图2题图2．如图所示，一张正方形纸板的边长为2 cm，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分)．设AE＝BF＝CG＝DH＝x(cm)，四边形EFGH的面积为y(cm2)．则(1)y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围为__y＝2x2－4x＋4(0＜x＜2)__；(2)当x＝__1__时，四边形EFGH的面积的最大值为__2__(cm2)．第3题图3．2017·咸宁中考如图所示，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是__x＜－1或x＞4__．第4题图4．如图所示，P是抛物线y＝2(x－2)2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与y＝x和抛物线交于A，B.若△ABP是以AB为斜边的等腰直角三角形，则t＝2或1或3__．5．在平面直角坐标系中，平移二次函数y＝(x－2015)(x－2017)＋3的图象，使其与x轴的两个交点间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是( B )A ．向上平移3个单位B ．向下平移3个单位C ．向左平移3个单位D ．向右平移3个单位第6题图6．2017·河池中考抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于点A ，B(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C.(1)求直线BC 的解析式；(2)抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB＝∠ABC，求点P 的坐标．解：(1)在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝0可得0＝－x 2＋2x ＋3， 解得x ＝－1或x ＝3，令x ＝0可得y ＝3，∴B(3，0)，C(0，3)， ∴可设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋3，把B 点坐标代入可得3k ＋3＝0，解得k ＝－1， ∴直线BC 解析式为y ＝－x ＋3. (2)∵OB＝OC ，∴∠ABC ＝45°，第6题答图∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线对称轴为直线x ＝1，设抛物线对称轴交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ，当点P 在x 轴上方时，如图， ∵∠APB ＝∠ABC＝45°，且PA ＝PB ，∴∠PBA ＝180°－45°2＝67.5°，∠DPB ＝12∠APB ＝22.5°，∴∠PBD ＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠DPB ＝∠DBP，∴DP ＝DB ，在Rt △BDE 中，BE ＝DE ＝2，由勾股定理可求得BD ＝22，∴PE ＝2＋22，∴P(1，2＋22)；当点P 在x 轴下方时，由对称性可知P 点坐标为(1，－2－22)； 综上可知P 点坐标为(1，2＋22)或(1，－2－22)．7．2017·荆州中考荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为：p ＝⎩⎪⎨⎪⎧14t ＋16（1≤t≤40，t 为整数），－12t ＋46（41≤t≤80，t 为整数），日销售量y(千克)与时间第t(天)之间的函数关系如图所示．第7题图 (1)求日销售量y 与时间t 的函数关系式；(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m(m ＜7)元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求m 的取值范围．解：(1)设解析式为y ＝kt ＋b ， 将(1，198)，(80，40)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝198，80k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝200， ∴y ＝－2t ＋200(1≤t≤80，t 为整数)． (2)设日销售利润为w ，则w ＝(p －6)y ，①当1≤t≤40时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋16－6(－2t ＋200)＝－12(t －30)2＋2450，∴当t ＝30时，w 最大＝2450；②当41≤t≤80时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t ＋46－6(－2t ＋200)＝(t －90)2－100，∴当t ＝41时，w 最大＝2301.∵2450＞2301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元． (3)设日销售利润为w ，根据题意，得w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋16－6－m (－2t ＋200)＝－12t 2＋(30＋2m)t ＋2000－200m ， 其函数图象的对称轴为直线t ＝2m ＋30，∵w 随t 的增大而增大，且1≤t≤40，∴由二次函数的图象及其性质可知2m ＋30≥40， 解得m≥5，又m ＜7，∴5≤m ＜7.。